CAPÍTULO 3 MÉTODO DE ELEMENTOS DISCRETOS NA SIMULAÇÃO DE CORRIDAS DE DETRITOS

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1 CAPÍULO 3 MÉODO DE ELEMEOS DISCREOS A SIMULAÇÃO DE CORRIDAS DE DERIOS 3.1. Flosofa da Modelage A odelage é a represenação aeáca de u ssea real, as esa não é perfea, fora do caso de u ssea lnear sples. Ua odelage deve, denro do possível, ser valdada co experêncas prácas ou calbrada co observações no capo ou laboraóro. Por ouro lado, u conceo de grande confusão co a defnção aneror é a sulação que é a prograação, anpulação e análse de resulados do odelo nu copuador. Iso pere fazer avalações dos parâeros do odelo se aores perdas de epo, alé do que o esado do ssea pode ser conhecdo e qualquer oeno e aé pode-se observar processos possíves de vsualzar na vda real. Enão, falar-se-á agora sobre os enfoques as usados na odelage de corrdas de deros. E geral, o enfoque da odelage deses fenôenos pode-se dvdr e rês grandes grupos: enfoques esaíscos, deerníscos e odelos a escala [3], [4]. FIGURA 3.1- Méodos nuércos couene usados na odelage de corrdas de deros.

2 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros Modelos Esaíscos Eses odelos são usados prncpalene na avalação poencal da aeaça por corrdas, pos são éodos sequanavos. U bo odelo epírco deve enar ser rápdo, objevo e reproduzível, que possa ser usado quando o epo, dados, orçaeno o pessoal são nadequados para poder aplcar éodos sofscados [10]. Rckenann (1999) debae que as corrdas de deros e fenôenos slares são ão coplexos que os éodos nuércos por as avançados que fore são lados para as aplcações prácas. Ese auor não consderou que as sulações pode elhorar o enendeno do fenôeno e ecansos de ocorrênca para produzr eddas prevenvas efcazes ane ese po de aeaça. eses odelos, os auores ena correlaconar alguas caraceríscas báscas das corrdas coo a áxa dsânca percorrda, vazão pco, velocdade áxa ou volue co as observações de capo ou laboraóro. Conudo, das correlações são dfíces de ober, pos as observações dreas no capo ou provas a escala são uo ladas. A dsponbldade de u acervo esaísco de evenos be descro ou de experêncas de laboraóro realsa e uos países é nexsene, as e ouros é de ua cronologa uo recene. Ass, são poucos os países que dspõe dese acervo. Cabe enconar que as bases de dados do Canadá, Esado Undos, Japão e Coundade Européa são nvejáves. E especal, a base de dados negrada dos países da Coundade Européa (DOMODIS, DOcuenaon of MOunan DISasers) [5], alvez seja a as coplea aualene, pos e regsrado evenos nos as dversos abenes e condções geológcas possíves, desde fluxos no fundo do Mar do ore aé nos Alpes para os úlos 0 anos. Rckenann (1995) propôs que prero deve ser avalada a probabldade de ocorrênca de corrdas e depos se deve esar quanavaene os parâeros as poranes enconados anerorene. São ndspensáves as bases de dados de evenos passados ass coo descrções sedenodológcas e lológcas. Os parâeros as usados são: a área da baca hdrográfca, o gradene, o índce geológco enre ouros, correlaconados co o volue da assa.

3 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 64 Especfcaene sob ese enfoque, a escola suíça é a as desacada denre as ouras prncpalene no uso das análses regressvas [19]. Zerann e colaboradores (1997) achara que a varável as sgnfcava na deernação da dsânca de percurso da corrda era a área da baca, A (e K ): 0,6 χ 0. A (3.1) Eses auores deernara que esa equação é dferene para aquela que descreve avalanches de deros, pos esa úla depende da grandeza do gradene da rajeóra seguda. Ese fo o ndíco para que Rckenann propusesse ua relação onde deonsra a dependênca co o volue de sedenos (Vol, 3 ) co a vazão pco (Q p ) enre dos evenos slares: / 6 Vol QP * 0,1 Vol * 0, 1 Vol (3.) 1 QP1 Q Rckenann (000) propôs equações slares às usadas na hdráulca na deernação da vazão áxa. Anda que o fenôeno físco das corrdas de deros não seja coparável co as equações para u fludo puro, as les do rege urbuleno pere alguas sludes. Ass por exeplo, a ípca equação de ressênca de Mannng ou Chezy usada na hdráulca pode ser usada co as segunes udanças: v C H r α S β (3.3.a) Onde: po de Fluxo C r α β Relação Q* Fluxo lanar newonano g 3 µ 1 µ* 0 Q* 3/5 Fluxo Dlaane ξ 1,5 0,5 ξ* 150 Q* -/5 Fluxo urbuleno newonano: Mannng n -1 0,67 0,5 n*0,077 Q* -1/15 Fluxo urbuleno newonano: Chezy * C 0,5 0,5 C * * Fluxos de deros ransenes C 1 0,3 0,5 C 1 * 10 Q* /5 abela 3.1- Valores de coefcenes e expoenes da equação (3.3.a) para corrdas de deros [19]. Alguns auores russos, chneses e japoneses propõe varações da equação (3.3.a) co os segunes valores: 0,5 < α < 0,67 e 0,5 < β < 0,5. Ua oura relação para a velocdade éda do fluxo de deros é [10] : v Q 0,33 0,33,1 S (3.3.b)

4 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 65 Ua vez conhecda a largura aproxada do canal pelo qual ocorre o fluxo, co a equação (3.3.a) ou (3.3.b) pode-se deernar a vazão áxa do fluxo. Conudo so, ese auor propôs ua relação dferene enre a vazão áxa Q P ( 3 /s) e o volue ( 3 ) para fluxos derícos de lodo: 0,8 Q P 0,05 Vol (3.4) Enquano que Msuyaa (199) esara a vazão coo: Q P Q P 0,78 0,135 Vol para o fluxo deríco granular (3.5.a) 0,79 0,0188 Vol para o fluxo deríco de laa (3.5.b) E coo se pode aprecar nas equações anerores, a vazão é aor nos fluxos derícos granulares do que nos de laa. Por ouro lado, Rckenann abé esudou a dsânca de percurso da corrda: L 0,5 350 Vol (3.6.a) Para aeras aluvonares, esa dsânca L f é dado por: L f 1/ 3 * 15 Vol (3.6.b) Mas, na Iála, ese auor deernou a segune relação: L f 0,75 * 7 Vol (3.6.c) Por ouro lado, abé ê sdo caso de esudo as condções de ocorrênca deses evenos, prncpalene orgnados por chuvas nensas. ese caso, a escola alana receneene apresenou rabalhos consderando propredades da curva caracerísca para solos parcalene saurados procláscos e a precpação na regão sul da Iála [6]. ese rabalho, os auores propõe duas relações para a deernação de precpações que podera ncar a ocorrênca de ua corrda de deros: a prera só é fea por análse esaísca das precpações que ocasonara ua corrda de deros, enquano que a segunda é forulada consderando a sauração do solo durane as precpações aé produzr a corrda: 0,39 14,8 d (3.7.a)

5 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 66 Z, 48 d 0 K Z (3.7.b) d o Brasl, Kanj e Massad (00) propusera ua relação slar para os evenos ocorrdos na Serra do Mar no Esado de São Paulo [1]. Esa relação consdera precpações de larga duração (város das ou seanas) nas quas aconecera corrdas de deros prncpalene para nensdades alas durane curos períodos de duração. 0,41,4 d (3.7.c) FIGURA 3.- Precpação acuulada versus duração de orena relaconada à ocorrênca de corrdas de deros e grandes deslzaenos [1]. Exse esudos as dealhados sobre ese aspeco co consderações eórcas as fores [7]. U ouro faor de esudo esaísco e sdo a relação do coefcene de ressênca e o volue da corrda coo fo vso na secção..5.1 do capíulo aneror. E geral, eses éodos enfoca-se sobre a axa de perda do volue no fluxo (vazão), geoera do canal por onde escoa o fluxo e geoera físca do processo [3].

6 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros Modelos Deerníscos Sob ese enfoque, os auores deerna relações físcas que caracerza a naureza da corrda. Ass, exse odelos uo sples aplcáves a ceros experenos sob condções uo conroladas aé os odelos que consdera a naureza dnâca não-lnear do fenôeno das corrdas. Co so, ua corrda de deros é consderada u eo não-lnear vscoelasoplásco copressível que precsa de alguas splfcações para poder ser odelado aeacaene [9]. De aí que alguas odelagens segue ua das segunes suposções: O fluxo de deros é u fludo conínuo sorópco. O fluxo de deros é u fludo ncopressível. As ensões sorópcas e deforações voluércas são desprezíves, só são consderadas as deforações causadas por ensões desvadoras. A aceleração vercal é desprezível. Segundo a naureza do ssea, o enfoque deernísco e dos grandes grupos. O prero consdera o fluxo coo u eo conínuo caracerzado pelas velocdades (Enfoque Eulerano) ou pelas posções dos nós e esudo (Enfoque Lagrangano), no qual pode ser aplcadas as les de connudade físca e o segundo grupo consdera o fluxo coo ua coposção de eleenos unáros co geoera defnda As parículas age enre s edane les físcas ou por sples ação do oveno naural do fluxo. o prero grupo a écnca nuérca de aor sucesso e sdo o Méodo dos Eleenos Fnos (FEM), co o qual o fluxo é consderado coo u só eleeno pelo que sua caracerzação é dada para a assa oda envolvda no oveno, desprezando as parculardades nernas desa. Ass por exeplo, o fenôeno de segregação drea ou nversa não pode ser odelado denro dese enfoque. E geral, nese grupo as écncas de solução pode ser analícas ou nuércas, sendo as preras o grupo as lado nas aplcações prácas [3].

7 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 68 Por ouro lado, a écnca nuérca as usada do segundo grupo é o Méodo dos Eleenos Dscreos (DEM). Sob ese enfoque o fluxo é vso coo u eo de undades geoércas defndas que age enre s de al fora que o coporaeno global é vso coo o soaóro deses coporaenos. O prncpal problea dese éodo é a grandeza dos epos nas sulações quando se raa de uas parículas enando se aproxar ao caso real Méodo dos Eleenos Fnos (FEM) ese éodo geralene são usadas as equações de aver-sokes de conservação de assa e as de conservação de oenu. Esas equações pode ser oadas sob dsnos suposos, dos quas os as ulzados são aqueles relavos ao ssea e esudo: volue de conrole negral ou dferencal. Co o enfoque do volue negral não se requer ua nforação sobre a varação das pressões e velocdades no conorno pelo que o enfoque é uo praco e úl na solução de probleas de ecânca de fluxos. Poré as condções de fronera no volue de conrole no problea de corrdas de deros é porane, pos o coporaeno dese vara segundo o gradene de velocdades. ese caso, usase o enfoque do volue dferencal o qual esuda o equlbro nu pono do volue e co écncas de negração pode-se deernar as varações no conorno de do volue. Anda que ese enfoque não seja o neresse prncpal dese rabalho, ao enos se descreverão as equações báscas e se coenarão alguns casos de esudo, pos eses éodos são os as predonanes na leraura consulada e e alguns casos os auores conclue no fao de consderar o DEM coo u éodo alernavo no esudo das corrdas de deros na sulação de ceros processos que não pode ser sulados co o FEM. 1. Equação de Connudade (Conservação de assa) Consderando u volue nfnesal co velocdade V r u î v ĵ w kˆ. Enão, por conservação de assa no volue [8], [9] :

8 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 69 ( ) eleeno sando enrando (3.8) ( ) ( ) ( ) dxdz dy y v v dydz dx x u u dydz dx x u u ( ) ( ) ( ) dxdy dz z w w dxdz dz z w w dxdz dy y v v ( ) dxdydz (3.9) Splfcando (3.9): ( ) ( ) ( ) ( ) w z v y u x (3.10.a) 0 z w y v x u z w w y v v x u u (3.10.b) A equação (3.11) é foralene apresenada coo: ( ) 0 V D D (3.11.a) FIGURA 3.3- Volue de conrole nfnesal da assa. Onde o dferencal do aeral é: z w y v x u D D (3.11.b)

9 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 70. Equação de Conservação de oenu (Equações aver-sokes) Dada ua assa nfnesal δ, sob o capo gravaconal g e aplcando a segunda Le de ewon, e-se que [8], [9] : δ F δf δf δ a (3.1) SUPERFÏCIE CORPO Segundo a FIGURA 3.4 o equlíbro de forças na dreção x ve dado por: σ x τ ( dxdydz) g x x yx zx δ Fx dxdydz (3.13.a) y τ z Slarene, nas ouras dreções e-se: FIGURA 3.4- Volue de conrole nfnesal da assa. τ x σ ( dxdydz) g y xy y zy δ Fy dxdydz (3.13.b) τ x y τ τ z ( dxdydz) g z xz yz z δ Fz dxdydz (3.13.c) y σ z Usando as equações (3.13) e (3.1), obé-se: σ x x τ yx y τ zx dxdydz z Du ( dxdydz) g x ( dxdydz) D (3.14.a) τ xy x σ y y τ zy dxdydz z Dv ( dxdydz) g y ( dxdydz) D (3.14.b) τ xz x τ yz y σ z dxdydz z Dw ( dxdydz) g z ( dxdydz) D (3.14.c)

10 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 71 Sabendo que por sera: τ yx τ xy yz τ zy τ τ xz τ zx (3.15) Enão, fnalene obé-se a equação de conservação de oenu na sua fora as geral: DV σ j j g j (3.16) D x Co as equações (3.11.a) e (3.16), e fazendo uso das caraceríscas reológcas vsas na secção..5, alguns auores ê desenvolvdo sulações de corrdas de deros usando écncas de negração nuércas especas que são aé referênca nesa área de pesqusa. A avalação conjuna desas duas equações e sdo resolvda levando e cona a naureza das condções ncas (enfoque eulerano ou lagrangano) e a densão da análse. As análses undensonas são uo reduconsas, as análses bdensonas fca reservadas a ceras condcones ou suposções splfcadores dos casos reas. Mas ua análse rdensonal negral não e sdo alcançada a causa das lações dos odelos reológcos nesa densão. Alás, a écnca as usada consdera o fluxo quase-rdensonal, pos o volue de conrole é sufceneene pequeno para supor que as varações vercas são consanes. O Méodo da Inegração de Espessura Méda (Deph Avaraged Mehod, DAM) [30], [31] e sdo a écnca nuérca as usada na solução das equações (3.11.a) e (3.16), pos supõe varações nulas da velocdade na vercal o que pere splfcar e u grau as equações anerores. Geralene a negração realza-se edane o algoro de Garlekn [3]. Savage e Huer (1989) [9] propõe a eora das avalanches de deros co a aplcação dese éodo, descrevendo prncpalene assas granulares conínuas co coporaeno frcconar de Coulob, usando ano o esquea de dferenças fnas eulerano e lagrangano. Mas arde o úlo auor raara o fluxo sobre superfíces curvas [33]. O Bren e Julen (1993) [9] copara resulados da sulação nuérca co resulados produzdos no prograa FLO-D prncpalene usado para análse de

11 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 7 aeaça de fluxos de lodos. Eses auores deerna o nflexível do FLO-D para sular segregação, salo hdráulco ou ondas de choques. Hun (1994) [9] analsa o fluxo de deros coo se fosse u fludo newonano lanar. A prncpal conrbução dese auor esá e enar sular o fluxo coo lanar vscoso. Wang e Shen (1999) [34] são os preros e apresenar ua sulação undensonal sob o enfoque lagrangano para o fluxo resulane na rupura de ua barrage. Ao eso epo nroduze o éodo Hdrodnâco de Parículas Suaves (SPH) ao analse de corrdas de deros. Por ouro lado, Hungr (003) [35], [36], [37] propôs u éodo FEM lagrangano b e rdensonal ulzando créros do SPH para garanr connudade na negração para sular alguns evenos no Canadá. al vez ese seja o odelo as copleo dese gênero. Os resulados fora aplcados a sulações conroladas de laboraóro e u caso real de avalanche de deros co resulados prossóros. Ese, se dúvda, é u dos auores as desacados sobre o ea. Ele propõe os objevos a sere segudos e qualquer ação para desenvolver ua odelage de corrdas de deros, os quas ê do grande aceação enre a coundade nernaconal. Eles são [35] : O odelo devera perr deernar ensões nernas ansorópcas, nãohdrosácas as quas pode ser conroladas por ua reologa nerna dferene da reologa basal. Deve perr a sulação de enrada e saída de aeral durane o fluxo. Deve perr a ulzação de as de u odelo reológco que vare na rajeóra do fluxo ou denro da assa do eso. Deve perr grandes deslocaenos ass coo rafcações da assa se probleas de dsorção na alha dos eleenos. Deve ser agável para o usuáro e efcene para faclar reroanálse e calbrações co casos reas.

12 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 73 FIGURA 3.5- Saída da sulação da corrda de deros Frank de 1917 [37]. abé, Chen e Lee (000) [38] descreve ua forulação rdensonal para a solução das equações de conservação de assa e oenu usando o esquea de Galerkn e a quadraura Gaussana do pono nerédo para sulações de evenos e Hong Kong. Ese é a análses e FEM rdensonal sob o enfoque eulerano as coplea aé agora desenvolvda. Ese rabalho rearca a porânca na represenação do erreno, pos desa depende as forças de gravdade e aro que age sobre a assa e oveno. A negração é fea co algoros euleranos, as a alha faz uso das eodologas espacas lagranganas para grandes deslocaenos Méodos de Eleenos Dscreos (DEM) Sob ese enfoque, a assa do fluxo é vsa coo coposa de undades unfores geoércas desconnuas, cujo coporaeno ndvdual esascaene deerna o coporaeno global. Pode-se desngr quaro eapas fundaenas na consrução da lógca do DEM [4], [39]. Prero, a seleção da geoera das parículas (parículas b ou rdensonas; polígonos ou dscos, poledros ou esferas). ese caso são parículas po dsco. Segundo, o desenvolveno de u algoro efcene peranene na deecção dos conaos. Esa é a eapa que consue as epo de cálculo. O

13 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 74 núero de operações depende à vez do núero de parículas e da fora desas. Ese pono é o de aor neresse dese rabalho, onde é aplcado u algoro unáro de procura de conaos e u algoro de represenação de paraenos curvas lnearzados. ercero, a prograação das les físcas às quas obedece as parículas para a deernação dos seus deslocaenos. Pode ser as les da ecânca clássca ou les adapadas. O presene rabalho segue as les físcas newonanas. Fnalene, a vsualzação da sulação propraene da e resulados. FIGURA 3.6- Eapas da lógca dos Méodos de Eleenos Dscreos. Ua descrção dos prncpas éodos dese grupo apresena-se a connuação: A. Celas Auôaas Ua cela auôaa é u espaço geoérco que pode esar preenchdo ou e branco. Ua parícula, nese caso, é represenada por ua cela preenchda. A confguração das celas (esado auôaa) evolu aravés do epo e espaço sob deernadas regras. ese éodo o espaço e epo são desconínuos. O éodo fo descro pela prera vez por John Conway (1970) e ua das suas prncpas caraceríscas é que não precsa de les físcas puras senão de relações epírcas sples que reproduze o coporaeno naural do fenôeno. Ese é u éodo qualavo co ênfase na reprodução vsual de fenôenos. A escola alana é que as experênca e no uso dese éodo, prncpalene na regão sul da Iála [40]. Esa escola desenvolveu u odelo sobre celas hexagonas bdensonas.

14 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 75 FIGURA 3.7- Sulações usando celas auôaas un e bdensonas [4]. B. Enfoques Epírcos Sob ese enfoque esão aqueles éodos que não usa as les da físca newonana, as são defndas geralene por relações esaíscas. O éodo de Mone Carlo é o as faoso e ulzado na ecânca esaísca. A déa é não calcular as rajeóras das parículas senão usar feções aleaóras esaíscas que refla a realdade do fenôeno. Ass, e vez de les físcas usa-se les probablíscas pelo qual é u éodo uo efcene para sulações co u núero grande de parículas. Sua desvanage radca no fao de desprezar os efeos de borda das parículas e sua pouca flexbldade na vsualzação. C. Enfoques Msos Eses enfoques sura a rapdez dos éodos epírcos co a flexbldade dos enfoques newonanos. D. Enfoques ewonanos Sob esa perspecva, o deslocaeno e conaos são deernados pelas les da ecânca clássca. ese enfoque esão agrupadas duas escolas: corpos deforáves e não-deforáves. eses enfoques, o epo de cálculo é uo porane no desepenho do éodo.

15 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 76 Escola de Corpos deforáves Fundada por Cundall e 1971, as fo dada a conhecer e 1979 quando Cundall e Srack publcara o odelo de eleenos dsnos ou dscreos [41]. ese enfoque, o conaco das parículas é odelado coo ua coposção de aolas e aorecedores sulando o efeo de aro e dsspação de energa pela colsão enre parículas segundo as les de repulsão de ewon. Para deernar a varação eporal do ssea precsa-se negrar u ssea de equações de segunda orde. Ese odelo já e avançado á enfoques rdensonas co aor facldade do que os éodos desenvolvdos co FEM. FIGURA 3.8- Sulação sob o enfoque newonano de DEM [33]. Escola de Corpos ão-deforáves Sob esa escola, os conaos são ponuas e as parículas ê coefcenes de aro e de resução edane os quas são feos os cálculos das velocdades desas depos do choque. A probabldade de que duas parículas vznhas eseja e conao é nula, caso conráro à da escola aneror. Por ese ovo a prera escola se adapa à naureza real das assas densas quase esácas, enquano esa segunda é deal para as assas não uo densas e dnâcas. rabalhos feos sob ese enfoque serão descros na segune secção. É porane consderar que a evolução dese odelo na sulação de corrdas de deros é uo recene. O éodo e sdo uo usado na sulação de suras granulares de processos ndusras e na área da suspensão de parículas.

16 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros Alguas caraceríscas coparavas dos éodos Johansen e Laux (1998) [4], segundo a experênca norueguesa na sulação de fluxos de aeras granulares, faze ua coparação enre os odelos lagrangano (represenado por DEM) e eulerano (represenado por FEM). A experênca dese país na sulação dese po de fluxo é slar quano nos ouros países do undo, pelo qual suas observações pode ser generalzadas. Parndo do que os odelos lagranganos deerna as rajeóras ndvduas das parículas, eses pere descrever ua grande varedade de efeos físcos do jeo as fundaenal. E prncípo pode ser odelado para qualquer aanho e fora de parícula, sendo fore prncpalene na sulação de segregação, fragenação e agloeração de parículas. Para sulações co grande núero de parículas não-esfércas que nclua as forças vscosas nos conaos, o éodo vra nada práco. Conudo, ese defeo pode ser resolvdo odelando as parículas coo gruos, perdendo o enfoque fundaenal do fenôeno obendo-se coporaenos aproxados segundo as reologas ulzadas. A sua aor desvanage esá nos epos de cálculo. Por ouro lado, quando na odelage usa-se as equações de conservação (assa, oenu ou energa) ou enfoque eulerano, as fases sóldas e lqudas são consderadas nerpeneráves e o coporaeno é ua represenação físca ea do fluxo. O éodo é usado para sseas que precsa de boas sulações quanavas, dependendo a sua qualdade do odelo físco e das experêncas de laboraóro das quas fo gerado o odelo reológco. A sua aor desvanage, cada pelos auores, é a sua rgdez lógca, pos o éodo consdera coporaenos eos, elnando as parculardades do fenôeno das equações. Ass, por exeplo, o éodo e probleas nas nerações parícula-parede. Especfcaene, ese éodo e probleas na sulação nos processos de erosão e deposção. Conudo, ese problea pode ser resolvdo crando ronas as conssenes e robusas, auenando grandeene sua

17 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 78 carga nuérca e exensão. Iso faz do éodo eulerano ser vanajoso a respeo dos éodos lagranganos e uos poucos casos. Abos os éodos pode a ser coparados desvanajosos para grandes sulações consderando odelos coplexos a causa do consuo de epo ou eóra na hora de execução das ronas. Mas, alguas experêncas suladas parece aponar aos éodos lagranganos coo os as efcenes e aspecos de represenação fundaenal dos fenôenos [4], [43].ano ass que os éodos euleranos coplexos se basea e alhas euleranos para auenar sua efcênca. 3.. Modelo de Eleenos Dscreos de Cundall Ese éodo fo desenvolvdo por Cundall (1971) para probleas bdensonas e Mecânca das Rochas, as publcado e 1979 [41]. A populardade do éodo esá não sua flexbldade para sua exensão à ercera densão e a sua versabldade para qualquer fora e aanho de parículas. Aqu se descreverão as equações para o caso específco de dscos ou esferas para a análse bdensonal. Ese auor raa o problea das erações parícula-parícula coo u problea ransene e esado de equlíbro co as forças nernas. Sob esa hpóese, o ssea é resolvdo usando u esquea explíco de dferencas cenras para análse de ransene. Ua oura suposção é que o passo de epo de cálculo é ão pequeno que os dsúrbos não se propaga para ouras parículas que eseja alé da vznhança da parícula e esudo. Dese jeo só são consderadas as forças de conaco geradas co as parículas edaas. Por ouro lado, a deforação ndvdual das parículas é uo pequena e coparação a deforação oal da assa. Esa deforação é odelada coo ua nerposção de parículas relaconada co as forças geradas no conao. Ass o cclo básco do éodo se descreve na segune fgura. O esquea nuérco de negração descro anerorene é chaado de Méodo de Relaxação Dnâca (MRD) [4], [46], que fo desenvolvda a eados da

18 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 79 década dos sessena quando alguns pesqusadores enara splfcar a análse dnâca ransene coo ua sucessão dscrea no epo de soluções e rege peranene. A sugesão desa possbldade fo fundaenada no fao de que u ssea osclane excado por ua perurbação consane no epo co aoreceno ende à posção fnal de equlíbro sob ação da esa. FIGURA 3.9- Cclo de cálculos segundo a eodologa DEM. Fgueredo (1991) [4] fez ua descrção dealhada do éodo, da qual aqu só serão raados as aspecos eórcos báscos do éodo. O cclo do MRD é slar ao da FIGURA 3.9. ese caso o cclo nca-se co as forças aplcadas no níco da análse, que sendo raduzdas a eros de deslocaenos e fazendo uso das relações consuvas obê-se as forças resulanes geradas nos conaos de cada parícula. Esas forças resulanes são desconadas das forças ncas, dando coo resulado a ua força desequlbrada co a qual nca-se o novo cclo. O cclo erna quando esas forças desequlbradas seja nulas ou enha sdo ransferdas aos conaos. Dada a sua naureza explíca de solução, ese éodo deve garanr a esabldade e convergênca da solução. A esabldade pode ser garanda co a seleção adequada do passo de epo na realzação das negrações. Enquano à convergênca, esa é garanda co a ulzação aproprada de parâeros de aoreceno.

19 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 80 Segundo os lneaenos da ecânca clássca newonana sob o enfoque lagrangano, o cclo dealhado dos cálculos se descreve coo segue. FIGURA Cclo de cálculos segundo a eodologa de MRD. Preraene, o conao é odelado coo u ssea paralelo de ua assa, co ua aola de rgdez K [F/L ] e u aorecedor C [M/L], ano no sendo noral e angencal ao pono de conao. A força angencal e u le dado por a força de csalhaeno por descra pelo coefcene de aro de Coulob, µ. As forças aorecedoras e abas as dreções são avadas pelas velocdades relavas do pono de conao. Por oura pare, o oveno global da parícula e dsspação de energa edane u aorecedor para o oveno roaconal e ouro para a ranslação. Mas, ese é u dos odelos de conao as sples [45], [47]. Agora, supondo u suposo conao enre duas parículas crculares co as caraceríscas osradas na FIGURA 3.1, e consderando o ssea local de coordenadas dado por os veores n e, defne-se o conao coo: L * < R 1 R (3.17) O pono de conao consdera-se localzado na eade dos ponos P 1 e P segundo a FIGURA 3.1. Ass, a velocdade relava no pono de conao é: V ( V ω R ) ( V ω R ) P1 P V P V 1 P (3.18)

20 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 81 FIGURA Modelo usado para os conaos enre parículas. Consderando os veores unáros globas e os locas, e-se: n cosϕ senϕ senϕ x 1 cosϕ y 1 n ( cosϕ, senϕ) e ( senϕ, cosϕ) (3.19) Deernando as coponenes noral e angencal da velocdade relava do pono de conao, eos que: ( V V ) n ( R R ) n V ω V ( V1 V ) n ω (3.0.a) ( V V ) ( R R ) V ω V V1 V ω 1R1 ωr ω (3.0.b) ( ) ( ) Que negrando por dferencas fnas, os deslocaenos relavos nas dreções noral e angencal vêe dados por: δ d (3.1.a) V δ d (3.1.b) V Ass, a força nduzda por deslocaeno e efeo do aorecedor vscoso no pono de conao (aoreceno local) e descra por: δ F F D K δ C V (3..a) K K δ F F D K δ C V (3..b) Enão, as forças oas no pono são para o novo cclo de cálculo são: F F 1 δf (3.3.a) F F 1 δf (3.3.b)

21 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 8 FIGURA 3.1- oação usada na dedução das equações de oveno. Esas forças são posvas no sendo conraro aos dos veores n e da FIGURA 3.1. Por ouro lado, a força de csalhaeno esá lada pela força de aro de Coulob, a saber: F µ F F an φ c A (3.4.a) u c A equação (3.4.a) é generalzada para aeras geológcos. Mas esa força é lada sob alguas hpóeses que segue eses créros: Se F < 0, enão F 0 e F 0, pos não são váldas forças de ração. F > µ F, enão F F anφ u c A c e a força vscosa D é consane (c A c 0, geralene). O oeno no sendo an-horáro ocasonado por esas forças no cenro geoérco de da parícula, é dado por: ( F ) M R (3.5) Agora, consderando odas as forças nduzdas nos ponos de conao de ua parícula, se deernarão pela segunda Le de ewon os novos valores de acelerações. Dese jeo, consderando u efeo aorecedor no oveno geral da

22 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 83 parícula (aoreceno global) devdo ao eo fludo, se consdera os coefcenes de aoreceno para a ranslação C R e ouro para o efeo roaconal C R, no soaóro de forças. Ass, consderando a varável bdensonal r(x,y) de deslocaeno e pela segunda Le de ewon para ua parícula de assa, e-se: r& CRr& g F (3.6) I ω& C R ω M (3.7) Onde a nérca pode ser a de u dsco (R /) ou esfera (R /5). Usando o algoro de dferenças cenras, as velocdades das equações anerores pode ser expressas e ero das velocdades nos epos - ½d e ½d coo: 1 r& r& 1 r& d 1 (3.8) d 1 ω ω 1 ω d 1 (3.30) d Por ano, as acelerações são descras coo: 1 r& r& r 1 & d 1 d d (3.31) 1 ω& ω 1 ω d d d 1 (3.3) Subsundo as equações (3.31) e (3.3) nas equações (3.6) e (3.7), e logo obendo ua expressão para as velocdades no epo ½d, fca: C Rd d r& [ F ] gd 1 1 d r& 1 C d (3.33) d R 1 C Rd d ω [ M ] 1 1 d I I ω 1 C d (3.34) d R 1 I Desa fora, esas velocdades pode ser negradas para ober os deslocaenos no epo d coo:

23 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 84 δ r δr r& d (3.35) d 1 d δθ δθ ω d (3.36) d 1 d Sob ese esquea, Cundall deernou a nrodução de u pequeno erro de édo epo na deernação nas coponenes das forças aorecedoras D, as consderou-o desprezível. De fao: ( D ) C V C [ r r ] 1 n 1 & d & (3.37.a) ( D ) [( ) ( ) C V C r r& ω1r1 ωr ] 1 d & (3.37.b) 1 oe-se que a energa no ssea, segundo as equações (3.33) e (3.34), é dsspada aravés do aro e o aoreceno: local e global. Se eses aorecenos fosse nulos, o ssea nunca esara e equlíbro. Ua correção deve ser fea no ângulo enre os sseas globas e locas de coordenadas, pos ese úlo ncreena seu ângulo cada passo de epo coo se descreve na equação (3.36). FIGURA Correção do ângulo enre sseas de coordenadas. O pono P (conao) e coordenada global, segundo a Fgura 3.13 dadas por: X P X C R cosϕ (3.38.a) Y P Y R senϕ (3.38.b) C

24 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 85 O ângulo ϕ auena δθ, consderado ua porção uo pequena (< 0,01 rad), enão: ( ϕ δθ ) cosϕ cosδθ senϕ senδθ cosϕ senϕ δθ cos (3.39.a) sen ( ϕ δθ ) senϕ δθ cosϕ senδθ senϕ cosϕ δθ cos (3.39.b) oe-se que o ângulo ϕ δθ é o novo ângulo, pelo que as equações anerores são as foras recursvas de aualzação do ângulo enre os sseas cada passo de epo Escolha dos parâeros do odelo U dos probleas dese odelo é deernar o valor dos parâeros que represene correaene o aeral. Ass, Cundall (1979) [41] deu alguas recoendações na escolha deses parâeros, as aravés do epo cada auor ulza valores dferenes para calbrar o odelo. Alguns pesqusadores segue a eora da elascdade, as a eora Herzana [48] proporcona valores as aproprados quando a geoera das parículas é as próxa à geoera real dos grãos. Conudo so, os parâeros das rgdezes e coefcenes de aorecedores são os as poranes para garanr a convergênca do éodo, coo já se enconou. Enquano o passo de epo é porane para garanr a esabldade nuérca Convergênca uérca Para aeras eláscos, a rgdez e coefcene de aoreceno [4] são: K Eδ R (3.40) Eq 1 R 1 1 R1 R (3.41) Eq [ C ] K CRIICO (3.4) Mas, a parr da equação (3.4), alguns ouros auores oa K coo:

25 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 86 [ C ] CRIICO K (3.43) d Cundall propôs relações co os parâeros anerores para os parâeros angencas usando qualquer po de aeral: K K 1 ou 3 (3.44.a) C C (3.44.b) Mas, no caso que as parículas e conao enha parâeros dferenes, usase as relações: K 1 Eq 1 1 (3.45.a) K K 1 C 1 Eq 1 1 (3.45.b) C C 1 Relações slares pode ser aplcadas às coponenes angencas. As agnudes de rgdez pode varar de 10 6 aé 10 9 /. Co as relações anerores, garanndo a exsênca do efeo dos aorecedores, o odelo erá a sua convergênca nuérca, pos o equlíbro do ssea esará garando abé. Conudo, a eração recursva das equações (3.33) e (3.34) é coplexa, as pode ser splfcada consderando o eorea de Raylegh para o aoreceno. Esa é ua aplcação da RD na área de esruuras onde os coefcenes das forças aorecedoras são descros pela assa nercal e a rgdez do ssea. Eses dos faores caracerza a relação do aoreceno co a freqüênca do ssea. Ass: C α M β K (3.46) As consanes α [L -1-1 ] e β [] são escolhdas coo consanes de calbração do odelo. M é a arz de assas nercas e K é a arz de rgdez. Ass, para o caso dos conaos nernos, usa-se as relações: C C β (3.47.a) K β (3.47.b) K

26 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 87 Ou a dada por (3.4) e (3.44.b). E para o caso do oveno de cada parícula, usa-se a relação: C R α (3.48.a) C R α I (3.48.b) Ass, para o prero caso as equações (3..a) e (3..b) splfca-se a: K β δf F D K δ 1 d (3.49.a) K β δf F D Kδ 1 d (3.49.b) Aoreceno e Dsspação de Energa Cundall (198) nroduz dos pos de ecansos de dsspação da energa para o ssea. U deles, a nível local (aoreceno auolocal) para quando exse ua varação na dreção das velocdades das parículas o que é descro por: ( [ F ] g) ( sg( [ F ] g) r& ) α C ) r& 1, (3.50.a) F r& r g ( sg( [ F g] r ) C ) d d d 1 & 1 1, & α (3.50.b) ( 1 sg( [ ] ω) α ) I & ω M M, C (3.51.a) { M ( 1 sg( [ M ], ω) α C )} I d ω ω 1 d 1 (3.51.b) d O parâero α C ( 0.7) no prograa SAD é chaado por cadl. Por ouro lado, a nível global (aoreceno auoglobal) relaconado co os parâeros das equações (3.48.a) e (3.48.b) subsuídas nas equações (3.33) e (3.34): αd d r& [ ] 1 1 F gd d r& 1 (3.53) d αd 1 αd d ω [ ] 1 1 M d I ω 1 (3.54) d αd 1

27 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 88 E geral, os valores dos coefcenes de aoreceno obê-se consderando análses dnâcas arcas [49]. Ass, o ssea arcal a resolver é dado por: Ex [ M ]{ X& } [ C]{ X& } [ K ]{ X} { F } & (3.55) Que fazendo uso de ransforações orogonas de arzes, obé-se: EX { Φ } [ M]{ Φ}{ U& } { Φ} [ C]{ Φ}{ U& } { Φ} [ K ]{ Φ}{ U} { Φ} { F } & (3.56) O que se reduz a u ssea de n equações não-acopladas da fora, consderando (3.46): { U & } ς ω { U& } ω ang { U} { F( )} & (3.57) ang K ω ang (3.58.a) ς ω α βω (3.58.b) ang ang O que pere deduzr ua relação para os coefcenes de aoreceno: α ω ς (3.59) ang ς β (3.60) ω ang ωang f (3.61) π Onde ς [adensonal] y f [Hz] são parâeros de enrada no prograa SAD, represenados pelas varáves _frac e _freq respecvaene. Conudo so é necessáro garanr a convergênca da solução edane a edção da razão enre a poênca dsspada pelos aorecedores vscosos e a axa de varação da energa cnéca, pos so é ua edda ndrea para saber se o rabalho dos aorecedores esá adsorvendo a energa cnéca oenânea do ssea. RA α E E > A FAC (3.6)

28 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 89 Esa razão RA deve aner u valor A FAC para odos os passos de epo e pcaene A FAC 1,0. Fgueredo (1991) [4] enconra u valor óo de A FAC 0,95 para aplcações na Mecânca de Rochas. Se a relação (3.57) se anver, o valor do faor global de aoreceno deve ser corrgdo e: Caso conráro: α α corrgdo (3.63.a) A MUL α corrgdo α A MUL (3.63.b) 1,1. Onde A MUL é ua consane para proover os ajuses de α. Couene A MUL Esabldade uérca Fgueredo (1991) [4] faz u esudo dealhado sobre as condções de esabldade nuérca do MRD, deonsrando as esas lanes que garane a esabldade nuérca feas por Cundall e Consderando o ssea aola-aorecedor co u só grau de lberdade, Cundall [41] deerna que o valor de passo de epo críco é: d CRIICO { 1, } MI { K, K } MAX (3.64) Mas sabe-se que o ssea possu as graus de lberdade (são város ponos de conao co ssea aola - aorecedor por cada conao). Por cada pondo de conao dese po é lógco pensar que o ssea ende a enrjecer-se, pelo que o passo de epo ende a ser anda enor ao dado pela equação (3.59). Para sso, alguns pesqusadores propõe u valor le para o passo do epo consderando a equação aneror: d ADOADO d (3.65) FRAC CRIICO Cundall [45] recoendou que fosse adoados valores de FRAC não aores a 0,1. a verdade, para u ssea dnâco lnear co aorecedor, o epo críco ve dado por [50] :

29 Capíulo 3: Méodo de Eleenos Dscreos na sulação de corrdas de deros 90 ( 1 ε ε ) * d críco (3.66) K Ccrco / ε (3.67) K / 0 ( 1 ε ε ) (3.68) FRAC Ua exensão rdensonal dese éodo fo apresenada por Cundall e 1988 [44], [45] para ua aplcação e acços rochosos. Ua adapação dese éodo para parículas esfércas é apresenada no Anexo IV. Esa versaldade densonal é ua das prncpas vanagens do DEM respeo a ouros éodos nuércos, pos suas les físcas são de fácl exensão de dos a rês densões se precsar de ferraenas ou éodos de negração nuércos especas. Ua oura caracerísca do éodo é que sua lógca copuaconal é sples coparada ao Méodo de Eleenos Fnos, o que pere que o Méodo de Eleenos Dscreos para sulações co grande núero de parículas seja odelado co a écnca de paralelzação de ordenadores. Esa écnca pere que u processo de fluxo granular seja sulado por dos ou as copuadores sulaneaene, o que dnu o epo de execução e a sobrecarga de eóra. Esas sulações são relavaene cusosas, as são baraas e coparação às sulações dese po co FEM ou eleenos de conorno. A aplcação do Méodo de Eleenos Dscreos e Geoecna é relavaene recene, as parece ser prossóro no avanço do enendeno fundaenal do coporaeno dos aeras porosos.