SOMAS ALEATÓRIAS EM MODELOS DE RUÍNAS

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1 0 de dezembro, 011 OMA ALEATÓRIA EM MODELO DE RUÍNA Andréa Mchel Alzugur Lucana chmd Blaer Morera

2 OMA ALEATÓRIA EM MODELO DE RUÍNA Alunas: Andréa Mchel Alzugur Lucana chmd Blaer Morera Orenador: Crsano Auguso Coelho Fernandes Trabalho apresenado com requso parcal à conclusão do curso de Engenhara Elérca na Ponfíca Unversdade Caólca do Ro de Janero, Ro de Janero, Brasl.

3 Agradecmenos É muo melhor arrscar cosas grandosas, alcançar runfos e glóras, mesmo expondo-se a derroa, do que formar fla com os pobres de espíro que nem gozam muo nem sofrem muo, porque vvem nessa penumbra cnzena que não conhece vóra nem derroa. Theodore Roosevel

4 Resumo Realzou-se esse rabalho com o objevo de apresenar, esudar e modelar a Teora das Ruínas aplcadas na área de seguros. Buscou-se capurar as caraceríscas e peculardades das dsrbuções das varáves envolvdas modelo prncpal aravés de esmações no Além dsso, as deduções de alguns resulados foram realzadas aravés do sofware Maple. Em seqüênca, unr-se-á os méodos de esmação de parâmeros aplcados aos dados referenes aos seguros de veículos o que foram descros pela eora com o que erá sdo observado aravés dos resulados prácos obdos. Palavras-chave: eguro; Teora das Ruínas; oma Aleaóra; Momenos; Dsrbuções de Probabldade.

5 Random sums n run models Absrac Ths work was wren n order o presen, sudy and model he Run heory appled n nsurance. The characerscs and peculares of he dsrbuons of he varables nvolved n he man model were esmamaed Rsk sofware. Moreover, he resuls of some deducons were performed usng he sofware Maple. ubsequenly, usng parameer esmaon mehods appled o vehcle nsurance daa wll jon wha has been descrbed by he heory wh wha has been observed hrough he praccal resuls obaned. Keywords: Insurance; Run heory; Momens; Random sums; Probably dsrbuons.

6 umáro 1. Inrodução... 1 a. A hsóra do seguro... 1 b. Teora da Ruína... c. Rsco e ncereza Meodologa Conceos Relevanes... 7 a. Teora da probabldade e varáva aleaóras... 7 b. Processos Esocáscos omas aleaóras... 9 a. oma de varávea aleaóras ndependenes... 9 b. Momenos de uma soma aleaóra Modelos Clásscos de Ruína a. O processo de rsco b. Modelo de rsco colevo e o modelo de rsco ndvdual Aplcações a. Esmações para seguros de veículos b. Consrução da dsrbução da soma aleaóra Conclusão Bblografa Apêndce... 7 a. Méodo dos momenos... 7 b. Méodo da verossmlhança... 7

7 umáro de abelas Fgura 1- Relação da ruína ao longo do empo... Fgura - Assmera posva (A), nula (B) e negava (C)... 1 Fgura - Classfcações da curose: lepocúrca (a), mesocúrca (b) e placúrca (c)... 1 Fgura - Indenzações pagas pela seguradora no empo Fgura 5- Dsrbução Posson para a varável N Fgura 6- Dsrbução bnomal negava para a varável N Fgura 7- Dsrbução lognormal para a varável X... 0 Fgura 8- Dsrbução Pareo para a varável X... 1 Fgura 9-Dsrbução gama para a varável X... Fgura 10- Dsrbução gama para soma aleaóra... Tabela 1 - Relação enre as axas do PIB e os prêmos de seguros... Tabela - Proporção dos prêmos em relação ao PIB... Tabela - Dealhameno dos prêmos de seguro... Tabela - Dsrbução de prêmos de seguros nos esados brasleros. Fone: UEP.... Tabela 5 - Base de dados. Fone: UEP... 17

8 1. Inrodução Os seguros são nsrumenos de proeção e reparação ndspensáves para o homem moderno, uma vez que ese vve em busca de segurança e esabldade. A mplanação do seguro na socedade esá relaconada com o muualsmo (neração que raz benefíco para ambas as pares envolvdas) e prevdênca (capacdade de maner reserva). O mercado braslero de seguros movmenou mas de R$ 107 blhões em 009, número que corresponde a,1% do nosso Produo Inerno Bruo (PIB). Cerca de 50% dese oal reornou à socedade em ndenzações de seguros geras, posconando o Brasl na 17ª posção mundal dese segmeno. Esses números são reflexos da reomada da economa mundal, mas ambém mosram claramene que a socedade braslera esá cada vez mas conscene do papel posvo dos seguros. O esudo da Cênca Auaral aplcada à área de seguros em conqusado um consderável espaço devdo à uma crescene demanda mundal. Tendo so em vsa, ese rabalho vsa abordar dferenes esmações de dsrbuções probablíscas que modelem de forma mas realísca as varáves aleaóras envolvdas no processo que defne o valor das ndenzações pagas por uma seguradora, bem como suas freqüêncas. A parr das conclusões obdas com esas esmações, será possível a consrução de um modelo que defne o dspêndo oal de uma seguradora. A ruína de uma seguradora, por defnção, ocorrerá quando esse gaso for maor que seu monane ncal somado aos recebmenos mensas provenenes dos segurados. a. A hsóra do seguro A busca pela esabldade sempre eseve presene na vda do homem. Desde os prmórdos o homem enfrena provações aravés das mas dferenes suações que englobam desde varações clmácas a prejuízos fnanceros. Os homens unam-se em grupos aravés de assocações que nham como objevo ressarcr membros que fossem angdos por suações adversas. Com o passar do empo, a coberura do rsco fo foralecda, especalmene durane o mercanlsmo, uma vez que se desenvolveram os chamados conraos de dnhero e rsco marímo, dando níco a gesão de rsco. A prolferação das seguradoras ocorreu de forma mas nensa com a revolução ndusral, uma vez que os avanços ecnológcos e as mudanças na vda codana rouxeram rscos com possbldade de perdas severas. Objevando o aumeno da segurança e o conrole do rsco ao qual se é exposo, surge o seguro. Ese pode ser apresenado como um conrao enre duas ou mas pares, onde uma, chamada segurador, assume um compromsso com o segurado, medane o pagameno de um prêmo, pagando-lhe deermnada quana no caso de ocorrênca do eveno segurado. O seor de seguros no Brasl passou por mudanças sgnfcavas desde a mplemenação do Real em 199. A abela a segur apresena a axa de crescmeno anual do PIB e a axa de crescmeno dos prêmos de seguros dos períodos ndcados: 1

9 Período Taxa de Crescmeno do PIB (%) Prêmos de eguro Nomnal (%) Real (%) 1996, 17, 7,1 1997, 1, 15, ,0 5,5, ,,6 (,0) 000, 1, 6, , 10,, 00,7 8,9 (,) 00 1,1 9,7 0, 00 5,7 1,1 6,0 005,9 1,7 7,6 006,7 11,9 8, , 1,1 7, ,1 15,1 9, Tabela 1 - Relação enre as axas do PIB e os prêmos de seguros Fone: UEP, FENAEG e IBGE. Aualmene, grandes valores são segurados pelas seguradas no Brasl. Tomando-se como base o seor de seguros de países desenvolvdos, acreda-se que o mercado naconal anda não angu seu pleno poencal, como pode ser observado no gráfco a segur: Tabela - Proporção dos prêmos em relação ao PIB

10 A recea de seguros no Brasl é provenene bascamene da venda de apólces de seguros de auomóves, saúde e vda. A abela a segur dealha os prêmos de seguros nos períodos ndcados: Prncpas egmenos 007 Par. de Mercado Exercíco Fndo em 1 de dezembro 008 Par. de Mercado 009 Par. de Mercado Auomóves 1.55,1 7,7% 15.09,85 6,7% 17.9,50 8,5% Ouros ramos elemenares 1.6,15 9,% 17.08,67 9,7% , 5,7% aúde 10.50,6 1,5% 1.79,88,% 1.0,16,1% Vda ,5 1,6% 1.1,6 1,% 1.810,86,7% Toal 8.916,09 100,0% 57.66,0 100,0% ,97 100,00% Tabela - Dealhameno dos prêmos de seguro Fone: UEP e AN. De acordo com a UEP, que é o órgão responsável pelo conrole e fscalzação do mercado de seguros, prevdênca prvada abera e capalzação, em 009, a maor parcela de prêmos de seguros no Brasl (aproxmadamene 65,9%) fo gerada na Regão udese, onde esá concenrado o maor PIB do país. Além dsso, em 009 o Esado de ão Paulo fo responsável por 7,1% do volume oal de prêmos de seguros, segudo pelos Esados do Ro de Janero (10,%), Mnas Geras (7,%) e Ro Grande do ul (7,1%). A abela a segur demonsra a dsrbução de prêmos de seguros enre os esados brasleros para os períodos ndcados: Prncpas esados Exercíco Fndo em 1 de dezembro 007 (%) 008 (%) 009 (%) ão Paulo 8, 6,7 7,1 Ro de Janero 10,7 10,1 10, Mnas Geras 6,8 7,1 7, Ro Grande do ul 7,0 7,0 7,1 Paraná 6, 6, 6, Ouros 0,8,7 1,9 Toal 100,0 100,0 100,0 Tabela - Dsrbução de prêmos de seguros nos esados brasleros. Fone: UEP. egundo esmavas, é provável que ese ano de 011 enre na hsóra do seor de seguros no Brasl. O mercado projea prêmos acma de R$ 00 blhões, com crescmeno de 1%, em relação ao ano de 010. Em empos de ncereza, a socedade sene a necessdade de segurança, sso é observado ano para o âmbo pessoal quano para corporavo. Imerso nesse conexo, faz-se necessáro o esudo de eoras e a modelagem de processos que respaldam as decsões omadas por ambas as pares envolvdas em um seguro. Vso sso, segue o conceo de Teora da Ruína, que na verdade se raa de um dos prmeros modelos que surgram com o propóso de evar e mosrar o pono de ruína de uma seguradora.

11 b. Teora da Ruína A Teora da Ruína é esudada na área de Cêncas Auaras. Uma vez que a eora em quesão é baseada na aplcação de dversos modelos probablíscos e em processos esocáscos, ela ambém é conhecda como eora do rsco colevo. Ela possu sua base pauada em modelos maemácos que vsam descrever os lucros e prejuízos de uma seguradora segundo sua vulnerabldade e nsolvênca. O desenvolvmeno dessa eora perme o cálculo de dversas meddas relaconadas a ruínas como: défc na ocorrênca da ruína, dsrbução dos lucros da seguradora e a própra probabldade de ruína, enre muos ouros. endo assm, esa área passou a arar grande aenção nos úlmos anos, além de ganhar dversas novas conrbuções para seu desenvolvmeno. Exsem dversas dsrbuções capazes de defnr felmene as varáves envolvdas na ocorrênca de um eveno segurado e esmação das ndenzações pagas, pos cada varável possu suas peculardades. A equação que defne o lucro de uma seguradora é apresenada a segur: Onde: U() é o capal da seguradora no empo ; O capal ncal é defndo por u = U(0); U() = u + c (), 0 (1) O prêmo consane pago pelo segurado a cada período unáro de empo é denomnado por c; X 1 () N ( ) Onde X são as ndenzações pagas pela seguradas e N() é o número de evenos de ndenzação (processo de conagem); ()= 0 se N()= 0. Enão, o lucro de uma seguradora é dado pela soma de seu monane ncal e dos prêmos pagos pelos segurados, subraído das ndenzações pagas pela seguradora. Porano, uma seguradora será levada a ruína quando o valor de U()< 0 na equação (1), ou seja, quando as ndenzações pagas pela seguradora forem superores aos recebmenos da mesma, num deermnado período. Para seguros de auomóves esse período é geralmene 1 ano. Fgura 1- Relação da ruína ao longo do empo

12 c. Rsco e ncereza O rsco esá relaconado aos nossos medos, ou seja, udo aqulo que de alguma manera represena algum po de pergo ou chance de perda devdo a deermnado grau de exposção. Dessa forma, defne-se rsco como sendo a probabldade de resulados adversos ou uma esmava para possíves perdas. Esses resulados não esperados advêm das possbldades de perdas, decorrenes das ncerezas relaconadas aos evenos aleaóros envolvdos no processo. Tendo em vsa que se vve em um mundo cercado por ncerezas, o gerencameno de rscos perme a análse e denfcação de alernavas váves na busca de um lme de exposção. Como conseqüênca, surgem rês conceos báscos para esse ssema de apoo a decsão: rsco, reorno e ncereza. O reorno nada mas é que a remuneração, porano um prêmo, pelo rsco ncorrdo durane o exercíco de uma avdade. O rsco é a avalação numérca das ncerezas lgadas ao reorno. Resumndo, o rsco é a medda de ncereza em relação ao reorno esperado. Em seguros eses conceos são vasamene aplcáves uma vez que a essênca de sua eora é baseada na roca de rscos enre a seguradora e o clene. Ou seja, o clene busca se proeger de deermnado eveno, como por exemplo, coldr o auomóvel, ou aé mesmo assegurar qualquer possível problema de saúde. Em conra parda, a seguradora assume o rsco da ocorrênca do eveno segurado. Desa forma, ela fornece ao clene a proeção desejada, medane o pagameno de um valor acordado prevamene (o prêmo do seguro) resulane de esudos relaconados a modelagem, esocascdade e probabldade, esmado a parr da modelagem aproprada que caracerza a dependênca enre o eveno adverso e seus faores de rsco. Quanavamene, o rsco é represenado pelo quanl exremo da dsrbução de probabldade das dsrbuções, o mesmo é descro pela equação: F ( ) Pr( ) ( ) () Onde, α assume pcamene os valores de 95% e 99% (como percens exremos) e o (α) como sendo o quanl assocado. Essa medda de rsco é conhecda como VaR, pos lusra a perda "máxma" a ser ncorrda. A probabldade arbuída a esa perda máxma corresponde ao nível de sgnfcânca do VaR, o qual é de 99% quando a probabldade de perder um valor superor ao VaR é de 1%; de 95%, quando esa probabldade rsco é de 5%. O VaR é calculado com dados do passado para projear o fuuro, e quando o fuuro em pouca correlação com o passado as prevsões podem falhar. Fnalmene, convém salenar que o VaR é sensível a bruscas movmenações, podendo osclar basane de um da para o ouro. Porano, não se raa de uma medda que compreenda segurança e por sso, ela é ulzada, aualmene, juno a ouras ferramenas na omada de decsões e na análse de rsco mas complea e efcene. 5

13 . Meodologa Ao longo desse rabalho dferenes ferramenas serão ulzadas para promover a esruuração do modelo de somas aleaóras que represenará a eora apresenada. Incalmene, a defnção de alguns conceos será relevane para o desenvolvmeno do rabalho, uma vez que será necessáro um maor respaldo para o enendmeno da eora em quesão. Além dsso, será necessáro deduzr algumas equações referenes aos momenos de uma soma aleaóra e para sso usar-se-á o sofware Maple. Com os resulados obdos, seleconaremos as dsrbuções que mas se assemelham ao conjuno de dados baseados no seor de seguros auomoblíscos. Vale ressalar que os dados usados serão referenes aos snsros ocorrdos na Baha enre os ano de 1998 e 006. Para a varável aleaóra que represena as ndenzações, esaremos as dsrbuções de Pareo, lognormal e gama e para a varável aleaóra que represena o número de ocorrêncas, esar-se-á a dsrbução de Posson e a bnomal negava. Para mplemenar as esmações do modelo de somas aleaóras com suas dsrbuções já descras será ulzado o Em seguda, far-se-á uma análse enre os dados observados na práca e eorcamene. 6

14 . Conceos Relevanes Faz-se necessáro a apresenação préva de alguns conceos báscos relaconados ao ema para o melhor enendmeno dos emas apresenados nese rabalho. a. Teora da probabldade e varáves aleaóras A eora da probabldade é pauada na ocorrênca de evenos aleaóros aravés de esudos maemácos desenvolvdos por seu prncpal fundador, Laplace. A probabldade em sua base desenvolvda por eoremas e axomas, onde alguns deses eoremas são descros abaxo: oma das probabldades de odos os evenos é gual 1; Para evenos aleaóros X e Y, a probabldade de sua ocorrênca smulânea será a soma das probabldades de odos os evenos presenes ano em X quano em Y, no caso da nerseção ser vaza, sua probabldade é zero; Para eses mesmos evenos a probabldade de ocorrênca de um ou de ouro será a soma dos evenos perencenes a X e Y. Logo, pode-se classfcar um eveno como aleaóro se, ao ser realzado dversas vezes, sob as mesmas condções, seu resulado é mpossível de ser prevso anecpadamene. O conjuno de odos os possíves evenos de um expermeno aleaóro é denomnado espaço amosral, Ω. Conseqüenemene, cada eveno ou grupo de evenos será consderado um subconjuno de Ω. É relevane ambém a defnção do conceo de varável aleaóra. Esa pode ser enendda como uma função que relacona um eveno qualquer perencene a deermnado espaço amosral, Ω, à somene um valor real. É represenada por leras maúsculas e suas ocorrêncas por leras mnúsculas. Além dsso, ao assumr valores reas, esas são das conínuas, ao passo que serão dscreas caso perençam a um conjuno fno ou nfno enumerável. Por consegune, pode-se classfcá-la como uma varável quanava, cujo resulado é dependene de razões aleaóras. Para deermnar as probabldades de evenos, é naural defnr a dsrbução de probabldade, que é uma função usada para crar hpóeses sobre os evenos. A função dsrbução possu dversas especfcações. No caso de uma únca dmensão esa é conhecda como função de dsrbução cumulava, podendo ser conhecda prevamene ou não: F x ( x) Pr[ X x, - < x < () Esa dsrbução pode ser defnda como dscrea, caso perença a um conjuno conável e dscreo, ou conínua. A obenção da probabldade de um eveno descro por uma dsrbução de probabldade é dada pela negração da função de densdade de probabldade vnculada à mesma. Para uma varável aleaóra X com função dsrbução cumulava Fx (x), é neressane defnr algumas caraceríscas, como a méda (ou expecava), sua varânca e seu k-ésmo momeno em orno da orgem, respecvamene: Var X x df ( x) [ X ( X ) X ) ( X X ) df ( x ) (5) (6) k k E [ X x df ( x) k (7) 7

15 Anda assocada à varável aleaóra X, já defnda anerormene, se faz necessáro defnr a Função Geradora de Momenos (FGM) da mesma: x x M ( ) e e df ( x) (8) Noa-se que a FGM só pode ser defnda no nervalo de convergênca da negral acma descra. A FGM lda prncpalmene com varáves aleaóras cujas funções de dsrbuções cumulavas êm caudas sufcenemene bem comporadas. Além dsso, é correo afrmar que se duas varáves aleaóras êm a mesma FGM, enão suas dsrbuções devem ser dêncas, uma vez que exse uma relação unívoca enre a FGM e a função dsrbução. e dervarmos k vezes a equação de M() em relação a, e fnalmene usando =0, obêm-se: k k X M (0), k 1,,.. (9) b. Processos Esocáscos Processos esocáscos podem ser defndos como processos aleaóros que dependem do empo, ou seja, raa-se de um conjuno de varáves aleaóras, defndas em um espaço esado, ndexadas por um parâmero perencene a R. Com um olhar mas abrangene pode-se nferr qualquer evolução no empo (probablísca ou deermnísca) analsável em ermos de probabldade como um processo esocásco. Ese pode ser classfcado em relação ao seu esado e empo como dscreo (cadea), quando fno e enumerável e, conínuo, caso conráro. O processo dscreo em uma mporane propredade chamada Markovana, ou seja, para a prevsão de valores fuuros, apenas o valor aual do processo é relevane. Logo, no momeno presene esará conda oda a nformação mporane para deermnação da dsrbução de probabldade de amanhã. Resumndo, pode-se afrmar que oda a nformação passada esá expressa no valor aual da sére. Observa-se a aplcabldade deses conceos na área de seguros ao raar-se ano na probabldade de ocorrênca de evenos adversos como na precfcação do rsco ndexado a cada po de suação passível de coberura pela seguradora. Uma vez que não se consegue deermnar o fuuro com precsão, é necessára uma esmava para a realzação de uma análse quanava dos possíves evenos para a obenção de uma melhor nerpreação do cenáro. 8

16 . omas Aleaóras a. oma de varáves aleaóras ndependenes Defne-se como uma soma aleaóra de varáves aleaóras X (ver em equação ()), onde X ~f(x ), para odo, = 1,,...,n. Usando alguns conceos apresenados na sessão aneror, consdere = X 1 + X na equação (8) da Função Geradora de Momenos: ( X 1 ( ) [ 1 X ) X X M E e e e s (10) Pela propredade já conhecda do valor esperado sob ndependênca de X 1 e X, segue que: X1 X X1 X E [ e e e e (11) Assm segue que a FGM da soma aleaóra é um produo das FGMs de X 1 e X : M s ( ) M X ( ) M X ( ) 1 (1) e um conjuno de varáves aleaóras X 1,...,X n forem ndependenes e com função dsrbução cumulava F (para =1,..,n), a dsrbução de sua soma será dada por F 1 *...*F n e em de ser calculada recursvamene. Mas se o conjuno de varáves aleaóras X for ndependene e ver dsrbução dênca F, a dsrbução da soma delas será F* n. E se as mesmas varáves verem uma FGM, M(), comum a odas as varáves aleaóras, por consegune, a FGM de suas somas será M x () n. Como se prova abaxo, para uma soma aleaóra onde as varáves aleaóras são ndependenes e dencamene dsrbuídas, =X X N, em-se que: M ( X 1 ( ) ( ) ( 1 X.. X N E e E e ) X X ) E( e e... e X N ) ( E( e X )) N M N X ( ) (1) Fnalmene, dane de odas esas defnções para varáves aleaóras ndependenes e dencamene dsrbuídas, é naural defnr o valor esperado e a varânca desas varáves endo como base a soma aleaóra, descra a segur, onde, ncalmene, assume- se N consane: N X 1 (1) O valor esperado quando o N é fxo, por defnção, é dado pela equação: N E( ) E( X ) N E( X ) (15) A varânca de uma soma aleaóra é obda pela expressão geral a segur: 1 Var( ) N 1 Var( X ) j cov( X, X ) j (16) Vso que as varáves aleaóras em quesão, X s e X j s são ndependenes, pode-se parcularzar a equação (16), uma vez que a covarânca é zero para qualquer dferene de j. A parr dsso, obem-se o segune resulado: Var( ) N Var( X ) (17) 9

17 b. Momenos de uma soma aleaóra Para aproxmar o modelo da realdade, o número de ermos N, que fo cado na sessão aneror como consane presene na soma aleaóra, será suposo agora como uma varável aleaóra, N(), com dsrbução a ser defnda. Assm emos: X 1 (18) N ( ) A expressão geral para o momeno de ordem m da soma aleaóra pela Le das Expecavas Ieradas pode ser ober como: E( m ) E( m N ) N E( X m ) E( N ) E( X m ), com m= 1,,,.. (19) Para o cálculo da varânca de, ulza-se a expressão conhecda: Var( E( Var N ) Var( X ) Var( X ) N ) Var[ N Var[ N Var[ E( E( X ) E( X ) N ), e assm, segue que: Var ( ) Var( X ) E( N ) [ E( X ) Var( N ) (0) A função geradora de momenos da soma aleaóra é dada por: M ( ) E( e ) E( e N ) M( ) N, onde M() é a função geradora de momenos de X (1) Anes de prossegur, é váldo defnr N como sendo uma varável com espaço amosral função geradora de momeno será dada por:. Logo a sua m( ) n 0 e n p n () Enão, desenvolvendo a equação (1) para seus momenos em orno da orgem, emos: N n M s ( ) M ( ) pn [ M ( ) n 0 () Igualando () e (): n 0 n p [ M ( ) n n 0 e n p n e n M ( ) log M ( ) () Ou seja, pode- se conclur que: M ()=m(log M()). (5) A fm de enconrar os m momenos da soma aleaóra aravés da função M s (), basa dervar a expressão aneror, avalando-as em =0. Além dsso, vale ressalar algumas gualdades relevanes, como: m =M m (0), N m =m m (0) e X m =M m (0), onde m=1,,,... A segur apresenam-se os resulados para os momenos de uma soma aleaóra em orno da orgem: 10

18 1º momeno: = µ = Ms (0)= m (0). M (0), ou seja, =N.X. (6) º momeno: = Ms (0)= m (0). M (0)² + m (0).[M (0)-M (0)², ou seja, ²=N².(X)²+N.Var[X. (7) º momeno: =Ms (0)=m (0).M (0)³+.m (0).M (0).M (0)-.m (0).M (0)³+m (0).[M (0)- M (0).M (0)+.M (0)³, ou seja, ³=N³.(X)³-.N².X.Var[X+N.(X³-X².X+.X³). (8) º momeno: = Ms (0)= m (0). (M (0)) +6.m (0).M (0).(M (0))² - 6.m (0). (M (0)) +.m (0).(M (0))² m (0). (M (0))².M (0) +.m (0).M (0).M (0) + 11.m (0).(M (0)) + m (0).M (0).m (0).M (0).M (0) + 1.m (0).M (0).(M (0))² -.m (0).(M (0))² - 6.m (0).(M (0)), ou seja, =N.(X) +6.N.X.X -6.N.X +N².(X ) -18.N.(X)².X²+.N.X.X³ N².X + N.X.N.X³.X+ +1.N.X².X².N.(X²)² - 6N.(X). (9) A fm de deduzr os momenos da soma aleaóra em orno da méda, orna-se necessáro defnr alguns momenos em orno da méda, e a relação enre momenos em orno da méda com momenos em orno da orgem: Momeno em orno da méda m m E( ), m 1,,,... (0) ' Momeno em orno da orgem m, m 1,,,... m (1) E [ () 11

19 Relações enre os momenos em orno da méda e os momenos em orno da orgem: E [ E( ) ' () E [ E( ) ' ' () E [ E( ) ' ' 6 ' (5) A parr deses resulados é possível enão ober os momenos da soma aleaóra em orno da méda ulzando os momenos cenras de. Logo, subsundo (0), (1) e () em (), () e (5), obêm-se: (6) (7) E [ 6 (8) Desenvolvendo as equações acma proposas (6), (7), (8) a parr das equações já deduzdas para os momenos de uma soma aleaóra em orno da orgem (6) a (9), chega-se aos segunes resulados em função das caraceríscas dos momenos das varáves aleaóras X e N: Varânca de : E [ N².(X)² N.Var[X- N.X ; (9) Tercero momeno de em orno da méda: - (N N³.(X)³-.N². X.Var[X N².(X) X N.Var[X) N.(X³- X².X N.X ;.X³) (0) N.X ( N 6 Quaro momeno de em orno da méda: N N².(X ) X ) (N².(X)².(X) -18.N 6.N -.N.X³.X N³.(X)³ -.N².X.Var[X N.Var[X).X.(X)².X² 1.N.X².X² -. N.(X²)² - 6N.(X) N.X X.N - 6.N.X.X³ N.(X³ - X².X N.X X 11. N².X ;.X³) (1) A parr do ercero e quaro meomeno em orno da méda, pode-se ober os coefcenes de assmera e de curose assocados à varável aleaóra. 1

20 O coefcene de assmera é, por defnção, o quano sua densdade se desva ou se afasa da posção smérca. Uma densdade é smérca em orno da méda µ se e somene se, f(x-µ) = f(µ-x), para qualquer que seja x. Pode-se provar que se f x (x) é smérca em orno de µ, enão x-µ =0. É mporane salenar que se ocorre smera, enão x-µ =0, mas a recíproca não é sempre verdadera, ou seja, exse dsrbução assmérca onde x-µ =0. Ao possur esa caracerísca, o coefcene será do como assmérco nulo. Os desvos posvos e negavos êm a mesma preponderânca e as caudas da dsrbução possuem o mesmo formao. O coefcene pode ser classfcado como assmérco posvo, assmérco negavo e assmérco nulo. A sua expressão para a varável é dada por: A s [ () Já numa dsrbução assmérca posva, os desvos posvos são preponderanes em relação aos negavos. Nesse caso, a cauda à drea é mas alongada que a cauda à esquerda e x-µ >0. Fnalmene, na dsrbução assmérca negava os desvos negavos são preponderanes em relação aos posvos. Nesse caso, a cauda à esquerda é mas alongada que a cauda à drea e x-µ <0. A fgura a segur lusra as dsrbuções assmérca posva (A), smérca (B), assmérca negava (C) e µ B é a méda da dsrbução smérca (B): Fgura - Assmera posva (A), nula (B) e negava (C). Pode-se ober ese coefcene de forma drea, uma vez que suas parcelas já foram desenvolvdas nas equações (9) e (0) com referênca as equações (6) a (9). Com sso, em-se: [N³.(X)³ -.N².X.Var[X - (N N².(X) A s () (N².(X)² X N.(X³ - X².X N.Var[X ) N.Var[X - N N.X ).X.X³) - Por sua vez, o coefcene de curose capura o grau de achaameno de uma densdade em relação a dsrbução normal. Elas podem ser classfcadas como mesocúrca, lepocúrca e placúrca. ua fórmula é apresenada a segur: [ K s () Uma dsrbução é classfcada como placúrca se possur pco mas arredondado com caudas mas curas e mas magras, além de er menor probabldade que a normal de er valores próxmos à méda e menor probabldade que a normal de er valores exremos. 1

21 Uma dsrbução pode ser da como lepocúrca se ver pco mas agudo com caudas mas longas e mas pesadas, além de possur maor probabldade que a normal de er valores próxmos à méda e maor probabldade que a normal de er valores exremos. Fnalmene, se a dsrbução é normal, enão ela é defnda como mesocúrca. Ela será smérca endo seu coefcene de curose K =. A fgura a segur lusra as dsrbuções lepocúrca (a), mesocúrca (b) e placúrca (c): Fgura -Classfcações da curose: lepocúrca (a), mesocúrca (b) e placúrca (c). Como se pode perceber, a nerpreação da curose não é muo smples. O maor ou menor pco, como usualmene é nerpreado, não é o aspeco mas mporane e sm a concenração de valores nas caudas. É possível reescrever a fórmula (), a parr das equações (9) e (1) dos segundo e quaro momenos em orno da méda da soma aleaóra. Resulando em: N.X ( N 6 N N².(X ) X ) (N².(X)².(X) -18.N 6.N -.N.X³.X N³.(X)³-.N².X.Var[X N.Var[X).X.(X)².X² 1.N.X².X² -. N.(X²)² - 6N.(X) N.X X.N - 6.N.X.X³ N.(X³ - X².X N.X X 11. N².X ;.X³) E [ N².(X)² N.Var[X- N.X Var( ); endo assm, pode-se ober ese coefcene de forma drea, como apresenado a segur: K s [ Var(). (5) 1

22 5. Modelos Clásscos de Ruína a. O processo de rsco A ala probabldade de ruína ndca nsabldade de uma seguradora. A fm de evar ocorrêncas adversas, o resseguro, o aumeno dos prêmos e a capação de capal de gro são meddas consderáves. No enano, essa nsabldade não represena a probabldade de quebra da seguradora num fuuro próxmo, na verdade, a ruína pode demorar a aconecer. O processo de conagem descro pela equação (1) é um processo esocásco conínuo no empo N, 0, com N 0 =0, cujas amosras formam uma função degrau, que é desconínua. A nerpreação é que N denoa o número de vezes que um deermnado eveno ocorre enre 0 e, porano as desconnudades represenam a ocorrênca desses evenos e os pulos da função em amanho 1, o que sgnfca que não há ocorrêncas smulâneas. Fgura - Indenzações pagas pela seguradora no empo Essas ocorrêncas podem ser represenadas pelo número de ndenzações, N(), pagas por uma seguradora. Para modelagem de processos dese po, é comum o uso de dsrbuções do po bnomal negava ou Posson. No enano, endo em vsa que o processo de Posson é uma escolha mas smples e popularmene usada para modelar processos de conagens, com parâmero λ>0, o N() pode ser assumdo como sendo um processo de Posson. Enão é um processo composo de Posson, uma vez que é uma soma aleaóra de parâmero λ (valor esperado de ocorrêncas por undade de empo), onde sua méda e varânca são ()=λ.e(x). e Var[()=λ.E(X²)., onde E(X) e E(X²) são os dos prmeros momenos cenras da varável aleaóra X e o valor esperado e varânca de N() equvalem a λ., casos parculares das equações (6) e (7). A varável aleaóra não negava X represena o valor da ndenzação, onde vara de 1 aé N(). Logo, o somaóro das ndenzações pagas aé o período de empo : ()=X 1 +X +...+X N() (6) Para modelar as ndenzações, assume- se que cada X deve ser uma varável aleaóra defnda em posvo, ndependene e dencamene dsrbuído, sendo ndependenes do número de aconamenos N(). Há algumas dsrbuções que podem ser usadas para caraerzar X são elas: lognormal, Pareo e gama. A modelagem por lognormal é mas usada quando a dsrbução dos dados possu caudas mas pesadas, como no caso do seguro conra ncêndos. Já a de Pareo se adequa melhor aos dados cuja probabldade de ocorrênca de valores de ndenzações alas é consderável. O uso da dsrbução gama é recomendado nos casos onde a cauda da FDC não é muo pesada caracerzando assm uma assmera posva. Vale ressalar que esa úlma é comumene ulzada para a modelagem referene a seguros de veículos. + 15

23 b. Modelo de rsco colevo e modelo de rsco ndvdual No modelo ndvdual de rsco, o oal de ndenzações de um porfólo de conraos de seguros é a varável aleaóra de relevânca. Na verdade, é neressane esmar a probabldade de cero capal ser sufcene para aender às ocorrêncas dos evenos segurados, ou seja, o Value-a-rsk assocado ao porfólo cado, sendo o quanl 95% de sua dsrbução de probabldade acumulada. O oal de ocorrêncas é modelado como a soma de odas as ocorrêncas de odas as apólces ndvduas, que são ndependenes, vde equação (18). O Teorema do Lme Cenral, o qual envolve o ajuse de dos momenos, não é sufcenemene precso para a cauda drea de uma dsrbução, para resolver ese mpasse exsem dos méodos que são mas plausíves para al ajuse, são eles: Méodo da Aproxmação pela gama Deslocada e o Méodo da Aproxmação Normal. O modelo do rsco colevo em eguros modela um conjuno de ocorrêncas durane um deermnado empo de duração T. Ou seja, o rsco colevo não raa das apólces ndvdualmene, mas sm de um grupo de apólces anônmas. É váldo lembrar que as ocorrêncas dos evenos não desejados são varáves aleaóras ndependenes e dencamene dsrbuídas, como prevamene apresenado na equação (18), e aqu mosrado novamene a segur: N ( ) X 1 Onde: X esá assocada a -ésma apólce; N() é o somaóro de das apólces ndvduas. É comum assumr que a soma aleaóra das ocorrêncas dos evenos segurados pode ser descra pela dsrbução de Posson, com parâmero λ e função de dsrbução cumulava de um grupo de ocorrêncas ndvduas. Em ermos de aplcabldade, pode-se conclur que o modelo de rsco ndvdual não é o mas aproprado, uma vez que na maora das vezes os dados fornecdos pela seguradora não são das apólces ndvduas, mas sm de um grupo de apólces. Vso sso, o modelo de rsco colevo é o mas ndcado e por sso será ulzado nese rabalho. 16

24 6. Aplcações a. Esmação para seguros de veículos A esmação é a manera mas concrea de aplcar oda a eora vsa aé ese momeno, enão, nessa seção, realza-se uma aplcação do modelo de somas aleaóras para as ndenzações de uma ndúsra de seguros de veículos. endo assm, colearam-se dados referenes ao seor de seguros de veículos naconal. Tendo em vsa a exensão da base de dados, fornecda pela UEP, a qual engloba muas caegoras e grupos, realzou-se uma seleção dos dados. A subdvsão dos mesmos ocorreu para os anos de 1998 a 006. As apólces escolhdas foram referenes às colsões de carros Fa Palo 1.0 para pessoas do sexo masculno de dade enre 6 e 5 anos, resdenes na Baha. eguem na próxma abela as caraceríscas explcadas: Ca.Tarfára Regão Grupos Ano exo Idade Todas Todas Todas Todas Todas Todas Todas Todas Todas BA - Baha BA - Baha BA - Baha BA - Baha BA - Baha BA - Baha BA - Baha BA - Baha BA - Baha Colsão N de nsros Toal de nsros FIAT PALIO Masculno Enre 6 e 5 anos 5.797,00 FIAT PALIO Masculno Enre 6 e 5 anos ,00 FIAT PALIO Masculno Enre 6 e 5 anos ,00 FIAT PALIO Masculno Enre 6 e 5 anos 5 1.6,00 FIAT PALIO Masculno Enre 6 e 5 anos.5,00 FIAT PALIO Masculno Enre 6 e 5 anos ,00 FIAT PALIO Masculno Enre 6 e 5 anos ,00 FIAT PALIO Masculno Enre 6 e 5 anos ,00 FIAT PALIO Masculno Enre 6 e 5 anos Tabela 5 - Base de dados. Fone: UEP ,00 Tendo posse desses dados e conrapondo-os com as dsrbuções sugerdas na seção 5.a, usou-se o para esmar as dsrbuções das varáves aleaóras N e X, descras anerormene como número de snsros e ndenzações, respecvamene. Para uma escolha mas apurada, o elege a melhor dsrbução denre as canddaas aponadas usando o créro da menor esaísca de aderênca χ²(ch quadrado). Ela se basea no uso de hpóeses nulas que, parcularzando para conexo dese rabalho, ulza-se a hpóese nula assumndo deermnada varável aleaóra, y, como perencene a deermnada dsrbução já posulada, f y (y). Ou seja: H H 0 a y c. c. f y ( y) (7) 17

25 Como rabalhar-se-á com o valor esperado de y, o mesmo é defdo pelo número de casos sob H 0 mulplcado pela probabldade de ocorrênca de cada caso, como pode ser observado na equação a segur: y n p( y ) (8) Vale anda ressalar que no caso da varável aleaóra y ser dscrea p(y ) é obdo de forma drea. No caso conínuo (lognormal, gama, pareo, ec), rá represenar os nervalos, y será o número de observações neses nervalos e y será o valor esperado y sob H 0 (hpóese nula). Dessa forma, as respecvas probabldades poderão ser obdas da segune forma: p( y ) y sup eror y nf eror f ( y ) dy (9) O coefcene verfca se os valores observados nos dados se desvam do valor esperado sob uma cera dsrbução posulada. O Ch- quadrado não é um ese paramérco, ou seja, não depende de parâmeros populaconas, como a méda e a varânca. Ele pode ser calculado pela equação: ( y E H E 0 H ( y ) ( y )) 0 (50) Percebe-se que quando os dados observados são próxmos do valor esperado sob hpóese nula, o valor de χ² é bem pequeno, o que mosra um bom encaxe enre os dados e a dsrbução esada. O oposo é observado quando χ² assume valores alos. Um pono fraco desa esaísca é a defnção dos nervalos a serem ulzados e so acarrea em dsnos resulados dependendo da especfcação dos mesmos. 18

26 Modelo para a varável N Para a varável aleaóra N foram esadas duas dsrbuções, Posson e bnomal negava. eguem os resulados obdos: Fgura 5- Dsrbução Posson para a varável N Fgura 6- Dsrbução bnomal negava para a varável N 19

27 Dane deses gráfcos, pode-se observar que a melhor escolha para modelar a varável aleaóra N, que represena o número de snsros, é a dsrbução Posson. eu parâmero λ é 6,67, que corresponde a méda das observações desa varável. Modelo para a varável X Complemenando esa fase de esmações já ncada, é relevane esar a varável aleaóra X, que conempla as ndenzações. Como vso ambém na seção 5.a, as dsrbuções sugerdas são: gama, Pareo e lognormal. No enano, como se esá ulzando o modelo de rsco colevo e a base de dados em uso nese rabalho não fornece dados explícos sobre o valor ndvdual de cada ndenzação, não será possível uma esmação drea a parr da abela 5. Dane dese conexo, é razoável nferr alguns valores para as meddas esaíscas como méda (µ) e varânca (σ ). Além dsso, para ornar o modelo mas realsa é mporane a nrodução de um faor de desvo que represena as franquas, ese será denoado por x 0. A fm de se ober esses valores para esmação ulzou-se a abela 5, dvdndo-se o valor oal de snsros pelo seu correspondene número de ocorrêncas, gerando uma nova coluna de dados. A parr da mesma calcularam-se os segunes valores para méda e varânca e um valor fo arbrado para x 0, coerene com os demas valores: μ * =051,111; σ * = ; x 0 *= O prmero gráfco a ser apresenado é o que lusra os resulados obdos para a dsrbução lognormal~(µ, σ). O mesmo segue, assm como suas caraceríscas: Fgura 7- Dsrbução lognormal para a varável X 0

28 egue agora o resulado para a dsrbução de Pareo: Fgura 8- Dsrbução Pareo para a varável X A ercera dsrbução sugerda pela eora sera a dsrubução gama. Para fns de esmação da mesma, fo necessáro o cálculo de mas alguns parâmeros (α, β, γ) a parr dos dados já fornecdos referenes à sua méda, varânca e desvo. Como pode ser vso em Kaas, R.; Goovaers, M.; Dhaene, J.; Denu, M. Modern Acuaral Rsk Theory (001), págnas 5 e 6, o cálculo dos parâmeros α*, β* e x0* da dsrbução de gama pelo méodo dos momenos, ambém descro no apêndce, podem ser esmados da segune manera: * * (51) * * * (5) * x * o * (5) * Onde: µ* é a méda da varável em quesão; σ* é o desvo padrão da varável; γ* é a assmera e x 0 * é o deslocameno da dsrbução em relação à orgem, represenado aqu a franqua como já poso. Arbundo os valores já enconrados às varáves µ* e σ * e o valor arbrado a x 0 *, pode-se resolver o ssema de equações proposo em (51), (5) e (5), donde, chega-se à esmação dos parâmeros mosrada a segur: α * =1,5599; β * =1956,5; γ * =1,

29 Vso que para a esmação da dsrbução gama é necessáro apenas os parâmeros α *, β * e x 0 *, obem-se aravés o segune resulado: Fgura 9-Dsrbuçao gama para a varável X A análse das rês dsrbuções comprova o que fo afrmado pela eora. A dsrbução gama é, de fao, a que melhor descreve os dados, modelando assm de manera mas fel as ndenzações em um modelo de ruínas. Pode-se observar que os dados ulzados para a consrução da varável X esão bem ajusados e coerenes. b. Consrução da dsrbução da soma aleaóra A escolha da dsrbução que defnrá a soma aleaóra será pauada no própro prncípo da ruína. A fm de evar a quebra de uma seguradora, o número de ocorrêncas de evenos não desejados com uma ndenzação menor em que ser mas freqüenes que aqueles cujas ndenzações são muo alas. Essa defnção sugere uma assmera posva, onde a cauda desa dsrbução é alongada e fna. Porano, fca claro que a dsrbução que melhor se adéqua é a gama, endo em vsa ambém oda a eora apresenada aé ese pono. A esmação da dsrbução da soma aleaóra pode ocorrer de duas maneras dsnas: a prmera é a parr de dados hsórcos, como os observados na abela 5; a oura manera possível é aravés da combnação dos momenos cenras das varáves aleaóras X e N, que são varáves aleaóras posvas e descrevem as ndenzações e o número de snsros, respecvamene. Ambos os méodos serão apresenados segur. De posse da abela 5, onde a úlma coluna represena exaamene os valores de, podera-se ober uma esmação para a dsrbução da soma aleaóra. Porém, noa-se a ausênca de resulado para a dsrbução gama, devdo à falha na convergênca dos dados. Iso ocorre porque o ulza o méodo da verossmlhança, cado no apêndce, como base para suas esmações. Esse mpasse fo movador para o cálculo dessa dsrbução pelo méodo dos momenos, descro ambém no apêndce. Como alernava, a soma aleaóra pode ser ambém descra pela combnação dos momenos cenras das varáves aleaóras X e N, que são posvas e descrevem as ndenzações e o número de snsros, respecvamene. Vso o desenvolvmeno e escolha das dsrbuções adequadas para esas varáves (X, como gama, e N, Posson) pode-se consrur a dsrbução da soma aleaóra. A dsrbução gama é dada pelos parâmeros α*, β* e x 0 *. Eses parâmeros são calculados a parr da méda, varânca e assmera da varável em quesão, como já vso nas equações (51), (5) e (5).

30 Para ober eses valores, faz- se necessára algumas defnções que possblarão seu desenvolvmeno para o caso parcular da soma aleaóra: * (5) * E [ (55) * ( ) (56) Após a apresenação dessas equações, é relevane reper as equações (6), (7) e (0) que represenam suas parcelas: E [ N X N ( X ) N Var[ X N³.(X)³-.N². X.Var[X N.(X³- X².X.X³) - (N N².(X) X N.Var[X) N.X Vso que na seção 6.a foram realzadas esmações com as varáves X e N, que resularam em valores numércos, pode-se aplcar os mesmos nas equações (5), (55), (56), obendo assm os segunes resulados da méda, varânca e assmera de : μ * =1869,; σ * = ; γ * =0,8868. Já em posse deses valores, pode-se esmar dreamene α *, β * e x * 0, parâmeros que defnem a dsrbução gama, a parr das equações (51), (5) e (5), chegando-se aos segunes valores: α * =5,888; β * =11691,67; x 0 * = 67,9.

31 A parr deses valores e fazendo uso do esmou-se a dsrbução gama para a soma aleaóra. O gráfco apresenado a segur represena ese resulado assm como fornece suas prncpas caraceríscas esaíscas como méda, varânca, assmera e curose: Fgura 10-Dsrbução gama para a varável Apesar da escassez de dados para a análse da eora desenvolvda no decorer dese rabalho, conseguu-se desenvolver esmações para as varáves envolvdas no processo de ruína de uma seguradora. De fao, o gráfco obdo para a esmava da soma aleaóra sasfez as expecavas, uma vez que apresenou parâmeros coerenes com os dados rabalhados. No enano, melhores resulados não foram possíves de serem obdos uma vez que a base de dados era lmada, pos a base de dados só engloba nove anos. Iso resulou numa esmação não fel e pouco lusrava para a dsrbução proposa, gama, à varável em quesão, soma aleaóra. Pode-se noar pelo gráfco as marcações dos percens referenes aos VaR de 95% e 99%. Como a dsrbução gama apresena uma nída assmera posva, esses percens aponam as ocorrêncas de evenos exremos, ou seja, de ndenzações de maor valor, uma vez que o VaR lusra a perda máxma ncorrda. Dessa forma, pelo fao desses quans represenarem grandes perdas fnanceras, sua ocorrênca podera levar ao aumeno da probabldade de ruína da uma seguradora. Ressala-se que dferenes pos de écncas de aproxmação poderam er sdo ulzados para esmar a dsrbução da soma aleaóra como, por exemplo, o méodo de Panjer. Ese faz uso da recursão para o cálculo das probabldades f(x). No enano, por demandar nenso esforço compuaconal e maemáco para a obenção de seus resulados, fo fea nese rabalho, a opção pelo uso da dsrbução gama na esmava da dsrbução que defnu a soma aleaóra.

32 7. Conclusão Com a consane necessdade do homem de se proeger conra a ocorrênca de evenos não desejados e acrescdo do fao do aumeno de renda, consumo e expecava de vda, a ndúsra de seguros vem apresenando um crescmeno noóro. As pessoas passaram a valorzar a necessdade de planejar e proeger seu fuuro, anda mas em países emergenes, onde o mercado de seguros possu uma ímda peneração, uma vez que a culura do seguro não é dfundda neses lugares. Nesse rabalho desenvolveu-se uma análse de varáves da eora da ruína, a qual apona o momeno em que os lucros da seguradora passam a ser negavos. Dane de uma gama de dados dsponíves nesa área de seguros, escolheram-se os dados referenes às apólces de auomóves no esado da Baha. Após análses crícas das caraceríscas de cada dsrbução em parcular, pôde-se ressalar aquelas que melhor se enquadraram aponando ambém o porquê das ouras dsrbuções esadas não oberem sucesso. Vale ressalar que o modelo desenvolvdo fo smplsa, ou seja, presuposos herócos não foram ulzados para realzação do mesmo. Não cabe ao coneúdo desse rabalho a análse que defne o pono de ruína de uma seguradora, mas sm a análse das dsrbuções para as varáves aleaóras envolvdas no processo aravés da smulação dos dados usados. Poserormene, realzou-se a conraposção dos resulados com a eora esudada e dealhada. Essas smulações colaboram para o desenvolvmeno mas sóldo do seor, uma vez que razem um melhor enendmeno dos evenos segurados passíves de ocorrênca. A consrução de um modelo que refla mas felmene a realdade deve consderar alguns graus de complexdade. Prmeramene, deve-se descobrr a dependênca denre as nformações fornecdas ao modelo e como descrevê-las de forma coerene. Além dsso, é relevane saber ldar com a dependênca na gesão do rsco nclusve pelo fao dos prncípos dos seguros não serem freqüenemene váldos, uma vez que eses são susceíves a mudanças. A modelagem, porano, desses modelos jamas reflera a verdade absolua observada na realdade. Vso sso, exsem dferenes formas para se ober uma aproxmação para a modelagem dessa dependênca e seus parâmeros. Pode- se alcançar enão resulados mas precsos levando em consderação um ermo referene ao erro; resulados assnócos, represenando uma endênca a deermnado resulado; e o mas comumene ulzado, por se ober um melhor raameno da nformação, são os resulados obdos pela modelagem esocásca. upondo a nserção desses graus de complexdade para a consrução de um modelo mas realísco algumas premssas devem ser adoadas, uma vez que os cenáros são mas nrcados, pos ldam com axas de prêmos não consanes, premssas com ndependênca super relaxadas para nvesmenos, dvdendos e mposos ncorporadas ao modelo. A parr dsso, sera uma solução óma a seguradora nvesr pare de seus recebmenos em ações e oura pare no esouro ou renda fxa. Esa esraéga a proege conra sua ruína, dado o rendmeno fnancero que ela oberá e aravés da margem obda, a seguradora consegurá honrar a coberura dos snsros, sem que so cause um mpaco em seu capal de gro. Apesar de dversos esudos serem conduzdos nesa área, a prevsão da ocorrênca dos evenos segurados bem como quanas vezes eles rão ocorrer é nefcaz, uma vez que são aleaóros. No enano, a necessdade de esmar quanavamene eses evenos levou à esruuração de alguns modelos que smulam esas ocorrêncas. Isso explca o noóro desenvolvmeno da maemáca volada para o seor de seguros. 5

33 8. Bblografa ALBRECHER, H. Dvdends, Run and Bankrupcy. 5h Inernaonal Conference on ascal Modellng n Insurance & Fnance, Maresas, Aprl 10-15, 011. (hp:// hp:// ALBRECHER, H. olvency Modellng wh Dependen Rsks. 5h Inernaonal Conference on ascal Modellng n Insurance & Fnance, Maresas, Aprl 10-15, 011. (hp:// hp:// GERBER, H. U. An Inroducon o Mahemacal Rsk Theory. 1979, Unversy of Pennsylvana, Phladelpha. KAA, R.; GOOVAERT, M.; DHAENE, J.; DENUIT, M. Modern Acuaral Rsk Theory. 001, Kluwer Academc Publshers, Neherlands. PANO, A. Probably Theory and ascal Inference: Economerc Modellng wh Observaonal Daa. 195, Cambrdge Unversy Press. 6

34 9. Apêndce Méodos de esmação a. Méodos dos momenos Ese méodo fo nroduzdo por Karl Pearson em 190. O méodo dos momenos é pouco usado aualmene por er sdo subsuído pelo méodo da verossmlhança, que será vso mas adane, pos os esmadores dese possuem maor precsão e qualdade. Enreano, a verossmlhança pode exgr recursos compuaconas e écncas de solução muo complexas de serem esmadas, ornando-se mas ndcado o uso do méodo dos momenos, vso que ese é mas rápdo e de mas smples desenvolvmeno. endo assm, as esmavas pelo méodo dos momenos podem servr como esmavas prelmnares do méodo da máxma verossmlhança. ua descrção é smples e de fácl enendmeno. eja uma varável aleaóra x, cuja população esaísca é caracerzada por um conjuno de k parâmeros. Consdere ambém uma amosra aleaóra dessa população esaísca de amanho n. erão consderados dos momenos para ese desenvolvmeno. O prmero sera o momeno populaconal esabelecdo como função dos parâmeros: O ouro é referene aos momenos amosras: μ k '= μ k ' (θ 1,...,θ k ) = E (y k ) (57) 1 j m' k yu, j 1: k n u 1: n (58) Ese méodo de esmação se dará por meo da gualdade enre momenos populaconas com seus respecvos momenos amosras. Com sso, chega-se a um ssema de equação resulane mosrado a segur: ' ' k ( 1,..., k ) m k, k {1,,...} (59) A parr enão da resolução dese conjuno de equações, oberemos o conjuno de esmadores referene ao méodo dos momenos. b. Méodo da Verossmlhança O méodo da verossmlhança é mas recomendável, pos possbla realzar nferêncas com propredades alamene desejáves. Denre os movos para o seu uso pode-se car: Ambene conssene para raamenos dos dferenes aspecos da nferênca esaísca: esmação e eses de hpóese; O conceo de verossmlhança é muo próxmo ao de probabldade, de modo que a déa cenral da máxma verossmlhança possu fore apelo nuvo; Pode ser ulzada como créro para seleção de modelos. O esmador de máxma verossmlhança (EMV) é a esaísca que maxmza a função de verossmlhança. É possível ulzar os recursos do cálculo dferencal e enconrar o máxmo de L(θ) dervando-o e o gualando à zero: dl(θ)/dθ=0. Pode-se noar ambém que como o logarmo naural de L é uma função crescene, enão ln(l)=ln(l(θ)) em o mesmo máxmo de L(θ), sendo esa conhecda como função de log-verossmlhança. Esa função é anda mas usada do que a aneror uma vez que sua manpulação maemáca é mas smples, pos orna os produos e produóros em somas e somaóros, respecvamene. 7

35 Além de possur boas propredades, caso ceras condções denomnadas condções de regulardade sejam sasfeas, pode-se dzer que os esmadores possuem as segunes caraceríscas: Conssene; Assnocamene normal; Assnocamene não endencoso; Assnocamene efcene; É claro que, apesar de se raar de um méodo amplamene ulzado especalmene por apresenar boas propredades para sua aplcação na área esaísca, algumas dfculdades referenes a seu uso devem ser aqu cadas: Em geral, necessa da especfcação da população esaísca para ser aplcado. Maemáca não rval. Com exceção de alguns casos, méodos numércos sofscados necessam ser ulzados. Geralmene são méodos eravos (necessando, porano, do esabelecmeno de valores ncas) e pouco rvas. Boas propredades váldas para grandes amosras, podem não ser váldas para pequenas amosras. Esmadores de máxma verossmlhança nem sempre exsem Pode ser sensível à escolha de valores ncas. Em alguns casos, ouros méodos, como o méodo dos momenos, podem ser ulzados para produzr valores ncas. Baseado nesse respaldo eórco o raameno dado a esmação dos parâmeros da dsrbução em quesão, gama, pode ser realzado aravés do méodo da máxma verossmlhança. Por sso, parcularzando para a busca dos parâmeros α e β referenes à dsrbução gama, eremos a segune equação de esmação: L n n y 1 1 (, ) y n n e (60) ( 1) [ ( ) 1 A parr da equação acma e anda levando em consderação o já menconado fao de que o rabalho com a log-verossmlhança além de possur boas propredades é de mas fácl raameno maemáco do que o méodo da verossmlhança puro, a equação a ser ulzada será obda enão a parr do operador logarmo aplcado na equação anecedene como segue: l n (, ) n log( ) n log( ( )) [( 1) log( y ) (61) 1 De posse de ambas as equações, observa-se que como ambém já menconado, ano faz aplcarmos o méodo à (61) ou (6) que o resulado será o mesmo, ou seja, dl/dθ = dl/dθ = 0 resularão na mesma resposa fnal. y 8