FORMALISMO LAGRANGEANO EM MECÂNICA CLÁSSICA. Marcos Duarte. Laboratório de Biofísica Escola de Educação Física e Esporte - USP

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1 Laboraóro e Bofísca hp:// FORMALISMO LAGRAGEAO EM MECÂICA CLÁSSICA Marcos Duare Laboraóro e Bofísca Escola e Eucação Físca e Espore - USP A Mecânca é ua cênca eaa, so é, suas les, ua vez epressas e fora e euações aeácas escreve e preze os resulaos e eas uanavas precsas. U problea é ue na aora os casos o fenôeno esuao é copleo, coo o oveno o corpo huano, por eeplo, apresenano uas varáves. Enão, o oelo ulzao para a escrção ese fenôeno, ue sera por eas copleo, é splfcao, coproeeno ass a "eaão" a Mecânca. Grane núero e aplcações a Mecânca Clássca basea-se reaene nas les o oveno, e ewon. Enreano, ese ouras aneras e forular os prncípos a Mecânca, coo as euações e Lagrange, por eeplo. Elas não são eoras novas, pos erva as les e ewon, as são foras ferenes e epressar a esa eora, por eo e conceos aeácos as avançaos. E uos aspecos são as eleganes o ue a forulação newonana, e, e alguns casos, as poerosas, porue pere a solução e alguns probleas ue, se baseaa reaene nas les e ewon, sera uo fícl. Ese rabalho e coo obevo revsar as aboragens a Mecânca Clássca, ulzano o foralso lagrangeano, sobre o oveno o corpo huano. O rabalho se enconra e anaeno e na fase aual escreveos o foralso lagrangeano, ue poe ser enconrao e lvros e Mecânca Clássca caos no fnal. A prncpal fculae nese rabalho nerscplnar é coo aborar conceos e Mecânca Clássca e u nível avançao, coo as euações e Lagrange, one se faz necessáro o conheceno as les e ewon e e cálculo ferencal, para u públco se eses pré-reusos. Porano, correos o rsco e alguas euções ese rabalho sere conseraas ágcas ou arfcas. Por "oelo" não esaos uereno escrever ua reproução físca real e peuena escala, as s escrever u uaro enal splfcao e ua suação físca.

2 Laboraóro e Bofísca hp:// Descrção o oveno Poe-se escrever a posção e ua parícula especfcano u pono no espaço, ese ue se conheça rês coorenaas : z. P y P(,y,z ) Posção a parícula Para escrever o oveno e ua parícula, especfca-se as coorenaas coo função o epo : (), y(), z() ( )... Para u ssea e parículas serão necessáras euações para escrever seu oveno : () O problea básco a Mecânca Clássca é enconrar aneras para eernar funções coo esas, capazes e especfcar a posção os obeos e função o epo, para ualuer suação ecânca. Ano-se coo conheco o sgnfcao e (), poe-se efnr as coponenes a velocae, v, e a aceleração, a, no epo, coo : () v() () () ( ) a ( ) v ( ) () As les o oveno, e ewon Isaac ewon fo o prero a forular e anera coplea as rês les a ecânca (e 687), enuncaas au e oura fora :

3 Laboraóro e Bofísca hp:// oo corpo peranece e esao e repouso ou e oveno unfore, e lnha rea, a enos ue sea obrgao a uá-lo por forças aplcaas sobre ele.. A aa e varação e oeno lnear é proporconal à força aplcaa, e na reção e ue a força age.. Para caa ação ese sepre ua reação co eso óulo e nensae e reção as e seno conráro. a seguna le, o oeno lnear é efno coo o prouo a assa pela velocae a parícula : p() v() () enão, pela seguna le eos : p() v ( ()) F () a() (4) Oura graneza físca porane é a energa cnéca a parícula, ue é aa por : ( ) () v () (5) Que é relaconaa ao oeno lnear, e. (), por : p () () (5a) v Coorenaas Generalzaas A aplcação rea as les e ewon e sseas ecâncos resula nu conuno e euações e oveno, e eros e coorenaas caresanas e caa ua as parículas ue copõe o ssea. E uos casos, ese não é o ssea e coorenaas as convenene para se resolver o problea ou escrever o oveno o ssea. E probleas ue envolve uas parículas, e geral é convenene escolher u ssea ue nclu a coorenaa o cenro e assa, por eeplo. Os sseas e coorenaas coo ese úlo e o e coorenaas caresanas, são englobaos sob o noe e coorenaas generalzaas. U ssea e coorenaas generalzaas é auele e ue as posções as parículas nese ssea poe ser especfcaas. os probleas e ue são necessáras

4 Laboraóro e Bofísca hp:// 4 usar coorenaas generalzaas, poe-se escrever as euações e oveno, e ewon, e eros e coorenaas caresanas e enão ransforá-las e coorenaas generalzaas. o enano, sera eseável e convenene u éoo geral ue esabelecesse reaene as euações e oveno e eros e u conuno e coorenaas generalzaas apropraas. Alé ssso, sera eseáves abé éoos geras para escrever, e alvez resolver, as euações o oveno e eros e ualuer ssea e coorenaas. al éoo fo nvenao por Lagrange (e 788), e é escro a segur. Euações e Lagrange Quano se escreve u ssea e parículas usano u conuno e coorenaas generalzaas uasuer,..., esas esão relaconaas co as coorenaas caresanas por: (... )... (6) (... )... (7) As coponenes caresanas a velocae e função as coorenaas generalzaas são : (,... ) (8) Iso é, ua coponene caresana ualuer a velocae a parícula e função as coorenaas generalzaas é função e oas as coponenes a posção e a velocae na coorenaa generalzaa : (...,... )... (8a) Enão, a energa cnéca será : (9) Usareos o pono sobre a varável para abé represenar a ervaa eporal esa. Para não sobrecarregar a noação eareos e enconar eplcaene a epenênca eporal as varáves.

5 Laboraóro e Bofísca hp:// (9a)... (9b) (9c) E analoga à Mecânca newonana, e. (4), poe-se pensar ue as euações e oveno poe ser obas gualano-se a aa e varação eporal co o epo e caa oeno generalzao, p, à força generalzaa, F, corresponene : p F () E ulzano a e. (4a) : (a) pos (b) Fazeno a ervaa o prouo na e. (a) : p () Mas pos (4) Enão p (5)

6 Laboraóro e Bofísca hp:// 6 O prero ero a euação aca, é efno coo a força generalzaa, Q, so é, ferene a Mecânca ewonana, a varação eporal o oeno generalzao é gual à força generalzaa as u ouro ero, ue será scuo a segur. o seguno ero a Euação aca, o ero ( ) é ua função e e poe ser ervao coo : (6) Mas se olharos para a euação (8) veos ue o úlo ero a euação aca poe ser obo por : (7) Coparano as e. (6) e (7) eos : (8) Por ouro lao, é possível relaconar o ero ( ) co a ervaa a energa cnéca co relação a coorenaa : (9) Usano a e. (8), a e. (9) orna-se (0) Volano, a euação (5) orna-se : Q p () A ervaa e ua função f ue epene e g ue por sua vez é função e, f(g()), poe ser oba por : () ( ) ( ) g g f g f.

7 Laboraóro e Bofísca hp:// 7 Q Q (a) Agora vaos analsar a força Q. Ela poe ser ecoposa e os eros :. O prero, coposo pelas forças conservavas,.e., forças ue poe ser escras coo graenes e poencas : V ( ) QC, V V... () U eeplo e força conservava é a força gravaconal.. O seguno, englobano oas as forças não conservavas, coo a força e aro e a força uscular nu oveno, por eeplo, Q C. Enão V ( ) Q QC, V V... () A e. (a) orna-se : V Q C (4) Rearranano, eos : ( V ) ( V ) Q C 4 (4a) Defnno L L...,... ) V (5) ( Coo a função e Lagrange ou Lagrangeana, eos a euação e Lagrange : L L Q C... (6) 4 Iso é possível pos V 0.

8 Laboraóro e Bofísca hp:// 8 Vínculos Ua classe porane e probleas e Mecânca, e ue as euações e Lagrange são parcularene úes, é coposa e sseas subeos à ação e vínculos. Vínculo é ua resrção na lberae o oveno e ua parícula ou e u ssea e parículas.u corpo rígo, ou o oveno e u pênulo, são eeplos e sseas e parículas subeo ação e vínculos. Poe-se osrar, e fora seelhane, ue a euação e Lagrange, euza au para u ssea se vínculos, abé é vála para u ssea e parículas sob a ação e vínculos. A euação e Lagrange, para u ssea e parículas e co vínculos, é enão efna coo : L L Q C... (7) Conserações sobre o foralso lagrangeano Prero, eve ser reerao ue o foralso lagrangeano não consu ua nova eora. Os resulaos e ua análse lagrangeana ou newonana eve ser os esos para ualuer ssea ecânco, soene o éoo ulzao para se ober os resulaos é ferene. One o foralso newonano á ênfase a u agene eerno agno sobre o corpo, a força, o éoo e Lagrange anpula soene co uanaes assocaas co o corpo, as energas cnéca e poencal. a verae, o conceo e força não enra no foralso lagrangeano. Esa é ua porane propreae o éoo. Dese ue a energa é ua uanae escalar, a função lagrangeana para u ssea é nvarane para ransforações e coorenaas. Porano, é possível passar e u cero espaço e confgurações ( no ual as euações e oveno poe ser u ano coplcaas ) para u espaço ue poe ser escolho para perr a áa splfcação o problea. ós esaos acosuaos a pensar e sseas ecâncos e eros e uanaes veoras coo força, velocae, oeno angular, orue, ec., as no foralso lagrangeano as euações e oveno são obas neraene e eros e operações escalares no espaço e confgurações.

9 Laboraóro e Bofísca hp:// 9 Ouro aspeco porane a analoga força versus energa é ue e suações one não é possível eplcar oas as forças agno sobre o corpo, ana é possível ober epressões para as energas cnéca e poencal. Descrção o oveno huano Assuno ue os segenos os ebros o corpo huano poe ser agnaos coo pênulos coposos co uos graus e lberae, e evo à geoera anaôca coplea e ao não oal conheceno a eora e conrole neurouscular, o euaconaeno e análse a avae huana ana é u problea espnhoso na boecânca oerna. O esenvolveno e oernas écncas para uanfcar o oveno huano e a copuação e capacao análses e oelaenos as copleos. o enano, e geral, a boecânca ana é ua cênca fenoenológca, resra à escrção o oveno observao e forças envolvas. u seno as aplo, a escrção o oveno huano na boecânca plca na nvesgação o efeo as forças nernas e eernas no oveno. Bascaene há os pos e forças nernas : ) Forças o úsculo ou o enão e ) Forças e vínculo e oenos a arculação. As forças eernas são a força a gravae, e reação, e nérca e e ressênca, por eeplo. A vanage a forulação lagrangeana para a escrção o oveno é ue as forças nernas e vínculo não aparece eplcaene nas euações e oveno, ua vez ue o núero e graus e lberae (conseueneene o núero e euações) é o núero e coorenaas enos o núero e vínculos o ssea. Soene as forças o úsculo e o enão para caa grau e lberae são eplcaene enconaas coo as forças generalzaas (Q C a e. 7). O prero e prncpal problea, é ue no euaconaeno, o oelo para a escrção o oveno huano esuao eve ser o as copleo e as próo o "real" possível, sea no foralso newonano ou lagrangeano. Por eeplo, a escrção o anar pare e u oelo e u segeno conserano apenas o ebro nferor para aé u oelo e 7 segenos conserano o corpo nero [,]. Caso conráro os resulaos obos levarão a ua nerpreação errônea a realae. Ua vez escolho o oelo aeuao, poe-se euzr as euações e Lagrange para o oveno.

10 Laboraóro e Bofísca hp:// 0 O próo problea é ue esas euações e oveno eve ser resolvas nversaene, ua vez ue não conheceos as epressões leras para as forças generalzaas. Ese problea é efno coo o "problea nâco nverso" e boecânca []. Há os proceenos para resolver al problea. O prero é er eperenalene os aos as posções os segenos e ferencá-los nuercaene para ober as velocaes e acelerações corresponenes. Subsuno eses aos cneácos nas euações e oveno e conheceno as eas anropoércas, poe-se ober u ssea e euações algébrcas one soene as forças generalzaas são esconhecas. o enano, os erros nas eas anropoércas e a ferencação nuérca, ue agnfca os erros eperenas na ea as posções, coproee a confança nos resulaos obos. O seguno proceeno ulza u processo eravo para eernar as forças generalzaas ue nzarão a energa oal no oveno, ulzano enão créros óos para nzar a energa. O problea é ue a seleção eses créros carece e funaenos fsológcos e ue os valores específcos para as forças e vínculo não poe ser eernaos. A eernação as forças nernas os úsculos e as arculações ana é u problea não resolvo na boecânca, as seguraene consue-se na base funaenal para a elhor copreensão e créros para o conrole e oveno. A ulzação o foralso lagrangeano, ele própro u conceo ue ulza o prncípo e nzazão e energa (para forças conservavas), na escrção o oveno huano, nca ue o elhor euaconaeno, enuano enro ese foralso, se ará na esensão o conceo e nzação e energa para o oveno huano, ua vez ue o conceo e ína ação se aplca à naureza, e o hoe esá nsero enro ela. Por úlo, por ue a ecânca é ua cênca eaa, ela é laa na escrção o oveno huano. A copleae e u organso vvo, só poe ser oalene enena co auílo e eoras e sseas copleos, coo a eoras e sseas nacos não lneares, por eeplo. Referêncas []. D. I. Mller, Mecne an Scence n Spors, (), 5 -, (979).

11 Laboraóro e Bofísca hp:// []. H. Haze, J. Moor Behavor, 9(), 80-87, (987). []. E. Y. S. Chao, Boechancs of he Hunan Ga, n : Froners n Boechancs, eos báscos sobre o foralso lagrangeano : H. Golsen, "Classcal Mechancs, o e. Eora Ason-Wesley, 980. J. B. Maron, "Classcal Dynacs of parcle an syses", o e. Eora Acaec Press, 970. K. R. Syon, "Mecânca", o e. Eora Capus, 986. J. L. Synge e B. A. Grffh, "Prncples of Mechancs", o e. Eora McGraw-hll, 949.