MODELAGEM DE ERROS EM SURTOS EM SISTEMAS DE COMUNICAÇÕES

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1 INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA MAJ MARCUS VINÍCIUS DOS SANTOS FERNANDES MODELAGEM DE ERROS EM SURTOS EM SISTEMAS DE COMUNICAÇÕES Dsseração de Mesrado apresenada ao Curso de Mesrado em Engenhara Elérca do Insuo Mlar de Engenhara, como requso Parcal para obenção do íulo de Mesre em Cêncas em Engenhara Elérca. Orenador: Prof. Erneso Lee Pno D.C. Co-orenador: Marco Anôno Grve M. Maa Ph.D. Ro de Janero 2002

2 c2002 INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA Praça General Tbúrco, 80 Praa Vermelha Ro de Janero RJ CEP: Ese exemplar é de propredade do Insuo Mlar de Engenhara, que poderá ncluílo em base de dados, armazenar em compuador, mcroflmar ou adoar qualquer forma de arquvameno. É permda a menção, reprodução parcal ou negral e a ransmssão enre bbloecas dese rabalho, sem modfcação de seu exo, em qualquer meo que eseja ou venha a ser fxado, para pesqusa acadêmca, comenáros e cações, desde que sem fnaldade comercal e que seja fea a referênca bblográfca complea. Os conceos expressos nese rabalho são de responsabldade do auor e dos orenadores. F363 Fernandes, Marcus Vnícus dos Sanos. Modelagem de erros em suros em ssemas de comuncações / Marcus Vnícus dos Sanos Fernandes. Ro de Janero : Insuo Mlar de Engenhara, p. : l., graf., ab. Dsseração mesrado Insuo Mlar de Engenhara - Ro de Janero, Modelagem de erros em suros. I. Insuo Mlar de Engenhara. II. Tíulo. CDD

3 INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA MAJ MARCUS VINÍCIUS DOS SANTOS FERNANDES MODELAGEM DE ERROS EM SURTOS EM SISTEMAS DE COMUNICAÇÕES Dsseração de Mesrado apresenada ao Curso de Mesrado em Engenhara Elérca do Insuo Mlar de Engenhara, como requso parcal para a obenção do íulo de Mesre em Cêncas em Engenhara Elérca. Orenador: Prof. Erneso Lee Pno D.C. Co-orenador: Marco Anono Grve Maoso Maa Ph.D. Aprovada em 0 de mao de 2002 pela segune Banca Examnadora: Prof. Erneso Lee Pno D.C. do IME Presdene Prof. Marco Anono Grve Maoso Maa Ph.D. da PUC-Ro Prof. Pedro Henrque Gouvêa Coelho Ph.D. da UERJ Prof. Francsco Marcos de Asss D.C. da UFPB Prof. João Célo Barros Brandão M.C. da PUC-Ro Ro de Janero

4 Aos meus pas Waler Fernandes e Mara Bernadee, à mnha esposa Mara Inês e à mnha flha Marna Leíca. 4

5 AGRADECIMENTOS Agradeço a odos que me apoaram e ncenvaram a vencer esa mporane eapa da mnha carrera profssonal. À mnha esposa e aos meus pas que sempre me encorajaram a superar as dfculdades enconradas e segur em busca do objevo. Aos professores e funconáros do Deparameno de Engenhara Elérca do IME que de algum modo conrbuíram para mnha formação. Em especal ao meu Professor Orenador Dr. Erneso Lee Pno e ao meu Professor Co-orenador Dr. Marco Anono Grve Maoso Maa, pela dedcação e aenção que presaram para a amplação de meus conhecmenos e para a realzação dese rabalho. 5

6 SUMÁRIO LISTA DE ILUSTRAÇÕES LISTA DE TABELAS... 2 LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS... 3 LISTA DE SIGLAS... 5 INTRODUÇÃO Posconameno do Trabalho Fnaldade do Trabalho Organzação do Trabalho CONCEITOS BÁSICOS Erros em Suros Modelos de Markov Esconddo HMM Defnção Consderações Propredade de Markov Esaconaredade Seqüênca de Observações Independênca da Saída Parâmeros Modelo de Glber- Ello Modelo de Frchman Os Três Problemas Báscos Relavos a HMM Cálculo da Função Verossmlhança Varável Progressva Varável Regressva Seqüênca de Esados Esmação de Parâmeros Créro da Máxma Verossmlhança ML

7 Algormo de Baum-Welch Problemas de Implemenação Ordem de Grandeza Seqüênca de Observações Insufcene Esmação Incal dos Parâmeros Implemenação MODELO DE MARKOV PROPOSTO Defnções Número de Esados Modelo Básco Tabela de Transção de Esados do Modelo Dervado Marz de Probabldades de Transção Dagrama de Esados Cálculo das Dsrbuções de Probabldades dos Parâmeros Comprmeno de Suro e Inervalo enre Suros Comprmeno de suro Inervalo enre Suros Cálculo Recursvo das Probabldades P[Ck,l] e P[Ik,l] Probabldade de Comprmeno de Suro Probabldade de Comprmeno de Inervalo enre Suros RESULTADOS Smulação Levanameno do Parâmero Comprmeno de Suro Levanameno do Parâmero Inervalo enre Suros Densdade de Erro por suro Modelo Dervado Dsrbução Calculada dos Comprmenos de Suros Varação da Inclnação da Curva de Dsrbução com L Comporameno Incal da Dsrbução dos Comprmenos Dsrbução Calculada dos Inervalos enre Suros Comparação enre Smulação e Modelo Proposo

8 4.3. Comparação enre os Tempos de Processameno Modelo Básco HMM de 3 Esados Modelo Básco de Frchman-SES de 3 Esados Modelagem de um Canal Smulado de HF Modelagem pelo Modelo de Glber-Ello Esmação de Parâmeros pelo Modelo Dervado CONCLUSÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

9 LISTA DE ILUSTRAÇÕES FIG. 2. Modelo de Glber-Ello FIG. 2.2 Modelo de Frchman-SES de N esados FIG. 2.3 Esmação dos parâmeros do modelo de Glber-Ello pelo algormo de Baum-Welch FIG. 2.4 Efeo do amanho da amosra na esmação de parâmeros pelo méodo de Baum-Welch FIG. 3. Modelo básco geral HMM de n esados FIG. 3.2 Célula básca de 2 esados Glber Ello FIG. 3.3 Dagrama de esados para um modelo orgnado de um modelo de Glber-Ello, para L FIG. 4. Comparação enre as dsrbuções do parâmero comprmeno de suro, levanada para L s dferenes, a parr de um mesmo bloco. 56 FIG. 4.2 Comparação enre as dsrbuções do parâmero nervalo enre suros, levanada para L s dferenes de um mesmo bloco FIG. 4.3 Dsrbução do parâmero densdade de erro por suro méda, para L FIG. 4.4 Comparação enre as dsrbuções calculadas do parâmero comprmeno de suro, para probabldades de ransção fxas e L dferenes... 6 FIG. 4.5 Comporameno das dsrbuções calculadas e esmadas do parâmero comprmeno de suro

10 FIG. 4.6 Comporameno da curva de dsrbução dos comprmenos de suro gerada pelo modelo de Glber-Ello para PG e PB próxmos da undade FIG. 4.7 Curva coefcene angular x L para a dsrbução de comprmeno de suro FIG. 4.8 Comporameno ncal da dsrbução do parâmero comprmeno de suro e comparação enre modelo e smulação FIG. 4.9 Comparação enre as dsrbuções calculadas do parâmero nervalo enre suros, para probabldades de ransção fxas e L dferenes FIG. 4.0 Comparação enre smulação e modelo para L FIG. 4. Comparação enre smulação e modelo para L FIG. 4.2 Comparação enre smulação e modelo para L FIG. 4.3 Modelo básco de 3 esados FIG. 4.4 Dsrbução dos comprmenos enre suros para um modelo básco de 3 esados FIG. 4.5 Dsrbução dos nervalos enre suros para um modelo básco de 3 esados FIG. 4.6 Modelo básco de Frchman-SES de 3 esados FIG. 4.7 Dsrbuções dos comprmenos de suro smuladas e calculadas, com base no modelo de Frchman-SES de 3 esados FIG. 4.8 Dsrbuções dos comprmenos de suro smuladas e calculadas, com base no modelo de Frchman-SES de 3 esados, para L s dferenes... 77

11 FIG. 4.9 Dsrbuções dos nervalos enre suros smuladas e calculadas, com base no modelo de Frchman-SES de 3 esados FIG Dsrbuções dos comprmenos de suros levanadas da smulação do canal de HF e calculadas pelo modelagem baseada em um modelo básco de Glber-Ello, cujos parâmeros foram esmados... 8 FIG. 4.2 Dsrbuções dos nervalos enre suros levanadas da smulação do canal de HF e calculadas pela modelagem baseada em um modelo básco de Glber-Ello, cujos parâmeros foram esmados FIG Ajuse da curva de dsrbução dos comprmenos de suros pela curva obda pelo modelo dervado... 83

12 LISTA DE TABELAS TAB. 3. Tabela de ransção para o modelo dervado TAB. 3.2 Tabela de ransção smplfcada para modelo básco de 2 esados η TAB. 4. Levanamenos esaíscos do parâmero comprmeno de suro do expermeno da FIG TAB. 4.2 Esaísca do parâmero nervalo enre suros TAB. 4.3 Tempos de processameno TAB. 4.4 Esaísca para o parâmero comprmeno de suro, baseado no modelo de Frchman-SES de 3 esados TAB. 4.5 Esaísca para o parâmero nervalo enre suros, baseado no modelo de Frchman-SES de 3 esados TAB. 4.6 Parâmeros da CCIR para smulação de condções do canal de HF... 79

13 LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS ABREVIATURAS ARQ - Auomac Repea reques ATM - Asynchronous Transfer Mode BER - B Error Rae BLOS - Beyond Lne of Sgh FEC - Forward Error Correcon HF - Hgh Frequency HMM - Hdden Markov Model IID - Independenes e Idencamene Dsrbudos IP - Inerne Proocol LEO - Low Earh Orb ML - Maxmum Lkelhood PDF - Probably Densy Funcon SchEMe - Skywave Channel Error Model SES - Sngle Error Sae UHF - Ulra Hgh Frequency TCP - Transpor Conrol Proocol SÍMBOLOS A - Marz de probabldades de ransção B - Marz das dsrbuções de probabldades em cada esado Ck,L - Suro de comprmeno k, dado L e I Ik,L L m N - Esado de um modelo de Markov - Conjuno das enradas do modelo dervado - Inervalo de comprmeno k, dado L - Créro de comprmeno de suro - Número de símbolos do alfabeo de observações - Número de esados de um modelo de Markov ou do modelo dervado

14 NP - Número máxmo de probabldades dsnas não nulas o - Observação no nsane P B - Probabldade de r do esado bom para o esado rum p b - Probabldade de erro do esado rum P G - Probabldade de r do esado rum para o esado bom p g - Probabldade de erro do esado bom PO/λ - Função Verossmlhança P - Veor das probabldades dos esados do modelo dervado no esado esaconáro q - Esado no nsane S - Conjuno dos esados do modelo dervado α - Varável Progressva β - Varável Regressva η - Número de esados do modelo básco λ - Modelo Esconddo de Markov HMM π - Veor das probabldades ncas dos esados

15 LISTA DE SIGLAS CCIR CCITT IEEE ITU ITU-R Comé Consulaf Inernaonal de Rado Communy Colleges for Innovave Technology Transfer Insue of Elecrcal and Elecronc Engneers Inernaonal Telecommuncaon Unon ITU - Rado

16 RESUMO A ocorrênca de erros em suros é um problema verfcado prncpalmene nos canas sem fo nclundo as comuncações va saéle e os ssemas que operam na faxa de HF. A qualdade deses canas pode varar aleaoramene devdo a dversos faores as como: mobldade, desvanecmeno, sombreameno, nerferênca e ruído. A freqüênca de operação e a velocdade do usuáro de um ssema de comuncações nfluencam no processo de desvanecmeno devdo ao efeo mulpercursos. Os códgos convoluconas e a decodfcação de Verb, apesar de serem écncas de correção de erros amplamene usadas para melhorar a axa de erro de b BER nos ssemas de comuncações va saéle, são ambém capazes de gerar erros em suros. Nese rabalho é proposo um modelo de Markov para represenar canas de comuncações sujeos a erros em suros, cujos esados e enradas são defndos com base em um modelo esconddo de Markov clássco. Quando comparado com massas de dados smuladas, ese modelo mosrou-se basane efcene com relação ao raameno maemáco e compuaconal volados para o levanameno dos parâmeros de neresse.

17 ABSTRACT The occurrence of burs errors s a problem manly noed on wreless channels, ncludng saelle communcaons sysems and he sysems ha operae on HF band. The qualy of ha channels may flucuaes randomly due o a number of unpredcable effecs such as mobly, fadng, shadowng, nerference, and nose. In wreless communcaons sysems, he rado frequency and user speed affec he fadng process due o he mul-pah effec. Even hough he convoluonal codes and Verb decodng are error correcon echnques wdely used o mprove he b error rae BER performance over saelle communcaons sysems, hey are able o generae errors n burss. In hs work s proposed a Markov model for modelng communcaons channels wh busy behavor, whch has s saes and npus defnons based n a classc Hdden Markov Model. When ha model was compared wh smulaed daa blocks, was very effcen n he mahemac and compuaonal reamens used o ge he parameers of neres.

18 INTRODUÇÃO. POSICIONAMENTO DO TRABALHO O fenômeno dos erros em suros é uma caracerísca dos canas sem fo, sujeos a odos aqueles faores cados no resumo dese rabalho, abrangendo as comuncações móves, va saéle e HF, ão amplamene empregadas pelos ssemas de comuncações auas e em especal pelas Forças Armadas, devdo suas caraceríscas de emprego. Iso ressala a mporânca do esudo dese problema, e o desenvolvmeno de méodos que o mnmzem, ornando mas confáves eses mporanes ssemas de comuncações. A segur são cados alguns exemplos sobre o mpaco causado pelos erros em suros sobre alguns ssemas de comuncações. Os erros em suros nroduzdos pelo canal de um ssema de comuncações podem acarrear mpacos sobre os proocolos de comuncações. Como exemplo, pode-se car o proocolo TCP o qual assocado ao IP é amplamene ulzado em aplcações Inerne, endo sdo ncalmene projeado para redes por cabo, onde a axa de erro de canal é muo baxa. Enreano, quando assocado a canas sem fo, o TCP em seu desempenho severamene afeado, devdo à perda de pacoes ocasonada pelos suros de erros CHOCKALINGAM, 998. Da mesma forma nos anos mas recenes em havdo um crescene neresse pelo ATM sem fo, o qual ncalmene projeado para ambenes lvres de erros, agora operando com canas sem fo requer esudos sobre o mpaco que recebe pelos erros em suros ZORZI, Se 998. Os ssemas de comuncações ácas do Exérco dos E.U.A. são pcamene amparados por ssemas de saéles a fm de prover alcance além da lnha de vsada BLOS. Eses ssemas adoam os proocolos ATM ou IP, os quas requerem canas de ala qualdade com BER menor ou gual de 0-8. Como eses canas de saéles apenas permem BER da ordem de 0-5, uma solução enconrada para a melhora de performance é a aplcação dos Códgos Convoluconas e Decodfcação de Verb, que por sua vez nroduz erros em suros no ssema HEISSLER, 999. Em parcular, o esudo do mpaco causado pelos erros em suros no desempenho das écncas de conrole de erros assume grande mporânca dane

19 do exposo. Em ZORZI, ma. 998, é realzada uma comparação enre os desempenhos dos méodos FEC Forward Error Correcon e ARQ Auomac Repea reques de conrole de erros, onde observa que num ssema de comuncações sem fo, as écncas de reransmssão para recuperar erros de canal são soluções que em alguns casos devem ser mas efcenes do que as écncas FEC..2 FINALIDADE DO TRABALHO Os prmeros passos para o esudo do comporameno dos erros em suros se consuem na modelagem maemáca dese fenômeno e no levanameno e análse de seus parâmeros. A modelagem de um canal de comuncações em como fnaldade a obenção de modelos maemácos capazes de represenar com adequada precsão o comporameno dese canal, sendo de grande mporânca para o levanameno de seus parâmeros esaíscos e para o esudo de écncas de conrole dos erros nerenes a ese canal. Modelos nos quas os erros são ndependenes e dencamene dsrbuídos IID, são nadequados quando se espera as condções de um canal sujeo ao fenômeno dos erros em suros ZORZI, 999, pos eses possuem sgnfcane grau de correlação, não podendo, porano ser desprezado o efeo memóra deses canas. Os modelos maemácos mas empregados para represenar processos com memóra, êm sdo os modelos de Markov, em que se supõe que a nformação aual depende exclusvamene da nformação do nsane de empo medaamene aneror sendo desnecessára a nformação de odo o passado resane ZORZI, 2000 e HEISSLER, 999. Denre eles desacam-se os modelos de Glber, Ello e Frchman, os quas serão descros no capíulo 2. Méodos empírcos e ajuse de curvas ambém são empregados para represenação de dsrbuções de parâmeros, como em FRANCHI, 993, que procura ajusar a dsrbução dos comprmenos de suros por uma dsrbução geomérca. Uma grande conrbução sobre o assuno em sdo dada por Mchele Zorz e Ramesh R. Rao, por meo de suas publcações sobre erros em suros, abordando a sua modelagem, suas esaíscas e mpaco em alguns ssemas de comuncações como o TCP ZORZI, Já Rabner e Juang, apesar de rabalharem

20 dreconados para o processameno de snas de voz, muo conrbuem com méodos para a esmação de parâmeros de um Modelo Esconddo de Markov, possundo, além de suas publcações, um lvro que aborda ese assuno RABINER, ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO O presene rabalho procura enconrar um méodo efcene para se ober modelos adequados para os canas sujeos a erros em suros e para o levanameno e análse dos parâmeros comprmeno de suro de erro e nervalo enre suros de erro. O capíulo 2 aborda a defnção de erro em suro do CCITT, a qual será adoada para as análses realzadas, e a eora sobre as Cadeas de Markov Esconddas, base necessára ao desenvolvmeno dese rabalho e das ferramenas de smulação e análse. O enfoque prncpal do rabalho, abordado pelo capíulo 3, é a proposa de uma solução para o problema da modelagem e do levanameno dos parâmeros comprmeno de suro de erro e nervalo enre suros de erro. Iso é realzado por meo de um modelo de Markov gerado por uma nova defnção dos esados e das enradas. O capíulo 4, de uma manera geral, raz os resulados, baseados no levanameno dos referdos parâmeros de blocos de dados smulados afeados por suros de erro e os baseados no modelo proposo no capíulo 3, sendo realzada comparação enre os dos méodos. Ao fnal dese capíulo é sugerdo e exemplfcado um méodo para esmação de parâmeros de um HMM por meo do modelo proposo. O capíulo 5 apresena uma conclusão, mosrando a conrbução do rabalho para o esudo dos erros em suros e proposas para fuuros rabalhos relaconados à aplcação dos resulados aqu obdos. 2

21 2 CONCEITOS BÁSICOS 2.. ERROS EM SURTOS Um suro de erro é defndo pelo CCITT CCITT BLUE BOOK como: Um grupo de bs no qual dos bs errados sucessvos esejam sempre separados por menos do que um dado número L de bs correos. O número L, que a parr de agora chamaremos de créro de comprmeno de suro, como é defndo em FRANCHI, 993, deve ser adequadamene escolhdo conforme a aplcação, anes de qualquer análse ou levanameno de parâmeros. Esa defnção afea dreamene as dsrbuções de probabldades dos parâmeros comprmeno de suro de erro e comprmeno de nervalo enre suros de erro, os quas por comoddade, a parr de agora chamaremos smplesmene de comprmeno de suro e nervalo enre suros, respecvamene. O prmero parâmero menconado é o comprmeno de um suro de erros, conforme a defnção do CCITT. Ese parâmero é afeado, pos quano maor é L, mas seqüêncas de bs errados, separadas de no máxmo L- bs correos são undas formando suros mas longos. Ocorrem assm, uma dmnução das probabldades de ocorrênca de suros menores, ao mesmo empo em que aumenam as probabldades de ocorrênca de suros maores. O segundo parâmero refere-se ao número de bs correos maor ou gual a L, que separa dos suros de erro consecuvos. Ese parâmero é afeado em prmero lugar, com relação ao supore da sua dsrbução, pos de acordo com a defnção de suro de erro do CCITT, o menor nervalo enre dos suros que pode ocorrer é de comprmeno L. Em segundo lugar, com o aumeno de L, em-se uma dmnução dos números de nervalos possíves e um conseqüene aumeno das respecvas probabldades de ocorrênca. A. Franch e R. A. Harrs FRANCHI, 993 realzam expermenos baseados na defnção de suro de erro do CCITT, onde levanam a varação sofrda pelos parâmeros comprmeno de suro, comprmeno médo de suro e densdade de erro em um suro, para dferenes valores de L. 2

22 Todas as dsrbuções de probabldades apresenadas nese rabalho são de probabldades condconas, dado a ocorrênca dos suros de erros. Os processos de Markov, apesar de serem smples aproxmações, permemnos represenar o efeo memóra dos processos com erros em suros ZORZI, 999 e anda, a possbldade de raá-los analcamene. Modelos mas precsos podem ser enconrados, porém em muos casos, resulando em um aumeno de complexdade maemáca não compensador em ermos prácos ZORZI, 999. Assm, na escolha do modelo mas adequado à nossa aplcação, devemos levar em cona os faores precsão e complexdade, assm como o empo de processameno. O faor precsão sgnfca a capacdade do modelo em represenar, em ermos esaíscos o comporameno de um deermnado canal de comuncações; o faor complexdade dz respeo à represenação maemáca do modelo, mplcando dreamene na complexdade compuaconal, em ermos de memóra e do empo de processameno, que fo o úlmo faor menconado relaconando-se à velocdade com que os resulados compuaconas são gerados, seja em smulações ou levanamenos de parâmeros exraídos de massas de dados. 2.2 MODELOS DE MARKOV ESCONDIDO HMM 2.2. DEFINIÇÃO HMM Hdden Markov Model é um modelo composo de um conjuno fno de esados, cada qual por sua vez assocado a uma dsrbução de probabldades da ocorrênca de observações. Nese rabalho, em que o empo é consderado dscreo, as ransções enre os esados aconecem a cada undade de empo e são defndas por um conjuno de probabldades chamadas probabldades de ransção. Assm, não só o esado, mas ambém a dsrbução de probabldades assocada a ese, nfluencará nas observações geradas. O ermo observação é empregado porque se refere ao símbolo que aparece para um observador exerno, sendo os esados esconddos a ese, daí o nome Modelo de Markov Esconddo. 2

23 2.2.2 CONSIDERAÇÕES Com o objevo de dmnur a complexdade do raameno maemáco e compuaconal dos HMMs, são feas as segunes consderações: PROPRIEDADE DE MARKOV As probabldades de ransção são defndas como: a,j pq + j q, onde q é defndo como o esado do ssema no nsane. É consderado que o próxmo esado, depende apenas do esado aual, não mporando nenhum esado passado. Com esa suposção, o modelo resulane é do HMM de prmera ordem. Enreano podemos consderar que o próxmo esado dependa dos k esados passados e assm poderemos ober um modelo chamado HMM de k-ésma ordem com as correspondenes probabldades de ransção a segur defndas: a L, j p q+ j q, q 2, L, q k+ k,, 2,, k, j N 2. L 2 k HMM de ordens mas alas geram maor complexdade, sendo mas empregados os HMMs de prmera ordem, como será o nosso caso no esudo dos erros em suros ESTACIONARIEDADE As probabldades de ransções enre esados são ndependenes de deslocamenos no empo, como esá maemacamene represenado a segur: p para qualquer e 2. q 2 + j q p q j q SEQÜÊNCIA DE OBSERVAÇÕES Consdera-se como seqüênca de observações, uma seqüênca ndcadora da correção dos bs da seqüênca de dados em quesão, sendo que cada b 0 da prmera ndca que o correspondene b da segunda chegou correo, e cada b da prmera ndca que o correspondene b da segunda chegou errado. 2

24 INDEPENDÊNCIA DA SAÍDA A observação aual é esascamene ndependene das observações anerores. Podemos represenar maemacamene esa consderação defnndo a seqüênca de observações: O { o, o 2,... o T } 2.3 consderando um HMM λ, emos: T, q2,..., qt, p o q, p O q λ λ PARÂMETROS Para que um HMM dese po seja compleamene caracerzado, é necessáro esarem defndos os segunes parâmeros: N Número de esados; m Número de símbolos do alfabeo de observações. Adme-se a parr dese pono que a observação assume valores em um conjuno dscreo e fno. Ou seja, que cada observação o { ν, ν 2,..., ν m }, que é o conjuno alfabeo de observações. A Marz das probabldades de ransção, sendo: A{a,j }; a,j pq + j q ;, j N; 2.5 q represena o esado no empo. As probabldades de ransção a j devem aender as segunes condções: N 0 a,j ; a, j ;, j N; 2.6 j B Marz das dsrbuções de probabldades em cada esado sendo: B { b j k }; onde: b j k po v k q j, 0 j N; k m 2.7 2

25 e v k represena o K-ésmo símbolo de observação no alfabeo e o a observação no empo. As probabldades b j devem obedecer as segunes condções: m 0 b j k ; b j k ; 0 j N; k m 2.8 k π Veor das probabldades ncas de cada esado sendo: π { π }; onde: π pq 2.9 As probabldades π devem obedecer as segunes condções: N 0 π ; π ; N; 2.0 Assm represenamos um HMM com dsrbução dscrea de probabldades por: λa,b,π MODELO DE GILBERT- ELLIOTT Especfcamene para o caso da modelagem dos erros em suros, algumas publcações como ZORZI, 996, se. 998 e 999 nforma que o modelo de Glber- Ello, que é um HMM de prmera ordem de dos esados, modela sasfaoramene ese fenômeno e que por sua smplcdade, possbla adequado raameno maemáco e compuaconal. O alfabeo de símbolos ulzados é o bnáro m2. Ese modelo é defndo da segune forma: a O esado represena o esado bom G; b O esado 2 represena o esado rum B; c O veor B possu como elemenos apenas quaro probabldades: as duas probabldades complemenares de emr um b errado ou um b correo no esado e as duas probabldades análogas para esado 2 b k ; d O veor π se consu das 2 probabldades ncas do ssema: a probabldade de esar no esado P e a de esar no esado 2 P 2. Como a consderação de esaconaredade é adoada, o veor das probabldades de esado ncas é o veor das probabldades do esado esaconáro. Assm 2

26 o veor π é o auoveor da marz de ransção A, correspondene ao auovalor, sendo solução do segune ssema PAPOULIS, 99, p. 639: N π πa π, e π 0 FIG. 2.: e O dagrama de esados correspondene a ese modelo esá represenado na FIG. 2.: Modelo de Glber-Ello Assm os parâmeros para ese modelo fcam resumdos como a segur: a a2 A sendo: a a2 a 2 - a e a 22 - a b 0 b B sendo: b b2 0 b2 0 - b e b 2 0 b π P,P 2 sendo: P2 P e P a 2 a2 + a O número de undades de empo em que o canal permanece no esado rum é uma varável aleaóra com dsrbução geomérca, porano com méda /a 2. Analogamene, o empo que o canal permanece no esado bom é uma varável aleaóra com méda /a 2 ZORZI, 995, 996 e

27 O modelo de Glber-Ello é uma generalzação do modelo de Glber, realzado por Ello. Incalmene Glber dealzou um modelo de Markov de dos esados, semelhane ao apresenado nese em, porém com a dferença de possur probabldade de erro gual a zero no esado bom b 0. Mas arde Ello consderou a possbldade de probabldades de erro dferenes de zero para o esado bom SHEN, 999. A segur será apresenado o modelo de Frchman, uma generalzação do modelo de Glber, em relação ao número de esados MODELO DE FRITCHMAN Para os canas cujos erros em suros não são adequadamene represenados pelo modelo de Glber-Ello, uma oura possbldade é o modelo N-esados parconados de Frchman, que se consu de uma generalzação do modelo de Glber, para N esados. Nele os esados são parconados em k esados de erro runs e N-k esados lvres de erros bons, em que só são permdas ransções enre os esados bons e os esados runs FRITCHMAN, 967. O que dferenca os esados bons enre s são as respecvas probabldades de ransção enre eses e o esado rum. Nese modelo, a dsrbução de nervalos enre suros fca descra pela soma de k dsrbuções exponencas enquano a dsrbução de comprmenos de suros pela soma de N-k exponencas CHU, Uma parcularzação do modelo de Frchman é o modelo Frchman-SES SES Sgle-Error-Sae, seleconado por JOHNSON, 994 para modelar o HF SchEMe Skywave Channel Error Model. Ese modelo consse no modelo de Frchman para k, ou seja, um únco esado rum para város esados bons os quas podem ser em número de dos, rês ou mas. Na FIG. 2.2 esá represenado um modelo de Frchman-SES de N esados, onde o esado rum esá ndcado por B e os N- esados bons esão ndcados por G, G2... GN-, respecvamene. Ese modelo é defndo pela segune marz de ransção, onde o esado N fo consderado o esado rum, dese modo os elemenos nulos represenam as probabldades de ransção enre os esados bons: 2

28 p 0 0 A M 0 pn p p M 0 N p p 33 M 0 N 3 L L L O L L p N, N p M N, N pn p 2N p 3N M 0 pnn Ouras formas do modelo de Frchman podem ser ambém ulzadas de acordo com a aplcação. Para lusrar a seleção de dferenes modelos para dferenes aplcações, esudos sobre modelagem de canas de saéles de baxa órba LEO descros em CHU, 2002 empregam, além dos modelos de Frchman-SES de rês e quaro esados, o modelo de Frchman de 4 esados para k2, ou seja dos esados bons e dos esados runs. O prmero modelo menconado acma é ulzado em CHU, para descrever a esaísca de suros de erros do ssema LEO- UHF para os ângulos de elevação de 23 o e 52 o ; o segundo para os ângulos de elevação resanes e o ercero para canas sujeos a nerferêncas OS TRÊS PROBLEMAS BÁSICOS RELATIVOS A HMM No que dz respeo ao levanameno de parâmeros esaíscos a parr de uma massa de dados exsene, os HMMs dão orgem a rês problemas. A segur, udo de RABINER, 993, serão apresenados uma rápda descrção deses problemas e 2

29 um poseror dealhameno do desenvolvmeno eórco que será aplcado aos erros em suros, na mplemenação de ferramenas para esmação de parâmeros: - Cálculo da função Verossmlhança: dado um HMM λa,b,π e uma seqüênca O { o, o 2,... o T } de observações, deseja-se calcular a probabldade das observações erem sdo geradas pelo modelo λ: PO/λ; Seqüênca de Esados: dado um HMM λa,b,π e uma seqüênca O { o, o 2,... o T } de observações, deseja-se saber qual a mas provável seqüênca de esados de λ, que enha gerado o conjuno de observações O; - Esmação ML de Parâmeros: dada uma seqüênca O { o, o 2,... o T } de observações, deseja-se ajusar os parâmeros do modelo HMM λa,b,π, de modo a maxmzar PO/λ CÁLCULO DA FUNÇÃO VEROSSIMILHANÇA Com o modelo λa,b,π e uma seqüênca de observações O { o, o 2,... o T } e devemos calcular a probabldade da seqüênca O dado o modelo λ, PO/λ. No enano, se ese cálculo for feo de manera drea, a sua ala complexdade o orna compuaconalmene nvável, mesmo para seqüêncas de pequeno comprmeno, pos envolve um número de operações da ordem N T, que cresce exponencalmene com o amanho da seqüênca T. Assm devemos buscar um méodo de cálculo que reduza esa complexdade de modo a ornar o problema compuaconalmene raável. Para ano faremos uso de duas varáves auxlares: α Varável Progressva e β Varável Regressva VARIÁVEL PROGRESSIVA A Varável Progressva é defnda como a probabldade de ocorrênca da seqüênca parcal de observações O {o, o 2,... o }, quando ermnada no esado, so é, o sendo gerado pelo esado. Esá maemacamene represenada a segur: 2

30 α O, p o, o,..., o, q λ A qual a parr daqu nos referremos smplesmene como α. Assm podemos deduzr a segune relação recursva: N + j b j o+ α aj α, j N, T- 2.7 onde: α j π j b j o, j N 2.8 Aravés das relações acma calculamos: α T, N 2.9 A função verossmlhança é dada por: N p O λ αt 2.20 A complexdade dese cálculo é proporconal a N 2 T, que cresce lnearmene com o amanho da seqüênca T VARIÁVEL REGRESSIVA Agora defnmos a Varável Regressva, como a probabldade da ocorrênca da seqüênca parcal de observações O {o +, o +2,..., o T }, dado que o esado aual é, e esá maemacamene represenada a segur: β O, p o+, o+ 2,..., ot qt, λ 2.2 a qual a parr daqu nos referremos smplesmene como β. Como no caso de α exse uma relação recursva para o cálculo de β : N β β + j ajb j o+, N, T j onde: β T, N 2.23 Das relações acma emos: α β po, q λ, N, T 2.24 Assm obemos um ouro modo para o cálculo de PO/λ, usando as duas varáves acma defndas, como a segur: 3

31 N N p O λ p O, q α β SEQÜÊNCIA DE ESTADOS Com o modelo λa,b,π e a seqüênca O o, o 2,... o T de observações, deseja-se enconrar a seqüênca de esados mas provável do modelo que possa er gerado as observações. O créro mas ulzado para ese fm é o que enconra uma únca seqüênca de esados como solução aravés da maxmzação da probabldade Pq,O λ pelo Algormo de Verb. Prmeramene defnmos a varável δ, que ndca a seqüênca de esados mas provável de comprmeno, relava às prmeras observações e que ermna no esado : δ max P{ qq2... q, q, oo2... o λ} q, q2,..., q 2.26 por ndução: δ + j max[ δ aj ] b j o Assm enconramos a seqüênca q q 2,..., q T, que maxmza a EQ para cada e j. Para mplemenar uma rona que calcule a seqüênca de esados mas provável, podemos segur os passos: a Incalzação δ π b o 2.28 b Recursvdade ψ 0 j N 2.29 δ j max[ δ aj ] b j o 2.30 N ψ j arg max[ δ aj ] N 2 T e j N 2.3 c Térmno 3

32 P * max[ δ T ] 2.32 N q * T arg max[ δ ] N T 2.33 d Seqüênca de esados * q * ψ + q+ T-, T-2,..., ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS Nese caso o objevo é ajusar os parâmeros de um HMM A,B,π para que ese represene da melhor manera possível uma dada seqüênca de observações seqüênca de renameno. Para a nossa aplcação ulzaremos o créro da Máxma Verossmlhança ML mplemenando o Algormo de Baum-Welch CRITÉRIO DA MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA ML No Créro ML, nós procuramos maxmzar a probabldade de uma dada seqüênca de observações O o, o 2,... o T er sdo gerada por um dado HMM λ, por meo do ajuse de seus parâmeros A,B,π. Essa probabldade é a verossmlhança oal das observações, so é, a soma das probabldades da observação er sdo gerada por odas as seqüêncas de esados possíves e é maemacamene represenada por: L o PO/λ 2.35 Não exse nenhuma manera conhecda de se resolver ese problema analcamene, ou seja enconrar os parâmeros do HMM λ que maxmze L o RABINER, 993, p No enano podemos enconrar parâmeros que maxmze localmene L o, aravés do uso do Algormo de Baum-Welch, o qual esá descro a segur: 3

33 ALGORITMO DE BAUM-WELCH Prmeramene defnmos a função auxlar Q: q q O p q O p Q, ' log, ', λ λ λ λ 2.36 a qual deverá ser maxmzada em λ a fm de aualzar λ no sendo de aumenar PO λ, por meo de cálculos recursvos RABINER, 993, p , porque: ' ' ', ', λ λ λ λ λ λ O P O P Q Q 2.37 Uma caracerísca muo mporane dese algormo é a garana da convergênca RABINER, 993, p. 344,348:. Defne-se anda, mas duas varáves auxlares em adção as varáves progressva e regressva defndas anerormene. A prmera delas é dada pela probabldade de se esar no esado em e no esado j em + dado o modelo e a seqüênca de observações, ou seja:,,, λ ξ O j q q p j ou anda,,,, λ λ ξ O p O j q q p j em função das varáves progressva e Regressva, N N j j j j j o b j a o b j a j, β α β α ξ 2.40 A segunda varável auxlar é dada pela probabldade de se esar no esado em, dados a seqüênca de observações e o modelo λ, ou seja:, λ γ O q p 2.4 Em função das varáves progressva e Regressva, N β α β α γ 2.42

34 3 A relação enre γ e ξ,j é dada por: N j j, ξ γ, N, M 2.43 Agora podemos descrever as equações de reesmação dos parâmeros pelo méodo de Baum-Welch. Esas equações são recursvas e a cada eração o parâmero calculado é subsuído na própra equação e calculado novamene reesmado, e assm sucessvamene aé que se alcance o valor do parâmero procurado, segundo algum créro de parada. Os parâmeros de um HMM são aualzados a cada eração, no sendo de maxmzar a probabldade PO/λ, supondo um modelo modelo ncal λ A,B,π. Incalmene calculamos os α s ulzando as EQ. 2.7 e 2.8, e os β s ulzando as EQ e Em seguda calculamos ξ e γ aravés das EQ e 2.34, respecvamene. Fnalmene aualzamos os parâmeros do HMM segundo as equações a segur, conhecdas como fórmulas de reesmação: N, γ π 2.44 N j N j a T T j,,, γ ξ 2.45 m k N j j j k b T T v O j k,, γ γ 2.46 Em função das varáves progressva e regressva emos: N j T j 0 0 α β α π 2.47

35 3 T T j j j j o b a a β α β α 2.48 T T k v o k b, β α δ β α 2.49 sendo: k k k v o se v o se v o 0, δ PROBLEMAS DE IMPLEMENTAÇÃO Teorcamene, chegamos as fórmulas de reesmação, porém anda exsem város dealhes em nível de mplemenação que devemos observar e corrgr. Comenaremos em seguda os mas sgnfcavos para ese rabalho: ORDEM DE GRANDEZA As operações recursvas realzadas durane a esmação dos parâmeros de um HMM fazem com que eses endam a zero com o número de erações. Iso aconece devdo ao fao de que as varáves α e β são produzdas por um cálculo recursvo e que cada eração envolve produos de probabldades, como observado nas EQ. 2.7 e Assm eses faores são menores do que, fazendo com que α e β auas sejam sempre menores do que os anerores, o que leva o valor desas varáves exponencalmene para zero com o ncremeno de. Assm, mesmo que a seqüênca não seja muo grande, o lme de precsão de qualquer compuador é rapdamene angdo ao se execuar ese algormo. Para combaer ese problema ulzaremos uma écnca de ponderar esas varáves, ou seja, mulplcá-las por um faor de escala c dependene do empo, mas que não dependa de RABINER, 993, p. 365, de forma que os valores desas varáves sejam mandos denro dos

36 lmes de precsão do compuador, quando o vara de aé T. Os cálculos dese procedmeno esão descros a segur: - Para, calcula-se α como na EQ. 2.7; - Cálculo do faor c : N c α e ˆ α cα 2.50 onde: ˆ α represena o α ponderado pelo faor c ; N - Cálculo recursvo de ˆ α : ˆ α ˆ α j a jb o ; 2.5 j Após calculado, ˆ α deve ser aplcado nas EQ. 2.52, para o cálculo dos novos valores de c e ˆ α, que deverão ser novamene aplcados na EQ. 2.5, e assm sucessvamene. sendo: ˆ α c ˆ α onde: c N ˆ α 2.52 Como β possu a mesma ordem de grandeza de α, ulzaremos o mesmo faor de escala c para ponderar esas varáves, que ambém serão mandas em lmes razoáves para o cálculo compuaconal. assm: ˆ β c β SEQÜÊNCIA DE OBSERVAÇÕES INSUFICIENTE Um ouro problema ao nível de mplemenação é o efeo causado por uma pequena seqüênca de observação. No caso de b k, que sgnfca a probabldade de ocorrer a observação v k no esado, observa-se que o numerador de sua equação de reesmação EQ é uma soma cujos ermos em que a observação o é dferene do símbolo v k, são nulos. Se esa probabldade é pequena e a amosra 3

37 da seqüênca ulzada na reesmação for ambém pequena, pode não ocorrer nenhuma vez o eveno o gual a v k no esado, assm o correspondene b k reesmado e conseqüenemene os segunes serão nulos, levando os cálculos a valores rreas. Possíves soluções seram aumenar o comprmeno da seqüênca observada ou dmnur o número de esados ou o número de símbolos do modelo ulzado, parâmeros que geralmene não podemos alerar. Uma solução práca espular lmares mínmos para os parâmeros do modelo, obrgando-os durane a execução do algormo a fcarem sempre acma deses lmes, exemplo RABINER, 993, p. 37: b k, b k δ b, b k δ ; o. c. sendo: δ b é o lmar mínmo fxado b ESTIMAÇÃO INICIAL DOS PARÂMETROS As equações de reesmação produzem valores dos parâmeros de um HMM, correspondenes a convergênca para qualquer um dos máxmos locas da função verossmlhança, se houver mas de um. Porano precsamos escolher parâmeros ncas, que nos conduzam ao seu máxmo global. Não exse nenhuma manera smples e drea para resolver ese problema RABINER, 993, p. 370, porém a experênca em mosrado que esmações ncas aleaóras ou unforme de π e A são adequados para a reesmação desses parâmeros. Fo observado que, para o modelo de Glber-Ello, as esmações ncas sendo baseadas nas endêncas dos parâmeros devdo a baxa probabldade de erro do canal e dvdndo-as em dos grupos um de baxas probabldades 0.25 e ouro de alas probabldades 0.75, a convergênca dos parâmeros se aproxmou sasfaoramene dos valores esperados IMPLEMENTAÇÃO Apesar dese assuno não ser o objeo prncpal dese rabalho, com o objevo de se ober uma ferramena auxlar para nossos esudos, fo mplemenado um 3

38 programa, que execua o algormo de Baum-Welch, recebendo como parâmeros de enrada o bloco de dados e os valores ncas para o processo de reesmação. A FIG. 2.3 apresena, como lusração, o resulado obdo da esmação dos parâmeros defndores de um HMM de dos esados. Observe que para ese caso, houve a convergênca de odos os parâmeros com menos de dez erações. Observou-se para um bloco fxo de dados, que o número de erações aé a convergênca com deermnada precsão, depende de dos faores; dos parâmeros ncas e do amanho da amosra. Ese úlmo nflu ambém na precsão dos valores fnas enconrados, ou seja uma amosra pequena pode convergr em poucas erações, porém para valores assnócos dferenes dos parâmeros reas. A FIG. 2.4 lusra a mporânca da dmensão da amosra ulzada para a esmação dos parâmeros de um ssema. Observe que, apesar da convergênca er ocorrdo para odas as amosras em poucas erações, à medda que aumenamos o amanho da amosra, a convergênca ocorre para assínoas correspondenes a valores mas próxmos dos parâmeros prevamene conhecdos, que deram orgem a seqüênca. 3

39 3

40 4

41 3 MODELO DE MARKOV PROPOSTO Com o objevo de soluconar efcenemene o problema da modelagem e da análse de parâmeros dos erros em suros, será proposo nese capíulo um modelo de Markov específco para o cálculo das dsrbuções de probabldades dos parâmeros comprmeno de suro e nervalo enre suros, cuja dedução das equações será dealhadamene apresenada. Bascamene, ese modelo consu-se de uma Cadea de Markov clássca orgnada a parr de uma Cadea Escondda de Markov HMM. A parr dese pono, a prmera cadea menconada acma será referda como modelo dervado e a segunda como modelo básco. O modelo dervado, apesar de mas complexo do que o modelo básco, é dedcado ao cálculo dos parâmeros comprmeno de suro e nervalo enre suros, sendo a efcênca neses cálculos sua prncpal vanagem. Ese modelo segue uma nova defnção para seus esados e suas enradas, onde uma enrada é defnda como sendo uma excação orgnada no modelo básco necessára à ransção de um esado para ouro ou para o mesmo esado do modelo dervado. Sua consrução basea-se nos quaro ens segunes: a Toma-se um HMM como modelo básco e escolhe-se um valor para o créro de comprmeno de suro L; b O esado aual do modelo dervado é defndo por dos parâmeros, o esado aual e do modelo básco e o número y de bs 0 gerados após o úlmo b gerado pelo modelo básco, sendo que se o número de bs 0 for maor ou gual a L, defne-se que y E. Assm os esados de um modelo dervado de um modelo básco de η esados são represenadas por: e, 0, e,, e, 2,..., e, L-, e, E η; c A enrada do modelo dervado é defnda por dos parâmeros: o próxmo esado e j do modelo básco e o b gerado 0 ou pelo esado aual do modelo básco. Assm as enradas de um modelo dervado de um modelo básco de η esados são represenadas por: e j, 0 e e j, j η; 4

42 d Esa operação conduz a consrução de uma nova marz de ransção e de um correspondene dagrama de esados, dos quas a complexdade depende do número de esados do modelo básco e de L. Ese modelo dervado possbla a dedução das dsrbuções de probabldades dos parâmeros comprmeno de suro e nervalo enre suros, com muo mas velocdade e precsão do que o levanameno deses parâmeros feos aravés de smulações. 3. DEFINIÇÕES São defndos os segunes parâmeros: L Créro de comprmeno de suro; N N o de esados do modelo dervado; m amanho do alfabeo de símbolos dos veores das observações: m2, O { 0, } onde: '0' acero e '' erro; A Marz das probabldades de ransção do modelo dervado: A{ a,j }, a,j pq + j q,, j N, q esado no empo ; π Veor das probabldades de cada esado do modelo dervado no regme esaconáro: π { p }, p pq, 0 N; P Veor das probabldades de erro dos esados η N o de esados do modelo básco; S x,y Esados do modelo dervado, onde: x {e },...n esado aual do modelo básco; y número n z de zeros após úlmo gerado, se n z < L e y E, se n z L; I u,v Enradas do modelo dervado, onde: u {e j }, j...η próxmo esado do modelo básco; 4

43 v 0 ou b gerado no esado aual do modelo básco; 3.. NÚMERO DE ESTADOS Observa-se de uma manera geral, que cada esado do modelo básco defne um enre η grupos de esados do modelo dervado, onde em cada grupo, o parâmero y que represena o número de zeros desde o úlmo gerado. Como o parâmero y pode assumr L+ valores dsnos, enão o número N de esados do modelo dervado é dado por: N η.l MODELO BÁSICO O modelo básco consu-se da Cadea Escondda de Markov HMM, a qual orgnará o modelo dervado, cujo número de esados depende do número de esados do modelo básco η e de L. Noa-se que uma mudança de esado no modelo básco, por varar o prmero parâmero x do esado S do modelo dervado, mplca ambém em uma mudança de seu esado, o conráro não pode ser afrmado, já que um mesmo esado do modelo básco pode orgnar mas de um esado do modelo dervado, so devdo ao segundo parâmero y de S, que represena o número de zeros que o ssema gerou após o úlmo gerado. Anda deve ser observado que logo que se gera um, enão y0 e quando se gera L ou mas 0 após o úlmo gerado, enão ye. Na FIG. 3. esá represenado um modelo básco genérco, so é, um HMM de η esados, os quas esão odos lgados enre s por probabldades de ransção p j nos dos sendos e cada um deles possu uma probabldade p de erro gerar : 4

44 Onde: p j a probabldade de ransção do esado para o esado j ; p a probabldade de erro gerar do esado e. Incalmene omaremos como referênca de modelo básco o modelo de Glber- Ello, o qual consu-se de um HMM de dos esados, um deles do esado bom G e o ouro esado rum B, onde o prmero apresena baxa probabldade de erro p g e o segundo ala probabldade de erro p b. A FIG. 3.2 apresena o dagrama de esados dese modelo. Onde: P B Prob. de ransção do esado G para o B P G Prob. de ransção do esado B para o G 4

45 p b Prob. de erro emr do esado B p g Prob. de erro emr do esado G O em 3..5 apresena o dagrama de esados do modelo dervado, para L 3, correspondene ao modelo básco de Glber-Ello apresenado nese em TABELA DE TRANSIÇÃO DE ESTADOS DO MODELO DERIVADO A TAB. 3. relacona odos os possíves esados auas com odas as possíves enradas, apresenando os correspondenes esados fuuros e cada uma das respecvas expressões para cálculo das probabldades de ransção do modelo dervado, as quas dependem não só das enradas, mas ambém dos esados auas. A úlma coluna apresena as expressões para cálculo dos índces dos elemenos da marz de ransção do modelo dervado descra no em segune, em função dos índces dos elemenos da marz de ransção do modelo básco, esa coluna será úl no fuuro auxlando na consrução e mplemenação em compuador da marz de ransção. Esado Aual Enrada Esado Fuuro Prob. de Transção Elemeno e,x e j, e j,0 p j.p a +k. η, j k0... L e,y e j,y+ a +k. η+s, j+k+. η e,l- e j,0 e j,e p j.-p k0... L- s0 para k L- e,e e j,e s η para k L- e,y e j,x e j,z >y+ 0 Ouros casos. TAB. 3.: Tabela de ransção para o modelo dervado MATRIZ DE PROBABILIDADES DE TRANSIÇÃO Baseado nos parâmeros do modelo básco e na defnção dos esados e das enradas do modelo dervado represenados na TAB. 3., podemos consrur a 4

46 esruura da marz de probabldades de ransção, a qual a parr dese pono nos referremos smplesmene como marz de ransção. Observa-se que só são possíves as ransções dos esados X,y- para X,y, onde y L-; X,L- ou X,E para X,E e de qualquer esado para X,0, onde X, represena esado do modelo básco. Os elemenos da marz correspondenes as ransções resanes são porano, nulos. A organzação dos esados em ordem crescene do segundo parâmero y, nas lnhas e nas colunas da marz é uma das maneras que perme a dedução de expressões smples para os índces de seus elemenos. A segur é mosrado a esruura geral de uma marz de ransção para um créro de comprmeno de suro L, e cuja célula básca possu η esados: e,0 e 2,0 e η,0 e, e 2, e η,... e,l- e 2,L- e η,l- e,e e 2,E e η,e e,0 a a 2 a η a,η+ a,η+2 a,η+η e 2,0 a 2 a 22 a 2η a 2,η+ a 2,η+2 a 2,η+η e η,0 a η a η2 a ηη a η,η+ a η,η+2 a η,η+η e, a a 2 a η e 2, a 2 a 22 a 2η e η, a η a η2 a ηη e,l- a a 2 a η a,η+ a,η+2 a,η+η e 2,L- a 2 a 22 a 2η a 2,η+ a 2,η+2 a 2,η+η e η,l- a η a η2 a ηη a η,η+ a η,η+2 a η,η+η e,e a a 2 a η a,η+ a,η+2 a,η+η e 2,E a 2 a 22 a 2η a 2,η+ a 2,η+2 a 2,η+η e η,e a η a η2 a ηη a η,η+ a η,η+2 a η,η+η Podemos observar na marz, a repeção dos valores das probabldades dos ηx2η elemenos correspondenes às η prmeras lnhas e às 2η prmeras colunas em ouros elemenos e o resane dos elemenos nulos. Sendo que o número máxmo de probabldades não nulas dsnas NP, que se repeem é o produo de η por 2η, enão: NP 2. η

47 Agora parcularzaremos a marz de ransção omando-se como modelo básco, o modelo de 2 esados η2 de Glber-Ello, manendo-a genérca quano ao L. Da EQ. 3., o número de esados desa marz de ransção é dado por N2L+, e da EQ. 3.2, o número de probabldades dsnas que podem ocorrer para ese caso é NP 8. Assm, para ese caso a marz de ransção possu a segune esruura: G,0 B,0 G, B, G,2 B,2 G,E B,E G,0 a b e f B,0 c d g h G, a b 0 0 e f B, c d 0 0 g h Em seguda podemos deduzr cada uma desas 8 probabldades de ransção e arbuí-las aos correspondenes elemenos da marz de ransção de esados, como descro na TAB G,L- a b e f Elemeno Probabldade de ransção Elemeno a -P B p g a 2k-, onde: b P B.p g a 2k-,2 c P G.p b a 2k, k, 2,,L+ d -P G.p b a 2k,2 e -P B -p g a 2k-+S,3+2k- onde: f P B.-p g a 2k-+S, 4+2k- g P G.-p b a 2k+S, 3+2k- k, 2,,L h -P S 0, se k L G.-p b a 2k+S, 4+2k- S 2, se kl TAB. 3.2: Tabela de ransção smplfcada para modelo básco de 2 esados η DIAGRAMA DE ESTADOS 4

48 Para represenar o dagrama de esados do modelo dervado, exemplfca-se com um modelo básco de Glber-Ello, para L3. Observa-se na FIG. 3.3, que os esados X,0 recebem ransções de odos os esados, pos de qualquer esado, o ssema pode gerar o b, e assm passar a condção de er uma quandade nula de 0 s após ese, que fo o úlmo gerado. FIG. 3.3: Dagrama de esados para um modelo orgnado de um modelo de Glber-Ello, para L CÁLCULO DAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DOS PARÂMETROS COMPRIMENTO DE SURTO E INTERVALO ENTRE SURTOS 4

49 Apresena-se a segur a dedução das probabldades de ocorrer um suro de amanho k e de ocorrer um nervalo enre suros de amanho k, possblando assm o cálculo das respecvas dsrbuções, fxado o valor do parâmero L COMPRIMENTO DE SURTO Seja Ω o conjuno de odos os N esados do modelo dervado. Sejam os conjunos A {X,E} e B {X,0}, subconjunos do conjuno Ω. Admndo que um suro começa no nsane n, em-se: q n- A e q n B 3.3 Ese suro erá amanho k se: q n+ A para aé k+l-2, e 3.4 q n+k+l- A 3.5 sendo: q n o esado do modelo básco no empo n. Exemplo: Para L3, seja um suro de amanho 7 ncando no empo n, como represenado a segur:... x n x n+ x n x n+k+l-2 x n+8 x n+k+l- x n Fora de suro Suro de amanho 7 L 3 Fora de suro sendo: x n o b gerado no empo n. Porano, dado que o suro se nca no nsane n, a probabldade de que ese suro enha amanho k, é dada por: k+ L 2 P[ C k, L] P[ xn+ k+ L A; I xn+ A xn B; xn A] INTERVALO ENTRE SURTOS 4

50 Sejam os conjunos A {X,E}, B {X,0} e C {X,L-}, subconjunos do conjuno Ω. Admndo que um nervalo enre suros começa no nsane n, em-se: q n- C e q n A 3.7 Se ese nervalo enre suros em amanho k k L, enão: q n+ A para aé k-l e 3.8 q n+k-l+ B 3.9 Exemplo: Para L3, seja um nervalo enre suros de amanho 7 ncando no empo n, como represenado a segur:... x n x n+ x n+2.. x n+k-l+ x n L 3 suro Inervalo de amanho 7 suro A probabldade de ocorrer um nervalo enre suros de amanho k é, porano dada por: k L P[ I k, L] P[ xn+ k L+ B; I xn+ A xn A; xn C] CÁLCULO RECURSIVO DAS PROBABILIDADES P[CK,L] E P[IK,L] As probabldades em quesão são casos parculares da segune probabldade geral, a qual será desenvolvda a segur, vsando a obenção de um algormo recursvo para o seu cálculo: M + I λ M P[ xn M Uα ; xn+ U xn V; xn W ] 3. Sendo: U α, U, V e W subconjunos fxos de Ω conjuno de odos os esados. Expressando λm aravés de uma probabldade da nerseção, emos: 5