Avaliação de soluções numéricas para análise de fluxo bifásico com acoplamento geomecânico em meios porosos heterogêneos

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1 Wagner ahas Rbero Avalação e solções nércas ara análse e flxo bfásco co acolaeno geoecânco e eos orosos heerogêneos ese e Doorao ese aresenaa ao Prograa e Pós-Graação o Dearaeno e Engenhara Cvl coo reqsos arcal ara obenção o ílo e Door e Engenhara Cvl. Orenaor: Co-Orenaor: Erees o Aaral Vargas Jr. Lz Eloy Vaz Ro e Janero Abrl e 20

2 Wagner ahas Rbero Avalação e solções nércas ara análse e flxo bfásco co acolaeno geoecânco e eos orosos heerogêneos ese aresenaa ao Prograa e Pós-Graação o Dearaeno e Engenhara Cvl coo reqsos arcal ara obenção o ílo e Door e Engenhara Cvl. Arovaa ela Cossão Exanaora abaxo assnaa: Prof. Erees o Aaral Vargas Jr. Orenaor Ponfíca Unversae Caólca o Ro e Janero Prof. Lz Eloy Vaz Co-Orenaor Unversae Feeral Flnense Dr. Anré Lz Mller Gro e ecnologa e Coação Gráfca - ecgraf Prof a. Chrsanne e Lyra ogera Unversae Feeral e Oro Preo Prof. Leonaro José o asceno Garães Unversae Feeral e Pernabco Prof. Márco a lvera Carvalho Ponfíca Unversae Caólca o Ro e Janero Prof. José Egeno Leal Coorenaor eoral o Cenro écnco Cenfco- PUC-Ro Ro e Janero, 5 e abrl e 20

3 oos os reos reservaos. É roba a reroção oal o arcal o rabalho se aorzação a nversae, o aor e o orenaor Wagner ahas Rbero Grao-se e Engenhara Cvl ela UFOP (Unversae Feeral e Oro Preo) e E 2005 areseno a sseração e esrao nlaa Alcações a Análse Le érca a Probleas e Esablae Axssércos e Geoecna no Dearaeno e Engenhara Cvl a esa nversae. E 2005 ngresso no crso e oorao e geoecna a PUC-Ro (Ponfíca Unversae Caólca o Ro e Janero). Rbero, Wagner ahas Fcha Caalográfca Avalação e solções nércas ara análse e flxo bfásco co acolaeno geoecânco e eos orosos heerogêneos / Wagner ahas Rbero ; orenaor: Erees o Aaral Vargas Jr. ; coorenaor: Lz Eloy Vaz f. : l. (color.) ; 30 c ese (oorao)-ponfíca Unversae Caólca o Ro e Janero, Dearaeno e Engenhara Cvl, 20. Incl bblografa. Engenhara cvl eses. 2. Flxo bfásco acolao. 3. Eleenos fnos. 4. Voles fnos. 5. Análse ensão-eforação. 6. Eleenos fnos esconínos. 7. Eleenos e Ravar-hoas. I. Vargas Jnor, Erees o Aaral. II. Vaz, Lz Eloy. III. Ponfíca Unversae Caólca o Ro e Janero. Dearaeno e Engenhara Cvl. IV. ílo. CDD: 624

4 Agraecenos era exensa a lsa e agraecenos a oos qe conrbíra e a fora o e ora na elaboração esse rabalho e ana no rocesso e crso o oorao, ne or sso evo exar e car algns noes qe as ecsvaene colaborara nos úlos aconecenos ara a conclsão esse rabalho: Ao rofessor Vargas qe osro o canho a ser sego ara o anaeno esse rabalho. Ao rofessor Eloy Vaz qe conrb enoreene e oenos ecsvos ara o êxo ese rabalho co se exelo e ncenvo. Aos negranes a banca exanaora qe conrbíra ara a revsão co sgesões exreaene ernenes ara a elhora o rabalho, rncalene a Profa. Chrsanne qe lgeneene corrg város eqívocos e orgês. A oos os agos e agas e esrao e oorao qe coarlhara as váras eaas ranscorras rane o ooraeno. Ao CPq, à CAPE e à PUC-Ro, elos axílos conceos, se os qas ese rabalho não oera er so realzao. A oos os fnconáros a PUC qe sere era o aoo necessáro ara o bo anaeno as avaes, e esecal a Ra e Cássa. Aos es falares qe sere aoara e ncenvara nos oenos crícos. A qera Anrea qe e aoo e colaboro nas correções o vole fnal, e ao rezao Pal Anezana qe agrao oo o vole fnal. Ao e bo Des qe é bo.

5 Reso Rbero, Wagner ahas; Vargas Jr., Erees o Aaral; Vaz, Lz Eloy. Avalação e solções nércas ara análse e flxo bfásco co acolaeno geoecânco e eos orosos heerogêneos. Ro e Janero, ese e Doorao - Dearaeno e Engenhara Cvl, Ponfíca Unversae Caólca o Ro e Janero. O acolaeno flo-ecânco coo é conheco o efeo ano o eo oroso no eo flo, qano o efeo o eo flo no eo oroso, oss a ala alcablae e versos caos a engenhara, ornano-se orane objeo e eso. O resene rabalho analsa algns oelos acolaos e eforação e flxo, arclarene flxo bfásco e acolaeno co eforação, levano-se e conseração a não lnearae físca o solo. A análse e flxo e conção bfásca oe conzr a nsablae, evo à caracerísca arabólca-herbólca as eqações governanes, be coo o éoo eregao ara solções as esas, oeno não carar sasfaoraene conções e heerogeneae o eo geológco. eno ass, são esaas forlações nércas caazes e conornar essas fclaes e ana eregaas e conção acolaa co o roblea e eforação. Erega-se ncalene o éoo os eleenos fnos, MEF, ara solção o roblea acolao co flxo bfásco, e seqênca a forlação sa e qe se resolve a eqação a ressão aravés o MEF, e nerearaene lza-se éoos e elhor aroxação a velocae coo os eleenos e Ravar-hoas e as baxa ore e solção a eqação a saração elo éoo os voles fnos, MVF, co esqea e nerolação e ala ore ara cara e frene e saração. Ana ass é aresenaa a forlação e qe se erega o éoo os eleenos fnos esconínos, MEFD, aresenao e Hoe (2008), qe no resene rabalho é acolaa co o roblea e eforação lzano roceeno saggere ara solção erava e abos os sseas. ão aresenaos exelos qe vala as versas forlações e qe esaca as roreaes e caa a as forlações, co vanagens e esvanage nas sas alcações. Palavras-chave Flxo bfásco acolao; Eleenos fnos; Voles fnos; Eleenos Fnos esconínos; Eleenos e Ravar-hoas.

6 Absrac Rbero, Wagner ahas; Vargas Jr., Erees o Aaral(Avsor); Vaz, Lz Eloy (Co-Avsor). Evalaon of nercal solons for analyss of cole o-hase flo h geoechancal behavor n heerogeneos oros ea. Ro e Janero, Dsc. hess. Dearaeno e Engenhara Cvl, Ponfíca Unversae Caólca o Ro e Janero. he fl-echancal colng s non as he effec of boh he oros ea n a fl as he fl n oros ea, has been se nensvely n as years an n recen years, gven s orance n varos alcaon fels of engneerng. hs ors ses nercal oels of cole eforaon an flo, conserng cole o-hase flo an eforaon, ang no accon he nonlnear sol behavor. he nercal analyss of o-hase flo can lea o nsables e o arabolc-hyerbolc characer of he governng eqaons an he eho eloye oes no aeqaely care he heerogeney of he geologcal envronen. hs, e analyze he nercal forlaons caable of overcong hese ffcles an o be eloye on cole conon h eforaon. Inally he fne eleen eho, FEM, s eloye for solon of he cole o-hase flo roble. Anoher forlaon s eloye n a xe bass, he ressre eqaon s solve hrogh he FEM, solon of he eqaon of saraon by fne vole eho, FVM, sng nerolaon schee h hgh orer o care he saraon fron. In an nereae se, s eloyng ehos o beer os-rocessng he velocy fle as he loes-orer Ravar- hoas fne eleens. Fnally, s resene a forlaon ha eloys he sconnos fne eleen eho, DFEM, resene n Hoe e al (2008), s cole n hs or h he roble of eforaon sng a saggere rocere for erave solon of he syses. Exales are resene ha valae he varos forlaons an hghlgh he roeres of each forlaon, h avanages an savanages n her alcaons. eyors Cole o-hase flo; Fne eleens; Fne voles; Analyss sress an eforaon; Dsconnos fne eleens; Ravar-hoas eleens.

7 áro. IRODUÇÃO Conserações Geras Objevos a Pesqsa Organzação o Presene rabalho FORMULAÇÕE MAEMÁICA PARA IMULAÇÃO DE FLUXO IFÁICO E IFÁICO-ACOPLADO EM MEIO POROO Conserações Geras Eqação e eqlíbro Análse e Flxo fásco e Meos Porosos Eqação o alanço e Massa Forlação Parabólca Forlação Herbólca Reso as Eqações Geras Defnções ara as Pressões e Flos Classfcação e Eqações Dferencas Parcas (EDP) Pós-rocessaeno a Velocae Deernação a Porosae Relações Consvas ara Pereablae FORMULAÇÕE PARA IMULAÇÃO DE FLUXO IFÁICO E IFÁICO-ACOPLADO EM MEIO POROO VIA MÉODO UMÉRICO Conserações Geras... 49

8 áro 3.2. Forlações ércas as Eqações Governanes Forlação e Eleenos Fnos Méoo e Galern Forlação e Voles Fnos aseao e Eleenos Fnos Forlação e Eleenos Fnos Desconínos Análse ão-lnear Local Prncío a áxa ssação lásca Proceenos e olção Proceeno ara o roblea e flxo bfásco Proceeno saggere ara o roblea e acolaeno flo ecânco co flxo bfásco va MEF Proceeno saggere ara o roblea e acolaeno flo ecânco co flxo bfásco va MVF e MEFD EXEMPLO DE VERIFICAÇÃO DA FORMULAÇÕE PARA IMULAÇÃO DE FLUXO EM MEIO POROO Conserações Geras Aensaeno nensonal Escoaeno enre Placas Escoaeno co arreras Pós-rocessaeno a Velocae Aravés e Eleenos e Ravar-hoas Flxo fásco Unensonal Méoo MEF Galern Flxo fásco Unensonal Méoo MEFD Flxo fásco ensonal Problea os Cnco Poços Flxo fásco ensonal Problea os Cnco Poços Meo Heerogêneo Aensaeno nensonal ara caso e = Flxo fásco e Reservaóro Esrafcao... 04

9 áro 4.2. Flxo fásco e Falhas Flxo fásco Acolao e Falhas Análse Acolaa e Flxo fásco e Reservaóro Frarao Flxo fásco e Colna Unensonal Coaração e eo e Processaeno COCLUÕE E UGEÕE PARA RAALHO FUURO Conclsões gesões ara rabalhos fros... 8 REFERÊCIA ILIOGRÁFICA... 20

10 Lsa e Fgras Lsa e Fgras Fgra 2- Vole e conrole ara balanço e assa o flo Fgra 3-: Foras ossíves e onage o vole e conrole, a) baseao na célla, b) baseao na célla e vérce e c) baseao no vérce. (exraío e Carvalho, 2005) Fgra 4-: Esqea a colna ara aensaeno nensonal Fgra 4-2: Malha lzaa nas análses, eleenos Q4, 300 eleenos fnos Fgra 4-3: Esqea o roblea e escoaeno enre lacas aralelas (a), Correa (2006) e alha e eleenos fnos lzaa, 200 eleenos Q4 (b) Fgra 4-4: Perfl e velocae v x ao longo a alra H (a), e aa e velocaes, cor azl reresena v x =0.5 e cor verelha v x =.0 (b) Fgra 4-5: Esqea o roblea e escoaeno enre barreras, conções e conorno alcaas e aos os aeras lzaos Fgra 4-6: Malha eregaa na análse o exelo e escoaeno enre barreras, 625 eleenos Q Fgra 4-7: Caos e velocae v y e erfl e velocae v y ao longo e E: (a) ós-rocessaeno global, (b) le e Darcy Fgra 4-8: Cao e ressão alcao Fgra 4-9: Caos e velocae v x ara alhas esrraas e não esrraas obas aravés e R Fgra 4-0: Caos e velocae v x ara alha esrraa nclnaa obo aravés e R Fgra 4-: Esqea o roblea e reservaóro Fgra 4-2: Malha lzaa Q4, 92 eleenos Fgra 4-3: Malhas lzaas Q4, 320 e 60 eleenos

11 Lsa e Fgras Fgra 4-4: Perfl e saração ao longo e x ara forlação e voles fnos, crva e onos, eleenos fnos esconínos, lnha conna e solção analíca, crva e raço e ono Fgra 4-5: Esqea o roblea e cnco oços Fgra 4-6: Evolção a frene e saração ara város eos. a) =0,7s, b) =4,2s, c) =7,7s, ) =,2s, e) =4,7s, f) =9,6s Fgra 4-7: Cao e ereablae x aleaóro Fgra 4-8: Evolção a frene e saração ara város eos, x, aleaóro. a) =0,7s, b) =4,2s, c) =7,7s, ) =,2s, e) =4,7s, f) =9,6s Fgra 4-9: Esqea o roblea flxo bfásco e eo heerogêneo Fgra 4-20: Malha eregaa na análse o roblea e flxo bfásco e eo heerogêneo Fgra 4-2 :Perfs e saração ara város eos, eo heerogêneo. a) =0s, b) =,s, c) =2s, ) =3s, e) =4s Fgra 4-22: Cao e saração ara eo heerogêneo, exraío e Hoe e al (2008) Fgra 4-23: Esqea o roblea flxo bfásco e falhas Fgra 4-24: Perfs e saração ara város eos, eo heerogêneo. a) =0s, b) =s, c) =2s, ) =3s, e) =4s Fgra 4-25: Esqea o roblea flxo bfásco acolao e falhas Fgra 4-26: Conções e conorno o roblea e flxo bfásco e falhas Fgra 4-27: Evolção os caos e saração ara város eos, reservaóro co falha. a) =0s, b) =3s, c) =6s, ) =9s, e) =s.... Fgra 4-28: Evolção os caos e ensão efeva áxa ara város eos, reservaóro co falha. a) =0s, =3s, c) =6s, ) =9s, e) =s Fgra 4-29: Evolção o cao e eforação volérca ara város eos, reservaóro co falha. a) =0s, =3s, c) =6s, ) =9s, e) =s Gráfco 4 - : Pressão e oros na base a colna

12 Lsa e Fgras Gráfco 4-2: Evolção no eo a srbção e ressão e oros ao longo a colna Gráfco 4-3: Deslocaeno no oo a colna Gráfco 4-4: Perfl e velocae ao longo a colna ara város eos Gráfco 4-5: Velocae ao longo o eo ara o oo a colna Gráfco 4-6: Porosae ao longo o eo e análse ara a base a colna, calclaa no rero ono e Gass aca a base Gráfco 4-7: Coarações enre os reslaos a solção analíca e a leenação e eleenos e R: (a) v x ao longo e y = 3,5, e (b) v y ao longo e x = 7, Gráfco 4-8: Perfl e saração ao longo o reservaóro Gráfco 4-9: Deslocaeno no oo a colna Gráfco 4-0:Pressão e oros na base a colna Gráfco 4 - :Varação a frene e saração e ága ao longo a colna ara =7s Gráfco 4-2: Varação a frene e saração e ága ao longo a colna ara =7s Gráfco 4-3:Varação a ressão e ága ao longo a colna ara város eos.... 3

13 Lsa e abelas abela 4-: Parâeros lzaos no exelo e colna oroelásca 8 abela 4-2 : Parâeros e conções e conorno eregaos no exelo e flxo bfásco nensonal 95 abela 4-3: Parâeros lzaos no exelo e flxo bfásco e eo heerogêneo 04 abela 4-4 : Parâeros lzaos no exelo e flxo bfásco e eo heerogêneo 07 abela 4-5: eo e ós-rocessaeno a velocae ara ferenes alhas 4 abela 4-6: eo e ós-rocessaeno ara ferenes éoos 5

14 Lsa e síbolos σ b ε σ ' ε ε c ε ' σ 0 D s '' σ x, y, z q axa e ensão oal axa as forças e coro axa as forças e serfíce Deforações vras Deslocaenos vras Doíno e análse Conorno o oíno e análse axa e ensão efeva axa a oro ressão axa e eforação oal o esqeleo axa as eforações evo à flênca axa as eforações volércas axa a ensão efeva ncal Marz consva Mólo volérco os grãos axa a ensão resonsável ela eforação a fase sóla Densões o vole e conrole nas reções x, y e z, resecvaene Densae o flo Vazão eo Increeno e assa e flo

15 Lsa e íbolos, 0 Marz e ereablae nrínseca o eo oroso g h Porosae Aceleração a gravae Carga e elevação r Pereablae relava R s Vscosae nâca o flo Gra e saração o slesene saração o flo Faor e varação e vole Faor e ssolção e gás no líqo aração o flo olhane n aração o flo não-olhane Pressão e flo olhane n Pressão e flo não-olhane c Pressão calar Densae o flo olhane n Densae o flo não-olhane v Velocae o flo olhane v n Velocae o flo não-olhane v f h v a v x v y Velocae oal e escoaeno Fnção e flxo fraconáro o flo olhane Fnção e oblae o flo olhane Velocae aarene e flxo Velocae e flxo oal na reção x Velocae e flxo oal na reção y axa a saração o flo olhane n axa a saração o flo não-olhane c axa a ressão calar v~ Veor e velocaes ós-rocessaas

16 Lsa e íbolos he A c e Parâero eenene a alha e eleenos fnos aanho caracerísco o eleeno Área o eleeno Varação a orosae Varação a ressão Coressblae o oro Mólo e eforação o eo Mólo e eforação a arz orosa aração efeva r aração resal a fase olhane rn aração resal a fase não-olhane E G Poro ressão Mólo e Yong Mólo csalhane Coefcene e Posson Mólo e eforação volérca os grãos Mólo e eforação volérca o flo. g g c F VM F MC L W e W Consane e o Aceleração a gravae, fnção Graene a fnção objevo Ânglo e aro Coefcenes e Posson renao Coefcenes e Posson não renao Coesão, coefcene e fsvae Créro e escoaeno e Von Mses Créro e escoaeno o Mohr Colob Deslocaenos Dsânca Energa e eforação elásca Energa e eforação lásca Fase olhane

17 Lsa e íbolos n Fase não olhane L Fnção e Lagrange,,, j Fnções e fora Increeno e eo Marz e acolaeno flo ecânco, arz e L ransforação G Mólo lásco generalzao Marz e coablae H H n L c, L n, L G, G n O, O n, M, M n, P, P n J F F F n F n J 2D y D D J 3D ol a q q Marz e flxo a fase olhane Marz e flxo a fase não olhane Marz e rgez Marzes e acolaeno flo ecânco Marzes e arazenaeno Marzes ara o roblea e flxo bfásco Mllcaores e Lagrange Prero nvarane as ensões Resío ara eqação e eqlíbro Reresenação e a fase Resío ara eqação e ressão Resío ara ressão a fase não olhane Resío ara saração a fase não olhane egno nvarane as ensões esvaoras eo ensão e escoaeno ensor consvo elásco ensor consvo elaso-lásco ensor e eforações ercero nvarane as ensões esvaoras olerânca Varáves nernas Vazão Veor e ncógnas

18 Lsa e íbolos R c n Q Q A e Veor e resíos Parâero e negração Oeraor e ervação Coressblae oal o eo oroso Faor e oblae oal Faor e oblae o flo não olhane Faor e oblae o flo olhane Vazão oal Vazão o flo olhane Área o eleeno q e Vazão o flo olhane or eleeno M a, b n C I J P ej Marz e nerolação e segna ore Veor e nerolação Parâero e nerolação Veor noral a aresa o eleeno Faor e nerolação e flxo nérco Marz enae Marz jacobana Marz e ransforação e Pola Marz e fnções e fora ara eleenos e Ravar-oas Marz e fnções e fora ara eleenos e Ravar-hoas Deernane a arz jacobana

19 . Inroção.. Conserações Geras Meso anes a nroção as sclnas e ecâncas os solos, rochas e geologa é sabaene conheco o efeo acolao enre os eos orosos, eos fraraos, eos orosos-fraraos co o(s) flo(s) qe reenche esses eos, coo relaao nos rabalhos clásscos e erzagh (943) e o (94), enre oros. O acolaeno flo-ecânco coo é conheco o efeo ano o eo oroso no eo flo, qano o efeo o eo flo no eo oroso, é lzao e versos caos e alcação a Engenhara. aanha a orânca orno-se scssão e núeros rabalhos e anos anerores e e anos recenes. (chrefler e al, 990; Whe e orja, 2008;, 200). o cao a engenhara ecânca grane esforço e so colocao no acolaeno ero-ecânco, enqano qe na engenhara abenal ea basane recene e eso é o seqesro e CO 2 aravés a njeção esse gás e eos orosos fraraos o não, seno o acolaeno ecânco e e flxo e grane orânca (Morrs, 2009a,b, a, 200). Mas recsaene no cao e alcação a engenhara ara a roção e eróleo, o acolaeno flo-ecânco e se osrao coo exlcação e versos fenôenos ocorros na exloração e roção e reservaóros e eróleo. U caso ebleacaene sere aborao e versas revsões sobre o ea se refere ao cao e eróleo Eofsh na orega, e qe o leo arnho sofre a orane sbsênca sob o efeo o rocesso e exração e flo o reservaóro ao ono e coroeer severaene város oços e roção, levano a granes gasos no rearo e revenção os anos casaos (Falcão, 2002; Fjaer e al, 2008).

20 Inroção 20 Ana no cao e exração e eróleo, oros exelos e alcação a análse acolaa flo-ecânca são enconraos nos casos e esablae e oços e eróleo, reavação e falhas e/o zonas e falhas, fraraeno hrálco, roção e sólos, efeos e coacação o reservaóro na crva e roção e eróleo, relações ensão-ereablae-eforação, ec. As análses os fenôenos exsenes no eo oroso e se ornao caa vez as robsas e elaboraas na qesão e se acolar as fenôenos, e ana e elhores e efcenes alernavas ara solção os sseas qe srge esse acolaeno. eno esa a área exensa já esaa, as ana co vaso cao e eso or ser aborao. Coo relaao anerorene, o eo oroso oe esar reencho or o as flos. O resene rabalho abora a conção e qe o eo oroso é consío ela fase sóla e oras as fases flas, caracerzano flxo bfásco co acolaeno ecânco e eos geológcos. Dversos ê so os esos a conção e flxo bfásco acolao co o roblea ecânco, co versos enfoqes, ese as conções e esablae e convergênca, efcênca coaconal, aé a elhor reresenação os versos fenôenos físcos resenes. Qano se esa eos geológcos eve se er reraene e ene qe esses eos são heerogêneos e enor o aor gra, e qe osse geoeras varaas e colexas. Ass éoos efcenes eve ser bscaos ara análse e flxo bfásco acolao ara a elhor reresenação esses eos e os fenôenos físcos resenes. Dversos aores, (Wan, 2002, Wang e al 2004, anco e al 200, Han e al 2002 e 2004, Mora e al 998, jaeren e al 997), ê relaao a nflênca o flxo bfásco na roção e sólos, seja ela reção a ereablae relava, elo aco na ensão calar o eo, o elo efeo o srgeno a ága no oço aer breahrogh. Han e al (2004) aresena a análse o rocesso e roção e area qano o srgeno e ága no oço lzano oelo analíco. Eses aores verfcara o efeo a varação a saração na zona e rra o eo oroso e

21 Inroção 2 na ressão calar exsene, reforçano a necessae e análse bfásca ara esse caso. o eso e flxo bfásco e ransore e sbsâncas e eos orosos, o eqaconaeno aeáco o fenôeno físco oe conzr a eqações qe reqere éoos esecífcos e solção ara efcene cara a solção. É o caso os robleas escros or eqações herbólcas, e qe a resosa oe aresenar onas e choqe e/o rarefação. Para geoeras colexas e aeras heerogêneos são ncaos noralene éoos nércos o o éoo as ferenças fnas (MDF), voles fnos (MVF) e eleenos fnos (MEF). Caa co sa eclarae e forlação e aeqação ao roblea rooso. Helg (997) e Helg e al (998) aresena exenso eso coaravo sobre a caacae esses éoos na solção e robleas e flxo lfásco, ressalano qe o MEF clássco oss fclaes na cara e onas e choqe e alé e ser localene não conservavo. Eses aores esaca ana qe o MVF é localene conservavo e qe a cara e onas e choqe é oba eregano-se esqeas aeqaos e nerolação n. Alvarenga (2008), Corazzo (2006) e Goes (2009) aresena forlações va MVF ara o roblea e flxo bfásco e eos orosos. Alvarenga (2008) relaa os versos os e MVF, baseao no vérce, barcenro e vérce, e aresa. A nerolação e roreaes no caso e forlação baseaa no vérce e nerolação as varáves no caso as oras forlações raze e s cero gra e aroxação o eo oroso e caso heerogêneo. Corazzo (2006) e Goes (2009) aresena forlação e MVF baseao no vérce. Alvarenga (2008) e Corazzo (2006) aresena a forlação e qe se erega esqea e n e rera ore ara cara e onas e choqe enqano Goes (2009) aresena a forlação e qe o esqea e cara e frene e saração se basea na nerolação esacal a oblae e flxo enre eleenos vznhos. Corazzo (2006) levana a esvanage o MVF co relação à nerolação a orosae ara o novo eleeno consrío baseao no vérce aresenano versas alernavas ara essa nerolação.

22 Inroção 22 Oro éoo basane eregao na solção o roblea e flxo bfásco é o éoo os eleenos fnos esconínos (MEFD) qe conjga qalaes o MEF co as o MVF. Alcações o MEFD ê so aresenaas ara flxo bfásco e versos rabalhos (leber e Rvère 2006; Hoe e al 2008; Heshaven e Warbron 2000; L 2006, enre oros), enreano, o aor não enconro na lerara esqsaa, a solção acolaa o roblea ecânco e flxo bfásco lzano esse éoo. O MEFD oss a vanage e lzar a esa alha e eleenos o MEF se necessae e assos e consrção e a alha e voles fnos, e se oer eregar esqeas e nerolação ara cara e frene e saração lzaos no MVF, aneno-se o balanço e assa ao nível e eleeno. Para análse e flxo bfásco co acolaeno ecânco ê so aresenaos versos éoos na lerara co a fnalae e elhorar a efcênca na reresenação o fenôeno físco, o na efnção o éoo nérco as aeqao ara a solção o fenôeno. A solção o roblea acolao oe ser raaa bascaene or as alernavas: solconano o roblea e flxo conjnaene co o eqlíbro ecânco, conheco coo acolaeno reo o aravés e rocessos eravos enre o roblea e flxo e o eqlbro ecânco. Les e al (99) aresenara a avalação esses os os e acolaeno ara o caso e flxo onofásco ncano as sações as favoráves ara a alcação e a e e ora alernava. Classcaene nas alcações e engenhara e reservaóros e eróleo o éoo e acolaeno seqüencal a solção o roblea one resolve-se os robleas e searao e qe o roblea ecânco é solconao aós a solção o roblea e flxo, efnno a únca va e acolaeno, é chaao e one-ay colng. Ebora não seja rocesso oalene acolao qano se resolve oos os robleas e conjno, os éoos eravos são conseraos acolaos na

23 Inroção 23 enava e se ober a elhor resosa os sseas e conjno, são versos os rabalhos e qe lza essa alernava (Mller, 2007 e Fryan, 996). Mller (2007) aona a avalação o éoo oalene acolao co o éoo eravo co relação ao rocessaeno, ncano qe o éoo eravo oe aresenar elhor eseenho coaconal qe o éoo oalene acolao. Mller ana ressala as vanagens e se lzar o éoo eravo co relação à alcação e conção e conorno. (200) analsa as versas foras e acolaenos enre as eqações e flxo lfásco e o eqlíbro ecânco e anera seqencal aenano ara asecos e esablae e convergênca e versos éoos. Denre as forlações ara reresenação e flxo bfásco, as foras e eqaconaeno oe ser enconraas: a forlação arabólca, e qe as eqações são osas reaene e eros e as ncógnas se avalação nereára a velocae e flxo e a forlação herbólca, e qe as eqações são osas e esqea seqencal na efnção e a eqação a ressão, ós-rocessaeno a velocae e solção a eqação a saração. De fora clara, e-se qe qano elhor avalaa a velocae e flxo no asso nereáro elhor a avalação a eqação a saração e conseqeneene e oo o ssea. Alcoforao (2007) aresena a análse a lzação e versas alernavas ara o ós-rocessaeno a velocae: reraene arno a alcação rea a le e Darcy, be coo ósrocessaeno a velocae oso coo roblea e oneração a le e Darcy co o eqlíbro e assa, lzano ara sso eleenos fnos e Ravar-hoas e ore R 0. esse eso rabalho, Alcoforao (2007) aresena a forlação e qe o roblea ecânco é oso coo a solção analíca a eqação e varação a orosae e fora slfcaa.

24 Inroção Objevos a Pesqsa a seção aneror eno-se focar e rês asecos snos enconraos na solção e robleas e flxo bfásco acolao co o roblea ecânco: os ferenes éoos ara cara e onas e choqe, as versas forlações e resolções os sseas e eqação, e a avalação a velocae no caso e forlação herbólca. Dessa fora, essa ese esá reconaa a esses rês asecos e al fora a er os segnes objevos rncas: Analsar nercaene, e eos conínos, os ecansos envolvos e conções bfáscas e flxo. Esecfcaene qano e roagação e onas e choqe e alcablae e eos heerogêneos. Ileenar a forlação nérca sfceneene efcaz ara solção o roblea e flxo bfásco e eos heerogêneos o esrafcaos e co acolaeno geoecânco. Para esse f esqso-se alernavas ara obenção o cao e velocae e alcação o MEFD coo alernava ao MVF na solção o roblea e flxo. Aresenar a forlação nérca e qe o MEFD é lzao na solção o roblea e flxo bfásco co o eqlíbro ecânco resolvo elo MEF clássco. Daos os conconanes as versas alernavas e forlação, éoos e solção, e elhor alcablae a eos heerogêneos, o resene rabalho não e coo objevo esgoar oas as alernavas enconraas na lerara, as s a revsão e leenação e algns esses éoos ara alcação e engenhara e eróleo. Por não ser o foco o rabalho, não são aboraos e rofnae asecos e esablae e convergênca os versos éoos, as a revsão é aresenaa e (200). Esse rabalho sege a lnha e esqsa aresenaa or Mller (2007), qe recono os esafos aboraos no aal rabalho, a leenação coaconal abé se baseo no eso já realzao e al fora a ar connae e ana exlorar oa a leenação elaboraa or Mller (2007).

25 Inroção Organzação o Presene rabalho Incalene, nese caílo nroóro faz-se a breve escrção o objeo e esqsa, esacano sa ernênca e relevânca e ana colocano os objevos a sere alcançaos. Os caílos segnes esão ass organzaos: O caílo 2 aresena a revsão as forlações eregaas no eso e flxo bfásco acolao conserano as forlações e flxo e e eqlíbro ecânco ara reresenação aeáca o eo oroso. o caílo 3 são aresenaos város raaenos nércos as forlações as eqações governanes ara os casos acolaos flxo-eforação e conção e flxo bfásco aresenaas no caílo 2. Parno-se e a forlação e eleenos fnos, e seqênca a forlação e voles fnos e or f a forlação e eleenos fnos esconínos ara a eqação a saração; O caílo 4 aresena algns exelos lzaos ara verfcação as forlações e leenações realzaas; O caílo 5 aresena algns coenáros e conclsões as análses realzaas be coo roosas ara rabalhos fros.

26 2. Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 2.. Conserações Geras ese caílo aresena-se a breve revsão as forlações, noralene conseraas na slação e flxo e eos lfásco co acolaeno ecânco. Abora-se as rncas hóeses alcaas à oelage e flxo e eos orosos, e conções e flxo lfásco, arno-se os rncíos a forlação e eo coníno, a oelage aeáca o fenôeno e as efnções fnaenas ara esabeleceno as eqações. a rera are é aresenaa a forlação ara esabeleceno a eqação o eqlíbro ecânco o eo, acoanhano o rabalho aresenao or Mller (2007). a segna are, são aresenaas as forlações e flxo bfásco na fora arabólca e na fora herbólca, e or f, conserações oranes sobre os oelos conseraos ara os flos e oelos consvos conseraos ara o eo sólo são aresenaos Eqação e eqlíbro Aresena-se nesa seção as eqações qe governa o cooraeno ecânco e eos orosos eforáves conserano coo válo o rncío as ensões efevas.

27 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 27 A eqação e eqlíbro é eernaa lzano-se o rncío os rabalhos vras ara robleas qase esácos qe relacona as velocaes as granezas esácas reas, coo a axa a ensão oal σ, a axa as forças e coro b, e a axa as forças e serfíce co as granezas cneácas vras coo as eforações vras ε e os eslocaenos vras seno colocaa na segne fora: ε σ b 0 (2.) As axas as ensões oas oe ser exressas e eros as axas as ensões efevas, ' σ, e as velocaes as oro ressões,, na fora: σ σ ' (2.2) A escrção a relação consva, e eros e axas, nclno versos fenôenos oe ser aa ela eqação: ' ε ε ε ε σ ' σ D (2.3) c a eqação (2.3), ε reresena a axa e eforação oal o esqeleo, ε c a axa as eforações evo à flênca (exressa or a fnção e flênca c, eenene o nível e a rajeóra e ensões), ε a axa as eforações volércas (a qal consera a eforablae os grãos), ε 0 qe reresena oras axas e eforação, coo as rovocaas or fenôenos ércos e qícos e or f 0 ' σ 0 qe reresena a axa a ensão efeva ncal. A arz é eenene o nível e a rajeóra e ensões e város oelos consvos oe ser lzaos ara efn-la. lfcano a eqação (2.3), esrezano-se as arcelas ε c, ε 0, e-se: 0 D ' σ Dε D 3 s σ ' 0 (2.4) eno conserao qe:

28 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 28 s 3 ε (2.5) e qe s reresena o ólo volérco os grãos e qe: ε ε σ D D ',, (2.6) E ana conserano a eqação (2.2), a eqação (2.4) oe ser escra coo: s σ D ε D σ ' 0 3 s 3 I D ε D σ (2.7) Conserano qe ' 0 '' σ ε D σ reresena a velocae a ensão resonsável or oa eforação a fase sóla, a eqação (2.7) oe ser exressa coo: s 3 D ε D σ σ '' (2.8) aseano-se na hóese e lnearae geoérca oe-se escrever a relação enre velocaes e eslocaenos e velocaes e eforações nfnesas na segne eqação: j j,, 2 j ε (2.9) bsno as conserações aca na eqação (2.) e-se: 0 s b ε σ ε D ε ε D ε ' 0 (2.0)

29 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos Análse e Flxo fásco e Meos Porosos essa seção são aresenaas as conserações ara eqaconaeno o roblea e flxo bfásco e eos orosos, é ncalene aresenao o eqaconaeno e flxo lfásco e eos orosos e a fora geral, e seqênca as forlações ara flxo bfásco. ão núeros os lvros exos enconraos na lerara e qe se oe enconrar essas forlações, aé ares não coberas ela revsão qe é a segr aresenaa. Os rabalhos e Azz e ear (959) e Peacean (977) serve o be ara evenal esclareceno e ana oras aboragens qe nesse exo não são conseraas. A revsão ara onage a forlação arabólca é bascaene a esa qe é aresenaa e Mller (2007) e Fran (996), ara o eqaconaeno a forlação herbólca seg-se o rabalho e Menonça (2003) e o rabalho clássco e Peacean (977) Eqação o alanço e Massa Aresena-se nese e a forlação geral as eqações ara o roblea hro-ecânco co flxo bfásco e eo oroso eforável conserano o flxo e óleo e ága. A segr aresena-se a forlação enconraa e Mller (2007) e Fran (996), qe or sa vez sege a forlação e Les e chrefler (998), e a aresenaa e Peacean (977). E eo oroso, o flxo e flo eve sasfazer a conservação e assa e flo. Para efear o balanço e assa e flo, oa-se coo vole e conrole cbo eleenar consío e aeral oroso, Fgra 2.

30 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 30 Fgra 2- Vole e conrole ara balanço e assa o flo. oano-se ncalene o flxo na reção y aravés a face xz, ese coo flxo e assa e flo, q y xz e q y 2 xz. eno e q ensae o flo e vazão, resecvaene. Conserano-se qe q y seja a fnção conína e ferencável, oe-se escrever q y y y (2.) 2 y q q y Dessa fora, o flxo na reção y gera a nção na assa e flo gal a: q y y y (2.2) 2 y q q y O balanço e assa e flo qe aravessa eleeno e vole v = xyz é ao or: q q q x x y z xyz qxyz (2.3) y z Poeno-se enão, reresenar o balanço e assa e flo no eo oroso, eqação a connae, ao or:

31 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 3 xyz xyz q (2.4) O ana, slfcaaene: q (2.5) e qe reresena o ncreeno e assa e flo na arcela nfnesal o eo oroso or nae e eo. oano-se a eqação e Darcy ara reresenar o flxo e flo, oe-se e a fora geral exressar a eqação a connae or: R gh s s s f s D D (2.6) E qe: R R s f r s r (2.7) seno a arz e ereablae nrínseca o eo oroso, a oro ressão coo escro e (2.2), a orosae o eo, g a aceleração a gravae, h a carga e elevação, r a ereablae relava, a vscosae nâca, o gra e saração, o faor e varação e vole, s R o faor e ssolção e gás no líqo, oos referenes à fase e o oeraor ferencal, z y x. O faor e varação e vole escreve a razão enre o vole a fase eo nas conções e ressão e qesão e o vole eo nas conções arão, ao or:

32 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 32 V. V C O faor e ssolção e gás no líqo o R s relacona o vole e gás eo nas conções arão, ssolvo nas conções e ressão arão, ao or: R V gc s V. C. A arcela escreve a velocae e varação a saração a fase Rs A arcela a ensae e flo, abé a fase. reresena a velocae e varação A arcela ε reresena a velocae e varação volérca o esqeleo sólo. A arcela D ε D 2 eerna a velocae 3s 9 s s e varação o vole e grãos evo às ensões efevas. a conção não saraa os vazos o esqeleo sólo são reenchos arcalene or flo olhane e arcalene or flo não-olhane seno (2.8) n A eqação geral e balanço e assa ara flxo bfásco, e acoro co a eqação 2.6 é aa or: e qe: (2.9) gh 0

33 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 33 r (2.20) Forlação Parabólca Daa a eqação geral e balanço e assa, a forlação ara flxo bfásco oe ser osa e versas foras, seja e se arranjo, seja nas varáves eregaas. Ua ossível forlação é a qe se sege, e acoro co Azz e ear (979), enonaa e arabólca, e ana a esa aresenaa or Mller (2007) e Fryan (996). A eqação e balanço e assa ara abos flos, ága e óleo, é a fora: 0 gh n n n n n n n n n n rn (2.2) 0 gh r (2.22) Usano a efnção e ressão calar, n c, e conserano a eqação (2.8) oe ana se ober ferenes forlações e acoro co as varáves seleconaas, qas seja ( n, ) o (, n ), coo se sege: Forlação ( n, ): 0 gh c n r (2.23) 0 gh n n n n n n n rn (2.24) Forlação (, n ):

34 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 34 0 gh n n n r (2.25) 0 gh n n n n n n n c n n rn (2.26) Ana ass, conserano ncoressblae e flos e o eo sólo a forlação ( n, ) oe ser osa ana a segne fora: 0 gh c n r (2.27) 0 gh n n n rn (2.28) Forlação Herbólca Ora anera e se forlar as eqações e flxo bfásco é ela sa fora herbólca, segno Azz e ear (959), lzaa e versos rabalhos, coo or exelo, e Peacean (977). essa fora é aresenaa a eqação refera coo eqação a ressão e ora coo eqação a saração, coo é osrao a segr. Eqação a Pressão Para obenção a eqação a ressão, conserano as eqações ara abas as fases, eqações 2.29 e 2.30, são soaas ara elnação o ero referene a ervaa a saração, na fora:

35 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 35 r gh 0 + rn n n ngh 0 (2.29) qe resla e: r n gh ngh 0 (2.30) lfcaaene a eqação 2.30 oe ser escra e eros a velocae oal e flxo, v, coo: v 0 (2.3) E qe: v v v (2.32) n e v é a velocae a fase olhane efna coo: v r gh (2.33) e v n é a velocae a fase não olhane efna coo: v n rn n gh n (2.34) Desa fora e-se qe: v r rn rn r n gh ngh (2.35) n n Dao qe c n, ervano-se oe se er:

36 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 36 n c (2.36) c n s s (2.37) E sbsno a eqação 2.37 na eqação 2.35 e-se qe: gh gh s s v r n n rn n n rn c n r (2.38) Ass a eqação a ressão é osa na segne fora: 0 Q v (2.39) 0 r n n rn n n rn c n r Q gh gh s s (2.40) e qe Q. Eqação a aração De acoro co Peacean (977), a eqação a saração oe ser oba aravés a cobnação as eqações 2.29 e 2.30, na fora:. 0 a v D (2.4) eno efnas as segnes fnções:

37 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 37 f (2.42) r rn r n h r n c (2.43) r rn rn n e qe f é a fnção e flxo fraconáro a fase olhane e h é a fnção e oblae a fase olhane e ana: c D h (2.44) e v a na eqação (2.4) é ao or: f vx xg x xyg y G v ax va f (2.45) vay vy xyg x yg y G 2.4. Reso as Eqações Geras Daas as forlações aresenaas nas seções anerores, o Qaro 2. aresena reso as eqações qe serão lzaas no Caílo 3 ara o raaeno nérco. Qaro 2. Reso as Eqações Governanes Eqação e eqlíbro b ε D ε ε D 0 s ' ε σ 0 ε Eqação (2.0.)

38 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 38 Forlação e Flxo Parabólco rn n n n n n n gh 0 n rn nn 0 n n n n gh n n n n Eqação (2.23.) e Eqação (2.24.) Forlação e Flxo Herbólco Eqação a Pressão r c n s s rn r gh ngh n c D h e v rn n Eqação a aração va. D 0 co a v v ax ay v v x y f f x xy g x g n Q 0 x xy y g y G g y G Eqação (2.49), Eqação (2.4.), Eqação (2.44.) e Eqação (2.45.) 2.5. Defnções ara as Pressões e Flos Para o acolaeno as eqações e eqlíbro ecânco e as eqações e flxo bfásco faz-se necessára a efnção a axa e ororessão e,.

39 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 39 Ass, aoano a esa sbologa e Mller (2007) a axa e ororessão,, oe ser exressa a segne fora: (2.46) n n n n E co a efnção e ressão calar na segne fora: (2.47) c n e escolheno as varáves coo ráras, no caso, n e, a eqação (2.46) se orna: (2.48) n c c Ora ossblae e se ober a ressão e oro () é aravés a efnção e ressão éa, coo roosa e Geger e al (2004) na segne fora: n (2.49) 2 e qe, a eqação 2.47 ana eranece vála Classfcação e Eqações Dferencas Parcas (EDP) Coo vso nas seções anerores, o roblea e flxo bfásco e eos orosos oe ser forlao e eros e eqações ferencas arcas osas e os os: arabólca e herbólca. A aoção esses noes sege o rabalho e Azz e ear (959), enreano essa noenclara não esá assocaa à classfcação noralene aoaa e exos aeácos, coo será vso a segr. Daa a eqação ferencal arcal (EDP) e segna ore: e ora fora: xx xy yy a 2b c F x, y,,, (2.50) x y

40 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos a 2b c F x, y,,, 2 2 x xy y x y (2.5) o ana: a xx 2b xy c yy x e y f 0 (2.52) z-se qe: EDP Elca se ac b 2 0 EDP Parabólca se ac b 2 0 EDP Herbólca se ac b 2 0 a físca e engenhara efrona-se freqüeneene co esses os e eqações ao se oelar fenôenos oranes, coo flxo e flos, ransore e conananes, fenôenos e conção e calor, enre oros. Algns exelos: EDP s elícas 2 Eqação e Lalace xx 0 2 Eqação e Posson f x y yy xx yy, EDP arabólca Eqação e calor nensonal 2 c xx EDP herbólca Eqação e ona xx egno reyszg (993), a efnção esses os e eqações oe ncar o ossível cooraeno a solção e o éoo e solção arorao. Ana segno reyszg (993), na solção nérca os rês os e eqações qano se e a sbsção as ervaas or eros e ferenças, a solção as EDP s arabólcas e herbólcas não e a garana e convergênca

41 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 4 a solção aroxaa co o refnaeno a screzação. Ass, eve-se er oros créros, resrções ara a aeqaa convergênca e esablae a solção aroxaa. Essa efnção ana oe se aresenar híbra co a ossblae e varar e acoro co o esaço as varáves neenenes. Isso oso, ebora as forlações roosas nas seções anerores seja enonaas e arabólca e herbólca, o cooraeno essas eqações oe ser classfcao ora coo arabólco, co solção as save, o ora coo herbólco co solção qe aresena onas e rarefação e/o onas e choqe. Para exelfcar esses os os e cooraeno, a análse a eqação 2.43, eqação a saração, oe ser fea: qano não se consera a ressão calar no ssea e eqações, a eqação e saração se orna o o herbólca coo se sege: va 0 (2.53) o ana qano a arcela evo a ressão calar é ncla, se cooraeno é o coo arabólco: va. D 0 (2.54) Pós-rocessaeno a Velocae O roceeno e solção aoao nesse rabalho sege rocesso eravo e rês blocos: solção a eqação a ressão, obenção a velocae e solção a eqação a saração aé angr a convergênca as rês varáves. Da eqação 2.4 ercebe-se a necessae a obenção os coonenes e velocae no asso nereáro, seno qe város roceenos são aresenaos na lerara.

42 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 42 Ua rera aroxação é o cálclo a velocae a arr a Le e Darcy na eqação 2.38 aq rearesenaa: v r rn rn r n ngh gh (2.55) n n De ora fora, Alcoforao (2007) afra qe a alcação a forlação o éoo e Galern e conjnção co a le e Darcy ara robleas co ereablae heerogênea gera caos e velocaes não conservavos (Mosé e al.,994) fazeno co qe a le e conservação e assa oal não seja obeeca no nível e caa eleeno. Menonça (2003) lza-se a esraéga e ós-rocessaeno global o cao e velocaes aresenaa or Mala e al (2000) baseaa na forlação varaconal a le e Darcy cobnaa co o resío a eqação e balanço e assa, coo se sege: ~ v nel e ~ e v Q 0 n c g n n (2.56) e qe v~ é o veor e velocaes ós-rocessaas e o arâero é eenene a alha e eleenos fnos e oe ser oao coo he/2, one he é o aanho caracerísco o eleeno ao or he 2A, seno A a área o eleeno. Co a lzação esa écnca e ós-rocessaeno o cao e velocaes as varáves o roblea, ressão, velocae e saração, são aroxaas or nerolações Lagranganas e esa ore (Menonça, 2003). De ora fora, Alcoforao (2007), Correa (2006) e Rbero (996) aresena a nerolação o cao e velocaes aravés as aroxações no esaço e Ravar-hoas e as baxa ore, R 0, nrozas ela reresenação as velocaes nas aresas os eleenos e ossblano a esconnae a velocae na reção angencal as aresas.

43 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 43 Coo exelos, são osraos na fgra 2-2 os eleenos ranglar e qaráco e as fnções e nerolação e R 0. 2=(0, (+)/4) 3=(-,) 2=(,) =((-)/4,0) - =((+)/4,0) 0-4=(0, (-)/4) =(,-) Fgra 2-2 Eleenos ranglar e qarlaeral e R 0. Coo osrao na fgra 2-2 as fnções e aroxação e R 0 ara eleenos ranglares e qarlaeras são a fora: ara eleenos ranglares ara eleenos qarlaeras 4 Oros os e eleenos, as fnções e R 0 oe ser enconraas e Hoe e al (2008). O esaço e aroxação e R 0 é cooso e rês esaços e aroxação snos: a ressão éa e oo o eleeno; a ressão éa e caa face o eleeno, e a varável veoral (flxo) no eleeno coo nerolação e flxo nas aresas e acoro co a fnção e fora. o n faces v v (2.57) j j j

44 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 44 Coo roreaes as fnções e aroxações e R 0 e-se qe. é consane no eleeno e qe. j. O rabalho e Chaven e al (99) serve coo a boa base ara coreensão os eleenos e R. Para qe essas roreaes seja válas ara eleeno qalqer é necessáro conserar a ransforação e Pola na fora: j Φ P. (2.58) j j e qe P é a arz e ransforação e Pola aa or: J P (2.59) e J e J é a arz jacobana o eleeno e ej o eernane a arz jacobana Deernação a Porosae Alé as rncas varáves envolvas no acolaeno e flxo bfásco e ecânco (eslocaenos e ororessões), ora roreae e exrea orânca exsene nesses os cooraenos é a orosae, e a fora e sa eernação é ono qe eve ser conserao. E forlações clásscas e slação e reservaóros e eróleo, ear (989) e ore e Faroq (989), a Pao e al (200), e anera esacolaa, aresena a relação qe é coene aoaa ara a avalação a orosae, aa or: c (2.60) e qe é a varação a orosae co a varação e ressão e c é coene conheco co coressblae o oro, Pao e al. (200).

45 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 45 Enreano, Pao e al (200) coloca esa relação e úva or esabelecer relação lnear ara a varação a orosae; exerenos e osrao cooraeno conráro a essa relação, Havoller, a Pao e al (200). Pao e al (200) roõe a segne eqação aeáca eonsraa lzano a noenclara e Les e chrefler (998), na qal se baseo o rabalho e Mller (2007): 2 (2.6) E qe e são os ólos e eforablae o eo e a arz orosa, resecvaene. Ana e a fora as geral a eqação 2.6 oe ser osa na segne fora: ε (2.62) ε D D Relações Consvas ara Pereablae o oelo físco conserao ara as efnções as eqações governanes anerores, caa consne ( = s, f, f n ), sólo, flo olhane e flo não olhane, e a ensae oba co sa resecva fração volérca = V /V one V = vole o consne, seno: (2.63) A ensae (éa) é efna coo: ( x, ) V ( x, ) V (2.64) V V V V e ana qe: s e s é a fração volérca e sólo. (2.65)

46 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 46 Da esa fora qe são efnas frações volércas as fases oe-se efnr a fração e vole e oros, qano o eo sólo é conserao, na fora: v = V v /V, seno V v o vole não ocao or eo sólo. Qano os vazos o eo oroso esão reenchos or os o as flos scíves, o conceo e saração é efno, coo seno a fração o vole oroso ocaa or a eernaa fase. Colocano a eqação 2.63 e ora fora, e conserano flxo bfásco, eos ara saração, qe:, n, (2.66) e qe e n são as sarações e flo olhane e não-olhane, resecvaene. Ana ass, oe ser conserao qe eernaa fase ossa angr se enor valor ossível, caracerzao coo saração resal, seno reresenaa or r, n. É co ara análse e escoaeno bfásco, a efnção e saração efeva coo: e r, (2.67) r rn e qe e é a saração efeva, é a saração a fase olhane, r é a saração resal a fase olhane e rn é a saração resal a fase nãoolhane, e ana: r. (2.68) rn A le e Darcy generalzaa é lzaa ara o flxo lfásco qe relacona a velocae éa e caa fase ao graene, à ereablae e à vscosae corresonene a ressão. Ass, a velocae éa ara a fase π é: ν ν r Κ νr. g. (2.69)

47 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 47 e qe g é o veor aceleração gravaconal, π, μ π, v rπ e π são resecvaene ressão, vscosae nâca, velocae real, e ereablae nrínseca π. abé, π é relaconao à ereablae nrínseca e à ereablae relava rπ or: Κ Κ. (2.70) r Por ser a caracerísca nrínseca o eo algns aores erega forlações e varação a ereablae absola coo eenene a orosae coo, or exelo, a relação Caran-ozen, so é: 3 Κ Κ (2.7) 0 2 ( ) e qe 0 oe ser oaa e exos e ereablae rncal as coo e as ensões, or exelo: Κ 0 x y0 (2.72) co x0 e yo seno as ereablaes nrínsecas ncas nas reções x e y, resecvaene. O ensor e ereablae absola 0 efno na Eqação (2.72) ee a hablae o eo e err o escoaeno e flos aravés e ses oros. Porano o ensor e ereablae absola é a caracerísca nrínseca o eo. Ora ossblae aresenaa e Garães (2002) é a aroxação exonencal a fora: Κ 0 ex[ b ] (2.73) Κ 0 A ereablae relava e so conseraa aravés e crvas obas e laboraóro aravés e ensaos realzaos sobre aosras o eo oroso, seno exressas or fnções não-lneares a saração a fase olhane s. Ass, város aores aresena ferenes foras e oelar as crvas e ereablae relavas.

48 Forlações Maeácas ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos 48 U oelo be as sles, o co e engenhara e eróleo ara reresenar as ereablaes relavas as fases olhanes e não-olhanes resecvaene, é ao or: 2 r e rn 2. (2.74) Oro oelo ao or exressões se-eírcas é aresenao or roos e Corey (964), na fora: [( 23 ) / ] e. (2.75) r E a ereablae relava a fase não olhane é escra ela eqação: 2 [(2 ) / ]. (2.76) rn e e e qe é arâero e acoro co o o e aeral, relaconao ao aanho os grãos sólos. A fgra 2-3 aresena a reresenação as crvas e ereablaes relavas olhane e não olhane e a crva e ressão calar or e fnção a saração. r/rn r rn Pc() 2 x Pc() Fgra 2.3 Crvas e ereablae relava e e ressão calar (Moelo e roos e Corey).

49 3. Forlações ara lação e Flxo fásco e fáscoacolao e Meos Porosos va Méoos ércos 3.. Conserações Geras ese caílo aresena-se a breve revsão as forlações nércas noralene conseraas na slação e flxo lfásco e eos orosos, arno-se os rncíos a forlação e eo coníno, a oelage aeáca o fenôeno, e o raaeno lzano éoos nércos, Preraene, are-se e a forlação nérca ara flxo bfásco esacolao, flxo bfásco acolao, eregano-se o éoo e MEF, chaao e clássco o e Galern, acoanhano o rabalho aresenao or Mller (2007) ara o caso e forlação as eqações o o arabólca. E sega é aresenaa a forlação lzano o éoos os voles fnos MVF rooso or Geger e al (2004) e or f a forlação ara a eqação a saração eregano éoos os eleenos fnos esconínos MEFD coo rooso e Hoe e al (2008), e abos os casos, ara forlação as eqações o o herbólca. Os ferenes éoos e screzação as eqações governanes o roblea oe levar a versas nsablaes, nércas e efeos fsvos, na solção as eqações, Helg (997). Ass ese rabalho bsco avalar algns éoos qe se roõe a esablzação as solções, enre eles o éoo e MVF rooso or Geger e al (2004) e o MEFD rooso or Hoe e al (2008) ara a cara e frene e saração e alcablae a eos orosos heerogêneos. Ao fnal esse caílo é aresenao o raaeno nérco o roblea e análse não lnear global co os roceenos eravos e solção ara os

50 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 50 robleas e flxo bfásco e flxo bfásco acolao, be coo a análse não lnear local o roblea e lascae oso e fora e rograação aeáca Forlações ércas as Eqações Governanes A alcação e éoos nércos a robleas e flxo e so nensvaene esaa, exsno versos éoos e aroxação. Co ênfase no éoo os eleenos fnos, nas sas versas varações, rabalho be coleo oe ser enconrao e Donea e Hera (2003). a seção segne aresena-se a forlação va eleenos fnos, refero coo éoo e Galern Forlação e Eleenos Fnos Méoo e Galern As eqações na fora arabólca, eqações 2.25 e 2.26, coo escro e Mller (2007), oe ser escras va eleenos fnos na fora: 0 gh n n n n rn n n n rn n n q (3.) 0 gh n r c r n r n q (3.2)

51 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 5 a leenação as eqações 3. e 3.2 fo conserao a esa nerolação ara a ororessão e a saração, segno o rabalho e Mller (2007). Dscrezação no eo: Para screzação no eo lza-se o éoo raezoal generalzao na fora: q q q e qe n q, são as varáves ráras a sere eernaas a caa asso e eo. Para onage o ssea e eqações são conseraos os segnes eros: n n n rn n n n n n rn n gh F n q (3.3) c r n r n n r gh F q (3.4) Poeno-se efnr o veor e resíos coo: q R seno n n n,,,, F F q (3.5) e qe:

52 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 52 0 n n n n n n n F F F F (3.6) 0 n n n F F F F (3.7) As eqações 3.6 e 3.7, na fora arcal, se orna: n n n n n n n n F F F F F F (3.8) n (3.9) Ass, o roblea fnal e flxo bfásco oe ser ass oso: n n n n n n n n,,,, F F M O H M O H (3.0) e qe: r Η (3.) n rn n Η (3.2) O (3.3) n n O (3.4) M (3.5)

53 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 53 n n M (3.6) as eqações e 3. a 3.6, Η, n Η, são as arzes e flxo ara fase olhane e não-olhane, resecvaene, O, n O, são as arzes e arazenaeno ara fase olhane e não-olhane, resecvaene, M, n M são as arzes evo a coressblae a fase olhane e não-olhane, resecvaene. Forlação flxo bfásco acolao Ana segno o roceeno aresenao or Mller (2007), a eqação ara o flxo a fase não-olhane sob forlação e eleenos fnos é escra ela eqação (3.7), as nserções os eros referenes ao acolaeno ecânco aq não são escras, as oe ser enconraos e Mller (2007), Fran (996) enre oros: gh n n n n rn n n n rn n s s n n n n s s c s n n c n n s s n n n q D D D D (3.7)

54 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 54 A eqação ara saração a fase olhane é oba e anera análoga, seno escra or: gh n r c r n r n s s n n s s c s n n c s s n n q D D D D (3.8) De acoro co roos e Hghes (982), ara qe ossíves osclações não ocorra oe-se eregar éoos qe lza a forlação esablzaa. Mller (2007) consera o refnaeno a alha e eleenos fnos o o conrole os ncreenos e eo sfcenes. Para esablzação a solção, geralene lza-se éoos a faíla Perov-Galern, coo, or exelo, o éoo UPG (realne Un/Perov-Galern), aresenao na sére e rabalhos blcaos or Hghes e oros, Hghes e al (986a, b) e Hghes e al (987), seno a as alcações o éoo enconraa e Caos (999). Dscrezação no eo: Para screzação no eo lza-se o éoo raezoal generalzao na fora: q q q

55 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 55 e qe n q, são as varáves ráras a sere eernaas a caa asso e eo. Para onage o ssea e eqações consera-se os segnes eros: c s n s c n s F D D D D b ' 0 (3.9) n n n rn n s s n n n n s s c s n n c n n s s n n n n n n rn n gh F n D D D D q (3.20)

56 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 56 c r n r n s s n n s s c s n n c s s n n n r gh F D D D D q (3.2) Poeno-se efnr o veor e resíos coo: q R seno n n n n,,,,,,,,, F F F q (3.22) e qe: 0 n n n F F F F F (3.23) 0 n n n n n n n n F F F F F (3.24)

57 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 57 0 n n n F F F F F (3.25) As eqações 3.24 e 3.25, na fora arcal, se orna: n n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F F F (3.26) e qe: n (3.27) Ass, o roblea fnal e flxo bfásco acolao oe ser ass oso: n n n n n n n n c n,,,,,, F F P M O H G L P M O H G L L L (3.28) e qe: D (3.29) s D L 3 (3.30)

58 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 58 s c c D L 3 (3.3) s n n n D L 3 (3.32) s n D L 3 (3.33) r Η (3.34) n rn n Η (3.35) s s n D G 2 9 (3.36) s s n n n D G 2 9 (3.37) O (3.38) n n O (3.39) M (3.40) n n M (3.4) n s s c D P 9 2 (3.42)

59 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 59 P n c s 9 2 s n D (3.43) as eqações e 3.28 a 3.43, Η, olhane e não-olhane, resecvaene, Η n, são as arzes e flxo ara fase O, O n, são as arzes e arazenaeno ara fase olhane e não-olhane, resecvaene, M, M n são as arzes evo a coressblae a fase olhane e não-olhane, resecvaene, L, roblea ecânco. L c, L n e L n são as arzes e acolaeno co o Forlação e Voles Fnos aseao e Eleenos Fnos essa seção aresena-se a forlação e voles fnos baseaa e eleenos fnos escra or Geger e al (2004a) e Geger e al (2004b). esa forlação lza-se a eqação o roblea e sa fora herbólca, co a eqação chaaa e eqação a ressão, o ós-rocessaeno a velocae e a eqação a saração. Fgra 3-: Foras ossíves e onage o vole e conrole, a) baseao na célla, b) baseao na célla e vérce e c) baseao no vérce. (exraío e Carvalho, 2005) A fgra 3. aresena rês foras snas e foração o vole e conrole qe oe ser saas no MVF. A resene forlação é baseaa na qal o vole e conrole é consrío sobre a alha e eleenos fnos, co o vole e conrole baseao no vérce ara alhas não-esrraas. Ass, asso aneror na solção va MVF é a consrção as esrras geoércas coo áreas as aresas e veores noras às aresas.

60 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 60 Geger e al (2004a, b) are a eqação roosa or Drlofsy (993) já co a arcela o acolaeno geoecânco na eqação a ressão, aresenaa a segr: Eqação a ressão: c 2 n c g n n Q (3.44) seno as versas varáves já escras anerorene e a as: a arcela c, qe corresone a arcela e coressblae o eo. Ana ass, e-se a eqação a velocae ós-rocessaa lzano a Le e Darcy e conção e flxo bfásco: v g 2 c n n (3.45) Esses aores coloca a eqação a saração na segne fora: f gn n n f c Q v (3.46) O raaeno nérco as eqações a ressão e saração, eqações 3.44 e 3.46, é realzao lzano o MEF ara a eqação a ressão e o MVF é alcao à eqação a saração, coo é osrao a segr: Inegrano-se a eqação (3.44) no vole o eleeno, chega-se a: c n c 2 Q (3.47) eregano-se a segne nerolação olnoal qe efne a ressão no neror o eleeno e fnção os onos noas * : * (3.48) a eqação a ressão e eleenos fnos oe ser colocaa coo:

61 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 6 c q 0 * * nn g P (3.49) O ana, na fora resal: F q c n n g P (3.50) Esa eqação oe ser reresenaa, sano ressão ncreenal, e a fora coaca coo: e H G F, (3.5) Η (3.52) c G (3.53) H e G são as arzes e ereablae e coressblae, resecvaene. De fora slar a eqação a ressão, negrano-se a eqação (3.46) no vole o eleeno, chega-se a: V V q V V V f v V c V gz V V V (3.54) e eregano a screzação eoral exlíca, e-se:

62 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 62 A A ns j e g z e e q A e A e j ns ns f j v j n j jc j n j A j n j (3.55) Daa a caracerísca arabólca-herbólca a eqação a saração, éoo e cara a frene e saração eve ser eregao. U éoo basane eregao é o éoo e rera ore, chaao e esqea n. Oro éoo rooso or Geger e al (2004a, b) é a lzação a aroxação e segna ore qe elhora a cara a frene e saração. Esse éoo se basea na nerolação os valores as sarações nas aresas o vole e conrole consrío sobre a alha e eleenos fnos aravés a lzação os graenes nesses onos, ass: 2 M lal l b =,2 (3.56) e qe: M l n x j x x jl xl j (3.57) b n j x j x j (3.58) eno enão calclaa a nova saração a arr o veor a e a localzação o ono éo a aresa. ~ x a x x (3.59) Da leenação esses esqeas ana oe srgr a fsão nérca excessva a frene e saração e osclações nércas qe oe levar a nsablzação o ssea. Ua écnca coene eregaa coo alernava as efcaz é a lzação e laores e nclnação ara nerolação o cao e saração, srgno oro cao nerolao:

63 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 63 x a x x e qe o arâero é obo or: seno (3.60) n r, (3.6) j r ax / j n / j se se se j j j (3.62) e n ax n ax, n ( j,... n, ax ( j,... n j j ) ) (3.63) Observano a eqação 3.60 qano se anla, e-se o esqea n e rera ore Forlação e Eleenos Fnos Desconínos Aalene éoo qe e so lzao nensvaene ara a solção e robleas e ecânca os flos coaconal, e esecal no caso e eqações herbólcas, é o éoo os eleenos fnos esconínos (L (2006), Rvère (2008), anscha (2007), Hoe e al (2008) e oros). egno Hoe e al (2008), o MEFD oss coo oranes caraceríscas a conservação e assa a nível e eleeno, flexblae ara geoeras colexas co aroxações e ala ore, alé o qe, aresena enos sersão nérca e é lvre e osclações esúras qano aeqao laor e nclnação é lzao. O MEFD oss a vanage e se oer lzar a esa vsão e oíno o MEF clássco oeno ser lzaas as esas fnções e

64 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 64 nerolação, ncororano forlações o MVF nos flxos nas aresas. Poe-se eonsrar a eqvalênca e MEFD e MVF qano as fnções e nerolação são eqvalenes. A segr aresena-se a forlação roosa or Hoe e al (2008) ara solção a eqação a saração e MEFD co a lzação e a screzação eoral exlíca e Rnge-a e segna ore e laores e nclnação ara evar osclações esúras na solção o ssea. Para solção a eqação a ressão e a velocae, Hoe e al lza a forlação sa e eleenos fnos. Conserano a eqação a saração co ressão calar nla, eqação 2.4, alcano MEF e o eorea a vergênca e-se: e v V e v n j 0 (3.64) or: E qe, consseneene os flxos nércos, v, eve ser aos C v v (3.65) e qe: 0. 5 n n (3.66) Os síbolos (+) e (-) esgna caa face o eleeno, seno (+) no exeror o eleeno e (-) no neror o eleeno, e as n e n ara os veores noras nesses os senos. A fgra 3.2 aresena a reresenação esqeáca os veores noras a a aa aresa or eleeno.

65 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 65 Fgra 3.2 Reresenação esqeáca os veores noras, exeror ao eleeno. (exraío e L, 2006), e os veores noras neror e Escolheno C 0. 5 v n I, o flxo nérco, v, é calclao elo esqea clássco e n, aoao abé e Hoe e al, e colocao na segne fora:. v n v v 0 5 (3.67) Conserano ana a segne aroxação: e qe e (3.68) e é o núero e nós o eleeno e é a fnção e fora assocaa ao nó, e-se a segne forlação e eleenos fnos esconínos, aoanose coo varável rára: s s M,, 0 s, (3.69) M é a arz e assa, é a negral e vole,, e, reresena a conrbção o conorno assocao ao eleeno, o eleeno, s é o núero e laos o eleeno e assocao aos eleenos vznhos. é o veor e ncógnas ara s, é o veor e ncógnas De ora fora a eqação aca oe ser reescra coo se sege:

66 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 66 M s, s, s, (3.70) o L (3.7) Para obenção e a solção eoral, oe ser alcaa a screzação exlíca a fora: L (3.72) o ana o éoo e screzação eoral e Rnge-a (R) e segna ore, coo se sege: L (3.73) 2 L (3.74) 2 Aós a obenção o cao e saração ao fnal a segna ore a screzação e R é alcao o oeraor e laor e nclnação na fora: ~ L (3.75) E qe o L é o oeraor rooso or Chaven e al (986): n W, e W sjeo a nv W, e nv,n W Defnno-se as segnes varáves:,ax,,..., n v (3.76), e, e e e, n n e, e, ax ax, e (3.77) e

67 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 67 W ~ (3.78) e ana: n v é o núero e nós or eleeno é o conjno e eleenos qe coarlha o nó o eleeno e Análse ão-lnear Local A solção o roblea e análse não-lnear local, roblea a lascae, oe ser or oso e as foras eqvalenes: resolveno-se a eqação e eqlíbro o oslano o roblea e fora e rograação aeáca (Vaz, 20). Dessa fora, aresena-se nessa seção algns conceos ara o eneneno a análse não lnear local, e qe o roblea e análse elasolásca nesse rabalho é aresenao coo roblea e rograação aeáca arno o rncío a áxa ssação lásca (PMPD), be coo são aresenaos os oelos consvos aoaos nesse rabalho (oelo e Mohr Colob e oelo e von Mses) Prncío a áxa ssação lásca Coo escro e Mller (2007), o rncío a áxa ssação lásca é a base a forlação aeáca as les e evolção a eora a lascae e esá fnaenaa na hóese e qe a eforação lásca se á e oo qe a energa ssaa seja áxa. A escrção aeáca o PMDP are o conceo e energa e ssação lásca, ao coo seno a axa e varação a energa nerna e relação às varáves láscas co o snal rocao. e W W D ( ε, ε, ε, a, a ) ε a (3.79) ε a

68 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 68 e qe a é o veor as varáves nernas, a é a axa e varação as varáves nernas, elásca e W, é a axa e eforação lásca,, é a energa e eforação lásca. e W, é a energa e eforação As eforações oas e rabalho oal oe ser reresenaos coo: W e e e eno W W ε e W W e e a arcela lásca W a varáves nernas, a eqação 3.78 oe ser reescra coo: ε e ε ε (3.80) W, fnção soene as W e e ε W a W ε ε W a e W (3.8) bsno 3.8 e 3.79, e-se: e W ε ε W D ( ε, ε, ε, a, a ) ε a (3.82) ε a e W ε ε Dao qe σ e ε lásca oe ser rescra coo e W ε ε ε ε ε e W ε e, a ssação W D ( ε, ε, ε, a, a ) σε a (3.83) a Defna a ssação lásca o ssea oe-se forlar o roblea na fora e rograação aeáca ara alcação os éoos noralene lzaos ara solção os robleas e ozação, ass o PMDP é oso na segne fora: Mnzar : D ( σ, a) sjeo : F( σ, a) 0 (3.84) e qe F ( σ, a) reresena a fnção e escoaeno, coo será vso as a frene. O roblea e nzação co resrções oe ser escro coo roblea se resrções nrozno-se os llcaores e Lagrange. A fnção e Lagrange corresonene ao roblea é:

69 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 69 ), ( ),,,, ( * * * * * * a σ a a ε σ a ε a σ F W L (3.85) O síbolo (.) * nca ser ono correne qe aene necessaraene as conções e hn-cer. Escreveno-se agora as conções e hn-cer, conções necessáras ara exsênca e valor exreo, e-se: * * * * * * * ), ( 0 ), ( σ a σ ε σ a σ ε σ F F L (3.86) * * * * * * * * 2 * ), ( 0 ), ( a a σ G a a a σ a a a a F F W L (3.87) 0 ), ( * * a σ F (3.88) 0 ), ( * * a σ F (3.89) 0 (3.90) e qe * * 2 a a G W (3.9) Observano-se as conções e hn-cer, aresenaas aca, e-se coo conseqênca o PMPD as segnes conserações: a eqação (3.86) reresena a le e escoaeno assocaa, a eqação (3.87) reresena a le e encraeno. E (3.88) se verfca a conção e conssênca e e (3.89) aravés a conção e coleenarae se verfca a conção e carregaeno/escarregaeno. o e Hghes (997), a Mller (2007) ca qe o PMDP lca e: flxo assocao no esaço as ensões, conção chaaa e noralae; conção e carregaeno/escarregaeno aa ela conção e coleenarcae e hn-cer e convexae o esaço as ensões. De ora fora o roblea aresenao e (3.84) oe ser reescro, e acoro co o e Hghes (997), sob a segne fora:

70 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 70 σ a σ, a Mnzar ese 2 2, E σ σ D a a G 2 2 (3.92) sjeo: F( σ, a ) 0 e qe D é o ensor consvo elásco, G é ólo lásco generalzao, abos assos consanes, ese σ é o ensor as ensões ese (geralene asse-se o elásco) e E é o esaço as ensões assíves, σ D σd σ oe ser vso coo a nora a energa e a G ag a coo a nora nza or G. Para o caso e lascae erfea o segno ero enre chaves a eqação (3.92) é nlo. Ana, σ é a rojeção ao ono as róxo ese e σ na serfce e escoaeno. Ass oso, é lzao o algoro QP ara solção o roblea não lnear reslane. Das eqações qe escreve o roblea e acolaeno flo ecânco e-se a resença o ensor consvo angene o elasolásco D, qe oe ser avalao a segne coo: F F D D D D (3.93) σ σ H F F H Dg h (3.94) σ a eno g e h resecvaene, fnções qe efne a reção o flxo lásco e a evolção e a. Para lascae assocaa g F σ. Para reresenação a fnção e escoaeno, são aoaos nese rabalho os créros basane referencaos e ecânca os solos clássca, a fnção e escoaeno e Mohr-Colob e a fnção e escoaeno e Von Mses, baseaos exclsvaene no esao e ensão, Chen e L (977). E eros e nvaranes e ensões o créro e Mohr-Colob oe ser escro or:

71 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 7 I F MC sen J 2 sen J 2 cos sen ccos 0 (3.95) e qe I reresena o rero nvaranes e ensão, J 2 reresena o segno nvarane as ensões, e c são os arâeros o oelo e Φ é o ânglo e Loe ao or: sen e qe (3.96) 2 2 J 2 J Já a fnção e escoaeno e Von Mses escra e eros e nvaranes e ensão é aresenaa coo: F VM 2 2J 2 y (3.97) 3 e qe y é a ensão e escoaeno. as efnções o ensor consvo angene o elasolásco D aresenao na eqação (3.93) é necessára a efnção a ervaa e relação às ensões a fnção e escoaeno, ara a fnção e escoaeno e Mohr-Colob e ara fnção e escoaeno e von Mses, e-se, resecvaene, eqações (3.98) e (3.99). σ F I I F σ J FMC MC MC 2 2 J σ FMC σ (3.98) F J MC FMC σ J σ 2 2. (3.99) 3.4. Proceenos e olção egno Les e cherefler (998), a solção acolaa o roblea ecânco e e flxo e eos orosos oe ser resolva eregano os roceenos snos: oalene acolao o esacolao.

72 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 72 a solção acolaa e-se a solção o ssea coleo e eqações, e eros e eslocaenos, oro-ressão e saração. a solção esacolaa ese a solção e os sseas reraene, ecânco o e flxo, e a solção e eses sseas é ncororao coo enraa no oro ssea. Os os roceenos são conseraos no resene rabalho, seno o roceeno acolao eregao elo MEF Galern aresenao na seção 3.2. e o roceeno esacolao eregao no MVF e MEFD aresenaos nas seções e 3.2.3, resecvaene. Ana enro essa classfcação são enconraos város éoos ara os roceenos acolao e esacolao. o roceeno acolao oe se efnr o roceeno oalene acolao e o roceeno arconao, al coo aresenao e Mller (2007). o roceeno oalene acolao o ssea coleo e eqações é solconao conjnaene e eros e eslocaenos, oro-ressão e saração e no ssea arconao, conheco coo roceeno saggere, o ssea é arconao e as ares, roblea ecânco e roblea e ressãosaração e qe eravaene são resolvos aralelaene. U eso a alcação eses roceenos fo aresenao or Mller (2007), Les e cherefler (998) e Ferrera (996), one são aonaas as vanagens e esvanagens e abos os éoos. o roceeno esacolao são váras as alernavas enconraas, os sseas oe ser resolvos searaaene, co ssea ecânco e ssea e flxo, se rocesso eravo ara a convergênca os os sseas, roceeno esse basane sal e engenhara e eróleo, e roceeno eravo enre os os sseas aé a convergênca e abos. Esse úlo roceeno é alcao nos sseas acolaos ara o caso o MVF e o MEFD aresenaos nas seções e 3.2.3, resecvaene. E eros e screzação eoral o roceeno e se nerolar a eqação a ressão lcaene e a eqação a saração exlcaene, á-se o noe e IMPE (lc ressre exlc saraon), seno ese o caso as forlações e MVF e o MEFD aresenaas no resene rabalho.

73 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 73 as seções segnes são aresenaos os roceenos eregaos no resene rabalho Proceeno ara o roblea e flxo bfásco Para o roblea e flxo bfásco se acolaeno ecânco e oso na sa fora herbólca é lzao rocesso eravo, co créros e convergênca e eros e ressão, velocae e saração, segno a esraéga e solção seqencal aresenaa or Menonça (2003) e ey (2002) e qe consse nos segnes assos:. Resolve-se a eqação a ressão. 2. Calcla-se o cao e velocaes. 3. Resolve-se a eqação a saração. Ass e al fora o algoro eravo reor lcorreor alcao e escro e Menonça (2003) é aresenao a segr: Insane +. Esava ncal n n e e-se v. Eaa Proceeno eravo +. Eaa 2 Avala-se n, v, co as eqações va MVF o MEFD e verfca-se a convergênca conjna ela olerânca o núero áxo e erações. Verfcaa a eaa 3, aalza-se as granezas n, e reorna a eaa e novo asso e eo é ncao, caso conráro nca-se novo asso a eaa 2 co os valores aalzaos e Eaa 3 Eaa 4 n,.

74 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 74 esse algoro, aenas ara a solção o roblea e flxo, os sseas reslanes a solção a eqação e ressão e velocae oe ser resolvos lzano roceenos eravos ara sseas sércos, coo o graene conjgao (GC), eregao nesse rabalho. Para a eqação a saração não é necessáro resolver-se ssea, as seqüencaeno e oeração as varáves noas o MVF o o MEFD Proceeno saggere ara o roblea e acolaeno flo ecânco co flxo bfásco va MEF Coo aresenao or Mller (2007), ara o roblea co flxo bfásco acolao lzano o MEF, aoo-se a segne esraéga e solção: arcono-se o roblea, osrao na eqação 3.28, e as ares: roblea ecânco e roblea e ressão-saração. Problea ecânco: F,, Problea e ressão-saração. (3.00) n G n H G H F n F n n n O O,,,, n M M n P P n n (3.0) Aoano os caos e eslocaenos e sarações a fase olhane ara verfcação a convergênca a solção, escreve-se o algoro, aresenao e Mller (2007), ara solção o roblea n nsane + coo: Insane +. Esava ncal n n e Eaa

75 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 75 Proceeno saggere eração + Eaa 2 Avala-se j+, co a eqação e eqlbro ecânco e verfca-se convergênca j+ ara olerânca o núero áxo e erações. Co o veor obo na eaa 3 avala-se n, co as eqações e flxo bfásco e verfca-se a convergênca as sarações a fase olhane. ão verfcaas as eaas 3 e 4 ara convergênca o núero áxo e erações reorna-se a eaa 2 coo os valores aalzaos e eaa. n,, caso conráro nca-se novo asso a Eaa 3 Eaa 4 Eaa Proceeno saggere ara o roblea e acolaeno flo ecânco co flxo bfásco va MVF e MEFD De fora slar ao aresenao nas seções anerores ara os algoros lzaos na solção os robleas e flxo bfásco e flxo bfásco acolao, nessa seção aresena-se o algoro eregao na solção e flxo bfásco acolao ara as forlações e MVF e MEFD. O algoro eregao é a aborage os os algoros aresenaos anerorene seno sles acolaeno os os ara o caso as forlações e MVF e MEFD, e fora análoga abé ao roceeno escro e Alcoforao (2007). Alcoforao aresena a scssão esse roceeno eravo seqencal co sas versas foras e leenação. Ass, a esa fora qe o roceeno aoao or Mller (2007), roôs-se nese rabalho a esa vsão o roblea acolao global: roblea ecânco ao or: F,, (3.02) n n

76 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 76 E as as ossblaes ara o roblea e ressão-saração. MVF. Resolve-se a eqação a ressão. H G F, (3.03) 2. Calcla-se o cao e velocaes. 3. Resolve-se a eqação a saração. A A ns j e g z e e q A e A e j ns ns f j v j n j jc j n j A j n j (3.04) MEFD. Resolve-se o roblea so. H G F, (3.05) 2. Calcla-se o cao e velocaes. 3. Resolve-se a eqação a saração. L (3.06) Ass roceeno, o algoro sgero é osrao a segr: Insane +. Esava ncal n n e Eaa Proceeno saggere eração + Eaa 2 Avala-se +, co a eqação e eqlbro ecânco e verfca-se Eaa 3

77 Forlações ara lação e Flxo fásco e fásco-acolao e Meos Porosos va Méoos ércos 77 convergênca + ara olerânca o núero áxo e erações. Proceeno eravo j+. Eaa 4 Avala-se j n, j v, j co as eqações va MVF o MEFD e verfca-se a convergênca conjna ela olerânca o núero áxo e erações. Verfcaa a eaa 5, aalza-se as granezas n, e orosae, e reorna-se a eaa e novo asso e eo é ncao, caso conráro nca-se novo asso a eaa 4 co os Eaa 5 Eaa 6 valores aalzaos e j n, j. ão verfcaas as eaas 3 e 6 ara convergênca o núero áxo e erações reorna-se a eaa 2 coo os valores aalzaos e eaa. n,, caso conráro nca-se novo asso a Eaa 7

78 4. Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 4.. Conserações Geras Ese caílo aresena algns exelos co o objevo e verfcar as forlações e leenações realzaas. Inca-se co exelo clássco a ecânca os solos, no qal o objevo rncal é avalar a leenação e o cálclo a orosae, conseraa a varável orane no acolaeno ecânco e flxo bfásco. Os exelos e lacas aralelas, escoaenos enre barreras e roblea co solção analíca conheca objevara a verfcação os versos éoos e avalação a velocae. Para verfcação as leenações as forlações bfáscas são analsaos os robleas clásscos: roblea nensonal e cley- Levere e o exelo e flxo bensonal e cnco oços. Ua alernava ara verfcar o roceeno eravo o acolaeno ecânco e flxo bfásco é analsano a slfcação o roblea e aensaeno nensonal e erzagh e qe o eo se enconra co saração oal e os flos, aravés o MVF e MEFD, já qe a eqação a saração é esconseraa. Daa a fclae e se ober reslaos e lerara ara flxo bfásco e eos orosos heerogêneos, são analsaos exelos e eos esrafcaos enconraos na lerara ara valação qalava as leenações, e ana a avalação a alcação e eos geológcos nclno falhas co análse ecânca acolaa, va MEFD.

79 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos Aensaeno nensonal Ese exelo raa o roblea e a colna e solo sobre a caaa ríga e ereável, a colna esá ncalene saraa e sjea a carregaeno na serfíce. O roblea e aensaeno fo esao ncalene or erzagh (934), o (94) e ana or Deornay e Cheng (993) alcano a eora a oroelascae, eses úlos aresenara a solção analíca lzaa nese rabalho. As conções e conorno ara o roblea são: alcação e carregaeno na serfíce, yy = -*, serfíce lvre no oo, = 0 e y = 0; eslocaeno vercal nlo na base a colna, y = 0 e y = L; e serfíce ereável na base, /y=0. A fgra 4. aresena o esqea o roblea e a fgra 4.2, a alha lzaa na resene análse. Fgra 4-: Esqea a colna ara aensaeno nensonal. Deornay e Cheng (993) conserano a srbção e ensão nfore chegara a segne eqação, e eros e ressão e oros, ara solção ese roblea.

80 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 80 2 c 2 x 0 (4.) E qe, c é o coefcene e fsvae ao or: 2G( ) c 2 (4.2) ( 2 ) e qe é a ereablae, G é o ólo csalhane, é o coefcene e Poson, é o coefcene e Poson não renao e é o coefcene e o qe reresena a relação enre a coressblae a arz o esqeleo sólo, aa elo ólo volérco e relação à coressblae os grãos s, seno: (4.3) s A ressão e oros não renaa é aa or: (4.4) G * e qe: ( 2 ) (4.5) 2( ) 3 ( ) G ( ) (4.6) (4.7) essas eqações é ólo volérco o flo e reresena o coefcene e eon. Conserano as coorenaas aensonas = x/l e = c/4l 2, a ressão e oros ao longo a colna ara qalqer eo é aa or: * F, (4.8) G

81 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 8 e qe: F 4 (4.9),3, , sen e Ana, a solção ara os eslocaenos no eo ncal é ao or: 2 * L y (4.0) 2G e ao longo o eo o ncreeno e eslocaeno é e qe: F 2 * L D y F2, (4.) 2G 2 2, cos e (4.2),3,... 2 Para análse o roblea e aensaeno nensonal são lzaas as roreaes osraas na abela 4.. abela 4-: Parâeros lzaos no exelo e colna oroelásca G ν s μ * L (MPa) (MPa) (MPa) ( 2 ) (MPa s) (MPa) 6000,0 0, ,0 2887,0 0,9,9.0-3,0.0-9,0 7,0

82 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 82 Fgra 4-2: Malha lzaa nas análses, eleenos Q4, 300 eleenos fnos. Os Gráfcos 4-, 4-2 e 4-3 aresena os reslaos nércos coaraos ao reslao analíco.

83 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 83 Poro-ressão na base a colna x e o - D =0,0 0,45 0,4 Analco érco Poro-ressão na base a colna (MPa) 0,35 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0, e o (s) Gráfco 4 - : Pressão e oros na base a colna. Poro-ressão ao longo a colna D =0,0 Poro-ressão (MPa) 0,25 0,2 0,5 0, Analco - 0s érco - 0s Analco - 25s érco - 25s Analíco - 50s érco - 50s 0, x ( ) Gráfco 4-2: Evolção no eo a srbção e ressão e oros ao longo a colna.

84 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 84 0, , Deslocaeno o oo a colna () 0, , , , , Analco érco 0, eo (s) Gráfco 4-3: Deslocaeno no oo a colna. A arr a solção clássca e Deornay e Cheng (993), solção a ororessão ao longo o exo vercal, oe se ober o erfl e velocae v ao longo a colna, basano ervar a exressão e ororessão, eqação (4.8), e llcar ela razão /, e al fora: * v G,3,... 2cos e 2 L 2 2 (4.3) O gráfco 4-4 aresena o erfl e velocae ara ferenes eos e análse e o gráfco 4-5 aresena a velocae ara o oo a colna ao longo o eo.

85 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 85 Velocae o Flo ao longo a colna - D=0,0 Velocae o Flo (/s),25e-05,00e-05 7,50E-06 5,00E-06 2,50E-06 Analco - 0s érco - 0s Analco - 25s érco - 25s Analíco - 50s érco - 50s 0,00E x () Gráfco 4-4: Perfl e velocae ao longo a colna ara város eos. Velocae o Flo no oo a colna - D =0,0 4,00E-05 Velocae o Flo (/s) 3,00E-05 2,00E-05,00E-05 Analco - 0s érco - 0s 0,00E eo (s) Gráfco 4-5: Velocae ao longo o eo ara o oo a colna.

86 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 86 De ora fora, coo colocao na eqação (2.6), ara obenção a orosae, aq rearesenaa, e-se: 2 (4.4) rearranjano, ve: (4.5) (4.6) De acoro co Deornay e Cheng (993) as ensões oe ser obas realzano: 3 z y x (4.7) G y y 2 2 (4.8) y x 2 (4.9) x z (4.20) O gráfco 4-6 aresena a coaração os reslaos obos ela leenação realzaa e ela solção analíca, ara a orosae ao longo o eo ara a base a colna.

87 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 87 -,8E-06 -,6E-06 -,4E-06 Varação e orosae -,2E-06 -,0E-06-8,0E-07-6,0E-07-4,0E-07-2,0E-07 Analco érco 0,0E eo (s) Gráfco 4-6: Porosae ao longo o eo e análse ara a base a colna, calclaa no rero ono e Gass aca a base. Ua conclsão geral e oos gráfcos é qe e oas as análses exse a boa concorânca enre as solções analícas e os reslaos obos ela leenação realzaa. U ono orane a ser esacao é a necessae e eqvalênca ara a enraa a coressblae o eo sólo e a arz na solção analíca e na leenação realzaa, a vez qe na solção analíca a enraa é aravés a lzação a coressblae o sólo s = 36000MPa e = 0.778; enqano qe na leenação realzaa, nroz-se reaene o valor e s = 30000MPa Escoaeno enre Placas ese exelo, aresenao e Correa (2006), avala-se o cálclo a velocae ós-rocessaa aravés a ee e Darcy, coarano-a co a solção analíca ese roblea. Ese exelo raa o escoaeno e flo n eo heerogêneo consío e as caaas aralelas co ereablaes

88 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 88 snas, = 2. 2, evo a ferencal e ressão náro (DP = ) na reção horzonal. Esa sação conz a solção rval e qe a velocae e caa caaa é aa or v x2 = 2.v x. A fgra 4.3 aresena esqea o roblea, be coo a alha lzaa. Os segnes aos são alcaos ao roblea: = 2, 2 =, P 0 =, P = 0, L = 2, H =. a) b) Fgra 4-3: Esqea o roblea e escoaeno enre lacas aralelas (a), exraío e Correa (2006) e alha e eleenos fnos lzaa, 200 eleenos Q4 (b). Coo solção rval ara a velocae e-se, v x2 = 2.v x =. A fgra 4.4 aresena o reslao enconrao ela leenação ara a velocae v x ao longo a alra H, observa-se a boa concorânca enre as solções. a) b) Fgra 4-4: Perfl e velocae vx ao longo a alra H (a), e aa e velocaes, cor azl reresena vx=0.5 e cor verelha vx=.0 (b).

89 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos Escoaeno co arreras ese exelo bsca se avalar a solção leenaa or ósrocessaeno global rooso or Mala e al (200) e Lola e al. (995) ara a velocae. Incalene esse roblea fo rooso or Mosé e al (998) e esao abé or Correa (2006) e ey (2002). A fgra 4.5 aresena a reresenação esqeáca o roblea e qe se sla o escoaeno e eo oroso one o flxo é forçao a assar or canal elao or as faxas e baxa convae. As conções e conorno e os arâeros lzaos são osraos abé na fgra 4.6. A fgra 4.6 aresena a alha eregaa na análse. A fgra 4.7 aresena os caos e velocae ós-rocessaos reaene aravés a le e Darcy e al coo rooso or Mala el al (200). Aravés os erfs osraos na fgra 4-8 observa-se, jsaene na jnção enre aeras ferenes a varação enre as leenações. o caso o ósrocessaeno na le e Darcy exse a qea as brsca no cao e velocaes. Conções e Conorno P = P = 0 Flxo nlo Daos os aeras: = 2 =.0-5 Fgra 4-5: Esqea o roblea e escoaeno enre barreras, conções e conorno alcaas e aos os aeras lzaos.

90 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 90 Fgra 4-6: Malha eregaa na análse o exelo e escoaeno enre barreras, 625 eleenos Q4. E a)

91 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 9 b) Fgra 4-7: Caos e velocae v y e erfl e velocae v y ao longo e E: (a) ósrocessaeno global, (b) le e Darcy. Da fgra 4.7 observa-se a aroxação as velocaes as ronncaas na nerface enre os ferenes eos no caso e ós-rocessaeno global ncano as foreene o conrase e ereablae Pós-rocessaeno a Velocae Aravés e Eleenos e Ravar- hoas Ese exelo sles, aresenao or Rbero (996), or ossr solção analíca conheca, é lzao ara verfcar o cálclo o cao e velocae lzano os eleenos e Ravar-hoas e as baxa ore. Dao o cao e ressão (eqação 4.2) osrao na fgra 4.8, alcao ao oíno (0,5)x(0,6), e lzano esaçaenos vercal e horzonal,

92 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 92 Dx = Dy = e eo hoogêneo, = e conserano C = , o cao e velocaes ela solção analíca é ao ela exressão Dx Dy x x y y C (4.2) 2 2 v v v x y 2x 2y (4.22) Poro P ressre +2.7E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+000 Fgra 4-8: Cao e ressão alcao. As exressões ara v x e v y aas na eqação 4.22 reresena reas nessas reções, resecvaene, e são reresenaas no gráfco 4-7 jnaene co os reslaos lzano a leenação o eleeno e Ravar-hoas. Observase a concorânca exaa enre as solções, eso reslao enconrao or Rbero (996). a)

93 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 93 b) Gráfco 4-7: Coarações enre os reslaos a solção analíca e a leenação e eleenos e R: (a) v x ao longo e y = 3,5, e (b) v y ao longo e x = 7,5. Para valação a leenação o ós rocessaenno lzano eleenos e R 0 e alhas não esrraas, esse eso exelo é esao ara esse caso, a fgra 4.9 aresena os caos e velocae na reção x, v x, ara qaro casos: alha qarlaeral esrraa, alha qarlaeral não esrraa e alha ranglar esrraa, alha ranglar não esrraa é realzao ese co alha não esrraa. A fgra 4.0 aresena ana a ora aborage o eso roblea, one a alha a fgra 4.8 é roaconaa a 45º no seno an-horáro e alcao o cao e ressão ao ela eqação (4.2). A fgra e qesão, 4.0, aresena o cao e velocae na reção x, v x, concene co os reslaos a fgra 4.9. Desas fgras, observa-se a boa concorânca ara abos os reslaos, verfcano-se ass a correa leenação o ós rocessaeno lzano R 0. Fgra 4-9: Caos e velocae v x ara alhas esrraas e não esrraas obas aravés e R 0.

94 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 94 Fgra 4-0: Caos e velocae v x ara alha esrraa nclnaa obo aravés e R Flxo fásco Unensonal Méoo MEF Galern esse exelo é lzao exelo e flxo nensonal e reservaóro lzano a forlação aresenaa no caílo 3 ara a forlação arabólca e co a forlação aresenaa or Mller (2007). e coo objevo avalar a caacae o MEF Galern e carar a frene e saração no caso e ressão calar nla e co aos ncas as róxos aos aos e caos reas Mller (2007). A fgra 4. aresena esqeacaene o roblea flxo nensonal qe consse a análse e reservaóro e coreno L co ressão ncal e óleo (P o ) e 36MPa e oalene reencho co óleo ( o =), na conção e ressão calar nla (P C =0). É alcaa ressão e fno e oço (P l ) e 30MPa e co saração e 0,527. A abela 4.2 aresena os arâeros lzaos na análse e a fgra 4.2 aresena a alha e eleenos fnos eregaa. o, P o P l Fgra 4-: Esqea o roblea e reservaóro.

95 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 95 Fgra 4-2: Malha lzaa Q4, 92 eleenos. abela 4-2 : Parâeros e conções e conorno eregaos no exelo e flxo bfásco nensonal P l P 0 μ n μ (Pa.s) rn = r L () P c (MPa) (MPa) (Pa.s) 30 36, , ,9 0,0 6 0,0 O Gráfco 4.8 aresena a evolção no eo o erfl e saração obo nercaene lzano o MEF Galern. Observa-se qe, ara as conções analsaas, o erfl e saração enconrao é save não ncano a frene e saração ronncaa sgerno efeo e savzação evo ao MEF Galern, não conzene co o reslao eserao, coo será vso no róxo exelo. 0,60 0,50 aração flo olhane - 0,40 0,30 0,20 0,0 0,00 0,0,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 Exo x - () 5000s 00000s s - 2, s s 2s 50000s s - 5,8 Gráfco 4-8: Perfl e saração ao longo o reservaóro

96 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos Flxo fásco Unensonal Méoo MEFD esse e, ara valação a forlação elo MEFD, é analsao o exelo clássco e cley-levere, qe consse no eslocaeno e flo e a caaa nensonal or njeção e oro flo, seno os flos scíves. Os aos lzaos ara esse exelo são os eso lzaos or Dlorsfy (993) e Menonça (2003). A velocae oal é fxaa e v =, co conção e conorno e x = 0, e =, e coo conção ncal, = 0, = 0, e oo o eo, conserao hoogêneo. Aoa-se a orosae e 0,2 e a relação e vscosae nãoolhane/olhane e 5. As relações e ereablaes relavas as fases olhane e não-olhane são aas resecvaene or 2 r e rn 2. O oíno analsao, (0,4)x(0,), é screzao e eleenos qarlaeras coo osrao na fgra Fgra 4-3: Malhas lzaas Q4, 320 e 60 eleenos. A fgra 4.4 aresena os reslaos ara o erfl e saração nos eos =0,s, 0,2s, 0,3s, 0,4s e 0,5s, ara solção analíca, crva onlhaa e racejaa, e a solção va voles fnos, crva onlhaa, e solção va eleenos fnos esconínos, lnha conna. Verfca-se a boa concorânca nas solções, enreano, ara esse caso a solção va MEFD, elhor se aroxa a solção analíca.

97 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 97 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Fgra 4-4: Perfl e saração ao longo e x ara forlação e voles fnos, crva e onos, eleenos fnos esconínos, lnha conna e solção analíca, crva e raço e ono Flxo fásco ensonal Problea os Cnco Poços Ana ara verfcação a leenação coaconal a forlação o flxo bfásco va MEFD é aresenao os robleas clásscos e engenhara e eróleo, o qal consse e ssea e cnco oços e oíno qaranglar, seno qaro oços roores ( e caa vérce), e oço njeor (no cenro). Ese roblea fo esao or város aores (Dlorfsy (993), Menonça (2003)) e consera o eo coleaene reencho or flo seno eslocao or oro flo. Aoa-se a orosae e 0,2 e a relação e vscosae nãoolhane/olhane e. As relações e ereablaes relavas as fases olhane e não-olhane são aas resecvaene or 2 r e rn 2. A fgra 4.5 aresena o esqea o roblea e qe se oe verfcar a ossblae e a análse sérca e os exos. O eo ncalene esá oalene reencho co óleo o = e oo o oíno, e é alcaa a conção e conorno e vazão nára no cenro, e P0, njeção, e e P, exração.

98 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 98 P 2 P P 0 = Poço Injeor P..4 = Poços Proores P 0 Dla sera P 3 P 4 Fgra 4-5: Esqea o roblea e cnco oços. A fgra 4-6 osra a evolção no eo a frene e saração. Os reslaos são basane concoranes co os enconraos nos rabalhos e Dlorfsy (993), Menonça (2003).

99 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 99 a) b) c) ) e) f) Fgra 4-6: Evolção a frene e saração ara város eos. a) =0,7s, b) =4,2s, c) =7,7s, ) =,2s, e) =4,7s, f) =9,6s.

100 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos Flxo fásco ensonal Problea os Cnco Poços Meo Heerogêneo De fora a analsar a leenação ara eos heerogêneos, o roblea e cnco oços a seção aneror é agora analsao conserano cao e ereablae varável. ão eregaos os esos aos o roblea aneror e o cao e ereablae aleaóro e x e y, a fgra 4.7 aresena o cao e ereablae aleaóro gerao ara x, é lzaa a alha e 32x32 eleenos E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-00 Fgra 4-7: Cao e ereablae x aleaóro. A fgra 4.8 osra a evolção no eo a frene e saração ara város eos ara o cao e ereablae varável. Daa a varação reglar no cao e ereablae, a varação no cao e saração se á abé e fora reglar. ese exelo verfco-se a conssênca a leenação va MEFD ara o caso e eo heerogêneo aleaóro conserano qe o reslao enconrao não areseno osclações não conzenes co o eserao ara o exelo e eso.

101 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 0 a) b) c) ) e) f) Fgra 4-8: Evolção a frene e saração ara város eos, x, aleaóro. a) =0,7s, b) =4,2s, c) =7,7s, ) =,2s, e) =4,7s, f) =9,6s.

102 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos Aensaeno nensonal ara caso e = esse exelo o roblea e aensaeno nensonal aresenao na seção 4.2 é revsao ara a sação e qe o eo é analsao co a forlação e flxo bfásco co acolaeno ecânco na sação e qe o eo é escro coo onofásco e qe a saração e os flos é 00%. Dferene a seção 4.2 ese exelo resolve as eqação e ressão, velocae, saração jno co o roblea ecânco. Ass, a resosa o ssea eve ser a esa qe o roblea e flxo onofásco acolao coo analsao na seção ão lzaas as esas roreaes eregaas no roblea a seção O Gráfco 4.9 aresena o cooraeno o eslocaeno o oo a colna e conção e flxo bfásco co acolaeno ecânco ara o caso e n =. Observa-se a boa concorânca enre a solção analíca e a enconraa na resene forlação. De fora seelhane, o Gráfco 4.0 aresena a varação a oro-ressão na base a colna e conjno co a solção analíca, novaene, observa-se a boa concorânca enre os reslaos.

103 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 03 0, , Deslocaeno o oo a colna () 0, , , , , Analco érco 0, eo (s) Gráfco 4-9: Deslocaeno no oo a colna. 0,45 0,4 Analco érco Poro-ressão na base a colna (MPa) 0,35 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0, e o (s) Gráfco 4-0: Pressão e oros na base a colna.

104 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos Flxo fásco e Reservaóro Esrafcao ese exelo é analsaa a conção e flxo bfásco e eos heerogêneos ara o caso e ressão calar nla e elo MEFD. A fgra 4.9 aresena o esqea eregao na análse consío e caaas e ferenes roreaes sobreosas. A abela 4.3 aresena os aos geras o roblea, esacano qe 2 =0-5. Ese exelo fo exraío e Hoe e al (2008). O oíno o roblea é efno ara L = 500 e H = 270. A fgra 4.20 osra a alha eregaa e abas análses, seno foraa or 4500 eleenos o o Q4 e 464 nós. q 2 = Fgra 4-9: Esqea o roblea flxo bfásco e eo heerogêneo. Fgra 4-20: Malha eregaa na análse o roblea e flxo bfásco e eo heerogêneo. abela 4-3: Parâeros lzaos no exelo e flxo bfásco e eo heerogêneo Pressão Calar la Q ρ n = ρ n rn = r μ n = μ,0,0 ( r ) 2 (- r ) 2 0,2 0,0,0,0

105 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 05 ese exelo consera-se o caso e qe P c = 0, e qe a frene e saração é be caracerzaa se savzação a solção. A fgras e 4.2a a 4.2e osra a evolção no eo a frene e saração. Esas confgrações a frene e saração nas caaas se aroxa qalavaene be ao reslao esse eso roblea aresenao e Hoe e al (2008), fgra 4.22, valano ass a leenação e a caacae e ara cara a frene e eos heerogêneos. A coaração qalava é realzaa ao qe as roreaes, arâeros e oelos são snos o resene rabalho e o rabalho e Hoe e al. (2008). a) b) c) ) e) Fgra 4-2 : Perfs e saração ara város eos, eo heerogêneo. a) =0s, b) =,s, c) =2s, ) =3s, e) =4s.

106 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 06 Fgra 4-22: Cao e saração ara eo heerogêneo, exraío e Hoe e al (2008) Flxo fásco e Falhas Esse roblea fo elaborao ara exelfcar a alcação a forlação roosa e eos consíos or falhas geológcas e a alcablae e eos geológcos colexos. Ana e coo objevo analsar a lzação e oelo e varação a ereablae co a orosae e sa nflênca na frene e saração e roblea e ressão calar nla. A fgra 4.23 aresena a reresenação esqeáca o roblea, qe consse e eo reanglar co a falha geológca na reção horzonal. q = 2 Fgra 4-23: Esqea o roblea flxo bfásco e falhas.

107 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 07 A falha é reresenaa or eleenos fnos e eqena esessra (6 ) e co roreaes ferenes o eo crcnane, a abela 4.4 osra os aos eregaos nas análses, nesse caso abé se e 2 =0-5. abela 4-4 : Parâeros lzaos no exelo e flxo bfásco e eo heerogêneo Pressão Calar la Q ρ n = ρ n rn = r μ n = μ,0,0 ( r ) 2 (- r ) 2 0,2 0,0,0,0 O oíno o roblea é efno ara L=500 e H=270. A fgra 4.20 osra a alha eregaa e abas análses, seno foraa or 4500 eleenos o o Q4 e 464 nós. a) b) c) ) e) Fgra 4-24: Perfs e saração ara város eos, eo heerogêneo. a) =0s, b) =s, c) =2s, ) =3s, e) =4s.

108 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos Flxo fásco Acolao e Falhas ese exelo esa-se a esa sação o e 4.2 e eros e flxo, lzano-se os aos a abela 4.4, oré conserano o acolaeno ecânco co flxo e a varação a orosae co o flxo e eforação e conseqüene varação na ereablae. A fgra 4.25 aresena a reresenação esqeáca o roblea, qe consse e eo reanglar co a falha geológca na reção horzonal e a fgra 4.26 osra as conções e conorno e eslocaeno eregaas. q 2 = Fgra 4-25: Esqea o roblea flxo bfásco acolao e falhas Abas as caaas são conseraas hoogêneas e co cooraeno lnear elásco, co E = 4400GPa e = 0,2 e orosae varano e acoro co a eqação e Caran-ozen (eqação 2.62). É alcaa a conção e conorno e eslocaeno resro na reção horzonal nos boros laeras e na reção vercal na base. É alcao carregaeno e oro ressão P = 0MPa na face rea co =.

109 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 09 Fgra 4-26: Conções e conorno o roblea e flxo bfásco e falhas. O Gráfco 4. aresena a varação o erfl e saração ao longo a horzonal assano ela falha. Verfca-se o aor avanço a frene e saração qano se e a varação a ereablae co a saração sgerno aeno a ereablae.,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0,0 Pereablae Consane Pereablae Varável Exo X Gráfco 4 - : Varação a frene e saração e ága ao longo a colna ara =7s Análse Acolaa e Flxo fásco e Reservaóro Frarao ese exelo é analsao exelo one é conserao o acolaeno ecânco e flxo bfásco ara o caso e eo oroso escro elo oelo e Mohr-Colob, one é osrao o cooraeno as eforações e o cao e saração. Para ese caso, a geoera e aos o exelo analsao na seção

110 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos são conseraos e ana os arâeros e oroelasolascae são: ara o eo cncnane: oelo e Mohr Colob co coesão gal a 0MPa, ânglo e aro gal a 30º, ólo E gal a 4400 GPa, e ν gal a 0.2, ara a falha, ólo E gal a 440 GPa, e ν gal a 0.2: coesão gal a MPa, ânglo e aro gal a 30º. Ese exelo e coo objevo verfcar o cooraeno ecânco o eo evo ao avanço a frene e saração, ao qe na lerara esecalzaa, os exelos ara análse qanava são e fícl coaração e realzação. A fgra 4.3 aresena a alha eregaa na resene análse, são conseraos eleenos qarlaeras esrraos no eo crcnane à falha e eleenos qarlaeras não esrraos no neror a falha. As conções e conorno são as esas alcaas no exelo a seção 4.3.e ereablae conanes Gráfco 4-2: Varação a frene e saração e ága ao longo a colna ara =7s. As fgras 4.27, 4.28 e 4.29 aresena os caos e srbção e saração, ensão rncal aor, e eforação volérca ara város assos e eo snos. Verfca-se claraene a nflênca os caos e ressãosaração nas eforações o eo.

111 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos +.00E+00 0 a) +9.50E E E E E E E E E E E E E-00 b) c) +3.00E E E E E E E+00 0 ) e) Fgra 4-27: Evolção os caos e saração ara város eos, reservaóro co falha. a) =0s, b) =3s, c) =6s, ) =9s, e) =s E E E E E E E E+00 a) -.03E E E E E E E E E E E E+00 b) c) -.E+00

112 Exelos e Verfcação as Forlações ara lação e Flxo e Meos Porosos 2 ) e) Fgra 4-28: Evolção os caos e ensão efeva áxa ara város eos, reservaóro co falha. a) =0s, =3s, c) =6s, ) =9s, e) =s E-004 a) -4.85E E E E E E E E E E E E E-004 b) c) -5.53E E E E E E E-004 ) e) Fgra 4-29: Evolção o cao e eforação volérca ara város eos, reservaóro co falha. a) =0s, =3s, c) =6s, ) =9s, e) =s.