Representação de Curvas

Transcrição

1 CI8 Ssemas Gráfcos para Engenhara 5. Represenação e Crvas Lz Fernano Marha Anré Perera Baseao em maeral preparao por Marcelo Gaass Depo. e Informáca PUC-Ro aapao para a scplna CI8

2 Represenações e Crvas e Sperfíces Qaro pos e represenações para crvas e sperfíces são comns em Compação Gráfca e Projeo Geomérco: explíca, mplíca, paramérca e proceral. Caa ma essas alernavas será brevemene nroza, enreano apenas ma forma parclar será enfazaa, a represenação paramérca, lzaa ao longo o crso. Fone:

3 Represenações Explícas Ao esar geomera analíca, é comm lzar coorenaas reanglares e conserar eqações a forma fx. Os gráfcos x, fx essas fnções são crvas no plano. Por exemplo, x represena ma lnha rea, e x represena ma parábola ver fgra. Smlarmene, poem-se gerar sperfíces ao conserar eqações a forma z fx,: a eqação z x 5-7 represena m plano no espaço, e z x - represena m paraboloe hperbólco. Expressões a forma fx o z fx, são chamaas e represenações explícas porqe elas expressam ma varável explcamene em ermos as oras varáves.

4 Represenações Implícas Nem oas as crvas e sperfíces poem ser pronamene capraas por ma únca expressão explíca. Por exemplo, o círclo e rao náro e cenrao na orgem é represenao mplcamene por oas as solções a eqação x -. Se enar resolver explcamene para em ermos e x, obém-se qe represena apenas a meae speror o círclo. Porano, em e sar as fórmlas explícas para caprar o círclo nero. Mas vezes é mas fácl fcar com a eqação mplíca orgnal em vez e resolver explcamene por ma as varáves. Assm, x - represena m círclo, e x z - represena ma esfera. Eqações a forma fx, o fx,, z são chamaas represenações mplícas porqe represenam a crva o sperfíce mplcamene sem resolver explcamene por ma as varáves.

5 Represenações Implícas Represenações mplícas são mas geras o qe as represenações explícas. A crva explíca fx é a mesma crva mplíca - fx, porém como já fo vso, nem sempre é ma qesão smples converer ma crva mplíca nma únca fórmla explíca. Além sso, as eqações mplícas poem ser lzaas para efnr crvas e sperfíces fechaas o crvas e sperfíces qe se aonercepam, formas qe são mpossíves e represenar com fnções explícas fgra no próxmo sle. Para crvas e sperfíces fechaas, a eqação mplíca poe ambém ser saa para sngr o neror o exeror, olhano para o snal a expressão mplíca. Por exemplo, para ponos enro o círclo náro x - <, e para ponos fora o círclo náro x - >. Esa capacae e sngr faclmene enre o neror e o exeror e ma crva o sperfíce fechaa é freqenemene mporane em aplcações e moelagem e sólos.

6 Represenações Implícas A lemnscaa e Bernoll: x - x -. Noe qe ferenemene e fnções explcas, os gráfcos e eqações mplícas poem se ao-nerceparem.

7 Represenações Implícas No enano, as represenações mplícas ambém êm sas esvanagens. Daa ma represenação explíca fx, poe-se faclmene enconrar mos ponos a crva x,fx, seleconano valores para x e calclano fx. Se as fnções fx forem resras a fnções elemenares como polnômos, enão para caa x exse m únco faclmene calclável. Assm, é ma qesão smples represenar grafcamene a crva fx. Por oro lao, poe não ser ma arefa ão fácl enconrar ponos na crva fx,. Para mos valores e x poe não exsr m valor corresponene, o poe haver város valores e, mesmo qe as fnções e fx, sejam resras a polnômos em x e. Enconrar ponos em sperfíces mplícas fx,,z poe ser ana mas complcao. Assm, poe ser fícl renerzar crvas e sperfíces efnas mplcamene.

8 Represenações Paramércas Exse ora forma parão para represenar crvas e sperfíces, qe é mas geral o qe a forma explíca e qe é ana fácl e renerzar. Poe-se expressar crvas e sperfíces paramercamene, represenano caa coorenaa com ma eqação explíca em m novo conjno e parâmeros. Para crvas planas em-se x x e, para sperfíces em D em-se x xs,, s, e z zs,. Por exemplo, as eqações paramércas represenam o círclo náro cenrao na orgem. Poe-se faclmene verfcar qe x -. Da mesma forma, as eqações paramércas represenam ma esfera nára: x s, s, z s, -. Mas vezes, resrnge-se o omíno o parâmero. Dese moo, ma crva paramérca é pcamene a magem e m segmeno e rea; ma sperfíce paramérca, a magem e ma regão - geralmene reanglar o ranglar - o plano.

9 Represenações Paramércas A represenação paramérca em váras vanagens. Assm como a represenação explíca, a represenação paramérca é fácl e renerzar: basa avalar as fnções e coorenaas em város valores os parâmeros. Assm como as eqações mplícas, eqações paramércas ambém poem ser saas para represenar crvas e sperfíces fechaas, bem como as crvas e sperfíces qe se ao-nercepam. Além sso, a represenação paramérca em ora vanagem: é fácl esener para mensões maores. Para lsrar: caso eseja-se represenar ma crva em D, o o qe precsa fazer é nrozr ma eqação aconal z z. Assm, as eqações paramércas represenam ma lnha em D. A fgra lsra ma crva paramérca mas complcaa em D. A hélce: x cos, sn, z /5.

10 Represenações Paramércas A represenação paramérca em sas própras ossncrasas. A represenação explíca e ma crva é únca: o gráfco e gx é a mesma crva como o gráfco e - fx se e somene se gx fx. Analogamene, se resrngr às fnções polnomas, enão a represenação mplíca fx, é essencalmene únca. No enano, a represenação paramérca e ma crva não é únca. Por exemplo, as eqações são as represenações paramércas mo ferenes para o círclo náro x. Além sso, para paramerzações polnomas o raconas, sabe-se qe para ma aa crva o sperfíce paramérca enconra-se ma crva o sperfíce polnomal mplíca. O nverso, no enano, não é verae. Exsem crvas e sperfíces polnomas mplícas qe não possem paramerzação polnomal o raconal. Assm, a forma polnomal mplíca é mas geral o qe a forma paramérca.

11 Represenações Paramércas No enano, por casa e se poer, smplcae e faclae e so, a represenação paramérca e crvas e sperfíces é a mas lzaa. Além sso, a represenação paramérca fncona galmene bem em m número arbráro e mensões. Noe-se qe no caso nmensonal a represenação paramérca é a mesma qe a represenação explíca, porano as represenações explícas serão coberas aomacamene como m caso especal. As vezes será úl pensar sobre o caso especal e represenações explícas, mas qe não gere confsão, porqe as crvas paramércas apresenam propreaes geomércas as como a ao-nersecção qe nnca ocorre em represenações explícas. Crvas paramércas planares x, são mo mas flexível o qe os gráfcos planares,x e fnções explícas.

12 Represenações Paramércas Resa zer qe pos e fnções serão permas nas represenações paramércas e neresse. A qesão prncpal é a seleção as fnções paramércas qe evem ser lzaas para gerar crvas e sperfíces aeqaas. Geralmene as fnções lzaas serão varanes e polnômos: o polnômos smples o fnções raconas razões e polnômos, o ana polnômos por pares splnes o fnções raconas por pares. Polnômos êm mas vanagens, especalmene qano saos em conjno com m compaor. Polnômos são fáces e avalar. Além sso, as fnções mas complcaas são geralmene avalaas calclano algma aproxmação polnomal, enão não esá se pereno naa ao se resrngr a polnômos em prmero lgar. Além sso, há ma eora bem esenvolva e polnômos em análse nmérca e eora a aproxmação; compação gráfca e moelagem geomérca empregam exensvamene conhecmenos essa eora.

13 Represenações Proceras Ana em-se qe menconar as crvas o sperfíces proceralmene efnas. Em projeos geomércos, offses, composções e flees são freqenemene especfcaos por procemenos em vez e fórmlas. Na moelagem e sólos, a geomera é freqenemene consría proceralmene aravés e operações booleanas, como não, nerseção e ferença. A maora as sperfíces fracas e crvas qe preenchem compleamene m espaço são efnas por algormos recrsvos e não com fórmlas explícas. Não serão scos qasqer eses pos e procemenos nese crso. Sbvsão é m oro paragma para a efnção e crvas e sperfíces, explorano procemenos recrsvos. Uma vez qe ceras écncas e sbvsão esão nmamene relaconaas com crvas e sperfíces paramércas, será mas negóco scr sobre esses méoos mas aane nese crso.

14 Crvas Talvez a manera mas fácl e escrever ma forma é seleconar algns ponos sobre essa forma. Daa ma qanae sfcene ponos, o olho em ma enênca naral e nerpolar savemene enre os aos. Aq ese problema será esao maemacamene. Dao m conjno fno e ponos no espaço afm, serão nvesgaos méoos para gerar crvas e sperfíces polnomas qe nerpolam os ponos. Começa-se com esqemas para crvas e, poserormene, esene-se as écncas para sperfíces.

15 Crvas Lnhas Bezers B-Splnes NURBS Oros pos especas e crvas: Pol-lnhas, arcos e círclo e arcos e elpses

16 Crvas Reqso : Inepenênca e exos x

17 Crvas Reqso : alores Múlplos x

18 Crvas Reqso : Conrole Local x

19 Crvas Reqso 4: Poca Osclação polnômo e gra elevao

20 Crvas Reqso 5: ersalae

21 Crvas Reqso 6: Amosragem Unforme s s n s s s 4 s s j Fnalzano: Crvas Reqso 7: Formlação maemáca raável

22 Solção Crva represenaa por pares aravés e polnômos e gra baxo geralmene x x x x c b a c b a x z z z z x x x x c b a z c b a c b a x [ ] [ ] global o local n,, Paramerzação n z z z z c b a z c b a connae no pono comm os rechos

23 Geomera Dferencal Parâmero genérco: Parâmero e comprmeno: s s s o P o Ps ˆ T s P s s R P R s Tˆ s R

24 Reqsos a paramerzação P P P P P P - P f P P a f -f a b f b P Se > s > s

25 Connae Geomérca e Paramérca R R Desconína Conína: C e G Conína: C e G Geomérca R R T T Paramérca R R T T C e G C e G

26 Crvas e Bézer P. e Caselja, 959 Croën P. e Bézer, 96 Renal - UNISURF Fores 97: Polnômos e Bernsen z n- n P B,, n x P n one: B, n n n n!! n! n pol. Bernsen coef. bnomal

27 Bézer Cúbcas, B, B P z B, B x P, B, B B, [ ] P

28 Polnômos Cúbcos e Bernsen B, - B, - B, - B, - B, B, B, B,

29 Propreaes a Bézer Cúbca P P [ 6 ] [ 6 ] x z P R R P P P P

30 Conrole a Bézer Cúbca

31 Fecho Convexo P n n α com α

32 Demonsração Inção α α α α P ok n n α α α α α α α α α α α α α α α α α α P P P é neror ok n...

33 Eqação o Fole P z x z x z x z x P 6 P

34 Reção e n para n P P [ ] [ ] [ ] P Bezer n

35 Reção e n para n P P P [ ] [ ] P Bezer n

36 Cálclo e m Pono P - P Mosre qe: B, n B, n B, n

37 Sbvsão e Bézer Cúbcas L... L H L L R L R R R L L L L R R R R L R

38 Consrção e ma Bezer / P/

39 Crve fng P [ ] [ ] 6 6 P P P P P P

40 Nova noação n4 n n n n r nc l nc p nc l nc l r p nc r p l p r p

41 Dervaas na nova noação P p r l p r z P p l p P P r p p l P 6 p r l x P r l p 6

42 Consrção e ma crva qe passa por ponos n p P' ' p r l 6 l 6 r l p p r P '' r l p p p p

43 Consrção e ma crva qe passa por ponos P ' P '' ' r l P '' l p l p p r l ρ l ρ r p r l r r l l p p l ρ r l p l l p P '' ρ ρ r l r l p p p

44 Méoo consrvo: aos n ponos acrescenar mas m r n l n l n p n l r p n r p l n p n r n ρ l l l l p ρ l ρ r p r n n n ln pn pn rn l n r n ln pn n ρ ρ l r l n n n p r pn n n

45 Inerpolação: aos p p n, enconre l s e r s r n l n l n p n l r p n r p l n p n r n p

46 Bezer nerpolaon r np Gven: np pons r p l p r l Crera: p l np r p np np l np p np p' ' p r l 6 p, p,, p np Fn: np- pons l, l,, l np r, r,, r np r l p p ' lef lef p' ' np 6 rnp l np pnp r np l np pnp p ' p l r p l r p rgh rgh p '' p '' 6 r l p 6 p r l r l r l

47 Bezer nerpolaon Crera: p r l np np r np l p l p r l l r r r np np p p p p np p np r r r l np l l l np reslng lnear ssem: n n n n nc nc nc n n l l l l p p p p p r r r r p solve for l an r

48 B-Splnes P 4 vérces nós U{,,..., m } n P n N, p p gra o polnômo N,p conrola a connae C p- p N, p N, p N, p p p nós knos [, ] rechos spans obs.: por efnção. N, se [ casoconráro N, mnp m m

49 Propreaes e N,p Não negava: N,p para qalqer,, e p. Parção a nae: N,p para oo [, m ]. Spore local: N,p se [, p ]. Mas ana, n qalqer nervalo os nós no máxmo p as N,p são não zero.,p Dferencablae: oas as ervaas e N,p exsem no neror e m nervalo e nós one é polnômal. Nos nós N,p é p-k ferencável, one k é a mlplcae o nó. Exremo: exceo para o caso p, N,p em apenas m pono e máxmo.

50 Splne Unforme,,, N N N p p p p p p,,, N p p N p N p p p j - j

51 Splnes Unformes p e p [ [, se se N p - n... N,... p,,, N N N p p ] [ [ [ [, m se se se se N N, -

52 Splnes Unformes p N, N, N -, - p,,, N N N ], [, [, [, [ [,, m se se se se se N

53 Polnômos a B-Splne Unforme p N, p N, p N, p p p 4 N, N, N, - - N, - - N, - / - -/ -- / - / N, - / - -/ 4-- / 4- / N, - / ] [- - /6 [ / ]/6 - / - / - / - / N, 6 /6 - /6-6 4/6 - /6

54 Segmenos a B-splne cúbca p,7,6,5,4,,, -6 4/6 - /6 - /6 /6,,,,4,6,8,

55 Fnções a base,7,6,5,4,,, N -, N, N, N,... N n-,... m-4 m- m- N n, N n, n m- m For,..., n For,..., P

56 B-Splne Peróca - Fole - Para caa par,,,...,n Para caa,..., P 6, x, x,,, z, z, x,, z 4, x,, z Peróca:,..., n - n n n n n - n 4

57 B-Splne Não Peróca - Fole - vérces nós n n n- n P - 4 /6 P ; P n- P n- 4 n n /6 P n- - n n n n - n- n-; P n

58 Base Peróca B-Splne Cúbca Unforme Peróca U {.,.,.,.,.4,.5,.6,.7,.8,.9,.} N,,p N,, N,, N,, N,, N,4, N,6, N,7, N N N p, p, p, p p p

59 Base Não Peróca. B-Splne Cúbca Unforme e Aperóca U {,,,, /4, /4, /4,,,, } N,,p N,, N,, N,, N,, N,4, N,6, N,7, p N, p N, p N, p p p

60 Bézer e B-Splne Bézer aravés a B-Splne Cúbca U {,,,,,,,}..8 N,,p.6.4 N,, N,, N,, N,, p N, p N, p N, p p p

61 B-Splne Peróca - Inerpolação - n n Para,..., n P - 4 /6; P P P P n Consere os nós como os ponos aos 4 - n P - 4 /6; P P 4 n P n P P P P P vérces nós

62 B-Splne Não Peróca - Fole - vérces nós n n n- n n P ; P n n ; Consere os nós como os ponos aos P ; P n n ; Para,..., n- P - 4 /6; n P n P P P P P

63 Fnções Raconas Da rgonomera: an α / sn α cos α P [,],

64 Côncas cônca qalqer escra nm ssema e exos cja orgem é m pono a cônca x ax bx c x e x a b c e e a b c x e a b c Qalqer cônca poe ser represenaa paramercamene como ma fração e polnômos qarácos

65 NURBS Non Unform Raonal B-Splnes w n p w w z w w x N w z w w x w, h x h w x n n k p k k p z x w N w N z x,, n n k p k k p p p w N w N R one z x R z x,,,,

66 Côncas como NURBS P one : B, B, N w B,, w B, B, w w, w com U {,,,,,} B B, w Fax e al. w w /w - eermna a cônca s S. w s/-s Hpérbola w > Parábola w Elpse w < w w w M P S e -. S s M s

67 Círclo aravés e NURBS x 8 R, x { w} {,,,,,,,,} one R, k U{,,, /4, /4, /, /, /4, /4,,, } 8 w N k, w N k, x, x, x, n8 p m x 4, x, x 8, x 5, x 6, 6 x 7, 7