2 Conceitos básicos Modelos de Markov

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1 2 Conceos báscos O objevo dese Capíulo é abordar eorcamene os assunos que formam a base para o desenvolvmeno do modelo proposo e a descrção do modelo de Frchman, que devdo sua frequene aplcação em rabalhos enconrados na leraura da área, fo ulzado como modelo de referênca para o ajuse dos dados segundo as esaíscas de neresse. Assm, ese Capíulo esá dvddo em duas pares. A prmera raa dos modelos de Markov, nclundo os Modelos Esconddos de Markov (HMM) e o méodo de Baum-Welch para esmação de seus parâmeros. A segunda pare aborda as ferramenas de omzação empregadas para esmação dos parâmeros do modelo proposo, nclundo uma écnca de omzação clássca e o processo heurísco conhecdo como PSO (Parcle Swarm Opmzaon). 2.. Modelos de Markov Eses modelos em como elemeno básco a Cadea de Markov, que é um processo esocásco de empo dscreo em que a ransção para um esado no nsane, depende somene do esado vsado no nsane -. Defne-se como probabldade de ransção aquela que caracerza a ransção para o esado J (esado no nsane ) dado que o esado aneror fo I -. Esa é a defnção do que é denomnado de cadea de Markov de ordem um, pos é possível conceber a suação onde a ransção para um esado no nsane depende dos k úlmos esados vsados. ese caso a cadea de Markov é denomnada de ordem k. ese rabalho, concenraremos nossa aenção nas cadeas de Markov homogêneas e esaconáras de prmera ordem caracerzada por um número fno de esados, onde o esado no nsane é denoado por s. Assm uma cadea de Markov pode ser caracerzada pela rnca {S, π, P} onde:

2 22 S = {,2,...,u } Conjuno dos esados do modelo π = [p p 2... p u ], p j = P(s 0 =j) Veor das probabldades ncas de esado P = [ p j ] u x u, p j = P(s = j s - = ) Marz de probabldades de ransção A Fgura abaxo lusra uma cadea de Markov de rês esados, sendo que enre eles, odas as ransções são possíves. Fgura 2. Cadea de Markov de 3 esados 2.2. Modelos Esconddos de Markov Denomna-se de Modelo Esconddo de Markov (HMM) a um modelo baseado em uma cadea de Markov onde: Uma observação é produzda ao se acessar cada esado. Esa observação é de naureza esocásca e parcular de cada esado. Os esados da cadea de Markov subenendda não são observáves (daí o nome esconddo ). Assm um Modelo Esconddo de Markov é caracerzado por uma cadea de Markov subjacene e por dsrbuções de probabldade das observações produzdas em cada esado. Mas formalmene, um HMM pode ser descro pelo segune conjuno de parâmeros: { S, A, π, P, B } onde: S = {,2,...,u } Conjuno dos esados do modelo; A = {α, α 2,..., α m } Conjuno dos símbolos de saída;

3 23 π = [p p 2... p u ], p j = P(s =j) Veor das probabldades ncas de esado; P = [ p j ] u x u, p j = P(s = j s - = ) Marz de probabldades de ransção; B = [P(O j)] Veor com a dsrbução de probabldades das observações (O) por esado (j). Em resumo, o HMM é um modelo composo de uma cadea de Markov subjacene cujos esados não são observáves, onde uma observação é emda quando da permanênca em qualquer um de seus esados. Como veremos mas adane, os modelos HMM em se mosrado exremamene úes em Telecomuncações, parcularmene no que dz respeo à modelagem de canas de comuncações em processos de ransmssão dgal [6], [7]. Esa dscussão é o objevo da próxma seção HMM aplcado a canas sujeos a erros em suros Em comuncações dgas, podemos supor, sem perda de generaldade, que as mperfeções exsenes no canal de comuncações farão com que a sequênca recebda seja dferene da sequênca ransmda, o que caracerza o que é chamado de erro de ransmssão. Assm odo o efeo danoso do canal de comuncações pode ser gualmene represenado por uma sequênca bnára onde por convenção, usaremos e 0 para respecvamene represenar a ocorrênca e não ocorrênca de erro num parcular nsane do processo de ransmssão de dados. Assm caracerzação do comporameno de um canal de comuncações pode ser descra por uma longa sequênca bnára, majoraramene consuída por 0 s, onde os s represenam a ocorrênca de erros no processo de ransmssão. Tem sdo o objevo de város pesqusadores nesa área, a busca por modelos eórcos de naureza esocásca que represenem probablscamene e descrevam adequadamene ese fenômeno de ocorrênca de erros provocados pelo canal de comuncações. A uldade de as modelos é ndscuível e denre as suas prncpas vanagens podemos car a capacdade de smular novos ssemas de comuncações em canas de comuncações cujos efeos sobre os dados ransmdos podem ser avalados sem a necessdade de prácas expermenas.

4 24 Com relação aos efeos danosos causados pelos canas de comuncações com memóra consaa-se que os erros não podem ser consderados esascamene ndependenes. Observa-se em muos casos que erros aconecem na forma que é comumene denomnada de suros, onde longos períodos de ausênca de erros são segudos por curos períodos de ala ncdênca de erros. Assm, a busca de modelos eórcos que sejam capazes de explcar esascamene ese fenômeno de suros, pode ser consderada exremamene mporane. Observa-se que a leraura em revelado que os modelos esconddos de Markov em sdo usados na explcação esaísca de alguns fenômenos de ocorrênca de erros em suros [3, 4, 7, 6, 7,9, 20, 25, 26]. Porém eses não são adequados a muos dos casos de geração de suros, e anda esão sujeos a lmações mposas pelo mpracável aumeno de complexdade maemáca quando se busca maor precsão de ajuses por meo do aumeno do número de esados. Esa ese é bascamene movada por essa consaação, e vsa propor e dscur um modelo que apresene adequada capacdade para represenar al fenômeno aravés de seu comporameno esaísco, superando as dfculdades acma menconadas, de um novo HMM com esruura especal, dreconada a geração de sequêncas de erros. A íulo de lusração, serão apresenados a segur, alguns modelos clásscos de HMM enconrados na leraura para a caracerzação esaísca de canas de comuncações Modelo de Glber-Ello O modelo denomnado de Glber-Ello, em referênca a seus auores, é um HMM de dos esados. O dagrama de esados correspondene enconra-se na Fgura 2.2. Ese modelo é consuído de um esado onde a ocorrênca de erros possu baxa probabldade (daí o esado ser chamado de bom ou good (G)) e por um segundo esado, onde a ocorrênca de erros possu ala probabldade (esado chamado de rum ou bad (B)). A frequênca com que se permanece em cada um deses esados é conrolada pelas probabldades de ransção enre esados.

5 25 Assm, ese modelo é caracerzado por cnco parâmeros e descro por: { S, A, π, P, B e } onde: S = {, 2 } A = { 0, } π = [ p -p ] P = p p p p B e = [ p e p e2 ] (Veor das probabldades de erro por esado) Fgura 2.2 Modelo de Glber-Ello 2.5. Modelo de Frchman Ese modelo represena uma generalzação do aneror e é um modelo consagrado e amplamene empregado na modelagem de erros em suros. Por ser parcularmene mporane, será omado como referênca de comparação com o modelo proposo nesa ese. um modelo de Frchman de esados, eses são parconados em dos grupos, um com k esados de erro (runs), que geram s com probabldade, e o ouro com -k esados lvres de erros (bons), que geram 0 s com probabldade.

6 26 Somene são permdas auo-ransções ou ransções enre eses grupos[7]. Assm, a dsrbução do comprmeno dos gaps (nervalo enre suros) é descra por uma combnação lnear de -k dsrbuções exponencas, enquano a dsrbução de comprmenos de suros é descra por uma combnação lnear de k dsrbuções exponencas [4]. Apesar de ese ser modelo mas rco do que o Glber-Ello, em-se verfcado que é nadequado para muos casos de neresse [26, 32]. Ese modelo possu um número maor de esados e conseqüenemene a esmação de seus parâmeros apresena complexdade em geral elevada. Uma parcularzação do modelo de Frchman é o denomnado de modelo Frchman-SES (SES Sngle-Error-Sae), seleconado em [9] para modelar o HF SchEMe (Skywave Channel Error Model), e corresponde ao caso em que k=. A Fgura 2.3 lusra um modelo de Frchman-SES de esados, onde o esado rum é ndcado por (B) e os - esados bons são respecvamene ndcados por (G ), (G 2 )... (G - ). Ese modelo é descro pela marz de probabldades de ransção mosrada em (2.), onde o esado rum é o de índce : p 0 0 L 0 p 0 p22 0 L 0 p2 0 0 p 33 L 0 p3 P = (2.) M M M O M M L p, 0 p p 2 p 3 L p, p Fgura Modelo de Frchman-SES de esados

7 27 Ouros modelos de Frchman específcos são ambém ulzadas em dversas aplcações. Esudos sobre modelagem de canas de saéles de baxa órba (LEO) descros em [4] empregam, além dos modelos de Frchman-SES de rês e quaro esados, o modelo de Frchman (k=2, =4). O prmero modelo menconado acma é ulzado em [4] para descrever a esaísca de suros de erros do ssema LEO-UHF para os ângulos de elevação de 23 o e 52 o ; o segundo para os ângulos de elevação resanes, e o ercero para canas sujeos a nerferêncas Esmação de parâmeros do HMM A esmação de parâmeros dos HMM s a parr de uma sequênca de dados observados dá orgem a rês problemas clásscos e de grande neresse: ) o cálculo do esmador de máxma verossmlhança (ML) das observações condconado aos parâmeros do HMM; ) a esmação da sequênca de esados mas provável e ) a esmação ML de parâmeros. A segur, será apresenada uma breve descrção de cada um desses rês problemas [4] Cálculo da probabldade de geração da sequênca observada Com o objevo de smplfcar as noações, consdere um HMM λ=(p,b,π), onde, P represena sua marz de probabldades de ransção; B a marz das dsrbuções de probabldades das emssões em cada esado e π o veor das probabldades ncas de cada esado. Seja a seqüênca O={ o, o 2,... o T } uma sequênca de observações. Deseja-se calcular a probabldade das observações erem sdo geradas pelo modelo λ: V(O λ); (2.2) Se ese cálculo for feo de manera drea, a sua complexdade o orna compuaconalmene nvável, mesmo para seqüêncas de pequeno comprmeno, pos envolve um número de operações da ordem T, que cresce exponencalmene com o amanho da seqüênca (T), sendo o número de esados. Assm devemos

8 28 buscar um méodo de cálculo que reduza esa complexdade, de modo a ornar o problema compuaconalmene raável. Para ano, faremos uso de duas varáves auxlares: α () Varável Progressva e β () Varável Regressva. Varável Progressva A Varável Progressva α () é defnda como a probabldade de ocorrênca da seqüênca parcal de observações O = {o, o 2,... o }, sendo o gerada pelo esado. ou seja, α ( ) = P( o, o,..., o, s = λ) (2.3) 2 Analsando odas as possbldades de ransção para um esado j, podemos rvalmene, deduzr a segune relação recursva: + j + j = α ( j) = b ( o ) α ( ) p, j, T, (2.4) onde: p j é o elemeno da marz de probabldades de ransção P correspondene à ransção do esado para o esado j. b j (o + ) é a probabldade de emr a observação o +, no nsane +, dado que se eseja no esado j; Os cálculos podem ser ncados por: α ( j) = π b ( o ), j. (2.5) j j onde: π j é a probabldade ncal de se esar no esado j. Aravés das relações acma se calcula esa varável para oda a sequênca:

9 29 α T (), j (2.6) Por fm, a probabldade de geração da sequênca observada é dada por VO ( λ) = α ( ) (2.7) = T oe-se que a complexdade dese cálculo é proporconal a 2 T, ou seja, em crescmeno lnear com o amanho da seqüênca T. Varável Regressva A Varável Regressva β () é defnda como a probabldade condconal de ocorrênca da seqüênca parcal de observações O T + = {o +, o +2,..., o T }, dado o esado s T é gual a, ou seja, β ( ) = P( o, o,..., o s =, λ) (2.8) T T Como no caso de α (), podemos faclmene chegar à segune relação recursva para o cálculo de β (): β () = β + ( j) p b ( o + ),, T, (2.9) j j j= onde: β () = T, (2.0) Das relações acma emos: α () β () = P( O, s = λ),, T (2.) Assm sendo, obemos ouro modo para o cálculo de V(O λ), como a segur:

10 30 VO ( λ) = POs (, = λ) = α ( ) β ( ) = = (2.2) Deermnação da sequênca de esados mas provável Dado um HMM λ=(p,b,π) e uma sequênca O={ o, o 2,... o T } de observações, deseja-se saber qual a seqüênca de esados S = {s, s 2,..., s T } com maor probabldade de er gerado as observações O. Ese problema equvale à maxmzação da probabldade P(S,O λ) e pode ser resolvdo pelo Algormo de Verb, como se mosra a segur: Prmeramene defnmos a varável δ (), que ndca a seqüênca de esados mas provável de comprmeno, relava às prmeras observações, e que ermna no esado : δ ( ) = max P( ss... s, s =, oo... o λ) (2.3) 2 2, 2,..., q q q Por ndução pode-se mosrar que: δ ( j) = max[ δ ( ) p ] b ( o ) (2.4) + j j + Assm enconramos a seqüênca de esados s s 2,..., s, que sasfaz a equação (2.4) para cada e j. Para ober a seqüênca de esados mas provável podemos segur os segunes passos: a) Incalzação: ) ( ) δ ( = b o (2.5) π ψ ( ) 0 (2.6) =

11 3 b) Recursvdade: δ ( ) = max[ ( ) ] ( ) (2.7) j δ pj bj o ψ ( ) = arg max[ ( ) ] 2 T e j (2.8) j δ pj c) Térmno: P * = max[ δ ( )] (2.9) T q * T = arg max[ δ ( )] (2.20) T d) Seqüênca de esados: q * * ψ + s + = ( ) =T-, T-2,..., (2.2) Esmação ML de Parâmeros Dada uma seqüênca O={ o, o 2,... o T } de observações, deseja-se ajusar os parâmeros do modelo HMM λ=(a,b,π), de modo a maxmzar: V o = P(O/λ) (2.22) ão exse nenhuma manera conhecda de se resolver ese problema analcamene, ou seja, enconrar os parâmeros do HMM λ que maxmze V o [4]. o enano podemos enconrar parâmeros que maxmzem localmene V o, aravés do uso do Algormo de Baum-Welch, o qual esá descro a segur.

12 Algormo de Baum-Welch Prmeramene defnmos a função auxlar Q: Q( λ ', λ) = P( O, S λ')log P( O, S λ) (2.23) q a qual deverá ser maxmzada em λ a fm de aualzar λ ' no sendo de aumenar V(O λ), pos mosra-se em [4] que: Q( λ', λ) Q( λ', λ') P( O λ) P( O λ') (2.24) Uma caracerísca muo mporane dese algormo é a garana da convergênca para um pono de máxmo local [4]. Defnem-se anda, mas duas varáves auxlares em adção às varáves, progressva e regressva, defndas anerormene. A prmera delas é dada pela probabldade de se esar no esado em e no esado j em + dada a seqüênca de observações, ou seja: ξ (, j) = P( s =, s = j O, λ) (2.25) + ou anda: ξ (, j) Ps ( = s, = jo, λ) PO ( λ) + = (2.26) Em função das varáves progressva e regressva, emos: ξ α () p β ( j) b ( o ) j + j + (, j) = = j= α () p β ( j) b ( o ) j + j +. (2.27) A segunda varável auxlar é dada pela probabldade de se esar no esado em, dada a seqüênca de observações, ou seja:

13 33 γ () = P( s = O, λ) (2.28) Em função das varáves progressva e regressva, podemos ober: α() β() γ = α() β() =. (2.29) A relação enre γ() e ξ(,j) é dada por: γ = ξ(, j),, T (2.30) j= Os parâmeros de um HMM são aualzados a cada eração, no sendo de maxmzar a probabldade P(O λ), supondo um modelo ncal λ =(P,B,π ). Incalmene calculamos os α s ulzando as equações (2.4) e (2.5), e os β s ulzando as equações (2.9) e (2.0). Em seguda calculamos ξ e γ aravés das equações (2.27) e (2.29), respecvamene. Fnalmene aualzamos os parâmeros do HMM segundo as equações a segur, conhecdas como fórmulas de reesmação: π = γ ( ), (2.3) T ξ (, j) = pj = T,, j γ () = (2.32) T = O= vk j k T = γ ( j) b ( v ) =, j, k m γ ( j) onde: (2.33)

14 34 v k perence ao alfabeo de símbolos {v, v 2,..., v m } Em função das varáves progressva e regressva, emos: α() β() π = α ( j) j= T (2.34) p j = T = α () p b ( o ) β ( j) j j T = α () β () (2.35) T α () β () δ( o, v ) k = ( k) = T b v = α () β () (2.36) sendo: δ ( o, vk ) = 0 se se o o = v k v k Problemas relavos à mplemenação do algormo De posse das fórmulas de reesmação do algormo de Baum-Welch, verfca-se que anda exsem város dealhes em nível de mplemenação, para que ese possa ser execuado em compuador. Serão comenados em seguda os mas sgnfcavos para ese rabalho, acompanhado da solução adoada. Lme de ordem de grandeza nferor As operações recursvas realzadas durane a esmação dos parâmeros de um HMM fazem com que eses endam a zero com o número de erações. Iso aconece devdo ao fao de que as varáves α() e β() são produzdas por um cálculo recursvo e que cada eração envolve produos de probabldades, como observado nas equações (2.4) e (2.9).

15 35 Assm, mesmo que a seqüênca não seja muo grande, o lme de precsão de qualquer compuador é rapdamene angdo ao se execuar ese algormo. Para combaer ese problema ulzaremos uma écnca de ponderar esas varáves, ou seja, mulplcá-las por um faor de escala c dependene do empo, mas que não dependa de [4], de forma que os valores desas varáves sejam mandos denro dos lmes de precsão do compuador, quando o valor de vara de aé T. Os cálculos dese procedmeno esão descros a segur: - para =, calcula-se α () como na equação (2.4); - cálculo do faor c : c = = α ( ) ˆ e α ( ) = c α ( ) (2.37) onde, ˆ α ( ) represena o α ( ) ponderado pelo faor c ; - cálculo recursvo de ˆ α ( ) : ˆ α j pjb o j= ˆ α () = ( ) ( ); (2.38) - após calculado, ˆ α ( ) deve ser aplcado nas equações (2.39), para o cálculo dos novos valores de c e ˆ α ( ), que deverão ser novamene aplcados na equação (2.38), e assm sucessvamene, sendo: ˆ α ( ) = c ˆ α ( ) e c = = ˆ α ( ). (2.39) Como β () possu a mesma ordem de grandeza de α (), ulzaremos o mesmo faor de escala c para ponderar esas varáves, que ambém serão mandas em lmes razoáves para o cálculo compuaconal. Assm, emos:

16 36 ˆ β ( ) = c β ( ). (2.40) Sequênca de observações de amanho nsufcene Ouro problema relavo à mplemenação dese algormo é o efeo causado por uma pequena seqüênca de observação. o caso de b (v k ), que represena a probabldade de ocorrer a observação v k no esado, observa-se que o numerador da equação de reesmação (2.36) é uma soma cujos ermos em que a observação o é dferene do símbolo v k, são nulos. Se esa probabldade é pequena e a amosra da seqüênca ulzada na reesmação for ambém pequena, pode não ocorrer nenhuma vez o eveno o gual a v k no esado. Com sso, o valor de b (k) reesmado e os segunes serão nulos, levando os cálculos a valores rreas. Possíves soluções seram aumenar o amanho da seqüênca observada, dmnur o número de esados, ou dmnur o número de símbolos do modelo ulzado, o que geralmene não pode ser feo. Uma solução práca sera espular lmares mínmos para os parâmeros do modelo, como no exemplo a segur [4]: b( k), b( k) δb; b ( k) = δb, b( k) < δb; onde δ b é o valor mínmo fxado. (2.4) Esmação ncal dos parâmeros As equações de reesmação produzem valores dos parâmeros de um HMM, correspondenes à convergênca para o máxmo global ou para qualquer máxmo local da função verossmlhança, se houver. ão exse nenhuma manera smples e drea para resolver ese problema Ferramenas de Omzação ese rabalho foram ulzadas duas ferramenas de omzação para a esmação dos parâmeros, a omzação clássca e Parcle Swarm Opmzaon

17 37 (PSO). Ambas puderam ser empregadas, devdo ao modelo proposo er possblado a dedução de uma função de verossmlhança, maemacamene smples. A omzação clássca, fo ncalmene empregada para a esmação ML dos parâmeros do modelo proposo. Observou-se a exsênca de dversos máxmos locas na função de verossmlhança, levando à necessdade de uma aproprada ncalzação dos parâmeros que aumenasse as chances de convergênca para o máxmo global da função de verossmlhança. Para ano se adoou o PSO, que apesar de ser um méodo que consome um empo de processameno relavamene alo para ser empregado como méodo prncpal de omzação, se mosrou basane efcene na esmação de valores ncas para a esmação ML dos parâmeros do modelo proposo. Um resumo da eora de omzação clássca enconra-se no Apêndce B e os dealhes sobre o emprego dese méodo nese rabalho serão abordados no Capíulo Parcle Swarm Opmzaon (PSO) O PSO é um méodo de omzação global, que dfere de ouros méodos conhecdos como Algormos Evoluconáros (AE) [30]. Como nos AE, um conjuno de possíves soluções é ulzado para sondar o espaço de pesqusa adequado ao problema, porém nenhum po de operação baseada em ronas de evolução é aplcado ao conjuno de soluções, para aualzá-lo. o caso do PSO, fazendo-se uma analoga no espaço rdmensonal, é como se um enxame de parículas se locomovessem nese espaço, em busca de um posconameno adequado a cada uma, que gere a solução desejada. Cada elemeno, aqu chamado parícula, do conjuno de soluções chamado enxame, aualza sua rajeóra consderando a sua melhor posção aneror e a melhor posção aneror alcançada por qualquer membro de sua vznhança opológca [30]. Dese modo, sendo odo o enxame consderado como a vznhança, ocorre o comparlhameno global de nformações e as parículas se valem das descoberas e experênca de odas as ouras, durane a busca Muas varações da écnca de PSO em sdo proposas [30].

18 38 Para formalzação de um algormo PSO b consderando o espaço de pesqusa como D-dmensonal, a -ésma parícula do enxame é represenada pelo veor D-dmensonal X = ( x, x2,..., xd), e a parícula correspondene ao maor valor da função que se deseja maxmzar de odo o enxame ndcada pelo índce g. A melhor posção conseguda e velocdade, correspondenes a parícula X são, respecvamene represenadas e armazenadas pelos veores: P = ( p, p2,..., pd) e V = ( v, v2,..., vd) (2.42) As parículas se relaconam segundo as segunes equações: V + = wv + cr ( P X ) + c r ( P X ) (2.43) n n n n n n n n 2 2 g X n+ = X n + χv n+, =,2,..., (2.44) onde: - os super-escros ndcam a eração; - χ é um faor de consrção para conrolar a velocdade; - w é d peso nercal e sua fnaldade é descra a segur- c e c 2 são consanes posvas chamadas de parâmero cognvo e socal respecvamene, cujo emprego é descro abaxo n n - 2 r e r são dos números unformemene dsrbuídos no nervalo [0, ], cuja fnaldade é comenada abaxo. A equação (2.43) é usada para calcular a nova velocdade da -ésma parícula em cada eração, sendo o prmero ermo desa equação, n wv, represena a velocdade aneror da parícula mulplcadas pelo peso nercal w. O n n segundo ermo ( P X ) represena a dsânca enre a melhor posção aneror e n n aual de cada parícula. O ercero ermo ( P X ), é a dsânca enre a melhor posção enre odas as parículas do enxame e a posção aual da -ésma parícula. g

19 39 n n Os parâmeros cr ec 2 r 2 nroduzem aleaoredade, a qual dexa a écnca menos prevsível, porém mas flexível [30]. A equação (2.44) calcula a nova posção da -ésma parícula, adconando a sua nova velocdade com a posção aual. O desempenho de cada parícula é medda de acordo com a função objevo em quesão. O peso nercal w é consderado fundamenal para a convergênca do PSO, pos esse é empregado para conrolar o mpaco do hsórco das velocdades sobre a velocdade aual. Assm, o parâmero w regula a roca enre as habldades de exploração global e local do enxame, sendo que grandes valores do peso nercal faclam a exploração global, enquano pequenos valores faclam a exploração local, o que pode ser vso como um ajuse fno da pesqusa na regão aual. Assm sendo, a escolha dese parâmero resula dreamene na axa de convergênca para o pono de máxmo desejado. A população ncal de parículas e suas respecvas velocdades podem ser geradas randomcamene ou por um gerador de sequêncas de Sobol [30], que assegura que os veores D-dmensonas serão unformemene dsrbuídos no espaço de pesqusa. O conceo de recombnação esá relaconado ao movmeno esocásco de cada parícula em dreção à sua melhor posção aneror, assm como em dreção a melhor posção global de odo enxame ou à melhor posção de sua vznhança, dependendo de qual das varações de PSO é ulzada. Além de udo. A écnca de PSO em se mosrado efcaz para resolver problemas de omzação global, em ambenes connuamene varanes ou em renameno de redes neuras e anda em problemas de omzação mul-objevo [30] Técnca Branch and Bound (BB) A écnca Branch and Bound é amplamene ulzada para a resolução de problemas de PSO. esa écnca, a regão pernene ao problema é parconada em váras sub-regões, sso é chamado de branch. Ao longo desas sub-regões, lmes (bounds) nferores e superores para os valores da função podem ser

20 40 deermnados. A écnca BB pode ser esquemazada em forma de algormo, como se segue [30]:. Incalmene, defne-se uma regão M 0 S e seu parconameno em um número fno de subconjunos M, =, 2,..., m, onde S é a regão pernene ao problema. 2. Para cada subconjuno M, deermnam-se os lmes, nferor e superor da função, β(m ) e α(m ), respecvamene, sasfazendo a segunes nequações: ( ) β( M ) nf f( M S α( M ) (2.45) onde f é a função objevo em consderação Defne-se os lmes globas, nferor e superor, pelas equações (2.46) e (2.47), respecvamene. β = mn β ( M ) =,2, L, m (2.46) α = mn α( M ) =,2, L, m (2.47) sendo: β mn f( S) α (2.48) 3. Defne-se o créro de parada como: α = β ou α β ε, ε > 0 4. Caso conráro, escolhem-se alguns dos subconjunos M a fm de parconá-los e se ober um parconameno mas refnado de M 0. Deermnam-se lmes sobre os novos elemenos da nova parção, e repee-se o procedmeno.

21 4 Uma vanagem da écnca BB é que durane o processo de eração, podese normalmene exclur subconjunos de S, nos quas o mínmo de f não pode ser alcançado. Esa écnca em sdo aplcada com sucesso em problemas de programação nera [30].