Propagação de dano no modelo de Ising unidimensional

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1 Capíulo 4 Propagação de dano no modelo de Isng undmensonal 4. Propagação de dano O méodo da propagação de dano é uma écnca relavamene nova, nroduzda por Kauffman 68 no conexo dos auômaos celulares, que consse em monorar a evolução emporal de duas amosras que ncalmene dferencam-se enre s apenas em uma deermnada e conhecda porcenagem de síos. Em ouras palavras, duas confgurações guas são geradas e um dano ncal é provocado sobre uma delas, alerando o esado de síos aleaoramene escolhdos. Mas arde, essa écnca fo esendda para nvesgar ssemas de spns com dnâmca conínua 69,70,7 e ganhou anda mas mpaco com o rabalho de Conglo 72. Nos casos em que as duas confgurações evoluem no empo sobre rajeóras muo próxmas no espaço de fases, ou seja, quando ao fnal da smulação, os spns das duas redes apresenam pracamene as mesmas 53

2 dreções, pode-se dzer que o ssema apresena-se em uma fase ccarzada ou congelada. Por ouro lado, quando as duas redes de spns apresenam confgurações dsnas depos de um grande número de passos, dz-se que o ssema enconra-se em uma fase em que o dano se propaga, o que alguns auores 73 chamam de fase caóca. Para a evolução emporal das duas amosras elege-se a dnâmca a ser obedecda (Glauber, Meropóls ou banho érmco) e normalmene ulza-se a mesma seqüênca de números aleaóros 74. Como a energa no nsane é dada por: Η k B T = h, com h = Kσ σ, (4.) j j onde K = J k T, σ = ± e a soma esende-se sobre vznhos mas próxmos, B odas as dnâmcas podem ser mplemenadas a parr de uma probabldade de ransção p dada por: p h e = h h (4.2) e + e Como já vmos no capíulo 3, a dferença vrá da forma como usaremos essa probabldade. Por exemplo, na dnâmca de banho érmco o novo esado do spn σ é obdo comparando um número aleaóro r com a probabldade do spn ser + no próxmo passo (não depende do valor aneror do spn). Assm, eremos: ( + ) = snal [ p r] σ. (4. 3) Na dnâmca de Glauber a probabldade de nverer um dado spn depende explcamene do esado de do valor aneror do spn σ no nsane. Porano, dependendo σ, o número aleaóro será comparado a dferenes 54

3 pares do nervalo de probabldades. Logo eremos: [ p r] se σ [ p r] se σ + snal = + σ ( ) + =. (4.4) snal = Fnalmene, para a dnâmca de Merópols um novo esado para o spn é proposo, verfcando-se, a segur, se a energa da nova confguração é menor ou maor do que a da confguração aneror. Na prmera suação, a nova confguração é acea sem resrção; caso conráro a nova confguração anda pode ser acea, mas com uma probabldade gual a exp(-β E), sendo E o acréscmo de energa da velha para a nova confguração. Novamene, é possível exprmr o novo esudo usando a função snal: + [ p r] se σ p r se σ + snal = + σ ( + ) =. (4. 5) snal [ ] ( ) = só que dessa vez p () é dada por: p ± ( ) m2h = mn, e. (4. 6) Pelo fao da propagação de dano, para um mesmo ssema, apresenar dferenes resulados de acordo com o algormo empregado é do que a propagação não é uma propredade nrínseca 75 do ssema. Ela depende da dnâmca. Há város resulados conflanes o que levou Hnrchsen e Domany 76 a proporem uma classfcação que eles consderam objeva para a propagação. No enano, é consenso, qualquer que seja a dnâmca (convenconal) adoada a propagação de dano no modelo de Isng undmensonal não é observada. Fo enando superar essa barrera e provavelmene nsprados no auômao de Domany-Knzel que Hnrchsen e Domany (que nesse rabalho será chamado de HD) propuseram 43 modfcações na dnâmca que pudessem levar à propagação no modelo undmensonal de Isng. 55

4 4.2 Prmera dnâmca de Hnrchsen e Domany Na prmera dnâmca não convenconal nvesgada pelos auores ulzou-se uma dnâmca muo semelhane à de Glauber, mas levando em cona o snal relavo dos seus dos vznhos mas próxmos e não do própro spn que esá sendo aualzado, como é usual. Assm, o novo esado do sío obedece à ( p r) ( p r) + snal se σ = σ + σ ( + ) =, (4. 7) snal se σ σ + onde σ = ±, r é um número aleaóro gerado e p a mesma probabldade de ransção já menconada. Duas réplcas foram evoluídas a parr das mesmas condções ncas com um dano nserdo no cenro de uma delas, para város valores de K. O objevo era enconrar a emperaura em que a ransção ocorre (se ela exsr) e os expoenes crícos, se a ransção for conínua. Para sso ulzou-se a chamada smulação dependene do empo, nroduzda por Grassberger e de La Torre 77, que em sdo largamene ulzada na leraura. Como se pode observar na Fgura 4..a, fora da crcaldade, em um gráfco log Dano x log as lnhas apresenadas não são reas. Já na crcaldade (K = 0,23) emos uma rea, o que esá de acordo com uma dependênca polnomal do po Dano ~ η com η= 0,32 ± 0,04 (Fgura 4..b). 56

5 K = 0,2 K = 0,23 K = 0,24 K = 0,23 Regressão Lnear 0,0 Dano Dano η = 0,32 E E Fg. 4.: Evolução emporal do dano no modelo de -d Isng para város valores de K, usando a prmera dnâmca de Hnrchsen e Domany Gráfco log-log do dano versus empo. Valor de η = 0,32 ± 0,04. Na seqüênca passamos a analsar a evolução do amanho quadráco médo do dano que pode ser defndo como: R 2 α β 2 ( σ σ ). d =, (4. 8) onde d = é a dsânca enre o sío analsado e a posção orgnal do defeo. Espera-se para essa grandeza, na crcaldade, um comporameno do po 2 z R 2 ~, onde z é o expoene críco dnâmco 78. Foram feas váras curvas para város valores de K (Fgura 4.2.a). Sendo 2 z R 2 ~, calculamos o expoene críco z, fazendo um gráfco log-log de R 2 versus empo, e ajusando a melhor rea. O valor obdo fo de,3 ± 0,05. (Fgura 4.2.b). 57

6 000 K = 0,2 K = 0,23 K = 0,24 00 K = 0,23 Regressão Lnear 00 R 2 0 R 2 0 z =,3 0, 0, Fg. 4.2: Gráfco log-log da evolução do amanho médo quadráco do dano conra o empo para város valores de K. Gráfco log-log de R 2 conra empo, mosrando o expoene críco z =,3 ± 0,05. Também fo nvesgado por Hnrchsen e Domany o comporameno da probabldade de sobrevvênca P (), defnda como o número de amosras em que o dano não desapareceu aé o nsane dvddo pelo número oal de amosras. Novamene observamos que, quando K = 0,23, o comporameno é do po polnomal com δ P ~, onde o expoene críco δ nesse caso é gual a 0,7 ± 0,05 (Fgura 4.3.b). Como nos casos anerores noa-se, que fora da crcaldade, no gráfco log P() x log as lnhas apresenadas são curvas (fgura 4.3.a). 58

7 δ = 0,7 P() P() 0, K = 0,2 K = 0,23 K = 0, K = 0,2305 Regressão Lnear Fg. 4.3: Gráfco log-log da probabldade de sobrevvênca para város valores de K usando a prmera dnâmca de Hnrchsen e Domany. Gráfco log-log de P() conra empo, mosrando o expoene críco δ = 0,7 ± 0,05. Ao conráros dos casos anerores onde fo monorada a evolução emporal de duas confgurações de spns { σ α } e { β }, as quas ncalmene dferencam-se enre s apenas por uma deermnada e conhecda porcenagem de spns cenras com orenações dferenes, é possível analsar o caso da propagação de dano quando duas confgurações são geradas de forma ndependene e aleaóra 78. Dessa forma aproxmadamene meade dos síos esarão danfcados, lembrando que não exse um conrole sobre esse dano ncal. Para al regra espera-se que o dano decresça obedecendo a um comporameno do po: σ σ ~ α β θ σ (4.9) O expoene críco θ (que não deve ser confunddo com o expoene do crcal nal slp) obdo é gual a 0,5 ± 0,0 (Fgura 4.4.b ). Assm como nos casos anerores, noa-se que fora da crcaldade em um gráfco log - log de Dano versus empo, as lnhas apresenadas são curvas (Fgura 4.4.a). 59

8 K = C Regressão Lnear Dano Dano 0, K = 0,2 K = 0,23 K = 0,24 θ = 0, Fg. 4.4: Gráfco log-log do decameno do dano com o empo para confgurações ncas ndependenes para város valores de K usando a prmera dnâmca de Hnrchsen e Domany. Gráfco log-log de Dano() conra empo, mosrando o expoene críco θ = 0,5 ± 0,0. Um aspeco neressane é a semelhança enre os valores dos expoenes θ e δ no presene caso. Isso não ocorre, por exemplo, no modelo de Isng rdmensonal com dnâmca de banho érmco 78 mas ocorre no auômao de Domany-Knzel, conforme observado por Grassberger 75. Para reper o cálculo de odos os expoenes para a prmera dnâmca de HD, rabalhamos com ssemas de 5000 síos, com condções peródcas de conorno, com 500 undades de empo (MCS) e 5000 amosras. Esse conjuno de 5000 amosras fo dvddo em 5 conjunos (de 000 amosras) para que fosse possível calcular a méda e o desvo padrão. Como se pode perceber, os expoenes crícos obdos: η = 0,32 ± 0,04 z =,3 ± 0,05 δ = 0,7 ± 0,03 esão de acordo com a conjecura de Grassberger, segundo a qual a ransção para um esado absorvene smples (no caso, do ssema corrompdo para o ssema ccarzado ) deve esar na classe de unversaldade da percolação dreconada em D = d + (nesse caso, 2) dmensões. Na leraura enconramse para os expoenes da percolação dreconada os valores 79. η = 0,3368(4) z =,26523(4) δ = 0,5947(3). 60

9 4.3 Segunda dnâmca de Hnrchsen e Domany Anes de rabalhar com a segunda dnâmca de Hnrchsen e Domany, vale a pena nroduzr alguns conceos que anda não apareceram nessa dsseração. Isso se orna mporane vso que nessa dnâmca o dano (ou sua ausênca) jogam um papel smérco o que é acompanhado da exsênca de dos esados absorvenes relaconados por uma smera Z 2. Por sso mesmo, a dsânca de Hammng (a densdade dos síos danfcados) não pode ser usada como parâmero de ordem. É precso analsar, porano, um ouro parâmero que nesse caso deve ser a densdade de knks (paredes de domíno enre a regão danfcada e a não danfcada) knks knks Fg. 4.5: Os pares 0 e 0 são os knks Noe que a soma dos pares de vznhos dferenes (knks) e vznhos guas ( ou 00) é consane e gual ao número oal de pares. Por sso, freqüenemene se usa o número de pares de vznhos guas como o parâmero de ordem. Isso é parcularmene úl quando se em muas paredes de domíno no ssema, como ocorre nos casos que veremos a segur (Fgura ). Para ganhar nução com esse novo parâmero de ordem, decdmos esudar o auômao celular undmensonal de Grassberger e al. 45 que é uma generalzação probablísca da regra 94 (modelo A) ou da regra 50 (modelo B) (segundo a noação de Wolfram 80 ). Os esados possíves para cada sío são 0 e e suas regras de ransção dependem apenas dos seus vznhos mas próxmos. 6

10 4.3. Auômaos undmensonas de Grassberger regras 45 : Os modelos A e B de Grassberger são caracerzados pelas segunes Modelo A Regra 94 combnada com a Regra 22 (4.0) Modelo B Regra 50 combnada com a Regra 22 (4.) Em ambos os modelos, as parículas (knks) são conservadas módulo 2. X 3X 2X 0 reprodução anqulação Para p = 0 podemos observar (Fgura 4.6) que, ano para o modelo A quano para o modelo B, parndo de condções ncas aleaóras, o ssema evolu rapdamene para um esado esaconáro. Para um valor de p 0 muo pequeno, eremos uma pequena probabldade de 0 0 no modelo A e uma pequena probabldade de 0 para o modelo B. O surgmeno de novos knks é conrabalançado pela sua anqulação (Fgura 4.7). Noa-se que em ambos os modelos exsem dos esados smércos (smera Z 2 ) absorvenes (esado absorvene é aquele que pode ser angdo pelo ssema mas dele não se pode sar). Para o modelo A, ele consse das lnha vercas fxas (observe fguras 4.6.a e 4.7.a): 62

11 0 par σ = e ímpar σ = 0 par ímpar e para o modelo B corresponde ao padrão de um abulero de xadrez (observe fguras 4.6.b e 4.7.b) com a roca de branco por preo. Fg. 4.6: Padrão crado, com p = 0 e confguração ncal aleaóra para modelo A e modelo B Fg. 4.7: Padrão crado a parr de uma confguração ncal aleaóra para um valor de p pequeno. Corresponde ao modelo A com p = 0,05, e ao modelo B com p = 0,20. 63

12 No enano, acma do valor da probabldade críca, um únco knk (nesse caso um par ) é sufcene para crar uma complea desordem no ssema (Fgura 4.8). Fg. 4.8: Padrão crado a parr de uma confguração ncal que alerna spns com exceção de um knk cenral, sendo p > p cr. Mosra a evolução ulzando o modelo A com p = 0,27 e mosra o modelo B com p = 0,65 Já para p =, o padrão crado para o modelo A é o mesmo da regra 22, e para o modelo B o da 22 (de acordo com a noação de Wolfram) (Fguras 4.9 e 4.0), ambos com regras deermníscas e reconhecdamene caócos 8. 64

13 Fg. 4.9: Padrão crado a parr de uma confguração ncal que alerna spns com exceção de um knk cenral, sendo p = Mosra a evolução ulzando o modelo A, mosra o modelo B. 65

14 Fg. 4.0: Padrão crado, com p = e confguração ncal aleaóra para modelo A e modelo B. Como se pode observar (Fgura 4..a e 4.2.a) fora da probabldade críca, em um gráfco log-log de densdade de knks por empo as lnhas apresenadas são curvas e na probabldade críca, p cr 0, 3 = 0,54 modelo A (Fgura modelo B(Fgura 4.) 4.2) emos uma rea que confrma a dependênca α n knk ~ com, 0,30± 0,03 α = 0,27 ± 0,02 modelo modelo A (fgura B(fgura 4..b) 4.2.b) Smulamos ano o modelo A como o modelo B com um ssema de 5000 síos, condções peródcas de conorno, 500 passos e 000 amosras. O mesmo ssema fo evoluído mas quaro vezes para ober o valor de α e o erro correspondene. 66

15 00 p = 0,06 p = 0,3 p = 0,20 0 n knk 0 n knk Regressão lnear para p = 0,3 α = 0, Fg. 4.: Gráfco log-log da evolução emporal da densdade de síos ocupados no modelo A para város valores de p. Gráfco log-log de n knk conra, mosrando o expoene críco α = 0,30 ± p = 0,50 p = 0,54 p = 0,60 0 n knk n knk Regressão lnear para p = 0,54 α = 0, Fg. 4.2: Gráfco log-log da evolução emporal da densdade de síos ocupados no modelo B para város valores de p. Gráfco log-log de n knk conra, mosrando o expoene críco α = 0,27 ±

16 4.3.2 Implemenação da segunda dnâmca de Hnrchsen e Domany Uma vez compreendda a ação dos knks para a evolução do ssema e percebda a necessdade de ulzar um processo de aualzação (updae) síncrono, como explcaremos em maores dealhes no fnal desse capíulo, passamos a rabalhar novamene com o modelo de Isng -D, usando a segunda dnâmca sugerda por Hnrchsen e Domany, onde são ulzadas alernavamene duas regras para a aualzação dos spns: ( p r) ( p r) + snal se σ σ σ+ = σ ( + ) = (4.2) snal se σ σ σ + = e a de Glauber: [ p r] se σ [ p r] se σ + snal = + σ ( ) + = (4.3) snal = Para que sso venha a ocorrer é nroduzdo um segundo parâmero 0 λ que ndcará qual dessas dnâmcas será seguda. A cada aualzação é gerado um número aleaóro adconal (r ~ ). Se r~ λ a regra (4.2) será aplcada; em caso conráro, a dnâmca de Glauber será a obedecda. A unão dessas duas dnâmcas pode ser expressa da segune forma: onde σ = ±, ( p r) ( p r) + snal se y = σ ( + ) = (4.4) snal se y = p probabldade de ransção que é dada por: p = e h h e + e h e y [( + σ σ ) + ( σ σ ) snal ( λ r~ )] = σ. 68

17 Duas réplcas foram evoluídas nas mesmas condções ncas com 2 knks nserdos em seu cenro. Fxando a emperaura ( J / k T ) em 0,25 e varando o λ, fo possível deermnar o seu valor críco λ * onde ocorre a propagação do dano, que pode ser defndo como, β N η σ σ ( ) = + ~ (4.5) assm como deermnar o expoene críco η. Como se pode observar (Fgura 4.3.a), fora do λ *, em um gráfco log N() x log as lnhas são curvas e na crcaldade (para λ * = 0,82) emos uma rea que conduz à dependênca η (Fgura 4.3.b). N ~ com η = 0,0 ± 0,02 0 λ = 0,77 λ = 0,82 λ = 0,88 0 Regressão lnear para λ = 0,82 η = 0,0 + 0,02 N() N() Fg. 4.3: Evolução emporal do dano no modelo de -D Isng para város valores de λ, usando a segunda dnâmca de Hnrchsen e Domany Gráfco log-log de densdade de knks versus empo. Valor de η = 0,0 ± 0,02. 69

18 Na seqüênca passamos a analsar a evolução da probabldade de sobrevvênca P(), que pode ser defnda como o número de amosras em que os knks não desapareceram aé o nsane dvddo pelo número oal de amosras. Novamene, observamos que, quando λ = 0,82, o comporameno é δ do po polnomal, com P ~, onde δ é o expoene críco, nesse caso gual a 0,27 ± 0,02 (Fgura 4.4.b). Como nos casos anerores noa-se que fora da crcaldade num gráfco log P() x log as lnhas apresenadas são curvas (Fgura 4.4.a). P() P() 0, λ = 0,77 λ = 0,82 λ = 0, Regressão lnear para λ = 0,82 δ = 0,27 + 0,02 0, Fg. 4.4: Gráfco log-log da probabldade de sobrevvênca para rês valores de λ usando a segunda dnâmca de Hnrchsen e Domany. Gráfco log-log de P() conra empo, mosrando o expoene críco δ = 0,27 ± 0,02. Também analsamos a evolução do amanho quadráco médo do dano, defndo como: R 2 ( ( ) ( ) d 2 = σ + σ, (4.6) onde d = é a dsânca enre o sío analsado e a posção orgnal do defeo. Espera-se para essa grandeza, na crcaldade, um comporameno do po R 2 2/ z ~, onde z é o expoene críco dnâmco

19 Foram feas váras curvas para város valores de λ (Fgura 4.5.a). Como sabemos que R 2 2/ z ~, na crcaldade, podemos calcular o expoene críco z, fazendo um gráfco log-log de R 2 versus empo, e ajusando a melhor rea. O valor obdo fo de,7 ± 0,05 (Fgura 4.5.b) λ = 0,77 λ = 0,82 λ = 0,88 00 R 2 () 00 R Regressão Lnear para λ = 0,82 z =,7 + 0, Fg. 4.5: Gráfco log-log da evolução do amanho médo quadráco do dano conra o empo para város valores de λ. Gráfco log-log de R 2 conra empo, mosrando o expoene críco z =,7 ± 0,05. Também analsamos, para essa dnâmca, o caso em que as duas réplcas são geradas de forma ndependene e aleaóra 78. Para al regra espera-se que o dano decresça obedecendo o segune comporameno: σ + θ σ( ) ~ (4.7) O expoene críco θ com λ = 0,82 fo gual a 0,290 ± 0,00 (Fgura 4.6). De manera análoga à prmera dnâmca, a propagação de dano a parr de duas confgurações ncas geradas ndependenemene se dá com o expoene θ aproxmadamene gual ao expoene δ da sobrevvênca. 7

20 N() N() λ = 0,77 λ = 0,82 λ = 0,88 Regressão lnear para λ = 0,82 θ = 0, , Fg. 4.6: Gráfco log-log do decameno do dano com o empo para confgurações ncas ndependenes para város valores de λ usando a segunda dnâmca de Hnrchsen e Domany. Gráfco log-log de N() conra empo, mosrando o expoene críco θ = 0,290 ± 0,00. Para reper o cálculo de odos os expoenes da segunda dnâmca de HD, rabalhamos com ssemas de 5000 síos, com condções peródcas de conorno, com 500 undades de empo (MCS) e 5000 amosras. Esse conjuno de 5000 amosras fo dvddo em 5 conjunos (de 000 amosras) para que fosse possível calcular a méda e o desvo padrão. Os expoenes crícos obdos para essa segunda dnâmca, η = 0,0 ± 0,02 δ = 0,27 ± 0,02 z =,7 ± 0,05 esão de acordo com os expoenes para modelos com conservação de pardade (pary conservng PC) como é o caso dos auômaos de Grassberger. Na leraura enconramos para esses expoenes os valores 8. η = 0,0000() δ = 0,285(2) z =,4(2) que esão de acordo com os resulados obdos por Hnrchsen e Domany. 72

21 4.4 Relação enre a prmera dnâmca de Hnrchsen e Domany e o auômao de Domany-Knzel Como sabemos, ano com a dnâmca de Glauber, [ p r] se σ [ p r] se σ + snal = + σ ( ) + = (4.8) snal = quano com a do banho érmco ( + ) = snal [ p r] σ (4.9) ou a de Merópols, não há propagação de dano no modelo de Isng em uma dmensão. No enano, a propagação ocorre quando se usa a prmera dnâmca sugerda por Hnrchsen e Domany ( p r) ( p r) + snal se σ = σ + σ ( + ) = (4.20) snal se σ σ + Isso pode ser vso, por exemplo, analsando a dnâmca para alas emperauras (T, K 0). Nesse caso, a probabldade de ransção p p h e = h h (4.2) e + e Η com = h, e h = Kσ k B T σ, (4.22) j j 73