Curvas e Superfícies
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- Maria Luiza Barata Castilhos
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1 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Crvas e Serfíces Baseao em maeras rearaos or Marcelo Gaass Deo. e Iformáca UC-Ro e Aré Maés Brabo erera Deo. e Eg. Cvl UFF aaao or L Ferao Marha ara a scla CI8 Ssemas Gráfcos ara Egehara Rereseações e Crvas e Serfíces Qaro os e rereseações ara crvas e serfíces são coms em Comação Gráfca e rojeo Geomérco: elíca mlíca aramérca e roceral. Caa ma essas aleravas será brevemee roa ereao aeas ma forma arclar será efaaa a rereseação aramérca laa ao logo o crso. Foe: Crvas e Serfíces - are
2 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Rereseações Elícas Ao esar geomera aalíca é com lar cooreaas reaglares e coserar eqações a forma f. Os gráfcos f essas fções são crvas o lao. or eemlo reresea ma lha rea e reresea ma arábola ver fgra. Smlarmee oem-se gerar serfíces ao coserar eqações a forma f: a eqação 5-7 reresea m lao o esaço e - reresea m araboloe herbólco. Eressões a forma f o f são chamaas e rereseações elícas orqe elas eressam ma varável elcamee em ermos as oras varáves. Rereseações Imlícas em oas as crvas e serfíces oem ser roamee caraas or ma úca eressão elíca. or eemlo o círclo e rao áro e cerao a orgem é rereseao mlcamee or oas as solções a eqação -. Se ear resolver elcamee ara em ermos e obém-se qe reresea aeas a meae seror o círclo. orao em e sar as fórmlas elícas ara carar o círclo ero. Mas vees é mas fácl fcar com a eqação mlíca orgal em ve e resolver elcamee or ma as varáves. Assm - reresea m círclo e - reresea ma esfera. Eqações a forma f o f são chamaas rereseações mlícas orqe rereseam a crva o serfíce mlcamee sem resolver elcamee or ma as varáves. Crvas e Serfíces - are
3 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Rereseações Imlícas Rereseações mlícas são mas geras o qe as rereseações elícas. A crva elíca f é a mesma crva mlíca - f orém como já fo vso em semre é ma qesão smles coverer ma crva mlíca ma úca fórmla elíca. Além sso as eqações mlícas oem ser laas ara efr crvas e serfíces fechaas o crvas e serfíces qe se aoerceam formas qe são mossíves e reresear com fções elícas fgra o rómo sle. ara crvas e serfíces fechaas a eqação mlíca oe ambém ser saa ara sgr o eror o eeror olhao ara o sal a eressão mlíca. or eemlo ara oos ero o círclo áro - < e ara oos fora o círclo áro - >. Esa caacae e sgr faclmee ere o eror e o eeror e ma crva o serfíce fechaa é freqeemee morae em alcações e moelagem e sólos. Rereseações Imlícas A lemscaa e Beroll: - -. oe qe fereemee e fções elcas os gráfcos e eqações mlícas oem se ao-ercearem. Crvas e Serfíces - are
4 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Rereseações Imlícas o eao as rereseações mlícas ambém êm sas esvaages. Daa ma rereseação elíca f oe-se faclmee ecorar mos oos a crva f selecoao valores ara e calclao f. Se as fções f forem resras a fções elemeares como olômos eão ara caa ese m úco faclmee calclável. Assm é ma qesão smles reresear grafcamee a crva f. or oro lao oe ão ser ma arefa ão fácl ecorar oos a crva f. ara mos valores e oe ão esr m valor corresoee o oe haver város valores e mesmo qe as fções e f sejam resras a olômos em e. Ecorar oos em serfíces mlícas f oe ser aa mas comlcao. Assm oe ser fícl reerar crvas e serfíces efas mlcamee. Rereseações aramércas Ese ora forma arão ara reresear crvas e serfíces qe é mas geral o qe a forma elíca e qe é aa fácl e reerar. oe-se eressar crvas e serfíces aramercamee rereseao caa cooreaa com ma eqação elíca em m ovo cojo e arâmeros. ara crvas laas em-se e ara serfíces em D em-se s s e s. or eemlo as eqações aramércas rereseam o círclo áro cerao a orgem. oe-se faclmee verfcar qe -. Da mesma forma as eqações aramércas rereseam ma esfera ára: s s s -. Mas vees resrge-se o omío o arâmero. Dese moo ma crva aramérca é camee a magem e m segmeo e rea; ma serfíce aramérca a magem e ma regão - geralmee reaglar o raglar - o lao. Crvas e Serfíces - are
5 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Rereseações aramércas A rereseação aramérca em váras vaages. Assm como a rereseação elíca a rereseação aramérca é fácl e reerar: basa avalar as fções e cooreaas em város valores os arâmeros. Assm como as eqações mlícas eqações aramércas ambém oem ser saas ara reresear crvas e serfíces fechaas bem como as crvas e serfíces qe se ao-erceam. Além sso a rereseação aramérca em ora vaagem: é fácl eseer ara mesões maores. ara lsrar: caso eseja-se reresear ma crva em D o o qe recsa faer é ror ma eqação acoal. Assm as eqações aramércas rereseam ma lha em D. A fgra lsra ma crva aramérca mas comlcaa em D. A hélce: cos s /5. Rereseações aramércas A rereseação aramérca em sas róras osscrasas. A rereseação elíca e ma crva é úca: o gráfco e g é a mesma crva como o gráfco e - f se e somee se g f. Aalogamee se resrgr às fções olomas eão a rereseação mlíca f é essecalmee úca. o eao a rereseação aramérca e ma crva ão é úca. or eemlo as eqações são as rereseações aramércas mo ferees ara o círclo áro. Além sso ara aramerações olomas o racoas sabe-se qe ara ma aa crva o serfíce aramérca ecora-se ma crva o serfíce olomal mlíca. O verso o eao ão é verae. Esem crvas e serfíces olomas mlícas qe ão ossem arameração olomal o racoal. Assm a forma olomal mlíca é mas geral o qe a forma aramérca. Crvas e Serfíces - are 5
6 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Rereseações aramércas o eao or casa e se oer smlcae e faclae e so a rereseação aramérca e crvas e serfíces é a mas laa. Além sso a rereseação aramérca fcoa galmee bem em m úmero arbráro e mesões. oe-se qe o caso mesoal a rereseação aramérca é a mesma qe a rereseação elíca orao as rereseações elícas serão coberas aomacamee como m caso esecal. As vees será úl esar sobre o caso esecal e rereseações elícas mas qe ão gere cofsão orqe as crvas aramércas areseam roreaes geomércas as como a ao-ersecção qe ca ocorre em rereseações elícas. Crvas aramércas laares são mo mas fleível o qe os gráfcos laares e fções elícas. Rereseações aramércas Resa er qe os e fções serão ermas as rereseações aramércas e eresse. A qesão rcal é a seleção as fções aramércas qe evem ser laas ara gerar crvas e serfíces aeqaas. Geralmee as fções laas serão varaes e olômos: o olômos smles o fções racoas raões e olômos o aa olômos or ares sles o fções racoas or ares. olômos êm mas vaages esecalmee qao saos em cojo com m comaor. olômos são fáces e avalar. Além sso as fções mas comlcaas são geralmee avalaas calclao algma aromação olomal eão ão esá se ereo aa ao se resrgr a olômos em rmero lgar. Além sso há ma eora bem esevolva e olômos em aálse mérca e eora a aromação; comação gráfca e moelagem geomérca emregam eesvamee cohecmeos essa eora. Crvas e Serfíces - are 6
7 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Rereseações roceras Aa em-se qe mecoar as crvas o serfíces roceralmee efas. Em rojeos geomércos offses comosções e flees são freqeemee esecfcaos or rocemeos em ve e fórmlas. a moelagem e sólos a geomera é freqeemee cosría roceralmee aravés e oerações booleaas como ão erseção e fereça. A maora as serfíces fracas e crvas qe reechem comleamee m esaço são efas or algormos recrsvos e ão com fórmlas elícas. ão serão scos qasqer eses os e rocemeos ese crso. Sbvsão é m oro aragma ara a efção e crvas e serfíces elorao rocemeos recrsvos. Uma ve qe ceras éccas e sbvsão esão mamee relacoaas com crvas e serfíces aramércas será mas egóco scr sobre esses méoos mas aae ese crso. Crvas Talve a maera mas fácl e escrever ma forma é selecoar algs oos sobre essa forma. Daa ma qaae sfcee oos o olho em ma eêca aral e erolar savemee ere os aos. Aq ese roblema será esao maemacamee. Dao m cojo fo e oos o esaço afm serão vesgaos méoos ara gerar crvas e serfíces olomas qe erolam os oos. Começa-se com esqemas ara crvas e oserormee esee-se as éccas ara serfíces. Crvas e Serfíces - are 7
8 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Crvas Lhas Beers B-Sles URBS Oros os esecas e crvas: ol-lhas arcos e círclo e arcos e elses Crvas Reqso : Ieeêca e eos Crvas e Serfíces - are 8
9 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Crvas Reqso : alores Múllos Crvas Reqso : Corole Local Crvas e Serfíces - are 9
10 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Crvas Reqso : oca Osclação olômo e gra elevao Crvas Reqso : Coae arável Crvas e Serfíces - are
11 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Crvas Reqso 5: ersalae Crvas Reqso 6: Amosragem Uforme s s s s s s s j Falao: Crvas Reqso 7: Formlação maemáca raável Crvas e Serfíces - are
12 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Crvas e Serfíces - are Solção Crva rereseaa or ares aravés e olômos e gra bao geralmee c b a c b a c b a [ ] [ ] global o local arameração c b a c b a c b a coae o oo comm os rechos Geomera Dferecal s R o s ˆ s s s T o T s R ˆ s s R s arâmero e comrmeo: arâmero geérco:
13 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Reqsos a arameração - f a f -f a b f b Se > s > s Coae Geomérca e aramérca R R Descoía Coía: C e G Coía: C e G Geomérca R R T T aramérca R R T T C e G C e G Crvas e Serfíces - are
14 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Crvas e Béer. e Caselja 959 Croë. e Béer 96 Real - UISURF Fores 97: olômos e Berse - B oe: B!!! ol. Berse coef. bomal Béer Cúbcas B B B B B [ ] B Crvas e Serfíces - are
15 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro olômos Cúbcos e Berse B - B - B - B - B B B B roreaes a Béer Cúbca [ 6 ] [ 6 ] R R Crvas e Serfíces - are 5
16 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Corole a Béer Cúbca Fecho Coveo com Crvas e Serfíces - are 6
17 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Crvas e Serfíces - are 7 Demosração Ição ok é eror ok... Eqação o Fole 6
18 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Crvas e Serfíces - are 8 Reção e ara [ ] [ ] [ ] Beer Reção e ara [ ] [ ] Beer
19 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Crvas e Serfíces - are 9 Cálclo e m oo - B B B Mosre qe: Sbvsão e Béer Cúbcas 8 8 L L L L 8 8 R R R R L... L H L L R L R R R
20 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Crvas e Serfíces - are Cosrção e ma Beer / / Crve fg [ ] [ ]
21 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro ova oação r c l c c l c l r c r l r Dervaas a ova oação r l r r l l 6 r l r l 6 Crvas e Serfíces - are
22 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Cosrção e ma crva qe assa or oos ' ' r l 6 l r l 6 r '' r l Cosrção e ma crva qe assa or oos '' '' r r l l l ρ l l l l '' r r l l ρ l ρ r r r l l '' ρ ρ r l r l Crvas e Serfíces - are
23 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Méoo cosrvo: aos oos acrescear mas m r l l l r r l r ρ l l l ρ l ρ r l r l r r l ρ ρ l r l r Ierolação: aos ecore l s e r s r l l l r r l r Crvas e Serfíces - are
24 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Beer erolao r Gve: os l l r l r r l Crera: ' ' r l 6 F: - os l l l r r r r l ' lef '' lef ' ' 6 r l r l l r l r ' rgh 6 l 6 r l '' rgh r r l r l r l r l Beer erolao Crera: r l l r r l l r l r r l r l reslg lear ssem: r l r l r l c rc lc solve for l a r Crvas e Serfíces - are
25 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro B-Sles vérces ós U{... m } gra o olômo corola a coae C - ós kos [ ] rechos sas obs.: or efção. se [ casocoráro m m m roreaes e ão egava: ara qalqer e. arção a ae: ara oo [ m ]. Sore local: se [ ]. Mas aa qalqer ervalo os ós o mámo as são ão ero. Dferecablae: oas as ervaas e esem o eror e m ervalo e ós oe é olômal. os ós é -k ferecável oe k é a mllcae o ó. Eremo: eceo ara o caso em aeas m oo e mámo. Crvas e Serfíces - are 5
26 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Crvas e Serfíces - are 6 Sle Uforme j - j Sles Uformes e [ [ se se ] [ [ [ [ m se se se se -
27 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Crvas e Serfíces - are 7 Sles Uformes - ] [ [ [ [ [ m se se se se se - olômos a B-Sle Uforme / --/ --/ - / - / --/ --/ - / - /6 [ ] /6 [ ]/6 - /6 -/ -/ -/ -/ 6 /6 - /6-6 /6 - /6
28 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Segmeos a B-sle cúbca /6 - /6 - /6 /6 6 8 Fções a base m- m- m- m- m For... For Crvas e Serfíces - are 8
29 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro B-Sle eróca - Fole - ara caa ar... ara caa... 6 eróca: B-Sle ão eróca - Fole - vérces ós - - / ; - - / ; Crvas e Serfíces - are 9
30 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Base eróca B-Sle Cúbca Uforme eróca U { } Base ão eróca. B-Sle Cúbca Uforme e Aeróca U { / / / } Crvas e Serfíces - are
31 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Béer e B-Sle Béer aravés a B-Sle Cúbca U {} B-Sle eróca - Ierolação - - Cosere os ós como os oos aos ara... - /6; vérces ós 6 Crvas e Serfíces - are
32 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Crvas e Serfíces - are B-Sle ão eróca - Fole - vérces ós - ; ; ara /6; Cosere os ós como os oos aos 6 Fções Racoas [] cos s / a Da rgoomera:
33 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Crvas e Serfíces - are Côcas c b a e c b a e e c b a e c b a côca qalqer escra m ssema e eos cja orgem é m oo a côca Qalqer côca oe ser rereseaa aramercamee como ma fração e olômos qarácos URBS o Uform Raoal B-Sles h h w w w w w w w w w w k k k w w k k k w w R oe R
34 CI 8 - Ssemas Gráfcos ara Egehara - UC-Ro Côcas como URBS B oe : B w B B w B w B w B w com U {} w Fa e al. w w /w - eerma a côca S s. w s/-s Hérbola w > arábola w Else w < w w w M S e -. S s M s Círclo aravés e URBS 8 R { w} { } oe R k U{ / / / / / / } 8 w k w k m Crvas e Serfíces - are
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