Autoria: Josilmar Cordenonssi Cia

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1 Uma Possível Solução para o Equy Premum Puzzle (EPP Auora: Joslmar Cordenonss Ca Resumo MEHRA e PRESCO (985 levanaram uma quesão que aé hoje não fo respondda de forma sasfaóra: o prêmo de rsco das ações amercanas é (muo maor do que pode ser explcado pelo paradgma neoclássco de fnanças econômcas (fnancal economcs. E, a parr de enão, ese problema não resolvdo fcou conhecdo como o Equy Premum Puzzle (EPP ou o Engma do Prêmo (de Rsco das Ações. Ese problema esmulou a produção de uma sére de argos, dsserações e eses que enavam ajusar os modelos neremporas de uldade esperada aos dados econômcos e fnanceros, especalmene do mercado amercano. Enreano, eses modelos, ambém chamados de CCAPM (Consumpon-CAPM, não conseguram, aé hoje, explcar o comporameno agregado dos consumdores e do mercado fnancero. Ese esudo propõe uma solução para o EPP usando a uldade margnal a poupar ao nvés da uldade margnal a consumr, uma vez que elas devem ser guas a cada momeno do empo. Desa forma, esa solução consse em um pequeno rearranjo dos modelos e a ncorporação de nformações macroeconômcas que aé agora não eram conempladas, as como o nível de poupança e o PIB per capa. O grau de aversão relavo ao rsco obdo fcou enre,77 e 6,8. Porano, compaível com a eora. Inrodução O Equy Premum Puzzle (EPP surgu da não conformdade da aplcação de modelos eórcos de omzação neremporal de uldade esperada aos dados do mercado fnancero. Os parâmeros esmados não são compaíves com os apresenados por ouros esudos empírcos realzados que exploram um únco período e êm uma abordagem mcroeconômca. Ese esudo busca ( deduzr a condção de prmera ordem para a maxmzação da uldade neremporal dos agenes, ( analsar as nconssêncas dese modelo com relação aos dados reas, ( dscur o porquê os parâmeros esmados pelos modelos são absurdos e (v propor uma modfcação no modelo para se ober a solução do EPP. I. Esruuração do Modelo de Maxmzação da Uldade Ineremporal Nos modelos de maxmzação da uldade de um únco período, como o radconal CAPM, assume-se que o agene já soluconou a quesão de quano da sua rqueza e renda ncal rá ser consumdo e quano será poupado. E, por um horzone breve de empo os agenes vão buscar maxmzar a sua função de uldade esperada da rqueza, aravés da seleção das alernavas de nvesmenos e grau de aversão ao rsco de cada um. Enreano, os agenes dfclmene vvem somene durane um breve período de empo. ambém não vão consumr oda a rqueza ao fnal do prmero (e breve período e fcar sem nada para os próxmos. Na verdade os nvesdores erão que adequar o seu nível de consumo denro de suas resrções orçamenáras que são dadas ano pela renda do seu capal como de ouras fones (especalmene rabalho. Esas defnções dsnas não razem nenhum mpaco sobre a condção de prmera ordem do problema de maxmzação da uldade neremporal.

2 Desa forma, os agenes buscam maxmzar a uldade ao logo de oda a vda. E a fone da sasfação (uldade é o consumo. A rqueza só em uldade por ser consumo em poencal. Desa forma o objevo de cada agene é maxmzar a segune função uldade: Max[ U ( C + J ( W ] = Max{ E[ U ( C; C; L ; C ; W ; ]} (I. Ou seja, ao maxmzar a soma da uldade de consumr hoje e da uldade da rqueza aual os agenes esão maxmzando a uldade esperada do consumo ao longo de oda a vda que lhes resa ( períodos. A rqueza ao fnal do período, W, é a herança a ser dexada por cada agene. Geralmene assume-se que a uldade do consumo em um deermnado período é ndependene do consumo passado ou fuuro. Maemacamene ese fao é represenado pela segune equação: E[ U ( C ; C; ; C ; W ; ] = E[ U ( C ; ] = β E[ U ( C ] = = Onde, β = ( + r L (I., ou seja, β sera um faor de descono a valor presene cuja axa de juros subjeva sera r. Assm, a varável empo (, denro da função uldade, serve para razer as uldades esperadas fuuras ao valor presene aravés do faor β, que os eórcos defnem < β <. Ese parâmero sera um faor subjevo pelo qual os agenes decdem subsur R$, do consumo de hoje por R$(/β para consumr daqu a um período, ou R$ (/ β em períodos. Ese parâmero β é conhecdo como o grau de mpacênca dos agenes e ambém como faor de subsução neremporal (FSI. Geralmene, assume-se que ese faor é consane ao longo do empo. Anda analsando a equação (I., assume-se que C = W, ou seja, o consumo fnal sera a herança a ser dexada. Em seguda será ncorporada a resrção orçamenára neremporal ao modelo e, em seguda, será deduzda a condção de prmera ordem (Equação de Euler para a maxmzação da uldade neremporal. Será analsado o caso em que a renda auferda pelo agene é provenene ano da remuneração pelo seu rabalho como pelo seu capal (rqueza. Nesa dedução do modelo, não é necessáro assumr as premssas usadas por LUCAS (978 de que se raa de uma economa não moneára, pos se usa um pono de parda dferene do ulzado por ese auor. Enreano, o resulado alcançado é o mesmo. Vale lembrar que o modelo que é deduzdo abaxo ulza somene axas de reorno da carera de um agene represenavo, cujo consumo é gual ao consumo prvado per capae e cuja rqueza esá aplcada enre os város avos da economa na mesma proporção da rqueza agregada. Preferu-se ulzar a axa de reorno da carera agregada de avos ( carera do mercado para ornar mas smples e acessível a dervação do modelo. Se o agene perceber remuneração pela sua rqueza (W e pelo seu rabalho (L, a sua resrção orçamenára passa a ser: Onde, W W L C + + = = [ + k ] + ( L C [ k ] W = W (I.3 rqueza ao fnal da vda do agene, no ano rqueza aual, ano zero renda do rabalho no período consumo no período k + axa da carera do mercado de reorno no período + s+

3 Desa forma, combnando a função objevo (I. com a resrção orçamenára (I.3, obém-se a função de Lagrange (omzação condconada: = [ ( ] + [ + ] ( [ + ] L β E U C λ W W k+ L C ks+ (I.4 = = = Assumndo que a renda do rabalho (L é consane ao longo do empo, as condções de prmera ordem são dêncas quando não hava renda do rabalho: L = β E[ U ( C ] + [ + + ] = λ ks U ( C = λ [ + ks+ ] (I.5a C L = β E[ U ( C ] + [ + ( + ] = [ λ E ks βe U ( C ] = λ [ + ks+ ] (I.5b C Em =, o operador E(. fo omdo porque se assume que não há ncereza sobre o nível e uldade do consumo correne. Porém, o operador da esperança não é dspensado quando >, pos há ncereza quano ao nível e à uldade do consumo. Em ermos geras, a condção de prmera ordem pode ser assm represenada: L = β E[ U ( C ] + [ + + ] = [ λ ks β E U ( C ] = λ [ + ks+ ] (I.5c C Reescrevendo a equação (I.5a em-se: ( C = [ + k ] [ + ] k s + U λ (I.6 Subsundo (I.5b em (I.6: U ( C = [ + k ] E [ U ( ] β (I.7 C Assm, a equação (II.3 represena a condção de equlíbro enre o consumo correne (= e o do próxmo período. A uldade margnal de dexar de consumr (poupar R$,, hoje, em que ser gual à uldade margnal esperada, desconada a valor presene, de consumr R$[ + k ] no período segune (=. Enreano, a axa de reorno k remunera odo o capal não consumdo hoje (= aé o próxmo período (=. Porano, só em = que k será uma axa conhecda. Como a axa de reorno k va afear a rqueza consumível em =, ela rá afear a decsão de quano consumr no próxmo período. Esse fao pode ser exemplfcado se, por convenênca, for assumdo que a rqueza a ser dexada de herança (W é consane ao longo do empo. Desa forma, a dervada oal da resrção orçamenára (I.3 fca assm: dw W W = d dc ( + k + = (I.8 ( + k C Esas dervadas parcas de (I.8, obdas da equação (I.3, são as segunes: W = ( W + L C [ + k+ ] + k ( W = C = [ + k ] + = (I.9 (I. Subsundo (I.9 e (I. em (I.8 e rearranjando os ermos, em-se: dc = [ W + L C ] d( + k (I. Assm, o consumo em = é uma função da axa de reorno k, que anda não é conhecda hoje, =. Em ouras palavras C = f ( + k, o valor a ser consumdo no próxmo período dependerá do nível de rqueza que será poupado hoje [ W + L C ] e da axa de reorno enre hoje e o próxmo período, k. Desa forma, na equação (I.7, o faor ( + k 3

4 deve ser ncorporado denro do operador da esperança, pos, como há uma dependênca do nível de consumo em = com a axa k, em que se levar em consderação a esperança da dsrbução conjuna de probabldade de C e k e não as dsrbuções ndependenes como (I.7 parece sugerr. Desa forma a equação (I.7 deve ser reescra desa forma: U ( C = β E[ U ( C ( + k ] (I. Esa condção de equlíbro é análoga à deduzda por LUCAS (978. Enreano, esa nova forma de demonsrar a condção de equlíbro enre o período aual (= e o próxmo (= pode ser faclmene esendda para condção de equlíbro da subsução de consumo enre quasquer dos períodos: E[ U ( C ] = β E U ( C [ + ks+ ], sendo que > (I.3 Agora será analsado o caso do agene que em ano uma renda provenene do rabalho como, ambém, a remuneração do capal. II. Implcações do modelo neremporal e o grau de aversão ao rsco Conforme já menconado anerormene, LUCAS (978 desenvolveu um modelo de apreçameno neremporal de avos em uma economa de rocas (não moneára onde há somene uma empresa que produz bens perecíves e um mercado aconáro onde as ações desa empresa são negocadas compevamene enre os agenes. Nesa economa os agenes não precsam decdr a composção de suas careras de nvesmeno, esando apenas preocupados em deermnar o nível de consumo aual e fuuro. É usual assumr que o valor presene da uldade margnal da herança (W é zero ou, de modo análogo, que ende a nfno. Desa forma, a função objevo dos agenes é a segune: j MaxE β U ( C+ j (II. j= MEHRA E PRESCO (985 se basearam nese modelo smplfcado de LUCAS (978 e nas conrbuções de GROSSMAN E SHILLER (98, enre ouros, para deduzr as mplcações eórcas do modelo neremporal e conrasá-las com os dados reas de mercado. Esa dscrepânca enre os dados reas de mercado e as mplcações eórcas do modelo consse o Equy Premum Puzzle (EPP Conforme vso na seção passada, a condção de equlíbro para a equação (II. é a segune: ( C E [( + R U ( C ] U ' = β, + ' + (II. Enreano, há uma dferença enre (II. e (I.. Enquano em (II. R, + é a axa de reorno de qualquer avo (ou carera no período +, k em (I. fo defndo como a axa de reorno de oda a carera do agene represenavo. De qualquer forma, fca claro que a dedução do modelo da seção aneror podera ser generalzada para qualquer avo. A equação (II. represena o equlíbro neremporal do consumo, onde o cuso da uldade margnal de poupar (dexar de consumr R$ a mas hoje deve ser gual ao valor presene da sasfação margnal de consumr (+R,+ reas em +. Dvdndo ambos os lados de (II. por ( C U '( C+ ( ( = E + R, + U ' C U ' em-se: β (II.3 Na maora dos esudos presume-se que os agenes êm uma função uldade poênca, ou de aversão relava consane ao rsco (CRRA. 4

5 Onde, α α C U ( C = (II.4 α é o coefcene de aversão ao rsco relava. É um parâmero de aversão ao rsco que ndependene do nível de rqueza do agene. ambém pode ser represenado pelo símbolo R(W, especalmene quando a função de uldade usada for a da rqueza (W e não ao do consumo (C. Orgnalmene a função de uldade CRRA (II.4 fo desenvolvda usando a rqueza (W ao nvés do consumo (C. Porém, muos auores, al como BREEDEN (979, defendem a déa de que não há empeclhos eórcos para usar uma ou oura varável. Desa forma, o benefíco (uldade margnal do úlmo cenavo de real (R$, consumdo é obdo aravés da dervada de (II.4 em função de C: α U '( C = C (II.5 Assm, pode-se reescrever (II.3 da segune forma: α C + = βe ( + R, + (II.6 C Assumndo que os reornos dos avos e a axa de crescmeno do consumo êm uma dsrbução lognormal, pode ser demonsrado que ln E[ X ] = E[ ln X ] + Var[ ln X ]. Se α C + X for gual à ( + R, + esa relação podera ser reescra desa forma: C α α α C + C+ C+ ln E ( = ( + + ( + + R, + E ln R, + Var ln R, + (II.7 C C C Porano, aplcando ln (logarmo naural em ambos os lados de (II.6, vem: = ln β + E ( r, + αe ( c+ + ( σ + α σ c ασ c (II.8 E rearranjando os ermos, vem: E ( r, + = αe ( c+ ln β ( σ + α σ c ασ c (II.9 Onde, r, + = ln ( + R, + c + C = = = c+ c ln C+ ln C ln C σ varânca de r, + (logarmo naural de um mas axa de reorno do avo + σ c varânca de c + (logarmo naural de um mas axa de crescmeno do consumo σ c covarânca enre r, + e c + No caso de um avo lvre de rsco, ano a varânca dos reornos como a sua covarânca com o crescmeno do consumo seram guas a zero: 5

6 ( c ln β ( α σ rf, + = αe + c (II. Desa forma, o prêmo pelo rsco pode ser obdo subrando (II. de (II.9, obendo-se: σ E ( r + rf, + + = ασ c σ ambém é gual à varânca de ( r r, (II. Como, + f, +, pos a varânca do avo lvre de rsco é zero, e pelo mesmo prncípo usado em (II.7, pode-se reescrever (II. desa forma: + R, + ln E = ασ c (II. + R f, + Assm, a equação (II. mosra que, segundo ese modelo, o prêmo de rsco de um avo é uma função do grau de aversão ao rsco vezes a covarânca enre os reornos do avo e o crescmeno do consumo. Porém, como nesa economa udo o que é produzdo é consumdo no equlíbro e odo o rendmeno de dvdendos dos aconsas vem do lucro da produção, MEHRA (3 mpõe a condção de equlíbro, onde a axa do crescmeno do consumo deve ser gual à axa de crescmeno da rqueza proporconada pelas ações ( + R, +. Assm, σ = σ c = σ c. Em prncípo, qualquer das varâncas ou a covarânca podera ser usada. A escolha de MEHRA (3 é pela varânca da axa de crescmeno do consumo. Desa forma, (II. é reescra assm: + R, + ln E = ασ c (II.3 + R f, + Segundo MEHRA E PRESCO (985, o parâmero α, que mede o desejo em assumr rsco, é um ndcador mporane em muos campos da economa. Os auores relaaram números esudos que servram como uma jusfcava a pror em que α vara enre zero e dos. Com base nsso eses auores esabeleceram que qualquer valor acma de não deve ser aceo sem novas evdêncas empírcas e eórcas. O problema é que com os dados dsponíves na época (e anda hoje o α necessáro para explcar o prêmo de rsco das ações é muo elevado. Inserndo os valores condos nese rabalho (e reproduzdos na ABELA II. na equação (II.3: + R, +,698 ln E = ασ c ln = α(,74,,8 + R f + α = 46,69 A ABELA II. ampla os cálculos para város subperíodos, ulzando os própros dados de MEHRA e PRESCO (985, abela. Pode-se verfcar que em apenas dos períodos a fo menor do : Na prmera década analsada e na década segune à crse, pode-se calcular o grau de aversão para respear a equação (II.3. 6

7 Período ABELA II.. Grau de aversão ao rsco esmado para város períodos Crescmeno do consumo real per capa (% axa de reorno em avo relavamene lvre de rsco (% axa do S&P5 (% Méda Desvo padrão Méda Desvo padrão Méda Desvo padrão Ε(α ,83% 3,57%,8% 5,67% 6,98% 6,54% 46, ,3% 4,9% 5,8% 3,3% 7,58%,% 6, ,55% 5,3%,6%,59% 7,7% 7,% 7, ,% 3,7% -,63% 9,% -,4%,8% 5, ,% 3,97% 4,3% 6,6% 8,94% 6,8% 83, ,% 5,8%,39% 6,5%,65% 7,9%, ,9%,5% -5,8% 4,5% 3,7% 4,67% 4, ,48%,% -,8%,89% 7,49% 3,8% 693, ,37%,%,7%,64% 5,58%,59% 436, ,4%,4% -,7%,6%,3% 3,% 38,4 Fone: MEHRA e PRESCO (985 e o auor [coluna E(α] III. Qual é o problema de α =46,69? Esa seção procura razer um apelo mas nuvo da razão pela qual o grau de aversão relavo ao rsco [α] esmado para maxmzar a uldade neremporal não condz nem com a leraura e ampouco com um mínmo bom senso. De acordo com MEHRA e PRESCO (985, há na leraura evdêncas de que α deve se suar enre e. Veja a ABELA III. para um resumo deses esudos. Anda segundo eses auores, eses esudos podem ser quesonados em muos aspecos, porém, em conjuno consuem uma jusfcava a pror em resrngr o valor de α para ser no máxmo. ABELA III.. Evdêncas para o valor real de α Esudo Como fo obdo α=r(w Arrow (97 esudo eórco R(W Frend e Blume (975 Kydland e Presco (975 Alug (983 Kehoe (984 Hldreh e Knowles (98 obn e Dolde (97 observando careras de nvesmeno de ndvíduos α necessáro para fazer com que uma sére de fluuações enre consumo e nvesmeno agregados fosse parecda com a sére observada ulzando écncas economércas sofscadas para o mesmo problema de Kydland e Presco (975 esudo das resposas do balanço de pagamenos de países de economa pequena a choques em seus emos de roca esudo do comporameno de fazenderos esudo do comporameno da poupança ao longo do cclo de vda quando há resrções para omar crédo. O parâmero α necessáro para ajusar à sére observada. Fone: MEHRA e PRESCO (985 e organzado pelo auor R(W < R(W < R(W R(W < R(W< R(W,5 7

8 No GRÁFICO III., fo apresenado uma curva da lnha do mercado de capas (CML com axas reas de reorno e desvo padrão hsórcos do mercado amercano, juno com curvas de ndferença de agenes com dferenes níves de grau de aversão relavo ao rsco [α]. Os dados de mercado foram obdos da abela 8. de CAMPBELL e al. (996, p. 38. Se for assumdo que a carera agregada de avos da economa deve ser próxma do S&P5, o parâmero α esmado (usando o modelo de um únco período, com uma função uldade CRRA da rqueza e não do consumo sera de,49! Ese resulado esá em lnha com as evdêncas apresenadas por MEHRA e PRESCO (985. GRÁFICO III. Omzação de Careras por um únco período [R(W = α] axa de Reorno Esperada [E(k] U[R(W=5] U[R(W=,49] U[R(W=] CML P(R= 4,95% M 3,9%,45%,83% P(R=5 % 5% % 5% % 5% 3% 35% 4% 45% Desvo padrão (σ Oura forma de verfcar que um grau de aversão relavo ao rsco [R(W] de 46,69 não deve aconecer em um mercado sem frcções e onde só haja agenes raconas. Para sso será usada a função uldade esperada com grau consane de aversão absolua ao rsco (CARA, Consan Absolue Rsk Averson. Desa forma, a dsposção de um agene em pagar o prêmo de seguro (p é uma função da varânca da sua rqueza [Var(ε] e do seu grau de aversão absoluo ao rsco [A(W] dado um nível esperado de rqueza W : Var( ε p A( W (III. Dvdndo e mulplcando o lado dreo pela rqueza W, e sabendo que R ( W = A( W W, em-se: Var( ε R( W p (III. W Suponha que o agene em uma rqueza oal (W, com rsco, de R$ ml, conendo um únco avo com rsco que é o um carro (C, que vale R$ ml. Assumndo que só possa haver dos esados fuuros, a rqueza com o carro e a rqueza sem o carro, perda oal, o valor esperado, e conseqüenemene, a varânca da rqueza do agene depende de qual é a probabldade dessa perda. Nese exemplo a probabldade π é de que haja perda oal do veículo e (-π de que não haja nenhum snsro. Desa forma, a rqueza esperada (W é assm deermnada: 8

9 ( W C + ( π W = E( W = π W = W πc (III.3 W =..π A varânca da perda (ou ganho esperado Se for defndo que ε = W W, podese afrmar que E(ε = e E(ε²=. Desa forma, em-se: Var( W = Var ε = E W W = E W W Var Var Var ( [( ] [( ] ( ε = [ π( W CW + C + ( π W ] ( ε = [ W πcw + πc ] W + ( ε = π( π C ( ε = π( π(. W πcw π + πcw π C C (III.4 Var Assm, subsundo (III.3 e (III.4 em (III., em-se: π ( π (. p R( W (III.5 (. π. O GRÁFICO III. mosra a dsposção de pagar o prêmo do seguro de acordo com o grau de aversão a rsco [R(W ] e da probabldade de perda π. Nese gráfco são represenados agenes com R(W gual a, 4,, e 46,69. A lnha horzonal Carro (R$ represena o valor negral do carro, e a rea E(perda represena a perda esperada, que é π(.. Vale noar que o agene cujo grau de aversão R(W=46,69 em uma dsposção de pagar odo o valor do carro (R$ ml como prêmo de um seguro para resguardar um avo de mesmo valor quando a probabldade de perda é de apenas 8,%! Em ouras palavras, ese agene prefere dar como perddo de medao o valor negral do carro, aravés do pagameno do prêmo, a convver com o desconforo de poder perder o carro com 8,% de probabldade. Ese comporameno excênrco não pode ser fruo de uma decsão raconal. GRÁFICO III.. Dsposção de pagar prêmo de seguro em função de R(W e probabldade de perda (π R$ 3. R$ 5. P[R(W=46,69] 8,% Prêmo do Seguro oal R$. R$ 5. R$. Carro (R$ P[R(W=] E(perda R$ 5. P[R(W=] P[R(W=4] P[R(W=] R$ % % % 3% 4% 5% 6% Probabldade de Perda oal (% do valor do carro 9

10 É esa rraconaldade, pelo menos aparene, que consse o engma do prêmo de rsco das ações. Segundo MEHRA (3 a academa em buscado formas báscas para de ldar com ese engma e seus prncpas desdobramenos. A prmera acea o grau de aversão realvo [R(W] próxmo de 5 como fao da vda, mas ena nclur ouros faores na análse na enava de explcá-lo. Oura abordagem é rejear o R(W esmado e enar ajusar o modelo eórco aos dados reas aravés de novas defnções da função de uldade esperada. As prncpas correnes que enam explcar a ocorrênca de R(W ão elevado são: Evenos caasrófcos anecpados mas não realzados. Frcções (mperfeções de mercado Não é possível medr a expecava de reorno relevane (ex-ane E as correnes que enam modfcar os pressuposos do modelo para se ajusar aos dados reas são: Mudanças na função de uldade esperada Formação de hábos de consumo Modelos pscológcos (fnanças comporamenas Enreano, esas enavas de explcação ou de solução do engma não convenceram de forma defnva a academa. Prova dsso, é que a leraura sobre o assuno connua chamando eses resulados de puzzle. Ese rabalho se encaxa no segundo po, que ena soluconar o engma aravés de uma nova abordagem do problema de maxmzação neremporal da uldade esperada do agene represenavo da economa. IV. Proposa de uma Possível Solução para o EPP Os modelos de equlíbro neremporal que enam explcar as axas de reorno dos avos aravés das decsões do únco agene represenavo de LUCAS (978. Enreano, LUCAS fez um modelo de uma economa fechada, sem governo e não moneára; na qual era produzdo e consumdo um únco po de produo perecível, ou seja, que não poda ser esocado. Assm, a dendade das conas socas desa economa fcara assm: Y = C (IV. udo o que é produzdo (Y em um deermnado período, necessaramene devera ser consumdo (C. E além dsso, como não há nenhuma forma de acumulação de capal, ao fnal de cada período a rqueza (W sera sempre zero. Em uma economa moderna e abera há governo e há uma ampla gama de mercadoras sendo produzda, consumda e esocada (nvesda. desa forma a rqueza gerada por período pode ser alocada da segune forma: Y = C + I + G + ( X M (IV. Assm, oda a rqueza produzda em um período (Y, Produo Inerno Bruo pode ser consumda ano pelos ndvíduos (C ou pelo seor governo (G e pelos não resdenes (X, exporação e uma pare é esocada na forma de máqunas, nsalações ou mesmo mercadoras que anda não foram consumdas (I, nvesmeno. Por ouro lado, pare do dspêndo feo pelos resdenes e governo (C+I+G é em mercadoras e servços produzdos fora dessa economa. E, porano, para evar dupla conagem as mporações (M enram na equação com snal negavo. Em uma economa moderna e abera será que é possível explcar as axas de reorno dos avos com base no consumo de um agene represenavo? Além da óca do dspêndo (IV., a renda pode ser analsada sob a óca da alocação: Y = C + S + R (IV.3

11 oda a renda (Y gerada pela economa ou é consumda (C, ou é poupada (S ou é recolhda pelo governo na forma de rbuos e conrbuções (. Porém, pare do que é recolhdo pelo governo vola ao seor prvado sob a forma de ransferêncas (R, que são pensões para aposenados, programas socas e subsídos a alguns produores. Desa forma, a renda dsponível (YD para consumr ou poupar é somene: YD = Y + R (IV.4 E, porano, a alocação da renda dsponível fca: YD = C + S (IV.5 A parr da equação (IV.5 é possível fazer algumas deduções sobre a relação enre a uldade margnal de consumr e a uldade margnal de poupar. Para sso basa omzar a uldade como função do consumo e poupança correnes, sujea à resrção orçamenára represenada pela própra equação (IV.5. Assm, em-se: Maxmzar U ( C ; S sujeo a YD = C + S. Aplcando a meodologa do mulplcador de Lagrange, em-se: L = U ( C ; S + λ( YD C S (IV.6 Cujas condções de prmera ordem são: L U C ; S λ = U = (IV.7 ( λ ( C S λ = U = λ C = C C S = U S S = YD C S = L ; (IV.8 L λ (IV.9 Desa forma, gualando (IV.7 e (IV.8, obém-se: U = (IV. C U S Ou seja, em cada nsane do empo o agene que busca maxmzar a sua uldade da rqueza rá consumr aé o monane em que a uldade margnal de consumr seja gual à de poupar, ou seja, no pono (C*, S*. Se acaso ele consumr além (ou aquém dese nível ele não esará em seu pono ómo, mesmo respeando a resrção orçamenára. GRÁFICO IV. rade-off enre Consumo e Poupança Correne Poupança (S S* C* U( U( U(- Consumo (C W= YD=C+S

12 Como a equação (IV.8 é válda em cada nsane, os modelos de omzação neremporal de uldade esperada podem usar a uldade margnal a poupar ao nvés de ulzar a uldade margnal a consumr. A análse dos prncpas mpacos desa mudança de abordagem no modelo neremporal básco, desenvolvdo no capíulo III, é apresenada na próxma seção. Implemenação da nova abordagem Parndo da equação (II., ( C E [( + R U ( C ] U ' = β, + ' +, e da equação (IV., em-se: U '( S = β E [( + R, + U '( S+ ] (IV. Agora (IV. ndca que é a uldade margnal a poupar um real no período, * U '( S, é gual ao valor presene da uldade margnal esperada de consumr (que é gual a poupar ( + R, + reas no período +. O valor presene é obdo aplcando um faor de descono nemporal β. E R, + é a axa de reorno de um avo fnancero qualquer (íulo de renda fxa ou uma ação enre os períodos e +. U ', em-se: Dvdndo ambos os lados de (IV. por ( S U ' ( ( S ( = + + E R, + U ' S β (IV. Assumndo que a uldade da poupança segue uma função CRRA do po: α ( ( S U S = (IV.3 α E que conseqüenemene a uldade margnal da poupança é: U ( S = ( α S (IV.4 Desa forma, reescrevendo a equação (IV. com base em (IV.4, em-se: α S + = βe ( + R, + (IV.5 S Assumndo que ano a axa de reorno com a axa de crescmeno da poupança prvada seguem uma dsrbução conjuna lognormal e homoscedásca, analsar a equação (IV.5 fca mas fácl aravés de uma ransformação logarímca. De acordo com o Apêndce C, se for aplcado a ransformação logarímca nos dos lados da Equação (IV.4,e lembrando que as varáves em lera mnúscula represenam logarmo naural (ln em-se: Onde E [ r ] αe [ s ] + [ σ + α σ ασ ] = ln β + E, + + s s (IV.6 ou + = ln β + αe s+ σ + α σ s ασ s (IV.7 ln + R + = r +, σ s é a varânca de [ r ] [ ] [ ], σ sgnfca a varânca de (,, * α S + ln e σ * s é a covarânca deses logarmos. S No caso de uma axa lvre de rsco, cuja varânca e covarânca (com qualquer oura varável são nulas, a equação análoga a (IV.7 fcara assm:

13 r f, = ln β + αe + [ s ] [ α σ ] + s (IV.8 Desa forma, se (IV.8 for subraído de (IV.7 obém-se a esmava do prêmo de rsco de qualquer avo (assumndo que as axas de reorno e o crescmeno da poupança sgam dsrbuções lognormas: E σ [ r + rf, + ] = ασ s, (IV.9 O ermo da varânca do lado esquerdo da equação (IV.9 é devdo ao fao de que se esá rabalhando com esperanças de logarmos de (+R. Pelo mesmo prncípo usado para dervar a equação (I.7, se o lado esquerdo desa equação for ransformada em logarmo da esperança de (+R ela podera ser reescra assm: + R, + ln E = ασ s (IV. + R f, + Assm, a equação (IV. dz que a o prêmo de rsco de qualquer avo é obdo aravés do produo enre o grau de aversão ao rsco e a covarânca enre as axas de reorno dese avo e a poupança agregada. Fones e raameno dos dados usados nesa nova abordagem Os dados usados nese rabalho foram os segunes podem são dvddos em 3 grupos: Dados anuas macroeconômcos dos EUA (99-4: ( Poupança Prvada, ( Consumo Prvado e ( Renda Dsponível Índce de Preços ao Consumdor (CPI População Dados de axas de reorno do mercado amercano: ( S&P 5 e ( rendmenos dos íulos do esouro amercano de ano. Os dados macroeconômcos foram exraídos do Bureau of Economc Analyss (BEA, hp:// Os dados usados nese esudo foram obdos nas segunes abelas NIPA (Naonal Income and Produc Accouns ables: Sére abela NIPA Lnhas Poupança Prvada Brua + 3 (Ne prvae savng 5. (S +4 (Prvae consumpon of capal goods Consumo Prvado (C..5. Anual + (Personal consumpon expendure Renda Dsponível (YD Soma das lnhas acma (YD=C+S odas esas séres são nomnas, ou seja, expressos em moeda correne a cada ano enre 99 e 4. Nese rabalho opou-se por rabalhar com odos os dados nomnas macroeconômcos e fnanceros e depos converê-los por um mesmo índce de preço ao consumdor (CPI e não pelo deflaor mplíco do PIB (ou de oura sub-cona amercano. O índce de preços ao consumdor (CPI, Consumer Prce Index All Urban Areas fo obdo no sío elerônco do Bureau of Labor Sascs (BLS, hp:// A população usada para calcular os valores per capa fo a esmada para o da º de julho de cada ano pelo US Census Bureau (hp:// E fnalmene os dados sobre as axas de reorno hsórcas do S&P5 ajusados a dvdendos foram obdos no se do Prof. Rober Shller (hp:// onde ele dsponblza dados da economa amercana desde 87 e que é freqüenemene aualzado e revsado. O nome do arquvo MS- 3

14 Excel que coném eses dados é chap6.xls. Nese arquvo ambém são fornecdas as axas de juros de curo e longo prazo ( anos. Para esmar a axa lvre de rsco para compuar o prêmo de rsco do mercado, nese rabalho, é usada a de curo prazo. Com base nos dados coleados obveram-se os resulados resumdos pela ABELA IV.. ABELA IV.. Momenos do logarmo do crescmeno do consumo, poupança, renda e reornos de avos c s yd r M r f r M - r f Méda,84%,9%,85% 5,99%,7% 4,7% Desvo padrão 3,54% 9,49% 4,86% 8,3% 4,% 8,93% Varânca,5%² 379,77%² 3,57%² 335,6%² 6,%² 358,9%² Covarânca Correlação c,5%² 3,46%² 3,8%² 4,73%² -3,88%² 45,6%² s 3,46%² 379,77%² 84,49%²,76%² -3,9%² 3,95%² yd 3,8%² 84,49%² 3,57%² 39,7%² -7,47%² 47,7%² r M 4,73%²,76%² 39,7%² 335,6%² -3,5%² 338,57%² r f -3,88%² -3,9%² -7,47%² -3,5%² 6,%² -9,6%² r M - r f 45,6%² 3,95%² 47,7%² 338,57%² -9,6%² 358,9%² c,47,76,64 -,7,68 s,47,89,8 -,4,36 yd,76,89,45 -,38,5 r M,64,8,45 -,5,98 r f -,7 -,4 -,38 -,5 -,6 r M - r f,68,36,5,98 -,6, Legenda: 5 % = =, 5, enreano 5% = = =, 5. O grau relavo de aversão ao rsco (α compaível para o prêmo de rsco hsórco das ações aravés das equações (IV.9 e (IV.. Prmeramene será esmado α aravés do rearranjo da equação (IV.9 e aplcação das esaíscas amosras da ABELA IV.: σ M α = E ( rm, + rf, + (IV. σ Ms O problema para se fazer ese cálculo é que a axa lvre de rsco, que eórcamene devera er desvo-padrão próxmo de zero, em um valor pracamene 4 vezes maor que a sua méda. Assm, α será esmado usando covarânca do mercado, do prêmo de rsco com o logarmo do crescmeno da poupança; e ambém a varânca do mercado e do prêmo de rsco. Além dsso, para fazer uma analoga ao resulado feo por MEHRA (3, de que em equlíbro a covarânca do mercado com a poupança e a varânca da poupança A ABELA IV. mosra o valor esmado de a para cada combnação enre o valor da covarânca e da varânca ulzada na equação (IV. 4

15 ABELA IV.. Esmavas para o grau de aversão relava ao rsco (α pela equação (IV. σms: Covarânca α σ² M = Var(r M σ² M : Varânca σ² (M-f = Var(r M,- r f σ Ms = Cov(r M, s 3,743,966 σ (M-fs = Cov[(r M,- r f, s,3489,645 σ² s = Var( s,8559,779 Porano, em nenhuma das combnações fca fora da faxa em que MEHRA e PRESCO (985 esabeleceram enre zero e. Em seguda será verfcado os valores esmados de a usando a equação (IV.. Rearranjando esa equação em-se: + R M, + α = ln E (IV. σ Ms + R f, + + R M, + Nese caso, o valor esmado para E é de,6. Usando as mesmas + R f, + defnções da covarânca da ABELA IV., chega-se à ABELA IV.3: ABELA IV.3. Esmavas para o grau de aversão relava ao rsco (α pela equação (IV. α σms: Covarânca σ Ms = Cov(r M, s 6,87463 σ (M-fs = Cov[(r M,- r f, s 4,7473 σ² s = Var( s,6464 Assm, como os valores esmados para α connuam denro do faxa esabelecda de [; ]. Agora, é necessáro verfcar se o faor subjevo de subsução neremporal (β esmado pelas equações (IV.7 e (IV.8 é posvo e menor do que. O b esmado pela axa de reorno do mercado será pela equação (IV.8 e pela axa lvre de rsco pelas duas equações. Os resulados esão resumdos na ABELA IV.4. ABELA IV.4. Esmavas para β β Eq. (IV.7 Eq. (IV.8 E[r M ] E[r f ] r f Max(α = 6,9,536,56,5369 Mn(α =,77,954,9875,997 Como < β <, esa abordagem ambém não enfrenou o problema chamado Rskfree Rae Puzzle, que ocorre quando β>. Nese caso o valor presene da uldade margnal de se consumr R$, daqu um ano sera maor do que a uldade margnal de consum-lo hoje. Ese paradoxo,.dos agenes eram uma axa de descono subjeva negava, em nenhum o b esmado fcou 5

16 V. CONCLUSÃO Esa abordagem, apesar de promssora, anda em que ser esada em ouras economas. Especalmene naquelas onde se verfca o chamado Equy Premum Puzzle. Só após a verfcação empírca desa nova abordagem é que ela poderá ser chamada de solução para o engma. E mesmo assm, pode não ser a únca. A conrbução dese rabalho esá no fao de buscar um novo pono de parda para a dervação da função da uldade. Os rabalhos precedenes esavam presos à vsão de que é no consumo que deve esar a explcação. Enreano, ao nvesgar o que podera ser dferene uma economa moderna da economa de rocas de LUCAS (978, chegou-se a conclusão que só podera ser a poupança. Assm, ao esabelecer a relação enre a uldade margnal de consumr e a uldade margnal a poupar, verfcou-se ser possível soluconar o engma, conforme demonsrado. E, além dsso, ndreamene chegou-se a uma (alvez únca formulação da uldade margnal a poupar. Sabendo que ( S = ( α S U S = U e que S = YD C, em-se: ( C = ( α YD C A parr de (V. fca claro que rabalhar com ( S U, que ( ( C U (V. U é mas fácl do que U ( C REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO BONOMO, Marco (Org. ( Fnanças Aplcadas ao Brasl. Ro de Janero, Edora FGV (. BREEDEN, Douglas (979, An Ineremporal Asse Prcng Model wh Sochasc Consumpon and Invesmens Opporunes, Journal of Fnancal Economcs [Vol. 7 (979 p ] BREEDEN, Douglas.; GIBBONS, Mchael R. e LIZENBERGEN, Rober H. (989. Emprcal ess of he Consumpon-Orened CAPM. Journal of Fnance. (June 989. BREEDEN, Douglas, Ineremporal Porfolo heory and Asse Prcng, Capíulo do Lvro he New Palgrave Fnance, he Macmllan Press Lmed, 989 CAMPBELL, John Y.; LO, Andrew W. e MACKINLAY, A. Crag (997. he Economercs of Fnancal Markes. Prnceon Unversy Press. CAALÃO, André Borges e YOSHINO, Joe A. (4. he Equy Premum Puzzle: Brasl e Esados Undos. Unversdade de São Paulo, FEA - Economa e FEA-IME, Mesrado Profssonalzane: Modelagem Maemáca em Fnanças (Abrl 4. LUCAS, Rober E., Jr. (978. Asse Prces n an Exchange Economy. Economerca (November, 978. MEHRA, Rajnsh e PRESCO, Edward C. (985. he Equy Premum: A Puzzle. Journal of Moneary Economcs [Vol. 5 (985 p. 45-6] MEHRA, Rajnsh (3. he Equy Premum: Why Is a Puzzle? Fnancal Analys Journal, Jan-Feb 3 MERON, Rober C. (99. Connuous-me Fnance. Blackwell. A dervação e a noação do modelo segue Campbell e al. (997. Arrow (97, Frend e Blume (975, Kydland e Presco (98, Alug (983, Kehoe (984, Hldreh e Knowles (98 e obn e Dolde (97. 6