tmax tmin tmax A seguir, com base nas equações apresentadas, uma nova abordagem para o cálculo do ponto de pedido será formulada.

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1 A pesqusa Operaconal e os Recursos Renováves 4 a 7 de novembro de 003, Naal-RN PONTO DE PEDIDO BASEADO EM PREVISÕES Eduardo Saggoro Garca Unversdade Federal do Ro de Janero UFRJ edsg@ufr.br Vrgílo José Marns Ferrera Flho Unversdade Federal do Ro de Janero UFRJ vrglo@ufr.br Resumo A proposa dese argo é apresenar uma nova abordagem para o cálculo do pono de peddo em uma políca <Q, r> de gesão de esoques. Esa abordagem consdera o pono de peddo como uma função das prevsões de demanda para o horzone de planeameno, podendo esas prevsões apresenar parâmeros varáves no empo. Tempos de ressuprmeno e erros de prevsão são as ncerezas consderadas no modelo. Palavras-Chave: Esoque, Pono de Peddo, Prevsão. Absrac The purpose of hs paper s o presen a new approach for evaluang he reorder pon n a <Q, r> nvenory sysem. Ths new approach consders he reorder pon as a funcon of he forecased demands n he plannng horzon, whch can vary hrough me. Lead mes and forecas errors are he unceranes presen n he model. Key-Words: Invenory, Reorder Pon, Forecas.. Inrodução Um das polícas de gesão de esoques mas conhecdas e ulzadas é o ssema <Q, r>. Nese modelo, uma quandade Q é ordenada assm que o esoque dsponível ange o paamar de r undades, chamado de pono de peddo ou nível de reposção. A quandade Q é usualmene deermnada pela expressão do Loe Econômco de Ressuprmeno ou por algum ouro modelo de omzação, como pode ser vso em lvros clásscos de gesão de esoques como Hadley e Whn (963) e Slver e Peerson (97). Já o pono de peddo r se basea em angr algum padrão de nível de servço, endo em consderação a varabldade esocásca da demanda oal durane o empo de ressuprmeno, ambém conhecda como demanda no lead me. Embora exsam muas maneras de se defnr nível de servço, como dsponbldade de produo (fll rae), uma abordagem comum é consderá-lo como a probabldade de não ocorrênca de uma rupura de esoques (sockou) durane o empo de ressuprmeno. Com base no nível de servço deseado, r é em geral calculado como a demanda méda no lead me

2 Uma smplfcação comum para o problema é consderar que a demanda no lead me segue uma dsrbução normal (Eppen e Marn, 988). Dese modo, basa esmar a méda e o desvo padrão da demanda no lead me para deermnar r. Porém, segundo Tyworh (99), mesmo que o empo de ressuprmeno e as demandas em cada período seam normalmene dsrbuídos, a dsrbução composa não segue uma normal. Apesar dsso, o pressuposo de normaldade é vasamene usado como smplfcação do problema, como vso em város lvros de logísca e gesão de maeras como Bowersox e Closs (996) e Ballou (99). Além desse pressuposo exsem ouras smplfcações na formulação clássca do pono de peddo r. Uma delas é consderar que, durane o empo de ressuprmeno, as demandas em cada período seguem dsrbuções de probabldade dêncas, so é, são varáves aleaóras com a mesma méda e o mesmo desvo padrão. Dessa forma, se uma pare da varabldade da demanda pode ser prevsa, a expressão clássca do esoque de segurança ende a dar valores superesmados, resulando em maores cusos de carregar esoques. Krupp (997) ena resolver pare dese problema formulando um modelo para o cálculo do esoque de segurança baseado nos erros percenuas de prevsão. Dessa manera, se é possível prever varabldades na demanda ao longo do empo, como padrões cíclcos, endêncas e sazonaldades, os esoques de segurança são deermnados de forma mas efcene. Ese modelo enreano não conempla aleaoredade nos empos de ressuprmeno, sendo porano pouco aplcável a muas suações reas. A proposa dese argo é assm apresenar uma nova abordagem para o cálculo do pono de peddo, baseada na prevsão da demanda para cada período durane o empo de ressuprmeno. Erros de prevsão e empos de ressuprmeno são as varáves aleaóras consderadas, e o pono de peddo é calculado com base na dsrbução composa desses parâmeros. Smulações são realzadas para avalar a adequação do modelo proposo, mosrando possíves desvos das premssas consderadas.. Análse do Modelo Clássco de Pono de Peddo Na formulação clássca da políca <Q, r>, sendo d a demanda no período e o empo de ressuprmeno, a demanda no lead me DL, como apresenada em Lau (989), é dada por: DL d () Consderando que cada d é uma varável aleaóra com a mesma méda µd e o mesmo desvo padrão σd, que o empo de ressuprmeno é ambém uma varável aleaóra com méda µ e desvo padrão σ, e que DL segue uma dsrbução normal, as expressões necessáras para o cálculo do pono de peddo r são: r µd µ + SS SS k µ σd + µd σ () (3) (4) sendo SS o esoque de segurança, o desvo padrão da demanda no lead me e k o faor de segurança para se angr o nível de servço deseado, com base na dsrbução normal unára. 0

3 Além dos pressuposos de demanda no lead me normalmene dsrbuída e de cada demanda d apresenar a mesma méda e o mesmo desvo padrão, é admdo que não exse auocorrelação seral enre os d. Znn, Marmorsen e Charnes (99) analsam o efeo de demandas auocorrelaconadas no modelo, mosrando como ese fao pode afear os níves de servço proeados. Esando defndo o modelo clássco, deve-se analsar mas profundamene o sgnfcado de seus ermos. Tomando em consderação, a varânca da demanda no lead me, pode-se ver que esa é composa da soma de dos ermos: o prmero se dá em razão da aleaoredade nas demandas d e o segundo em razão da aleaoredade no empo de ressuprmeno. Se é admdo que é um parâmero deermnísco, a expressão 4 se orna: ou, de oura forma: σd (5) σd (6) Nesa úlma fórmula é expresso como a soma das varâncas de cada d durane o empo de ressuprmeno. Podera-se assm consderar que os d apresenam dferenes varâncas. De forma análoga, se as demandas d são deermníscas de valor d: ou, expressando-a de oura manera: d σ (7) max ( µdl d) mn p ( ) (8) sendo mn e max respecvamene os valores mínmo e máxmo que o empo de ressuprmeno pode assumr, µdl a méda da demanda no lead me (dado no caso por µ vezes d), e p ( ) a probabldade que assuma um valor gual a períodos. A expressão 8 pode ser esendda para o caso em que os valores de d varam no empo: max µdl mn d p ( ) (9) A segur, com base nas equações apresenadas, uma nova abordagem para o cálculo do pono de peddo será formulada. 3. Desenvolvmeno de um Pono de Peddo baseado em Prevsões Prmeramene deve-se esabelecer uma forma de mensurar as dferenças enre as demandas e suas respecvas prevsões. A varável e é enão defnda como a razão enre a demanda para o período e sua prevsão f :

4 d f e (0) e d f () Tendo em vsa que as prevsões f são parâmeros deermníscos e as demandas d varáves aleaóras, cada e é ambém uma varável aleaóra. A demanda no lead me pode ser agora escra como: () DL f e Como apresenado na equação, para deermnar o pono de peddo r é necessáro calcular a méda e o desvo padrão de DL. Se o empo de ressuprmeno é deermnísco, a méda da demanda no lead me µdl é: µdl f µe sendo µe a méda de cada varável aleaóra e. É neressane noar que caso não haa vés nas prevsões, µe será gual a. Se as prevsões esverem ssemacamene acma das demandas µe assumrá valores menores que, e se as prevsões esverem ssemacamene abaxo das demandas µe assumrá valores maores que. Agora, consderando que o empo de ressuprmeno ambém é uma varável aleaóra: (3) µdl max mn f µe p ( ) (4) Como anerormene, mn e max são respecvamene os valores mínmo e máxmo que pode assumr e p ( ) é a probabldade que assuma um valor gual a períodos. Esando defndo µdl, deve-se deduzr uma expressão para. Se é deermnísco, analogamene à equação 6, em-se: f σe (5) sendo σe o desvo padrão de cada varável aleaóra e. Consderando agora que ambém é uma varável aleaóra e fazendo analoga com a equação 9, a varânca da demanda no lead me pode ser escra como: max mn f σe p ( ) + O pono de peddo baseado em prevsões, chamado aqu de r f, é dado porano por: max µdl mn f µe p ( ) (6) r f µdl + k σl (7) r f max max f + ( ) + µe p ( ) k p ( ) f σe µdl f µe mn mn (8)

5 Mas uma vez, a consane k, baseada na dsrbução normal unára, é o faor de segurança para se angr um cero nível de servço. Embora o pressuposo de normaldade da demanda no lead me enha sdo mando, o modelo baseado em prevsões apresena uma sére de vanagens quando comparado ao modelo clássco. Como exemplos de vanagens esão: consderação de varações não aleaóras da demanda, possbldade da magnude dos erros de prevsão varar no empo e consderação do efeo de vés nas prevsões. Znn e Marmorsen (990) mosram que se erros de prevsão são consderados ao nvés da varabldade oal da demanda no modelo clássco, os esoques de segurança podem ser reduzdos sem a redução dos níves de servço. Eses auores enfazam que no modelo clássco de pono de peddo esá mplíco que as prevsões para cada período são guas à demanda méda, o que não é uma smplfcação válda em muas suações. 4. Smulação do Modelo Garca, Slva e Salby (00) mosram que modelos de smulação esocásca são muo úes para valdar e esar a adequação de expressões analícas para o cálculo de esoques de segurança. No presene argo, smulações são feas para esar as equações proposas para µdl e e para avalar a aderênca da premssa de DL normalmene dsrbuído. Dessa forma, rês expermenos foram realzados. Em odos eles foram feas 5 rodadas de smulação, cada qual com 5000 erações, ulzando amosragem por Hpercubo Lano (Banks, 999). Valores smulados da demanda no lead me DL foram coleadas para o cálculo de suas esaíscas. Em odos os expermenos não fo consderado vés na prevsão, ou sea, µe é gual a para odos os períodos. Além dsso, fo consderado um valor percenual consane de 0,3 para os σe (valores absoluos dos erros enreano varam no empo, de acordo com a varabldade das prevsões). Em algumas suações é neressane consderar que os erros percenuas de prevsão crescem a medda que o horzone emporal se dsanca. Enreano, é assumdo nos expermenos que o horzone de planeameno não é amplo o sufcene para gerar dferenças consderáves na prevsbldade das demandas. Ouro pressuposo consderado é que os e são normalmene dsrbuídos. Quano ao empo de ressuprmeno, sendo os possíves valores de, em odos os expermenos fo usada a segune dsrbução de probabldades para : p( ) 3 4% 4 % 5 % 6 6% 7 % 8 % 9 4% Tabela Dsrbução de probabldades do empo de ressuprmeno Pode ser vso na abela que o mínmo possível mn é de 3 períodos, enquano o máxmo possível max é de 9 períodos. O valor médo de é de 6 períodos e seu desvo padrão é de,48 períodos. 3

6 A segur serão apresenados os resulados de cada expermeno. Prmero Expermeno No prmero expermeno consderou-se odas as prevsões f com o mesmo valor (00 undades de produo), como mosrado na abela. Período Prevsão Tabela Prevsões de demanda para o horzone de planeameno ( expermeno) Como as prevsões não varam no empo, os pressuposos consderados nese prmero expermeno são exaamene os mesmos pressuposos da formulação do modelo clássco de pono de peddo. Dessa manera, a méda da demanda no lead me µdl apresenada na equação (4) e a varânca da demanda no lead me apresenada na equação (6) devem dar resulados guas aos seus equvalenes no modelo clássco. Usando a equação (4), µl é gual a 600 undades de produo, exaamene o mesmo que a demanda méda (00 undade) vezes o empo de ressuprmeno médo (6 períodos). A raz quadrada da equação (6) gera um de 60,6 undades de produo, o mesmo valor gerado pela raz quadrada da equação (4) com µd gual a 00, σd gual a 30, µ gual a 6 e σ gual a,48. Para valdar as equações proposas, a méda e o desvo padrão de DL foram calculados para cada rodada de smulação. Alguns percenís de DL ambém foram obdos, mas especfcamene os percenís 50%, 84,3%, 97,7% e 99,87%. Eses percenís são relevanes para que sea fea a comparação enre os resulados obdos por smulação e os valores eórcos baseados na dsrbução normal. Se DL é normalmene dsrbuído, seu percenl 50% equvale a k gual a zero, seu percenl 84,3% equvale a k gual a, seu percenl 97,7% equvale a k gual a e seu percenl 99,87% equvale a k gual a 3, sendo os percenís eórcos calculados como µdl mas k vezes. Os resulados da smulação são mosrados na abela 3. Corrda de Méda de Desvo de Percenl Percenl Percenl Percenl Smulação DL DL 50% 84.3% 97.7% 99.87% Méda das Corrdas Desvo das Corrdas Tabela 3 Resulados da smulação ( expermeno) 4

7 Os resulados da smulação devem ser comparados aos valores eórcos (consderando as equações 4 e 6 e DL normalmene dsrbuído). A abela 4 apresena esas comparações. Méda de Desvo de Percenl Percenl Percenl Percenl DL DL 50% 84.3% 97.7% 99.87% Valor Teórco Méda das Corrdas Dferença Percenual -0.0% 0.5% 0.56% -0.44% -0.6%.5% Tabela 4 Comparação enre resulados da smulação e valores eórcos ( expermeno) Pode-se ver pela abela 4 que os valores eórcos são bem aderenes aos resulados da smulação. Além de valdar as equações (4) e (6), as comparações mosram que a consderação de DL normalmene dsrbuído é um pressuposo váldo para o caso analsado. De forma equvalene à comparação dos percenís, uma oura manera de vsualzar a aderênca do pressuposo de normaldade é analsar o percenual de vezes em que não ocorre um sockou, so é, o número de vezes em que o valor smulado de DL fo menor que o pono de peddo baseado em prevsões. Calculando r f pela equação (8), os percenuas de não sockous obdos por smulação e a comparação deses com os valores eórcos esperados para dferenes valores de k são apresenados na abela 5. Corrda de Smulação k 0 k k k 3 5.% 83.70% 97.4% 99.88% 50.6% 84.6% 97.34% 99.9% 3 5.6% 83.% 97.7% 99.88% % 83.60% 97.44% 99.96% % 83.40% 97.76% 99.94% Méda das Corrdas 50.8% 83.6% 97.50% 99.9% Desvo das Corrdas 0.3% 0.4% 0.3% 0.04% Valor Teórco 50.00% 84.3% 97.7% 99.87% Dferença Absolua -0.8% 0.5% 0.% -0.05% Tabela 5 Comparação enre percenuas de não sockous smulados e eórcos( expermeno) A abela 5 corrobora a conclusão baseada na abela 4 para o caso do prmero expermeno, ou sea, o modelo analíco proposo é aderene aos pressuposos consderados em sua formulação, á que não há dferenças sgnfcavas enre valores eórcos e obdos por smulação. Segundo Expermeno No segundo expermeno as prevsões varam no empo, fcando enre 70 e 30 undades de produo, como pode ser vso na abela 6. 5

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9 Assm como no prmero expermeno, os valores eórcos se mosram aderenes aos resulados da smulação. As dferenças enre valores eórcos e expermenas para a méda e o desvo padrão de DL são pracamene nexsenes, corroborando a valdade das equações (4) e (6). A comparação de percenís eórcos e expermenas e a análse do percenual de não sockous mosram ambém que o pressuposo de DL normalmene dsrbuído é uma smplfcação razoável para o caso em quesão. Tercero Expermeno Nese expermeno as prevsões de demanda por período ambém varam ao longo do horzone de planeameno, com uma amplude maor que a do segundo expermeno. A nenção aqu é esar se maores varações nas prevsões afeam sgnfcavamene os níves de servço proeados. A abela 0 mosra os valores consderados: Período Prevsão Tabela 0 Prevsões de demanda para o horzone de planeameno (3 expermeno) Os resulados para ese expermeno são apresenados nas abelas, e 3. Corrda de Méda de Desvo de Percenl Percenl Percenl Percenl Smulação DL DL 50% 84.3% 97.7% 99.87% Méda das Corrdas Desvo das Corrdas Tabela Resulados da smulação (3 expermeno) Méda de Desvo de Percenl Percenl Percenl Percenl DL DL 50% 84.3% 97.7% 99.87% Valor Teórco Méda das Corrdas Dferença Percenual % -0.09%.7% -.68%.4% 4.84% Tabela Comparação enre resulados da smulação e valores eórcos (3 expermeno) 7

10 Corrda de Smulação k 0 k k k % 8.48% 98.06% 99.98% 5.48% 8.78% 97.98% 99.94% 3 5.0% 8.66% 98.4% 99.96% % 8.96% 98.% 00.00% % 8.6% 98.8% 00.00% Méda das Corrdas 5.50% 8.03% 98.9% 99.98% Desvo das Corrdas 0.7% 0.60% 0.8% 0.03% Valor Teórco 50.00% 84.3% 97.7% 99.87% Dferença Absolua -.50%.% -0.47% -0.% Tabela 3 Comparação enre percenuas de não sockous smulados e eórcos(3 expermeno) Mas uma vez os valores eórcos fcaram muo próxmos dos resulados da smulação. Enreano, pode ser vso que as dferenças enre valores eórcos e percenís e percenuas de não sockous expermenas são maores que nos dos casos anerores. Ese fao ndca que a aderênca de DL a uma dsrbução normal depende dos parâmeros consderados. No presene argo, o pressuposo de normaldade mosrou-se uma smplfcação aceável para os rês expermenos. Porém não se pode afrmar que esa smplfcação funconará bem em qualquer oura suação. 5. Conclusão O pono de peddo baseado em prevsões desenvolvdo é uma nova manera de se gerencar esoques em ambenes nos quas prevsões agregam nformações valosas ao processo de planeameno. Como mosrado ao longo do argo, o modelo proposo em muas vanagens quando comparado a seu análogo clássco. Pode nclusve ser concluído que o novo modelo ampla o escopo e a aplcabldade do modelo clássco. Se as prevsões f e os parâmeros das varáves aleaóras e são guas em odos os períodos no horzone de planeameno, r f and r geram os mesmos resulados, ou sea, r pode ser consderado como um caso parcular de r f, como mosrado no prmero expermeno da smulação. Oura mporane caracerísca de r f é que seu valor pode varar ao longo do empo, se ausando a padrões prevsíves da demanda. Tal arbuo agrega flexbldade ao ambene operaconal de uma empresa e pode reduzr cusos de carregar esoques e de demandas não aenddas. A fgura lusra a flexbldade adconada pelo modelo. Quandade de Produo Pono de peddo fxo superesmado para angr um cero nível de servço Pono de Ped do Fxo - r Pono de Ped do Varável no Te mpo - r f Pono de peddo fxo subesmado para angr um cero nível de servço Tempo 8

11 Fgura Flexbldade razda pelo novo modelo Como no modelo clássco, uma possível lmação do uso de r f é a premssa de que a demanda no lead me é normalmene dsrbuída. Nas smulações realzadas esa premssa não resulou em desvos sgnfcavos. Enreano pode ser neressane ulzar ouras dsrbuções para DL, como feo por Nam e Chen (999) e Keaon (995) para o modelo clássco. 6. Referêncas Ballou, R.H. (99). Busness Logscs Managemen. Prence-Hall Inc., Englewood Clffs, NJ. pp 44-43; Banks, J. (999). Dscree-Even Sysem Smulaon. Prence-Hall, Inc. Upper Saddle Rver, New Jersey, Bowersox, D.J., D. Closs, (996). Logscal Managemen. McGraw-Hll, New York. pp 66-80; Brown, R.G. (967). Decson Rules for Sock Managemen. Hol, Rnehar and Wnson, New York. Eppen, G.D., R.K. Marn, (988). Deermnng Safey Sock n he Presence of Sochasc Lead Tme and Demand, Managemen Scence 34, n.º, ; Garca, E.S., C.F. Slva, E. Salby, (00). A Smulaon Model o Valdae and Evaluae he Adequacy of an Analycal Expresson for proper Safey Sock Szng, Proceedngs of he 00 Wner Smulaon Conference. Hardley, G., T.M. Whn, (963). Analyss of Sock Sysems. Prence-Hall Inc., Englewood Clffs, NJ. Keaon, M. (995). Usng he Gamma Dsrbuon o Model Demand When Lead Tme s Random, Journal of Busness Logscs 6, n.º, Krupp, J.A.G. (997). Safey Sock Managemen, Producon and Sock Managemen Journal, Thrd Quaer, -80. Lau, H-S. (989). Toward a Sock Conrol Sysem Under Non-Normal Demand and Lead Tme Uncerany, Journal of Busness Logscs 0, n.º, Nam, K., J. Chen, (999). Soluons o he <Q, r> Invenory Model for Gamma Lead-Tme Demand, Inernaonal Journal of Physcal Dsrbuon and Logscs 9, n.º, Slver, E.A., R. Peerson, (979). Decson Sysems for Sock Managemen and Producon Plannng. John Wley & Sons,. New York. Tyworh, J.E. (99). Modelng Transporaon-Sock Trade-offs n a Sochasc Seng, Journal of Busness Logscs 3, n.º, Znn, W., H. Marmorsen, J. Charnes, (99). The Effec of Auocorrelaed Demand on Cusomer Servce, Journal of Busness Logscs 3, n.º, Znn, W., H. Marmorsen, (990). Comparng Two Alernave Mehods of Deermnng Safey Sock Levels: The Demand and he Forecas Sysems, Journal of Busness Logscs, n.º,