Planejamento de Trajetórias

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1 Unversae Feeral e Iajubá - UNIFEI Insuo e Engenhara e proução e Gesão - IEPG EPR-03 Auomação a Manufaura Noas sobre: Planejameno e Trajeóras Y (x, y) L θ X=L1.C1+L.C1 Y=L1.S1+L.S1 L1 θ1 X=L1.C1 Y=L1.S1 X X=0 Y=0 Prof. José Hamlon Chaves Gorgulho Júnor Iajubá - Ouubro e 009 Revsão 0 1

2 Planejameno e Trajeóra INTRODUÇÃO O planejameno e rajeóra é realzao pelo programa e conrole e um robô para calcular a posção e caa juna, a caa nsane, permno que o órgão ermnal movmenese seguno a rajeóra programaa. Aparenemene os cálculos envolvem apenas as coorenaas ncal e fnal, mas os argos rão mosrar que são necessáros cálculos que envolvem cnemáca rea, cnemáca nversa, coorenaas nermeáras, velocae, aceleração e ambém o empo e eslocameno. CONCEITOS BÁSICOS Para apresenar os conceos báscos será usao um smples moelo composo apenas por um elo e uma juna roava, ou seja, com apenas um grau e lberae (GDL ou DOF Degree of Freeom). No moelo que é apresenao pela Fgura 1 noa-se que o braço, e comprmeno R, gra em orno a orgem o ssema e coorenaas o plano XY. Os cálculos que serão apresenaos poserormene rão conserar R=1. Y (x,y) R θ X Fgura 1 Moelo com 1 grau e lberae roavo. O pono cuja rajeóra será conrolaa é a exremae lvre que, epeneno o ângulo θ, alcança ferenes coorenaas (x, y). Os cálculos a cnemáca rea e nversa esão apresenaos no Quaro 1. Deve-se lembrar que nese caso as coorenaas que poem ser angas esão resras a uma crcunferênca.

3 Cnemáca Drea x = R Cos y = R Sen ( θ) ( θ) Cnemáca Inversa x θ = ACos R Quaro 1 Equação a cnemáca rea e nversa. O cálculo a cnemáca nversa poe ser realzao por ouros meos, seno mas recomenao o uso a função ATan. Como esa função não é sponblzaa em oas as lnguagens opou-se pelo uso a função ACos. INTERPOLAÇÃO LINEAR A forma mas smples e se mover uma juna roava a posção ncal θ aé a posção fnal θ f em um empo é usano uma nerpolação lnear, ou seja, usano uma velocae angular consane. O Quaro apresena as equações e posção, velocae angular e aceleração angular para ese caso. Posção Velocae Aceleração f f θ ( ) = θ +. θ & ( ) = & θ ( ) = 0 θ θ θ θ Quaro Equações angulares para nerpolação lnear. O símbolo θ & sgnfca ervaa e θ. Como θ é a posção angular o braço, sua ervaa fornece a velocae angular. O símbolo & θ sgnfca ervaa e θ &, e como se raa a ervaa a velocae angular obém-se a aceleração angular. Apesar as rês equações serem funções relavas ao empo, apenas a posção rá varar. Como se raa e um eslocameno angular lnear a velocae é consane e a aceleração é nula. Nese momeno é neressane o uso e um exemplo numérco para fxação os conceos. Suponha que a posção ncal o braço seja o θ = 0 e que eseja-se angr a posção fnal o θ f = 90 em um nervalo e empo = 10 segunos. Subsuno eses valores nas equações o Quaro obém-se: θ ( ) = 9. [graus] e ( ) = 9 [graus/seg] segunos poemos ober os gráfcos a Fgura. θ &. Varano e 0 aé 10 3

4 Posção [graus] Y Velocae [graus/seg] Tempo [seg] X Tempo [seg] Fgura Gráfcos e posção e velocae para nerpolação lnear. Não se eve esquecer que, apesar o gráfco e posção angular mosrar uma lnha rea, no espaço caresano o braço execua um arco e crcunferênca. O esquema o lao reo a Fgura mosra a posção a caa seguno. Como a velocae angular é consane em-se que a sânca enre as posções é unformemene srbuía. Noe que, em ermos prácos, a aceleração é conseraa nula. Porém é necessáro um pco e aceleração para ncar o movmeno e, no fnal, um pco e esaceleração para nerrompê-lo. Isso faz com que ocorram choques mecâncos muo fores no níco e no fnal a rajeóra, ornano esa forma e conrole pouco aequaa. Os aos fornecos para o exemplo esavam em graus, mas normalmene são fornecas coorenaas caresanas para o esno e sso requer o cálculo a cnemáca nversa. Além sso, ambém é necessáro verfcar se a coorenaa forneca poe realmene ser anga. O Quaro 3 apresena uma sugesão e algormo para o cálculo as granezas o Quaro no empo e ambém esenhar o braço. Os aos necessáros são a coorenaa caresana e esno e o empo e eslocameno. O algormo verfca se o pono poe ser ango e em segua faz o cálculo a cnemáca nversa para eermnar a posção angular fnal a juna. Uma varável que conará a passagem o empo é ncaa anes e um loopng. 4

5 Denro esse loopng o empo é ncremenao para permr o cálculo as varáves angulares (posção, velocae e aceleração). Com base no valor a posção angular em caa nsane é possível esenhar a posção o braço usano os cálculos e cnemáca rea. Velocae e aceleração não êm necessae e fcar enro o loopng nesa suação, pos são consanes no empo, porém, nos casos segunes, esas granezas rão ser varáves e seno assm o algormo poscona o cálculo no evo lugar para maner-se compaível. Defnr R e θ Ler x, y e Se Raz(x +y )<>R enão Mensagem Coorenaa fora a área e rabalho Fm Fm Se Calcular θ f =Acos(x/R) =0 Enquano < fazer Incremenar Calcular Posção Angular: θ = θ +.(θ f -θ )/ Calcular Velocae Angular: θ & =(θ f -θ )/ Calcular Aceleração Angular: & θ =0 Traçar Lnha e [0, 0] aé [R*Cos(θ), R*Sen(θ)] Fm Enquano Quaro 3 Algormo para cálculo e raçao o movmeno. POLINÔMIO CÚBICO O uso e uma equação cúbca para represenar a posção angular no empo elmna os choques a nerpolação lnear. Da mesma forma exposo no caso lnear as equações e velocae e aceleração são obas por ervação. A velocae angular é represenaa por uma equação quaráca e a aceleração angular por uma equação lnear. No Quaro 4 são apresenaas as rês equações. Posção θ ( ) Velocae θ & ( ) Aceleração & θ ( ) 3. = θ + 6. = 6. = ( θ θ ). ( θ θ ) 3 f. f 3 ( θ θ ) 6. ( θ θ ) f. f 3. ( θf θ ) 1. ( θf θ ). 3 Quaro 4 Equações angulares para nerpolação não lnear.. 5

6 O algormo o Quaro 3 poe ser aualzao basano subsur as equações e posção, velocae e aceleração pelas apresenaas no Quaro 4 Usano os mesmos valores o exemplo numérco aneror, que são valores a Tabela 1 e os gráfcos a Fgura 3. θ o = 0, θ o f = 90 e = 10 seg obém-se os Tabela 1 Valores obos com as equações o Quaro 4. Tempo Posção Velocae Aceleração Fgura 3 Gráfcos resulanes as equações o Quaro 4. A aceleração nca-se com 5.4º/s, permno que a velocae saa o zero e nce o movmeno o braço. Com a passagem o empo o valor a aceleração mnu enquano a velocae aumena (caa vez mas lenamene) e o braço se afasa a posção e orgem. Exaamene na meae o movmeno (45º) a aceleração é nula e a velocae ange o seu valor máxmo (13.5º/s). A parr esse pono a aceleração passa a ser negava, so é, orna-se uma esaceleração e, conseqüenemene, a velocae mnu graavamene. Próxmo ao fnal o movmeno a velocae é caa vez menor e sso faz o braço chegar ao esno suavemene. 6

7 A Fgura 4 apresena a posção o braço varano no empo (e 0 aé 10 segunos). Noa-se que apesar os nervalos e empo serem consanes as sâncas angulares em caa momeno não são. O movmeno é leno no níco e ambém no fnal. Fgura 4 Posção o braço a caa 0.5 seguno. O gráfco a Fgura 4 fo obo com um programa áco sponível em hp:// O programa smula os movmenos e um braço com os graus e lberae e apresena os gráfcos e posção, velocae e aceleração para caa juna. INTERPOLAÇÃO LINEAR COM EXTREMIDADES PARABÓLICAS Oura esraéga e movmenação é, e cera forma, a unão os conceos anerores. Tem-se uma movmenação lnear com níco e fnal o movmeno suave (quaráco). A enomnação em nglês é lnear segmens wh parabolc blens - LSPB. A Fgura 5 apresena a forma e varação a posção, velocae e aceleração para uma movmenação ese po. Noa-se que há rês fases snas. Fase 1 Iníco Parabólco: no níco o movmeno há uma aceleração consane que faz com que a velocae aumene lnearmene. Esse comporameno faz com que a posção se alere caa vez mas rapamene. Fase Velocae Lnear: nesa eapa a aceleração exa e exsr, fazeno com que a velocae seja consane. A velocae consane, por sua vez, faz com que o eslocameno passe a ser lnear. 7

8 Fase 3 Fnal parabólco: para fnalzar o movmeno é usaa uma esaceleração e valor consane. Essa esaceleração mnu a velocae e forma lnear e faz com que a posção vare caa vez mas lenamene aé angr a sua mea. Fgura 5 Varação as granezas no movmeno lnear-parabólco. O nsane no qual ocorre a ransção a enraa parabólca para o eslocameno lnear será enomnao e T A (ambém chamao e blen me). A posção angular o braço nesse nsane será efna como θ A. Da mesma forma, o nsane e ransção o eslocameno lnear para a fnalzação parabólca será enomnao T B e a posção angular e θ B. Como poe ser noao no gráfco o equaconameno que será apresenao a segur assume que os segmenos parabólcos êm a mesma uração, fazeno com que sejam smércos em relação ao pono cenral. A uração os segmenos parabólcos epene o valor aoao para a aceleração e esaceleração. Quano maor ese valor menor é a porção parabólca, fazeno com que o movmeno ena a uma nerpolação lnear smples. Do lao oposo, quano menor a aceleração, menor é a porção lnear. Há um valor mínmo para a aceleração, que faz com que a porção lnear não exsa, fazeno com que o gráfco a posção seja smlar à oba pelo polnômo cúbco. 8

9 A Fgura 6 mosra o mesmo movmeno a Fgura 5, mas com uas acelerações angulares ferenes. Nos gráfcos o lao esquero a aceleração angular aoaa é gual à aceleração angular mínma. Os gráfcos o lao reo mosram a aceleração angular ajusaa para 100 vezes o valor a aceleração angular mínma. Fgura 6 Esquera: aceleração angular mínma. Drea: aceleração angular ala. As váras equações necessáras para efnr o movmeno esão lsaas no Quaro 5, na orem e cálculo. Os segunes valores são necessáros: ângulo ncal (θ ), ângulo fnal (θ f ), empo e eslocameno ( ) e faor e mulplcação a aceleração mínma (c) que eve ser maor que 1. Na equação e T A usa-se subração quano θ f >θ e soma quano ocorrer o conráro. Aceleração Mínma ( ) Aceleração Aoaa & θ mn & θ = c. & θ = 4. θ θ mn f Tempo A = ( ) ± ( & T / θ. ) 4. && θ. ( θ θ ) /(. & θ ) A A / Ângulo A θ = θ + ( θ.t )/ A & f Tempo B T B = T A Ângulo B θ = θ ( θ.t )/ B f Quaro 5 Equações angulares para movmeno lnear com exremaes parabólcas. 9 & B Velocae Lnear θ & = ( θ θ )/( T T ) L B A B A

10 Os valores angulares e posção, velocae e aceleração em função o empo são calculaos por equações ferenes conforme a fase em que se enconra o movmeno. O Quaro 6 apresena esas equações. Fase Posção Velocae Aceleração 1 ( TA ) θ + ( θ. )/ & & & θ. & θ ( T A < TB 3 ( TB < ) + θ.( T ) θ & L A L ) T + θ&.( T ) & θ.( T ) / θ & θ. ( ) B L B B θ & 0 & & θ L T B Quaro 6 Equações angulares para posção, velocae e aceleração. Junamene com o programa áco há uma planlha o Excell (Lnear-Parabólco.xls) que mplemena eses cálculos e apresena os gráfcos angulares e posção, velocae e aceleração. TRAJETÓRIA DE TEMPO MÍNIMO Em alguns ssemas robócos os comanos e movmenação não ncluem o empo e eslocameno, ou seja, o programaor nforma apenas a coorenaa e esno. Nesses casos o ssema rá angr a mea no menor empo possível. E para sso a aceleração angular máxma perma pelo equpameno é pré-programaa pelo fabrcane usano a nerpolação lnear com exremaes parabólcas. A forma e movmeno nesa suação é mosraa o lao esquero a Fgura 6, ou seja, a aceleração angular máxma amssível é aplcaa urane a prmera meae o movmeno e epos a esaceleração máxma é aplcaa na seguna meae. O Quaro 7 apresena as equações que permem calcular o empo e eslocameno em função a aceleração angular e a velocae angular máxma anga. Obvamene o momeno e nversão a aceleração é ao por /. Tempo e Deslocameno = ( θ θ ) 4. && θ f max Velocae Máxma θ & máx ( θ ). f θ = Quaro 7 Equações para a rajeóra e empo mínmo. 10

11 MODELO COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE O moelo usao no argo aneror, com apenas 1 grau e lberae roavo, possuía uma área e rabalho muo lmaa, resuma a uma crcunferênca. O moelo que será usao ese momeno em ane é composo por os elos e mesmo amanho e com exos e roação paralelos. A Fgura 7 apresena o moelo cuja confguração faz com que a área e rabalho seja um círculo com rao=1 (L1=L=0.5). Y (x, y) L θ X=L1.C1+L.C1 Y=L1.S1+L.S1 L1 θ1 X=L1.C1 Y=L1.S1 X X=0 Y=0 Fgura 7 Moelo com os graus e lberae. A Fgura 7 raz ambém as coorenaas caresanas as exremaes os elos, obas por cnemáca rea (são úes para esenhar o braço em um programa). Nessas equações em-se: C1=Cos(θ1) C1=Cos(θ1).Cos(θ)-Sen(θ1).Sen(θ)= Cos(θ1+θ) S1=Sen(θ1) S1=Sen(θ1).Cos(θ)+Cos(θ1).Sen(θ)= Sen(θ1+θ) A cnemáca nversa orna-se mas complexa o que o apresenao no argo aneror. A Fgura 8 mosra que os os elos formam um rângulo o qual será possível exrar, por uma solução analíca, os valores e θ1 e θ quano forem fornecas as coorenaas (x, y) a exremae. Da análse a Fgura 8 poem ser obas as segunes relações: X = X Y Ar = ACos 1 = Ar A1 R R + θ θ = 180 A O valor e R é mporane pos perme efnr se a coorenaa forneca poe ser anga, ou seja, se R > L1 + L enão o pono esá fora a área e rabalho. Noa-se que Ar não erá solução quano R=0 (como L1=L esa suação poerá ocorrer). Nese caso é neressane efnr θ =180º e maner o valor aual e θ 1 (que poe assumr qualquer valor). 11

12 Y (X, Y) R = X +Y θ R A A3 L AR θ1 A1 L1 X Fgura 8 Trângulo formao pelos os elos. Da rgonomera sabe-se que: L = R + L1.R.L1.Cos(A1) e R = L1 + L.L1.L.Cos(A ) E obém-se: R A1 = ArcCos + L1 L.R.L1 e L1 A = ArcCos + L R.L1.L Poe-se agora elaborar um algormo para a cnemáca nversa ese problema, como o mosrao pelo Quaro 8. Defnr L1 e L Ler x e y Calcular R=Raz(x +y ) Se R>(L1+L) enão Coorenaa não poe ser anga Se R=0 enão Defnr θ=180 Senão Calcular Ar=ArcCos(x/R) Calcular A1=ArcCos((R +L1 -L )/(.R.L1)) Calcular A=ArcCos((L1 +L -R )/(.L1.L)) Calcular θ1=ar-a1 Calcular θ=180-a Fm-Se Quaro 8 Algormo para a Cnemáca Inversa. 1

13 O Quaro 9 apresena um algormo para o cálculo e esenho o braço com os graus e lberae. Os cálculos e posção angular, velocae angular e aceleração angular são exaamene guas aos apresenaos no prmero argo e, agora, são calculaos para caa elo. Defnr L1, L, θ 1, θ Ler x, y e Cnemáca Inversa (calcular θ f1, θ f ) =0 Enquano < fazer Incremenar Calcular Posção (θ1 e θ) Calcular velocae (θ1 e θ) Calcular Aceleração (θ1 e θ) C1=Cos(θ1) S1=Sn(θ1) C1= Cos(θ1+θ) S1= Sen(θ1+θ) Traçar Lnha e [0, 0] aé [L1.C1, L1.S1] Traçar Lnha e [L1.C1, L1.S1] aé [L1.C1+L.C1, L1.S1+L.S1] Fm Enquano Quaro 9 Algormo para planejameno e rajeóra. As próxmas rês fguras mosram a movmenação o braço usano as rês aboragens maemácas apresenaas. A coorenaa e orgem é (1, 0) e a e esno é (-0.5, 0.75), com empo e eslocameno e 5 segunos. Para caa movmenação são mosraos os gráfcos e θ1 (os gráfcos e θ possuem forma smlar). A posção o braço fo esenhaa a caa écmo e seguno aproxmaamene. Na Fgura 9 esá o resulao a nerpolação lnear, one noa-se o espaçameno eqüsane os ponos no rajeo. 13

14 Fgura 9 Inerpolação lnear. Na Fgura 10 fo usao o polnômo cúbco. A ensae e ponos é maor no níco e va seno reuza aé angr a meae o percurso. A parr ese pono va aumenano novamene aé angr o pono mea. Fgura 10 Polnômo cúbco. A Fgura 11 mosra a nerpolação lnear com exremaes parabólcas. Fo usao um faor c=1.5, ou seja, a aceleração aoaa é 1.5 vezes a aceleração mínma. A ensae os ponos é varável no níco e fnal enquano na porção cenral o espaçameno é gual. 14

15 Fgura 11 Inerpolação lnear com exremaes parabólcas. TRAJETÓRIA COM PONTOS INTERMEDIÁRIOS A Tabela apresena um conjuno e ponos que serão percorros para comparar as rês esraégas apresenaas. Pono Tabela Valores para x, y e empo e múlplos ponos. Coorenaa X [m] Coorenaa Y [m] Tempo e Deslocameno [s] Orgem A Fgura 1 apresena a movmenação pelos ponos mosraos pela Tabela usano a nerpolação lnear, bem como os gráfcos e θ1. Os ponos programaos esão marcaos por um x e cor branca. Noa-se que o espaçameno enre os ponos é gual em caa recho. Como o empo é gual para caa eslocameno em-se que, one a sânca é menor, a velocae é mas ala. O gráfco e velocae angular mosra que esa graneza vara bruscamene. Pelos gráfcos é possível conclur que o seguno movmeno ocorre no seno conráro os emas (posção mnu e a velocae é negava). 15

16 Fgura 1 Múlplos ponos usano nerpolação lnear. A movmenação usano o polnômo cúbco esá na Fgura 13. A posção angular alerase suavemene. Fca claro ambém que a velocae angular é nula no níco e fnal e caa recho o percurso. Fgura 13 Múlplos ponos usano polnômo cúbco. A Fgura 14 exbe a movmenação usano a nerpolação lnear com exremaes parabólcas (faor c=1.5). Nesa suação a velocae angular ambém é nula no níco e fnal e caa recho o percurso, ou seja, no pono programao a velocae angular é zero para os os elos. 16

17 Fgura 14 Múlplos ponos usano nerpolação lnear com exremaes parabólcas. Na Fgura 15 são mosraos os gráfcos e θ para as rês suações. As formas os gráfcos e posção e velocae angular apresenam uma smlarae basane ala. Comparano eses gráfcos com os gráfcos e θ1 é possível perceber que caa elo execua um movmeno ferene, que requer varação e velocae e aceleração ferenes ambém. Fgura 15 Múlplos ponos usano nerpolação lnear com exremaes parabólcas. DEFININDO A VELOCIDADE NO PONTO A nerpolação lnear com exremaes parabólcas perme, por meo e cálculos aconas, efnr a velocae angular as junas nos ponos nermeáros e uma rajeóra, mas evo a sua complexae esa écnca não será aboraa. Já, para o polnômo cúbco, o 17

18 equaconameno é mas smples e esá exbo no Quaro 10. Foram usaos quaro parâmeros (a 0 aé a 3 ) para smplfcar a vsualzação. θ θ & 3 ( ) = a + a. + a. + a ( ) = a +.a. + 3.a. 1 3 ( ) =.a 6.a. & θ& + 3 a 0 a1 a a 3 = θ = θ & 3 = ( θ θ ) 3 f θ& f θ& = & f f 1 ( θ θ ) + ( θ& + θ ) Quaro 10 Equações para polnômo cúbco com velocae no pono. Analsano os parâmeros noa-se que além a posção ncal (θ ), posção fnal (θ f ) e empo e eslocameno ( ) evem ser fornecas as velocaes angulares ncal ( θ & ) e fnal ( θ & f ). Se as velocaes angulares ncal e fnal forem nulas obém-se o polnômo cúbco apresenao anerormene. Deve fcar claro que o prmero movmeno e um camnho e múlplos ponos em velocae ncal nula e que o úlmo movmeno em velocae fnal nula. Nos emas a velocae fnal e um recho é gual a velocae ncal o recho segune. As equações apresenaas são para apenas uma juna. Para ssemas com mas junas é possível efnr a velocae angular e caa uma elas separaamene. Esa efnção e velocaes poe ser fea e város moos. Poe-se opar, por exemplo, pela eermnação auomáca usano alguma heurísca que manenha uma aceleração consane nos ponos nermeáros. Oura forma epene a escolha e velocaes caresanas no pono (Vx e Vy) que rão refler em velocaes angulares nas junas. A Fgura 16 mosra o resulao a movmenação pelos ponos a Tabela com a velocae as uas junas confguraas para 0º/s. No plano XY a rajeóra oma uma forma ferene a observaa na Fgura 13 para possblar que a velocae angular programaa seja anga. Do lao reo, no gráfco e velocae, observa-se que ao fnal e caa movmeno a velocae angular angu o valor e 0º/s. 18

19 Fgura 16 Polnômo cúbco com velocae e 0º/s nos ponos nermeáros. Usar valores muo elevaos faz com que os movmenos sofram eformações para possblar que sejam angas as velocaes angulares programaas. Na Fgura 17 fo usao 60º/s para as uas junas, em oos os ponos nermeáros. Durane a execução é neressane observar o movmeno enre a orgem e o prmero pono. O braço move-se ncalmene em seno conráro para er espaço sufcene para acelerar e angr a velocae angular efna. Fgura 17 - Polnômo cúbco com velocae e 60º/s nos ponos nermeáros. 19

20 O ESPAÇO CARTESIANO A Fgura 18 mosra um movmeno em lnha rea (sragh lne moon) enre os ponos I (níco) e F (fm). O movmeno fo vo em 5 pares, ou seja, há quaro ponos nermeáros enre I e F. Conheceno-se as coorenaas caresanas e caa um eses ponos é possível calcular, por cnemáca nversa, os valores e θ1 e θ necessáros. Y F X I Y X Fgura 18 Movmeno em lnha rea no espaço caresano. A Fgura 18 ambém mosra que a vsão a rajeóra cra nervalos e gual mensão para caa exo, que foram enomnaos e X e Y. Quano menor a mensão eses nervalos mas lnear será a rajeóra. O Quaro 11 mosra um algormo para execuar os cálculos e uma rajeóra no espaço caresano. Noa-se que a cnemáca nversa passa a fgurar enro o loopng e empo. Defnr L1, L, θ 1, θ Ler x, y e =0 Enquano < fazer Incremenar Cálculos Caresanos o Elo (X, Y, Vx, Vy, Ax e Ay) Cnemáca Inversa Cálculos Trgonomércos Cálculos Angulares Cálculos Caresanos o Elo 1 Fm Enquano Quaro 11 Algormo para planejameno e rajeóra no espaço caresano. 0

21 Os cálculos caresanos o Elo efnem a posção, velocae e aceleração o órgão ermnal a caa nsane o movmeno e em caa exo. Na leraura é comum enconrar oura noação para os símbolos, como por exemplo, X & para velocae o elo no exo X e X & para aceleração. As equações esses cálculos epenem a esraéga e movmeno aoaa e serão aboraas aane. A cnemáca nversa, apresenaa nos argos anerores, é responsável por calcular os valores e θ1 e θ para caa coorenaa (X, Y) o movmeno, ou seja, a caa nsane calcula-se os ângulos necessáros para que a posção esejaa seja anga. O Quaro 1 apresena uas equações que poem ser usaas nese cálculo (noe o uso e uma oura noação para a função arco-angene e os argumenos). Como θ1 epene e Sn(θ) e Cos(θ) é óbvo que é necessáro calcular ncalmene θ (que epene e X,,Y, L1 e L). Y L.Sn( θ) θ1 = ArcTan ArcTan X L1 + L.Cos( θ) X θ = ArcCos + Y L1.L1.L L Quaro 1 Cnemáca nversa. Após a cnemáca nversa ober θ1 e θ poe-se calcular o valor nsanâneo as funções rgonomércas que serão necessáras na próxma eapa. O Quaro 13 mosra esas funções. C1=Cos(θ1) S1=Sn(θ1) C=Cos(θ) S=Sn(θ) C1= Cos(θ1+θ) S1= Sen(θ1+θ) Quaro 13 Cálculos rgonomércos. Uma possblae é unr as uas eapas anerores na segune seqüênca e cálculos: θ, C, S, θ1, C1, S1, C1 e S1. A eapa segune consse em calcular as granezas angulares falanes os os elos, que são velocae e aceleração. O Quaro 14 mosra as equações para os cálculos para o exemplo e os graus e lberae. Para faclar a leura o símbolo θ & usao para represenar a velocae angular fo subsuío por Va e o símbolo & θ para represenar a aceleração angular fo subsuío por Aa. 1

22 ( Vx.C1 + Vy.S1 ) Va1 = L1.S ( L1.C1 L.C1).Vx (L1.S1 + L.S1).Vy Va = L1.L.S (Va1+ Va).(C1.Vy S1.Vx) + C1.Ax + S1.Ay L1.C.Va1.Va Aa1 = L1.S (X.Ax + Y.Ay + Vx + Vy Aa = L1.L.S + L1.L.C.Va Quaro 14 Cálculos as velocaes angulares e as acelerações angulares. ) A úlma eapa envolve o cálculo as granezas caresanas o Elo 1, que são posção, velocae e aceleração para caa exo. O Quaro 15 apresena as equações necessáras. X 1 = L1.C1 Y 1 = L1.S 1 Vx1 = L1.S1.Va1 Vy 1 = L1.C1.Va 1 + Ax1 = L1.(C1.Va1 S1.Aa1) Ay1 = L1.(S1.Va1 C1.Aa1 ) Quaro 15 Cálculos caresanos o Elo 1. Deve fcar claro que, se o objevo é apenas envar aos e posção para um robô ou ploar uma magem em uma ela, város cálculos não são necessáros. Teno o valor e θ1 e θ a caa nsane as velocaes e acelerações, ano angulares quano caresanas, são conseqüêncas físcas o movmeno. PROBLEMAS GEOMÉTRICOS NAS COORDENADAS CARTESIANAS O prmero problema geomérco que poe ocorrer quano o planejameno e rajeóra é realzao no espaço caresano esá lgao à forma o espaço e rabalho. Depeneno a mensão os elos e os lmes e movmeno a regão e rabalho possurá convexaes e, essa forma, um movmeno em lnha rea poerá passar por ponos fora a área e rabalho. A Fgura 19 mosra o espaço e rabalho ípco e um robô SCARA com um exemplo e uma rajeóra em lnha rea que não poe ser realzaa. No moelo usao como exemplo em-se L1=L e nenhuma resrção quano aos ângulos máxmos. Isso faz com que a área e rabalho não possua nenhuma convexae. Dessa forma é possível ober qualquer rajeóra relínea enre coorenaas válas.

23 Y X Fgura 19 Problema no movmeno caresano relíneo. Um ouro problema geomérco esá lgao às sngularaes. Quano o braço aproxma-se e uma confguração sngular uma ou mas junas erão suas velocaes aumenaas muo rapamene. Na posção sngular essas velocaes enem ao nfno. Isso poe ser maemacamene verfcao observano-se as equações o Quaro 3. Nas quaro equações o vsor possu S que ange o valor zero quano θ vale 0º ou 180º. Nessas posções os valores e Va1, Va, Aa1 e Aa são levaos ao nfno e, por conseqüênca, ambém os valores e Vx1, Vy1, Ax1 e Ay1. A Fgura 0 mosra um exemplo ípco a execução e um movmeno lnear que passa próxmo e uma confguração sngular. Fgura 0 Movmeno passano próxmo e uma confguração sngular. O movmeno execuao na Fgura 0 va e (0.8, 0.05) para (-0.8, 0.05). O movmeno nca-se com θ1 grano no seno negavo (eneno a angr -90º) e θ grano no seno posvo (eneno angr 180º). Conforme se aproxma a coorenaa (0, 0) é necessáro que θ1 gre rapamene no seno posvo para permr a connuae o movmeno. Quano 3

24 menor o valor e Y para esse movmeno, mas rapamene esse gro em orno a orgem va ocorrer. Se o movmeno passar pela orgem o movmeno sera nsanâneo, ou seja, em um nsane em-se θ1=-90º e no nsane segune em-se θ1=90º, como mosra a Fgura 1. Fgura 1 Movmeno passano em uma confguração sngular. INTERPOLAÇÃO LINEAR Da mesma forma como mosrao no prmero argo, a esraéga mas smples e movmenação é por meo e uma nerpolação lnear. Bascamene as equações são êncas às mosraas para a movmenação lnear no espaço angular. A ferença é que as varáves não são mas angulares e sm caresanas. O Quaro 16 mosra as equações caresanas para nerpolação lnear, ano para o exo X quano para o exo Y. Noa-se que a velocae em caa exo é consane e a aceleração é nula. X Y ( ) ( ) Posção Velocae Aceleração = X + = Y + ( Xf X ). ( Yf Y ). Vx = Vy = ( X X ) f ( Y Y ) f ( ) 0 Ax = ( ) 0 Ay = Quaro 16 Equações caresanas para nerpolação lnear. A Fgura mosra o resulao a movmenação o braço usano as equações o Quaro 16, bem como os gráfcos e posção, velocae e aceleração para o exo Y. Os aos são os mesmos usaos no argo aneror, ou seja, orgem em (1, 0), esno (-0.5, 0.75) e empo e eslocameno e 5 segunos. Noa-se o espaçameno gual enre os ponos urane oo o movmeno, confrmano que o movmeno é lnear no empo (e no espaço). 4

25 Fgura Movmeno com nerpolação lnear no espaço caresano. Na Fgura 3 são mosraos os gráfcos e posção para os ângulos θ1 e θ. Noa-se que enquano os movmenos o elo em X e Y são lneares, os movmenos angulares e θ1 e θ possuem ouras formas. Fgura 3 Gráfcos e Tea1 e Tea. POLINÔMIO CÚBICO A uso e um polnômo cúbco é uma as formas e se evar os choques mecâncos no níco e fm os movmenos. No Quaro 17 esão as equações caresanas que permem que o movmeno em lnha rea seja execuao e manera mas suave. Apenas as equações o exo X esão represenaas. Para ober as equações e Y basa subsur o nome as varáves. Posção X( ) = X ( ) ( ) 3 + Xf X. Xf X. Velocae Vx( ) = ( X ) ( ) f X. Xf X. 6 Aceleração Ax( ) = ( Xf X ) ( Xf X ). 6 3 Quaro 17 Polnômo cúbco caresano (para o exo X)

26 A Fgura 4 mosra, no lao esquero, o movmeno enre (1, 0) e (-0.5, 0.75) em 5 segunos usano o polnômo cúbco. O espaçameno enre os ponos é maor na posção cenral, quano a velocae é maor, enquano que nas exremaes o espaçameno mnu. No lao reo esão os gráfcos e posção, velocae e aceleração em Y (em X a forma é smlar). Fgura 4 Movmeno com polnômo cúbco no espaço caresano. INTERPOLAÇÃO LINEAR COM EXTREMIDADES PARABÓLICAS Esa aboragem maemáca ambém elmna os choques mecâncos o níco e fm o movmeno caresano lnear. O equaconameno é smlar ao que fo apresenao no argo ncal, basano subsur as varáves angulares por suas corresponenes varáves caresanas. Na Fgura 5, à esquera, esá o movmeno no espaço caresano, enquano o lao reo esão os gráfcos e posção, velocae e aceleração em Y (em X a forma é smlar). 6

27 Fgura 5 Inerpolação lnear com exremaes parabólcas no espaço caresano. O conceo e rajeóra e empo mínmo, aborao na prmera pare, ambém poe ser aplcao no espaço caresano, porém não é usual. Se o objevo é realzar movmenos rápos enão o espaço as junas é muo superor ao espaço caresano (para esa confguração e junas roavas). TRAJETÓRIA COM PONTOS INTERMEDIÁRIOS Da mesma manera como ocorreu no espaço as junas, no espaço caresano ambém poe-se realzar movmenos em lnha rea com ponos nermeáros. Na Fgura 6 esão os resulaos obos com nerpolação lnear (normal e com exremaes parabólcas). Fgura 6 Inerpolação lnear (esquera) e nerpolação lnear com exremaes parabólcas (rea). O polnômo cúbco perme a efnção a velocae no pono. Se as velocaes em X e Y são guas a zero o movmeno é realmene uma lnha rea. Caso seja efna alguma velocae o rajeo caresano se eforma. Na Fgura 7 à esquera esá o movmeno com 7

28 velocae nula em oos os ponos. No lao reo fo programaa a mesma velocae em oos os ponos (-0.5 m/s em X e 0 em Y). Fgura 7 Polnômo cúbco sem e com velocae nos ponos. Na Fgura 8 esão os gráfcos e posção, velocae e aceleração em X e Y. Em X poe-se ver que a velocae é e -0.5 m/s no fnal e caa eapa, enquano que em Y a velocae é nula. Fgura 8 Gráfcos e posção, velocae e aceleração. 8

29 COMENTÁRIOS FINAIS O objevo ese exo fo nrouzr os conceos sobre o planejameno e rajeóra, que va muo além o que fo exposo. O moelo explorao, com apenas os graus e lberae, não necessou e equações marcas, mas é possível magnar que o aumeno os graus e lberae faz com que a complexae seja elevaa. Além sso, a aleração os pos e juna o robô ambém levam a granes alerações maemácas. Ouros faores que envolvem o conrole a posção o órgão ermnal não foram aboraos, apesar a grane mporânca. Poe-se car o orque e a nérca que nfluencam foremene o conrole PID que busca maner a rajeóra real o mas próxma possível a rajeóra calculaa. REFERÊNCIAS Crag, J. J., Inroucon o Robocs Mechancs & Conrol, Ason-Wesley Publshng Company, Fu, K. S.; Gonzáles, R. C.; Lee, C. S. G., Robocs: Conrol, Sensng, Vson, an Inellgence, McGraw Hll Book Company, Koren, Y., Robocs for Engneers, McGraw Hll Book Company, Spong, M. W.; Vyasagar, M.; Robo Dynamcs an Conrol, John Wley & Sons, Inc., Paul, R. P., Robo Manpulaors: Mahemacs, Programmng, an Conrol The Compuer Conrol of Robo Manpulaors, Massachuses Insue of Technology (1981), Nnh Prnng,