UM MÉTODO ITERATIVO PARALELO PARA PROBLEMAS MINIMAX

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1 UM MÉTODO ITERATIVO PARALELO PARA PROBLEMAS MINIMAX José Marcos LOPES RESUMO: Apresenaos nese rabalho u novo éodo eravo para o problea de esação na nora. O algoro é a versão paralela de u proposo por Dax é do po relaxação por lnha e convenene quando o ssea de equações lneares a ser resolvdo é nconssene de grande pore esparso e não possu ua esruura deecável. PALAVRAS-CHAVE: Sseas Lneares; arz esparsa; nora ína; éodos eravos paralelos; éodos po relaxação lnha. Inrodução Esaos neressados aqu e ober a solução do segune problea nax nze A x b (.) n onde A é ua arz real n b ( b b ) R e x ( x x n ) R denoa o veor de ncógnas ; represena o ransposo do veor. O problea (.) é equvalene a u Problea de Prograação Lnear. Quando a arz A é de grande pore éodos que ulza odfcações de A coo é por exeplo o caso do éodo Splex não são convenenes ou eso naplcáves para a resolução de (.). Exse na leraura u grande núero de éodos eravos para a solução de u ssea de equações lneares. Saad e Vors () apresena os prncpas desenvolvenos nesa área durane o século XX. Hadjdos (978) desenvolveu o algoro seqüencal Acceleraed Overrelaxaon Mehod - (AOR) o qual pode ser vso coo a generalzação a dos parâeros do be conhecdo Sucessve Over-relaxaon (SOR). A parr desse rabalho város éodos eravos paralelos be coo propredades de convergênca fora proposos; coo exeplos: Wang (99) Ba e Su (977) Ba (998) Cveovc e Obrovs () e Cveovc (). A convergênca desses éodos é obda quando as arzes de coefcenes dos sseas de equações lneares são respecvaene L-arzes H-arzes e arzes defnda posvas. Froer e Mayer (989) apresenara u éodo eravo paralelo aravés do splng da arz A. A convergênca do éodo é obda se o parâero de relaxação perence ao nervalo (w ) co w > e A é ua H-arz. Ouras varanes paralelas Deparaeno de Maeáca Faculdade de Engenhara de Ilha Solera FEIS/UNESP CEP: Ilha Solera SP Brasl. Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p.-39 3

2 ulzando o splng da arz A são fornecdas e Ba (995) Ba Wang e Evans (995) e Neuann e Pleons (987). Propoos nese rabalho u éodo eravo paralelo do po ação por lnha onde as lnhas (varáves) pode ser processadas e paralelo. Os éodos do po ação por lnha são convenenes quando A é de grande pore esparsa e se ua esruura deecável. Tas éodos e se osrado efcenes por exeplo para resolver grandes sseas lneares que ocorre no capo da reconsrução de agens por projeção (Censor 98) (Censor e Zenos 993). Nesse caso não é necessáro o arazenaeno da arz A as enradas não nulas da -ésa lnha são geradas de dados experenas e cada eração. Consdereos a segune regularzação para o problea (.) nze x + A x b + A x b onde ε é u núero real posvo. O neresse no esudo do problea (.) é que aravés da solução dese problea podeos ober ua aproxação da solução do problea (.). Segundo Dax (99) o dual de (.) é defndo por nze y b y + ( ax{ y }) e se ( y y y ) R (.) A (.3) ( ŷ é solução de (.3) enão xˆ A yˆ c ) é solução de (.). A déa da regularzação fo nroduzda coo ua fora de elhorar a esabldade de probleas al condconados (Thnov e Arsenn 977). No caso aqu consderado o objevo da regularzação é ober u problea dual as sples. Ua regularzação naural para o problea (.) sera nze x + A x b enreano segundo Dax (99) o dual de (.4) e a fora nze sujeo a y A y ε b y (.4) (.5) as resrções de (.5) nroduze ua cera dfculdade na pleenação de éodos do po ação por lnha. E Lopes e De Perro (99) é apresenado u algoro paralelo para esação de íno valor absoluo e que a regularzação ulzada é coo e (.4). Mangassara (98) fo o prero a ulzar esse po de regularzação para propor u algoro eravo e Prograação Lnear. Da noação ulzada onde A x b a denoa a -ésa lnha de A e ax a x b Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p.-39 3

3 x /p n p n p < R. p x para e qualquer x n Para quasquer x y R o produo escalar eucldano será denoado por x y ou x y. O argo esá organzado da segune fora: na seção apresenaos ua convenene regularzação para o problea nax; na seção 3 o novo algoro é defndo e provas de convergênca são fornecdas. Na seção 4 apresenaos os resulados de alguas experêncas copuaconas e a seção 5 refere-se às conclusões fnas. Ua regularzação para o problea nax Consdereos o problea nax (.) regularzado nze x + A x b + A x b. (.) Apresenaos a segur o dual do problea (.) e relaconaos as soluções praldual. Todos os resulados desa seção são devdos a Dax (99). Mangassaran (98) esudou o Problea de Prograação Lnear (PPL) regularzado nze sujeo a coo ua fora de ober ua solução aproxada para o PPL nze sujeo a x + c x (.) A x b c x A x b onde ε A b e x são coo defndos e (.) e c Mosrou-se nese caso que se (.3) e solução e ŷ R é a solução do problea nze sujeo a y A y c (.3) n R é o veor da função objevo. b y enão o veor xˆ ( A yˆ c) é a solução únca de (.). Agora o problea (.) é equvalene ao segune PPL (Sposo 975) (.4) nze (... ) (.5) x e sujeo a e A A x b b onde e ( ) R. Ass ulzando as déas de Mangassara (98) Dax (99) osrou que o dual do problea (.) e a fora Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p

4 nze F( y ) A y b y + ax y. (.6) A equvalênca enre os probleas (.) e (.6) é esabelecda pelo eorea (.). y Teorea.: O problea (.6) sepre e ua solução. Se y ˆ ( yˆ ˆ ) R resolve ese problea enão o veor é a solução únca de (.) e xˆ A yˆ ε (.7) A xˆ b ax yˆ. (.8) Observações:.. A exsênca de solução para o problea (.6) segue dreaene da convexdade da função objevo F( y )... Se o ssea lnear Ax b é nconssene enão de (.8) qualquer solução ŷ de (.6) sasfaz y ˆ >. Porano qualquer pono de íno da função G( y ) A y b y + ( y ) é abé u pono de íno de F( y ) e vce-versa. A pare fnal desa seção é desnada a apresenação de alguas propredades da função F( y ). Dado y ˆ ( yˆ... yˆ ) R e consderando F( y ) coo e (.6) defna a função de ua varável ( ) F( ˆ e )... fˆ y + (.9) onde e denoa a -ésa coluna da arz dendade de orde x. A função fˆ ( ) é esraene convexa e conínua. O eorea (.) esabelece a fˆ relação enre o problea (.6) e o pono de íno de ( ) Teorea.: O veor... o pono de íno de ( ). ŷ R resolve o problea (.6) se e soene se para cada fˆ ocorre para θ. O lea segune esabelece u lane nferor para a função F( y ). 4 Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p.-39 3

5 Lea.: Seja F( y ) coo defndo e (.6) enão F( y) y + + onde + ax b. (.) 3 Defnção do algoro Dax (99) propôs o segune éodo eravo seqüencal para calcular o pono de íno da função F( y ) A y b y + ax y. (3.) Cada eração do algoro é coposa de passos onde no -éso passo consdera-se a -ésa lnha de A a qual é denoada por a. defna e y y y a esava aual da solução para o níco do -éso passo e Seja ( ) r A y (3.) y. (3.3) Para cada passo o valor y é subsuído por y + θ * onde ua varável ( ) F ( y+ e ) a + r ε b b y+ ( ax { y + + y } ) * θ nza a função de f θ. (3.4) O -éso passo do algoro é pleenado por: a) Faça θ ( a r ε b ) a a y+ e : y. b) Se ρ + η vá para (d). c) Se > η faça θ : + ax { η ( + ) ( aa + }. η faça θ : θ + n { η ( ) ( a a + ) }. Se < d) Faça y : y + θ r : r + θ a e ρ : ρ + y. O síbolo : denoa arbução aréca. Apresenaos agora a defnção do novo algoro que é a versão paralela do algoro descro anerorene e será denonado algoro MINIMAXPAR. Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p

6 Incalzação: Seja y R a aproxação ncal ε u núero real posvo e... núeros reas posvos as que Faça e Ieração Prncpal: Para. (3.5) r A y (3.6) y. (3.7) faça + y y + (3.8) + r r + a (3.9) onde Λ é ua arz dagonal co eleenos dagonas coponenes δ defndas por: para Se ρ + η faça Se η > faça Se < faça seja ( r b ) λ s e é u -veor co a ε a a (3.) y + (3.) y. (3.) δ θ. ax ( + ) ( a a + ). (3.3) n ( ) ( a a + ). (3.4) Para cada eração no cálculo de δ usaos apenas a -ésa lnha da arz A. Ass odos os δ... pode ser calculados sulaneaene caso se ulze u copuador co processaeno paralelo. 6 Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p.-39 3

7 No que se segue { y } denoa ua seqüênca gerada pelo algoro MINIMAXPAR. Lea 3.: Para odo... r A y. Deonsração: Por ndução fna sobre. Para o resulado segue de (3.6). Vaos supor que o resulado seja váldo para - e provar que o eso é verdadero para. De (3.9) ve - - r r + a - - r + y y a ( ) - - A y + A y A y A y onde a segunda gualdade ocorre de (3.8) e a ercera da hpóese de ndução. Observações: 3.. O valor θ coo defndo e (3.) é o pono de íno da função de ua varável h( θ ) ( y + e ) ε b ( y e ) A + θa + r ε b ε b y onde a segunda gualdade segue do lea (3.) e e denoa a -ésa coluna da arz dendade de orde x. As expressões (3.3) e (3.4) faze a correção quando necessáro para que ese pono seja f θ defnda por: o íno da função ( ) f ( ) ax { } a + b b y + y + θ + y r. (3.5) 3.. O valor θ coo defndo e (3.) pode abé ser vso coo sendo a varação de y no -éso passo da eração + do éodo de Jacob para o ssea de equações lneares AA y b. (3.6) De fao o esquea eravo de Jacob para (3.6) é defndo para cada por: + y b a a j j a a j y j Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p

8 [ b a A y + a a y ] a a Ass do lea (3.) de (3.) e (3.7) eos que + y y θ. Logo o algoro MINIMAXPAR pode ser vso coo do po Jacob De (3.5) e (3.8) eos que para qualquer... o erado coo: + y ( y + λ δ y + λ δ... y + λ δ ) λ y + ( λ δ λ δ... λ δ ) ( y e ) + ( y + e ) ( y + ). (3.7) + y pode ser escro + e. (3.8) Ass + y é defndo coo sendo a cobnação convexa dos veores y + e.... Agora da anera coo o algoro MINIMAXPAR fo defndo para qualquer... eos que F ( y e ) F( y ) +. (3.9) O lea a segur osra que a função objevo F( y ) defnda e (3.) é decrescene y e converge. sobre a seqüênca de erados { } Lea 3.: () F( + ) < F( y ) + () l ( F( y ) F ( y ) Deonsração: De (3.8) eos que F y para odo ( y ) F ( y + e ) < F ( y + e ) F( y ) F( y ) onde a prera desgualdade ocorre da convexdade esra de F ( ) úla gualdade de (3.5). a segunda de (3.9) e a () Do e () { F( y ) } é onoônca decrescene do eorea (.) ) pono de íno ou seja é lada nferorene logo a seqüênca { F ( ) } eos o resulado desejado. F( y possu u y converge e 8 Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p.-39 3

9 A função de ua varável defnda a segur será ulzada na deonsração da convergênca do algoro MINIMAXPAR. ( ( + ( ) F y + y y ) ψ (3.) + onde y e y são erados consecuvos gerados pelo algoro MINIMAXPAR e F(.) é coo defndo e (3.). + Seja e enão de (3.) eos que ψ ( ) F( y ) e ψ ( ) F( y ). Agora do e () do lea (3.) segue que ψ ( ) > ( ). (3.) A função ψ ( ) é duas vezes connuaene dferencável e esraene convexa (de fao u splne quadráco) enão coo ψ ( ) > ψ( ) segue que ' ψ ( ). (3.) Seja H( y ) a arz Hessana de F( y ) para o pono y. Coo F( y ) é duas vezes dferencável esraene convexa e quadráca enão H( y ) é defnda posva. y. O lea abaxo esabelece a lação da seqüênca { } Lea 3.3: A seqüênca { y } é lada. Deonsração: Do e () do lea (3.) eos que para qualquer F( y ) < F( y ) <... < F( y ) < F( y ) Agora do lea (.4) eos que onde γ é dado por (.). ( y ) + + ε. (3.3) F y (3.4) Ass de (3.3) e (3.4) segue que ( F y ) + γ + ε y (3.5) e eos o resulado desejado. O lea a segur é devdo a Dax (985) e será ulzado para a deonsração da convergênca do algoro MINIMAXPAR. Lea 3.4: Seja ψ () ua função duas vezes connuaene dferencável e seja dos ponos < sasfazendo as segunes condções: ) ψ ( ) > ψ ( ) ; ' ) ψ ( ) e 3) ψ" ( ) a para odo onde a é ua consane posva. Enão Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p

10 ψ ( ) ψ ( ) a. (3.6) Teorea 3.: Seja L { y F( y ) F (y ) onde y c c: consane} u conjuno de nvel. Cada pono de acuulação da seqüênca { y } é u pono de íno de F( y ) sobre L. F( y ) Deonsração: Fazendo c + + ε coo e (3.5) enão de (3.3) e do lea (3.3) eos que para qualquer... o pono y gerado pelo algoro MINIMAX é al que y L. Desde que L é u conjuno copaco e H( y ) é defnda posva enão exse ua consane a > al que H( y ) ai para odo y L (I : arz dendade). ou Seja u y + - y e de (3.) ( ) F ( y + u) " ( ). Ass assundo-se u eos que a u. (3.7) Logo consderando e de (3.) (3.) (3.7) e do lea (3.3) segue que F + ( y ) F ( y ) a u + ( y ) F( ) + F y y y. (3.8) a Toando o le quando na expressão (3.8) e do e () do lea (3.) obeos l + y y. (3.9) Do lea (3.3) a seqüênca { } u pono de acuulação. Seja ŷ u pono de acuulação de { y } subseqüênca { } y de { } y al que y é lada e so assegura a exsênca de pelo enos enão exse ua l y yˆ. (3.3) Para concluros a prova deveos osrar que para cada... o pono de íno da função de ua varável ˆ f ( ) F( y + + e ) (3.3) 3 Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p.-39 3

11 ocorre para θ. De (3.3) (3.3) e da connudade da função F ve Ou seja quando l F aproxa-se daquele de fˆ ( ) íno de ( ) ( y + θ e ) F l y F fˆ ( ). ( yˆ + θ e ) + θ e y aproxa-se de ŷ o pono de íno da função de ua varável ( ) F ( y + θ ) f e. Porano se para algu índce zero não é u pono de f ˆ enão o le defndo e (3.9) sera volado. Teorea 3.: A seqüênca { y } únca do problea (.). A converge para u pono xˆ al que xˆ é a solução Deonsração: A seqüênca { y A } é lada desde que { } pono de acuulação de { y A } e seja { y } ua subseqüênca de { } y é lada. Seja xˆ u y al que l A y xˆ. (3.3) Agora { y } possu u pono de acuulação ŷ pos a esa é lada. Ass y de { y } al que j exse ua subseqüênca { } e de (3.3) ve j l y yˆ (3.33) l A Ass de (3.33) e (3.34) eos que y j xˆ. (3.34) xˆ A yˆ (3.35) onde ŷ é u pono de acuulação de { y }. Porano pelo eorea (3.) ŷ é u pono de íno de F( y ) e pelo eorea (.) eos que xˆ é a solução únca do problea (.). 4 Resulados nuércos Apresenaos a segur alguas experêncas copuaconas para o algoro paralelo MINIMAXPAR e o algoro seqüencal de Dax. Os algoros fora pleenados e FORTRAN vsual Worbench da Mcrosof e os eses fora realzados e u crocopuador pessoal. Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p

12 Para os dos algoros e e odos os exeplos ulzaos a solução ncal y ( ) R. Para o algoro MINIMAXPAR usaos e odos os casos para onde denoa o núero de lnhas da arz A. Ua escolha as refnada para os pesos poderá produzr elhores resulados de convergênca para o algoro MINIMAXPAR. O créro de parada consderado fo + y y ou o núero de erações excede. (TOL é u núero real posvo e pequeno préfxado). Os síbolos * nas Tabelas 678 e 9 ndca que o algoro não convergu após. erações. O valor óo é ndcado por VO e calculado coo onde x A y e VO Ax b TOL y é o valor fornecdo pelo algoro. Para os eses ulzaos dferenes valores de ε e a coparação enre os algoros fo fea aravés do núero de erações necessáras o qual esá ndcado por ITER pelo valor da função objevo VO e pelo epo de CPU o qual é ndcado por TEMPO e represenado coo - n : sec. sec. Para probleas e que a densão da arz A é pequena não fo possível edr o epo de CPU pos a enor fração de epo edda é de cenésos de segundo. Os casos as neressanes são aqueles onde A é de édo para grande pore e ass o epo de CPU pode ser eddo se qualquer problea. Consderaos dos pos de probleas para os eses nuércos. No prero caso A é ua arz de pequeno a édo pore e a solução do ssea lnear Ax b é conhecda e esá ndcada por x * (Exeplos 3 e 4). Ulzaos eses exeplos coo ua fora de verfcar a exadão da solução fornecda pelos algoros. No segundo caso consderaos probleas gerados aleaoraene. Para o exeplo 6 a segur a arz A é esparsa se ua esruura deecável e co >> n ou seja o ssea lnear Ax b é nconssene. Ass ese é o prncpal exeplo desa seção endo e vsa que os algoros apresenados são do po ação por lnha e convenenes para ese po de ssea lnear. Exeplo : (Cheney 98 p.44) - A x *. b onde ( ) 3 Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p.-39 3

13 Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p Exeplo : A b onde x. Exeplo 3: ( Mury 988 p.9) A é ua arz n x n onde > j a b e < j j a n j j j se se se para. Ass A é ua arz sedefnda posva co de A e o ssea lnear Ax b possu a solução únca ( ) x. Exeplo 4: ( Ruggero e Lopes 988 p.94) - - A [ ]. b 77 º 45 sen co 5 α

14 Segundo Dax e Berowz (99) e Barels e al. (989) usaos abé para os eses nuércos os segunes sseas lneares gerados aleaoraene. Exeplo 5: A é ua arz x n e esparsa onde cada lnha a de A possu eleenos não nulos η é u núero aleaóro do conjuno { 3 4 5} a localzação deses eleenos não nulos de a são núeros aleaóros do conjuno { n } (A possu n colunas) e aj e b são núeros aleaóros do nervalo [- ]. Todos os núeros aleaóros fora gerados aravés da rona RANDOM (ranval) onde ranval é o núero aleaóro fornecdo e perencene ao nervalo [ ). A rona SEED (seedval) é ulzada para varar o pono ncal dos núeros pseudo-aleaóros gerados. Se seedval enão a seqüênca de valores de RANDOM será sepre dferene. Para ese exeplo o algoro de Dax não convergu após. erações co 4 olerânca TOL e ε e. Se A é de orde. x o epo gaso pelo éodo de Dax nas. erações fo de aproxadaene 65 nuos. Os resulados fornecdos pelo algoro MINIMAXPAR esão dsposos na Tabela. Exeplo 6: A arz A n G. G onde G é ua arz quadrada de orde n co g j j n gerado aleaoraene al que g j [ ). Ass A é ua arz quadrada de orde n sérca e sedefnda posva co a j [ ). O veor b é gerado abé de anera aleaóra co b [ - ) para n. Para ese exeplo o algoro de Dax não convergu após. erações co 4 olerânca TOL e ε e. Os resulados apresenados pelo algoro MINIMAXPAR esão dsposos na Tabela. As abelas a segur apresena os resulados das experêncas copuaconas efeuadas. Tabela - Algoro de Dax para o exeplo co TOL 7 e dferenes valores de ε ε ITER VO SOLUÇÃO 33 E + (E + E + ) - 96 E + (E + E + ) - * - - Tabela - Algoro 7 MINIMAXPAR para o exeplo co TOL e dferenes valores de ε ε ITER VO SOLUÇÃO 534 E + (99998E + E + ) - E + (E + E + ) - * Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p.-39 3

15 Tabela 3 - Algoro de Dax para o exeplo co TOL 7 e dferenes valores de ε ε ITER VO SOLUÇÃO 95E - 6 ( ) - 7 5E - 5 ( ) - 4 5E - 4 (363699) ) -3 55E - 3 ( ) E - ( ) Tabela 4 - Algoro 7 MINIMAXPAR para o exeplo co TOL e dferenes valores de ε ε ITER VO SOLUÇÃO 46 64E - 5 ( ) E - 4 ( ) E - 3 ( ) E - ( ) E - ( ) 4 Tabela 5 - Algoros de Dax e MINIMAXPAR para o exeplo 3 co n TOL e dferenes valores de ε ε DAX MINIMAXPAR ITER VO TEMPO ITER VO TEMPO 43 43E + : E + : E - : E + : E - : E + : E E Tabela 6 - Algoros de Dax e MINIMAXPAR para o exeplo 3 co n TOL e dferenes valores de ε ε DAX MINIMAXPAR ITER VO TEMPO ITER VO TEMPO 43 43E + : E + : E - :.5 * * - - * * E + : E - : E + :.6 Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p

16 Tabela 7 - Algoros de Dax e MINIMAXPAR para o exeplo 3 co n TOL e dferenes valores de ε ε DAX MINIMAXPAR ITER VO TEMPO ITER VO TEMPO 9 4E + :.4 * E - : E + : E + : E + : E + : E Tabela 8 - Algoros de Dax e MINIMAXPAR para o exeplo 3 co n TOL e dferenes valores de ε ε DAX MINIMAXPAR ITER VO TEMPO ITER VO TEMPO 4 4E + :. * E - :7.4 * * - - * * E + : E + :. 9 35E + : Tabela 9 - Algoros de Dax e MINIMAXPAR para o exeplo 4 co TOL e dferenes valores de ε ε DAX MINIMAXPAR ITER VO TEMPO ITER VO TEMPO 3 * E + : E + : E + : E + : E + : E + : E + :.5 - * E + :.5 - * E + :.6-3 * E + :.6 Tabela - Algoro MINIMAXPAR para o exeplo 5 co TOL -4 ε e n e n ITER VO TEMPO ITER VO TEMPO.5 986E + : E + : E + :.33 E + : E + :.6 34 E + : E + : E + : Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p.-39 3

17 Tabela - Algoro MINIMAXPAR para o exeplo 6 co TOL -4 ε n n ITER VO TEMPO ITER VO TEMPO E + : E + : E + :.6 3 E + : E + :.6 4 4E + - Conclusões De anera geral algoros seqüencas (po Gauss-Sedel) coo é o caso do algoro de Dax (99) e convergênca as rápda do que algoros sulâneos (po Jacob) coo é o caso do algoro MINIMAXPAR. Enreano os éodos paralelos (sulâneos) são convenenes para a ulzação e copuadores co processaeno paralelo. Se u éodo po Jacob gasa e u copuador convenconal ( processador cenral) u epo de CPU para u deernado problea co ua arz A possundo lnhas enão o epo gaso para esse eso problea e u copuador co processadores paralelos é da orde de () ua vez que há u epo de sncronzação/councação enre os processadores. Co base e nossas experêncas copuaconas para os algoros de Dax e MINIMAXPAR e para os exeplos consderados podeos conclur que:. Para aqueles sseas lneares onde a solução x era conhecda exeplos e ano o algoro de Dax coo o MINIMAXPAR fornecera excelenes aproxações para x para ε ε - ou ε -. Quano enor é o valor de ε aor é o valor de VO ou seja a aproxação ende a fcar por co a dnução de ε.. Para o exeplo 3 o valor óo da função objevo osrou-se apenas razoável. Ebora não abelado observaos dos eses que as preras coponenes do veor solução apresenado pelos algoros era basane próxas de enquano para as úlas coponenes sso não ocorreu. A consderação de ua enor olerânca não rouxe ganhos sgnfcavos para os dos éodos pos nese caso o núero de erações auenou sgnfcavaene enquano o valor óo VO peraneceu co a esa orde de grandeza. Consderando n e VO da orde de o algoro de Dax gasou u epo de CPU gual a 5x - sec e o MINIMAXPAR 8x - sec. Para nenhu valor de ε o algoro MINIMAXPAR obeve VO da orde - (Tabelas 5 e 6). Para o caso onde n o algoro seqüencal de Dax eve u desepenho superor ao do algoro MINIMAXPAR (Tabelas 7 e 8). 3. Para o exeplo 4 o desepenho do algoro MINIMAXPAR fo superor ao de Dax. O algoro de Dax apresenou o elhor resulado para ε co u epo de CPU gual a 5x - sec e 58 erações e VO da orde de enquano que o éodo MINIMAXPAR obeve para ε - e 45 erações o eso epo de CPU e a esa orde de grandeza de VO do que o éodo de Dax. 4. Para os exeplos 5 e 6 o algoro de Dax não convergu após. erações para os valores de ε consderados. A ulzação de ua enor olerânca nese caso não raz ganhos sgnfcavos para a orde de grandeza de VO para o algoro MINIMAXPAR. Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p

18 Do exposo e de nossas experêncas copuaconas consderaos que o algoro MINIMAXPAR é convenene para ser ulzado quando da dsponbldade de u copuador co arqueura paralela e o ssea lnear Ax b a ser resolvdo é nconssene co A de grande pore esparsa e se ua esruura deecável. Agradecenos: À FAPESP pelo fnancaeno parcal dese rabalho (proc. nº 95/8-5). Aos Professores Drs. Adhear Sanches e Eucldes Braga Malheros pelas sugesões apresenadas. LOPES J. M. An erave parallel ehod for nax probles. Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p ABSTRACT: Ths sudy presens a new parallel erave ehod o solve he esaon proble n an nor. Ths algorh a parallel verson of Dax s algorh s a row-relaxaon ype whch s a convenen when he syse o be solved s nconssen large sparse and unsrucured. KEYWORDS: Lnear syses sparse arx nu nor parallel erave ehods rowrelaxaon ehods. Referêncas BARTELS R.H.; CONN A.R. LI Y. Pral ehods are beer han dual ehods for solvng overdeerned lnear syses n he l sense? Sa J. Nuer. Anal. Phladelpha v.6 p BAI Z.Z. Parallel arx ulsplng bloc relaxaon eraon ehods. Mah. Nuer. Snca New Yor v.7 p BAI Z.Z.; WANG D. R.; EVANS D. J. Models of asynchronous parallel arx ulsplng relaxed eraons. Parallel Copu. Aserda v. p BAI Z.Z. A class of parallel decoposon-ype relaxaon ehods for large sparse syses of lnear equaons. Lnear Algebra Applc. New Yor v.8 p BAI Z.Z. SU Y. On he convergence of a Class of parallel decoposon-ype relaxaon ehods. Appl. Mah. Copu. Orland v.8 p CENSOR Y. Row-acon ehods for huge and sparse syses and her applcaons. Sa Rev. Phladelpha v.3 p CENSOR Y.; ZENIOS S. Inroducon o ehods of parallel opzaon. In: COLÓQUIO BRASILEIRO DE MATEMÁTICA Ro de Janero. Anas...Ro de Janero: IMPA-CNPq 993. CVETKOVIC L.; OBROVSKI J. Soe convergence resuls of PD relaxaon ehods. Appl. Mah. Copu. Orlando v.7 p.3-. CVETKOVIC L. Soe convergence condons for a class of parallel decoposon-ype lnear relaxaon ehods. Appl. Nuer. Mah. Orlando v.4 p CHENEY E.W. Inroducon o aproxaon heory. New Yor: Chelsea p. 38 Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p.-39 3

19 DAX A. A row relaxaon ehod for large nax probles. Jerusale: Hdrologcal Servce 99. 3p.. Sucessve refnen of large ulcell odels. Sa J. Nuer. Anal. Phladelpha v. p DAX A.; BERKOWITZ B. Colun relaxaon ehods for leas nor probles. Sa Sc. Sa. Copu. Phladelpha v. p FROMMER A.; MAYER G. Convergence of relaxed parallel ulsplng ehods. Lnear Algebra Applc. New Yor v.9 p HADJIDIMOS A. Acceleraed overrelaxaon ehod. Mah. Copu. v.3 n. 4 p LOPES J.M.; DE PIERRO A.R. U éodo eravo paralelo para esação de íno valor absoluo. Pesq. Operaconal Ro de Janero v. p MANGASARIAN O.L. Ierave soluon of lnear progras. Sa J. Nuer. Anal. Phladelpha v.8 p MURTY K.G. Lnear copleenary lnear and nonlnear prograng. Berln: Helderann Verlag p. NEUMANN M.; PLEMMONS R. J. Convergence of parallel ulsplng erave ehods for M-arces. Lnear Algebra Applc. New Yor v.88 p RUGGIERO M.A.G.; LOPES V.L.R. Cálculo nuérco: aspecos eórcos e copuaconas. São Paulo: McGraw-Hll p. SAAD Y.; VORST H. V.D. Ierave soluon of lnear syses n he h cenury. J. Copu. Appl. Mah. Aserda v.3 p.-33. SPOSITO V.A. Lnear and nonlnear prograng. Iowa: The Iowa Sae Unversy Press p. TIKHNOV A.N.; ARSENIN V.Y. Soluons of ll-posed probles. New Yor: John Wley p. WANG D. R. On he convergence of he parallel ulsplng AOR algorh. Lnear Algebra Applc. New Yor v p Recebdo e... Aprovado após revsão e Rev. Ma. Esa. São Paulo v. n.3 p