DANIELE DA ROCHA FONSECA

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1 DANIELE DA ROCHA FONSECA UM NOVO MECANISMO PARA A TRANSFORMAÇÃO DE RESULTADOS PROVENIENTES DE TESTES DE VIDA ACELERADO PARA RESULTADOS ESTIMADOS EM UMA CONDIÇÃO NORMAL DE USO ATRAVÉS DA UTILIZAÇÃO DA LEI DE DISTRIBUIÇÃO DE MAXWELL Tese apresenada ao Programa de Pósgraduação em Engenhara Cvl, da Unversdade Federal Flumnense, como pare dos requsos necessáros à obenção do íulo de Douor em Engenhara Cvl, área de concenração: Tecnologa da Consrução Orenador: Prof. Danel Ignáco de Souza Junor, Ph. D. Neró, RJ 22

2 Fcha Caalográfca elaborada pela Bbloeca da Escola de Engenhara e Insuo de Compuação da UFF F676 Fonseca, Danele da Rocha. Um novo mecansmo para a ransformação de resulados provenenes de eses de vda acelerado para resulados esmados em uma condção normal de uso aravés da ulzação de le de dsrbução de Maxwell / Danele da Rocha Fonseca Neró, RJ : [s.n.], f. Tese (Douorado em Engenhara Cvl) Unversdade Federal Flumnense, 22. Orenador: Danel Ignáco de Souza Junor.. Engenhara cvl. 2. Dsrbução de Maxwell. 3. Vga meálca. 4. Fadga (engenhara). I. Tíulo. CDD 624

3 DANIELE DA ROCHA FONSECA UM NOVO MECANISMO PARA A TRANSFORMAÇÃO DE RESULTADOS PROVENIENTES DE TESTES DE VIDA ACELERADO PARA RESULTADOS ESTIMADOS EM UMA CONDIÇÃO NORMAL DE USO ATRAVÉS DA UTILIZAÇÃO DA LEI DE DISTRIBUIÇÃO DE MAXWELL Tese apresenada ao Programa de Pósgraduação em Engenhara Cvl, da Unversdade Federal Flumnense, como pare dos requsos necessáros à obenção do íulo de Douor em Engenhara Cvl, área de concenração: Tecnologa da Consrução Aprovada em 4 de abrl de 22 Prof. Danel Ignáco de Souza, Ph. D. (orenador) Unversdade Federal Flumnense Prof. Assed Naked Haddad, D.Sc. Unversdade Federal Ro de Janero Prof. Carlos Leornado Ramos Póvoa D. Sc. Unversdade Esadual Nore Flumnense Prof. Rodrgo Tavares Noguera D. Sc. Unversdade Esadual Nore Flumnense Prof. Orlando Celso Longo, D. Sc. Unversdade Federal Flumnense Neró, RJ 22

4 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus por odas suas bênçãos, por sempre guar meus passos e por me permr mas esa conqusa. Ao meu orenador, Danel Ignáco de Souza Júnor, pela amzade, ncenvo e confança em meu rabalho desde o mesrado. Aos meus pas e meus rmãos pelo ncenvo em odos os momenos da mnha vda; A odos que, drea ou ndreamene colaboraram para o desenvolvmeno dese rabalho.

5 SUMÁRIO INTRODUÇÃO.... APRESENTAÇÃO....2 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA DE PESQUISA ESTRUTURA DO TRABALHO FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA TESTE DE VIDA ACELERADO DISTRIBRUIÇÕES UTILIZADAS EM TESTE DE VIDA Dsrbução Webull Dsrbução Webull Inverda Dsrbução Exponencal Dsrbução Normal Dsrbução Lognormal ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DO MODELO ESTATÍSTICO Méodo dos mínmos quadrados Méodo dos momenos Méodo da máxma verossmlhança MECANISMO DE TESTES DE VIDA ACELERADO NA AVALIAÇÃO DE PRODUTOS INDUSTRIAIS ACELERAÇÃO DO MECANISMO DE CICLOS MODELOS COM ACELERAÇÃO LINEAR(CONSTANTE) DURANTE TODO O TESTE DE VIDA Aceleração de um Tese de Vda com a Dsrbução de Amosragem Sendo o Modelo Exponencal Aceleração de um Tese de Vda com a Dsrbução de Amosragem Sendo o Modelo Webull MODELO DE TESTES DE VIDA COM O QUAL A TEMPERATURA É O MECANISMO PRESENTE DE ACELERAÇÃO O MODELO DE ARRHENIUS MODELOS DE TESTES DE VIDA COM VÁRIOS MECANISMOS OU TIPOS DE ACELERAÇÃO O Modelo de Eyrng MODELOS DE DEGRADAÇÃO MODELOS DE DEFORMAÇÃO OU ESTRAGO ACUMULATIVO MODELOS COM TENSÕES AUMENTADAS CONTINUADAMENTE OUTROS MODELOS DE ACELERAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE OS TIPOS DE TESTES DE VIDA ACELERADOS...49

6 4 METODOLOGIA E COMPONENTES UTILIZADOS NESSE ESTUDO DISTRIBUIÇÕES DA FAMÍLIA DE VALORES EXTREMOS WEIBULL E WEIBULL INVERTIDA DE TRÊS PARÂMETROS O FATOR DE ACELERAÇÃO AS SITUAÇÕES DO TESTE DE HIPÓTESES O TESTE DE VIDA SEQUENCIAL O ESTIMADOR DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA PARA OS MODELOS WEIBULL E WEIBULL INVERTIDO DE TRÊS PARÂMETROS: TRUNCAGEM POR FALHAS O TAMANHO ESPERADO DA AMOSTRA DO TESTE DE VIDA SEQUENCIAL PARA EFEITO DE TRUNCAGEM OS VALORES ESPERADOS DOS MODELOS DE TRÊS PARÂMETROS WEIBULL E WEIBULL INVERTIDO APLICAÇÃO DO EMPREGO DO AÇO DE ALTA RESISTÊNCIA E BAIXA LIGA EM RELAÇÃO À RESISTÊNCIA À FRICÇÃO PARA O MODELO WEIBULL INVERTIDO DE TRÊS PARÂMETROS Um procedmeno para se aplcar o mecansmo de runcagem no caso do modelo Webull Inverdo PARA O MODELO WEIBULL DE TRÊS PARÂMETROS Um procedmeno para se aplcar o mecansmo de runcagem no caso do modelo Webull VALORES ESPERADOS PARA A VIDA MÉDIA DO AÇO DE ALTA RESISTÊNCIA E BAIXA LIGA, EM HORAS, QUANDO SUBMETIDO À FRICÇÃO APLICAÇÃO DO EMPREGO DO AÇO DE ALTA RESISTÊNCIA E BAIXA LIGA EM RELAÇÃO À RESISTÊNCIA À FADIGA NÃO INDUZIDA CONCLUSÕES...3 REFERÊNCIAS...6 ANEXO...

7 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Fgura 2.: Aplcação de nível consane da ensão...9 Fgura 2.2: Aplcação da ensão em dferenes níves...2 Fgura 2.3: Aplcação de nível progressvo de ensão...2 Fgura 2.4. Aplcação ensão alernada...2 Fgura 2.5 Aplcação da ensão aleaóra...2 Fgura 5. Tese de vda sequencal para o modelo Webull Inverdo de rês parâmeros...85 Fgura 5.2. Tese de vda sequencal com o mecansmo de runcagem para o modelo Webull Inverdo de rês parâmeros...86 Fgura 5.3. Tese de vda sequencal para o modelo Webull de rês parâmeros Fgura 5.4. Tese de vda sequencal com o mecansmo de runcagem para o modelo Webull de rês parâmeros Fgura 5.5 Curva da função densdade do modelo Webull de rês parâmeros do aço de ala ressênca e baxa lga, quando submedo à frcção Fgura 5.6. Curva da função densdade do modelo Webull Inverdo de rês parâmeros do aço de ala ressênca e baxa lga, quando submedo à frcção Fgura 6.. Curva da função densdade do modelo Webull de rês parâmeros do aço de ala ressênca e baxa lga, em relação à ressênca à fadga não nduzda.... Fgura 6.2. Curva da função densdade do modelo Webull Inverdo de rês parâmeros do aço de ala ressênca e baxa lga, em relação à ressênca à fadga não nduzda....

8 LISTA DE TABELAS Tabela 2.. Exemplos de Maeras de desempenho e varáves de Esresse...9 Tabela 5.. Tempos de falhas (horas) das undades de rlhos sob uma emperaura de uso acelerada de 48 K (graus Kelvn) Tabela 5.2. Tempos de falhas (horas) das undades de rlhos sob uma emperaura de uso acelerada de 52 K (graus Kelvn) Tabela 5.3. Tempos esmado de falhas (horas) das undades de rlhos em uma condção normal de uso de 296 Kelvns. Modelo Webull Inverdo...82 Tabela 5.4. Lmes do ese de vda para o modelo Webull Inverdo...85 Tabela 5.5. Tempos esmados de falhas (horas) das undades de rlhos sem uma condção normal de uso de 296 Kelvns. Modelo Webull Tabela 5.6. Lmes do ese de vda para o modelo Webull...9 Tabela 5.7. Esmadores dos rês parâmeros das dsrbuções de amosragem Webull Inverdo e Webull na condção normal de uso de 296 Kelvns...93 Tabela 6.. Tempos esmados de falhas (cclos) das undades de rlhos em uma condção acelerada de uso de.8 cclos por hora Tabela 6.2. Tempos esmados de falhas (cclos) das undades de rlhos em uma condção normal de uso de 4 cclos por hora...99

9 RESUMO Esa ese em como objevo desenvolver um novo mecansmo para a ransformação de resulados provenenes de eses de vda acelerado para resulados esmados em uma condção normal de uso aravés da ulzação da le de dsrbução de Maxwell. O modelo desenvolvdo é uma aplcação combnada de eses de vda sequencal com runcagem e ese de vda acelerado a um novo po de aço de ala ressênca e baxa lga ressene à frcção, quando ulzado na fabrcação de rlhos no Brasl, sendo a caracerísca de neresse que se deseja deermnar será a ressênca à frcção, e ambém empregada já há város anos na fabrcação de vgas meálcas, nesse caso sendo a caracerísca de neresse o lme de ressênca à fadga. Para esmarmos os rês parâmeros dos modelos Webull e Webull Inverdo, ulzaremos um esmador de máxma verossmlhança maxmum lkelhood para uma condção de ese de vda runcado por falhas. Palavras-Chaves: modelo aceleração, ese de vda sequencal, dsrbução de Maxwell, esmador de máxma verossmlhança.

10 ABSTRACT The man objecve of hs work s o apply a combned approach of a sequenal lfe esng and an acceleraed lfe esng o a new ype of frcon-ressan low alloy-hgh srengh seel used n Brazl. One possble way o ranslae es resuls obaned under acceleraed condons o normal usng condons could be hrough he applcaon of he Maxwell Dsrbuon Law. When hs seel s used n he fabrcaon of rals, he characersc of neres s he ressance o frcon. When used n he producon of seel beams, he characersc of neres s now he lm of ressance o fague. To esmae he hree parameers of he wo underlyng samplng dsrbuons, he hree parameer Webull and Inverse Webull models, we wll use a maxmum lkelhood approach for censored falure daa. We wll be assumng a lnear acceleraon condon. To evaluae he accuracy (sgnfcance) of he parameer values obaned under normal condons for he underlyng Inverse Webull model we wll apply o he expeced normal falure mes a sequenal lfe esng usng a runcaon mechansm developed by De Souza (25). Some examples wll llusrae he applcaon of hs procedure. Keywords: Acceleraed Models, Sequenal Lfe Tesng, Maxwell Dsrbuon Law, Maxmum Lkelhood Aproach, Truncaon Mechansm.

11 INTRODUÇÃO. APRESENTAÇÃO Exse uma necessdade crescene no mundo ndusral, a qual se orna cada vez mas mporane, de se ober com um menor cuso de ese e no mas reduzdo espaço de empo, ndcações bem fundamenadas esascamene e de elevada confabldade sobre o comporameno de produos e componenes quando em suações de uso normal. A fm de se ober nformações a respeo do comporameno dese produo ou ssema se fará necessáro a realzação de eses de vda, em que a varável de neresse é o empo aé a falha, e analsá-los por meo de modelos esaíscos adequados. Essas nformações serão enão ulzadas para quanfcar a confabldade desse produo ou ssema, deermnando-se em seguda se os padrões ou níves proposos de confabldade e de segurança esão sendo alcançados. Fnalmene, o que fazer para melhorar a confabldade e a segurança do produo ou ssema sendo analsado. Evdenemene, o empo necessáro para se realzar um ese de vda poderá ser muo elevado, com sso acarreando elevados cusos de ulzação de equpamenos, facldades e pessoal, ou mesmo nvablzando o emprego de prácas radconas de ese de vda. No níco da década de 9 ncou-se um movmeno em dreção à aplcação de eses de vda sequencas na enava de se subsur o ango ssema de eses, o qual ulzava amanhos de amosras pré-fxados. Esses eses pré-fxados se ornaram obsoleos, devdo demandarem amosras com um número relavamene

12 elevado de ens, o que acarreava um maor cuso do ese, além de um empo exageradamene longo para a realzação dos mesmos. O mecansmo de ese de vda sequencal consu-se em uma alernava neressane ao de um ese de hpóese com amanho de amosra fxo devdo ao pequeno número de observações necessáras para o seu emprego, prncpalmene quando as dsrbuções de amosragem são os modelos Webull ou Webull Inverdo de rês parâmeros. Aconece que em algumas ocasões, mesmo com o emprego de um ese de vda sequencal, o número de ens necessáro para se chegar a uma decsão de se acear ou rejear uma hpóese nula poderá ser muo elevado (De Souza, 2). Desse modo, um mecansmo de runcagem para essa suação de ese de vda fo desenvolvdo por De Souza (24a) e uma aplcação práca desse mecansmo fo apresenada por De Souza (24b). Mesmo com a aplcação desse mecansmo de runcagem, em algumas ocasões o empo dsponível para se realzar um ese de vda poderá ser consderavelmene menor do que a vda esperada de um deermnado componene ou produo. Para superar esse problema exse uma alernava de ese de vda acelerado dreconado a forçar o aparecmeno de falhas em componenes, ou seja, esando-os em condções muo mas severas do que as enconradas durane a ulzação normal desses componenes. Enreano, um problema aparece na ulzação deses eses, é o de como relaconar a axa de falha obda no ese acelerado, no qual o produo ou ssema é submedo a um nível aumenado (elevado) de ensão, com a verdadera axa de falhas que o mesmo vrá a apresenar quando em uso sob condções normas de aceleração. Para se raduzr o valor da axa de falhas obdo em uma condção mas severa de uso da que o componene deverá enconrar quando em ulzação normal para um valor de axa de falhas obdo em uma condção de uso normal desse componene, orna-se necessáro uma modelagem esaísca adconal. Esses modelos são conhecdos como modelos acelerados.

13 2.2 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA DE PESQUISA Um dos prncpas modelos clásscos exsenes de eses de vda acelerados é o modelo de Erng, desenvolvdo na prmera meade do Século XX, o qual é dervado da físca quânca. O modelo de Erng é dado pela segune equação: R rae = A α T e ( E K) Tn + C exp DS (.) Aqu R rae é a axa de reação, E represena a energa de avação da reação; K é a consane do gás (,986 caloras por mol), T n é a emperaura em graus Kelvn (273,6 mas os graus Celsus); A, α, C e D são consanes; segundo faor de aceleração. Na equação (.), o ermo A α S represena um T e ( E K) Tn + C esá relaconado com a emperaura ao passo que o ermo segune exp [DS ] é a forma geral para adconar ao ese de vda qualquer ouro po de ensão ou aceleração. Esse modelo apresena em sua fórmula algumas consanes numércas (C e D) as quas deverão ser esmadas aravés dos dados provenenes do ese de vda acelerado sendo desenvolvdo. Aconece que os eses de vda realzados aualmene ulzam cada vez mas amosras com um pequeno número de ens fazendo com que essa esmava das consanes apresene uma confabldade muo aquém da desejada. O objevo dese esudo é desenvolver uma manera práca e efcaz de se subsur os modelos acelerados provenenes da físca quânca por dsrbuções da famíla de valores exremos, como a Webull ou Webull Inverda de rês parâmeros, ulzando-se como prncípo básco de subsução a Le de Dsrbução de Maxwell Maxwell Dsrbuon Law, evando-se as prncpas dfculdades da aplcação desses modelos, as como a esmação do valor das consanes exsenes nos mesmos aravés dos dados provenenes do ese de vda sendo realzado, além da obenção de uma elevada confabldade na ransformação dos dados obdos em condções de aceleração para dados esmados em uma condção normal de uso. Como pare de nosso objevo no desenvolvmeno desse mecansmo de ese de vda acelerado esá o desenvolvmeno de uma neração vsando uma aplcação

14 3 conjuna dos mecansmos de ese sequencal com runcagem e eses acelerados, a um novo po de aço de ala ressênca e baxa lga, quando ulzado de duas maneras dsnas; na fabrcação de rlhos e ambém na consrução de vaduos meálcos. No prmero caso, o neresse é deermnar o valor esperado da vda méda desse aço em horas, quando submedo à frcção, e no segundo caso uma esmava do lme de ressênca á fadga, ou seja, o número de cclos necessáros para se obver esse pono de fadga. Esse po de aço esá sendo ulzado no momeno na fabrcação de rlhos no Brasl para o ranspore de mnéro de ferro e de doloma e na consrução de vaduos meálcos. Como dsrbuções de amosragem, ulzaremos o modelo Webull e o modelo Webull Inverdo de rês parâmeros. Esses modelos possuem um parâmero de forma, um parâmero de escala e um parâmero de vda mínma ou localzação, o qual represena a vda garanda do produo. Para esmarmos os rês parâmeros dos modelos Webull e Webull Inverdo, ulzaremos um esmador de máxma verossmlhança maxmum lkelhood em uma suação de runcagem por falhas. O pono de runcagem represena o número máxmo de observações necessáras para se omar uma decsão sobre a aceação ou rejeção da hpóese nula em um deermnado ese de vda sequencal. Após o pono de runcagem er sdo esascamene calculado, seu valor servrá como lme máxmo de observações necessáras em qualquer ouro ese de vda que se deseje realzar, dependendo do po de ulzação um deermnado maeral ou produo deverá er. Para cada uma das duas aplcações, eremos de calcular um pono de runcagem específco. Esaremos assumndo uma condção de aceleração lnear. No momeno somene é possível rabalhar se com um modelo de aceleração lnear, quando se ulza como dsrbuções de amosragem os modelos de rês parâmeros Webull e Webull Inverda. Isso deve - se o fao de que quando em uma suação de aceleração não lnear orna-se necessáro o uso de compuadores de alíssma velocdade. Além dsso, ouro problema gerado de uma ulzação de um modelo de aceleração não lnear dz respeo ao desenvolvmeno de equações de elevada complexdade ano nos seus desenvolvmenos como no cálculo dessas equações na esmação dos empos de falha em uma condção acelerada de uso.

15 4 Essa suação somene agora começa a ser esudada nos cenros de pesqusas nos prncpas países mas ecnologcamene desenvolvdos no momeno. Para avalarmos a precsão (sgnfcânca) dos valores obdos para esses rês parâmeros das duas dsrbuções de amosragem em uma condção normal de uso, aplcaremos para os empos esmados de falhas em suação normal de uso um ese de vda sequencal com mecansmo de runcagem desenvolvdo por De Souza (24a). Fnalmene faremos uma comparação da efcênca dos modelos Webull e Webull Inverdo de rês parâmeros quando ulzados como dsrbuções de amosragem..3 ESTRUTURA DO TRABALHO O presene rabalho enconra-se dvddo em see capíulos, dsrbuído conforme descrção que segue. No Capíulo em-se uma nrodução do rabalho, onde são apresenados os movos da realzação dese, os objevos preenddos. O capíulo 2 apresena alguns conceos mporanes relaconado com Teses de Vda Acelerados, as dsrbuções ulzadas em Tese de Vda e os prncpas méodos para esmação dos parâmeros. O capíulo 3 fornece os prncpas mecansmos de aceleração na avalação de produos ndusras. A proposa meodológca esá presene no quaro capíulo, no qual é apresenado o desenvolvmeno do procedmeno para esse esudo. No capíulo 5, apresena uma aplcação combnada dos mecansmos de ese de vda sequencal com runcagem e ese de vda acelerado a um novo po de aço de ala ressênca e baxa lga ressene à frcção, ulzado na fabrcação de rlhos no Brasl. O capíulo 6 apresena uma aplcação combnada dos mecansmos de ese de vda sequencal com runcagem e ese de vda acelerado a um novo po de aço de ala ressênca e baxa lga, sendo que esse aço vem sendo ulzado na

16 5 confecção de vgas meálcas. Nesse caso a caraceríscade neresse é o lme de ressênca à fadga. As conclusões obdas com a execução da presene pesqusa são apresenadas no capíulo 7. E no fnal desa pesqusa são apresenadas as referêncas bblográfcas que subsdaram e execução dese esudo.

17 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2. TESTE DE VIDA ACELERADO A maora dos méodos de esmação em confabldade assume a exsênca de dados provenenes de falhas, dados eses obdos aravés de um mecansmo denomnado Teses de Vda. Teses de Vda é o nome que damos para uma varedade de méodos de ese, os quas são normalmene usados a fm de se ober os dados esaíscos necessáros para o desenvolvmeno dos mesmos (de SOUZA 26). Exsem város pos possíves de eses de vda. O empo necessáro para se realzar um ese de vda poderá ser muo longo, com sso acarreando elevados cusos de ulzação de equpamenos, facldades e pessoal. Esse empo elevado poderá aé mesmo nvablzar a obenção de um número pré-deermnado de falhas anes do érmno do ese. Uma alernava para a solução desse problema é a de se ulzar eses de vda sequencas. Porém, dependendo das caraceríscas do componene sob ese, um expermeno realzado mesmo ulzando eses de vda sequencal com runcagem como mosrado por De Souza (26) pode er uma duração excessvamene longa, com sso acarreando elevados cusos. Uma alernava para solução desse problema é ulzar eses de vda acelerado. Tese de vda acelerado consse de uma varedade de méodos que nenconalmene dmnuem a vda úl de um produo ou aceleram a degradação de seu desempenho (NELSON, 99). As ulzações de écncas adequadas de análse dos dados permram rar conclusões sobre a vda esperada do componene em condções normas de uso.

18 7 O ermo ese acelerado é ulzado para descrever dos pos mporanes de ese, que fornece dferenes nformações sobre o produo: Teses acelerados qualavos são usados prncpalmene para revelar os modos de falha provável. Conudo, se não for projeado adequadamene, podem causar a falha do produo devdo a modos que nunca era sdo enconrado na vda real. Quando há uma falha no ese acelerado qualavo, é necessáro enconrar a causa raz desa falha e verfcar se há alguma relação com uma evenual falha em condções normas de operação (NELSON, 25). Um bom ese qualavo é aquele que revela rapdamene os modos de falhas que ocorrem durane a vda úl do produo em condções normas de uso. De acordo com os pos de dados obdos nos eses, os ensaos qualavos podem ser classfcados em: (a) Teses de vda acelerado, cujo dado (a reposa de neresse) é o empo-aé-falha, que pode ser compleo ou censurado, dependendo da naureza e das lmações do ese. Nese caso, o objevo é esmar o empo médo de sobrevvênca, a função de confabldade, ec. Aravés da modelagem de as dados, podemos, com cero cudado, exrapolar os resulados obdos nos eses para as condções normas; (b) ese de degradação acelerado, a resposa de neresse é alguma medda de desempenho do produo ou componene, as como ressênca à ração ou oxdação, meddas ao longo do empo e ulzar esa nformação para esmar a dsrbução do empo de vda do produo ou componene. Em odos os eses descros acma, os dados são gerados porque as undades de ese são submedas a esforços em níves dferenes daqueles consderados em condções normas de uso, de forma a dmnur o empo-aé-falha. Teses acelerados quanavos são eses desgnados para quanfcar as caraceríscas de vda do produo, sob condções normas de uso, nclundo a deermnação da probabldade de falha do produo nessas condções. Os movos que causam a falha do produo são acelerados sob crcunsâncas conroladas, fazendo com que o produo falhe em um período de empo mas curo. Nesse po de ese não são nserdos mecansmos de falha adconas que não ocorreram em condções normas do uso. Ao conráro dos eses acelerados qualavos, que anecpam falhas a fm de denfcar novas modaldades de falha, os eses

19 8 acelerados quanavos produz a nformação do empo aé falha, essa nformação será ulzada para esmar a prevsão de vda do produo sob condções normas de uso. Quando esses eses são correamene execuados, é possível ulzar modelos maemácos para exrapolar o nível de uma função da dsrbução cumulava para o produo a parr dos dados de vda obdos em crcunsâncas aceleradas. Com essa análse será possível deermnar a confabldade, probabldade de falha, empo da garana, vda méda, e ouras nformações sobre o empo de vda do produo. De manera geral, acelera-se um ese submeendo as undades a níves aumenado (elevado) de ensão, do que aqueles enconrados em condções normas de uso. As formas de aceleração são dvddas de acordo com os pos de aceleração que é mposa ao componene sob ese: a) Aceleração por axa de uso: Uma manera smples de acelerar a vda de produos é submeê-los a uma axa de uso mas severa. Segundo Nelson (99) sso pode se obdo de duas maneras: ulza-se o produo em velocdade mas ala ou ulza-se o produo connuamene. O propóso desse po de ese é esmar a vda do produo em condções normas de operação. No enano, eses com ala axa de uso normalmene aumenam a emperaura do produo e ese aumeno pode causar um novo modo de falha. Para assegurar que os modos de falha enconrados no ese acelerado sejam os mesmos que os enconrados em eses normas, os eses devem ser planejados cudadosamene. b) Aceleração por elevação de esresse: Ese po de ese consse em esar o produo a níves mas alos das varáves de esresse para dmnur a vda do mesmo ou degradar o desempenho dele de manera mas rápda. Nesse caso, as varáves de esresse podem ser emperauras, volagem, vbração, cclo érmco, umdade, ec. Alguns exemplos são apresenados na abela abaxo:

20 9 Tabela 2.. Exemplos de Maeras de desempenho e varáves de Esresse Tpo Semconduores e componenes mcroelerôncos Capacores Ressores Conaos elércos Lâmpadas Produo Medda de Desempenho Tempo aé a falha e caraceríscas de operação Tempo aé a falha Tempo aé a falha Tempo aé a falha; corrosão. Tempo aé a falha; efcênca, lumnosdade. Varável de Esresse Temperaura; correne; volagem; umdade; pressão. Temperaura; volagem; vbração. Temperaura; volagem; vbração. Temperaura; umdade; correne. Volagem; emperaura; choque (elérco ou mecânco). Fone: Nelson, 99 Anda de acordo com Nelson (99), as cargas de esresse às quas os produos podem ser submedos são classfcadas como consanes, cíclcas, alernadas, progressvas e aleaóras. a) Tensão consane Em eses de esresse consane cada undade de ese é observada aé falhar, manendo odos os faores de esresse em níves consanes. Para alguns maeras e produos, os modelo de ese acelerado de esresse consane são melhor desenvolvda e expermenalmene esabelecda. Porém, para a realzação do ese é de exrema mporânca à deermnação da nensdade e do po de carga a ser aplcada, pos al carga precsa ser aproprada ao po de dados que se deseja ober, além de condconada ao empo e aos recursos dsponíves para a realzação do ensao. Fgura 2.: Aplcação de nível consane da ensão

21 2 b) Tensão aplcada em dferenes níves ("sep sress") Em eses sep sress cada componene é submedo a um nível da ensão por um cero empo. Se o componene não falhar, o nível da ensão é alerado para um novo paamar, e o procedmeno se repee. A prncpal vanagem do sep sress é levar rapdamene à ocorrênca de falhas. A maor desvanagem esá na esmação das meddas de confabldade. A maora dos produos em condções normas de uso é submeda a uma carga consane e não do po sep sress. Porano o modelo deve de manera adequada levar em consderação o efeo cumulavo da exposção a esresses sucessvos. O modelo a ser ulzado é mas complexo do que aquele para esresse consane. Fgura 2.2: Aplcação da ensão em dferenes níves c) Nível progressvo da ensão Nese po de ese cada componene é submedo a um nível crescene da ensão, porém esse aumeno não é feo em paamares, mas connuamene. Ba (992) apresena um exemplo de ese dese po denomnado Smple Ramp Tes, com dos dferenes ncremenos lneares da varável de esressameno, ese é um caso parcular de nível progressvo de ensão, ulzando a dsrbução Webull como modelo esaísco.

22 2 Fgura 2.3: Aplcação de nível progressvo de ensão d) Tensão alernada Nese ese cada componene é submedo a ensões cujos níves varam com uma dada perodcdade TIME Fgura 2.4. Aplcação ensão alernada e) Tensão aleaóra Nese ese alguns produos, quando em uso, esão sujeos a níves da ensão que se aleram de manera aleaóra. Fgura 2.5 Aplcação da ensão aleaóra

23 DISTRIBRUIÇÕES UTILIZADAS EM TESTE DE VIDA Uma ípca análse de dados de vda deermna, por meo do uso de dsrbuções esaíscas, a dsrbução de vda que descreve o empo aé a falha de um produo. Porém o fao é que as dsrbuções de vda podem assumr muas formas, e os méodos de análse conhecdos e dfunddos são aplcáves para umas poucas dsrbuções de vda cenfcamene desenvolvdas. Sendo assm, é necessáro após colear os dados de uma análse, ajusá-los para uma dsrbução de probabldade que melhor se encaxe à sua dsrbução de falhas real. Tas dsrbuções são ambém conhecdas como dsrbuções de falha, uma vez que conssem em méodos maemácos para represenar falhas em função do empo. Em esudo de vda de um produo, as dsrbuções mas empregadas são: Dsrbução Webull (, 2 e 3 parâmeros), Dsrbução Webull Inverda, Dsrbução Exponencal, Dsrbução Normal e Dsrbução Lognormal. A segur são apresenadas, resumdamene algumas funções que esão sendo ulzados em ese de vda, prncpalmene como nformação prelmnar ou pror acerca dos parâmeros da dsrbução de amosragem Webull. Algumas dessas dsrbuções são: 2.2. Dsrbução Webull A dsrbução Webull fo proposa ncalmene por W. Webull em 954 para represenar empos de falha devdo à fadga de meas, ela é uma das dsrbuções mas ulzadas em esudos de confabldade devdo à sua grande versaldade. Isso porque ela pode ser faclmene ajusada a váras dsrbuções de dados de falha apenas se ajusando o valor de seu parâmero de forma (). As equações (2.), (2.2), (2.3), e (2.4) represenam, respecvamene, a função densdade de probabldade de falha, a função confabldade, a função acumulada de falha e a função de rsco para uma dsrbução Webull de rês parâmeros.

24 23 f ( ) = φ φ exp ; (2.) φ R() = e (2.2) φ F() = e (2.3) h() = φ e (2.4) Onde é o parâmero de forma, é o parâmero de escala e parâmero de vda mínma. Ф é o O parâmero de escala (a vda caracerísca) é posvo, e represena o pono percenual 63,2 da dsrbução de T. O parâmero de forma, o qual é ambém posvo, especfca a forma da dsrbução. O parâmero de vda mínma φ é ambém posvo e será sempre menor do que o prmero empo de falhas. A dsrbução de Webull a dos parâmeros consdera o parâmero da vda mínma como sendo gual à zero. A dsrbução Webull com dos parâmeros ornou-se muo mporane na cênca e na engenhara por se ajusar de um modo alamene posvo ao padrão de varabldade de muas cosas. Essa dsrbução é rca em forma o que sugere a necessdade de uma amosra relavamene grande para que se possam fazer esmavas com um grau de precsão usando-se algum processo radconal esaísco. Geralmene, na práca, é muo pequeno o número de componenes ndusras dsponíves para se realzar um ese de vda. A dsrbução de Webull é muo ulzada para dados de empo de vda, pos seus dos parâmeros e lhe dão uma grande flexbldade, uma vez que permem modelar dferenes pos de axas de falhas. Como caso especal, quando o

25 24 parâmero de forma da dsrbução Webull for gual a, a dsrbução resulane será a exponencal Dsrbução Webull Inverda A dsrbução Webull nverda fo dervada em 983 por Pascoal Ero, e poderá ser obda a parr da função densdade da dsrbução Webull. Consdere a dsrbução Webull dada por: f ( x) = x ( x / ) e ; x > ;, > Faça = ; x = ; dx = x 2 d Também, quando: x, ; x, Enão, se subsurmos o valor de x e de dx na equação acma, eremos. f ( ) = 2 ( ) /() e d = + /() e d Mulplcando e dvdndo o lado dreo da equação acma por, oberemos: f ( ) = + ( ) /() e d =.; > ;, > Essa negral é gual a. Logo, o negrando acma é a função densdade da dsrbução Webull nverda, ou seja: f ( ) = ( ) + /( ) e (2.), > ; ; = parâmero de escala; = parâmero de forma. A dsrbução Webull Inverda em sdo ulzada em esmação Bayesana para represenar oda a nformação dsponível acerca do parâmero de forma da

26 25 dsrbução de amosragem Webull Ero (982); De Souza & Lamberson (995). Ela possu um parâmero de localzação ou vda mínma, um parâmero de escala e um parâmero de forma. A recene ulzação do modelo Webull Inverdo de rês parâmeros resde no fao de que quando o parâmero de forma da dsrbução Webull é maor do que see, a curva Webull se orna muo ponuda (alongada para cma), resulando em dfculdades compuaconas para se ober a precsão desejada no cálculo dos valores referenes às caraceríscas de neresse do componene ou produo sendo analsado. Em suações como essa, o modelo Webull Inverdo parece possur uma melhor resposa para esse problema de precsão apresenado pela dsrbução Webull como mosrado por De Souza (26) Dsrbução Exponencal A dsrbução exponencal é um caso especal da dsrbução Webull de dos parâmeros. Quando o parâmero de forma da dsrbução Webull for gual a, a dsrbução resulane será a exponencal. Tal condção é resulane de uma condção de axa de falha consane. A função densdade da dsrbução Webull é dada por: f ( ) = ( ;, ) f = exp (2.2), > ; > ; = parâmero de escala; = parâmero de forma. Logo, se fzermos =, eremos: f ( ) = ( ;) / f e ;, > (2.3) Essa é a função densdade da dsrbução exponencal. Com a prolferação de mcrocompuadores na úlma década, e com o reconhecmeno geral de que a dsrbução exponencal é um caso especal da dsrbução Webull, o modelo Webull ornou-se um modelo de eses de vda muo popular.

27 Dsrbução Normal A dsrbução normal ou de Gauss é ulzada para descrever produos que falham por desgase, onde a axa de falha se ncremena connuamene, ela em sdo usada em ensaos acelerados para descrever a vda do flameno das lâmpadas ncandescenes e de solamenos elércos, ambém em sdo usada para descrever propredades de produos as como ressênca (mecânca ou elérca), elongação, e ressênca ao mpaco. Uma varável aleaóra é da esar dsrbuída normalmene se ela ver sua função densdade dada por f() = σ 2π exp ( µ ) 2 ; ; σ > (2.4) 2 2σ µ e σ são os parâmeros da dsrbução normal. Essa dsrbução é smérca acerca de seu valor médo, e é ambém referda como sendo a le de Laplace - de Movre, e ambém como a função densdade Gaussana. A dsrbução normal possu uma forma abaulada muo conhecda. A função cumulava da dsrbução será dada por F() = σ 2π exp ( τ µ ) 2 2 2σ d τ (2.5) Essa negral não pode ser resolvda analcamene, em uma forma fechada. Quando µ = e σ =, eremos a dsrbução normal padrão, dada por. f() = 2π exp 2 ; (2.6) 2 A função cumulava padrão da dsrbução, cdf, será dada por: ( z) z φ = 2π exp x 2 dx (2.7) 2 Essa função em sdo exensvamene abulada com város níves de precsão.

28 27 Por exemplo, o Anexo (3) de Gran e Leavenworh (988) apresena uma abela dessa função. Para uma varável aleaóra normalmene dsrbuída com méda µ e desvo padrão σ, eremos: µ P( T ) = µ P z = φ (2.8) σ σ Dsrbução Lognormal A dsrbução Lognormal é uma dsrbução basane genérca em esudos de confabldade, muas vezes aplcada em esudos de números de cclo aé a fadga. Amplamene usada para analsar dados de vda, exemplos ncluem fadga de meas, solameno elércos, ec. A dsrbução log-normal é a que melhor descreve os empos de vda de componenes semconduores cujos mecansmos de falha envolvem nerações químcas, como as enconradas em processo de corrosão, acúmulo superfcal de cargas elércas, degradação de conaos, ec. Sua função densdade de probabldade expressa a rês parâmeros: f() = σ 2π exp ln() µ 2 σ 2 ; onde σ, µ e são os parâmeros da dsrbução Lognormal. Hogg, Rober V. e Crag, Allen T em seu lvro Inroducon o mahemacal sascs, 4ed apresenam no capíulo 4 uma manera de se ober, aravés do mecansmo de ransformação de varáves do po conínuas, a grande maora das dsrbuções ulzadas em Teses de Vda, nclusve as dsrbuções (Suden s) e F. Uma das raras exceções é a dsrbução de Cauchy, a qual não possu um valor esperado e varânca fnos. 2.3 ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DO MODELO ESTATÍSTICO Uma vez escolhda a dsrbução para os empos aé a falha, é necessáro deermnar os parâmeros que descrevem os dados. Em esaísca, esses parâmeros devem ser esmados a parr das observações amosras. Aconece que, em boa pare das suações enconradas na práca, as nformações exsenes ou

29 28 dsponíves sobre deermnado produo ou componene ndusral não são sufcenes para que possamos assumr valores com elevada confabldade para os referdos parâmeros. Nesse caso, é necessáro esmar esascamene esses parâmeros. Exsem város méodos de esmação, os rês prncpas são: o méodo mínmo quadrados, o méodo da máxma verossmlhança e o méodo dos momenos Méodo dos mínmos quadrados A esmava de parâmeros pelo méodo dos mínmos quadrados é smples para funções que podem ser lnearzadas, como é o caso da maor pare das dsrbuções aplcadas em esudos de confabldade. Ese méodo defne o melhor ajuse como aquele que mnmza a soma dos quadrados das dferenças enre a curva ajusada e os dados observados. O méodo dos mínmos quadrados é usualmene aplcado na análse de dados compleos de empos aé a falha. Sua vanagem é a de exsr muos pacoes de sofwares esaíscos que dsponblzam a resolução de problemas por esse méodo. Como desvanagens enconram-se o fao de não ser aplcável a dados censurados e de ser sensível à escolha do valor ncal (NIST/SEMATECH, 2) Méodo dos momenos O méodo dos momenos consse em gualar deermnadas caraceríscas da amosra aos valores correspondenes esperados para a população e enão resolver as equações resulanes a fm de ober um valor esmado para o parâmero desconhecdo. Esse méodo apresena como vanagem sua smplcdade, sendo usada prncpalmene para se enconrar um valor ncal a ser ulzado em méodos mas precsos, como o da máxma verossmlhança e dos mínmos quadrados. Sua desvanagem e a de frequenemene não esar dsponível ou não possur as propredades de omzação desejável aos demas méodos (NIST/SEMATECH, 2).

30 Méodo da máxma verossmlhança O méodo da máxma verossmlhança é o mas confável esascamene uma vez que pode ser aplcado a uma ampla varedade de suações de esmação de parâmeros. A esmava pelo méodo da máxma verossmlhança se basea na função de verossmlhança da amosra, que expressa a probabldade de se ober um conjuno de dados a parr de um deermnado modelo de dsrbução. Isso pode ser consegudo aravés do desenvolvmeno da função de verossmlhança para as observações e obenção de sua expressão logarímca, que é enão dervada em relação aos parâmeros. As equações resulanes são gualadas a zero e resolvda smulaneamene, obendo-se assm melhor esmava dos parâmeros que maxmzam a função verossmlhança (ELSAYED, 996).

31 3 MECANISMO DE TESTES DE VIDA ACELERADO NA AVALIAÇÃO DE PRODUTOS INDUSTRIAIS. Bascamene, um ese de vda acelerado ulza écncas dversas com o objevo de reduzr o empo de um ese de vda, aravés da aceleração das falhas de produos ou ssemas de elevada confabldade. Esses produos ou ssemas quando submedos a um ese de vda comum deverão apresenar um número muo reduzdo de falhas durane um período razoável de empo. Eles poderão aé não apresenar nenhuma falha nesse período de ese devdo possur elevada confabldade. Os modelos que preendem resolver esse po de problema são chamados de modelos de aceleração. O conceo de aceleração é aquele no qual um produo ou componene, o qual esá sendo submedo a um nível aumenado (elevado) de ensão, rá apresenar mecansmos de falha guas aos apresenados quando submedo a um nível normal de ensão. A únca dferença é a de que as falhas deverão ocorrer mas rapdamene (TOBIAS and TRINDADE, 995). Por exemplo, sera como se o nosso processo de falha esvesse sendo flmado, e, após o seu érmno, o mesmo flme fosse passado novamene, mas com uma velocdade maor do que a orgnalmene flmada. Como exemplo anda, o caso de pones ou vaduos meálcos, os quas esão submedos às condções ambenas renanes no local aonde se enconram. As falhas devdas ao efeo da corrosão meálca deverão ocorrer a uma velocdade relaconada com a agressvdade do meo ambene renane, ou seja, nível de elemenos químcos presenes na amosfera, como o cloro, enxofre, hdrogêno e oxgêno, por exemplo. Em condções laboraoras, poderíamos aumenar a concenração desses elemenos, com sso ornando o ambene mas agressvo resulando na ocorrênca mas rápda de falhas por corrosão meálca. O mecansmo de falhas permanece o

32 3 mesmo, ou seja, falhas por corrosão meálca. Apenas a velocdade de ocorrênca das falhas fo aumenada, devdo ao aumeno da agressvdade do meo ambene. Quando obém - se um faxa de valores para a ensão aplcada, na qual (faxa) a hpóese de se maner o mesmo mecansmo de falhas é verdadera, em-se uma condção conhecda como sendo a de uma aceleração real. Desse modo, uma aceleração real nada mas é do que uma smples ransformação da escala de empo, ou seja, uma dmnução do empo de ese. Enão, conhecendo a dsrbução de vda de produos ou ssemas submedos em condção laboraoral a um elevado nível de ensão, e conhecendo anda a ransformação da escala de empo relaconada com a condção de operação em nível normal de ensão, será possível dervar maemacamene, para essa condção normal de ensão, ano a dsrbução de vda, bem como a respecva axa de falhas. Exsem váras opções para se acelerar um ese de vda, ou seja, ober falhas em um menor período de empo. Enre essas opções, por exemplo, para produos ou ssemas sujeos a uma ação de desgase, como no caso da corrosão amosférca, poderemos aumenar o nível de ensão aplcado a esse produo ou ssema aravés do aumeno da emperaura e da umdade. Ouros pos de ssemas ou modelos poderão er seus níves de ensão aumenados aravés do aumeno da volagem ou correnes a eles aplcados, ou mesmo pelo aumeno do nível de radação presene. No caso do empo de ese ser meddo por número de cclos, a redução desse empo poderá ser obdo smplesmene pelo aumeno do número de cclos por undade de empo. Um nerrupor poderá ser submedo a um ese de vda acelerado apenas pelo aumeno da frequênca de uso do mesmo durane um deermnado espaço de empo. Como já menconado, a maor dfculdade na ulzação de eses de vda acelerado é o de como relaconar a axa de falha obda no ese acelerado, no qual o produo ou ssema é submedo a um nível aumenado (elevado) de ensão, com a verdadera axa de falhas que o mesmo vrá a apresenar quando em uso sob condções normas de aceleração. Ese capíulo preende apresenar alguns dos prncpas modelos de eses de vda acelerados que esão sendo ulzados ou em fase de desenvolvmeno,

33 32 analsando algumas de suas poencaldades e fraquezas, bem como sugerr possíves camnhos que possam levar ao desenvolvmeno de novos modelos acelerados. 3. ACELERAÇÃO DO MECANISMO DE CICLOS Assume-se aqu que não haverá aleração do modelo de falhas com o aumeno do número de cclos por undade de empo e que as falhas ocorrerão apenas devdo ao mecansmo de cclos exsene. Desse modo, o número de cclos necessáros para a ocorrênca de uma falha será o mesmo ano em condções normas de operação como em condções aceleradas de operação. Logo: c n n = c a a ; a = cn c a n ; R n ( n ) R = c R n a n ca = ( ) a a Onde: c n = Número de cclos por undade de empo sob condções normas de operação; c a = Número de cclos por undade de empo sob condções aceleradas de operação; n = Tempo aé a falha com c n cclos por undade de empo; a = Tempo aé a falha com c a cclos por undade de empo. Consderando uma dsrbução de amosragem Webull de dos parâmeros, na qual a vda mínma é consderada gual à zero, é dado pela equação segune: ( ) R n n = n exp n = n exp a a a, ou seja, com a = cn ca n, Teremos: R n ( n ) = c a n exp n (3.) ca a

34 33 Desse modo, a = n =, e ambém: c n = a a (3.2) cn Aqu, fo defndo os segunes parâmeros da dsrbução de falhas Webull: n = parâmero de forma sob condções de ese normal; a = parâmero de forma sob condções de ese acelerado; n = parâmero de escala sob condções de ese normal; a = parâmero de escala sob condções de ese acelerado. Sob condções aceleradas de operação ou ese, ou seja, com os cclos sendo acelerado por undade de empo, a dsrbução Webull manerá o mesmo valor para o seu parâmero de forma ; apenas o valor do parâmero de escala ou vda caracerísca rá varar. No caso da dsrbução exponencal, um caso especal da dsrbução Webull, onde = e com o empo médo aé a falha parâmero de escala, obém-se: mf subsundo o R n ( n ) = c n exp n (3.3) ca mfa mf n = ca mf a cn (3.4) 3.2 MODELOS COM ACELERAÇÃO LINEAR(CONSTANTE) DURANTE TODO O TESTE DE VIDA Como vso na seção 3, o conceo básco de um ese de vda acelerado é o de que em níves elevados (acelerados) de ensão, o mesmo mecansmo de falhas se fará presene e auará da mesma manera como o fara em níves normas de ensão. A únca dferença é a de que as falhas deverão ocorrer mas rapdamene, exsrá apenas varação no empo de ocorrênca das falhas.

35 34 Nenhum novo mecansmo de falhas será nroduzdo durane o ese acelerado. O caso mas smples de ese de vda acelerado assume um efeo de aceleração consane (lnear) durane odo o período de ese. Maemacamene ese modelo poderá ser expresso como descro na Equação 3.5. n = FA a (3.5) Aqu, n represena o empo aé a ocorrênca de uma falha sob condções normas de ese, a represena o empo aé a ocorrênca de uma falha sob condções aceleradas de ese e FA represena o faor aceleração. A função cumulava ou probabldade de ocorrênca de falhas aé um deermnado empo de ese = n será dada por: P ( T n < n ) = F n ( n ) P < = F n a = F a (3.6) FA FA = ( ) T a a A função densdade para um deermnado empo de ese, f n ( ), será dada por: d f n ( ) = d F a = FA FA f a (3.7) FA A axa de falhas nsanânea para um deermnado empo de ese, h n ( ), será dada por: h n ( ) = fn R n ( ) ( ) = fa FA FA Fa FA = FA h a (3.8) FA 3.2. Aceleração de um Tese de Vda com a Dsrbução de Amosragem Sendo o Modelo Exponencal. A função cumulava de uma dsrbução exponencal sujea a um ese de vda acelerado é dada por:

36 35 F a = e a ( ) (3.9) Na equação (3.9), a represena o parâmero de escala da dsrbução exponencal sob condções de ese de vda acelerado. Ulzando-se agora a equação (3.6), obém-se a função cumulava ou probabldade de ocorrênca de falhas aé um deermnado empo de ese = n para essa dsrbução, ou seja: F n ( ) = F a = exp FA a FA (3.) Aqu, a FA = n represena o novo parâmero de escala da dsrbução exponencal sob uma condção normal de ese. A equação (3.) nos nforma que quando exse uma exponencal que represene um deermnado nível de ensão qualquer, enão exsrá uma exponencal que represenará qualquer ouro nível de ensão suado denro do nervalo no qual a condção de aceleração lnear real se manenha válda. Além dsso, quando o empo for mulplcado por um faor de aceleração FA, a axa de falhas será dvdda por FA. Enreano, é mporane ressalar que o fao da axa de falha varar nversamene em relação ao faor de aceleração é váldo apenas quando o ese de vda é represenado pela dsrbução exponencal. De um modo geral, a axa de falhas vara de uma manera acenuadamene não-lnear quando sob aceleração lnear do faor empo Aceleração de um Tese de Vda com a Dsrbução de Amosragem Sendo o Modelo Webull A função cumulava de uma dsrbução de falhas Webull de dos parâmeros sujea a um ese de vda acelerado é dada por: F a ( ) = a exp (3.) a Ulzando-se novamene a equação (3.6), obém-se a função cumulava ou probabldade de ocorrênca de falhas aé um deermnado empo de ese = n para essa dsrbução, ou seja:

37 36 F n ( ) = F a = a exp FA a FA (3.2) Se lembrarmos agora que a FA = n e que a = n =, a equação (3.2) se ransforma em: F n ( ) = F a = n exp FA (3.3) n A equação (3.3) nos nforma que quando exsr uma dsrbução de vda Webull que represene um deermnado nível de ensão qualquer, enão a dsrbução de vda em qualquer ouro nível de ensão suado denro do nervalo no qual a condção de aceleração lnear se manenha, será ambém Webull. O parâmero de forma se manerá o mesmo nas condções de ese normal ou acelerado, ao passo que o parâmero de escala na condção de ese normal será gual ao parâmero de escala na condção de ese acelerado mulplcado pelo faor de aceleração. A mporânca do parâmero de forma maner o mesmo valor ano para a condção de ese acelerado como para a de ese normal é a de jusfcar a condção de aceleração lnear real e de o modelo Webull ser o adequado para represenar a população de dados presenes na amosra sendo esada. Na verdade, se dferenes níves de ensão esvessem produzndo fguras com valores muo dferenes para o parâmero de forma, enão ou não eríamos uma aceleração lnear verdadera, ou enão a dsrbução Webull sera o modelo errado para represenar os dados sendo analsados. A função falha nsanânea de uma dsrbução Webull de dos parâmeros vara quando o ese de vda for acelerado. De fao, para uma condção de aceleração do ese, a função falha nsanânea será dada por: h a ( ) = a a (3.4)

38 37 Sabendo que n = a FA, a função falha nsanânea para uma condção normal de ese será dada por: h n ( ) = a FA a FA = a (FA) a = ( ) h a (3.5) (FA) Como podemos observar, ocorreu uma mudança lnear na função falha nsanânea sob condção acelerada de ese h a ( ). Quando a mesma for mulplcada pelo faor (FA), eremos como resulado a função falha nsanânea sob condção normal de ese h n ( ). Apenas quando o parâmero de forma for gual a um (), o caso da dsrbução exponencal, o faor mulplcavo será dado pela relação FA. O faor de aceleração FA poderá ser esmado pela relação: FA = n a (3.6) Geralmene, o parâmero de escala ou vda caracerísca deverá ser esmado em dos níves dferenes de ensão (emperaura, cclos, qulômeros, ec.), e a relação enre ambas as esmavas de rá fornecer o valor procurado para o faor de aceleração FA. 3.3 MODELO DE TESTES DE VIDA COM O QUAL A TEMPERATURA É O MECANISMO PRESENTE DE ACELERAÇÃO Nelson (982) nroduzu os modelos de exposção cumulava menconados anerormene nos quas, se conhecendo os parâmeros de escala para as dsrbuções de vda em dos níves dferenes de ensão, medaamene poderíamos calcular o respecvo faor de aceleração FA enre essas duas ensões. Por ouro lado, se o faor de aceleração enre um ese de vda acelerado e um sob condção normal de uso fosse anecpadamene conhecdo, enão sera possível converer os resulados obdos no ese acelerado para projear as axas de falhas esperadas sob condção de uso normal do produo sendo esado. Geralmene sso é o que feo

39 38 para monorar a confabldade de populações ou loes em uma base ndvdual. Mas o que fazer quando o faor de aceleração enre um ese acelerado e um em condção normal não for conhecdo, e dados de falhas somene poderão ser obdos em um empo razoável sob condção de aceleração? A solução vável sera a de ulzarmos os dados obdos do ese acelerado, vsando ajusá-lo a um modelo aproprado que perma exrapolar esses resulados para uma condção de ensão normal. Exsem város modelos enconrados na leraura cenífca que esão sendo ulzados com elevado sucesso na modelagem da aceleração de város componenes e de város mecansmos de falhas. Esses modelos são geralmene desenvolvdos em uma forma deermnísca, ou seja, aquela na qual o empo decorrdo aé a ocorrênca de uma falha é uma função exaa do nível de ensão operaconal exsene no processo. O empo ocorrdo aé a ocorrênca de uma falha é uma varável aleaóra, a qual não é possível de ser prevsa com exadão anes da ocorrênca da falha. Por ouro lado, a aceleração é equvalene à mulplcação do parâmero de escala de uma dsrbução de vda por um deermnado faor. Desse modo, remos nerprear um modelo de aceleração como sendo uma equação, a qual calcula o parâmero de escala ou percenl de cera dsrbução como sendo uma função da ensão operaconal. Ouro fao que devemos er em mene é o de que, em geral, mecansmos de falhas dferenes possuem dferenes dsrbuções de vda. Desse modo, eles poderão er ambém dferenes modelos de aceleração. Ao avalarmos a axa de falhas de um deermnado componene, ulzando o modelo de falhas pernene, analsamos cada po e mecansmo de falhas exsene separadamene, sendo que a axa de falhas do componene analsado será enão a soma de odas as axas de falhas ndvduas de cada mecansmo analsado. Um componene poderá vr a falhar de váras maneras. Por exemplo, um deermnado mecansmo de falhas poderá esar relaconado com uma reação químca, e ser acelerado pela varação de emperaura. Um componene que possua esse po de modo de falhas poderá ambém vr a falhar devdo a uma corrosão do meal, a qual poderá vr a ser alamene dependene da volagem e da umdade, além de depender da emperaura. Ao mesmo empo poderá exsr um modelo de

40 39 falha mecânca por fadga, a qual dependerá da presença de esforços cíclcos repevos. Cada um desses modos ou pos de falhas rá apresenar modelo de aceleração compleamene dferene um do ouro, e deverão, porano ser analsados separadamene. 3.4 O MODELO DE ARRHENIUS Quando apenas a ensão érmca se consu em um faor de aceleração, um modelo empírco, conhecdo como o modelo de Arrhenus, em sdo ulzado com relavo sucesso como um modelo de aceleração. O modelo de Arrhenus esá dado pela equação () abaxo: R rae = e E KTn + C (3.7) Nessa equação, R rae represena a axa de reação, E represena a energa de avação da reação, K é a consane de gás (,986 caloras por mol), T n é a emperaura em graus Kelvn (273,6 mas o grau Cenígrado correspondene) em condções normas de uso, e C represena uma consane. O faor de aceleração AF 2/ (ou a razão das axas específcas de reação R 2 /R ), obdas em duas dsnas emperauras de aceleração T 2 e T, será dado por: AF 2 / = R E KT2 + C 2 e = R E KT + C e E = exp (3.8) K T T 2 Aplcando-se o logarmo naural a ambos os lados dessa equação e após alguma manpulação maemáca, chega-se a: ln ( AF 2/ ) = R 2 E ln = R K T T 2 (3.9) A perguna que se faz é a de que como uma equação como a equação (3.9) acma fo desenvolvda? Talvez ela possa ser relaconada com a conhecda Maxwell Dsrbuon Law. Essa le, a qual expressa a dsrbução de energas cnécas de moléculas, é dada pela segune equação:

41 4 M TE = M o e E KT (3.2) Aqu, M TE represena o número de moléculas exsenes em uma deermnada emperaura absolua Kelvn T, a qual passa uma energa cnéca maor do que E enre o número oal de moléculas presene, M o.; E é a energa de avação da reação e K represena a consane de gás (,986 caloras por mol). A equação (3.2) exprme a probabldade de uma molécula de gás possur uma energa maor do que E. A percenagem do número de moléculas possundo energa E em duas dferenes emperauras será dada por: MTE (2) MTE () = E KT e 2 E KT e Aplcando-se o logarmo naural a ambos os lados dessa equação e após alguma manpulação maemáca, obemos a segune relação: M (2) ln TE MTE () = E K, a qual é muo parecda com a equação (3.9). Aravés dessa T T 2 equação (3.9) esmamos o ermo E/K esando o produo ou componene em duas emperauras aceleradas dsnas e calculando o faor de aceleração em relação às dsrbuções pernenes. Enão; E ln ( AF ) = K 2 / T2 T (3.2) O faor de aceleração AF 2/ será dado pela relação / 2, com represenando um parâmero de escala ou anda um percenual relavo a uma emperaura de ensão T. Logo que o ermo E/K for calculado, o faor de aceleração AF 2/n a ser aplcado em uma emperaura de ensão normal poderá ser obdo da equação (3.8) aravés da subsução da emperaura de ensão T pela emperaura de ensão normal de uso Tn. Logo: E AF 2/ n = exp (3.22) K Tn T 2

42 4 Exsem algumas lmações ao uso da equação de Arrhenus: Incalmene, para odo a faxa de emperaura ulzada no ese orna-se necessára a obenção de axas lneares específcas de varação. Isso acarrea a necessdade de que a axa de reação, ndferenemene se a mesma é medda ou represenada, permaneça consane durane o período de empo no qual o processo de envelhecmeno é avalado. Agora, se a axa esperada de reação ver a varar durane a realzação do ese de vda, enão não será possível se denfcar uma axa específca que seja referda a uma emperaura específca. Se o mecansmo de reação for dferene em emperauras mas elevadas ou menos elevadas, sso ambém deverá alerar o valor do parâmero de forma da dsrbução de vda do componene sendo esado. Em segundo lugar, orna-se necessáro que a energa de avação seja ndependene da emperaura, ou seja, permaneça consane em odo o nervalo das emperauras ulzadas durane o ese. Aconece que, de acordo com Chorne e Roy (98) a aparene energa de avação não é sempre consane, especalmene quando exse mas de um processo se desenvolvendo durane o ese de vda. 3.5 MODELOS DE TESTES DE VIDA COM VÁRIOS MECANISMOS OU TIPOS DE ACELERAÇÃO O modelo ou equação de Arrhenus ulza uma equação empírca, não possundo uma dervação eórca. Seu uso enconra jusfcava no fao de que muas das vezes ele funcona, ou seja, consegue represenar uma suação de aceleração na qual o únco ou prncpal faor de aceleração presene é a emperaura. De acordo com Tobas (986), quando ouros faores de aceleração esverem presenes, como a volagem ou pressão, ou mesmo se o mecansmo de reação exsene em emperaura normal varar em relação ao exsene em emperauras mas elevadas, o que mplcara em valores dferenes para o parâmero de forma, o modelo de Arrhenus não consegue represenar essas suações. Suações como essas acma descras deverão ser represenadas por ouros modelos de aceleração.

43 O Modelo de Eyrng Em suações nas quas além da emperaura, ouros pos dferenes de faores de aceleração esverem presenes, o modelo de Eyrng fornece uma solução geral para esse caso. Esse modelo possu uma dervação eórca aravés da mecânca quânca. O modelo de Eyrng será dado por: k = A α T e B T exp CS (3.28) k é o percenual que será esmado da dsrbução de vda do processo, A, α, B e C são consanes, as quas deverão ser esmadas aravés de dados do ese de vda S sendo desenvolvdo, represena um segundo faor de aceleração. Na equação (3.28), o ermo AT α e B T esá relaconado com a emperaura, ao passo que o exp CS ermo segune é a forma geral para adconarmos ao ese de vda qualquer ouro po de ensão ou aceleração. A consane B poderá ser calculada aravés da equação (3.2). O ermo AT α e B T, com exceção do faor α T, se compora como o modelo de Arrhenus. Se a consane α apresenar um valor próxmo de zero, ou se o nervalo no qual o modelo eseja sendo aplcado for pequeno, enão o faor α T apresenará um valor próxmo do valor para odas as emperauras analsadas. Desse modo, erá um mpaco muo pequeno, podendo porano seu valor ser absorvdo pela consane A, sem alerar o valor práco da equação (28). No caso de não exsr um segundo faor de aceleração ou ensão, ou seja, no caso do ermo exp CS não exsr, a semelhança exsene enre a equação (3.28) e o modelo de Arrhenus é muo aparene. Esse fao explca a razão do modelo de Arrhenus represenar ão bem a suação de aceleração quando apenas a emperaura eseja auando como agene acelerador ou de ensão. Na realdade, o modelo empírco de Arrhenus é uma smplfcação muo úl do modelo eorcamene desenvolvdo por Eyrng. O faor de aceleração para esse modelo será dado por:

44 43 FA = AT 2 A T α α exp exp [ ( B T )] exp[ C S ] 2 2 [ ( B T )] C S ], ou seja: FA = T 2 T α expb T T 2 exp C S S (3.29) 2 Como vmos, para aplcar esse modelo, esmar as quaro consanes desse modelo é necessáro de pelo menos de quaro resulados numércos em dos níves de emperaura dferenes cada e ambém de dos níves dferenes de ensão ou aceleração. Preferencalmene, deveríamos er mas resulados além desse valor mínmo, de modo a podermos avalar a adequação da ajusagem do modelo para as condções exsenes. Torna-se óbvo que planejar e desenvolver uma experênca desse amanho não é uma arefa de fácl realzação. Enreano, o modelo de Eyrng consu uma alernava vável para esses pos de problemas de aceleração. 3.6 MODELOS DE DEGRADAÇÃO No caso de produos que possuam um deermnado parâmero que eseja se deerorando ou degradando com o passar do empo em dreção a um nível defndo como sendo o nível de falhas, enão alvez seja possível se prever o empo esperado de falha pela exrapolação da degradação em relação ao desempenho desse parâmero com o passar do empo. O desempenho poderá ser avalado ano em condção de operação ou ensão normal como em condção de aceleração ou ensão aumenada. Torna-se necessáro a especfcação de um nível críco de desempenho que venha resular na ocorrênca de uma falha. Como exemplos de processos de degradação emos a corrosão, a propagação de rncas, o envelhecmeno e o período de valdade de produos farmacêucos. Uma ferramena esaísca, a análse de regressão, poderá ser ulzada para desenvolver modelos empírcos que relaconem a degradação com o desempenho com o passar do empo. A relação mas smples exsene é a lnear, dada por x = a b, onde x represena o desempenho a ser avalado (ou geralmene o logarmo do desempenho a ser avalado), a e b são consanes a serem deermnadas expermenalmene, e represena o empo oal que um produo é submedo a um deermnado nível consane de aceleração ou ensão. No caso de x represenar o

45 44 nível de aceleração ou de ensão no qual uma falha ocorrerá, enão o empo aé a ocorrênca da falha,, será dado por: = a x b (3.3) Esse empo aé a falha será raado como sendo um valor parcular ou ípco. Ele poderá ambém ser nerpreado como sendo o valor esperado ou a medana de uma deermnada dsrbução de falhas. De uma manera alernava, uma amosra com um número n de ens poderá ser esada, o desempenho sendo avalado váras vezes para cada undade, e lnhas de regressão poderão ser ajusadas para cada undade. Como resulado eremos uma amosra com n empos de falhas prevsos. Para submeermos a um ese de vda um componene ou um produo sujeo a um mecansmo de degradação, poderemos submeer algumas undades desse componene ou produo a uma suação de degradação. Para cada undade esada poderíamos medr a perda por degradação durane dferenes períodos de empo. O ese de vda deverá ermnar quando um deermnado nível críco de desempenho da caracerísca sendo analsada for alcançado, após o qual o componene ou produo não é mas esruuralmene confável. Enreano, para deermnados pos de maeral meálco sujeo a uma suação de corrosão amosférca, o empo necessáro para que a degradação se orne naceável pode ser muo longo. O período de empo dsponível para se realzar o ese de vda poderá ser consderavelmene menor do que o empo necessáro para se angr um deermnado nível críco de desempenho. De Souza e Fonseca (29) analsam essa suação ulzando dados obdos de um ese de vda de um modelo de degradação proposo por Ebelng (997), relaconado com a corrosão amosférca. Na aplcação desse modelo, fo calculado a Taxa de Peneração da Corrosão (CPR), a qual mede a espessura de perda de maeral por undade de empo. Esse modelo esá represenado pela equação (3.3) abaxo:

46 45 CPR = ( ) w δ (3.3) Na equação (3.3) acma, w() represena a perda de peso devdo à corrosão amosférca após um período de anos de exposção em MG/cm 2 (mlgramas por cenímero quadrado); δ represena a densdade do maeral em g/cm 3 ; é o empo de exposção em anos. A consane / convere CPR para mm/ano. Na aplcação do modelo de Ebelng (997), undades do produo são submedas a um ese de vda em condções ambenas normas que favorecem o desenvolvmeno da corrosão. Enão, após um deermnado período de empo, avala-se a perda de peso w( ) calculando-se a segur o CPR aravés do uso da equação (3.3). Agora, se k j represena a perda máxma permda em mm, após a qual o produo não é mas esruuralmene confável, poderemos enão calcular o empo esperado E( j ) correspondene a essa perda máxma permda. Desse modo, eremos: ( ) k j E j = (3.32) CPR Na aplcação desse modelo, foram calculadas as axas de peneração da corrosão após ses meses e um ano de exposção ao meo ambene de chapas de aço. Em seguda, foram ulzadas essas axas para calcular axas esperadas de peneração da corrosão para dos e quaro anos ulzando o modelo proposo por Ebelng. Quando comparamos esses resulados obdos do ese de vda com as perdas esmadas calculadas pelo modelo de Ebelng, foram verfcadas para odas as rês condções ambenas analsadas nesse rabalho (urbano-ndusral, rural e maríma), o modelo de degradação proposo por Ebelng (997) eve um desempenho muo rum em esmar os empos esperados aé a falha para os rês pos de aço esados; aço de ala ressênca e baxa lga (Cor-Ten A e B), aço ao Carbono e aço ao Cobre. Os auores concluíram que o modelo proposo por Ebelng não leva em consderação faores mporanes, as como: emperauras médas, méda anual de precpação, e níves médos de umdade. Talvez em condções conroladas de um laboraóro, o modelo de Ebelng possa vr a ser úl na deermnação de axas de

47 46 corrosão esperadas relaconadas com o empo de exposção, com um nível aceável de precsão. 3.7 MODELOS DE DEFORMAÇÃO OU ESTRAGO ACUMULATIVO Se a deformação ou esrago de um componene acumular connuamene, o que levará o componene a vr a falhar, e se o percenual ou axa de deformação ou esrago depender apenas da quandade de deformação ou esrago e não de qualquer ouro fao decorrdo com o componene sendo analsado, enão a generalzação segune da regra de Mner poderá ser ulzada. n V = = (3.36) é o período de empo que o componene será submedo a um nível de ensão ; V represena a vda esperada do componene submedo a um nível de ensão. A regra de Mner possu a segune forma geral: k N = n = (3.37) n é o número de cclos que o componene será submedo a um nível de ensão ; N represena o número de cclos aé a falha no mesmo nível de ensão. O valor de N é deermnado aravés da curva de fadga N-S, onde N represena o número de cclos aé a falha; S represena a magnude da ensão cíclca, medda geralmene em PSI, ou seja, lbras por polegadas quadradas ( n 2 ) lb. Para a aplcação do modelo dado pela equação (3.36), consdere dos níves de ensão dsnos: represenando um nível normal de ensão; 2 represenando

48 47 um nível elevado de ensão. V 2 V 2 + =. Enão, ulzando-se a equação (3.36), eremos Logo, o valor de 2 será dado por: 2 V = 2 V 2 V (3.38) A equação (3.38) é conhecda como sendo a lnha de falha, devdo ao fao de que qualquer combnação de empos sob ensão ( ; ) lnha rá resular em uma falha. Na deermnação do valor de que eseja sobre essa 2 V 2, o empo esperado de vda do componene submedo a um nível de ensão 2, esa-se o componene em um nível elevado de ensão (nível 2) aé a ocorrênca da falha ( V ). Após sso, 2 para se deermnar um segundo pono sobre essa lnha de falha, esa-se o componene ncalmene durane um empo em um nível de ensão normal (nível ), em seguda esa-se o componene em um nível de ensão elevado (nível 2) aé a ocorrênca da falha no empo. Logo, ulzando-se a equação (3.38), 2 V, o empo esperado de vda do componene submedo a um nível de ensão (normal), será dado por: V = V 2 V 2 2 (3.39) 3.8 MODELOS COM TENSÕES AUMENTADAS CONTINUADAMENTE Nesses pos de modelos de eses de vda acelerados, o ese se nca em uma condção normal de uso. Após um deermnado período de empo, o nível de ensão submedo ao produo ou componene sendo esado é aumenado. Esses aumenos conínuos de ensão serão mplemenados aé que odas os componenes sendo esados venham a falhar. A prncpal condção assumda no desenvolvmeno desse po de ese é a de que o aumeno no nível de ensão será equvalene a uma mudança lnear na escala de empo. Esses modelos são mas complexos do que os

49 48 modelos com ensões consanes. Nelson (99) analsa város modelos de ensões aumenadas connuadamene e a análse dos resulados obdos, bem como apresena uma abordagem dealhada relava a eses de vda acelerados. 3.9 OUTROS MODELOS DE ACELERAÇÃO Exsem muos ouros modelos de aceleração, alguns deles sendo smplfcações do modelo de Eyrng que conseguram represenar com sucesso deermnado produo ou servço submedos a dferenes formas de ensão ou aceleração. Um modelo muo úl aplcado em falhas por elero-mgração ulza a densdade de correne elérca como um parâmero chave de aceleração ou ensão. Esse modelo é o dado por: k = A L n e B T (3.4) B = E 8,67 5 ; L represena a densdade da correne; n, uma consane, geralmene é gual a 2. Modelos relavos a falhas de ordem mecânca, geralmene causadas por rncas e fadga ou deformação do maeral, possuem componenes relaconados com cclos de ensão ou mudanças na emperaura ou frequênca de uso. O modelo segune, resulane de uma modfcação do modelo de Coffn-Manson, ulzado para avalar rncas de soldas sob ensão causada por varações cíclcas repevas de emperauras (como no caso de um componene elerônco, o qual recebe num momeno energa e no próxmo não recebe), se consu em exemplo de um modelo relavo a falhas de ordem mecânca. Esse modelo será dado por: C f = A α f ( T) ϕ ( ) H T max (3.4) C f represena o número de cclos para a ocorrênca de um deermnado percenual de falhas; f é a frequênca dos cclos; T represena o nervalo de emperaura; H é um faor que depende da emperaura máxma alcançada em um cclo; α e ϕ são

50 49 consanes, as quas deverão ser esmadas aravés de dados do ese de vda sendo desenvolvdo. 3. CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE OS TIPOS DE TESTES DE VIDA ACELERADOS. Ao analsarmos eses de vda acelerados, orna-se mporane noarmos que, na consrução de modelos, procedmenos do po enava e erro, ulzando como abordagem ncal o uso de um modelo Eyrng compleo e, aravés da enava de ajusagem de dados, modfcá-lo, deverá apenas ser enado como um úlmo recurso. Um expermeno baseado nessa abordagem provavelmene deverá ser alamene dspendoso e com ala probabldade de fracasso. Será muo melhor se er um modelo em mene anes de se planejar a experênca. Esse modelo a ser esado deverá er sdo desenvolvdo a parr de esudos eórcos do mecansmo de falha, ou enão, aravés de uma pesqusa na leraura sobre o que em sdo usado nesse caso em esudo. O modelo mas smples que possa ser enconrado ou dervado é o que deverá ser ulzado. A ulzação deverá ser manda aé quando esse modelo consegur calcular valores que sejam guas aos resulados obdos de experêncas e fazer esmações que não sejam conradas pela experênca. Em relação ao modelo de Arrhenus, exsem váras lmações báscas para o seu uso. De acordo com Gray (977), orna-se necessáro a obenção, para odas as faxas de emperauras ulzadas no ese acelerado, de axas ou percenuas específcos de varação lnear. Por sso se enende que a axa de reação, endo sdo medda ou represenada, necessa ser consane durane odo o período de empo no qual o processo de envelhecmeno ou deeroração esá sendo avalado. Se a axa aparene de reação ver a varar durane o período de empo de aplcação do ese de vda, enão não será possível se denfcar uma axa específca de reação que seja relaconada com uma emperaura específca. Se o mecansmo de reação em emperauras elevadas ou baxas de ese varar, sso rá ambém alerar o valor do parâmero de forma da dsrbução de vda presene, com sso mpossblando o uso da equação de Arrhenus. De acordo com Edge e al(992), a obenção de dados de axas de falhas em dversas emperauras consu, sem a menor dúvda, uma arefa das mas demoradas, o que orna o ese de Arrhenus não práco para

51 5 uma rona de repeção de um ese de vda. Agrawal (985) desacou como lmação mporane o fao da equação de Arrhenus ser aplcada apenas em condções de reação ou aceleração homogena, não possundo quase nenhuma sgnfcânca em reações no esado sóldo. Feller (994) apresena váras lmações ao uso da equação de Arrhenus. Vale desacar que, o prncpal problema enconrado na ulzação de eses de vda acelerado; o de como relaconar a axa de falha obda no ese acelerado, no qual o produo ou ssema é submedo a um nível aumenado (elevado) de ensão, com a verdadera axa de falhas que o mesmo vrá a apresenar quando em uso sob condções normas de ensão. Por sso, que o modelo a ser ulzado em um ese de vda acelerado deva ser o modelo mas smples que possa ser dervado da eora exsene.

52 4 METODOLOGIA E COMPONENTES UTILIZADOS NESSE ESTUDO 4. DISTRIBUIÇÕES DA FAMÍLIA DE VALORES EXTREMOS WEIBULL E WEIBULL INVERTIDA DE TRÊS PARÂMETROS A dsrbução de amosragem Webull de rês parâmeros é largamene ulzada como um modelo de falhas, parcularmene para componenes mecâncos e mealúrgcos. Essa dsrbução é rca em forma, o que a orna apa a represenar de uma manera adequada o padrão de varedade de muas suações enconradas na ndúsra. Essa dsrbução possu um parâmero de localzação ou vda mínma, um de escala e um de forma. A função densdade do modelo Webull de rês parâmeros é dada por: f ( ) = ϕ ϕ exp ; ;,, ϕ > (4.) O parâmero de escala (a vda caracerísca) é posvo, e represena o pono percenual 63,2 da dsrbução de T. O parâmero de forma, o qual é ambém posvo, especfca a forma da dsrbução. O parâmero de vda mínma φ é ambém posvo e será sempre menor do que o prmero empo de falhas. O modelo Webull Inverdo fo desenvolvdo por Pascoal Ero (982). Essa dsrbução em sdo muo empregada em esmação Bayesana da confabldade de dversos produos para represenar oda a nformação dsponível acerca do parâmero de forma de uma dsrbução de amosragem Webull, como em Ero (982), De Souza e Lamberson (995). Ela possu ambém um parâmero de forma, um de escala e um de vda mínma. O modelo Webull Inverdo em sdo ambém ulzado na esmação da confabldade de produos elerôncos, suação na qual

53 52 parece oferecer uma melhor resposa ao problema de precsão apresenado pelo modelo Webull, como mosrado por De Souza (25). Aconece que quando o valor do parâmero de forma do modelo Webull for maor do que see, a curva Webull se orna muo cônca (em forma de pco), acarreando cera dfculdade compuaconal (precsão) no cálculo dos valores das caraceríscas de neresse do componene sendo analsado. Essa dfculdade resula do fao de que no caso da ulzação dos modelos Webull e Webull Inverdo como dsrbuções de amosragem, orna-se necessáro o emprego de negração numérca para o cálculo dos valores dessas caraceríscas desejadas. A função densdade do modelo Webull Inverdo de rês parâmeros é dada por: f ( ) = + exp ; ;,, ϕ > (4.2) ϕ ϕ 4.2 O FATOR DE ACELERAÇÃO A Le de Dsrbução de Maxwell, a qual expressa a dsrbução de energas cnécas de moléculas, é dada pela segune equação: M TE = M E KT o e (4.3) Aqu, M TE represena o número de moléculas exsenes em uma deermnada emperaura absolua Kelvn T, a qual passa uma energa cnéca maor do que E enre o número oal de moléculas presene, M o.; E é a energa de avação da reação e K represena a consane de gás (,986 caloras por mol). A equação (4.3) exprme a probabldade de uma molécula de gás possur uma energa maor do que E. O faor de aceleração AF 2/, correspondene a duas emperauras dferenes de ensão T 2 e T, será dado pela relação enre o número de moléculas possundo energa de avação E nessas duas emperauras dsnas, ou seja: AF 2/ = M M TE TE (2) () E = exp (4.4) K T T 2

54 53 Aplcando-se agora o logarmo naural a ambos os lados da equação (4.4) e após alguma manpulação algébrca, obém-se: ln ( AF 2/ ) = M (2) ln TE MTE () (4.5) Ou anda, no caso do faor de aceleração ser a emperaura, em-se a segune relação: E ln ( AF 2/ ) = K T T 2 (4.6) Da equação (4.6) pode-se esmar o ermo E/K esando o produo em duas emperauras de ensão dferenes e calculando o faor de aceleração relavo às dsrbuções de amosragem. Desse modo,em-se: E ln ( AF ) = K 2/ T2 T (4.7) O faor de aceleração AF 2/ será dado pela relação enre / 2, com represenando um parâmero de escala ou um percenl de um nível de ensão correspondene à emperaura T. Uma vez que o ermo E/K for deermnado, o faor de aceleração AF 2/n a ser ulzado em uma emperaura de ensão normal poderá ser obdo da equação (4.7) aravés da subsução da emperaura de ensão T pela emperaura correspondene a uma condção normal de uso T n. Logo: E AF 2/ n = exp (4.8) K Tn T 2 De Souza (25) mosrou que sob uma hpóese de aceleração lnear, se uma dsrbução Webull Inverda de rês parâmeros represenar a dsrbução de vda de um deermnado produo ou componene em um nível de ensão específco, enão um modelo Webull Inverdo de rês parâmeros rá ambém represenar a dsrbução de vda desse produo ou componene em qualquer ouro nível de ensão que se consdere. De uma manera geral, os parâmeros de escala e de vda

55 54 mínma poderão ser esmados aravés da ulzação de dos níves dferenes de ensão (por exemplo, emperaura ou número de cclos, ou qulômeros, ou pressão, ec.), e suas proporções rá fornecer o valor desejado para os faores de aceleração AF e AF ϕ. Logo: AF = n a (4.9) AF ϕ = ϕn ϕa (4.) De acordo com De Souza (25) e (26), para os modelos de rês parâmeros Webull Inverdo e Webull, as funções de dsrbução cumulava em uma condção normal de uso F n ( n ϕ n ) correspondene a um cero empo de ese = n, serão respecvamene dadas por: ( ϕ ) Fn n n = n n exp AF ϕ AF n n AF (4.) ( ϕ ) Fn n n = ϕ n n exp AF AF n n (4.2) As equações (4.) e (4.2) nos nformam respecvamene que, ao assumrmos uma condção de aceleração lnear, e se um modelo Webull Inverdo ou Webull de rês parâmeros represenarem a dsrbução de vda de um deermnado produo ou componene em um nível de ensão específco, enão um modelo Webull Inverdo ou Webull de rês parâmeros rá ambém represenar a dsrbução de vda desse produo ou componene em qualquer ouro nível de ensão que se consdere. O valor do parâmero de forma permanece o mesmo ao passo que os parâmeros acelerados de escala e de vda mínma serão mulplcados pelo faor de aceleração. Um mesmo valor para o parâmero de forma é uma consequênca maemáca necessára para que se enham as duas ouras

56 55 suposções; ou seja, assumr-se um modelo de aceleração lnear e uma dsrbução de amosragem Webull Inverdo ou Webull de rês parâmeros. Caso dferenes níves de ensão produzr dados com parâmeros de forma muo dferene uns dos ouros, enão ou não se em uma condção de aceleração lnear ou os modelos Webull Inverdo ou Webull de rês parâmeros não são adequados para represenarem os dados obdos relaconados com um deermnado produo ou unverso. 4.3 AS SITUAÇÕES DO TESTE DE HIPÓTESES As suações do ese de hpóeses foram dadas por Kapur e Lamberson (977) e por De Souza (2).. Para o parâmero de escala : H : ; H : < A probabldade de se acear a hpóese nula H será fxada em (-α) no caso do parâmero de escala da população for gual ao parâmero de escala da hpóese nula ( = ). Agora, no caso do parâmero de escala da população for gual ao parâmero de escala da hpóese nula ( = ), sendo anda <, enão a probabldade de se acear a hpóese nula H será fxada em um nível pequeno γ. 2. Para o parâmero de forma : H : ; H : < A probabldade de se acear a hpóese nula H será fxada em (-α) no caso do parâmero de forma da população for gual ao parâmero de forma da hpóese nula ( = ). Agora, no caso do parâmero de forma da população for gual ao parâmero de forma da hpóese nula ( = ), sendo anda <, enão a probabldade de se acear a hpóese nula H será fxada em um nível pequeno γ. 3. Para o parâmero de vda mínma ϕ: H : ϕ ϕ ; H : ϕ < ϕ Novamene, a probabldade de se acear a hpóese nula H será fxada em (-α) no caso do parâmero de vda mínma da população ϕ for gual ao parâmero de vda mínma da hpóese nula ϕ (ϕ = ϕ ). Agora, no caso do parâmero de vda mínma da população ϕ for gual ao parâmero de vda mínma da hpóese nula ϕ (ϕ

57 56 = ϕ ), sendo anda ϕ < ϕ, enão a probabldade de se acear a hpóese nula H será uma vez mas fxada em um nível pequeno γ. 4.4 O TESTE DE VIDA SEQUENCIAL De acordo com Kapur e Lamberson (977) e De Souza (2), para os modelos Webull e Webull Inverdo de rês parâmeros, a relação sequencal probablísca (SPR) será dada por SPR = L,,, N/L,,, n. a) Modelo Webull de rês Parâmeros. De acordo com De Souza (23), para o modelo Webull de rês parâmeros, eremos: SPR= n ( ) ( ) = φ φ n ( ) ( ) φ φ = n exp A regão conínua será dada por A < SPR < B, onde A = γ / (-α); B = (-γ) /α. Iremos acear a hpóese nula H se SPR B e remos rejear H se SPR A. Agora, no caso de A <SPR< B, analsaremos mas uma observação. Enão: ( ) α γ < n ( ) ( ) = φ φ n ( ) ( ) φ φ = n exp < ( ) α γ Tomando-se os logarmos nauras de odos os ermos da equação acma e após alguma manpulação algébrca, obém-se:

58 57 ln n ( ) α γ ln < X < ln n + ( ) γ α ln (4.3) X = ( ) ( ) = φ φ n ( ) ( ) = φ n ln + + ( ) ( ) = φ n ln (4.4) b) Modelo Webull Inverdo de rês Parâmeros. De acordo com De Souza (22), para o modelo Webull Inverdo de rês parâmeros, a relação sequencal probablísca (SPR) será dada por: SPR = n ϕ ϕ ϕ ϕ + + exp exp, ou anda; SPR = n ( ) ( ) = ϕ ϕ + + n ( ) ( ) ϕ ϕ = n exp A regão conínua será dada por A < SPR < B, onde A = γ / (-α); B = (-γ) /α. Deveremos acear a hpóese nula H se SPR B e remos rejear H se SPR A. Agora, no caso de A <SPR< B, analsaremos mas uma observação. Logo:

59 58 ( ) α γ < n ( ) ( ) = ϕ ϕ + + n ( ) ( ) ϕ ϕ = n exp < ( ) α γ Tomando-se uma vez mas os logarmos nauras de odos os ermos da equação acma e após alguma manpulação algébrca, em-se: ln n ( ) α γ ln < X < ln n + ( ) γ α ln (4.5) X = ( ) ( ) = ϕ ϕ n ( ) + ( ) = φ n ln + + ( ) + ( ) = φ n ln (4.6) 4.5 O ESTIMADOR DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA PARA OS MODELOS WEIBULL E WEIBULL INVERTIDO DE TRÊS PARÂMETROS: TRUNCAGEM POR FALHAS a) Modelo Webull de rês Parâmeros O esmador de máxma verossmlhança (maxmum lkelhood) para os parâmeros de forma, de escala e de vda mínma de uma dsrbução de amosragem Webull de rês parâmeros, em uma suação de ese de vda runcado por falhas, será dado por:

60 59 r = L ( ; ; ϕ) =k! f ( ) [ F( )] =k! f ( ) [ R( )] r n r r = r n r ; > (4.7) Com f ( ) = ( ϕ) ( ϕ e ) e com R ( ) = ( ϕ e ) r r, em-se: ( ; ; ϕ) L = k! r r r = ( ϕ) r ( ϕ ) e = ( r ϕ ) e n r A função log-smlhança L = [ L( ; ; ϕ) ] L = ( k) ln será dada por: ln + r ln( ) r ln( ) + ( ) ( ϕ) r r ln ϕ = = n r ϕ ( r) Para enconrarmos os valores de, e ϕ que maxmzem a função logsmlhança, oberemos as dervadas em função de, e de ϕ fazendo essas equações guas a zero. Enão, aplcando alguma álgebra, oberemos: dl d r = + r = + ( ϕ) + ( n r)( ϕ) r + = (4.8) dl d r = r ln( ) + ( ) ϕ r r ln ϕ = = ϕ ln ( n r) r ϕ ϕ ln r = (4.9) dl dϕ = ( ) r ( ϕ ) = + r = ( ϕ) + ( n r)( ϕ) r = (4.2)

61 6 Da equação (4.8), eremos: = r = ( ϕ) + ( n r)( ϕ) r r (4.2) Veja que quando =, a equação (4.2) se reduzrá ao esmador de máxma verossmlhança para a dsrbução exponencal de dos parâmeros. Subsundo agora a equação (4.2) para nas equações (4.9) e (4.2) e aplcando alguma álgebra, as equações (4.9) e (4.2) se ransformam em: r + ( ϕ ) r r ( ) ( ) ( )( ) ( ) r ϕ ln ϕ + n r r ϕ ln r ϕ = ln = (4.22) r = ( ϕ) + ( )( ϕ) n r r = r ϕ + n r = r ( ) ( )( ϕ) r ( ) r ( ϕ) = + r = (4.23) = + ( ϕ) + ( n r)( r ϕ) O problema se reduzu ao de se ober uma solução smulânea para as duas equações neravas (4.22) e (4.23). A solução smulânea de duas equações neravas pode parecer um problema relavamene smples, quando comparado com a árdua arefa de se resolver smulaneamene rês equações neravas, como descro por Harer e al., (965). Em uma suação como essa, uma possível smplfcação par se ober esmadores quando os valores de odos os rês parâmeros são desconhecdos sera aravés do mecansmo proposo por Ban (978), por exemplo, supondo que ˆ e ˆ represenem bons esmadores lneares sem endêncas (sgla nernaconal represenada por GLUEs) do parâmero de forma

62 6 e do parâmero de escala relavos a um deermnado valor fxo da vda mínma φ. Sera possível se escolher um valor ncal para φ vsando ober os esmadores ˆ e ˆ, ulzando-se a segur esses dos valores na equação (4.7), ou seja, a equação do esmador Maxmum Lkelhood para o parâmero de vda mínma φ. Pode-se enão se ober da equação (4.23) um esmador ϕ, em seguda pode-se recalcular os esmadores GLUEs de e de relavos a esse novo esmador ϕ, e empregandose esses novos valores de e de na equação (4.23), ober-se um novo esmador para a vda mínma φ. Connuando-se com essa neração, chegar-se-a a valores aproxmados para os esmadores do Maxmum Lkelhood. Como podemos observar, a vanagem de se ulzar os esmadores GLUEs é a de se er de resolver mplcamene apenas uma equação. A exsênca de soluções para o grupo acma de equações (4.22) e (4.23) em sdo frequenemene esudada por pesqusadores, pos se pode ober mas de uma solução para esse problema, ou mesmo anda não se ober nenhuma solução; veja o argo publcado por Zanaks and Kyparss (986). O méodo de esmação padrão da máxma verossmlhança (Maxmum Lkelhood) quando ulzado na esmação dos rês parâmeros do modelo Webull poderá apresenar problemas, devdo ao fao de que as condções de regulardade não serem obdas, veja Murhy e al., (24), Blschke, (974) e Zanaks and Kyparss, (986). Pesqusadores frequenemene êm dscudo a exsênca de soluções para o ssema aneror formado pelas equações (4.22) e (4.23), devdo poder-se er mas de uma solução para esse ssema, ou mesmo, nenhuma solução possível; veja Zanaks and Kyparss (986). Para se resolver esse problema de fala de regulardade, um dos méodos proposos por Cohen, e al. (984) é o de se subsur a equação (4.23) pela equação do valor esperado da vda mínma em relação ao prmero empo de falhas : n. E ( ϕ) = ϕ = n Γ + (4.24) Aqu, represena a prmera ordem esaísca de uma amosra de amanho De acordo com Cohen (975), semelhane ao mecansmo proposo por Ban (978), sob a suposção que o e o represenem respecvamene, adequados

63 62 esmadores lneares sem endêncas dos parâmeros e. Desse modo poderemos escolher um valor ncal para vda mínma ϕ com o objevo de se ober os esmadores ncas o e o, empregando-se em seguda esses dos valores na equação do esmador máxma verossmlhança, ou seja, na equação (4.7). Desse modo rependo essa logca chegaríamos a valores aproxmados dos valores reas dos parâmeros e. Desse modo, parndo-se da função densdade do prmero empo de falhas, essa equação (4.24) possu a segune dervação: A função densdade de ( ) será dada por: n f [ F( )] f ( ) = n. F( ) Agora, como R( ) = f ( ) [ ( )] n R, oberemos: = n f ( ). Para a dsrbução de amosragem Webull de rês parâmeros, eremos: ( ) n f = n ϕ ϕ exp O valor esperado de será dado por: n n ϕ ϕ E ( ) = ϕ exp d. ϕ Com U = ; d u = ϕ d ; d = du ; = U + ϕ ϕ Quando ; U ; Agora, quando ϕ; U. Logo: E( ) = n( U + ϕ) e nu d u = nu e nu d u + ϕ n e nu d u, onde

64 63 ϕ n e nu d u = [ ] ϕ nu e = ϕ[ ] = ϕ Na solução da negral nu e nu d z Z d u, faça Z = nu ; d u = ; U =. n n Quando U ; Z ; Quando U ; Z. Enão: Z E ( ) = n e z d z + ϕ = n Z e z d z + ϕ. Resolvendo-se essa negral, oberemos: ( ) E = = n Γ + + ϕ. Enão ϕ poderá ser enão esmada por: E ( ϕ) = ϕ = n Γ + Essa equação acma é a equação (4.24). Com dado pela equação (4.2), fnalmene eremos: r = ( ϕ) + ( n r)( ϕ) r n r Γ + = (4.25) Na solução das equações do esmador de máxma verossmlhança, remos ulzar essa sugesão proposa por Cohen e al., (984). Desse modo, o problema fo reduzdo à solução smulânea das duas equações neravas (4.22) e (4.25). b) Modelo Webull Inverdo de rês Parâmeros O esmador de máxma verossmlhança (maxmum lkelhood) para os parâmeros de forma, de escala e de vda mínma de uma dsrbução de amosragem Webull

65 64 Inverdo de rês parâmeros, em uma suação de ese de vda runcado por falhas, será dado por: r = n r L ( ; ; ϕ) = k! f ( ) [ F( )] = k! f ( ) [ R( )] r r = r n r ; > (4.26) Com f ( ) = ϕ + ϕ R r = exp e ( ) exp, r ϕ eremos: ( ; ; ϕ) L = k! r r r = ( ϕ) + r ( ϕ) e = ( r ϕ) e n r A função log-lkelhood L = [ L( ; ; ϕ) ] ln será dada por: r r ln = = L = ln ( k! ) + r ln( ) + r ln( ) ( +) ( ϕ) ϕ - ( n r) r ϕ Para enconrarmos os valores de, e ϕ que maxmzem a função loglkelhood, oberemos novamene as dervadas em funão de, e de ϕ e as faremos guas à zero. Enão, aplcando alguma manpulação algébrca, oberemos: dl d r = r = ϕ n = (4.27) r ϕ ( r) d r = + r ln ( ) ( ϕ) L d r r ln = = ϕ ln ϕ ( n r) r ϕ ln = (4.28) r ϕ dl dϕ = ( +) r ( ϕ) = r + = ϕ + ( n r) + = (4.29) r ϕ

66 65 Da equação (4.27), oberemos: = ( ) = ϕ + ϕ r r r n r (4.3) Veja agora que quando =, a equação (4.3) se reduzrá ao esmador de máxma verossmlhança para a dsrbução exponencal de dos parâmeros. Subsundo agora a equação (4.3) para nas equações (4.28) e (4.29) e aplcando alguma manpulação algébrca, as equações (4.28) e (4.29) se ransformam em: r ( ) = ϕ r ln + ( ) ( ) ( ) ( ) = = ϕ + ϕ ϕ ϕ + ϕ ϕ r r r r r r n ln r n ln r = (4.3) ( ) + ( ) = ϕ r ( ) ( ) = = + + ϕ + ϕ ϕ + ϕ r r r r r n r n r = (4.32) Para se resolver o problema de fala de regulardade apresenado na ulzação do esmador de máxma verossmlhança no caso do modelo Webull Inverdo, ulzaremos a mesma sugesão apresenada por Cohen, e al. (984) no caso do modelo Webull de rês parâmeros. Essa sugesão consse em se subsur a equação (4.32) pela equação do valor esperado da vda mínma em relação ao prmero empo de falhas : n 3 g ( ) ( ) + = k U,2 or 4 e U n + n j ϕ 3 g

67 66 k + = n = ; U ( e ) (,2 or 4) U = ϕ j ; j =, 2,, k (4.33) Novamene, represena a prmera ordem esaísca de uma amosra de amanho n. Parndo-se da função densdade do prmero empo de falhas, essa equação (4.33) possu a segune dervação: n A função densdade de será dada por: f ( ) = n [ F( )] ( ) f. F( ) Agora, como R( ) = f ( ) [ ( )] n R, oberemos: = n f ( ). eremos: Para a dsrbução de amosragem Webull Inverda de rês parâmeros, f( ) n = ϕ + exp ϕ n O valor esperado de será dado por: + n E ( ) = ϕ exp ϕ ϕ n d Fazendo U = ϕ, eremos du = ϕ + d ; = U +. Quando, U ; Agora, quando ϕ, U. Logo: E = n ( U + ϕ) [ U ] n e ( ) d u, ou anda:

68 67 n E = n U [ e U ] du + n ϕ [ e U ] ( ) n du (A) Essa negral acma erá de ser resolvda aravés da ulzação de algum processo de negração numérca, como a regra de Smpson /3. Como recordamos a regra de Smpson /3 é dada por: b g f ( ) d = ( f 4f + 2f + + 4f + f ) a 3 + erro. 2 3 k k + Fazendo-se o erro ser gual a zero, e com =, 2,, k+, oberemos: n n [ e U] du U = n 3 g n n U ( ) + U ( 2 ) + + U U e 4 U e U ( e k+ ) 2 k + Ou anda: n n U [ e U g k n ] du = n U U 3 ( e ) (,2 or 4) + = (B) U = ϕ j ; j =, 2,, k U [ e ] nϕ du = n j n g n n ϕ U 3 ( ) U + ( 2 ) U e 4 e + + ( e k + ) Enão, eremos: n ϕ [ e U ] n du = n g ϕ U 3 ( e ) (,2 or 4) j k + = n (C)

69 68 oberemos: Fnalmene, subsundo-se as equações (B) e (C) na equação (A), E ( ) = k + = n + n g = n 3 ( U U e ) (,2 or 4) g ϕ j 3 k + = n ; U = ( U e ) (,2 or 4) ϕ j ; j =, 2,, k Essa equação (C) acma é a equação (4.33). Como podemos noar, sob uma condção acelerada de ese eremos ϕ j = ϕ a, e sob uma condção normal de ese, eremos ϕ j = ϕ n. 4.6 O TAMANHO ESPERADO DA AMOSTRA DO TESTE DE VIDA SEQUENCIAL PARA EFEITO DE TRUNCAGEM De acordo com Mood e Graybll (963), uma expressão para o amanho esperado da amosra do ese de vda sequencal para efeo de runcagem E(n), será dada por: E( W * ) E = n ( n) E ( w) (4.34) Aqu, w será dado por: ( ) f ;,, φ w = ln f ;,, φ ( ) (4.35) A varável W * n apenas possu valores no nervalo no qual W * n é maor do que o lme nferor ln (A) e menor do que o lme superor ln(b). Quando a verdadera dsrbução de amosragem for dada por f (;,,ϕ), a probabldade de que W * n enha um valor gual ao lme nferor ln (A) será de P(,,ϕ), ao passo de que a probabldade de W * n er um valor gual ao lme superor ln(b) será de P(,,ϕ). Enão, de acordo com Mood e Graybll (963), a expressão para o valor esperado da varável W * n será dado por:

70 ( W * n ) E P(,, φ) ln( A) + [ P(,, φ) ] ln( B) (4.36) 69 em: Logo, com A = γ / (-α) e com B = (-γ) /α, a equação (35) se ransformará P E ( n) (,,φ ) ln ( A ) + [ P (,,φ )] ln ( B ) E( w) (4.37) A equação (4.37) nos perme comparar eses de vda sequencal com eses de vda com amanho de amosra pré-fxado. A prova da exsênca das equações (4.36) aé (4.37) poderá ser enconrada em Mood e Graybll (963), pp a) Para o modelo Webull de rês Parâmeros Ulzando-se as equações (4.35) aé (4.38), para o modelo Webull de rês parâmeros, eremos: w = ln ( φ ) ( φ ) exp ( φ ) ( φ ), ou anda: w= ln + ( ) ln ( φ ) ( ) ( ) ( ) ln φ φ ( φ ) + O valor esperado de w E(w), será enão dado por: E ( w) = ln + ( ) ( ) E ln φ ( ) ( ) E ln φ

71 7 ( ) E φ + ( φ ) E (4.38) Calculando-se os ermos relavos aos valores esperados apresenados na equação (4.38), eremos: ( φ ) E = ( φ ) φ φ φ exp d Fazendo U = φ φ, eremos: du = d ; = φ + U Quando, U ; Quando φ, U. Enão, eremos: ( φ ) E = U e U du Mas essa negral acma é a função gama Γ +. Logo, eremos: ( φ ) E = Γ + (4.39) Empregando-se as mesmas ransformações ulzadas para se resolver a equação (4.), o ( φ ) E será dado por: ( φ ) E = Γ + (4.4)

72 7 E ln( φ ) = ( φ ) ln φ φ φ exp d φ + U Novamene com U = φ φ, eremos: du = d ; = Quando, U ; Quando φ, U. Logo, eremos: E ln( φ ) = ln U e U du = ln( ) U e du + ln ( U) e U du Enão, oberemos: ln( φ ) E = ( ) ln + ln ( U) e U du A negral acma erá de ser resolvda com a ulzação de algum mecansmo de negral numérca, como a regra de Smpson /3. Lembrando-se novamene que a regra de Smpson /3 é dada por: b g f ( x) dx= ( f 4f + 2f + + 4f + f ) a 3 + erro. 2 3 n n+ Fazendo o erro gual à zero e com =, 2, n+, eremos: ln U ( U) e du g = ( ) ( ) ( ) ln U e + 4ln U e ln U n+ 3 U U U 2 n+ e

73 72 Logo, o ln( φ ) E será dado por: ln ( φ ) E = ln ( ) + 3 g U U U ln 2 n+ e ( U ) e + 4ln( U ) e ln( U ) n+ Fnalmene, eremos: ln ( φ ) g U E = ln ( ) + ( ) ( ) U e, 2 or 3 n + ln 4 (4.4) = U = φ Ulzando-se as mesmas ransformações empregadas para a resolução da equação (4.4), o ln( φ ) E será dado por: ln ( φ ) E = ( ) n + = g Y ln + ln 3 ( Y ) e (, 2 or 4) (4.42) Y = φ b) Para o Modelo Webull Inverdo de rês Parâmeros Ulzando-se as novamene as equações (4.34) aé (4.37), agora para o modelo Webull Inverdo de rês parâmeros, eremos: E ( w) = ln + ( ) ( ) E ln ϕ ( ) ( ) E ln ϕ + +

74 73 ( ) ϕ E + ( ) ϕ E (4.43) Calculando-se os ermos relavos aos valores esperados apresenados na equação (4.43), eremos: ( ) ϕ E = ( ) ϕ ϕ + ϕ ϕ exp d Fazendo U = ϕ, eremos: du = + ϕ d ; = U +. Quando, U ; Agora, quando ϕ, U. Logo, eremos: ( ) ϕ E = ( ) U U e du A negral acma é a função gama Γ. Enão, eremos: ( ) ϕ E = Γ. Fnalmene, o ( ) E ϕ será dado por: ( ) E ϕ = Γ (4.44)

75 74 (4.44), o Empregando-se as mesmas ransformações ulzadas na solução da equação E ( ϕ ) será dado por: E ( ϕ ) = Γ (4.45) O ln ( ϕ ) E será dado por: E ln ( ϕ ) = ( φ ) ln φ ϕ + exp ϕ d Fazendo U =, eremos ϕ ϕ + d ; = U +. Quando, U ; Agora, quando será dada por: ϕ, U. Logo, a equação acma E ln ( ϕ ) = ln U e U du = ln( ) U e du ln ( U) e U du Enão: ln ( ϕ ) E = ( ) ln ln ( U) e U du A negral acma erá de ser resolvda com a ulzação de algum mecansmo de negral numérca, como a regra de Smpson /3. Lembrando-se novamene que a regra de Smpson /3 é dada por: b g f ( x) dx= ( f 4f + 2f + + 4f + f ) a 3 + erro. 2 3 n n+

76 75 Fazendo o erro gual à zero e com =, 2, n+, eremos: ln ln ( ϕ ) ( U) e U g du = ( ) ( ) ( ) ln U e + 4ln U e ln U n+ 3 U U U 2 n+ e g E = ln( ) ( ) ( ) ( ) ln U e + 4ln U e ln U n+ 3 U U U 2 n+ e Fnalmene, eremos: ln ( ϕ ) g E = ln ( ) ( ) U ( ) U e, 2or 3 n + ln 4 (4.46) = U = ϕ Ulzando-se as mesmas ransformações empregadas para a resolução da equação (4.46), o ln ( ϕ ) E será dado por: ln ( ϕ ) E = ( ) n + = Y g ln ln 3 ( Y ) e (,2or 4) (4.47) Y = ϕ 4.7 OS VALORES ESPERADOS DOS MODELOS DE TRÊS PARÂMETROS WEIBULL E WEIBULL INVERTIDO. a) No caso do modelo Webull de rês parâmeros. A função densdade do modelo Webull de rês parâmeros fo dada pela equação (2.);

77 76 f ( ) = φ ϕ exp O valor esperado dessa dsrbução será dado por: E ( ) = φ φ φ exp d φ Fazendo U =, eremos: du = φ d ; = φ + U Quando, U ; Quando φ, U. Enão, eremos: E ( ) = U e U du + φ = φ + U e U du Mas a negral U U e du é a função gama Γ +. Logo: E ( ) = Γ + + φ (4.48) b) No caso do modelo Webull Inverdo de rês parâmeros. A função densdade do modelo Webull Inverdo de rês parâmeros fo dada pela equação (3.); f ( ) = ϕ + exp O valor esperado dessa dsrbução será dado por: ϕ

78 77 E ( ) = φ + exp dx φ φ Fazendo U = φ +, eremos: du = + 2 φ d ; = φ + U Quando, U ; Quando φ, U. Enão, eremos: E = U e U du + φ ( ) = U e U du + φ Mas a negral U U e du é a função gama Γ. Logo: E ( ) = Γ + φ (4.49)

79 5 APLICAÇÃO DO EMPREGO DO AÇO DE ALTA RESISTÊNCIA E BAIXA LIGA EM RELAÇÃO À RESISTÊNCIA À FRICÇÃO. Ese capíulo apresena uma aplcação combnada dos mecansmos de ese de vda sequencal com runcagem e ese de vda acelerado a um novo po de aço de ala ressênca e baxa lga ressene à frcção, ulzado na fabrcação de rlhos no Brasl. Nossa nenção é a de deermnarmos valores esmados para os parâmeros de forma, escala e vda mínma das dsrbuções de amosragem Webull e Webull Inverda, represenando o cclo de vda desse novo po de aço, e de calcularmos o valor esperado de sua vda méda quando submedo à frcção. Uma vez que uma curva de vda para esse aço for deermnada, esaremos enão capazes de verfcarmos, aravés da ulzação de um ese de vda sequencal com runcagem, se novas undades produzdas desse maeral erão as caraceríscas necessáras requerdas para esse aço desenvolver adequadamene sua função. Uma das aplcações desse novo po de aço esá sendo na fabrcação de rlhos no Brasl para o ranspore de mnéro de ferro e de doloma. Como dsrbuções de amosragem, ulzaremos os modelos Webull e Webull Inverdo de rês parâmeros. No desenvolvmeno de um ese de vda para esse novo po de aço, verfcamos que o empo dsponível para se realzar o ese de vda sera consderavelmene menor do que a sua vda esperada. Logo, para conornar esse problema, vemos que empregar a alernava de um ese de vda acelerado dreconado a forçar o aparecmeno de falhas em componenes, ou seja, esando esse novo po de aço em condções muo mas severas do que as enconradas durane a ulzação normal desse maeral. Esse aço ressene à frcção, quando ulzado na fabrcação de rlhos, possu uma emperaura normal de uso de 296 K (graus Kelvn, aproxmadamene 23 graus Cenígrados). Sob uma emperaura

80 79 acelerada de ese de 48 K, 6 undades de rlhos feos com esse aço foram submedos a um ese de vda (frcção), com o ese sendo runcado no momeno da ocorrênca da décma segunda falha. A Tabela segune apresena esses empos de falhas, em horas. Tabela 5.. Tempos de falhas (horas) das undades de rlhos sob uma emperaura de uso acelerada de 48 K (graus Kelvn). 765, 843,6 85,4 862,2 877,3 89, 99,4 93,9 952,4 973,2.4,7.23,6 Agora, sob uma emperaura acelerada de ese de 52 K, 6 undades desse rlho foram novamene submedos a um ese de vda (frcção), com o ese sendo uma vez mas runcada no momeno da ocorrênca da décma segunda falha. A Tabela 2 segune apresena esses empos de falhas, em horas. Tabela 5.2. Tempos de falhas (horas) das undades de rlhos sob uma emperaura de uso acelerada de 52 K (graus Kelvn). 652,5 673,6 683, 692,9 75, 725,4 738,2 769,2 776,6 784,9 86, 98,9 Ulzando-se agora o esmador de máxma verossmlhança par o parâmero de forma, para o parâmero de escala e para o parâmero de vda mínma ϕ dos modelos Webull e Webull Inverdo, deermnou-se os segunes valores para esses parâmeros sujeos a condções aceleradas de ese: 5. PARA O MODELO WEIBULL INVERTIDO DE TRÊS PARÂMETROS. Sob uma aceleração de 48 K. = n = = 9,6; = 879,3 horas; ϕ = 6,4 horas. Sob uma aceleração de 52 K. 2 = n = = 9,48; 2 = 78,3 horas; ϕ 2 = 3,3 horas. 9,4. O valor do parâmero de forma se maneve aproxmadamene consane, com

81 8 a) Para o parâmero de escala. O faor de aceleração AF 2/ para o parâmero de escala será dado pela equação (4.9), ou seja: AF 2 = / 2 = 879,3/78,3 oberemos: Ulzando-se a equação (4.7), poderemos calcular o ermo E/K. Desse modo, E ln ( AF ) = K 2 / T2 T = ( 879,3 78,3) ln =.262, Empregando-se agora a equação (4.9), o faor de aceleração AF 2/n para o parâmero de escala, a ser aplcado na emperaura normal de uso de 296 K, será dado por: E AF 2 / n = exp = exp K Tn T.262, = 6, Desse modo, o valor do parâmero de escala n do componene operando na emperaura normal de uso de 296 K será esmado ser de: n = AF 2 / n 2 = 6,28 78,3 = 4.5,9 horas b) Para o parâmero de vda mínma ϕ. O faor de aceleração AFφ 2/ para o parâmero de vda mínma ϕ será dado pela equação (4.), ou seja: AFϕ 2 = ϕ 6,4 = ϕ2 3, 3 Ulzando-se novamene a equação (4.8), poderemos calcular o ermo E/K. Desse modo, eremos:

82 8 E ln ( AF ) = K 2/ T2 T = ( 3,3 ) ln 6, =.287,9 Uma vez mas se empregando a equação (4.9), o faor de aceleração AFφ 2/n para o parâmero de vda mínma ϕ, a ser aplcado na emperaura normal de uso de 296 K, será dado por: E AF 2 / n = exp = exp K Tn T.287,9 = 6, Logo, como era esperado, AF = 6,28 AF ϕ = 6,52 AF médo = 6,4. Fnalmene, o parâmero de vda mínma ϕ do componene operando na emperaura normal de uso de 296 K será esmado ser de: ϕ n = AFϕ 2/ n ϕ 2 = 6,52 3,3= 856, horas Logo, nossa hpóese é a de que o aço de ala ressênca e baxa lga ressene à frcção, ulzado, por exemplo, na fabrcação de rlhos no Brasl, quando operando na condção normal de uso de 296 Kelvns (23 graus cenígrados) poderá ambém ser represenado por um modelo Webull Inverdo de rês parâmeros, possundo um parâmero de forma de 9,4; um parâmero de escala de 4.5,9 horas e um parâmero de vda mínma φ de 856, horas. Para que possamos avalar essa nossa hpóese relaconada com a precsão desses esmadores para os parâmeros do modelo Webull Inverdo, aplcaremos aos empos esmados de falhas com o aço operando em sua condção normal de uso um mecansmo de runcagem desenvolvdo por de Souza (24). Esses empos esperados de falhas em uma condção normal de uso são resulanes da mulplcação dos doze empos de falhas obdos sob uma condção de aceleração de 52 K, dados pela Tabela 2 pelo faor AF de aceleração médo de 6,4. A Tabela 5.3 segune apresena esses empos esmados de falhas em uma condção normal de uso.

83 82 Tabela 5.3. Tempos esmado de falhas (horas) das undades de rlhos em uma condção normal de uso de 296 Kelvns. Modelo Webull Inverdo. 4.76, 4.3, 4.37, ,6 4.52, , , ,9 4.97,2 5.23, , ,2 Fone Dados da Companha Sderugca Naconal CSN, cerca 974 Para a precsão do ese, decdu-se que o valor de α sera de,5 e o valor de γ sera de,. Nessa aplcação, escolheram-se os segunes valores para os parâmeros das hpóeses nula e alernava: parâmero de escala da hpóese alernava = 4.65 horas; parâmero de forma da hpóese alernava = 8,6 e parâmero de vda mínma da hpóese alernava ϕ = 83; parâmero de escala da hpóese nula = 4.5 horas; parâmero de forma da hpóese nula = 9,4 e parâmero de vda mínma da hpóese nula ϕ = 856 horas. Agora, fazendo P(,,ϕ) ser gual a, e ulzando as equações (4.35) aé (4.38), além da equação (4.44), poderemos calcular o valor do amanho esperado da amosra E(n) para efeo de runcagem. Enão, eremos: E ( w) = ln + ( ) ( ) E ln ϕ ( ) ( ) E ln ϕ + + E + ( ϕ ) E ( ) ϕ E( w) = 8, ,6 ln 4,5 9,4 9,4 9 + E ln ( 856) + (,4 ) 8 + E ln ( 83) (,6 ) ,6 E + 9,4 4.5 E 8,6 ( ) 83 9,4 ( ) 856

84 83 Empregando-se agora as equações (4.45) aé (4.48), eremos: E( w) = 6,56 +,4 ( ) Eln 856 9,6 E ln ( 83) ,6 8, ,6 Γ 9, ,4 9, ,4 Γ 9, 4 Além dsso, ln ( ϕ ) g E = ln( ) ( ) U ( ) U e, 2 or 3 n + ln 4 ; U= = ϕ ln ( ϕ ) E = ( ) n + = Y g ln ln 3 ( Y ) e (,2or 4) ; Y = ϕ Logo, eremos: E( w) = ,4 7,743 9,6 7,757,884 +, =,4 Agora, com a P(,, φ) =,; com ln ( B) = ( γ) ln = α (, ) ln =,5 2,894, e ambém com o ( A) P γ, ln = ln = ln = 2,253; eremos: α, 5 (, ) ln( A) + [ P(, ) ] ln( B) =, 2,253 +,99 2, 894 = 2,839 Fnalmene, oberemos: P E ( n) (,,φ ) ln ( A ) + [ P (,,φ )] ln ( B ) E( w) = 2,839,4 = 6,98 7 ens.

85 84 Logo, poderemos formular uma decsão de acearmos ou rejearmos a hpóese nula H após a análse do sémo empo de falhas. O pono de runcagem represena o número máxmo de observações necessáras para se omar uma decsão sobre a aceação ou rejeção da hpóese nula. Após o pono de rucagem er sdo esascamene calculado, como nesse nosso exemplo, seu valor servrá como lme máxmo de observações necessáras em qualquer ouro ese de vda que se deseje realzar ulzando-se esse aço de ala ressênca e baxa lga ressene à frcção, quando empregado na fabrcação de rlhos. Caso se deseje ulzar esse aço na fabrcação de ouro produo que não seja rlhos, por exemplo, na fabrcação de vgas meálcas na qual a caracerísca de neresse que se deseje deermnar seja o lme de ressênca à fadga, eremos de realzar um ese específco sobre essa caracerísca (número de cclos necessáros para er-se uma rupura por fadga), e calcularmos um novo pono de runcagem para essa suação. Enão, volando ao nosso esudo, caso uma nova produção de rlhos seja realzada, ncaremos nossa avalação sobre a ressênca à frcção dessa nova produção esando um em ou observação desse rlho e, dependendo do resulado dese ese de vda, poderemos acear a hpóese nula, poderemos rejear a hpóese nula ou chegarmos à conclusão de que não dspomos anda de nformação sufcene para a rejeção ou aceação da hpóese nula. Nesse caso, esaremos um novo em desse rlho, e prosseguremos esando novos ens aé que possamos decdr sobre a aceação ou rejeção da hpóese nula, ou enão, quando angrmos um número de ens esados correspondene ao pono de runcagem prevamene e esascamene calculado. Se vermos de realzar nosso ese de vda aé alcançarmos o pono de runcagem, nesse momeno nroduzremos uma manera de decdrmos sobre a aceação ou rejeção da hpóese nula. Desejamos frsar que nessa aplcação esamos deermnando o valor do pono de runcagem, e por sso realzamos um ese de vda aé obermos um número aleaóro ncal de falhas, no nosso caso, doze. Agora, com a nformação sobre o valor do pono de runcagem já defndo, e ulzando as equações (4.5) e (4.6), poderemos calcular os lmes do nosso ese de vda sequencal. A Tabela 5.4 apresena os resulados desses cálculos.

86 85 Inverdo. Tabela 5.4. Lmes do ese de vda para o modelo Webull Inverdo. Número de Lme Superor Lme Inferor Valor de X falha -4,3879-9, , , ,94-3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4659-8, ,34577 A Fgura (5.) apresena o ese de vda sequencal para o modelo Webull NÚMERO DE ITENS V -2 A L O R D E REJEITAR Ho ACEITAR Ho X -9 Fgura 5. Tese de vda sequencal para o modelo Webull Inverdo de rês parâmeros.

87 Um procedmeno para se aplcar o mecansmo de runcagem no caso do modelo Webull Inverdo. De acordo com Kapur e Lamberson (977), quando o pono de runcagem é alcançado, é raçada uma lnha dvdndo ao meo o gráfco sequencal, como mosrado na Fgura (5.2) segune. Essa lnha é raçada ncando-se na orgem do gráfco, paralela às lnhas de aceação e de rejeção. A decsão de se acear ou se rejear a hpóese nula H rá depender smplesmene de que lado a observação fnal se enconra. NÚMERO DE ITENS V -2 A L O R D E X REJEITAR Ho PONTO DE TRUNCAGEM ACEITAR Ho Fgura 5.2. Tese de vda sequencal com o mecansmo de runcagem para o modelo Webull Inverdo de rês parâmeros. Obvamene esse procedmeno de runcagem alera os níves ou valores de α e de γ do ese de vda orgnal. Enreano, de acordo com Kapur e Lamberson (977), essa mudança será muo pequena se o pono de runcagem não for muo pequeno (menor do que rês undades). Como podemos observar na Fgura (5.2), a hpóese nula H deverá ser acea, pos a observação fnal (observação de número see) se enconra no lado da lnha relaconado com a aceação de H.

88 PARA O MODELO WEIBULL DE TRÊS PARÂMETROS. Sob uma aceleração de 48 K. = n = = 4,698; = 932,7 horas; ϕ = 7,2 horas. Sob uma aceleração de 52 K. 2 = n = = 4,348; 2 = 767,7 horas; ϕ 2 = 4,3 horas. Sob uma aceleração normal: n = 4,348; n = 3.3,987 horas. O valor do parâmero de forma se maneve aproxmadamene consane, com 4,4. O faor de aceleração AF 2/ para o parâmero de escala será dado novamene pela equação (4.), ou seja: AF 2 = / 2 = 932,7/767,7 Ulzando-se uma vez mas a equação (4.8), poderemos calcular o ermo E/K. Desse modo, oberemos: E ln ( AF ) = K 2 / T2 T = ( 932,7 767,7) ln =.24,8 Empregando-se agora a equação (4.9), o faor de aceleração AF 2/n para o parâmero de escala, a ser aplcado na emperaura normal de uso de 296 K, será enão dado por: E AF 2 / n = exp = exp K Tn T.24,8 = 5, Desse modo, o valor do parâmero de escala n do componene operando na emperaura normal de uso de 296 K será esmado ser de:

89 88 n = AF 2 / n 2 = 5,86 767,7 = 4.498,7 horas a) Para o parâmero de vda mínma ϕ. O faor de aceleração AFφ 2/ para o parâmero de vda mínma ϕ será dado pela equação (4.), ou seja: AFϕ 2 = ϕ 7,2 = ϕ2 4, 3 Ulzando-se novamene a equação (4.8), poderemos calcular o ermo E/K. Desse modo, eremos: E ln ( AF ) = K 2/ T2 T = ( 4,3) ln 7, =.242, Uma vez mas se empregando a equação (4.9), o faor de aceleração AFφ 2/n para o parâmero de vda mínma ϕ, a ser aplcado na emperaura normal de uso de 296 K, será dado por: E AF 2 / n = exp = exp K Tn T.242, = 6, Logo, como era esperado, AF = 5,86 AF ϕ = 6, AF médo = 6,. Fnalmene, o parâmero de vda mínma ϕ do componene operando na emperaura normal de uso de 296 K será esmado ser de: ϕ n = AFϕ 2/ n ϕ 2 = 6, 4,3 = 855,3 horas Logo, nossa hpóese é a de que o aço de ala ressênca e baxa lga ressene à frcção, ulzado, por exemplo, na fabrcação de rlhos no Brasl, quando operando na condção normal de uso de 296 Kelvns (23 graus cenígrados) poderá ambém ser represenado por um modelo Webull Inverdo de rês parâmeros, possundo um parâmero de forma de 4,4; um parâmero de escala de 4.498,7 horas e um parâmero de vda mínma φ de 855,3 horas. Para que possamos avalar essa nossa hpóese relaconada com a precsão desses esmadores para os

90 89 parâmeros do modelo Webull Inverdo, aplcaremos novamene aos empos esmados de falhas com o aço operando em sua condção normal de uso um mecansmo de runcagem desenvolvdo por de Souza (24). Esses empos esperados de falhas em uma condção normal de uso são resulanes da mulplcação dos doze empos de falhas obdos sob uma condção de aceleração de 52 K, dados pela Tabela 2 pelo faor AF de aceleração médo de 6,. A Tabela 5 segune apresena esses empos esmados de falhas em uma condção normal de uso. Tabela 5.5. Tempos esmados de falhas (horas) das undades de rlhos sem uma condção normal de uso de 296 Kelvns. Modelo Webull. 3.95, 4.4,6 4.98,6 4.57,4 4.23, , ,2 4.65, ,6 4.79, , 5.89,4 Para a precsão do ese de vda, decdu-se novamene que o valor de α sera de,5 e o valor de γ sera de,. Nesse exemplo, escolheram-se os segunes valores para os parâmeros das hpóeses nula e alernava: parâmero de escala da hpóese alernava = 4.65 horas; parâmero de forma da hpóese alernava = 3,6 e parâmero de vda mínma da hpóese alernava ϕ = 83; parâmero de escala da hpóese nula = horas; parâmero de forma da hpóese nula =4,4 e parâmero de vda mínma da hpóese nula ϕ = 853 horas. Agora, fazendo P(,,ϕ) ser gual a, e ulzando as equações (4.34) aé (4.37), além da equação (4.43), poderemos calcular o valor do amanho esperado da amosra E(n) para efeo de runcagem. Enão, oberemos: E ( w) = ln + ( ) ( ) E ln ϕ ( ) ( ) E ln ϕ + + E + ( ϕ ) E ( ) ϕ

91 9 E( w) = 3, ,6 ln ,4 4,4 4 + E ln ( 853) + (,4 ) 3 + E ln ( 83) (,6 ) ,6 E 3,6 ( ) + 4, E 83 4,4 ( ) 853 Empregando-se novamene as equações (4.44) aé (4.47), obém-se: E( w) = ,4 ( ) Eln 856 4,6 E ln ( 83) ,6 3, ,6 Γ 4, ,4 4, ,4 Γ 4, 4 Além dsso, ln ( ϕ ) g E = ln( ) ( ) U ( ) U e, 2 or 3 n + ln 4 ; U= = ϕ ln ( ϕ ) E = ( ) n + = Y g ln ln 3 ( Y ) e (,2or 4) ; Y = ϕ,456 Logo, eremos: E(w) = ,4 7,83 4,6 7,767,95 +, = Novamene, com a P(,, φ) =,; com ln ( B) = ( γ) ln = α (, ) ln =,5 2,894, e anda com o ( A) P γ, ln = ln = ln = 2,253; eremos: α, 5 (, ) ln( A) + [ P(, ) ] ln( B) =, 2,253 +,99 2, 894 = 2,839 Fnalmene, oberemos:

92 P E ( n) (,,φ ) ln ( A ) + [ P (,,φ )] ln ( B ) E( w) = 2,839,456 = 6,226 7 ens. Logo, poderemos uma vez mas formular uma decsão de acearmos ou rejearmos a hpóese nula H após a análse do sémo empo de falhas. Novamene agora, com a nformação sobre o valor do pono de runcagem já defndo, e ulzando as equações (4.5) e (4.6), poderemos calcular os lmes do nosso ese de vda sequencal. A Tabela 5.6 apresena os resulados desses cálculos. Tabela 5.6. Lmes do ese de vda para o modelo Webull Número de Lme Superor Lme Inferor Valor de X Falha 8,6666 3,5942 6, ,784 9, , ,4864 6, , , , , ,363 29, , , , , ,97 4, , , , , , , , , , , , ,6744 7, , , , Webull. A Fgura (5.3) segune apresena o ese de vda sequencal para o modelo

93 92 V A L O R ACEITAR Ho D E X REJEITAR Ho NÚMERO DE ITENS Fgura 5.3. Tese de vda sequencal para o modelo Webull de rês parâmeros Um procedmeno para se aplcar o mecansmo de runcagem no caso do modelo Webull. Novamene, de acordo com Kapur e Lamberson (977), quando o pono de runcagem é alcançado, é raçada uma lnha dvdndo ao meo o gráfco sequencal, como mosrado na Fgura (5.4) segune. Como vmos anerormene no caso do modelo Webull Inverdo, essa lnha é raçada ncando-se na orgem do gráfco, paralela às lnhas de aceação e de rejeção. A decsão de se acear ou se rejear a hpóese nula H rá depender smplesmene de que lado a observação fnal se enconra.

94 93 V A L O R D E ACEITAR Ho PONTO DE TRUNCAGEM REJEITAR Ho X NÚMERO DE ITENS Fgura 5.4. Tese de vda sequencal com o mecansmo de runcagem para o modelo Webull de rês parâmeros. Como podemos novamene observar, agora na Fgura (5.4), a hpóese nula H deverá ser acea, pos a observação fnal (observação de número see) se enconra no lado da lnha relaconado com a aceação de H. A Tabela 7 segune apresena os esmadores dos rês parâmeros das dsrbuções de amosragem Webull Inverdo e Webull na condção normal de uso de 296 Kelvns. Tabela 5.7. Esmadores dos rês parâmeros das dsrbuções de amosragem Webull Inverdo e Webull na condção normal de uso de 296 Kelvns. Modelos/Parâmeros Forma Escala Vda Mínma Webull Inverdo 9,4 4.5,9 856, Webull 4, ,7 855,3 Se compararmos agora os esmadores para os parâmeros de escala e de vda mínma dos modelos de rês parâmeros Webull Inverdo e Webull na condção normal de uso de 296 Kelvns, vemos que a dferença enre eles é mínma, cerca de % para ambos os parâmeros. Isso mosra que ambos os modelos Webull Inverdo

95 94 e Webull podem represenar de uma manera alamene sgnfcava, a vda desse aço de ala ressênca e baxa lga ressene à frcção. 5.3 VALORES ESPERADOS PARA A VIDA MÉDIA DO AÇO DE ALTA RESISTÊNCIA E BAIXA LIGA, EM HORAS, QUANDO SUBMETIDO À FRICÇÃO. a) No caso do modelo Webull de rês parâmeros. O valor esperado para o modelo Webull de rês parâmeros é dado pela equação (4.48): E( ) = Γ + + φ Com = 4.498,7 horas; = 4,4 e com φ = 855,3 horas, eremos: E ( ) = 4.498,7 Γ ,3 = 4.955,4 horas 4, 4 Logo, o valor esperado para a vda méda do aço de ala ressênca e baxa lga quando submedo à frcção, endo como dsrbução de amosragem o modelo Webull de rês parâmeros, será de 4.955,4 horas. b) No caso do modelo Webull Inverdo de rês parâmeros. O valor esperado para o modelo Webull Inverdo de rês parâmeros fo dado pela equação (5.): E ( ) = Γ + φ Agora, com = 4.5,9 horas; = 9,4 e com φ = 856, horas, oberemos: E ( ) = 4.5,9 Γ + 856, = 5.696,3 horas 9, 4

96 95 Logo, o valor esperado para a vda méda do aço de ala ressênca e baxa lga quando submedo à frcção, endo como dsrbução de amosragem o modelo Webull Inverdo de rês parâmeros, será de 5.696,3 horas. A dferença percenual enre a vda méda desse aço calculada com o modelo Webull Inverdo como dsrbução de amosragem e o modelo Webull fo de: Dferença % ( Webull Inverdo Webull) Dferença% = 5.696, ,4 = 4.95% Essa é uma dferença bem sgnfcava, que coloca em dúvda qual dos dos modelos melhor reflee o valor esperado para a vda méda desse aço de ala ressênca e baxa lga, quando submedo à frcção. Como dssemos anerormene, o modelo Webull Inverdo em sdo ambém ulzado na esmação da confabldade de produos elerôncos, suação na qual parece oferecer uma melhor resposa ao problema de precsão apresenado pelo modelo Webull, como mosrado por De Souza (25). Isso se deve ao fao de que quando o valor do parâmero de forma do modelo Webull for maor do que ses, a curva Webull se orna muo cônca (em forma de pco), acarreando cera dfculdade compuaconal (precsão) no cálculo dos valores das caraceríscas de neresse do componene sendo analsado. Devdo à necessdade de ulzar negração numérca no cálculo do valor do pono de runcagem para o modelo Webull, no caso da curva se ornar acenuadamene cônca, o erro que se obém na deermnação de cada uma das áreas que fo dvdda a função densdade se orna muo sgnfcavo. Desse modo, quando esse parâmero de forma ange valores superores a ses, essa perda de precsão é muo elevada, não jusfcando qualquer ulzação dessa dsrbução como modelo de amosragem. Essa é a prncpal razão do modelo Webull ser prncpalmene empregado como dsrbução de amosragem de produos mecâncos e mealúrgcos, áreas nas quas o valor de seu parâmero de forma é quase sempre nferor a cnco. Essa dfculdade resula do fao de que no caso da ulzação dos modelos Webull e Webull Inverdo como dsrbuções de amosragem, orna-se sempre necessáro o emprego de negração numérca para o cálculo dos valores das caraceríscas desejadas. Quando se emprega negração numérca, o número de

97 96 nervalos em que se dvde a área da curva é geralmene de onze a um máxmo de vne e dos. Um número maor de nervalos poderá represenar uma perda de precsão acumulada muo elevada, devdo à mprecsão exsene no cálculo dessas áreas. No caso de um número muo pequeno de nervalos, qualquer segmeno da função densdade que se consdere rá represenar uma área sgnfcava, o que poderá ambém acarrear uma perda elevada de precsão, e qualquer mprecsão de cálculo será basane expressva. No caso do modelo Webull, quando o valor de seu parâmero de forma for nferor a see, a precsão dos cálculos ulzando-se essa dsrbução de amosragem se mosra muo mas elevada do que a conseguda com o emprego do modelo Webull Inverdo. Nessas suações a curva da função densdade do modelo Webull Inverdo apresena-se com um aspeco de pco, com um grande percenual de área sob a curva concenrado no lado esquerdo, com a curva apresenando, após essa concenração, um alongameno muo sgnfcavo para a drea. Em relação a esse exemplo analsado, o valor do parâmero de forma do modelo Webull fo de 4,4. Nesse nível de valor, a precsão dos cálculos ulzando-se essa dsrbução de amosragem se mosra muo mas elevada do que a conseguda com o emprego do modelo Webull Inverdo, devdo à curva da função densdade do modelo Webull Inverdo já esar com uma aparênca alamene sgnfcava de pco ou cone. Desse modo, nesse caso específco do aço ala ressênca e baxa lga er sdo submedo à frcção, o modelo Webull de rês parâmeros deverá ser o ndcado, por oferecer uma melhor resposa ao problema de precsão apresenado pelo modelo Webull Inverdo de rês parâmeros, devdo à sua curva da função densdade ser bem mas abrandada (em forma de semcírculo) do que a do modelo Webull Inverdo. A Fgura 5.5 mosra a curva da função densdade do modelo Webull de rês parâmeros desse exemplo. A Fgura 5.6 apresena a curva do modelo Webull Inverdo de rês parâmeros.

98 97 V A L O R E S D E 4, 3,6 3,2 2,8 2,4 2,,6,2,8,4 PARA MELHOR VISUALIZAÇÃO, OS VALORES DE f(x) ESTÃO MULTIPLICADOS POR f(x), NÚMERO DE PONTOS Fgura 5.5 Curva da função densdade do modelo Webull de rês parâmeros do aço de ala ressênca e baxa lga, quando submedo à frcção. V A L O R E S D E PARA MELHOR VISUALIZAÇÃO, OS VALORES DE f(x) ESTÃO MULTIPLICADOS POR f(x) NÚMERO DE PONTOS Fgura 5.6. Curva da função densdade do modelo Webull Inverdo de rês parâmeros do aço de ala ressênca e baxa lga, quando submedo à frcção.

99 6 APLICAÇÃO DO EMPREGO DO AÇO DE ALTA RESISTÊNCIA E BAIXA LIGA EM RELAÇÃO À RESISTÊNCIA À FADIGA NÃO INDUZIDA. Nese esudo remos ambém ulzar uma aplcação combnada dos mecansmos de ese de vda sequencal com runcagem e ese de vda acelerado a um novo po de aço de ala ressênca e baxa lga, sendo que esse aço vem sendo ulzado na confecção de vgas meálcas. Nesse caso a caracerísca de neresse é o lme de ressênca à fadga. Para sso, 2 vgas meálcas foram submedas a um ese de vda acelerado, no qual o faor de aceleração era o relaconado com o número de cclos por hora que essas vgas seram submedas. A Tabela 6. segune apresena os empos esmados de falhas (horas) das undades de rlhos em uma condção acelerada de uso de.8 cclos por hora. Tabela 6.. Tempos esmados de falhas (cclos) das undades de rlhos em uma condção acelerada de uso de.8 cclos por hora Uma segunda amosra fo obda de dados hsórcos de doze vgas meálcas ulzadas na consrução de um vaduo, subsuídas ao longo do empo ao apresenarem ndcação de um processo de fadga em andameno quando submedas no local de uso a ensaos não desruvos de Raos-X e ulrassom (para fadga nerna), e líqudo penerane (para fadga com níco na superfíce do aço). Para o cálculo do número de cclos correspondenes a cada uma dessas doze falhas consderou-se uma méda de 4 cclos por hora em uma condção normal de uso dessas vgas meálcas. A Tabela 6.2 segune apresena esses resulados.

100 99 Tabela 6.2. Tempos esmados de falhas (cclos) das undades de rlhos em uma condção normal de uso de 4 cclos por hora , Ulzando-se agora o esmador de máxma verossmlhança para o parâmero de forma, para o parâmero de escala e para o parâmero de vda mínma ϕ do modelo Webull e Webull Inverdo, obvemos os segunes valores para esses parâmeros sujeos a condções aceleradas de ese: a) No caso do Modelo Webull de rês parâmeros. Sob uma aceleração de.8 cclos por hora. a = 8,336; a =.46,8 horas; ϕ a = 84,9 horas. Sob uma condção normal de uso (4 cclos por hora): n = 8,32; n = ,2 horas; ϕ n = ,3 horas 8,3. O valor do parâmero de forma se maneve aproxmadamene consane, com O faor de aceleração AF n/a para o parâmero de escala será dado novamene pela equação (.), ou seja: AF = n a = ,2.46,8 = 269,66 27, Aravés do emprego da equação (4.), oberemos: AF ϕ = ϕ n ,3 = ϕa 84, 9 = 27,37 27, Logo, como esperávamos; AF = AF ϕ = AF = 27,, e n = a = 8,3

101 A Fgura 6. mosra a curva da função densdade do modelo Webull de rês parâmeros desse exemplo em uma condção normal de uso. V A L O R E S D E f(x) 3,25 PARA MELHOR VISUALIZAÇÃO, 3, OS VALORES DE f(x) ESTÃO 2,75 MULTIPLICADOS POR. 2,5 2,25 2,,75,5,25,,75,5,25, NÚMERO DE PONTOS Fgura 6.. Curva da função densdade do modelo Webull de rês parâmeros do aço de ala ressênca e baxa lga, em relação à ressênca à fadga não nduzda. b) No caso do Modelo Webull Inverdo de rês parâmeros. Sob uma aceleração de.8 cclos por hora. a = 6,688; a = 9.44,2 horas; ϕ a = 74,2 horas. Sob uma condção normal de uso (4 cclos por hora): n = 6,87; n = , 6 horas; ϕ n = ,7 horas 6,7. O valor do parâmero de forma se maneve aproxmadamene consane, com O faor de aceleração AF n/a para o parâmero de escala será dado ulzando-se uma vez mas a equação (.), ou seja: AF = n a = ,6 9.44,2 = 269,9 27,

102 Novamene aravés da aplcação da equação (4.), oberemos: AF ϕ = ϕ n ,7 = ϕa = 27,7 27, Enão, como esperávamos; AF = AF ϕ = AF = 27,, e n = a = 6,7 A Fgura 6.2 mosra a curva da função densdade do modelo Webull Inverdo de rês parâmeros desse exemplo em uma condção normal de uso. V A L O R E S D E,,9,8,7,6,5,4,3,2 PARA MELHOR VISUALIZAÇÃO, OS VALORES DE f(x) ESTÃO MULTIPLICADOS POR. f(x),, NÚMERO DE PONTOS Fgura 6.2. Curva da função densdade do modelo Webull Inverdo de rês parâmeros do aço de ala ressênca e baxa lga, em relação à ressênca à fadga não nduzda. Como podemos observar nesse exemplo, sob uma condção de aceleração lnear, o aço de ala ressênca e baxa lga, rabalhando sob um nível prédeermnado de aceleração aumenada, apresenará exaamene o mesmo mecansmo de falhas ao observado quando ulzado em níves de uso normal. Ou seja, se a dsrbução de vda em um deermnado nível de ensão for represenada respecvamene pelos modelos Webull ou Webull Inverdo de rês parâmeros, enão a dsrbução de vda será ambém respecvamene represenada em qualquer ouro nível de ensão pelos modelos Webull e Webull Inverdo de rês

103 2 parâmeros. O valor do parâmero de forma permanece o mesmo nas condções de uso acelerada e normal para cada um desses dos modelos de amosragem, ao passo que os valores dos parâmeros de escala e vda mínma serão mulplcados pelo faor de aceleração comum a esses dos modelos. Um mesmo valor para o parâmero de forma é uma consequênca maemáca necessára para ser er as duas ouras condções assumdas, ou seja: as hpóeses de se er uma condção de aceleração lnear e uma dsrbução de amosragem Webull de rês parâmeros. Caso dferenes níves de ensão apresenassem valores muo dferenes para os respecvos parâmeros de forma, enão ou as dsrbuções de amosragem Webull e Webull Inverda de rês parâmeros não seram os modelos ceros para os dados obdos no ese de vda, ou não eríamos uma condção de aceleração lnear. Em relação a esse exemplo analsado, o valor do parâmero de forma do modelo Webull fo de 8,3. Nesse nível de valor, a precsão dos cálculos ulzando-se essa dsrbução de amosragem começa a se mosrar nferor do que a conseguda com o emprego do modelo Webull Inverdo, devdo à curva da função densdade do modelo Webull já começar a apresenar uma forma de pco ou cone. Desse modo, nesse caso específco do aço ala ressênca e baxa lga em relação à ressênca à fadga não nduzda, o modelo Webull Inverdo de rês parâmeros deverá ser o ndcado, por oferecer uma melhor resposa ao problema de precsão apresenado pelo modelo Webull de rês parâmeros, devdo à sua curva da função densdade ser bem mas abrandada do que a do modelo Webull.

104 7 CONCLUSÕES Nese rabalho realzamos uma aplcação combnada dos mecansmos de ese sequencal com runcagem e eses acelerados, a um novo po de aço de ala ressênca e baxa lga, quando ulzado de duas maneras dsnas; na fabrcação de rlhos e ambém na consrução de vaduos meálcos. No prmero caso, o neresse fo deermnar o valor esperado da vda méda desse aço em horas, quando submedo à frcção, e no segundo caso a esmava do lme de ressênca á fadga, ou seja, o número de cclos necessáros para ober esse pono de fadga. Como dsrbuções de amosragem, foram ulzados o modelo Webull e o modelo Webull Inverdo de rês parâmeros. Esses modelos possuem um parâmero de forma, um parâmero de escala e um parâmero de vda mínma ou localzação, o qual represena a vda garanda do produo. Para esmarmos os rês parâmeros dos modelos Webull e Webull Inverdo, ulzamos um esmador de máxma verossmlhança maxmum lkelhood em uma suação de runcagem por falhas. Após o pono de runcagem er sdo esascamene calculado, seu valor servrá como lme máxmo de observações necessáras em qualquer ouro ese de vda que se deseje realzar, dependendo do po de ulzação um deermnado maeral ou produo deverá er. Para cada uma das duas aplcações, calculamos um pono de runcagem específco. Assummos uma suação de aceleração lnear. O parâmero de forma permanece o mesmo, enquano que o parâmero de escala acelerado e o parâmero de vda mínma acelerado foram mulplcados pelo faor de aceleração. A permanênca do mesmo parâmero de forma é uma consequênca maemáca necessára para ser er as duas ouras condções assumdas, ou seja: as hpóeses de se er uma condção de aceleração lnear e uma dsrbução de amosragem

105 4 Webull de rês parâmeros. Caso dferenes níves de ensão apresenassem valores muo dferenes para os respecvos parâmeros de forma, enão ou as dsrbuções de amosragem Webull e Webull Inverda de rês parâmeros não seram os modelos ceros para os dados obdos no ese de vda, ou não eríamos uma condção de aceleração lnear. Fnalmene fzemos uma comparação da efcênca dos modelos Webull e Webull Inverdo de rês parâmeros quando ulzados como dsrbuções de amosragem. Analsando os resulados obdos nos dos esudos de caso, verfcamos que no caso específco do aço ala ressênca e baxa lga er sdo submedo à frcção o valor do parâmero de forma do modelo Webull fo de 4,4. Nesse nível de valor, a precsão dos cálculos ulzando-se essa dsrbução de amosragem se mosra muo mas elevada do que a conseguda com o emprego do modelo Webull Inverdo, devdo à curva da função densdade do modelo Webull Inverdo já esar com uma aparênca alamene sgnfcava de pco ou cone. Desse modo, o modelo Webull de rês parâmeros deverá ser o ndcado, por oferecer uma melhor resposa ao problema de precsão apresenado pelo modelo Webull Inverdo de rês parâmeros, devdo à sua curva da função densdade ser bem mas abrandada (em forma de semcírculo) do que a do modelo Webull Inverdo. Em relação ao exemplo analsado no segundo caso o valor do parâmero de forma do modelo Webull fo de 8,3. Nesse nível de valor, a precsão dos cálculos ulzando-se essa dsrbução de amosragem começa a se mosrar nferor do que a conseguda com o emprego do modelo Webull Inverdo, devdo à curva da função densdade do modelo Webull já começar a apresenar uma forma de pco ou cone. Desse modo, nesse caso específco do aço ala ressênca e baxa lga em relação à ressênca à fadga não nduzda o modelo Webull Inverdo de rês parâmeros deverá ser o ndcado, por oferecer uma melhor resposa ao problema de precsão apresenado pelo modelo Webull de rês parâmeros, devdo à sua curva da função densdade ser bem mas abrandada do que a do modelo Webull. Nesse esudo desenvolvemos uma manera práca e efcaz de se subsur os modelos acelerados provenenes da físca quânca por dsrbuções da famíla de valores exremos, como a Webull ou Webull Inverda de rês parâmeros, ulzando-se como prncípo básco de subsução a Le de Dsrbução de Maxwell

106 5 Maxwell Dsrbuon Law, evando-se as prncpas dfculdades da aplcação desses modelos, as como a esmação do valor das consanes exsenes nos mesmos aravés dos dados provenenes do ese de vda sendo realzado, além da obenção de uma elevada confabldade na ransformação dos dados obdos em condções de aceleração para dados esmados em uma condção normal de uso. Essa meodologa proporcona uma manera de ransformamos empos de falhas obdos em uma condção acelerada de uso para uma condção normal de ulzação sem a necessdade de calcular as consanes presenes dos modelos orgnas da físca quânca. Sendo assm, pode-se rabalhar com pequeno número de ens, dada a não necessdade do cálculo dos referdas consanes provenenes dos modelos da físca quânca. Oura vanagem dessa meodologa dessa meodologa é a possbldade de ulzar o Méodo da Máxma Verossmlhança (maxmum lkelhood) na esmação dos valores dos parâmeros dessas dsrbuções de amosragem. Além dsso, o ese de vda sequencal com runcagem realzado após a obenção dos dados de uma condção acelerada e ransformada numa condção normal de uso mosrou que eses esmadores possuem uma confabldade mínma de 95%. Como recomendação para um desenvolvmeno fuuro dessa lnha de ransformação de rabalho de dados obdos em uma condção de uso acelerada para uma condção de uso normal, sugere-se rabalhar-se em suações nos quas não eremos uma condção de aceleração lnear. Esse problema só agora, após a cração de compuadores de ala velocdade esá começando a ser esudado nos prncpas cenros de pesqusa dos países mas ecnologcamene avançado no momeno. Além dsso, essa ulzação de um modelo de aceleração não lnear, prncpalmene quando as dsrbuções de amosragem forem os modelos de rês parâmeros Webull e Webull Inverdo, ornará necessáro o desenvolvmeno de equações de elevada complexdade ano nos desenvolvmenos como nos cálculos dessas equações na esmação dos emos de falhas em uma condção acelerada de uso.

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108 7 DE SOUZA, DANIEL I.Sequenal Lfe Tesng wh a Truncaon Mechansm for an Underlyng Webull Model.Towards a Safer World, ESREL 2 Conference, Zo, Demchela & Pccnn (eds), 3: , Polecnco D Torno. 6-2 Sepember. Torno, Ialy, 2 a DE SOUZA, DANIEL I.A Truncaon Mechansm n a Sequenal Lfe Tesng Approach wh an Underlyng Two-Parameer Inverse Webull Model. COMADEM 2 Conference, Andrew G. Sarr and Raj B. K. Rao (eds), 4 6 Sepember. Mancheser, UK. 2b. DE SOUZA, DANIEL I.Sequenal Lfe Tesng wh Underlyng Webull and Inverse Webull Samplng Dsrbuons. COMADEM 22 Conference, Raj B. K. Rao and Asoke K. Nand (eds), Brmngham, U.K., 2 4 Sepember 22, 2 28, Comadem Inernaonal. DE SOUZA, DANIEL I.Sequenal Lfe Tesng wh a Truncaon Mechansm for an Underlyng Three-Parameer Webull Model. ICHEAP-6, Chemcal Engneerng Transacons, 23, Vol 3, pp , Sauro Perucc (ed), Psa, Ialy. DE SOUZA, DANIEL I. Applcaon of a Sequenal Lfe Tesng wh a Truncaon Mechansm for an Underlyng Three-Parameer Webull Model. ESREL 24- PSAM 7 Conference eded by Spzer, Schmoker and Dang, Sprngler-Verlang, Germany, Berln, 24a, Vol. 3, pp DE SOUZA, DANIEL I.Sequenal Lfe Tesng Approach Appled o Meallurgcal Producs when he Webull Model Mnmum Lfe s Dfferen from Zero.CONAMET/SAM 24.Eded and publshed by he Unversy of La Serena, Chle, La Serena, 24b, pp DE SOUZA, DANIEL I.A Maxmum Lkelhood Approach Appled o an Acceleraed Lfe Tesng wh an Underlyng Three-Parameer Inverse Webull Model.COMADEM 25 Conference, Mba and Rao (eds.), Vol, pp , Cranfeld Unversy Press publsher. Augus 3-Sepember 7, 25. Cranfeld, UK. DE SOUZA, DANIEL I. Applcaon of a Sequenal Lfe Tesng o an Acceleraed Lfe Tesng wh an Underlyng Three-Parameer Inverse Webull Model. A Maxmum Lkelhood Approach. SINTEF 26, 3 h ESREDA Semnar: Relably of Safey- Crcal Sysems, Langseh, Ed (eds.), SINTEF Publsher, June 7-8, 26, Trondhem, Norway, 3 pp. DE SOUZA, DANIEL I. Amosphere Corroson of Seel Pars Lfe-Tesed n Brazl. SINTEF 26, 3 h ESREDA Semnar: Relably of Safey-Crcal Sysems, Langseh, Ed (eds.), SINTEF Publsher, June 7-8, 26, Trondhem, Norway, 2 pp. DE SOUZA, DANIEL I. & Addad, Assed N. Sequenal Lfe-Tesng wh an Underlyng Three-Parameer Inverse Webull Model - A Maxmum Lkelhood

109 8 Approach. In: IIE Annual Conference and Exposon. Nashvlle, TN: The Insue of Indusral Engneerng, 27. V.. pp USA. DE SOUZA, DANIEL I; FONSECA, DANIELE R.; ADDAD, ASSED N. Corrosão amosférca de Chapas de aço submedas a um ese de vda no Brasl. In. VII Congresso Regonal de Ensayos no Desrucvos y Esruurales, Corende 29 Rosáro, Argenna. V.pp -2, 29. DODSON, BRIAN. Webull Analyss. Mnneapols. ASQ Qualy Press, 994. EBELING, CHARLES E. Relably and Mananably Engneerng. The McGraw- Hll Companes, Inc. New York,997 EDGE, M.; ALLEN, N. S.; WILLIAMS, D. A. R.; THOMPSON, F.; E HORIE, V. Mehods for predcve sably esng of archval polymers: A Prelmnary Assessmen of Cellulose Traceae Based Moon Pcure Flm. Polymer Degradaon and Sably. No. 35. pp ,992. ELSAYED, E.A.Relably Engneerng.Massachusses:Addson Wesley, p ERTO, PASQUALE.New Praccal Bayes esmaors for he 2- Parameer Webull Dsrbuon.IEEE Transacons on Relably, Vol. R-3, No. 2, June, pp USA, 982. FELLER, ROBERT L. Acceleraed Agn Phoochemcal and Thermal Aspecs. The J.Paul Gey Trus. New York, 994. GRAY,G.G. Deermnaon and sgnfcance of acvacon energy n permanence ess. In Preservaon of Paper and Texles of Hsorc and Arsc Value, J. C. Wllams, ed. Amercan Chemcal Socey, Washngon,D.C.,Advances n Chemsry Seres64:286-33,977. GRANT, E. E., LEAVENWORTH, R. S. Sascal Qualy Conrol. McGraw Hll, New York, 988 HARTE, H. e al. Maxmum Lkelhood Esmaon on he Parameers of Gamma and Webull Populaons from Complee and from Censored Samples. Technomercs, nº 7, pp ; erraum,5 (973), pp43,965. HOGG, ROBERT V.; MCKEAN; CRAIG, ALLEN T. Inroducon o mahemacal sascs (5 ed.). Upper Saddle Rver, New Jersey: Prence Hall, 25, 692p. KAPUR, KAILASH AND LAMBERSON, LEONARD R. Relably n Engneerng Desgn. John Wlley & Sons, Inc., New York,977.

110 9 LUIS A. ESCOBAR AND WILLIAM Q. MEEKER.A revew of acceleraed es models.sascal scence, 2(4): , 26. MEEKER, W.Q. AND HAHN, G.J.: How o Plan an Acceleraed Lfe Tes Some Praccal Gudelnes. The ASQC Basc References n Qualy Conrol: Sascal Technques. J. A. Cornell; S. S Shapro (eds.), MlWaukee, Wsconsn, 985. MEEKER, W.Q. AND HAMADA, M. Sascal ools for he rapd developmen and evaluaon of hgh-relably producs. IEEE Transacons on Relably , 995. MOOD, A.M. AND GRAYBILL, F.A. Inroducon o he Theory of Sascs. Second Edon, McGraw-Hll, New York,963. MURTHY, D. N. P; XIE, M. AND HANG, R. Webull Models. Wley Seres n Probably and Sascs, John Wley & Sons, Inc., New Jersey.24 NELSON, W.B. A bblography of acceleraed es plans. IEEE Transacons on Relably. New York, v.54, n.2, p , jun. 25. NELSON, W.B. A bblography of acceleraed es plans par II. IEEE Transacons on Relably. New York, v.54, n.3, p , jun. 25. NELSON, W.B. Acceleraed Tesng, John Wley & Sons, Inc., New York, 99 NELSON, W.B. 982 Appled Lfe Daa Analyss, John Wley & Sons, Inc., New York, NIST/SEMATECH. e- Handbook of Sascal Mehods. Gahersburg: Naonal nsue of Sandards and Technology, 26. Dsponível em: Acesso em: jul.2. TOBIAS, P.A.; Trndade, D.C. Appled Relably. Inernaonal Thomson Publshng,Inc., New York, N.Y, 2 nd Edon, 995 WALD, A. Sequenal Analyss. New York: John Wlley & Sons, Inc., USA,947 WILLIAM Q. MEEKER, LUIS A. ESCOBAR, AND C. JOSEPH LU. Acceleraed degradaon ess: Modelng and analyss. Technomercs, 4:89-99, 998. ZANAKIS, S. H. AND KYPARISIS, J. A Revew of Maxmum Lkelhood Esmaon Mehods for he Three Parameer Webull Dsrbuon. Journal of Sascal Compuaon and Smulaon. 986, Number 25, pp

111 ANEXO Programas de compuadores ulzados no cálculo pernene a esse esudo.. Calculando a Função Densdade do Modelo Webull Inverda de Três Parâmeros FILE FTI4IW.FOR CALCULATING DENSITY FUNCTION THREE PARAMETER INVERSE WEIBULL IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) INITIAL INPUT DIMENSION GPDIW(),TEMPO() OPEN(6,FILE='BANANA',STATUS='NEW') OPEN(4,FILE='RPWI',STATUS='OLD') READ(4,)BETA,THETA,VMIN FORMAT(F4.4) WRITE(6,2)BETA,THETA,VMIN 2 FORMAT(2X,'BETA =',F4.4,5X,'THETA =',F4.4,2X,'VMIN =',F4.4) CALCULATING DENSITY FUNCTION VMINF=VMIN*2. I= A=BETA/THETA A3=BETA+. TEMPO(I)=VMIN+4. 5 CONTINUE A2=THETA/(TEMPO(I)-VMIN) A4=A2**A3

112 A5=A2**BETA A6=-A5 A7=DEXP(A6) A8=A*A4*A7 GPDIW(I)=A8 WRITE(6,25)I,GPDIW(I) 25 FORMAT(2X,'GPDIW(',I3,') =',E 2.7,5X) IF(TEMPO(I).GT.VMINF)GO TO 6 TEMPO(I+)=TEMPO(I)+4. I=I+ GO TO 5 6 CONTINUE STOP END

113 2 2. Calculando a Função Densdade do Modelo Webull de Três Parâmeros FILE FTI4WW.FOR CALCULATING DENSITY FUNCTION THREE PARAMETER WEIBULL IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) INITIAL INPUT DIMENSION GPDW(),TEMPO() OPEN(6,FILE='BANANA',STATUS='NEW') OPEN(4,FILE='RPWI',STATUS='OLD') READ(4,)BETA,THETA,VMIN FORMAT(F4.4) WRITE(6,2)BETA,THETA,VMIN 2 FORMAT(2X,'BETA =',F4.4,5X,'THETA =',F4.4,2X,'VMIN =',F4.4) CALCULATING DENSITY FUNCTION VMINF=VMIN*6. I= A=BETA/THETA A3=BETA-. TEMPO(I)=VMIN+4. 5 CONTINUE A2=(TEMPO(I)-VMIN)/THETA A4=A2**A3 A5=A2**BETA A6=-A5 A7=DEXP(A6) A8=A*A4*A7 GPDW(I)=A8 WRITE(6,25)I,GPDW(I) 25 FORMAT(2X,'GPDW(',I3,') =',E 2.7,5X)

114 3 IF(TEMPO(I).GT.VMINF)GO TO 6 TEMPO(I+)=TEMPO(I)+4. I=I+ GO TO 5 6 CONTINUE STOP END

115 4 3. Méodo de Esmação Máxma Verossmlhaça (Maxmum Lkelhood Esmaor) para o modelo Webull Inverdo Calculando os esmadores de forma e escala FILE MAXIMUM LIKELIHOOD INVERSE WEIBULL CALCULATING ESTIMATORS FOR BETA AND THETA IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) DIMENSION TV(5) INPUT DATA OPEN(4,FILE='MENINA',STATUS='OLD') OPEN(5,FILE='GAROTA',STATUS='OLD') OPEN(6,FILE='BARRA',STATUS='NEW') READ(4,7)AR,AN 7 FORMAT(F.3) WRITE(6,2)AR,AN 2 FORMAT(2X,'NUMBER OF FAILURES = ',2X,F6.,2X, * 'SAMPLE SIZE = ',F6./) LR=AR N=AN DO 9I=,LR READ(5,8)TV(I) WRITE(6,3)TV(I) 9 CONTINUE 8 FORMAT(F5.3) 3 FORMAT(2X,F5.3) BETA=.6 CALCULATING BETA AND THETA

116 5 CONTINUE SUM=. SUM2=. SUM3=. A=AR/BETA DO I=,LR A2=DLOG(TV(I)) A3=(./TV(I))**BETA A4=A2*A3 SUM=SUM+A2 SUM2=SUM2+A3 SUM3=SUM3+A4 CONTINUE A5=(AN-AR) A6=(./TV(LR))**BETA A7=DLOG(TV(LR)) A8=A5*A6 A9=A7*A8 A=A-SUM+AR*(SUM3+A9)/(SUM2+A8) IF(DABS(A).GE..)GO TO 2 GO TO 4 2 BETA=BETA+. IF(BETA.GE.4.)GO TO 3 GO TO 3 CONTINUE WRITE(6,5)BETA 5 FORMAT(2X,'LARGE BETA = ',E 5.7) GO TO 6 4 CONTINUE A=./BETA THETA=(AR/(SUM2+A8))**A WRITE(6,7)BETA,THETA,A 7 FORMAT(/2X,'BETA ESTIMATOR = ',E 5.7, * 2X,'THETA = 'E 5.7//2X,'A = ',E 5.7/)

117 6 6 CONTINUE STOP END

118 7 4. Méodo de Esmação Máxma Verossmlhaça (Maxmum Lkelhood Esmaor) para o modelo Webull Calculando os esmadores de forma e escala FILE MAXIMUM LIKELIHOOD WEIBULL CALCULATING ESTIMATOR FOR BETA AND THETA IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) DIMENSION TV(5) INPUT DATA OPEN(4,FILE='MENINA',STATUS='OLD') OPEN(5,FILE='GAROTA',STATUS='OLD') OPEN(6,FILE='BARRA',STATUS='NEW') READ(4,7)AR,AN 7 FORMAT(F.3) WRITE(6,2)AR,AN 2 FORMAT(2X,'NUMBER OF FAILURES = ',2X,F6.,2X, * 'SAMPLE SIZE = ',F6./) LR=AR N=AN DO 9I=,LR READ(5,8)TV(I) WRITE(6,3)TV(I) 9 CONTINUE 8 FORMAT(F5.3) 3 FORMAT(2X,F5.3) BETA=.6 CONTINUE

119 8 SUM=. SUM2=. SUM3=. A=AR/BETA DO I=,LR A2=DLOG(TV(I)) A3=TV(I)**BETA A4=A2*A3 SUM=SUM+A2 SUM2=SUM2+A3 SUM3=SUM3+A4 CONTINUE A5=(AN-AR) A6=TV(LR)**BETA A7=DLOG(TV(LR)) A8=A5*A6 A9=A7*A8 A=A+SUM-AR*(SUM3+A9)/(SUM2+A8) WRITE(6,5)A 5 FORMAT(2X, A =,E 2.7) IF(DABS(A).GE..5)GO TO 2 GO TO 4 2 BETA=BETA+. IF(BETA.GE.4.)GO TO 3 GO TO 3 CONTINUE WRITE(6,5)BETA 5 FORMAT(2X,'LARGE BETA = ',E 5.7) GO TO 6 4 CONTINUE A=./BETA THETA=((SUM2+A8)/AR)**A WRITE(6,7)BETA,THETA,A 7 FORMAT(/2X,'BETA ESTIMATOR = ',E 5.7,

120 9 * 2X,'THETA = 'E 5.7//2X,'A = ',E 5.7/) 6 CONTINUE STOP END

121 2 5. Cálculo dos lmes superor e nferor e do valor de x e ou w de uma dsrbução Webull de dos parâmeros X AND LIMITS TWO PARAMETER WEIBULL - FILE XALW IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) DIMENSION TIME(5),ULIM(5),ALOLIM(5) DIMENSION FVALX(5),TVOFX(5) OPEN(4,FILE='BACANA',STATUS='OLD') OPEN(5,FILE='BONECA',STATUS='OLD') OPEN(6,FILE='BANANA',STATUS='NEW') READ(4,54)AANA,ALFAER,FIER,BETAUM,BETAZE,THETAUM, * THETAZE 54 FORMAT(F4.3) NA=AANA LIMITS AFR=BETAUM/(THETAUM**BETAUM) AFR=(THETAZE**BETAZE)/BETAZE AFRX=AFR*AFR AVLO=DLOG(AFRX) ALFRER=(.-FIER)/ALFAER ALERLO=DLOG(ALFRER) AUFRER=(.-ALFAER)/FIER ALERUP=DLOG(AUFRER) DO 2 I=,NA AI=I XAI=AI*AVLO ULIM(I)=XAI+ALERUP ALOLIM(I)=XAI-ALERLO WRITE(6,35)AI,ULIM(I),ALOLIM(I) 2 CONTINUE 35 FORMAT(2X,'AI = ',F5.,2X,'ULIM = ',F2.6,

122 2 * 2X,'ALOLIM = ',F2.6,2X,'VALDFX = ',F2.6) VALUE OF X FVALX()=. DO 3 L=,NA READ(5,5)TIME(L) 5 FORMAT(F4.2) WRITE(6,25)TIME(L) 3 CONTINUE 25 FORMAT(2X,F4.2) FA=BETAZE-BETAUM F2A=BETAZE-. SUMTOT=. DO 4 IK=,NA FTIME=(TIME(IK)**BETAUM)/(THETAUM**BETAUM) F2TIME=(TIME(IK)**BETAZE)/(THETAZE**BETAZE) FB=TIME(IK)-AML F2B=TIME(IK)-AMLZ DIFF2=FTIME-F2TIME FB=TIME(IK) CF=DLOG(FB) CFZ=DLOG(F2B) CF=DLOG(FB) FF=FA*CF FFZ=F2A*CFZ FF=FA*CF VALX=DIFF2-FF+FFZ VALX=DIFF2+FF IJ=IK+ SUMTOT=VALX+SUMTOT TVOFX(IK)=SUMTOT 4 CONTINUE DO 5 I=,NA

123 22 ANA=I WRITE(6,35)ANA,ULIM(I),ALOLIM(I),TVOFX(I) 5 CONTINUE STOP END

124 23 6. Cálculo dos lmes superor e nferor e do valor de x e ou w de uma dsrbução Webull de rês parâmeros X AND LIMITS THREE PARAMETER WEIBULL - FILE XALW IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) DIMENSION TIME(5),ULIM(5),ALOLIM(5) DIMENSION FVALX(5),TVOFX(5) OPEN(4,FILE='BACANA',STATUS='OLD') OPEN(5,FILE='BONECA',STATUS='OLD') OPEN(6,FILE='BANANA',STATUS='NEW') READ(4,54)AANA,ALFAER,FIER,BETAUM,BETAZE,THETAUM, * THETAZE,AML,AMLZ 54 FORMAT(F4.3) NA=AANA LIMITS AFR=BETAUM/(THETAUM**BETAUM) AFR=(THETAZE**BETAZE)/BETAZE AFRX=AFR*AFR AVLO=DLOG(AFRX) ALFRER=(.-FIER)/ALFAER ALERLO=DLOG(ALFRER) AUFRER=(.-ALFAER)/FIER ALERUP=DLOG(AUFRER) DO 2 I=,NA AI=I XAI=AI*AVLO ULIM(I)=XAI+ALERUP ALOLIM(I)=XAI-ALERLO WRITE(6,35)AI,ULIM(I),ALOLIM(I) 2 CONTINUE 35 FORMAT(2X,'AI = ',F5.,2X,'ULIM = ',F2.6,

125 24 * 2X,'ALOLIM = ',F2.6,2X,'VALDFX = ',F2.6) VALUE OF X FVALX()=. DO 3 L=,NA READ(5,5)TIME(L) 5 FORMAT(F4.2) WRITE(6,25)TIME(L) 3 CONTINUE 25 FORMAT(2X,F4.2) FA=BETAUM-. F2A=BETAZE-. SUMTOT=. DO 4 IK=,NA FTIME=((TIME(IK)-AML)**BETAUM)/(THETAUM**BETAUM) F2TIME=((TIME(IK)-AMLZ)**BETAZE)/(THETAZE**BETAZE) FB=TIME(IK)-AML F2B=TIME(IK)-AMLZ DIFF2=FTIME-F2TIME CF=DLOG(FB) CFZ=DLOG(F2B) FF=FA*CF FFZ=F2A*CFZ VALX=DIFF2-FF+FFZ IJ=IK+ SUMTOT=VALX+SUMTOT TVOFX(IK)=SUMTOT 4 CONTINUE DO 5 I=,NA ANA=I WRITE(6,35)ANA,ULIM(I),ALOLIM(I),TVOFX(I) 5 CONTINUE STOP END

126 25 7. Cálculo dos lmes superor e nferor e do valor de x e ou w de uma dsrbução Webull Inverda de dos parâmeros INVERTED WEIBULL LIMITS AND X DADOS INICIAIS DIMENSION TIME(4),ULIM(4) DIMENSION FVALX(4),TVOFX(4) DIMENSION ALOLIM(4) DIMENSION BULI(4),BTVOF(4) DIMENSION BALOLI(4) OPEN(4,FILE='BACANA',STATUS='OLD') OPEN(5,FILE='BONECA',STATUS='OLD') OPEN(6,FILE='BANANA',STATUS='NEW') READ(4,54)AANA,ALFAER,FIER,BETAUM,BETAZE,THETAUM,THETAZE 54 FORMAT(F4.3) WRITE(6,58)AANA,ALFAER,FIER,BETAUM,BETAZE,THETAUM,THETAZE 58 FORMAT(2X,'AANA =',F6.2,2X,'ALFAER =',F7.3,2X,'FIER =', * F7.3,2X,'BETAUM =',F7.3/2X,'BETAZE =',F7.3,2X,'THETAUM =', * F4.2,2X,'THETAZE =',F4.3/) NA=AANA CALCULO LIMITES AFR=BETAUM/(THETAZE**BETAZE) AFR=(THETAUM**BETAUM)/BETAZE AFRX=AFR*AFR AVLO=LOG(AFRX) ALFRER=(.-FIER)/ALFAER ALERLO=LOG(ALFRER)

127 26 AUFRER=(.-ALFAER)/FIER ALERUP=LOG(AUFRER) DO 2I=,NA AI=I XAI=AI*AVLO ULIM(I)=XAI+ALERUP ALOLIM(I)=XAI-ALERLO 2 CONTINUE FVALX()=. DO 3 L=,NA READ(5,5)TIME(L) 5 FORMAT(F6.4) WRITE(6,25)TIME(L) WRITE(*,25)TIME(L) 25 FORMAT(2X,F4.2) 3 CONTINUE DIFBE=BETAUM-BETAZE CALCULO DA SOMA TOTAL SUMTOT=. DO 4 IK=,NA FTIME=(THETAUM**BETAUM)/(TIME(IK)**BETAUM) F2TIME=(THETAZE**BETAZE)/(TIME(IK)**BETAZE) TIMEV=TIME(IK) DIFF2=FTIME-F2TIME SEGPAX=DIFBE*LOG(TIMEV) VALX=DIFF2+SEGPAX IJ=IK+ SUMTOT=VALX+SUMTOT TVOFX(IK)=SUMTOT 4 CONTINUE DO 5I=,NA ANA=I

128 27 BAN=ABS(ANA) BULI(I)=ABS(ULIM(I)) BALOLI(I)=ABS(ALOLIM(I)) BTVOF(I)=ABS(TVOFX(I)) WRITE(6,35)ANA,ULIM(I),ALOLIM(I),TVOFX(I) WRITE(6,35)BAN,BULI(I),BALOLI(I),BTVOF(I) WRITE(*,35)ANA,ULIM(I),ALOLIM(I),TVOFX(I) 5 CONTINUE 35 FORMAT(2X, 'ANA =',F5.,2X'ULIM =',F2.6,2X, * 'ALOLIM =',F2.6, 2X,'VALDFX =',F2.6) STOP END

129 28 8. Cálculo dos lmes superor e nferor e do valor de x e ou w de uma dsrbução Webull Inverda de rês parâmeros X AND LIMITS INVERSE WEIBULL 3 PARAMETERS IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) DIMENSION SABF(5),SCDF(5),VALX(5) DIMENSION ULI(5),ALI(5),TVA(6) OPEN(4,FILE='DAXCA',STATUS='OLD') OPEN(6,FILE='CAMBR',STATUS='NEW') INPUT DATA AML=4. AML=68. BET=8.5 BETS=9.5 BET=9.2 BETS=.2 THE=4. THE=42. SABF()=. SCDF()=. ALFA=.5 UIPS=. THB=THE**BET THB=THE**BET NV=2 ANV=NV CALCULATIONS DO I=,NV READ(4,5)TVA(I) WRITE(6,5)TVA(I)

130 29 CONTINUE 5 FORMAT(F4.3) DO 2 I=,NV A=DLN(TVA(I)-AML) AF=BETS*A B=DLN(TVA(I)-AML) BF=-BETS*B SPAB=AF+BF SABF(I+)=SABF(I)+SPAB C=(TVA(I)-AML)**BET CF=-THB/C D=(TVA(I)-AML)**BET DF=THB/D SPCD=BF+DF SCDF(I+)=SCDF(I)+SPCD VALX(I)=SABF(I+)+SCDF(I+) WRITE(6,3)I,VALX 2 CONTINUE 3 FORMAT(2X,'I = ',I4,'VALX =',E 5.8) E=(.-UIPS)/ALFA EF=-DLN(E) F=(.-ALFA)/UIPS FF=DLN(F) G=(BET*THB)/(BET*THB) GF=DLN(G) DO 4 I=,NV ULI(I)=ANV*GF+F ALI(I)=ANV*GF-E WRITE(6,5)I,ULI,ALI 4 CONTINUE 5 FORMAT(2X,'I = ',I4,2X,'ULI = ',E 5.8, * 2X,'LLI = ',E 5.8) STOP END

131 3 9. Cálculo do empo de falhas dos modelos Webull e Webull Inverdo de rês parâmeros FILE FTI4.FOR CALCULATING TIME TO FAILURE WEIBULL AND INVERSE WEIBULL IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) INITIAL INPUT DIMENSION WTIME(5),WITIME(5) OPEN(6,FILE='BANANA',STATUS='NEW') OPEN(4,FILE='RPWI',STATUS='OLD') READ(4,)BETAP,THETAP,AMILI FORMAT(F4.4) WRITE(6,2)BETAP,THETAP,AMILI 2 FORMAT(2X,'BETAP =',F4.4,5X,'THETAP =',F4.4,2X,'ML =',F4.4) CALCULATING TIME TO FAILURES I= RINC=. BETAPI=./BETAP 5 CONTINUE RINVE=./RINC RIWVE=./(.-RINC) COFIW=DLOG(RIWVE) COF2IW=COFIW**(BETAPI) COF=DLOG(RINVE) COF2=COF**(BETAPI)

132 3 WTIME(I)=THETAP*COF2+AMILI WITIME(I)=THETAP/COF2IW+AMILI WRITE(6,25)I,WTIME(I),I,WITIME(I) 25 FORMAT(2X,'WTIME(',I3,') =',E 2.7,5X,'WITIME(',I3,') * =',E 2.7) RINC=RINC+. I=I+ IF(RINC.GT..99)GO TO 5 GO TO 5 5 CONTINUE STOP END

133 32. Calcuado os esmadores para o modelo Webull de rês parâmeros. Ulzando se o méodo Máxma Verossmlhança ( Maxmum Lkelhood). FILE MAXIMUM LIKELIHOOD THREE-PARAMETER WEIBULL CALCULATING ESTIMATORS FOR BETA, THETA AND MINIMUM LIFE IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) DIMENSION TV(5) INPUT DATA OPEN(4,FILE='MENINA',STATUS='OLD') OPEN(5,FILE='GAROTA',STATUS='OLD') OPEN(6,FILE='BARRA',STATUS='NEW') READ(4,7)AR,AN 7 FORMAT(F.3) WRITE(6,2)AR,AN 2 FORMAT(2X,'NUMBER OF FAILURES = ',2X,F6.,2X, * 'SAMPLE SIZE = ',F6./) LR=AR N=AN DO 9I=,LR READ(5,8)TV(I) WRITE(6,3)TV(I) 9 CONTINUE 8 FORMAT(F5.3) 3 FORMAT(2X,F5.3) BETA=.6 FI=.5 CONTINUE SUM=.

134 33 SUM2=. SUM3=. A=AR/BETA DO I=,LR A2=DLOG(TV(I)-FI) A3=(TV(I)-FI)**BETA A4=A2*A3 SUM=SUM+A2 SUM2=SUM2+A3 SUM3=SUM3+A4 CONTINUE A5=(AN-AR) A6=(TV(LR)-FI)**BETA A7=DLOG(TV(LR)-FI) A8=A5*A6 A9=A7*A8 A=A+SUM-AR*(SUM3+A9)/(SUM2+A8) WRITE(6,5)A 5 FORMAT(2X,'A = 'E 2.7) IF(DABS(A).GE..)GO TO 2 GO TO 4 2 CONTINUE 2 BETA=BETA+. FI=FI+. IF(BETA.GE.4.)GO TO 3 IF(FI.GT.TV())GO TO 35 GO TO 34 CONTINUE WRITE(6,5)BETA 5 FORMAT(2X,'LARGE BETA = ',E 5.7) GO TO 6 35 CONTINUE BETA=BETA+. IF(BETA.GE.6.) GO TO 34

135 34 FI=.5 WRITE(6,55)FI 55 FORMAT(2X,'LARGR FI = ',E 5.7) GO TO 4 CONTINUE A=./BETA THETA=((SUM2+A8)/AR)**A WRITE(6,7)BETA,THETA,FI,A 7 FORMAT(/2X,'BETA ESTIMATOR = ',E 5.7, * 2X,'THETA = 'E 5.7//2X,'FI ESTIMATOR = ', * E 5.7,2X,'A = ',E 5.7/) 6 CONTINUE STOP END

136 35. Mecansmo de runcagem para uma dsrbução Webull de rês parâmeros FILE TRUNCATION THREE P WEIBULL - FILE COMA4.FOR CALCULATING E(LN(T-ALOUMZ)) IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) INPUT DATA OPEN(4,FILE='STATE',STATUS='OLD') OPEN(6,FILE='VIAGEM',STATUS='NEW') READ(4,55)ALOC,BETAUM,BETAZE,THETAUM,THETAZE 55 FORMAT(F4.3) ALOUM=25. ALOZE=28. EVLOTH=DLOG(THETAZE) CINTEG=.6 TINICI=ALOZE+.5 NSUMATO=2 IINICI=2 FMULTIP=. BETAFA=./BETAZE CALCULATING G/3 CGINTBE=CINTEG/3. TOTAL SUM COMPUTATION ADICSOM=. TCALCUL=TINICI TOTALSOM=. DO 2I=,NSUMATO

137 36 FACTA=(TCALCUL-ALOC)/THETAZE FACTA2=FACTA**(BETAZE) FACTA3=DLOG(FACTA2) FACTB=-FACTA2 FACTB2=DEXP(FACTB) TOTALFC=FACTA3*FACTB2 IF(I.EQ..OR.I.EQ.NSUMATO)GO TO 4 IF(I.EQ.IINICI)GO TO 3 FMULTIP=2. GO TO 4 3 FMULTIP=4. IINICI=IINICI+2 4 CONTINUE IF(I.EQ..OR.I.EQ.NSUMATO)FMULTIP=. CALLDIR=TOTALFC*FMULTIP TOTALSOM=CALLDIR+ADICSOM ADICSOM=TOTALSOM TCALCUL=TCALCUL CONTINUE CALCULATING E(LN(T-ALOUM)) VELOGT=EVLOTH+BETAFA*CGINTBE*TOTALSOM WRITE(6,32)ALOC,VELOGT WRITE(*,32)ALOC,VELOGT 32 FORMAT(2X,'ALOC =',E2.7,6X,'VELOGT =',E2.7) STOP END

138 37. Mecansmo de runcagem para uma dsrbução Webull Inverda de rês parâmeros FILE TRUNCATION THREE P INVERTED WEIBULL CALCULATING E(LN(T-ALOUM)) IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) INPUT DATA OPEN(4,FILE='STATE',STATUS='OLD') OPEN(6,FILE='VIAGEM',STATUS='NEW') READ(4,55)ALOC 55 FORMAT(F4.3) BETAUM=8.5 BETAZE=9.2 THETAUM=55. THETAZE=588. ALOUM=8. ALOZE=4. EVLOTH=DLOG(THETAZE) CINTEG=.6 TINICI=ALOC+.5 NSUMATO=2 IINICI=2 FMULTIP=. BETAFA=./BETAZE CALCULATING G/3 CGINTBE=CINTEG/3. TOTAL SUM COMPUTATION

139 38 ADICSOM=. TCALCUL=TINICI TOTALSOM=. DO 2I=,NSUMATO FACTA=THETAZE/(TCALCUL-ALOC) FACTA2=FACTA**(BETAZE) FACTA3=DLOG(FACTA2) FACTB=-FACTA2 FACTB2=DEXP(FACTB) TOTALFC=FACTA3*FACTB2 IF(I.EQ..OR.I.EQ.NSUMATO)GO TO 4 IF(I.EQ.IINICI)GO TO 3 FMULTIP=2. GO TO 4 3 FMULTIP=4. IINICI=IINICI+2 4 CONTINUE IF(I.EQ..OR.I.EQ.NSUMATO)FMULTIP=. CALLDIR=TOTALFC*FMULTIP TOTALSOM=CALLDIR+ADICSOM ADICSOM=TOTALSOM TCALCUL=TCALCUL+3. 2 CONTINUE CALCULATING E(LN(T-ALOUM)) VELOGT=EVLOTH-BETAFA*CGINTBE*TOTALSOM WRITE(6,32)ALOC,VELOGT WRITE(*,32)ALOC,VELOGT 32 FORMAT(2X,'ALOC =',E2.7,6X,'VELOGT =',E2.7) STOP END

140 39 2. Cálculo de um esmador para o parâmero vda mínma de um modelo Webull de rês parâmeros FILE TRUNCATION THREE P WEIBULL CALCULATING ESTIMATOR FOR The Mnmum Lfe IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) DIMENSION TVA(6),SRJ(4),ASRJ(4) DIMENSION G2T(5),AG2T(5),BSRJ(4) DIMENSION AASRJ(4) INPUT DATA OPEN(4,FILE='COM',STATUS='OLD') OPEN(6,FILE='CAMBR',STATUS='NEW') BETAV=9.2 THETAV=42. THETAZE=2. FIV=3. CINTEG=.6 NV=9 DO I=,NV READ(4,5)TVA(I) WRITE(6,5)TVA(I) CONTINUE 5 FORMAT(F4.3) ANV=NV CALCULATING G/3 CGINTBE=CINTEG/3. TOTAL SUM COMPUTATION

141 4 CONS=ANV*THETAV*CGINTBE CONS2=ANV*CGINTBE INSP= ALOW=FIV VAX=TVA() UPPER=TVA()-FIV MINT=4 VAIN=(UPPER-ALOW)/. VAIN=. FIVC=FIV VAX=TVA() 8 CONTINUE INSP=2 FIV=ALOW ASRJ()=. AASRJ()=. BSRJ()=. SRJ()=. DO 8 J=,MINT IF(FIV.EQ.ALOW)GO TO 83 IF(FIV.EQ.UPPER)GO TO 83 DO 8 I=,IWIN UVAL=(42./(VAX/3.-FIV))**BETAV AUVAL=./(UVAL**(./BETAV)) SRJ(J+)=SRJ(J)+AUVAL RM=SRJ(J+) FAC=-UVAL FAC2=DEXP(FAC) FAC3=(.-FAC2)**ANV BSRJ(J+)=BSRJ(J)+FAC3 ARM2=BSRJ(J+) RM2=RM*ARM2 8 CONTINUE G2T(J)=RM2

142 4 AG2T(J)=ARM2 IF(INSP.EQ.MINT.OR.INSP.EQ.)GO TO 83 AINSP=INSP SRI=AINSP/2. IRI=INSP/2 IF(IRI.EQ.SRI)GO TO 84 G2T(J)=2.*G2T(J) AG2T(J)=2.*AG2T(J) GO TO G2T(J)=4.*G2T(J) AG2T(J)=4.*AG2T(J) 83 CONTINUE ASRJ(J+)=ASRJ(J)+G2T(J) AASRJ(J+)=AASRJ(J)+AG2T(J) WRITE(6,45)J,ASRJ(J+),AASRJ(J+) 45 FORMAT(2X,'J =',I5,5X,'ASRJ =',E 2.7,5X,'AASRJ =',E 2.7) FIV=FIV+VAIN INSP=INSP+ TET=ASRJ(J+) ATET=AASRJ(J+) WRITE(6,42)TET,ATET 42 FORMAT(2X,'TET =',E 2.7,'ATET =',E 2.7) IWIN=IWIN+ IF(IWIN.GT.NV)GO TO 84 AREA=CONS*TET AREA2=CONS2*ATET*FIV IIWW=IWIN- WRITE(6,2)AREA,AREA2,FIV 2 FORMAT(2X,'AREA = ',E 2.7,5X,'AREA2 = ',E 2.7 *,5X,'FIV = ',E 2.7) GO TO 8 84 CONTINUE FIVC=FIVC+VAIN

143 42 SAREAS=AREA+AREA2 FINDIF=VAX-SAREAS IF(DABS(FINDIF).LE.3)GO TO 9 WRITE(6,62)FIV 8 FIV=FIV+VAIN 62 FORMAT(2X,'FIV = ',E 2.7) GO TO 8 9 CONTINUE WRITE(6,9)FIV 9 FORMAT(2X,'FIV = ',E 2.7) CONTINUE STOP END

144 43 3. Cálculo de um esmador para o parâmero vda mínma de um modelo Webull Inverdo de rês parâmeros FILE TRUNCATION THREE P INVERSE WEIBULL CALCULATING ESTIMATOR FOR THE MINIMUM LIFE IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) DIMENSION TVA(6),SRJ(4),ASRJ(4) DIMENSION G2T(5),AG2T(5),BSRJ(4) DIMENSION AASRJ(4) INPUT DATA OPEN(4,FILE='COMA',STATUS='OLD') OPEN(5,FILE='COIW',STATUS='OLD') OPEN(6,FILE='CAMBR',STATUS='NEW') READ(5,2)BETAV,THETAV,ANV 2 FORMAT(F4.3) FIV=.5 CINTEG=.6 NV=ANV DO I=,NV READ(4,5)TVA(I) WRITE(6,5)TVA(I) CONTINUE 5 FORMAT(F4.3) ANV=NV CALCULATING G/3 CGINTBE=CINTEG/3. TOTAL SUM COMPUTATION CONS=ANV*THETAV*CGINTBE CONS2=ANV*CGINTBE MINT=2

145 44 VAIN=.3 VAIN=3. VAX=TVA() 8 CONTINUE TINICI=TVA() INSP=2 ASRJ()=. AASRJ()=. BSRJ()=. SRJ()=. DO 8 J=,MINT UVAL=(THETAV/(TINICI-FIV))**BETAV AUVAL=./(UVAL**(./BETAV)) SRJ(J+)=SRJ(J)+AUVAL RM=SRJ(J+) FAC=-UVAL FAC2=DEXP(FAC) FAC3=(.-FAC2)**ANV BSRJ(J+)=BSRJ(J)+FAC3 ARM2=BSRJ(J+) RM2=RM*ARM2 G2T(J)=RM2 AG2T(J)=ARM2 AINSP=INSP SRI=AINSP/2. IRI=INSP/2 IF(IRI.EQ.SRI)GO TO 84 G2T(J)=2.*G2T(J) AG2T(J)=2.*AG2T(J) GO TO G2T(J)=4.*G2T(J) AG2T(J)=4.*AG2T(J) 83 CONTINUE ASRJ(J+)=ASRJ(J)+G2T(J)

146 45 AASRJ(J+)=AASRJ(J)+AG2T(J) INSP=INSP+ TINICI=TINICI+3. IF(TINICI.GE.24.)GO TO 9 IF(FIV.GE.7.)GO TO 9 8 CONTINUE TET=ASRJ(J) ATET=AASRJ(J) AREA=CONS*TET AREA2=CONS2*ATET*FIV 2 FORMAT(/2X,'AREA = ',E 5.7,2X,'AREA2 = ',E 5.7 *,2X,'DIF = ',E 5.7) SAREAS=AREA+AREA2 FINDIF=VAX-SAREAS WRITE(6,2)AREA,AREA2,FINDIF IF(DABS(FINDIF).LE.2.)GO TO 92 FIV=FIV+VAIN GO TO 8 92 WRITE(6,93)FIV 93 FORMAT(/2X,'FINAL VALUE OF FIV = ',E 2.7) DIF=DABS(FINDIF) WRITE(6,2)AREA,AREA2,DIF GO TO 97 9 CONTINUE WRITE(6,9)FIV,TINICI 9 FORMAT(2X,'FIV = ',E 2.7,5X,'TINICI = ',E 2.7) 97 CONTINUE STOP END