FORMULAÇÃO GERAL PARA ANÁLISE DINÂMICA DE PLACAS ESPESSAS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO. Wellington Luís Assis Pereira

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1 COPPE/UFRJ FORMULAÇÃO GERAL PARA ANÁLISE DINÂMICA DE PLACAS ESPESSAS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO Wellngon Lís Asss Perera Tese e Doorao apresenaa ao Programa e Pós-graação em Engenara Cvl COPPE a Unversae Feeral o Ro e Janero como pare os reqsos necessáros à obenção o ílo e Door em Engenara Cvl. Orenaores: Webe João Mansr Vâna José Karam Ro e Janero Jno e 9

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3 Perera Wellngon Lís Asss Formlação Geral para Análse Dnâmca e Placas Espessas pelo Méoo os Elemenos e Conorno/ Wellngon Lís Asss Perera. Ro e Janero: UFRJ/COPPE 9. IX 4 p.: l.; 97 cm. Orenaores: Webe João Mansr Vâna José Karam Tese oorao UFRJ/ COPPE/ Programa e Engenara Cvl 9. Referencas Bblográfcas: p Análse nâmca e placas espessas.. Méoo os elemenos e conorno.. Vbração lvre e forçaa. I. Mansr e al. II. Unversae Feeral o Ro e Janero COPPE Programa e Engenara Cvl. III. Tlo.

4 Se e pesse er o algma ecsão na erança qe os alos me earam era peo mas amor mas paz menos gerra menos óo mas ernra mas sncerae mas sça mas galae e ma sére nfna e oras necessaes báscas a manae. Como não f conslao anes e nascer precso conclr qe mes pas não qseram ser sácos colocano-me no mno somene para me ver sofrer a angúsa os empos presenes e com sso sofrerem ana mas. E não evo ser m acene e não creo qe nasc ceo o are e mas. Apenas nasc nm po e mno qe não faz me gênero. Em compensação amo a va como nngém poe magnar. Não vo fcar corano qano mes olos poem sorrr. Não vo gasar mas empo vocferano conra mes pas e conra os alos porqe a va é cra e mas para gasar meae ela em agressões e ora meae em qeas. Eso enano o me eão esqso consrr m mno menos osl aos qe o erarem e mm. Não eno planos não eno proeos não me organze para sso. Teno apenas ma cereza: SEM MIM ISSO NÃO VAI MELHORAR. Comece mna arefa não se qano e começo-a caa a qe vvo. Onem por eemplo e lgar a ma velna no ônbs e segre sa bolsa. Enqano faza sso reze por ela para qe vesse amor pela va como e eno... O MUNDO QUE EU NÃO ENCOMENDEI. Pe. Zezno. Dga ao Mno qe So Jovem. A oas as Pessoas qe acream em ses sonos e ambém Aqelas qe são fores e qe se levanam ane as aversaes a va v

5 Na mna época e graação na UFPA a os anos e conclr o crso na colocao na mna cabeça qe ra fazer mesrao na Unversae Feeral e Oro Preo UFOP e em sega ra fazer oorao no Ro e Janero na COPPE/UFRJ. Confesso qe não so mo nelgene mas sempre procre conzr mna va na manera mas eqlbraa possível em o qe faço nclsve nos esos. Acreo qe Des á a conscênca eaa para caa pessoa... Nem mas nem menos. Acabo qe no fnal a graação me m poco os mes planos e enão resolv fazer algmas scplnas como alno especal na mna nversae pos a sensação qe na era qe falava algma cosa... Não saba bem ao cero o qe sera essa cosa. E epos e ses meses conclí as scplnas e não se passo mo empo conseg rabalo em m escróro e cálclo presano servço. Mas epos e algm empo e não na mas naa para aprener as arefas ornaram-se roneras e sem esafos. Al fqe por qase m ano. Enão resolv reomar os mes sonos large o e f fazer mesrao em Oro Preo e assm qe conclí o crso vm fazer oorao no Ro e Janero. Confesso qe não foram naa fáces essas as fases e mna va mas e algma forma e á saba qe as cosas ram aconecer a forma qe ocorreram... Nem mas nem menos eaamene como magne... A Des pela força pela saúe pelo enenmeno pela sabeora pelo crescmeno por fm pela mssão cmpra; À mna famíla pelo encoraameno e apoo por mas essa fase e mna va; Aos mes orenaores Prof. Webe João Mansr e Profª. Vâna José Karam pela amzae opornae e confança qe eposaram em mna pessoa; Ao Prof. José Anôno Marqes Carrer por er me aceo para orenação no níco o oorao e ao Prof. Lz Fernano Tabora Garca por me aar e encoraar nas fases e fclae a ese; Aos amgos qe me receberam e braços aberos aq no Ro e Janero: Cláo José Marns Cleberson Dors Leonaro Pnero e Jan Marce; A oos os amgos as qe fz no Ro e Janero as como: Beneves Xaver C Monero Dense Cosa Emno Gmarães Érka Cosa Fernana Melbac Pablo Enrqe Paríca Scroeer Ivone Araúo Káa Ináco Leanro D Barolo Leonaro Mers Ls Alvarño Maranne Horn Palo Roca Tlene Falcão ec. Ao CNPq pela aa fnancera. v

6 Resmo a Tese apresenaa à COPPE/UFRJ como pare os reqsos necessáros para a obenção o gra e Door em Cêncas D.Sc. FORMULAÇÃO GERAL PARA ANÁLISE DINÂMICA DE PLACAS ESPESSAS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO Wellngon Lís Asss Perera Jno/9 Orenaores: Webe João Mansr Vâna José Karam Programa: Engenara Cvl O presene rabalo esenvolve ma formlação geral para análse nâmca e placas espessas baseaa na eora e Ressner. O prncpal obevo é mosrar a nflênca e novos ermos as como a ranslação nercal nas resposas os problemas qano a espessra amena. Assm o Méoo os Elemenos e Conorno é lzao para screzar o espaço e para a marca no empo os operaores e Hobol o Dferença Cenral são saos. A parr o conno e eqações negras o ssema é resolvo smlaneamene para o conorno e o omíno. Para mosrar a mporânca esses ermos m conno e eemplos é resolvo e os reslaos são comparaos com as solções enconraas na lerara para os casos e vbração lvre e forçaa. v

7 Absrac of Tess presene o COPPE/UFRJ as a paral flfllmen of e reqremens for e egree of Docor of Scence D.Sc. A GENERAL FORMULATION FOR DYNAMIC ANALYSIS OF THICK PLATES BY BOUNDARY ELEMENT METHOD Wellngon Lís Asss Perera Jne/9 Avsors: Webe João Mansr Vâna José Karam Deparmen: Cvl Engneerng Te presen work evelops a general formlaon for namc analss of ck plaes base on e Ressner s eor. Te man obecve s o sow e nflence of new erms sc as e ranslaonal nera on e resls of e problems as ckness ncreases. Ts e Bonar Elemen Meo s se o screze e space wle for e me; e Hobol or e Cenral Dfference operaors are se. Ten a ssem of eqaons s solve for bonar an oman smlaneosl. To verf e mporance of ese erms a se of eamples s solve an e resls are compare w e solons fon n e lerare for e cases of free an force vbraon. v

8 Smáro Inroção.... Movação e Obevo.... Revsão Bblográfca.... Escopo o Trabalo... 6 Formlação as Eqações o Movmeno para a Teora e Ressner Inroção Formlação o Problema Epressões os Esforços Reslanes Eqação Dferencal o Movmeno... 7 Eqações Inegras o Problema.... Inroção.... Conserações Geras a Formlação.... Conções e Conorno Eqação Inegral o Méoo os Elemenos e Conorno Conserações prelmnares Eqação negral básca Solção Fnamenal Deslocamenos generalzaos Forças e sperfíce generalzaas Snglaraes os ensores Transformação as Inegras as Forças e Domíno em Inegras e Conorno Esforços em Ponos Inernos: Momenos e Coranes Implemenação Nmérca Inroção Eqações Inegras Dscrezaas Elemenos o Conorno Elemeno qaráco soparamérco coníno Elemeno qaráco soparamérco esconíno v

9 4.4 Desconnae a Normal o as Conções e Conorno Ulzação e nó plo Ulzação e elemeno esconíno Célla Inerna Pono snglar sao em m os vérces a célla Pono snglar sao em m os laos a célla Pono snglar sao no neror a célla Esforços Inernos Solção Dnâmca o Problema Inroção Ssema as Eqações Inegras Caso e Vbração Lvre Caso e Vbração Forçaa Méoo e Hobol Méoo e Dferença Cenral Eemplos Nmércos Inroção Caso Degenerao e Placa Vbração Lvre Vbração Forçaa Placa reanglar Placa qaraa Placa crclar Eso Paramérco... 7 Conclsões e Proposas Conclsões Proposas para Connae o Trabalo... 8 Referêncas Bblográfcas... 9 Apênce A... 5

10 Inroção. Movação e Obevo A qanae e esrras bmensonas em nossa vola é enorme. Se olamos para cma para bao o para os laos sempre remos nos eparar com m elemeno e placa. E epeneno o plano em qe as forças aem a sposção esas forças poe vr a mofcar a sa fnconalae. Uma manera clara e se ver sso é observano os pavmenos e préos as arqbancaas e esáos e febol as parees o cofre e bancos os psos e plaaforma offsore e peróleo as psas e pones roováras ec. Para o elemeno ser raao como placa ese eve possr ma as mensões peqena em relação às emas e esa mensão menor caracerza a sa espessra. Va e regra qano a relação enre a espessra e a menor mensão laeral a placa é menor o gal a.5 classfca-se esa como elgaa o fna. Já qano essa relação esver por vola e. a placa eve ser raaa como moeraamene espessa e para relações maores enomna-se como espessa o grossa. Vale ressalar qe essas relações não são rgorosas e qe algns aores conseram oros lmes para essas classfcações.

11 Nos as e oe o omem em à sa sposção ferramenas compaconas qe o alam no esenvolvmeno e formlações e écncas nmércas para análse e város problemas. Mas ese é m camno pracamene eórco e qano alao a análse epermenas orna-se ão mporane qe os csos para realzar os ensaos poem vr a ser peqenos. Assm o obevo ese rabalo é esenvolver ma formlação geral para análse nâmca e placas espessas lzano a eora e Ressner com a screzação espacal fea com o Méoo os Elemenos e Conorno e empregano para a marca no empo os operaores e Hobol o Dferença Cenral.. Revsão Bblográfca Para a análse e fleão e placas esem váras eoras seno as mas conecas e lzaas as segnes: eora e Krcoff ambém coneca como eora e Krcoff-Love o eora clássca; eora e Mnln e eora e Ressner. A eora e Krcoff poe ser enconraa em TIMOSHENKO e WOINOWSKY-KRIEGER 959 e SHAMES e DYM 985 one ambém se enconra a eora a elascae básca. A eora e Krcoff não consera a eformablae por csalameno ransversal e se lma a placas elgaas. A eora e Ressner fo apresenaa em rês argos pblcaos na écaa e 94. O prmero REISSNER 944 esabelece m ssema e eqações ferencas e sea orem para o problema lnear e fleão e placas fnas. Já no segno REISSNER 945 o efeo a eformablae por csalameno ransversal na fleão e placas eláscas elgaas é nvesgao. Ese rabalo abora o problema e placas reanglares one é esaa a fleão e a orção pra e ma placa nfna com fro no cenro. No ercero

12 REISSNER 947 o prncpal obevo é mosrar qe para m ao ssema e eqações ferencas é possível sasfazer rês conções e conorno em vez e as apenas como esabelece a eora clássca e Krcoff. A eora e Ressner consera porano as eformações csalanes ransversas e perme a análse e placas espessas. Dano m enfoqe nâmco conseram-se os argos e Mnln qe aboram a eora e placa moeraamene espessa. Incalmene MINDLIN 95 ncl os efeos as nércas e roação e a eformablae por csalameno ransversal para análse e fleão e placas eláscas sorópcas revelano qe são necessáras rês conções e conorno por boro. A segr com base na mesma lna os esos anerores MINDLIN e al. 956 apresenam ma análse especal para os moos e as freqüêncas elevaas e vbração governaa pelos ermos nercas e roação. Verfca-se qe na eora e Krcoff as roações nercas não aparecem nas eqações ferencas. Noa-se ambém qe nessa eora são sasfeas apenas as conções e conorno por boro seno saa ma conção e conorno únca qe engloba o esforço corane e o momeno orsor envolveno a camaa força corane efeva e são geraas reações nos canos apoaos. Já na eora e Mnln os ermos nercas e roação aparecem nas eqações seno possível sasfazer rês conções e conorno. Esa eora consera m faor κ nas epressões os esforços coranes para levar em conseração a srbção a eformação por csalameno ao longo a espessra a placa. No rabalo e DAWE 977 m méoo baseao nessa eora é sao em conno com o moelo e faa fna para resolver o problema e vbração lvre one são esaos város valores o faor κ para aeqar as resposas em freqüênca à solção a elascae. Para análse e vbração lvre esacam-se os rabalos e LEISSA 969 SRINIVAS e al. 97 CHEUNG e CHAKRABARTI 97 DAWE e

13 ROUFAEIL 98 MIKAMI e YOSHIMURA 984. No prmero enconra-se ma pesqsa eensa sobre a vbração lvre e placas fnas ano no âmbo eórco como no epermenal. No segno rabalo os aores propõem ma solção eaa para placa reanglar smplesmene apoaa cas freqüêncas são obas a parr a solção e ma eqação ranscenenal. Em sega os pesqsaores apresenam ma meoologa para o problema e vbração one lzam váras camaas para represenar a espessra e placas reanglares apoaas aravés o Méoo as Camaas Fnas FLM. No qaro rabalo os pesqsaores empregam a eora e Mnln para análse a vbração e Raleg-Rz one são apresenaos város problemas sob conções e conorno versas seno ambém analsao o faor e csalameno essa eora. Já no úlmo é esenvolva ma meoologa para análse e placa reanglar e Mnln sano o Méoo a Colocação. A área epermenal é mo mporane para valar as eoras e para o caso e vbração lvre e placas elgaas PLUNKETT 96 apresena bons reslaos a freqüênca naral para placas reanglares sob a conção e conorno engase-lvre aravés e epressões smples com base na eora e vgas ncano qe as formas moas e placas com espessras não nformes possem moos mo compleos e assm ma qanae grane e ermos poe ser saa para qalqer análse e vbração. Além esse WALLER 95 obém algmas formas moas para placas com geomera penagonal e eagonal reglares sob a conção e conorno compleamene lvre. Observa-se qe ese ma qanae maor e rabalos sano a eora e placas e Mnln o qe lzano a eora e Ressner. No âmbo e problemas nâmcos e placas com a aação e forças eernas BAUER 968 apresena algmas solções para análse e placas fnas para ober resposas o po não lnear evo a cargas mplsvas em ermos o eslocameno apenas. LEE e REISMANN 969 lzam a eora a 4

14 elascae rmensonal para resolver problemas e placa moeraamene espessa sea a ma carga nforme sbamene aplcaa sobre ma regão. ROCK e HINTON 974 fazem a análse e vbração lvre e ransene para ober as resposas e placas fnas e espessas sano o Méoo os Elemenos Fnos MEF. FOTIU e al. 994 apresenam o Méoo os Elemenos e Conorno MEC para resolver problemas e placas elgaas seno a fnção e Green va em as pares: ma nâmca e ora qase esáca. Segno a lna as eqações negras SLADEK e al. fazem o so e formlações para as eqações negras e conorno local LBIE baseaas em screzação sem mala Mesless para placas fnas. Esem mos argos qe poem ser enconraos na lerara para resolver o problema e placas fnas e espessas fazeno so o Méoo os Elemenos e Conorno as como BESKOS 987 PROVIDAKIS e BESKOS 989a PROVIDAKIS e BESKOS 989b. Além eses êm-se ana os rabalos e BESKOS 99 PROVIDAKIS 996 PROVIDAKIS e BESKOS 999 PROVIDAKIS e BESKOS. Para análse e problemas geras as áreas e nâmca as esrras e e propagação e onas poem-se car: MORSE e FESHBACK 95; BIGGS 964; MALVERN 969; GRAFF 975; MANSUR 98; BREBBIA e al. 984; PAZ 99; RAO 995; PAZ 997; COOK e al.. No Programa e Engenara Cvl a COPPE/UFRJ PEC esem as eses esenvolvas com base no Méoo as Dferenças Fnas Energécas MDFE para resolver o problema nâmco e placas espessas a saber GRAÇA e MITTELBACH 7. Ambos os rabalos lzam a eora e Mnln. A prmera proposa é aplcável somene para casos e geomera reanglar. Já a segna é aplcável aos problemas assmércos seno saa na formlação a fnção e Green para a marca no empo. 5

15 O presene rabalo é ma eensão as pesqsas ncaas por KARAM 986 e KARAM 99 ambas esenvolvas no PEC. O prmero rabalo é formlao para a análse esáca e placas espessas lzano a eora e Ressner com o MEC. O segno ambém sa a mesma meoologa one é fea ma connação as pesqsas seno esenvolva a análse com não lnearae o maeral empregano céllas ranglares consanes para a vsão o omíno. Para o caso e céllas ranglares lneares cam-se os rabalos e CARRER 99 CARRER e MANSUR 996 e SOUZA e al. 4. Vale ressalar qe ese rabalo é o prmero esenvolvo no PEC qe lza o Méoo os Elemenos e Conorno para análse nâmca e placas espessas represenano ma conrbção na formlação e mplemenação a análse nâmca e placas espessas. Na formlação o presene rabalo consera a eora e Ressner para fleão e placas e nclí ma parcela a mas nas eqações negras para eslocamenos e nas eqações negras os esforços referene à conrbção os ermos e ranslação nercal em relação ao rabalo e PROVIDAKIS e BESKOS qe conseram a eora e Ressner-Mnln. Na mplemenação compaconal o conorno é screzao em elemenos qarácos com geomera lnear poeno ser coníno o esconíno e o omíno é vo em céllas ranglares consanes ambém com geomera lnear seno as varáves o problema calclaas no cenro geomérco e caa célla.. Escopo o Trabalo No Capílo ma formlação geral nâmca para análse e placas espessas é apresenaa com base na eora e Ressner. 6

16 Em sega no Capílo as eqações negras relaconaas com a formlação geral o capílo aneror são ezas a parr o Segno Teorema e Be a fm e serem lzaas no Méoo os Elemenos e Conorno MEC. Eqações negras para eslocamenos em ponos o omíno e o conorno são obas bem como eqações para momenos e esforços coranes em ponos o omíno. O Capílo 4 raa a mplemenação nmérca as eqações negras obas no capílo aneror. Uma screzação espacal é necessára. Nese caso o conorno é screzao em elemenos com apromação qaráca poeno ser conínos o esconínos e o omíno é vo em céllas ranglares consanes. As eqações negras são escras em forma screzaa ano para eslocamenos em ponos o conorno o o omíno como para esforços em ponos o omíno. No Capílo 5 conserano-se as eqações negras screzaas e eslocamenos para oos os ponos o conorno e para os ponos conseraos o omíno mona-se m ssema e eqações qe envolvem o conorno e o omíno smlaneamene. Além sso os operaores e Hobol o Dferença Cenral são lzaos para a screzação o empo e o ssema e eqações poe ser resolvo para a obenção as ncógnas e eslocamenos e forças e sperfíce. Para valar a proposa o rabalo o Capílo 6 apresena város eemplos e os reslaos são comparaos com as resposas enconraas na lerara para análse e vbração lvre e e vbração forçaa e placas. E por fm o Capílo 7 apresena algmas conclsões sobre a conseração os ermos e ranslação nercal na eora e Ressner. Além sso são sgeros algns emas para pesqsas em connae a esa ese. 7

17 Formlação as Eqações o Movmeno para a Teora e Ressner. Inroção O presene capílo em como obevo esenvolver ma formlação geral para análse lnear nâmca e placas espessas one a eora e Ressner é empregaa namene com as eqações o movmeno ornas a eora a elascae rmensonal.. Formlação o Problema Uma placa é m elemeno esrral em qe ma as rês mensões a espessra é peqena qano comparaa com as oras as em sperfíce méa plana sbmeo a cargas ransversas à sperfíce méa poeno er ambém além esas cargas no plano a sperfíce méa. Serão conseraas nese rabalo placas lnearmene eláscas omogêneas e sorópcas com espessra consane e sbmea a m carregameno ransversal q q por nae e área seno e as coorenaas caresanas amas na sperfíce méa e a varável empo. 8

18 Na Fgra. represena-se a placa com o ssema e referênca aoao. z q q Fgra. - Ssema caresano aoao para a formlação a placa. As eqações o movmeno a eora a elascae rmensonal são escras em ermos os eslocamenos reas v e w na forma: o o o σ τ τ z z ρ o.a τ σ τ z z v ρ o.b τ z τ z σ z z w ρ o.c para m maeral sorópco one ρ é a massa específca o maeral ama consane σ σ e σ z são as ensões normas e τ τ z e τ z são as ensões csalanes. Na formlação são conseraas as smeras as ensões csalanes. Pela eora a Elascae as eqações consvas qe caracerzam o comporameno o maeral a placa poem ser escras aravés as segnes relações: 9

19 [ z o E σ σ σ ].a [ z o E v σ σ σ ].b o o G v τ.c z o o G w z τ. z o o G w z v τ.e com / E G esgnano o mólo e elascae ransversal o csalane seno o mólo e elascae longnal e E o coefcene e Posson o maeral a placa. Deve-se observar qe a eformação na reção o eo é esprezaa. z Na epressão. as ensões poem ser eplcaas em ermos as eformações efnno as relações ensão-eformação como sege: z o o v E σ σ.a z o o v E σ σ.b v E o o τ.c w z E o o z τ. w z v E o o z τ.e De acoro com a eora e Ressner REISSNER 944 são amas para as componenes as ensões e fleão srbções lneares as ensões ao longo a espessra a placa efnas como:

20 σ Mz ; σ M z ; τ Mz.4 Devo às póeses aoaas as conções e conorno em sea para as sperfíces speror e nferor a placa são aas por: z ±/ o σ z ± q / ; τ τ.5 z z Segno REISSNER 945 os eslocamenos generalzaos poem ser represenaos por ma méa poneraa sobre a espessra a placa envolveno os eslocamenos reas v e w aravés as segnes epressões: o o o / θ ozz ; / / / z θ vozz ; / w wo z.6 / Em REISSNER 945 as epressões em.6 são obas aravés o Prncípo e Casglano para problemas esácos one conções e compablae são nrozas na análse. Uma aboragem ferene é fea por GREEN 947 qe lza a galae enre os rabalos os esforços reslanes sobre os eslocamenos poneraos e os rabalos as ensões sobre os eslocamenos reas. Na Fgra. mosra-se m elemeno nfnesmal e placa em eqlíbro para o qal são ncaos os esforços reslanes na sperfíce méa o carregameno aplcao e as forças e nérca. Ame-se na formlação qe as faces speror e nferor a placa são lvres e forças csalanes enqano qe a ensão normal σ é aa em fnção as coorenaas e z one a z reslane as ensões e sperfíce σ z é balanceaa por ensões srbías sobre o conorno clínrco a placa.

21 q / z / M M Q M ρ & θ Q Q M M M M θ & ρ ρ w& Q M Q M Q M M M / q / Fgra. - Elemeno nfnesmal e placa em eqlíbro. Com base nessas conserações as eqações ferencas para o problema são obas aravés o eqlíbro o elemeno nfnesmal e e acoro com o prncípo e D Alember rês eqações são esabelecas qe represenam o eqlíbro e momenos em relação aos eos e bem como o e forças em relação ao eo z. Assm esprezano as forças e massa como o peso própro essas eqações são aas como: M M ρ Q & θ.7a M M Q ρ & θ.7b Q Q q ρ w&&.7c

22 one os os ponos represenam a segna ervaa em relação ao empo. Nessas eqações os momenos e fleão por nae e comprmeno são esgnaos por M e M e os momenos orsores ambém por nae e comprmeno aos por M enqano Q e Q são os esforços coranes por nae e comprmeno. A galae os momenos orsores M e M ambém é conseraa na formlação. As oras varáves envolvas são os eslocamenos generalzaos seno θ e θ as roações as normas à sperfíce méa nos planos z e z respecvamene e seno w a efleão vercal. τ z e τ z Para se eermnar as componenes as ensões csalanes ransversas conseram-se as eqações ferencas o movmeno.a e.b respecvamene. Para ano as epressões em.4 são lzaas e com o aílo as as eqações ferencas e eqlíbro.7a e.7b e ana com as as prmeras epressões em.6 cega-se a as epressões qe epos e negraas e observano-se a segna conção e conorno.5 fornecem as segnes epressões: τ τ z z z z Q Q.8 A ensão normal σ z é oba a parr a úlma eqação ferencal o movmeno.c com o aílo as as epressões aas em.8 namene com a úlma eqação em.7 e a úlma epressão em.6. Obém-se assm ma epressão qe epos e negraa e ana observanose a prmera as conções e conorno nas faces speror e nferor a placa represenaas por.5 resla:

23 z z σ z q z ρw&&.9 Nas epressões as componenes e ensão presenes em.8 noa-se qe os ermos nercas evo às nércas roaconas não aparecem. Iso ocorre evo ao fao as mesmas se cancelarem naralmene ao longo o esenvolvmeno ao conráro a epressão.9 co ermo a nérca ranslaconal fca evene. Na eora e placas fnas póese e Krcoff a ensão normal σ z é esprezaa pos ela é conseraa peqena em relação às emas componenes. Assm é plasível qe as roações nercas não apareçam nas epressões e placas elgaas mas o ermo e ranslação nercal evera ser ncorporao à formlação à mea qe a placa se ornasse espessa. A segr serão eermnaas as epressões os esforços reslanes: momenos fleores momenos orsores e esforços coranes para a presene formlação.. Epressões os Esforços Reslanes Para ober as epressões os esforços reslanes sbsem-se as rês prmeras epressões. em.4 a segr mlplcam-se as eqações obas por zz/ e realzano a negração enre z / e z / meane o aílo as as prmeras epressões em.6 cega-se às epressões os momenos reslanes fnção apenas os eslocamenos generalzaos w θ e θ como a segr: M θ θ ρ D q w& 6.a 4

24 M M θ θ ρ D q w& 6 D θ θ.b.c com E D seno efno como a rgez fleonal a placa. Para a eermnação as epressões os emas esforços sbsem-se. e.e em.8 a segr mlplcam-se as eqações obas por [ z / ] z / e negrano-se enre z ± / meane o aílo a úlma eqação em.6 obêm-se: Q Q 5 w D θ. 5 w D θ.e Os senos posvos os esforços reslanes conseraos nese rabalo são mosraos na Fgra. na sperfíce méa o elemeno e placa nas faces e reção normal posva o mesmo. Q z Q M M M M Fgra. - Senos posvos os esforços reslanes na sperfíce méa: momenos e coranes. 5

25 Para se eermnar os valores as varáves o problema em oro ssema e eos consere-se m ssema e coorenaas n s seno o eo n na reção normal eeror ao conorno e o eo s na reção angencal como mosrao na Fgra.4. Enão as roações e os esforços reslanes em relação a esse ssema e coorenaas conserano-se ma roação e eos são obos aravés as segnes epressões: θ n θ cos θ sen θ s θ sen θ cos M M cos M cos sen M sen n M s M sen M cos sen M cos. M ns M cos sen M M cos sen Q Q cos Q sen n Q Q sen Q cos s one é o ânglo formao enre os eos e n. z s n Fgra.4 - Ssema e coorenaas n s conserao a parr a roação e eos. 6

26 As epressões. namene com as eqações.7 serão a base para o emprego o Méoo os Elemenos e Conorno para análse nâmca e placas nese rabalo como será vso no esenvolvmeno o prómo capílo..4 Eqação Dferencal o Movmeno A parr a formlação aq apresenaa ma eqação ferencal o movmeno poe ser esabeleca fnção apenas os eslocamenos generalzaos w θ e θ. As epressões os esforços reslanes reapresenaas a segr são manplaas a fm e se ober ma eqação ferencal o movmeno. w q D M & & 5 ρ θ θ. w q D M & & 5 ρ θ θ. D M θ θ.4 w D Q θ 5.5 w D Q θ 5.6 Para ano escrevem-se as epressões.5 e.6 a segne manera: Q E w 5 θ.7 Q E w 5 θ.8 7

27 Conserano as ervaas as epressões.7 e.8 em relação a e obêm-se as segnes eqações ferencas: Q E w 5 θ.9 Q E w 5 θ. Q E w 5 θ. Q E w 5 θ. Sbsno essas relações em.. e.4 conserano.7c cega-se a w q Q w w D M && 6 5 ρ. w q Q w w D M && 6 5 ρ.4 Q Q w D M.5 Dervano as epressões..4 e.5 em-se w q Q w w D M && 6 5 ρ.6 Q Q w D M.7 Q Q w D M.8 8

28 w q Q w w D M && 6 5 ρ.9 qe sbsías nas eqações.7a e.7b fornecem as eqações: Δ Δ w q w D Q Q θ ρ && && Δ Δ w q w D Q Q θ ρ && && seno Δ. Seam as ervaas a eqação.7c aé a segna orem em relação a e : w q Q Q & & ρ. w q Q Q && ρ.4 A soma e. e.4 resla na segne relação: w w q q Q Q Q Q && && ρ.5 A segr ervam-se. e. respecvamene em relação a e obeno-se: 9

29 4 4 4 q w w D Q Q Q w θ ρ & & && q w w D Q Q Q w θ ρ && && Em sega somano-se.6 e.7 obém-se a segne eqação: Q Q Q Q Q Q q q w w w D w w θ θ ρ ρ && && && && Fnalmene sbsno.7c e.5 em.8 obém-se a eqação ferencal o movmeno para placas espessas: q q w w w D Δ Δ Δ Δ 5 ρ θ θ ρ ρ & & && && & &.9 Com base nesa eqação algmas écncas nmércas poem ser empregaas para análse o problema como por eemplo: Méoo e Dferenças Fnas Méoo os Elemenos Fnos Méoo os Resíos Poneraos ec.

30 Observa-se qe se as as úlmas parcelas o lao esqero e.9 namene com a segna o lao reo forem esprezaas cega-se à eqação ferencal a nâmca e placas elgaas. Algmas análses poem ser feas com base nesa úlma eqação como por eemplo o campo e nflênca a nérca e roação. Para elmnar essas ncógnas a formlação consera-se a ação e.9 e. e conseqenemene a ferencação segna no empo qe após a sbsção em.9 fornece como reslao fnal: D Δ Δ w ρ 7 6 ρ ρ w & ρ &&&& w Δ w && & q q Δ q 5 E 5.4

31 Eqações Inegras o Problema. Inroção Nese capílo mosra-se o esenvolvmeno para obenção as eqações negras para resolver o problema nâmco lnear e placas espessas conserano as eqações apresenaas no capílo aneror. Esas eqações negras serão obas a parr o Segno Teorema e Be e serão saas na resolção o problema pelo Méoo os Elemenos e Conorno.. Conserações Geras a Formlação Por convenênca no ranscorrer esa seção e as prómas será lzaa ma noação ncal represenano-se por leras gregas os ínces qe varam e a e por leras romanas os ínces qe varam e a. Com sso as rês eqações e eqlíbro e as cnco epressões os esforços reslanes apresenaas no capílo aneror poem ser escras em noação ncal ; β; γ conforme se sege:

32 a Eqações e eqlíbro M Q β β Q ρ q ρw θ.a b Epressões os esforços reslanes M Q β ˆ ρ Mβ q w δ λ 6 D λ θ w β.b seno λ / m parâmero caracerísco as eqações e Ressner e β δ o ela e Kronecker. Nesas eqações os os ponos represenam a segna ervaa as varáves prmáras em relação ao empo. Na epressão e M β em.b o momeno Mˆ β é escro na forma: M ˆ β D θ β θ β θγ γδβ. Além sso as epressões as eformações específcas generalzaas em fnção os eslocamenos generalzaos a placa qano se lza a eora lnear são aas como se sege: a Deformações específcas e fleão θ θ.a χ β β β

33 b Deformações específcas csalanes ransversas w.b ϕ θ Vale ressalar qe na eora clássca e placas eora e Krcoff as eformações csalanes ransversas e as nércas roaconas não são conseraas o qe conz a ma mprecsão as resposas os valores os moos mas elevaos e vbração MINDLIN 95. Haa vsa qe o campo e eslocamenos é ecao pelos prmeros moos enqano qe os maores moos são esperaos pelos esforços nernos.. Conções e Conorno A presene formlação ncorpora rês conções e conorno por boro as qas poem ser prescros em caa ma as rês reções generalzaas o eslocameno o a força e sperfíce corresponene. Represenano por Γ o conorno oal a placa e camano Γ o conorno one os eslocamenos generalzaos θ e w são prescros e Γ p one as forças e sperfíce generalzaas p e p são prescras em-se: Em Γ : θ θ w w.4 Em Γ p : p p p p.5 com 4

34 p p M Q β β n n β β.6 one n β são os co-senos reores a normal eeror ao conorno..4 Eqação Inegral o Méoo os Elemenos e Conorno Sea m sólo qalqer em eqlíbro one se esea eermnar o campo e eslocamenos e m meo elásco. Assm para o presene problema em-se ma placa efna por m omíno represenao pela sperfíce méa e m conorno Γ represenao pela lna qe conorna a placa com espessra consane e sea a m carregameno q por nae e área aano em segno a regão acraa a Fgra.. q q Fgra. - Regão qe efne o problema e placa espessa. Γ Anes e realzar o esenvolvmeno as eqações negras algmas conserações evem ser feas; para sso m campo e eslocamenos generalzaos é efno assm como o conorno e o omíno e neresse. 5

35 .4. Conserações prelmnares Por convenênca os eslocamenos generalzaos θ e w efnos no níco ese capílo serão represenaos por e o ana genercamene como k. Sea o omíno represenao pela sperfíce méa a placa e sea Γ o conorno corresponene. Assm no neror e conseram-se as segnes conções ncas:.7a k k k.7b k k v k e as conções e conorno prescras sobre Γ para as rês reções generalzaas a placa efnas por: k k em Γ p k p k em Γ p.8a.8b seno Γ Γ.8c Γ p Sea ana m omíno eerno ao prmero com m conorno Γ corresponene ambém em eqlíbro e coneno a refera placa ver Fgra.. 6

36 seno e negração Γ Γ Fgra. - Domíno compleo o problema. As eqações conseraas nas respecvas regões são aas a segr. a Na regão Γ : Deslocamenos: k Forças e sperfíce: p k seno p p M Q β n n β.9 Deformações específcas: χ ϕ β β. Esforços: M Q β ˆ ρ Mβ q δ λ 6 D λ β. 7

37 8 Eqações e eqlíbro: q Q Q M ρ ρ β β.a seno β γ γ β β β δ ˆ D M.b b Na regão Γ : Deslocamenos: k Forças e sperfíce: k p seno β β n Q p n M p. Deformações específcas: β β ϕ χ.4 Esforços: ˆ ˆ β β Q Q M M.5

38 9 Eqações e eqlíbro: F Q F Q M β β.6a seno ˆ ˆ β γ γ β β β λ δ D Q D M.6b Os esforços generalzaos F e F são conseraos para a obenção a solção fnamenal e se relaconam com as forças f e f esenes nos ponos saos ao longo a espessra a segne forma: F f F f.6c.4. Eqação negral básca Nesa seção o Segno Teorema e Be é sao para se ober a eqação negral lzaa no MEC. Incalmene consera-se a regão Γ one a prmera as epressões em. é escra na forma: β β β δ ρ λ 6 ˆ q M M.7

39 E seam as segnes epressões os esforços M ˆ C χ ; β βγθ γθ M C β βγθ χ γθ.8 Q ϕ β C β θ θ Q C β β θ ϕ θ relaconaas às componenes o ensor e qara orem e consanes eláscas C βθ para o caso e maeral sorópco. Porano conserano as epressões em.8 e a propreae e smera as consanes eláscas C C poe-se escrever: βθ βθ M ˆ χ Q ϕ χ M ϕ Q β β β β γθ γθ θ θ E ana conserano.7 ρ M β q δβ χβ Qβϕβ χγθ Mγθ ϕθqθ λ 6 e alerano os ínces o lao reo a galae obém-se: ρ M β q δβ χβ Qβϕβ χβ Mβ ϕq λ 6 Assm reagrpano os ermos e negrano no omíno em-se Mβ χβ Qϕ Mβ χβ Qϕ ρ q δ β χβ.9 λ 6 A segr sbsno. e.4 na epressão.9 em-se:

40 q Q M Q M 6 β β β β ρ λ e negrano por pares em ambos os laos com o aílo o eorema a vergênca obém-se: Γ Γ Γ Γ Q n Q Q M n M β β β β Γ Γ Γ Γ Q n Q Q M n M β β β β q 6 λ ρ λ. Agora conserano as epressões.9 e. e ana as eqações e eqlíbro.a e.6a a epressão. fca na forma: Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ q q p p F p F p 6 λ ρ λ ρ ρ Agrpano enão os ermos semelanes cega-se à segne galae: Γ Γ Γ Γ q p p p p F F λ 6 λ ρ ρ ρ. Assm escreveno a eqação acma na forma geral para as rês reções generalzaas cega-se a

41 Γ Γ Γ Γ q p p F ρ λ 6 λ ρ ρ.. Para a eermnação a eqação negral a ser saa no MEC conserase qe as forças e omíno generalzaas F poem ser represenaas por: e F δ. one δ é ma fnção generalzaa camaa ela e Drac com snglarae em e em-se ana o veor náro e efno para as rês reções. A fnção ela e Drac em a segne propreae: se se δ f f. Conserano. e as propreaes aas em. a negral e omíno o lao esqero em. com perencene à regão orna-se e e e F δ δ.4 Logo com base em. a eqação.4 poe ser escra como: F.5 Desa forma se a força generalzaa nára aar nepenenemene poem-se escrever as segnes relações:

42 e e p p e.6 Nas epressões.6 as varáves apresenaas poem ser efnas como se sege: é o pono e aplcação as cargas concenraas generalzaas náras ambém camao e pono fone; é o pono one são observaos os efeos as cargas náras aplcaas esgnao por pono campo; é o eslocameno generalzao na reção o pono corresponene a ma força generalzaa concenraa nára aplcaa na reção o pono ; p é a força e sperfíce generalzaa na reção o pono corresponene a ma força generalzaa concenraa nára aplcaa na reção o pono. Com as conserações e.5 e.6 a eqação. é escra para m pono qalqer sao no neror a regão para as rês reções generalzaas na segne forma: [ ] Γ Γ q p p ρ λ

43 4 6 λ ρ ρ.7 A eqação.7 é a eqação negral básca o Méoo os Elemenos e Conorno para o problema qe esá seno conserao escra para as rês reções seno vála para m pono qalqer no neror a regão. Observa-se qe o úlmo ermo esa eqação é referene à ranslação nercal seno porano m ermo a mas nas eqações negras em relação ao rabalo e PROVIDAKIS e BESKOS. Para escrever a eqação negral.7 para os ponos saos sobre o conorno Γ orna-se necessáro esar os lmes as negras qano o pono ene ao conorno KARAM 986. Assm para m pono localzao em Γ sege qe a eqação negral e conorno poe ser escra como: [ ] Γ Γ q p p c ρ λ 6 λ ρ ρ.8 one c epene a geomera o conorno no pono. Conserano as eqações.7 e.8 observa-se qe esa úlma poe ser escra para m pono perencene ao omíno o ao conorno Γ one para ponos nernos c vale δ e para ponos o conorno ca normal é conína c vale / δ.

44 A solção as eqações negras fca bem esabeleca meane a escola apropraa as fnções generalzaas e p BANERJEE 994. Assm evo à faclae e aplcação a presene meoologa emprega a solção fnamenal a esáca para resolver o problema e análse nâmca e placas..5 Solção Fnamenal A base a presene meoologa é a solção fnamenal qe naa mas é o qe o prncípo a casa e efeo one se esea saber a resposa e m meo em ma aa reção evo à aplcação e ma carga nára em m ao pono. A segr os ensores represenavos a solção fnamenal os eslocamenos generalzaos e corresponenes forças e sperfíce generalzaas serão apresenaos..5. Deslocamenos generalzaos WEEËN 98 apresena os ensores presenes nas eqações.7 e.8 corresponenes aos eslocamenos a solção fnamenal a segne forma: β {[ 8B z nz ] δ [ 8A z ] r r } β β.9a 8π D r r.9b 8π D nz 8π D λ [ z nz 8 nz ].9c one r é a sânca enre o pono fone e o pono campo. / r r 5

45 r r r r. com r. z λr. As consanes A z e B z epenem as fnções e Bessel mofcaas e orem nera K z e K e poem ser epressas por: z A z K z z [ K z z ] ; z K z z [ K z z ] B.4 one K z e K são calclaas aravés e epansões polnomas segno z ABRAMOWITZ e STEGUN Forças e sperfíce generalzaas Os ensores p presenes nas eqações.7 e.8 qe represenam as forças e sperfíce a solção fnamenal são obos a parr as segnes epressões: p γ M n.5a γ β β β p M n.5b γ γ β β β p Q n.5c p Q β n β.5 6

46 nas qas os momenos e esforços coranes evos ao carregameno concenrao náro nas reções γ e são represenaos por Q e γ β Q β respecvamene. M e γ β M β KARAM 986 apresena o esenvolvmeno as forças e sperfíce generalzaas lzano.5 as qas são aas pelas segnes epressões: p γ 4π r { [ 4A zk ] δ r r n [ 4A ] γ n [ 8A zk ] r r r } [ Bn A r ] p γ γ γ r n γ n λ.6 π nz n r r n 8π p π r p r n γ r γ n one r n é a ervaa e r em relação à normal no pono seno efna por: r r n.7 n r n.5. Snglaraes os ensores Para o caso em qe os ponos e forem concenes os ensores e p mosraos respecvamene nas as seções anerores apresenam snglaraes em r. Assm epanno A z e B z conforme.4 aravés a sbsção as epressões e K z e K observa-se qe: z 7

47 a Para A z as parcelas qe possem snglarae e orem r se cancelam ocorreno o mesmo para as parcelas com snglarae logarímca. Logo A z não poss snglarae. b Para B z as parcelas com snglarae r ambém se cancelam porém as parcelas com snglarae logarímca não. Com sso conclí-se qe B z poss snglarae e orem nr. Poe-se conclr enão qe os ensores e eslocamenos generalzaos e forças e sperfíce generalzaas epressões.9 e.6 apresenam os segnes pos e snglarae: poss snglarae p poss snglarae nr ; nr e r..6 Transformação as Inegras as Forças e Domíno em Inegras e Conorno As negras e omíno qe aparecem nas eqações.7 e.8 referenes ao carregameno eerno aplcao serão ransformaas em negras e conorno meane a aplcação o eorema a vergênca. Assm conserano qe q q consane obém-se a segne negral: q λ one q v λ n Γ v sasfaz a eqação e Posson:.8 v.9 8

48 9 As epressões obas por WEEËN 98 para v são: z n z r r D v λ π.4 [ ] z n z nz z D v λ π.4 Dervano as epressões.4 e.4 em relação às coorenaas o pono são obas as segnes epressões: [ ] β β β δ π r r nz nz D r v.4 [ ] z n z nz D r r v λ π β β.4 Assm sbsno as eqações.8 e.9 nas eqações negras.7 e.8 e ana aplcano o eorema a vergênca nas eqações reslanes obém-se: [ ] Γ Γ λ ρ ρ Γ n v q p p k ρ.44 e para ponos fones perencenes ao conorno: [ ] Γ Γ λ ρ ρ Γ n v q p p c

49 kρ.45 com k e 6 λ v aos pelas epressões.4 e.4. As negras e omíno presenes nas eqações acma não são ransformaas em negras e conorno pos as mesmas evem ser avalaas no omíno. para Dervano.9 em relação às coorenaas o pono as epressões β são aas como se sege: 4π D r {[ 4A 4zK ] r δ [ 4A ] r δ r δ β γ γ β β γ βγ [ 8A zk ] r r } r.46a [ nz δ r r ] β γ β β β.46b 8π D Como será vso no Capílo 5 m conno e eqações algébrcas é monao cas resposas e eslocamenos e forças e sperfíce em ponos o conorno e e eslocamenos em ponos o omíno são obas a parr a resolção o ssema e eqações. Poserormene o cálclo os esforços em ponos nernos..7 Esforços em Ponos Inernos: Momenos e Coranes Após a resolção o ssema e eqações o cálclo os momenos e esforços coranes nos ponos nernos é realzao aravés as epressões. one as ervaas os eslocamenos qe nela aparecem são sbsías pelas 4

50 4 ervaas a eqação negral.44. Noe-se qe essas ervaas são calclaas em relação às coorenaas o pono. Nese caso ém-se as segnes ervaas: r r r λ r z zk A r r A zk A r r B.47 zk K r r K r r r r β β β δ r n r r r n n Enão com base nas conserações acma as epressões os momenos e esforços coranes nos ponos nernos apresenam as segnes formas respecvamene: Γ Γ Γ Γ Γ Γ w q p p M k k k k β β β β q ρ ρ δ λ β βθ θ β β ρ z k.48 e

51 4 Γ Γ Γ Γ Γ Γ w q p p Q k k k k β β β β ρ ρ β βθ θ β ρ z k.49 Noa-se qe nas epressões.48 e.49 as as úlmas negras e omíno são referenes às nércas ranslaconas e represenam parcelas aconas obas nese rabalo em relação às eqações negras apresenaas por PROVIDAKIS e BESKOS. A eermnação os ensores k β k p β β w e β z presenes nas eqações.48 e.49 é fea sbsno-se as epressões os eslocamenos nos ponos nernos e sas ervaas nas epressões os esforços. Assm caa ensor é obo aplcano-se as relações abao. Para o ensor k β na epressão os momenos: β β β β β γ γ βγ β γ βγ δ δ D D.5 Para o ensor k β na epressão os esforços coranes: β β β β γ βγ βγ λ λ D D.5

52 Para o ensor p β k na epressão os momenos: p βγ D p γ β p βγ p p γ γ δ β.5 p β D p β p β p p δ β Para o ensor p β k na epressão os esforços coranes: p p βγ β D λ D λ p p βγ p p β γ β β.5 Para o ensor w β na epressão os momenos: w β D v γβ v β γ v v γ γ δ β λ γ β v βγ γ γ δβ nγ.54 Para o ensor w β na epressão os esforços coranes: D λ w β vβ γ v γβ βγ γ β n γ λ.55 Para o ensor z β na epressão os momenos: δ D z β γ γβ βγ γ γ γ γ γ β.56 4

53 Para o ensor z β na epressão os esforços coranes: D λ z β βγ γ γ γβ.57 Os ensores presenes em.56 e.57 são obos ervano-se a epressão.46 em relação às coorenaas o pono sano.47. Assm cega-se às segnes epressões: β γφ 4π D r [ 8A 6zK r r δ φ β φ δ δ γβ γ δ φ φβ r r z K γ δ γβ r r r β δ φγ δ 4A 4zK φ γ r r δ β γ β r δ φ δ z K r r β r γ φ 8A zk r φγ ] γ δ β φβ r δ 4A 44A 8zK r.58a r r β r φ r δφβ r βδφ r φδ.58b 4π Dr βφ β De forma análoga ervam-se e.4 em relação às coorenaas o pono e após sbsr esses reslaos em.5 a.57 são obas as segnes epressões após reagrpar os ermos: Para o ensor β k na epressão os momenos: 4πr [ 4A zk δ r δ r 8A zk r r r βγ βγ γ β β γ 4A r ].59a δ β γ β nz δ β r r β.59b 8π 44

54 Para o ensor p β k na epressão os momenos: p βγ D 4π r { 4A zk δ n δ n 4A 6A 6zK z K [ n r n r r δ r δ r r ] p 8A zk δ r r n r r 4 4A 8zK z K r r r r } β γ n β γβ γ β β γ γ β γ β γβ [ A zk r n r n 4A zk r r r A δ ] β β β β n β r n δ n β n γ β γ n.6a D λ.6b 4π r Para o ensor w β na epressão os momenos: w β {4 nz [ r n r n δ r ] 4[ r r δ ] r } r β β β n β β n 64π βγ n γ λ.6 Para o ensor β k na epressão os esforços coranes: βγ δ γβ [ B Ar r ] λ γ β.6a π β r β.6b π r Para o ensor p β k na epressão os esforços coranes: p [ A zk r r n A n r A zk r r ] D λ.6a 4π r βγ δ γβ n γ β γ β 4 β γ r n [ z B n z A r ] D λ.6b 4π r p β r β β n 45

55 Para o ensor w β na epressão os esforços coranes: w β [ nz nβ r β r n ] βγ nγ.64 8π λ Para o ensor z β na epressão os momenos: [ 4A zk δ 4 4A zk r r A zk δ δ ] z β β β γ βγ.65 π r Para o ensor z β na epressão os esforços coranes: z λ r β.66 π r β 46

56 4 Implemenação Nmérca 4. Inroção Nese capílo é escra a mplemenação nmérca lzaa para a resolção o problema e análse nâmca lnear e placas espessas pelo Méoo os Elemenos e Conorno conserano a formlação e a écnca apresenaas nos os capílos anerores. 4. Eqações Inegras Dscrezaas Incalmene consere o conorno Γ screzao com elemenos nmensonas em qe caa elemeno poss m conorno Γ e o omíno screzao em céllas nernas ranglares caa ma possno m omíno l Fgra 4.. Γ Γ l Fgra 4. - Domíno screzao com elemenos e conorno e céllas nernas. 47

57 A screzação é realzaa lzano-se elemenos e conorno qarácos soparamércos conínos e esconínos e céllas nernas ranglares consanes com geomera lnear. As eqações negras para o pono fone no conorno e para o pono fone no omíno aas respecvamene por.45 e.44 serão escras em forma screzaa e represenaas e ma únca manera como sege: [ ] Γ Γ Γ n v q p p c λ ρ ρ && && k ρ & & 4. São saas fnções e nerpolação para apromação as fnções envolvas ano para o conorno como para o omíno. Assm fano-se o pono fone no conorno e negrano-se os elemenos e conorno e as céllas e omíno cega-se a m conno e eqações para as rês reções generalzaas. Logo a eqação 4. apresena o segne aspeco em sa forma screzaa: Γ Γ Γ Γ Γ Γ M l m N N n N n l q U N U S U N P P N U C U & & 4. one é ma marz qe coném os coefcenes ; é o veor e eslocameno o pono fone; N é o número e elemenos e conorno; M é o número e céllas e omíno; C C U N e N são as marzes qe conêm as fnções e nerpolação lzaas para apromarem o conorno e o omíno respecvamene; e U U são as marzes qe conêm as componenes os ensores a solção fnamenal relavos aos eslocamenos; é ma marz P 48

58 qe coném as componenes os ensores a solção fnamenal relavas as n n forças e sperfíce; U e P são os veores qe conêm as componenes os eslocamenos e forças e sperfíce respecvamene relavos aos ponos noas o elemeno e conorno conserao; U & m é o veor qe coném as componenes e aceleração nercal relavo ao pono noal a célla e omíno em qesão; epressão: S é m veor cas componenes são aas pela s k v k λ k n 4. one as componenes e e foram apresenaas no Capílo. k v k De forma análoga a eqação negral 4. poe ser escra em sa forma screzaa conserano c gal a δ one o pono fone é fao no omíno obeno-se novamene m conno e eqações para as rês reções generalzaas seno apresenaas como a segr: U N N M n n U N Γ P P N Γ U q S Γ U N N Γ Γ Γ l l & m 4.4 U Para m pono qalqer o elemeno e conorno são conseraas as segnes epressões para nerpolação os eslocamenos e forças e sperfíce em fnção e ses valores noas: U P NU NP n n 4.5 enqano para m pono localzao no neror o omíno as fnções e nerpolação os ermos nercas são apresenaas como: 49

59 & l m NU& 4.6 U Nas epressões 4.5 em-se qe as fnções e nerpolação são epenenes a coorenaa nrínseca η como será vso na Seção 4. orna-se necessáro ransformar a ferencal e conorno Γ para esse ssema. Assm sabeno-se qe J é o acobano essa ransformação enão a segne epressão é lzaa: Γ J η 4.7 As segnes marzes são efnas: G Γ U N Γ 4.8 Hˆ P N Γ 4.9 Γ Γ B q S Γ 4. M l l U N 4. Os procemenos para o cálclo a eqação 4. serão apresenaos na Seção 4.5 e para as eqações e 4. serão mosraos a segr. Assm com as conserações feas acma e qano o pono fone esver sao no conorno em-se qe a eqação 4. poe ser escra como: C U N G P N Hˆ U N B M l M U& 4. l l o ana 5

60 N H U N G P N B M l M U& 4. l l one H ˆ para H 4.4 H H ˆ C para forma: Para o pono fone localzao no omíno a eqação 4.4 é escra na U N G P N Hˆ U N B M l M U& 4.5 l l Em vsa sso ma negração nmérca é necessára para avalar as epressões 4. e 4.5. Para ano a eqação 4.7 é lzaa nas negras e conorno as eqações 4.8 a 4.. A qarara e Gass é empregaa lzano as segnes epressões one as negras são sbsías por somaóros: K U N Γ U N J U N k Γ - K P N Γ P N J P N k Γ - K S Γ S J S k Γ - η J w 4.6 k k k k η J w 4.7 η J w 4.8 k k one K é o número e ponos e negração; w k é o peso assocao ao pono e negração. 5

61 Na negração nmérca a qanae e ponos e Gass aoaos para efear o cálclo é esabeleca meane m créro e afasameno e apromação enre o pono fone e o pono campo ca varrera consse e 4 a ponos. 4. Elemenos o Conorno Os elemenos o conorno lzaos no programa são elemenos qarácos soparamércos poeno ser conínos e esconínos. 4.. Elemeno qaráco soparamérco coníno Ese é m elemeno caracerzao por apresenar rês ponos noas saos sobre ma crva seno os localzaos nas eremaes e m ercero enre esses os. As fnções e nerpolação são saas para apromar ano as coorenaas como as varáves envolvas aravés e ma fnção o segno gra conforme Fgra 4.. Γ - η Fgra 4. - Elemeno qaráco soparamérco coníno. Após ma ransformação as coorenaas e as varáves envolvas são escras em m novo ssema em fnção a coorenaa nrínseca η. Tal elemeno assegra a connae as fnções conseraas enre os elemenos aacenes. 5

62 As fnções e nerpolação epenenes a coorenaa amensonal η são aas como: N η η N η η 4.9 N η η Assm para m pono qalqer o elemeno em-se qe sas coorenaas são calclaas em fnção e sas coorenaas noas aravés a segne epressão marcal: n M 4. one 4.a N N N M 4.b N N N n 4.c Os eslocamenos e as forças e sperfíce são nerpolaos conforme 4.5 one se em para o elemeno e conorno conserao: 5

63 U 4.a p p p P 4.b N N N N N N N N N N 4.c n U 4. p p p p p p p p p n P O acobano a ransformação é obo a parr e ervaas e 4. para o qal se em a segne epressão: Γ η η η J Elemeno qaráco soparamérco esconíno Na Fgra 4. é apresenao o elemeno qaráco soparamérco esconíno para o qal o procemeno é o mesmo lzao no em 4.. seno necessáro mar apenas as fnções e nerpolação. Essas por sa vez são obas conserano-se qe a fnção eva possr m valor no pono noal conserao e zero nos oros os. E com sso como os ponos noas e 54

64 não esão saos nas eremaes o elemeno conserao não averá connae as fnções envolvas nessas eremaes. a l Γ b - η Fgra 4. - Elemeno qaráco soparamérco esconíno. As fnções e nerpolação esse elemeno são aas em fnção as varáves a b e l na segne forma: N lη lη l b l a b l b [ a b lη] lη N 4.4 l a l b N lη lη l a l a b l b one a é o afasameno o nó à eremae; b é o afasameno o nó à eremae; l é o comprmeno oal o elemeno. Deve-se noar qe esses parâmeros evem esar e acoro com o seno e negração. Na Fgra 4. l é o comprmeno enre os ponos e. Ese elemeno apresena algmas parclaraes as como: qano a e b o ana a e b seno ese elemeno camao e semesconíno one as fnções 4.4 poem ser saas para avalar as varáves o problema. Para o caso em qe se ena a e b nlos as epressões 4.4 recaem nas epressões

65 4.4 Desconnae a Normal o as Conções e Conorno Nesa seção são apresenaas algmas parclaraes para o conorno. Para o caso one aa esconnae a normal não é assegraa a connae as forças e sperfíce no conorno e conforme Fgra 4.4 a normal poe apresenar reções ferenes para o mesmo pono noal qe perença a os elemenos aacenes. elem A elem n A n B Fgra Caso a esconnae a normal. Uma forma e resolver esse problema poera ser lzano o o nó plo o o elemeno esconíno Ulzação e nó plo Ese procemeno é lzao qano no pono e nerseção enre os elemenos aacenes se ena esconnae a normal o a conção e conorno qano se conece a força e sperfíce nos os elemenos o enão qano o eslocameno é coneco nm elemeno e a força e sperfíce é coneca no oro. Para ano conseram-se os ponos noas na mesma posção caa m perenceno a m elemeno ferene conforme Fgra 4.5. elem A B elem n A n B Fgra Caso e nó plo. 56

66 Para assegrar a connae e eslocamenos no pono e nerseção mpõe-se o mesmo eslocameno enre os os nós Ulzação e elemeno esconíno Para o caso em qe nma eermnaa posção e m nó aa esconnae a normal one as forças e sperfíce não são conecas em nenm os os elemenos aacenes a lzação o nó plo vso no em aneror não resolve o problema. Iso se eve ao fao e er-se m número e eqações nepenenes menores qe o número e ncógnas para esse nó evo ao eslocameno poer ser coníno no pono e as forças e sperfíce não. Nese rabalo é lzao para esses casos o elemeno esconíno conforme Fgra 4.6. Ese elemeno é caracerzao por sa precsão apresenar a mesma orem a precsão o elemeno coníno qano se escole ma sânca convenene os ponos noas e eremae o elemeno assm como os ponos e negração. elem A B elem n A n B Fgra Caso e elemeno esconíno. 4.5 Célla Inerna A presene seção escreve scnamene a célla empregaa na screzação o omíno. 57

67 As céllas nernas consanes lzaas nese rabalo apresenam forma ranglar seno as mesmas represenaas conserano m ssema e coorenaas nrínseco conforme poe ser observao na Fgra 4.7. / / Fgra Ssema e coorenaas nrínseco para célla ranglar consane. As coorenaas e m pono o neror a célla são calclaas pela epressão 4. one a marz as fnções e nerpolação é represenaa como: [ I I I M ] 4.5 one I é a marz enae e orem com calclao pela relação: 4.6 e com n coneno as coorenaas e caa m os vérces o rânglo ao por 4.. O acobano essa ransformação é ao pela segne epressão: J A