Análise dos efeitos de não-sincronia de negociação no mercado de capitais brasileiro. Danilo Lopomo Beteto* Universidade Nova de Lisboa

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1 Vol. 4, No. 1 Vóra-ES, Brasl Jan/ Abr7 p ISSN X DOI: hp://dx.do.org/1.1578/bbr Análse dos efeos de não-sncrona de negocação no ercado de capas braslero Danlo Lopoo Beeo* Unversdade Nova de Lsboa Danel Reed Bergann** Unversdade Presberana Mackenze ABSTRACT: Aualene, a análse e o esudo da croesruura de ercado é ua das áreas de pesqusa as nensa e econoa e fnanças. U dos aspecos abordados é o ecanso de negocação dos avos, raando-se dos pacos das dossncrasas observadas e cada ercado. A parr do odelo desenvolvdo por Lo e McKnlay (199), deonsra-se que o processo de não-negocação faz co que haja correlação espúra nas axas observadas dos reornos, causando ua falsa déa de prevsbldade. De odo a aproxar o odelo da realdade fnancera, esende-se o eso para ua Cadea de Markov de alcance 1 co esados, dervando-se os oenos do processo sob esa nova hpóese. Anda, deonsra-se que o bea é vesado caso não seja adoadas as eddas correvas devdas ao não-sncronso dos dados. Fnalene, a parr de ua aosra de dados de ala freqüênca do ercado braslero, analsa-se eprcaene o odelo e exrae-se as probabldades de negocação dos avos no esado de equlíbro. Palavras-chave: cadea de Markov, efeo de não-scrona e prevsbldade. Recebdo e 14/11/6; revsado e 16/1//6; aceo e 3//7. Correspondênca co auor: Douorando e Econoa co ênfase e Fnanças pela Unversdade Nova de Lsboa. Capus de Capolde Lsboa E-al: danlobeeo@yahoo.co Professor Mesre e Fnanças pela Unversdade Presberana Mackenze. Rua da Consolação 896 São Paulo. CEP: São Paulo SP Brasl. E-al: drbergann@uol.co.br Noa do Edor: Ese argo fo aceo por Alexsandro Broedel Lopes. 6

2 Análse dos efeos de não-sncrona de negocação no ercado de capas braslero 7 1. INTRODUÇÃO Aualene, a eora de croesruura de ercado é ua das áreas de pesqusa as ava e econoa e fnanças. Para deernados fns, coo na ensuração de cusos de execução de esraégas de nveseno e da lqudez de u deernado avo / ercado, por exeplo, consu-se coo eleeno cenral 1. A f de ensurar os efeos causados pela hpóese de que o ercado possua u deernado po de esruura, é necessáro desenvolver eddas que possa ser esadas a parr de ua aosra de dados epírcos. Pode-se avalar o odelo aravés da plausbldade econôco-fnancera dos resulados obdos e eros dos parâeros esados. U dos eas coberos pela eora de croesruura de ercado refere-se ao ecanso de negocação de avos, e especal a freqüênca de negocação dos esos. O não-scronso ou o efeo de não-negocação aparece quando são coleadas séres eporas, especalene de preços de avos fnanceros, e que o nervalo de regsro dos dados não corresponde ao nervalo real e que os dados fora efevaene gerados. Por exeplo, os preços dáros de fechaeno corresponde àqueles coleados no úlo nsane e que o avo fo negocado, a despeo deses nsanes não sere os esos para dferenes avos. Confore cado e Capbell e al. (1997), o prero a reconhecer a porânca do nãoscronso dos preços fo Fscher (1966). Receneene, odelos de não-negocação fora desenvolvdos por Achson e al. (1987), Cohen e al. (1978), Cohen e al. (1979), Cohen e al. (1983), Lo e al. (199a), Lo e al. (199b), Lo e al. (1998) e Scholes e Wllas (1977). A porânca do não-scronso de negocação ocorre e função do eso vesar os oenos e os co-oenos dos reornos de u avo as coo os coefcenes da éda, varânca, covarânca, bea, auocorrelação e correlação cruzada. Os esudos ncas dos efeos do não-scronso fora dreconados às aplcações epírcas do CAPM e do APT. Enreano, receneene o foco e sdo a auocorrelação espúra causada pelo nãoscronso de negocação, crando-se ua falsa pressão de prevsbldade dos reornos eso que os reornos reas seja esascaene ndependenes. O objevo do presene argo é apresenar o odelo de não-negocação desenvolvdo e Capbell e al. (1997), dscundo os efeos orundos do eso e alguns ópcos da eora econôco-fnancera e aplcá-lo sobre ua aosra de dados de ala freqüênca de ações negocadas na BOVESPA e que à época da análse não perenca ao índce. O argo esá dsposo da segune fora: a seção raa do odelo eórco, fazendo-se ua exensão do odelo orgnal para ua cadea de Markov de alcance 1 e dscue alguas plcações eórcas do odelo ocasonadas no côpuo do bea; a seção 3 raa da esação do odelo odfcado, ulzando-se ua aosra de dados brasleros; fnalene, a seção 4 apresena as conclusões do esudo.. MODELO DE NÃO-SICRONISMO DE NEGOCIAÇÃO A abordage aqu descra segue o odelo de não-negocação exposo e Lo e McKnlay (1988). Seja N o núero de avos consderados, r é a axa de reorno observável do avo no nsane e r é a axa de reorno não-observável (axa de reorno vrual 3 ) do avo no nsane. o 1 Para referêncas sobre o ea, consular o capíulo 3 da obra de Capbell e al. (1997). Ese argo fo apresenado no V Enconro Braslero de Fnanças e 5. 3 As axas de reorno vruas represena as udanças no valor nrínseco do avo e u ercado onde não há resrções de lqudez. Ass, consdera-se que as axas de reorno vruas seja reflexo apenas de nforações Vóra, v. 4, n. 1, Ar., p. 6-4, jan.-abr. 7

3 8 Beeo e Bergann A f de odelar a não-negocação coo u resulado puraene esaísco, gnorando-se as razões econôco-fnanceras de sua ocorrênca, há a necessdade de se supor que e cada período exsa ua probabldade de que o avo não seja negocado e que haja ndependênca enre as ocorrêncas das negocações e o processo esocásco dos reornos r, ass coo das deas varáves aqu consderadas. Porano, o processo de vruas, { } não-negocação pode ser vso coo ua seqüênca IID de lançaenos de ua oeda 4, co dferenes probabldades de negocação para os N avos consderados. A axa de reorno observável r depende da ocorrênca de negocação do avo no nsane. Seja o p o preço do avo no nsane. Se o avo não é negocado no nsane, ( ) eos r log p / p ( 1) log1. Caso conráro se houver negocação do avo no nsane, a axa de reorno observável será a soa das axas de reorno vruas no nsane e de odos os nsanes consecuvos anerores a e que o avo não enha sdo negocado. Modelando-se os reornos desa fora, capura-se a caracerísca essencal do processo de não-negocação coo a fone de auocorrelação espúra: as nforações afea preraene os avos que são as negocados, havendo u lag no paco dos reornos dos avos co baxa lqudez. A f de coplear a especfcação do odelo de não-negocação, suponha que os reornos vruas seja governados pelo odelo lnear de 1 faor: r µ + β f + ε 1,..., N (.1) sendo f u faor de éda nula, cou a odos os N avos, e u ero de erro dossncráco, ndependene e odos os lags e abé dos eros de erro dos deas avos. Coo o objevo é raar a não-negocação coo a únca fone de auocorrelação, assue-se abé que o faor cou f é IID e ndependene de ε k para odo, e k. Ass, o reorno vrual de cada período é aleaóro e capura os ovenos causados pela chegada de novas nforações ass coo o ero de erro dossncráco. Para dervar ua expressão explíca dos reornos observados e deduzr suas propredades de séres-eporas são nroduzdas duas varáves aleaóras: 1 (Não-Negocação) co probabldade δ (Negocação) co probabldade 1 X ( k) (1 δ ) δ δ... δ co k >. 1 k Pela defnção de X ( k ), eos que: k 1 co probabldade ( 1 ) X ( k) co probabldade 1 ( 1 ) δ, assundo-se que { } k ε δ é ndependene de { } (.) (.3) sendo X () 1 δ j para j e IID no epo para 1,..., N. A varável δ é ua varável ndcadora, assundo o valor 1 caso o avo não seja negocado no período e caso conráro. Da esa fora, X ( k) abé é ua varável específcas à copanha e da econoa e geral, devendo ser, sob as caraceríscas cadas do ercado, guas o às axas de reornos observadas r. 4 Poserorene, esa hpóese será relaxada, raando-se o processo de não-negocação coo ua cadea de Markov de alcance 1. Vóra, v. 4, n. 1, Ar., p. 6-4, jan.-abr. 7

4 Análse dos efeos de não-sncrona de negocação no ercado de capas braslero 9 ndcadora que assue o valor 1 quando o avo é negocado no nsane as não nos k períodos consecuvos anerores a. Coo (,1) e-se que, para k grande, a probabldade X ( k) ser zero será ala, dado que é pouco provável que u avo não seja negocado ao enos ua vez e u longo período do passado. De acordo co as novas varáves nroduzdas, podeos expressar k r coo: r X ( k) r 1,..., N. (.4) Caso o avo não seja negocado no nsane ereos δ 1,.e., X ( k), k, o que plca e r. Caso o avo seja negocado no nsane, o reorno observado esá sendo gual a soa do reorno vrual no nsane, r, co os k reornos vruas passados anerores a, sendo k ua varável aleaóra represenava do núero de períodos consecuvos anerores a e que o avo não fo negocado, dada por: k k δ j (.5) k 1 j 1 A despeo da expressão (.4) ser as convenene para os cálculos subseqüenes, a varável k pode ser ulzada a f de que a defnção da axa de reorno observável seja enendda de u odo as nuvo, aravés de: k r r k 1,..., N. (.6) k Enquano a expressão (.4) osra que o processo da axa de reorno não-observável é ua função esocásca de odos os reornos vruas passados, a expressão (.6) revela que r abé pode ser enendda coo ua soa aleaóra de eros aleaóros..1 Iplcações no processo de reornos observáves sob o odelo de não-negocação A f de explcar os efeos da não-negocação dos avos sobre as propredades das séres eporas das axas de reorno observáves, e-se que: Proposção 1. Para o processo de não-negocação defndo plcaene pelas expressões (.) 1,..., N possu esaconaredade fraca co e (.3), o processo dos reornos observáves { } prero e segundo oenos dado por: r ( ) E r µ (.7) Var r σ + µ 1 (.8) n µ para j, n > Cov r, r j+ n ( 1 )( 1 j ) n ββ jσ f j para j, n 1 j (.9) n µ Corr r, r + n, n > (.1) σ + µ 1 Vóra, v. 4, n. 1, Ar., p. 6-4, jan.-abr. 7

5 3 Beeo e Bergann sendo σ Var[ r ] e σ Var[ f ], E [ ], Var[ ], Cov[ ], Corr[ ] f são os operadores esperança, varânca, covarânca e correlação. Deonsração. Ver Apêndce 1. De (.7) aé (.1) verfca-se que a não-negocação não afea o valor esperado do processo µ / 1 >. das axas de reorno observáves, auenando a varânca e função de ( ) Anda, pode-se depreender da expressão (.1) que na hpóese do valor esperado da axa de reorno observável do avo ser aor que zero,.e., µ >, a não-negocação nduz a ua auocorrelação negava nas axas de reornos observáves para qualquer lag observado, sendo que al auocorrelação deca exponencalene. A nução por rás dese resulado segue do fao que durane os períodos e que não há negocação do avo, a axa de reorno observada é nula e durane os períodos e que o avo é negocado, a axa de reorno observada revere para a éda da axa de reorno acuulada, sendo que esa reversão à eda ocasona a correlação seral negava. Para µ não há reversão à eda e, desa fora, não há correlação seral negava.. Expansão do odelo de não-negocação para ua cadea de Markov de alcance 1 δ seja IID 5, ade-se A f de relaxar a hpóese de que o processo de negocação { } agora que o eso sga ua cadea de Markov de alcance 1 co esados, sendo as probabldades de ransção dadas por: δ δ (.11) Podeos enuncar a segune proposção. Proposção. Seja P e Q as probabldades não condconadas de δ e δ 1, respecvaene. Anda, seja P e Q probabldades do esado de equlíbro. Sob as hpóeses do parágrafo aneror, e-se que: 1 P + Anda: ( ) 1 Q + ( ) E [ ] Q [ ] ( 1 ) [ δ, δ ] ( ) (.1) (.13) δ (.14) Var δ Q Q (.15) Corr Q Q (.16) 1 Deonsração. Ver Apêndce. De posse de as resulados, da esa fora coo fo feo na subseção aneror, obé-se os oenos da axa de reorno observável. Teos: 5 Tal hpóese é exreaene fore, prncpalene, quando o avo negocado for de baxa lqudez, a enos que se consdere u ercado onde não exsa assera de nforação ou que a esa se dssene de fora lena no ercado. Caso conráro, a negocação de u avo co baxa lqudez, baseada e nforação prvlegada, alerara a probabldade de ocorrênca de negocação do eso avo no nsane segune. BBR, Braz. Bus. Rev. (Por. ed., Onlne), Vóra, v. 4, n. 1, Ar., p. 6-4, jan.-abr. 7

6 Análse dos efeos de não-sncrona de negocação no ercado de capas braslero 31 Proposção 3. Adndo-se que o processo de não-negocação { δ } sga ua Cadea de Markov de alcance 1 co esados, co probabldades de ransção dadas por (.11) e probabldades do esado de equlíbro segundo a proposção aneror, eos: E r µ ( Q + P ) (.17) P Var r ( ) µ + Q Q + P (.18) ( 1 ) Corr r, ( ) r 1 µ Q P + (.19) Deonsração. Ver Apêndce. Vê-se que, ceers parbus, o processo { δ } dnu a éda de r vso que Q + P < 1 para <, < 1, coparando-se co os resulados obdos sob a hpóese IID de { δ }..3 Iplcações no cálculo do bea O bea é defndo coo o coefcene de nclnação da rea de regressão dos reornos do avo e relação aos reornos da carera de ercado. Para evdencar o paco da nãonegocação dos avos, assue-se que o processo de não-negocação seja dado por (.) e (.3). Seja β, o bea do avo e relação à carera de ercado no nsane. Teos: Cov r, r β, (.) Var r Mas, pelos resulados anerores, obeos: ( 1 )( 1 ) ββσ 1 ( 1 )( 1 ) ββ σ β, (.1) σ ( 1 ) σ ( 1 ) µ + µ + 1 Noar que β 1, pos se raa do bea da carera de ercado e relação ao faor da carera de ercado,.e., é o bea da carera de ercado co ela própra. Coo,.e., a probabldade de não-negocação da carera de ercado é quase nula (pos envolvera que nenhu dos avos que a copusesse fosse negocado), splfcareos a expressão (.1) e: ( 1 ) βσ β, ( 1 ) β (.) σ Caso o avo e quesão seja de ala lqudez,, o bea se reduz a β, β,.e., o bea equvale ao bea calculado se consderaros a lqudez dos avos. Caso conráro, e que a probabldade de não-negocação do avo seja próxa de 1, β,, devdo ao efeo provocado pela fala de lqudez do avo. Porano, o bea será vesado para zero caso o efeo do não-scronso dos avos não for consderado apropradaene. Vóra, v. 4, n. 1, Ar., p. 6-4, jan.-abr. 7

7 3 Beeo e Bergann 3. Aplcação do odelo esenddo de não-negocação no ercado de capas braslero A presene seção raa da aplcação do odelo de não-negocação desenvolvdo na δ sga ua seção aneror, parcularene assundo que o processo de não-negocação { } cadea de Markov de alcance 1 co esados. Esareos neressados parcularene e esar as probabldades de ransção da cadea de Markov, obendo-se ua edda epírca do nível de lqudez dos avos consderados. Para esse f, fora escolhdos avos que à época da análse não perenca ao IBOVESPA 6. T Assundo-se que seja dada ua seqüênca { δ } de ndcadores de nãonegocação. Por convenênca, vaos condconar esa seqüênca no ndcador ncal de não- negocação, δ. Seja n, n 1, n 1 e n 11 as conagens dos pares de nuos consecuvos e que as varáves ndcadoras segue o padrão, 1, 1, 11, respecvaene. Porano, n T. δ segue ua cadea de Markov de alcance 1 co jk Dado que { } j, k,1 probabldades de ransção dadas por (.11), a função de log-verosslhança da seqüênca { δ T } é: T { } ( ) ( ) L δ δ n ln n 1 ln 1 1 n 1 ln 1 n 11 ln oo Os esadores de e por áxa verosslhança são: n ˆ n + n 1 n 11 ˆ n 1 + n 11 e a arz de nforação de Fscher é (3.1) (3.) (3.3) n n 1 + ( 1 ) (, ) E n 1 n (3.4) 11 + ( 1 ) Enão, as esavas e são assnocaene noras e ndependenes, co varâncas assnócas esadas por: ( 1 )( n n ) 1 ˆ σ ˆ ˆ ˆ + 1 (3.5) ( 1 )( n n ) ˆ σ ˆ ˆ ˆ î (3.6) Os dados analsados refere-se ao período de /7/ aé 18/9/. Aravés da função GIT do ernal da Blooberg fora coleadas as quandades de negocações, nuo a nuo, das segunes ações: BELG4 Belgo Mnera PN; CMET4 Cae Meal PN; CNFB4 Confab PN; 6 Ese créro fo ulzado a f de dsngur o nível de lqudez dos avos. 1 Vóra, v. 4, n. 1, Ar., p. 6-4, jan.-abr. 7

8 Análse dos efeos de não-sncrona de negocação no ercado de capas braslero 33 CTNM4 Coenas PN; GOAU4 Gerdau Me. PN; LAME4 Lojas Aercanas PN; PRGA4 Perdgão PN; RPSA4 Rpasa PN. Confore cado anerorene, as ações aca, no período analsado, fora escolhdas por não perencere ao índce BOVESPA. As abelas segunes copla os dados e apresena as esavas obdas: Tcker Tabela 1: Seqüêncas de negocação n n 1 n n 1 n 1 n 11 BELG CMET CNFB CTNM GOAU LAME PRGA RPSA Tabela : Esavas dos parâeros ˆ σ ˆ Tcker ˆ ˆ ˆ σ ˆ BELG4,18,15,97,45 CMET4,133,17,964,4 CNFB4,183,79,95,34 CTNM4,14,17,976,48 GOAU4,149,93,956,37 LAME4,191,14,981,55 PRGA4,115,18,971,44 RPSA4,85,156,973,46 Depreende-se, para os avos seleconados, que a probabldade de que os esos não seja negocados no nuo segune dado que não o fora no nuo aual, ˆ, é uo ala, fcando as esavas aca de 95% para odos os avos, Da esa fora, caso haja ua negocação, a probabldade de que as esas connue ocorrendo, ˆ, é baxa (enos de %) para odos os avos da aosra, Inuvaene, ao enos para a aosra seleconada, parece haver ndícos de que as ransações não fora ovadas por nsder nforaon: caso o fosse, após ua ransação havera ua seqüênca de negócos que represenara a enava dos agenes de se aproveare de ua oporundade de lucro, sob a hpóese de que a croesruura do ercado possble a dssenação rápda da nforação, As probabldades do esado de equlíbro, calculadas por (,1) e (,13) e aravés das esavas das probabldades de ransção, ass coo as esavas ngênuas 7 das 7 A esava ngênua da probabldade de não-negocação do avo é dada pela razão do núero de observações e que não houve negocação do avo e relação ao núero oal de observações. Vóra, v. 4, n. 1, Ar., p. 6-4, jan.-abr. 7

9 34 Beeo e Bergann I I probabldades de negocação e de não-negocação, P ( δ ) e ( 1) respecvaene, são dadas pela abela abaxo, Tabela 3: Probabldades P, Q vs Esavas ngênuas P δ, Percebe-se que, aé a quara casa decal, não há dferença algua enre as esavas ngênuas das probabldades de negocação e de não-negocação dos avos daquelas do esado de equlíbro obdas por verosslhança. Talvez al resulado seja reflexo de esaros rabalhando co dados de ala-freqüênca (dados nuo a nuo), alé dos avos sere de baxa lqudez. 4. CONCLUSÃO O presene argo abordou ua das caraceríscas raadas no esudo de croesruura de ercado, o ecanso de negocação dos avos. Mosrou-se que a não-negocação, quando não raada da anera adequada, gera auocorrelação espúra na sére de axas de reorno observadas, o que causa ua falsa déa de prevsbldade. Anda esendeu-se o odelo de não-negocação, ncorporando-se ua cadea de Markov de alcance 1 co esados, de odo a ornar o odelo as próxo de evdêncas eórcas enconradas na leraura. Na aplcação dos resulados para séres de axas de reornos de avos brasleros, vu-se que, para a aosra seleconada, não houve dferença enre as esavas ngênuas e as probabldades do esado de equlíbro de negocação e não-negocação dos avos. Pode-se aplar ese rabalho ncorporando-se às segunes alernavas: esava dos parâeros por GMM e análse de dados de baxa freqüênca (dáros prncpalene). Ua conexão drea da analse efeuada pode ser fea e u esudo as profundo de lqudez de avos fnanceros. As probabldades de ransção pode ajudar u gesor de recursos a adoar dferenes esraégas de nveseno; anda, pode oferecer ua edda enos subjeva do holdng perod da carera de nvesenos, o que rá pacar no cálculo do VaR. REFERÊNCIAS Tcker P I Q ( ) I P δ P ( δ 1) BELG4,36,9694,36,9694 CMET4,44,9596,44,9596 CNFB4,58,94,58,94 CTNM4,75,975,75,975 GOAU4,4,9776,4,9776 LAME4,4,9776,4,9776 PRGA4,31,9679,31,9679 RPSA4,8,9718,8,9718 ATCHISON, M.; SIMONDS, R. Nonsynchronous Secury Tradng and Marke Index Auocorrelaon. Journal of Fnance, v.4, , CAMPBELL, John; LO, A. W.; MACKINLAY, C. The Econoercs of Fnancal Markes. New Jersey: Prnceon Unversy Press, Vóra, v. 4, n. 1, Ar., p. 6-4, jan.-abr. 7

10 Análse dos efeos de não-sncrona de negocação no ercado de capas braslero 35 COHEN, K.; MAIER, S.; SCHWARTZ, R.; WHITECOMB, D. The Reurns Generaon Process, Reurns Varance and he Effec of Thnness n Secury Markes. Journal of Fnance, v.33, , COHEN, K.; MAIER, S.; SCHWARTZ, R.; WHITECOMB, D. On he Exsence of Seral Correlaon n an Effcen Secures Marke. TIMS Sudes n he Manageen Scences, v.11, , COHEN, K.; HAWAWINI, G.; MAIER, S.; SCHWARTZ, R.; WHITECOMB, D. Frcon n he Tradng Process and he Esaon of Syseac Rsk. Journal of Fnancal Econocs, v.1, 63-78, DIMSON, E. Rsk Measureen when Shares are subjec o Infrequen Tradng. Journal of Fnancal Econocs, v.7, 197-6, FISHER, L. Soe New Sock Marke Indexes. Journal of Busness, v.39, 191-5, LO, A.; MACKINLAY, A. C. Sock Marke Prces do no follow Rando Walks: Evdence fro a sple Specfcaon Tes. Revew of Fnancal Sudes, v.1, 41-66, LO, A.; MACKINLAY, A. C. An Econoerc Analyss of Nonsychronous-Tradng. Journal of Econoercs, v.45, 181-1, 199a. LO, A.; MACKINLAY, A. C. When Are Conraran Profs Due To Sock Marke Overreacon. Revew of Fnancal Sudes, v.3, 175-8, 199b. SCHOLES, M.; WILLIAMS, J. Esang Beas fro Nonsychronous Daa. Journal of Fnancal Econocs, v.5, 39-38, Vóra, v. 4, n. 1, Ar., p. 6-4, jan.-abr. 7

11 36 Beeo e Bergann A Apêndce 1: Deonsração dos resulados da proposção 1. Para dervar os resulados (.7) (.1) são necessáros os oenos e co-oenos das varáves de Bernoull X ( k ). De (.3) segue que [ ] k E X ( k) (1 ) (A.1) k E X ( k) (1 ) (A.) E X ( k) X + ( l) sabeos, por (.3), que: Para, e k arbráros. Para copuar [ n ] X ( k) X + n( l) ( 1 δ ) δ 1... δ k (1 δ+ n ) δ+ n 1... δ+ n l (A.3) Se l n enão E [ X ( k) X + n( l) ] co probabldade 1, pos ereos δ e ( 1 δ ) nclusos no produo dado pela expressão (A.3). Se l < n, enão E [ X ( k) X ( l) ] ( 1 ) +. Logo: k l k l 1 + para l < {( ) n E [ X ( k) X + n( l) ] para l n Da expressão (.4) e (.1), eos que: k k k [ ( ) ] E r E X k r [ ( )] [ ] k ( 1 ) k E X k E r µ µ k + n (A.4) (A.5) Sendo que a expressão (A.5) segue da ndependênca de X ( k ) e r k. Ass esá deduzdo o resulado obdo e (.7). Para oberos a expressão (.8), precsaos prero ober a expressão do segundo oeno não-cenrado de r : E ( r ) E X ( k) r k X ( l) r l k l E X ( k) r k E X ( k) X ( l) E r kr l k k l k [ ] [ ] para l x µ + σ + ( 1 ) µ + σ θ ( k l), θ ( x) (A.6) k l k para x µ + σ ( ) 1 k + 1 l + µ k l µ + σ + µ 1 Sendo que σ V r. Iso resula e (.8), pos Vóra, v. 4, n. 1, Ar., p. 6-4, jan.-abr. 7

12 Análse dos efeos de não-sncrona de negocação no ercado de capas braslero 37 A auocovarânca de ( ) V r E r E r µ + σ + µ µ 1 σ + µ 1 r pode ser obda slarene calculando-se: E r r + n E X ( k) r k X + n( l) r + n l k l k l n 1 [ ( ) ( ) ] k + l ( 1 ) E [ r kr + n l ] k l n 1 k l E X k X l r r ( 1 ) n ( 1 ) + n k + n l k + l µ µ (A.7) (A.8) Noe que o le superor do soaóro e l da expressão (A.8) é fno e decorrênca e r é ua seqüênca IID e as úncas (A.4). A expressão obda e (A.8) segue do fao de que { } cobnações de índces k e l que aparece e (A.8) são aquelas e que r k e r + n l não são coneporâneos. Desa fora, eos que: Cov r r + n E r r + n E r E r + n n ( 1 ) µ µ µ n (A.9) O cálculo da auocovarânca cruzada enre r e r j + n dfere apenas e que os faores couns nduze à ua correlação cruzada coneporânea enre os reornos vruas dos avos e j. Usando o fao que: E r kr j+ n l µ µ j + ββ jσ f θ ( l k n) Teos E r rj+ n E X ( k) r k X j+ n( l) rj+ n l k l E X ( k) X j+ n( l) r kr j+ n l k l k l [ ] E X ( k) E X j+ n( l) E r kr j+ n l k l ( 1 ) ( 1 j ) j µ µ j ββ jσ f θ ( l k n) k l µ µ + + ( 1 )( 1 ) j n j ββ jσ f 1 j (A.1) Vóra, v. 4, n. 1, Ar., p. 6-4, jan.-abr. 7

13 38 Beeo e Bergann sendo que a expressão (A.1) fo obda pela ndependênca cruzada do processo de nãonegocação. Ass, para coplearos o resulado obdo e (.9) basa fazeros: Cov r rj+ n E r r j+ n E r E r j+ n ( 1 )( 1 ) j n j j f j 1 j µ µ + β β σ µ µ ( 1 )( 1 ) 1 j n ββ jσ f j Fnalene, pelos resulados anerores obdos e pela defnção de Corr r, r + n eos: n µ Corr r, r + n σ + µ 1 Correspondendo a expressão (.1), copleenando a deonsração. B Apêndce : Deonsração dos resulados da proposção Seja P e Q as probabldades não-condconas de δ e δ 1, respecvaene. Anda, seja P e Q as probabldades do esado de equlíbro. Enão, pela expressão (.11) obeos: P P + 1 Q (A.11) ( ) ( 1 ) Q P + Q (A.1) No seady-sae, P P P, 1 e Q Q Q, 1. Subsundo nas expressões anerores, obeos: 1 P (A.13) + ( ) 1 Q + ( ) (A.14) Porano, a éda, a varânca e a auocorrelação de prera orde de δ no esado de equlíbro, não-condconadas, são dadas por: E δ Q (A.15) [ ] V [ δ ] ( [ ]) E δ E δ Q (1 Q ) [ δ, δ ] [ δ δ ] [ δ ] [ δ ] ( ) (A.16) Corr E E E Q Q (A.17) Para calcular as esaíscas dos reornos observados, ulzareos a expressão (.4). Teos: k k [ ( )] [ ] E r E X k E r µ + µ + k 1 Q P (1 ) Q P k 1 ( ) (A.18) Vóra, v. 4, n. 1, Ar., p. 6-4, jan.-abr. 7

14 Análse dos efeos de não-sncrona de negocação no ercado de capas braslero 39 Porano, a Corr r, V r E X ( k) r k E r k r 1 ( ) P µ + Q Q + P ( 1 ) ( ) será gual a: ( ) Corr r, r 1 µ Q P + (A.19) (A.) Vóra, v. 4, n. 1, Ar., p. 6-4, jan.-abr. 7