Matemática Financeira e Instrumentos de Gestão

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1 Lcencaura em Gesão Maemáca Fnancera e Insrumenos de Gesão [] Carlos Francsco Alves Insrumenos Báscos de Análse de Dados. Conceos Inroduóros População ou Unverso: Uma população (ou um unverso) é consuída pela oaldade dos membros de um dado grupo, e, odos os elemenos que apresenam caracerísrca(s) comum(ns). E: A oaldade dos esudanes da FEP consu uma população («esudanes da FEP»). E2: Clenes do Banco X que são economsas («clenes + economsas»). Amosra: Uma amosra corresponde a um subconjuno de uma dada população. E: Alunos presenes na sala são uma amosra dos esudanes da FEP. E2: 75 clenes do Banco X que são economsas, com cona abera nas agêncas do Poro, em 9 de Seembro de 2005, são uma amosra dos «clenes economsas». MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

2 Conceos Inroduóros Parâmero: Qualquer medda descrva de uma caracerísca de uma população é um parâmero. E: Idade méda, máma e mínma dos esudanes da FEP (3 parâmeros). E2: Saldo médo das conas dos «clenes economsas». Ou o número de «clenes economsas». Undade Esaísca: Undade da população que é objeco de observação. E: Pessoas («esudanes da FEP»). E2: Conas bancáras dos clenes economsas de um dado banco. Varável: As caraceríscas de uma dada população, quando suscepíves de varar de undade esaísca para undade esaísca, são represenadas por varáves. E: X, X 2,..., X N, onde X é a dade (em anos) do -ésmo esudane da FEP. E2: Y, Y 2,..., Y N, onde Y é o saldo da cona o -ésmo clene do Banco. MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Conceos Inroduóros Dfculdades na Analse de Toda a População ou uma Amosra [Inferênca]: () População nfna [E: Conjuno de pressões amosfércas que se verfcam num deermnado momeno à superfíce da erra] () Cuso ecessvo do processo de recolha e raameno de dados de populações fnas [E2: Caracerzação das nenções de voo de uma população consuída por város mlhões de leores] () Tempo ecessvo do processo de recolha e raameno de dados de populações fnas, podendo conduzr à obenção de nformação desacualzada (porque a população se alera) ou obsolea (eceda o prazo denro do qual a nformação é úl). [E3: Saldos médos das conas à ordem dos médcos porugueses] MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

3 Conceos Inroduóros (v) Recolha de nformação com méodos desruvos [E5: Duração de lâmpadas de um dado po; E6: Verfcação da ressênca de um loe de perfs de aço lamnado, recorrendo a eses desruvos] (v) Inacessbldade a alguns dos elemenos da população, p.e. por razões de ordem legal [E7: Caracerzação dos agenes do SIS] [Noção de Amosra Aleaóra] MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Conceos Inroduóros Classfcação de Dados Quano à sua Naureza - Qualavos [não mensuráves] [E: seo, profssão, esado cvl, naconaldade, ec] - Quanavos [mensuráves] [E: alura, dade, dsânca, saláro, emperaura, PIB, ec.] MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

4 Classfcação de Dados Qualavos Quano à Escala Conceos Inroduóros - Nomnal [cada dado é denfcado apenas pela arbução do nome que desgna a sua classe] [as classes devem ser eausvas (qualquer dado perence a uma das classes), muuamene eclusvas (cada dado perence a uma só classe) e não ordenáves (não ese nenhum créro relevane que perma esabelecer a sua ordenação, sendo a ordem da sua apresenação arbrára)] [E: homem/mulher; preo/casanho/louro/ruvo/branco/ouro] -Ordnal [eausvas, muuamene eclusvas e ordenáves] [ese uma herarqua enre as classes defndas, esabelecda de acordo com um créro relevane] [E: clas. de alunos: mau, medíocre, sufcene, bom e muo bom; clenes: A (muo mporanes); B (mporanes); C (menos mporanes)] MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Conceos Inroduóros Classfcação de Dados Quanavos Quano à Escala - Absolua [escala numérca com uma orgem fa, que é zero, ornando válda uma comparação em ermos proporconas] [E: dade; saláro, comprmeno, peso, alura, ec] - Inervalos [escala numérca com orgem arbrára, em que se denfcam as dferenças em ermos quanavos, não endo sendo encarar os valores como proporções] [E: emperaura] MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

5 Conceos Inroduóros Classfcação de Dados Quanavos Quano à Undade de Medda - Valores Absoluos [dados epressos numa undade de medda smples] [E: lros, meros, mlhares de euros, mlhões de pessoas] - Valores Relavos [dados em que a undade de medda represena a razão enre duas undades de meddas smples] [E: PIB per capa; aa de ocupação hoelera] MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Conceos Inroduóros Classfcação de Dados Quanavos Quano ao Valor Assumdo - Dados Dscreos [Varáves Dscreas] [dados que só assumem valores fnos ou nfnos numeráves] [E: número de alunos da FEP] - Valores Conínuos [dados que podem assumr qualquer valor real] [E: dsânca (em Km) percorrda por um a durane um ano em Lsboa; PIB per capa; consumo de gasolna (em lros) por cada 00 m percorrdos, ec] MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

6 Conceos Inroduóros Organzação dos Dados: Séres Temporas e Séres Secconas - Séres Temporas ou Cronológcas [dados de uma mesma undade esaísca ao longo do empo] [E: PIB poruguês anual enre 974 e 2004] - Séres Secconas [dados de váras undades esaíscas referdos ao mesmo momeno do empo] [E: Vendas de auomóves, por marcas, no prmero semesre de 2005] MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Séres Temporas Vol. de Vendas Empresa XPTO [mlhões euros] , , , , , , ,646 Noação: represena o valor da varável X observado em [No momeno de referênca 0]. E: 0 (998) 0 24,00; 25,200; 2 26,208; 3 29,8; 4 28,337; 5 29,753; 6 30,646. E2: 0 (2000) -2 24,00; - 25,200; 0 26,208; 29,8; 2 28,337; 3 29,753; 4 30,646. MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

7 Séres Secconas Vol. de Vendas Empresa XPTO por Produos em 2004 [mlhões euros] X P T O 9,94 0,726 4,597 6,29 Noação: represena o valor da varável X regsado pela -ésma undade esaísca [Referênca depende do créro de ordenação]. E: Ordem Alfabéca [O, P, T, X] 6,29; 2 0,726; 3 4,597; 4 9,94. E2: Ordem (Crescene) de Grandeza [T, O, X, P] 4,597; 2 6,29; 3 9,94; 4 0,726. MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Séres Temporas e Secconas Vol. de Vendas por Produos Empresa XPTO [mlhões euros] X P T O Toal 998 8,435 0,845,205 3,65 24, ,080 8,820,764 4,536 25, ,794 7,862,835 4,77 26, ,2 9,723,945 6,40 29,8 2002,335 9,98,47 5,667 28, ,90 0,44 2,083 5,356 29, ,94 0,726 4,597 6,29 30,646 Noação: X, represena o valor da varável X regsado pela -ésma undade esaísca na daa. E: Ordem X-P-T-O e 0 (997), 8,435; 2,3 7,862; 4,5 5,667. E2: Ordem Alfabéca e 0 (200),0?; 2,-?; 3,2?; 4,?. MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

8 .2 Médas e Varações Absoluas e Relavas Méda Arméca Smples Preço Empresa XPTO [ ] n n Preço Médo ( )/7 8,29 MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Médas Méda Arméca Ponderada Vol. de Vendas Empresa XPTO Produo X Preço [ ] Quandade Aqu: Donde: n w w n p q q com e n q p n q n w p MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

9 Médas Méda Arméca Ponderada Vol. de Vendas Empresa XPTO Produo X Preço [ ] Quandade , , , , , , , ,00 p n w p Preço Médo 70, , , , , , ,08 8,7. p n q p n q Preço Médo ( )/ ,7. MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Médas Méda Geomérca Eemplo: X G n [ege >0] Donde:... 2 n ( + )( + )...( ) + XG n 2 + X G n n ( + ) n Reorno do Mercado Acconsa Ano R 999,3% ,57% ,64% Méda Arméca -8,03% Méda Geomérca -9,3% MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

10 Varação Absolua Séres Temporas Vol. de Vendas Empresa XPTO [mlhões euros] , ,200,00, ,208,008 2, ,8 2,973 5, ,337-0,844 4,237-0, ,753,46 5,653 0, ,646 0,893 6,546,465 Varação enre dos períodos sucessvos:, Varação enre períodos:, MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Varação Absolua Méda Séres Temporas Vol. de Vendas Empresa XPTO [mlhões euros] , ,200,00, ,208,008 2, ,8 2,973 5, ,337-0,844 4,237-0, ,753,46 5,653 0, ,646 0,893 6,546,465 Varação méda enre períodos: +, m, +, + Para 6 ( ): Var. Méda (,00+,008+2,973-0,844+,46+0,893)/6 (30,646-24,00)/6,09 MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

11 Varação Absolua e Varação Méda Séres Temporas Vol. de Vendas Empresa XPTO [mlhões euros] Evol. Var. Efecva Evol. Var. Méda ,00 24, ,200,00 25,9, ,208,008 26,282, ,8 2,973 27,373, ,337-0,844 28,464, ,753,46 29,555, ,646 0,893 30,646,09 *, m, Var. Absolua (6) 6,09 6,546 32,0 3,0 30,0 29,0 28,0 27,0 26,0 25,0 24,0 23, Evol. Var. Efecva Evol. Var. Méda MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Varação Absolua e Varação Méda Séres Secconas Vol. de Vendas Empresa XPTO por Produos em 2004 [mlhões euros] T O X P 4,597 6,29 9,94 0,726,532 3,065,532 2,043 6,29 2,043 [Ulzação menos frequene em Séres Secconas] Varação enre duas observações: +, + Varação enre observações: +, + Varação méda: +, + m +, MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

12 Varação Relava Taa de Crescmeno [Taa de Varação] Vol. de Vendas Empresa XPTO [mlhões euros] , ,200 4,6% 4,6% ,208 4,0% 8,7% ,8,3% 2,% ,337-2,9% 7,6% ,753 5,0% 23,5% ,646 3,0% 27,2% Taa de crescmeno de um período: r, +, Taa de crescmeno de város períodos (ou aa de crescmeno global): δ, + +, MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Varação Relava Dormdas de Esrangeros em Hoelara [Mlhares] Taa de Crescmeno Homóloga Jan Fev Mar Abr Ma Jun Jul Ago Se Ou Nov Dez Toal Fone: INE. Taa de crescmeno homóloga: represenando s o subperíodo condo num período (s, 2,..., n 2, com n 2 a represenar o número de subperíodos) E: (200), 2, 3, 4 (2004); s, 2,..., 2. h MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves h,:s 2004,2003:9,s 2547,88% 2500,s 2004,9 2003,9,s 2003,9 +,s,s 2004,9 2003,9 2

13 Varação Relava Taa de Crescmeno Médo Vol. de Vendas Empresa XPTO [mlhões euros] , , , , , , ,646 [r 7, (30,646/24,00) /6-4,086%] Noe-se que: (+r, ) 2 (+r, ) (+r, )(+r, ) (+r, ) (+r, ) (+r, ) 2 (+r, ) (+r, ) 3 [...] - (+r, ) (+r, ) - (+r, ) (+r, ) Assm: (+r, ) Resolvendo em ordem a r,, em-se: r, (X / ) / - MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Varação Relava Taa de Crescmeno Médo Vol. de Vendas Empresa XPTO [mlhões euros] Evol. Var. Efecva Evol. Var. Méda Evol. Taa Méda ,00 24,00 24, ,200 0,046 25,9,09 25,085 0, ,208 0,040 26,282,09 26,0, ,8 0,3 27,373,09 27,77, ,337-0,029 28,464,09 28,287, ,753 0,050 29,555,09 29,443, ,646 0,030 30,646,09 30,646,203 [Var. abs. consane vs var. relava consane] 33,0 3,0 29,0 27,0 25,0 23, Evol. Efecva Evol. Var. Méda Evol. Cresc. 4,086% MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

14 Varação Relava Taa de Crescmeno Médo vs Taa de Crescmeno Global Vol. de Vendas XPTO [mlhões euros] , , , , , , ,646 [r 3, 4,282% ao ano e δ 3, 8,747% a dos anos, são aas equvalenes. ] Noe-se que: (+r, ) e (+δ, ). Assm: r, (+δ, ) /. r, e δ, são aas equvalenes. r*, e δ, são aas proporconas, com r*, δ, /. MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Varação Relava Taa de Crescmeno Médo vs Méda das Taas de Crescmeno Vol. de Vendas da XPTO [mlhões euros] ,00-24, ,200 4,6% 25, ,208 4,0% 26, ,8,3% 27, ,337-2,9% 28, ,753 5,0% 29, ,646 3,0% 30,793 4,7% [r 7, (30,646/24,00) /6-4,086%] Méda das aas de crescmeno de períodos unáros: r + r Esa aa dfere de r,., A aplcação de médas de aas de crescmeno não conduz a, a parr de. [Idem para aas proporconas. Só a aplcação de aas equvalenes conduz a valores equvalenes] MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

15 Varação Relava Taa de Crescmeno: 0% ao ano Nº Taa Valor Valor Taa Valor Valor Subperíodo Subper. Propor. Incal Fnal Equvalenes Incal Fnal Ano 0,00% ,0 0,00% Semesre 2 5,00% ,0 4,88% Trmesre 4 2,50% ,3 2,4% Mês 2 0,83% ,3 0,80% Semana 52 0,9% ,5 0,8% Da 365 0,03% ,6 0,03% Hora ,00% ,0 0,00% Mnuo ,00% , 0,00% %/4 (+0%) /4 - MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Varação Relava Taa de Crescmeno Conínuo Taa de Crescmeno: 0% ao ano Nº Taa Valor Valor Períodos Propor. Incal Fnal Ano 0,00% ,000 Semesre 2 5,00% , % Trmesre 4 2,50% , X5% Mês 2 0,83% , %5% Semana 52 0,9% , Da 365 0,03% ,578 Hora ,00% ,029 Mnuo ,00% ,09 Insane?? ,092 MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

16 Varação Relava () Crescmeno Dscreo R + m m R aa de crescmeno peródca; m número de subperíodos [E (período ano): Sem 2; Trm 4; Mês 2]; número de períodos de crescmeno. X > 0 m MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves () Crescmeno Conínuo Se m Donde: R e Logarmzando obém-se: R ln e R ( ) ln( ) Varação Relava R aa de crescmeno peródca; número de períodos de crescmeno. e 2,78288 [Nº de Neper] E: e 0% 0.57,092 R ln(0.57,092)- ln(00.000) 0%/ano. E2: e 2,5%4 0.57,092 R [ln(0.57,092)- ln(00.000)]/4 2,5%/Trm. MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

17 () Relação enre Taas de Crescmeno Dscreo e Conínuo Por um lado: E: Por ouro lado: Donde: ( + r + +, R aa de crescmeno conínuo (ou nsanânea) r, aa de crescmeno dscreo e R e + r +, R R ( r, ) e r + + R ln + e, ) Varação Relava e 0% 0.57,092 r, e 0% -0,57092%. Donde: (+0,57092%) 0.57,092. E2: (+0%) 0.00,00. R ln(+0%) 9,530798%. Donde: e 9,530798% 0.00,00. MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Varação da Taa de Varação e Relação enre Varações Percenagens e Ponos Percenuas Percenagens varação relava (epressa em percenagem) de uma dada varável [Taa de Varação] Ponos Percenuas varação absolua de varável epressa em percenagem (pe, varação absolua da aa de crescmeno) [Varação da Taa de Varação] MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

18 Relação enre Varações Relação enre Varações Absoluas Relação enre Varações Absoluas quocene enre a varação absolua da varável dependene (Y) e a varação absolua da varável ndependene (X). () face ao período aneror e varações smulâneas W Y,X +,,, MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Relação enre Varações Relação enre Varações Absoluas Eemplo: W Y,X C PIB 2005T 2005T C PIB 2003T 2003T , Relação enre Varações Absoluas quocene enre a varação absolua da varável dependene (Y) e a varação absolua da varável ndependene (X). W Y,X +, () para períodos e varações smulâneas,, MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

19 Relação enre Varações Relação enre Varações Absoluas Eemplo: W Y,X C PIB 2005T 2004T C PIB 2004T , T Relação enre Varações Absoluas quocene enre a varação absolua da varável dependene (Y) e a varação absolua da varável ndependene (X). W YX () para períodos e varações desfasadas s períodos s+, s, + s+ s MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Relação enre Varações Relavas [Elascdade] Relação enre Varações Relação enre Varações Relavas [Elascdade] quocene enre a varação relava da varável dependene (Y) e a varação relava da varável ndependene (X) percenagem de varação de Y por cada varação percenual unára ( por ceno) de X. ε Y,X, δ δ,, MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

20 Relação enre Varações Relação enre Varações Relavas [Elascdade] E (): MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Relação enre Varações Relação enre Varações Relavas [Elascdade] E2 (8, 2003T): ε C,PIB 2005T,2003T C PIB C C2003:T PIB PIB 2005:T 2005:T 2003:T 2003:T 2003:T ,%,58 6,4% MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

21 Relação enre Varações Relação enre Varações Relavas [Elascdade] ε < Relação nelásca [Y vara relavamene menos que X]. ε Elascdade unára [Y vara ão nensamene quano X]. ε > Relação elásca [Y vara relavamene mas que X]. MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Proporconaldade enre Duas Varáves Proporconaldade Dreca [valores em dc] Parsan Gn Valor Valor Y X X2 X X/Y 2/5 X2/Y 2/5 X3/Y /5 Proporconaldade Dreca: ocorre quando a razão enre as varáves X e Y se maném consane. Consane de Proporconaldade (dreca): é o valor da razão e represena o número de undades de Y que corresponde a uma undade de X. Parsan 2/5 de Gn; Quanos lros de 2/5 de Vermue Seco; Gn são /5 de Creme de Casss. necessáros para Roero Gasronómco de Porugal produzr 25 lros MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves de Parsan? 42 2

22 Proporconaldade enre Duas Varáves Regra de Três Smples [Dreca] Produção Anual de Faos Faos Alfaaes Y X 36 2? 0 Sendo a relação proporconal, em-se: Donde: Regra de Três Smples (dreca): mera aplcação da proporconaldade dreca, admndo que as varáves em causa são drecamene proporconas. MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Quanos faos produzem os 0 alfaaes num ano? Proporconaldade enre Duas Varáves Taas de Crescmeno [Propor. Dreca] Sendo a relação proporconal, em-se: Por ouro lado: Donde: 2 ( ) ( ) + + r 2 r 2 ( + r ) + 2 ( ) 2 r 2 A proporconaldade dreca mplca aas de crescmeno guas para as duas varáves. Consequenemene: r r Y MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

23 Proporconaldade enre Duas Varáves Proporconaldade Inversa Escavação de Valas de Idênco Volume Vala Trabalhadores Das Nº X Y Proporconaldade Inversa: ocorre quando o produo enre as varáves X e Y se maném consane. Consane de Proporconaldade (nversa): é o valor do produo de X por Y. Obs.: Se X duplca, Y passa a meade X*Y 80 Quanos rabalhadores são necessáros para abrr uma MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves vala em 5 das? 45 Proporconaldade enre Duas Varáves Regra de Três Smples [Inversa] Relação Tempo-Velocdade Horas Veloc. [Km/h] Y X 6 36? 54 Sendo a relação proporconal nversa, em-se: * 2 * Regra de Três Smples (nversa): mera aplcação da proporconaldade nversa, admndo que as varáves em causa são nversamene proporconas. A que velocdade em de crcular para demorar apenas 3 horas? Donde: MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

24 Proporconaldade enre Duas Varáves Taas de Crescmeno [Propor. Inversa] Sendo a relação nversa, em-se: Por ouro lado: Donde: ( ) ( ) + r 2 + r ( + r ) ( + ) r 2 2 A proporconaldade dreca mplca rmos dêncos de crescmeno/ decrescmeno para as duas varáves. [A aa a que uma cresce é a aa a que a oura decresce] Consequenemene: r Y ( + r ) MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Proporconaldade enre Duas Varáves Proporconaldade Composa [Dreca] Noe-se que: Donde: 2 2 ( + r) ( ) ( ) + r 2 + r r 2 ( + r ) ( + r ) A relação de proporconaldade cresce (ou decresce) a uma dada aa r. Admem-se aqu aas de crescmeno dversas (mas consanes). A aa de crescmeno (ou decrescmeno) da proporconaldade depende das aas de crescmeno (ou de decrescmeno) de X e de Y. MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

25 Proporconaldade enre Duas Varáves Proporconaldade Composa [Inversa] Noe-se que: Donde: r ( + r) 2 2 ( ) ( ) + r 2 + r 2 ( + r )( + r ) A relação de proporconaldade cresce (ou decresce) a uma dada aa r. Admem-se aqu aas de crescmeno dversas (mas consanes). A aa de crescmeno (ou decrescmeno) da proporconaldade depende das aas de crescmeno (ou de decrescmeno) de X e de Y. MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves Bblografa Chaves, C., Macel, E., Gumarães, P. e Rbero, J. (999), Insrumenos Esaíscos de Apoo à Economa: Conceos Báscos; McGraw-Hll. [Capíulo ] Caderno de Eercícos nº. MFIG - Lcencaura em Gesão - C. Alves

26 Lcencaura em Gesão Maemáca Fnancera e Insrumenos de Gesão [] FIM 26