3 Modelo de Amortecimento Direto

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1 3 Modelo de Amorecmeno Dreo 3. Inrodução Alguns os de séres não aresenam bons resulados quando modeladas or funções uramene olnomas. As séres sazonas aresenam esse o de roblema, e denre elas, as séres de energa seram um bom, eemlo de sére com esse o de comorameno. Uma forma de se modelar funções maemácas no emo, ode ser o de amorecmeno dreo, os ele em a caacdade de corrgr os seus arâmeros de forma auomáca. O seu rocedmeno funcona da segune forma : ele suavza as angas esmavas dos arâmeros do modelo ara o eríodo correne com o objevo de ober esmavas revsadas. O amorecmeno dreo é uma écnca de aualzação dos arâmeros va modelo de regressão múlla lnear. O méodo faz uso dos mínmos quadrados onderados ara esmar os arâmeros. Dada uma sére emoral, forma :, odemos aresená-la da segune = ( = a z + ε ara =,,...,T (3. ( onde z são funções maemácas do emo, a ara =,...,, são os arâmeros do modelo, e fnalmene, ε é o ruído do ssema, sendo o mesmo, ndeendene e dencamene dsrbuído. Caso essas funções sejam funções olnomas, o rocedmeno do amorecmeno dreo rá roduzr revsões dêncas ao modelo de amorecmeno eonencal múllo.

2 56 Sabemos que o uso mas morane desse rocedmeno se dá quando raamos funções rgonomércas, al como seno e coseno, ara modelar séres que aresenem algum comorameno sazonal. Por eemlo, uma ondulação de seno ossu 3 caraceríscas que odem ser conroladas : a amlude ou nível; a orgem; e o eríodo ou comrmeno do cclo. Onde : = a snw (3. defne uma ondulação de seno com nível, b, na orgem deslocada ara o eríodo θ, fazendo : = 0. A orgem da onda ode ser ( θ = a sn w + (3.3 No enano, é recso ser do que, é muo mas convenene eressar a função suondo que ela ossua orgem arbrára, assando a mesma, a ser escra como segue : = a snw a cosw (3.4 + As esmavas ncas dos arâmeros do modelo odem ser enconradas usando um modelo de regressão lnear múlla (maores dealhes ver Mongomery, 976[7]. A revsão eródca dos arâmeros do modelo é fea de forma que a orgem no emo seja deslocada ara o fnal do eríodo correne. Isso orna o rocedmeno de aualzação muo mas smlfcado. T Suondo que â (, ara =,...,, seja a esmava dos arâmeros do modelo, emos que no fnal do eríodo T, endo já sdo observado o valor de esmavas dos arâmeros do modelo usando a segune equação :, odemos revsar as ( T L â( T -- he ( T = (3.5 â

3 57 onde L é uma marz ( que vara de acordo com o modelo escolhdo, e T é um veor dos erros de revsão,.e., e ( T = ˆ ( T T T, e h é um veor coluna ( de consanes chamado veor de amorecmeno, sendo h uma função de um faor de descono,, com 0 < <, esando relaconada ela com a consane de amorecmeno esene no amorecmeno eonencal. O valor de é deermnado, geralmene, or eermenação. Freqüenemene, seleconamos o faor de descono de um modelo com arâmeros conforme a equação abao : ( = (3.6 onde = α. ( E fnalmene, â T é um veor coluna ( das esmavas dos arâmeros no emo T. â ( T = â â â ( T ( T M ( T (3.7 Uma vez que os arâmeros do modelo enham sdo revsados, odemos rever a observação ara o eríodo T + τ com ( T â ( T z ( τ T+ τ = (3.8 = 3. Deermnação das Marzes O amorecmeno dreo requer o desenvolvmeno da marz de ransção L e a deermnação dos valores numércos ara os elemenos do veor de amorecmeno h.

4 58 Deos que L e h são deermnados, as equações ara deermnar as esmavas dos arâmeros do modelo, são obdas a arr da equação ( Marz de Transção A marz de ransção, L, ara o modelo (3.4 ode ser dada or cosw snw L = (3.9 snw cosw As equações de amorecmeno dreo ara a aualzação das esmavas dos arâmeros do modelo são as segunes ( T coswâ ( T -- snwâ ( T - h e (T = (3.0 â + ( T snwâ ( T - + coswâ ( T - h e ( T = (3. â + Quando consruímos um modelo de revsão ara uma sére emoral esecífca, odemos vr a enconrar uma combnação de város ermos, sejam eles, olnomas, rgonomércos ou eonencas. Por eemlo, consdere o segune modelo = a + a + a snw + a cosw + a snw + a cosw + ε ( O qual coném uma msura de ermos olnomas e rgonomércos. A marz de ransção desse modelo sera

5 cos w snw 0 0 L = ( snw cos w cos w snw cos w snw 0 0 snw cos w snw cos w 3.. Marz h abao Os elemenos do veor de amorecmeno h odem ser obdos aravés da equação ( 0 - h = G (3.4 ( ( onde 0 é um veor coluna das varáves ndeendenes avalada no emo = 0 e - G é a marz nversa da marz G Marz G Os elemenos da marz G são n= 0 ( n z ( n n G = z ara =,..., (3.5 j j No qual odas as somas esão dsosas no nervalo, = 0 e =. As eressões que formam a marz G esão dsosas na abela 3..

6 60 Forma Soma Fna ( ( - ( 3 ( ( 4 ( ( 5 sn w snw cos w + - cos w cosw cos w + snw ( - sn w cos w + ( cosw - ( - cos w cos w + ( snwsnw cos( w + w cos ( w + w snwcosw sn( w + w cos ( w + w coswcosw cos( w + w cos ( w + w cos cos sn + cos cos + cos ( w w ( w w + ( w w ( w w + ( w w ( w w + Tabela 3. Somas Infnas Aós a resolução das somas aresenadas acma, a marz G ode ser calculada, segundo o adrão demonsrado a segur:

7 6 G = sn w sn w sn w sn w cos w cos w sn w cos w cos w cos w sn w cos w sn w cos w sn w sn w sn w cos w sn w sn w cos w cos w sn w sn w sn w cos w sn w sn w 3.3 Adequação do Modelo Para deermnar se o méodo de amorecmeno dreo é adequado ara modelar a sére em esudo, devemos, rmeramene, analsar sua função a auocorrelação, e sua função de auocorrelação arcal. Essas duas funções são um morane gua ara a vsualzação das roredades de uma sére emoral. A função de auocorrelação ode ser defnda como uma função de auocorrelação adroznada, e mede a correlação enre observações com dsâncas dferenes, em momenos dferenes. A função de auocorrelação é defnda maemacamene da segune forma. Dada uma sére com N observações,..., N, numa sére emoral dscrea, odemos formar, N- ares de nformações, (,, 3,...,( N-, N. O coefcene de correlação, enre a rmera e a segunda observação, sera calculado ela formula abao: (, N- ( ( + ( ( = r = (3.6 N- N ( ( ( + ( = = onde

8 6 é a méda das rmeras N- observações, e = N ( ( N = é a méda das úlmas N- observações. O coefcene dado ela equação (3.6 mede a correlações enre observações sucessvas, e é conhecdo como coefcene de auocorrelação ou coefcene a auocorrelação seral. A função de auocorrelação arcal surgu da necessdade de se er uma função caaz de denfcar o grau do olnômo do modelo AR (comonene auoregressvo dos modelos Bo&Jenns. 3.4 Análse Esecral e Perodograma de Schuser Os modelos de amorecmeno dreo, quando alcados a séres que ossuem adrão sazonal, rabalham com funções rgonomércas, sendo necessáro deermnar os cos de freqüênca mas moranes esenes na sére esudada. Isso é, feo va análse esecral. A sére de Fourer quando ulzada ara a análse do domíno da freqüênca não reresena a realdade. A análse de Fourer ambém ode ser chamada de análse de harmônca. Para que essa análse se arome da realdade, é necessáro suor que ese um número resro de senodes no modelo rocurado, e ambém um ruído branco. Essas suosções nos conduzem a um modelo cíclco. A sére fna de Fourer ulzada na reresenação da sére, esá abao : ( N/ = [ a cos( ππ/ + b sn(πn( ] = a + + a cosπ (3.7 o N

9 63 ara =,,..., N. Onde os coefcenes {, } a são os segunes b a o = (3.8 ( /N a N/ = (3.9 a = [ cos( ππ/ ]/N (3.0 b = [ sn( ππ/ ]/N (3. ( ara =,..., N/. Dado que não emos nenhum conhecmeno, a ror, do número de senódes sgnfcavas, nem de suas resecvas freqüêncas, orna-se necessáro o uso de uma ferramena alernava na busca dessas nformações. O erodograma de Schuser, é uma ferramena amlamene ulzada com esse roóso. Ele nos fornecesse as verdaderas freqüêncas de uma deermnada sére, w, ara =,..., m. O erodograma é defndo no nervalo [ π, π], como sendo [ w N ( w a ( w b ( I N = + ] (3. com a e b sendo calculados da forma já descra no caíulo. As nformações referenes aos cos sgnfcavos esenes em uma sére, são ulzados na modelagem do amorecmeno dreo, sendo a quandade de cos equvalene a quandade de senos e cosenos a serem ncluídos no modelo. Para que sejam deermnados os cos sgnfcavos esenes numa sére, convém que sejam ulzados dos eses de sgnfcânca : o ese de Fsher e o ese de Whle. A hoese nula, em ambos, é a da esênca de um co maor que o esado. Vale menconar que, o ese de Fsher somene é ulzado ara esar o co mámo, enquano o ese de

10 64 Whle, analsa os cos de segunda, ercera ordem, e ec. Abao segue a formula maemáca corresondene aos dos eses ulzados. Tese de Fsher I ma T = (3.3 N j= I j onde o I ma é o co mámo. Na hóese nula do ese emos que : G j [ N/] { > } = ( ( ( [ N/ T g j jg ] j= P, ara g > 0 (3.4 Tese de Whle T = N j= I ma I j I ma (3.5 A hóese nula é calculada de forma análoga a da equação (3.0, subsundo N- no lugar de N. O rocedmeno é efeuado aé que se enconre um co consderado não sgnfcavo. Esse ese de hóese deve ser usado com cauela, levando em consderação ambém a análse gráfca do erodograma. Esem dversas alcações onde se fez uso da écnca do amorecmeno dreo ara a obenção de revsões ara séres com evdene comorameno sazonal. Quadrell (998[0] em sua dsseração de mesrado comarou o desemenho das revsões horáras e dáras do consumo de carga elérca obdas aravés do rocedmeno de amorecmeno

11 65 dreo e do modelo de decomosção de Gua (Bunn, 985[3]. No esudo, os resulados obdos ara a revsão dára foram mas efcenes com o rocedmeno do amorecmeno dreo. No que dz reseo a revsão horára de carga de energa elérca, o modelo de decomosção de Gua obeve resulados mas sasfaóros. As alcações do méodo e os resulados obdos serão aresenados no caíulo 5, junamene com os resulados do modelo de Hol-Wners com múllos cclos.