Capítulo 5. Radial Basis Function

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1 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro Caílo 5 Raal Bass Fco As RNAs o o Raal Bass Fco (RBFs) são rees servsoaas, coseraas aroxmaoras versas, assm como as RNAs Mllaer Percero (MLPs) reaas elo algormo Bacroagao aboraas o caílo aeror. As arqeras arclares as as rees são, ereao, mo ferees. É eressae comear algmas fereças moraes ere as rees MLPs e as rees RBFs:. As aes escoas em rees MLPs eeem e somas oeraas as eraas, rasformaas or fções e avação mooôcas [5]. Uma fção e avação commee alcaa às aes escoas e rees MLPs é a fção sgmoal, qe é ão-lear e coamee ferecável. Das formas a fção sgmoal lzaas são: a Fção Logísca e a Fção Tagee Herbólca. Em corase, em ma RNA RBF, a avação e ma ae escoa é eermaa or ma fção ão-lear a sâca ere o veor e eraa e m veor e referêca. As aes escoas e ma RNA RBF ossem fções e avação qe são fções localzaas e qe areseam base raal efa sobre se omío [5].. Uma ree MLP forma ma rereseação srbía o esaço e valores e avação ara as aes escoas, já qe, ara m ao veor e eraa, mas aes escoas corbrão ara a eermação o valor e saía, razão ela qal as rees MLP eem a reslar em aroxmações globas [7][5]. Drae o reameo, as fções rereseaas elas aes escoas evem ser as qe, qao learmee combaas ela camaa fal e esos, gerem as saías

2 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro correas ara m ervalo grae e ossíves valores e eraa. A "erferêca" e o "acolameo crzao" ere as aes escoas levam a reslaos rae o rocesso e reameo a ree qe são alamee ão-leares, reslao em roblemas e mímos locas o em regões qase laas a fção e erro, faores eses qe oem levar a ma covergêca mo lea o rocemeo e reo, mesmo com a lzação e esraégas avaçaas e omzação [5]. Em corase, as RNAs RBF, com fções e base localzaas, formam ma rereseação o esaço e aes escoas qe é local com reseo ao esaço e eraa orqe, ara m ao veor e eraa, camee aeas algmas aes escoas aresearão avações sgfcaes. Por esa razão, as rees RBF eem a rozr aroxmações locas [7][5]. 3. Uma ree MLP freqüeemee em mas camaas e esos e m comlexo arão e coecvae, e al forma qe em oos os ossíves esos em ma aa camaa oem esar resees. Aa, ma vareae e ferees fções e avação oem se lzaas a mesma ree [5]. Uma ree RBF, o eao, geralmee em ma arqera smles, cosso e as camaas e esos, em qe a rmera camaa coém os arâmeros as fções e base raal e a sega camaa forma combações leares as avações as fções e base raal ara gerar a saía [5]. 4. Toos os arâmeros em ma ree MLP são salmee eermaos ao mesmo emo, como are e ma úca esraéga global e reameo, evolveo reameo servsoao. Ese o e reameo aresea m relavamee alo cso comacoal, ecorree a ecessae e rero-roagação o erro, o qe faz com qe as rees MLPs areseem ma caracerísca e arezao lea. No eao, a erformace e geeralzação e ma ree MLP é, em geral, robsa [5].

3 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro Já ma ree RBF é camee reaa em os eságos, com as fções e base raal seo eermaas rmeramee or meo e éccas ãoservsoaas, sao ara al aeas os aos e eraa e a sega camaa (e esos) seo sbseqüeemee eermaa or méoos leares servsoaos, e ráa covergêca [5]. A feree esraéga e reameo e a coseqüee fereça e velocae e reameo ere as as rees faz com qe as rees MLP se mosrem meos aeqaas o qe as rees RBF, qao esvermos eressaos em oerações âmcas, qe evolvam arezao coao (como, or exemlo, em reção e séres emoras e alcações o-le) [6][7]. 5. No coexo e aroxmação e fções, sob êcas coções o ambee o qal esão seras, e ma forma geral oe-se afrmar qe [5][6][7]: erro fal ago or ma ree RBF é meor o qe o erro fal ago or ma ree MLP; a covergêca e ma ree RBF oe chegar a ser ma orem e graeza mas ráa o qe a covergêca e ma ree MLP; a caacae e geeralzação e ma RNA MLP é, em geral, seror à caacae e geeralzação e ma RNA RBF. O rojeo e ma ree eral RBF oe ser vso como m roblema e ajse e crvas (o, o e ora forma, m roblema e aroxmação e fções) em m esaço e ala mesoalae. De acoro com ese oo e vsa, o arezao e ma RBF é eqvalee a ecorar ma serfíce em m esaço ml-mesoal qe melhor se ajse ao cojo e aos e reameo, seo o créro ara o "melhor ajse" meo em algm seo esaísco. 3

4 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro As rees eras arfcas o o Raal Bass Fco são ferrameas exremamee flexíves em m ambee âmco. Elas êm a caacae e areer raamee arões comlexos e eêcas resees os aos e e se aaar raamee às maças. Esas caraceríscas as oram esecalmee aeqaas ara reção e séres emoras, esecalmee aqelas séres regas or rocessos ãoleares e/o ão-esacoáros. A rmera seção ese caílo scorre sobre as rees eras RBF o coexo a aroxmação e fções, eqao qe a sega seção escreve as rees RBF sob o efoqe a reção ão-lear e séres emoras. 5. RNAs Raal Bass Fco o Coexo e Aroxmação e Fções Coforme os refermos a roção ese caílo, as rees eras arfcas o o Raal Bass Fco (RBF) comõem ma classe e rees eras arfcas arclarmee aeqaas à aroxmação e fções. Uma RNA RBF oss em sa arqera ma camaa escoa efa or m cojo e fções e base raal, as qas a ree erva se ome. O arezao e ma ree RBF é eqvalee a ajsar ma serfíce ão-lear ao cojo e aos, em m esaço m-mesoal, e acoro com algm créro esaísco. O rocesso e geeralzação eqvale a sar esa serfíce ml-mesoal ara erolar oros oos qe ão ereçam ao cojo e reo, mas esejam em sa vzhaça. Os erôos a camaa escoa e ma ree eral RBF são m cojo e fções qe cos ma base arbrára o esaço or eles formao, em cjo esaço o cojo e eraa oe ser exao. Os aos rereseaos aravés e rees eras RBF são, orao, exaos com referêca a m cojo fo e fções e avação eras, chamaas fções e base raal [7][6]. Caa ma esas fções é ceraa em 4

5 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro ma arclar cooreaa o esaço ml-mesoal os oos qe comõem o esaço e aos e eraa [6][5]. Caa ma esas cooreaas arclares caracerza-se or efr o cero e ma ere váras ossíves regão e maor aglomeração e oos, o clser [5], o esaço e aos e eraa. As rees eras RBF foram orgalmee esevolvas ara erolação e aos em esaços ml-mesoas. Sego B. Mlgre [], o roblema a erolação e aos oe ser assm formlao: ao m cojo e veores { } e m cojo e escalares { }, bsca-se ma fção F ()., al qe, ( ), F (5.) Dese qe efa aalcamee, a fção F (). oe ser saa ara maear veores qe ão ereçam ao cojo orgal, o cojo e oos assocaos. Uma ossível solção ara o maeameo aalíco é escolher F (), al qe: oe ( ) F () ( ) φ (5.) φ é ma fção escalar raalmee smérca, eo como cero. Os veores são, or esa razão, referos como ceros o coexo e rees eras RBF. O oeraor é salmee a orma Eclaa o Norma L e mee o mólo o veor argmeo, so é, a sâca Eclaa a oa o veor à sa orgem [3][7]. A orma Eclaa e M T m. R é exressa or ( ) M m. Em 986 Mcchell co a exsêca e m cojo e fções (ao lmaas qao lmaas) qe são aeqaas ara erolação or reslarem em m cojo e eqações leares ara as cógas ara as qas exse ma úca solção [][6]. A Tabela 5. aresea exemlos esas fções, mas commee lzaas como fções e base raal. 5

6 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro O arâmero σ corola o rao e flêca e caa fção. Ese faor é arclarmee evee o caso a fção ml-qaráca versa e a fção Gassaa, em qe ambas as fções são, além e localzaas, mooocamee ecrescees ( ( ζ ) φ à mea qe ζ ). O arâmero σ eerma o qão raamee o valor a fção e base raal ca a zero à mea qe se afasa o cero. Lâma sle fa φ( ζ ) Ml-Qaráca ( ζ ) ζ ζ log σ σ φ ζ + σ Ml-qaráca versa φ( ζ ) ζ + σ Gassaa φ( ζ ) ex ζ σ Tabela 5.: Algmas fções e base raal commee lzaas. A fção e base raal o o Gassaa é a mas commee lzaa em alcações rácas, e será a fção aoaa as rees eras RBF esaas ese caílo. Nese o e fção e base raal, o arâmero σ corresoe ao esvo-arão a fção Gassaa. Assm, σ efe a sâca Eclaa méa (rao méo) qe mee o esalhameo os aos rereseaos ela fção e base raal em oro e se cero. Os raos e caa ma as fções e base raal e ma mesma ree RBF oem assmr ferees valores, o eao, ara rees RBF reas, o mesmo rao lzao ara caa erôo ão-lear já erme qe a ree formemee aroxme qalqer fção coía, ese qe haja úmero sfcee e fções e base raal. Na ráca, o valor o rao as fções e base raal afea as roreaes mércas os algormos e arezao, mas ão afea a caacae geral e aroxmação as rees RBF [][5]. 6

7 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro Orgalmee, as rmeras eavas e aroxmação e fções com rees RBF eram lzaas aas fções e base raal qaos fossem os arões o cojo e aos rereseavo a fção a ser aroxmaa, objevao a exaão a aroxmação. No eao, esa aboragem ão só era comacoalmee csosa, como ambém gerava o roblema e overfg qao o objevo era ão só a aroxmação como ambém a erolação os oos qe geravam ma eermaa fção [][5]. A solção ara eses roblemas fo areseaa or Broomhea e Loe (988) qe sgerram mofcações ao rocemeo e erolação exaa (qe lza aas fções e base raal qaos forem os arões resees os aos). Uma elas é ermr qe em oos os veores e eraa (o cojo e aos) eham ma fção e base raal assocaa. A ora mofcação sgera excl a ecessae e qe a escolha os ceros as fções e base raal seja resra ao cojo orgal e veores. Para ao, Broomhea e Loe reerrearam a ree RBF como m esmaor e mímos qaraos (Leas Sqares Esmaor) [][5][6]. Coseraas esas as geeralzações, o ssema e eqações leares cjas cógas são os esos será sobre-eermao. A solção e al ssema e eqações leares é oba aravés o so a oeração e seo-versão marcal e Moore-Perose ara a marz e erolação (marz Φ ) [6][8] e, em coseqüêca, será ma solção e mímo erro méo qaráco. Para qe ossamos comreeer o arágrafo aeror, cosere qe, a ree RBF raaa or Broomhea e Loe, a eermação o veor e esos sácos é oba a arr e ma oeração e versão marcal alcaa a ma marz e erolação Φ. A marz Φ é fção as fções e base raal (e, orao, os resecvos ceros e varâcas escolhos) e os veores e reo erecees ao cojo e aos, alcaos à eraa a ree. Aalcamee, a marz e erolação Φ [ N ] é formaa elos veores,,!, N, seo N o úmero e veores erecees ao cojo e reo a RNA. Os ϕ, veores ϕ reslam a alcação os veores M R,,,!, N, à eraa a ree 7

8 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro RBF. Os elemeos o veor ϕ R ao veor, são as saías e caa cero Gassao em resosa,,!, N, alcao à eraa a ree (seo, orao, fções os veores e eraa e os veores cero as fções e base raal, veores,,,!, oe é o úmero e fções e base raal aoaas ara a RNA RBF). Desa forma, Φ oe ser exressa como ϕ Φ ϕ " ϕ N T T T " ϕ ϕ ϕ ( ; ) ϕ( ; )! ϕ( ; ) ( ; ) ϕ( ; )! ϕ( ; ) " ( ; ) ϕ( ; )! ϕ( ; ) N " N # " N (5.3) Broomhea e Loe roseram qe em oos os veores e eraa vessem ma fção e base raal assocaa, o seja, N (úmero e veores erecees ao cojo e reo a RNA) > (úmero e fções e base raal aoaas ara a RNA RBF). Com N > o ssema e eqações leares cjas cógas são os esos será sobre-eermao, o seja, erá mas eqações o qe cógas. Para a solção e al ssema lza-se o méoo os mímos qaraos, qe oss solção aravés a seo-versão a marz e erolação Φ. A aboragem e Broomhea e Loe reslo em ma sgfcava reção e cso comacoal e o ameo a caacae e geeralzação as rees RBF, o qe ossblo a sa alcação a ma vasa gama e roblemas em rocessameo gal e sas (or exemlo), as como reção e séres emoras, moelameo e ssemas, rejeção e erferêca e eqalzação/escovolção e caal. A Fgra 5. aresea a arqera a ree eral RBF qe é habalmee saa em as alcações. A ree é comosa e ma camaa e ós foe (qe coecam a ree a M se ambee exero), à qal é areseao o veor e eraa () R. Uma úca camaa ermeára e erôos ão-leares, caa m eles comao ma fção sâca ere o veor e eraa e o cero a fção e base raal assocaa, cos a 8

9 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro camaa escoa. Na Fgra 5. o maeameo ão-lear é exresso or fções e avação Gassaas, a forma ϕ ( ) ex σ () () ϕ (), (), σ () () (), (5.4) M M oe () R reresea o veor e eraa o sae, () R reresea o veor cero a ésma fção e base raal,,!,, é o úmero e fções () R e base raal, e σ é a varâca assocaa a caa ma as fções o sae. Fgra 5.: Ree eral o o Raal Bass Fco. A camaa e saía a ree eral é formaa or m úco erôo lear. O erôo qe comõe a camaa e saía é efo como m combaor lear as fções e base raal. A saía a ree RBF é, orao, a soma as saías e caa Gassaa, oeraas elos resecvos esos sácos, e al forma qe a combação lear é exressa or 9

10 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro ϕ (, σ ), (5.5) Nesa eqação, o ermo (, σ ) ϕ é a ésma fção e base raal. Noe qe, ϕ coma o qarao a sâca Eclaa D ere m veor e eraa e o cero a ésma fção e base raal. O sal e saía rozo elo ésmo erôo escoo é, orao, evo à fção ex () e ao oeraor (), ma fção ão-lear a sâca D. O faor e escala reresea o eso o camho qe coeca o ésmo erôo escoo ao ó e saía a ree. À Eqação (5.5) oe, em algs casos, ser aa acresco m ermo cosae e olarzação o bas [6]. A rasformação ão-lear acma refera é efa elo cojo e fções e base raal ϕ e a rasformação lear é efa elo cojo e esos,,,!,. O maeameo eraa/saía e ma ree RBF Gassaa é mo semelhae à écca esaísca chamaa Msra e Moelos (mxre moels), qe são msras e srbção e robablaes [4][5]. Em arclar, as msras e srbção e robablaes Gassaas êm so saas como moelos em ma grae vareae e alcações oe os aos e eresse rovêm e as o mas olações msraas ere s, com arâmeros esaíscos sos. A resosa ϕ o erôo a camaa escoa e ma ree RBF reresea a esae robablísca cocoal e ao o cero, ϕ. O coefcee so é, ( ) esae cocoal ϕ ( ) reresea a robablae a ror e o coexo a. Assm, o cojo as esaes robablíscas cocoas moelam a fção e esae e robablae rereseava o mecasmo esaísco sbjacee qe gero os aos, seo o moelameo efo aravés e ϕ ( ) Esmaor Baesao [4][5].. Nese seo, a ree RBF é mas vezes refera como m

11 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro O rocemeo ara a mlemeação e ma ree eral RBF comreee a eermação, aravés e m rocesso e arezagem, os valores aeqaos aos arâmeros lvres a RBF, qe são as varâcas σ, os ceros e os esos sácos. O arezao o reameo cosse em eermar eses arâmeros e al forma qe, ao m cojo e esímlos a eraa, as saías se aroxmem o mas ossível o cojo e valores esejao. Dferees algormos oem ser lzaos ara a aaação os arâmeros lvres as rees RBF. Por exemlo, o algormo -meas [6][7] oe ser lzao ara a calzação e/o aalzação os ceros as fções e base raal, o algormo e Moore- Perose ara seo-versão e marzes [6] oe ser lzao ara a aalzação os esos sácos, eqao qe o méoo o Graee Esocásco [][6] oe ser alcao a aalzação os esos a ree RBF, as varâcas e os ceros as fções e base raal. A Tabela 5. aresea algs os ossíves algormos e arezao emregaos ara ajse os arâmeros lvres. Possíves Algormos e Arezao ara Ajse os Parâmeros Lvres Ceros as RBF Pesos Sácos Varâcas os ceros Cosae: Por cohecmeo révo e ferêca a arr o cojo e veores e reo. Clserzação elo algormo -meas. Não-servsoao. Graee Esocásco (LMS). Servsoao: sa e () () () Graee Esocásco (LMS). Servsoao: sa e () () () Pseo Iversa or ecomosção em valores sglares: () Φ (). () σ Cosae: Por cohecmeo révo e ferêca a arr o cojo e veores e reo. Graee Esocásco (LMS). Servsoao: sa e () () () { } () ξ (). max () () a, b oe ξ () é fxo o ajsao elo LMS. a b Tabela 5.: Possíves Algormos e Arezao [6].

12 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro Dferees moos e reameo reslam a combação os algormos ara aalzação e ceros, varâcas e esos sácos resees a Tabela 5.. As rees RBF são, em geral, mas fáces e rear o qe os Mllaer Perceros (MLPs), rcalmee orqe os rocessos e arezagem ara os ceros, as varâcas e os esos sácos oem ser ecaeaos seqüecalmee [], ossblao qe o arezao as rees RBF seja omzao ela reslae vsão e arefas. Por exemlo, m algormo ão-servsoao oe ser lzao ara esmar os ceros, ma oseror esmava a sâca o veor e eraa com reseo a caa cero oe ser saa ara esecfcar σ e, falmee, já eo so efos os ceros e os raos σ, os esos sácos oem ser calclaos aravés o algormo LMS (Leas Mea Sqares)[6]. Aós a esmava cal e arâmeros a ree, m ajse mas fo oe ser ao a esa esmava, lzao éccas e graee alcaas a oos os arâmeros, ao vés e aeas aos esos sácos. Uma aboragem clássca as rees eras RBF sob a óca a erolação e fções é raaa em [6]. Nese moo e reameo, em qe é lzao o algormo Graee Esocásco, os ceros as fções e base raal e oos os emas arâmeros lvres são aalzaos aravés e m rocesso e arezao servsoao, baseao a mmzação a fção e cso aa elo valor eserao o erro qaráco ere a saía foreca ela ree RBF e a saía esejaa ara o rocesso. Nesa aboragem, os ceros as fções e base raal são rmeramee calzaos elo algormo -meas. A caa eração, o algormo -meas eerma as sâcas ere o veor () erecee ao cojo e eraa e caa m os ceros (). Ao cero ~ qe corresoer à meor sâca Eqação (5.6) é alcaa a aalzação mosraa a Eqação (5.7). Na Eqação (5.7), η é a razão e aalzação o algormo -meas. As erações rossegem aé qe () ( ) mo eqeo. + ε,, oe ε é m úmero

13 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro ~ () arg m () () ;,,, ( + )! (5.6) ~ () + η [ () () ]; () (5.7) () ; oros casos Aós a calzação os ceros elo algormo -meas, e efo a varâca cal comm a oos os ceros ela Eqação (5.8), os esos sácos são calzaos com zero. Na Eqação (5.8), ( ) Eclaa ere os ceros, so é, max{ } j. max exressa o qarao a maor sâca j σ max ( ); com, j,,, j! (5.8) Para caa veor () o cojo e reo areseao à eraa a ree, a saía () a ree RBF é eermaa e é avalaa a fereça ere ese valor e saía e aqele esejao (), coforme e () () () (5.9) O erro assm obo é lzao ara a oseror aalzação aé a covergêca os ceros, esos sácos e varâca. As eqações e aalzação, ervaas o algormo Graee Esocásco [6], são exressas em (5.), (5.) e (5.). Na Seção 5..3 ese caílo é areseaa a ervação as eqações e aalzação ara os esos sácos, os ceros e as varâcas os ceros as fções e base raal. ( ) () + µ e() ϕ () + (5.) ( + ) () + µ e() () ϕ () () () σ () (5.) 3

14 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro σ ( + ) σ () + µ e() () ϕ () σ () () σ () ( ) (5.) Observe qe, as eqações (5.), (5.) e (5.) os arâmeros µ µ, são, resecvamee, as razões e arezao a aaação os esos sácos, os ceros as fções e base raal e as varâcas os ceros. A areseação e N veores e aos () à eraa a RBF,,,!, N, cos ma éoca e reo. Ao fal e caa éoca, o cojo e veores e aos é embaralhao, ara evar qe a ree area o arão seqüecal e areseação os veores e reo. Iso orqe esamos eressaos a caacae e geeralzação a ree com relação ao cojo e aos em s, e a mesma orem e areseação os veores a caa éoca e reo oera rejcar al caacae e geeralzação. O reameo e ma RBF aravés as Eqações (5.) a (5.) é coao aé a sa covergêca, sação em qe o valor obo ara o erro e aroxmação é meor qe m valor máxmo ermo ε. O erro e aroxmação será efo a Seção 5... e µ σ 5.. Créro e Avalação o Erro e Aroxmação Para avalar a caacae e aroxmação as rees RBF é efo o MSEA, o seja, o Erro Méo Qaráco e Aroxmação ao or MSEA N N ( () () ) (5.3) 4

15 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro 5.. Smáro a Herísca e Treo e ma RNA Raal Bass Fco o Coexo e Aroxmação e Fções A herísca e reo e ma ree eral o o RBF (o coexo e aroxmação e fções) roosa or Ha em [6] é baseaa o algormo Graee Esocásco. Os esos sácos, os ceros as fções e base raas e as varâcas os ceros σ são aalzaos aravés e m rocesso e arezao servsoao baseao a { } mmzação e J E ( () () ). I - Icalzação:. Sbrar o veor méa o cojo e N veores e reo.. Normalzar a -ésma comoee e caa veor e reo elo esvo arão o cojo e N valores formao ela -ésma comoee e oos os N veores e reo. 3. Normalzar o cojo e N saías esejaas ara o ervalo [-,+]. 4. Icalzar os ceros as fções e base raal: ( ) -meas ( + ) ~ () + η[ () () ] () ; ; ~ oros () arg m () () () casos ;,,!, () ( + ) ε, 5. Icalzar os esos sácos: ( ) ;,,!, 5

16 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro 6. Icalzar as varâcas os ceros: σ ( ) ( ) ( ) max max j max j j, ; com, j,,!,, oe II - Treameo:. Aresear veor () ao cojo e reo à eraa a RBF.. Calclar saía a ree aravés e () () ϕ () () ex σ () () () 3. Deermar o erro saâeo e reameo a eração aravés e e () () () 4. Aalzar os esos sácos coforme ( +) () + µ e() ϕ () Aalzar os ceros as fções e base raal aravés e ( + ) () + µ e() () ϕ () () () σ () Aalzar as varâcas os ceros as fções e base raal σ e acoro com σ ( + ) σ () + µ e() () ϕ () σ () () ( σ () ) 6

17 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro 5. Icremear ( +). Se é al qe oos os N veores o cojo e reo foram areseaos à eraa a RBF (coso ma éoca), execar o rocemeo II.6, caso coráro execar o rocemeo II.. 6. Embaralhar aleaoramee a orem os veores ao cojo e reo. 7. Deermar e avalar o Erro Méo Qaráco e Aroxmação ao or MSEA N Se N ( () () ) MSEA < ε execar II.8, caso coráro, execar II.. 8. Armazear os arâmeros a ree (, e σ ). Observação: Haveo bas, a Eqação ara a saía a ree (asso II.) ora-se: () () ϕ () B oe + b b é a rasmâca a sase o bas e B é o valor o bas. Nese caso, a eqação ara aalzação a sase o bas ( ) é aa or ( +) ( ) + e( )B b b µ b 7

18 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro 5..3 Dervação as eqações e aalzação ara, e σ a arr o Graee Esocásco Nesa Seção serão ervaas as eqações e aalzação ara os esos sácos, os ceros e as varâcas os ceros as fções e base raal, resecvamee exressas em (5.), (5.) e (5.), a arr o algormo Graee Esocásco, Observe qe, em algs assos o esevolvmeo as eqações ao logo esa seção, omar-se-á a lberae e ão exlcar o exaor ara as varáves evolvas (ese qe seja eqvocamee efo elo coexo). Tal mea é omaa or smlfcação, ara qe as eqações se orem mas comacas Dervação e () Sabemos (o Caílo 3) qe a eqação e aalzação ara os esos sácos a arr o algormo Graee Esocásco oe ser exressa or ( ) () J() + µ ;,,!,, (5.4) oe o arâmero µ é a razão e arezao (o asso e aaação) os esos sácos e a fção e cso J é exressa or J e ( ), (5.5) em qe fo coseraa a exressão ara o erro aa or (5.9). Observa-se a arr a Eqação (5.4) qe, ara qe ossamos eermar () recsamos ecorar J. Desa forma, e (5.5) oemos escrever 8

19 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro 9 ( ) J J (5.6) em qe ( ) ( ) ( ). (5.7) Na Eqação (5.5) ecoramos a exressão ara a saía a ree RBF qe, sbsía em (5.7) coz a ( ) ( ) ϕ (5.8) qe oe ser exaa em ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ $ $ (5.9) Como a saía esejaa ão eee os esos sácos, e a ervaa os ermos exaos só exsrá ara, eremos ( ) ( )( ) ϕ (5.) Sbso (5.) em (5.6) ecoraremos ( ) ( )( ) [ ] ( )( ) ϕ ϕ J J (5.) Desa forma, sbso (5.) em (5.4) oberemos a eqação e aalzação ara os esos sácos, qe oe ser exressa or

20 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro ( + ) ( ) µ ( )( ϕ ) () + µ e() ϕ () (5.) Observe qe a Eqação (5.) é gal à Eqação (5.) Dervação e () Passemos agora à ervação a eqação e aalzação ara os veores cero as fções e base raal, a arr o algormo Graee Esocásco. Sabemos, o Caílo 3, qe ( ) () J() + µ ;,,!, (5.3) oe o arâmero µ é a razão e arezao (o asso e aaação) os veores cero as fções e base raal e a fção e cso J é, ovamee, exressa ela Eqação (5.5). Observa-se, a arr a Eqação (5.3) qe, ara qe ossamos eermar () recsamos ecorar J. Desa forma, e (5.5) oemos escrever J J ( ) (5.4) oe ( ) ( ) ϕ (5.5) Na Eqação (5.4) ecoramos a exressão ara as fções e base raal ϕ. A arr e (5.4) oemos escrever

21 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro ( ) ( ) ex σ (5.6) Exao o somaóro resee em (5.6), ecoraremos ( ) (5.7) ( ) e e e e σ σ σ σ $ $ Como a saía esejaa ão eee os ceros as fções e base raal e a ervaa os ermos exaos só exsrá ara, eremos ( ) ( ) ex σ ( )( ) ex σ σ (5.8) Sbso (5.8) em (5.4), ( )( ) ex J σ σ ( ) ex σ σ (5.9)

22 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro Levao o reslao e J obo em (5.9) à Eqação (5.3), eremos ( + ) () + µ ()() e () () σ () ϕ () (5.3) Observe qe a Eqação (5.3) é gal à Eqação (5.) Dervação e σ () Teo ervao as eqações e aalzação ara os esos sácos e ara os veores cero as fções e base raal a arr o algormo Graee Esocásco, resaos ervar a eqação e aalzação ara as varâcas os ceros as fções e base raal. Assm, fazeo α σ, arremos e ( ) α () µ J() α ;,,!, (5.3) + σ oe µ σ é o arâmero razão e arezao (o asso e aaação) as varâcas os ceros as fções e base raal. A fção e cso J é exressa ela Eqação (5.5). A arr e (5.3) observa-se qe, ara a eermação e (), recsamos α ecorar J. Desa forma, a arr e (5.5) oemos escrever J J α α ( ) (5.3) oe

23 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro 3 ( ) ( ) ϕ α α (5.33) Na Eqação (5.4) ecoramos a exressão ara as fções e base raal ϕ. A arr e (5.4) oemos escrever ( ) ( ) ex α α α (5.34) Exao o somaóro resee em (5.34), ecoraremos ( ) α (5.35) ( ) e e e e α α α α α $ $ Como a saía esejaa ão eee as varâcas as fções e base raal e a ervaa α os ermos exaos só exsrá ara α α, eremos ( ) ( ) α α α ex (5.36) Como x c x c x c x ex ex, (5.36) oe ser escra sob a forma ( ) ( )( ) ( ) ex α α α (5.37)

24 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro 4 Levao o reslao e (5.37) à Eqação (5.3), eremos ( )( ) ( ) ex J J α α α ( )( ) ( ) ex α α (5.38) Sbso o reslao obo ara J em (5.38) a Eqação (5.3), eremos ( ) ( ) ( )( ) ( ) + ex α α µ α α σ (5.39) Coserao qe () () () e e σ α, eremos ( ) () () () () () () ( ) + + e σ ϕ µ σ σ σ (5.4) Observe qe a Eqação (5.4) é gal à Eqação (5.) RNAs Raal Bass Fco o Coexo e Aroxmação e Fções: Exemlo Ese em esa-se à areseação os reslaos exermeas obos o rocemeo e reameo em qe os ceros são calzaos elo algormo -meas e a aalzação aé a covergêca os ceros, varâcas e esos sácos é efeaa

25 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro aravés o Graee Esocásco. Ese é o algormo clássco areseao em [6] e cja herísca é escra a Seção 5... Cosere a sação hoéca em qe se eseja esabelecer a relação aalíca ere os oo rmero algarsmos rereseaos em base bára e os valores qe efem o qarao e m écmo e sa rereseação em base ecmal, coforme mosrao a Tabela R F() Tabela 5.3: Maeameo F : R 3 R qe se eseja aroxmar. Uma ossível solção sera ear exressar () maeameo lear F() + + efe F () obo a solção o ssema e eqações F, [ ] T, aravés o T, seo [ ] T o veor qe + +. (5.4) 5

26 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro o qal é eveemee sobre-eermao sem solção os ão exse [ ] T qe aea smlaeamee oas as Eqações (5.4). No eao, o maeameo F : R 3 R oe ser feo m maeameo ão-lear qao exresso ela ree eral RBF a Fgra 5.. Esecfcamee, o cojo e 3 N 8 veores () R a Tabela 5.3,,,!, N, é coserao como o cojo e reo a ree RBF, com saía esejaa () ao elo resecvo valor a cola F() a abela, so é, () F( () ) 3. Como () R, faz-se M 3. Aoo-se 3 fções e base raal ara formar a serfíce e aroxmação. Os ceros as fções e base raal são calzaos elo algormo -meas, aravés a Eqação (5.7) com η., e as varâcas são calzaas elo valor ao ela Eqação (5.8). A aalzação os esos sácos, ceros e varâcas, aravés as Eqações (5.) a (5.), lza as razões e arezao µ., µ. e µ.. σ Para o reameo a ree RBF, o cojo e reo é ormalzao e forma qe os ses valores exremos sem-se o ervalo [,]. Esa é ma recação sal, qe vsa evar overflo as varáves e oo flae ao logo a oeração o algormo 3 Graee Esocásco. Caa comoee o cojo e veores () R é ormalzao aravés a rasformação θ :R R, θ () x x, e caa m os valores o cojo e N saías esejaas (),,,!, N, é ormalzao aravés a rasformação θ, ().863 :R R θ x 4 x. A areseação os N 8 veores o cojo e reo efo ela Tabela 5.3 cos ma éoca. A Fgra 5. mosra a evolção o NMSEA, à mea qe as éocas e reameo se sceem. Aós éocas e reo, a ree RBF aresea a relação aalíca aa ela Eqação (5.4) como aroxmação ara o maeameo a Tabela 5.3. Noe qe a Eqação (5.4) cl o efeo as ormalzações θ e θ. NMSEA (Erro Méo Qaráco Normalzao e Aroxmação), ao or NMSEA N N ( () () ) ( () ) 6

27 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro 7 Fgra 5.: Evolção o NMSEA à mea qe as éocas e reameo se sceem, com cojo e reo efo ela Tabela 5.3. () ( ) ( ) ( ) ex..... ex..... ex. F (5.4)

28 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro Verfcao a cossêca e (5.4) ara reresear o maeameo a Tabela 6 ( ) T T ( ). 6 ( ). 5 ( ) T ( ). 36 T ( ). 4 T ( ). 49 T T 5.3, emos qe F [ ] 7.739, F [ ]., [ ] T F ([ ] ). 9, F [ ], F [ ], F [ ], [ ] Porao, a Eqação (5.4) reresea a Tabela 5.3 com boa aroxmação. F, F. 5. Rees Neras Arfcas RBF o Coexo e Flragem Preva Não-Lear Se cohecemos o comorameo assao e m sal aé m eermao oo o emo é ossível fazer algma ferêca sobre ses valores fros. Tal rocesso e ferêca é coheco como reção. A reção e séres emoras é m eso e exrema relevâca, já qe exemlos e séres emoras são abaemee ecoraos a areza (em camos as como geofísca, asrofísca e meeorologa), as cêcas socas (em camos como a emografa), as cêcas mécas (em esos e rocessos fsológcos voláros), as cêcas ecoômcas (o acomahameo as axas e câmbo e moeas e mercao e ações) e as versas egeharas (em raameo e rasmssão e sas, ssemas âmcos, ec.), ere mos oros. Nesa seção esaremos as RNAs RBF o coexo e Flragem Preva Não- Lear. Como roção ao eso a reção ão-lear e séres emoras aravés e rees eras RBF, rmeramee aresearemos ma aboragem e reção e séres emoras aravés e reção lear. Em caílos aerores vmos qe as rees eras arfcas êm a caacae e areer arões sbjacees resees os cojos e aos, areseao melhor esemeho qe os méoos esaíscos racoas qao o rocesso regee os aos é escoheco, ão-lear e/o ão-esacoáro como o são a maor are os rocessos 8

29 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro ecoraos o mo real. Por esa razão rereseam ma grae corbção ao eso as séres emoras reslaes e as rocessos [7]. Esamos ambém qe as rees eras arfcas servsoaas cosem ma classe arclar e RNAs qe êm a caacae e mmezar rocessos esocáscos assocaos a cojos e aos, aravés o arezao. Assm como a forma covecoal e m flro lear aaavo, as RNAs servsoaas êm a caacae e, aravés a formação e ma resosa esejaa ear aroxmar m sal alvo rae o rocesso e arezao. Esa aroxmação é oba aravés o ajse, e forma ssemáca, e m cojo e arâmeros lvres, caracerísco e caa ree eral. Na verae, o cojo e arâmeros lvres rovê m mecasmo ara armazear o coeúo e formação sbjacee resee os aos qe são areseaos à ree a fase e reameo [7][5]. Os os rcas os e rees eras arfcas servsoaas são as rees MLP (Mllaer Perceros) reaas elo algormo bac-roagao e as rees RBF (Raal Bass Fco). Como sabemos, ambas as rees são aroxmaoras versas. No eao, qao se raa e arezao coao, como o caso a reção e séres emoras, as rees MLP se mosram meos aeqaas orqe o cso comacoal e reo e ma ree MLP é mo seror ao e ma ree RBF, o qe mossbla a oeração e forma âmca [6][7]. Já as RNAs RBF ossem caraceríscas esecas qe as caacam a areer raamee arões comlexos e eêcas resees os aos e a se aaar raamee a maças. Esas caraceríscas as oram esecalmee aeqaas à reção e séres emoras, esecalmee aqelas séres regas or rocessos ãoleares e/o ão-esacoáros, casos em qe as éccas leares e moelameo êm scesso aeas lmao em se esemeho. 9

30 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro 5.. Preção Lear e Séres Temoras A reção lear cosera o roblema e reção a amosra ( +), sbseqüee a m cojo coheco e amosras cosecvas révas { (), ( ),!} erecees a ma sére emoral screa, roblema ese coheco como reção a m asso [3]. Em reção lear, a esmava a amosra rea, ˆ ( +) combação lear e M amosras révas (), ( ),, ( M + ), é exressa como ma {! }. Os coefcees W,,,!, M qe oeram al combação lear efem m flro FIR [9] rasversal. A Fgra 5.3 ealha m reor FIR e orem M, o qal é mosrao o sae aqela fgra [6]. Porao, como o sae é efo, vsao orar comacas as eqações o esevolvmeo qe sege, ão será exlcao o exaor ara as varáves evolvas, a meos qe ão seja eqvocamee efo elo coexo. Um reor lear e orem M lza M amosras révas cohecas a sére emoral ara esmar ( +), o eao, ecessa o cohecmeo e oas as amosras qe comõem a sére ara emlar a marz e correlação assocaa. A fção e cso J mee o erro méo qaráco ere a esmava a reção () ˆ ( +) e o valor efevamee obo ara a amosra em qesão, ( +). O veor W qe efe o flro FIR em ses coefcees eermaos e forma a mmzar a fção e cso J. Coforme oe ser observao a Fgra 5.3, a amosra rea ˆ ( +) é aa or ˆ M T ( ) ( ) W ( ) W + (5.43) 3

31 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro Fgra 5.3: Flro Lear Trasversal lzao como reor e ( +) com orem e reção M 8. E {} é o oeraor qe resla o valor eserao o argmeo []. Da Fgra 5.3, o erro e reção e() oe ser exresso or e () () () (5.44) O oeraor graee é alcao com o o e ober os valores ara os esos W o flro rasversal qe mmzem a fção e cso J, resolveo-se a eqação J. Assm, omao a ervaa arcal a fção e cso J com relação a caa eso W, J J W W E e { e } E e E e ( ) E e ; W W W (5.45),,!, M 3

32 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro E, coserao o graee a arr o sae, eremos J () E e() () W E e W M () W ( ) E{ e( ) ( ) } (5.46) Como a fção e cso J é ma fção qaráca, J será globalmee mímo ara J. Assm, a arr a Eqação (5.46) oemos escrever qe () E{ e()( ) } J (5.47) Sbso as Eqações (5.43) e (5.44) a Eqação (5.47), oberemos E M () W ( ) ( ) (5.48) Dsrbo os roos e rearrajao a Eqação (5.48), M W E { ( ) ( ) } E{ ( ) ( ) } (5.49) oe Observa-se o lao esqero a galae exressa a Eqação (5.49), qe { ( ) ( ) } R ( ) E (5.5) R é a fção e ao-correlação o rocesso aleaóro ( rocesso esocásco) ara m araso ere as amosras, com,,,!, M []. Da mesma forma, observao o lao reo a galae exressa a Eqação (5.49), oe { ()( ) } R ( ) E (5.5) R é a fção e correlação crzaa ere o rocesso aleaóro qe escreve a saía esejaa ( +) e o rocesso. Coserao as Eqações (5.5) e (5.5), a Eqação (5.49) oe ser reescra como M W R ( ) R ( ) ;,,, M-! (5.5) 3

33 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro Para escrever a Eqação (5.5) sob a forma marcal, coseremos qe seja () [ () ( ) ( M + )] T!, al qe so é T { () () } R E (5.53) R E E E{ ()() } E{ ( ) ( ) }! E{ ( ) ( M + ) } { ( ) ( ) } E{ ( ) ( ) }! " " " { ( M + ) ( ) } E{ ( M + ) ( ) }! E{ ( M + ) ( M + ) } # " (5.54) o R R R " R () R ()! R ( M ) () R ( )! " ( M ) R ( M )! R ( ) " # " (5.55) Para melhor lsrar as Eqações (5.53), (5.54) e (5.55), coseremos m exemlo. Para o caso em qe M3, eremos () [ () ( ) ( ) ] T () ( ) ( ) e R será ao or T [ () ()] R E (5.56) E R R R Mas, como R () x R ( x) [ () ( ) ( )] () R ( ) R ( ) () R ( ) R ( ) () () () R R, R oerá, or fm, ser exresso como 33

34 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro R R R R () R () R () () R ( ) R () () () () R R (5.57) Seja, agora, o veor P efo or { ()() } P E (5.58) T [ E{ ()() } E{ ( ) ( )}! E{ ( ) ( M + ) }] [ P() P( )! P( M )] T e seja ambém o veor e esos ao or [ W W ] T W W M! (5.59) Assm, aro as Eqações (5.5), (5.53), (5.55), (5.58) e (5.59), eremos R W P (5.6) A Eqação (5.6) é eomaa Eqação e Weer-Hof [6]. A solção e (5.6) ara W efe os coefcees o flro lear rasversal mosrao a Fgra 5.3. O flro rez com o mímo erro qaráco méo a amosra ( +) e ma sére emoral qe aresea correlação ere as M révas amosras. Se a marz e correlação R a sére emoral é ão-sglar ara M efo, eão W oe ser obo or W R P (5.6) seo P o veor qe efe a correlação crzaa ere o veor () e eraa e a saía esejaa () ( +). É morae observar qe, ara ma aa sére emoral com N amosras oas, areseao correlação ere M amosras cosecvas révas ao sae a ser reo, a recsão com qe R e P rereseam as correlações evolvas será ao maor qao maor for N com relação a M. 34

35 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro Iso ocorre orqe, a ráca, ão se cohece o rocesso aleaóro sbjacee qe eerma a sére emoral em qesão. Porao, ão são cohecas as fções correlações qe são realmee evolvas o rocesso. Assm, o oeraor E {} as Eqações (5.53) e (5.58) é sbsío ela méa os veores e M comoees evolvos o cômo e R e P, méa esa realzaa sobre o ervalo e N amosras oas cohecas a sére emoral. Desa maera, a reção lear só em seo qao o rocesso aleaóro sbjacee é esacoáro [], os, em caso coráro, R e P ão são vocamee efas, mesmo ara N sfceemee grae. O seja, se a sére emoral resla e m rocesso aleaóro ão-esacoáro, R e P varam ao logo a sére, valao a Eqação (5.6) ara a obeção o veor e esos W. A solção algmas vezes aoaa é assmr qe a sére emoral é esacoára em ervalos e aaar R e P ara caa ervalo. No eao, o úmero e amosras em caa ervalo em semre é sfcee ara exressar com felae a oeração E {}. Esa é a razão o so caa vez mas ssemao e éccas e reção ão-lear, as qas, embora areseem cso comacoal maor, cooram a ecessae o cohecmeo e m úmero grae e amosras assaas a sére a ser rea, sfcees ara qe o oeraor E {} seja aroxmao com felae ela méa emoral. Objevao rezr a comlexae comacoal evolva o cômo a Eqação (5.6), como R resla em ma marz Töelz [], a sa versão é, em geral, realzaa elo méoo e Drb-Levso [6], mo embora a seo-versão e Moore- Perose va Decomosção em Valores Sglares [6][8] seja freqüeemee lzaa ara coorar os roblemas reslaes e ma marz R qase sglar. 35

36 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro 5... Créro e Avalação o Erro e Preção Aoaremos como créro ara avalação a qalae e reção (ao lear qao ão-lear, qe raaremos a róxma seção) o créro sgero or Gershefel e Wege em []. Ese créro e avalação é coserao referêca ela comae e esqsaores a área e reção. A qalae a reção será exressa em ermos a razão ere as somas e erros qarácos mosraa em (5.6). ( observação ) reção ( observação observação ) (5.6) Em (5.6) o eomaor exressa o erro méo qaráco (MSE) e reção obo ara a chamaa reção ela úlma amosra Tal méoo e reção cosera qe a melhor reção ossível ara a róxma amosra cosse smlesmee em reer o valor efevamee observao ara a amosra aal. O valor obo or al créro ara o MSE é omao como ormalzaor ara o MSE reslae as fereças ere os valores efevamee obos, aós a observação a amosra em qesão, e os resecvos valores obos elo reor qe esá seo avalao. Uma razão feror a. corresoe a ma reção melhor o qe aqela oba ela smles reeção o valor efevamee observao ara a amosra aeror àqela a ser rea lmar qe qalfca m reor qe reea ser úl. O erro obo aravés o rocemeo exresso em (5.6) é chamao Erro Méo Qaráco Normalzao (Normalze Mea Sqare Error) e é refero a lerara or MSE. 36

37 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro Exressao (5.6) em forma e eqação, eremos NMSE () ( o() () ) ( o() o( ) ( ( + ) ˆ ( + ) ( ( + ) () ) (5.63) oe o () e () são resecvamee a observação (o valor efevamee observao) e a reção o sae. Para ma aa sére emoral U com N amosras oas o erro ao fal o rocesso e reção e U é ao or NMSE( N ), oe N é o íce o úlmo elemeo a sére Preção Lear e Séres Temoras: Exemlo Nesa seção aresearemos os reslaos obos ara a reção lear a sére Chaoc_LASER, aravés a herísca e reção escra em 5... Descrção a Sére Temoral Ulzaa: A sére Chaoc_LASER oss N amosras oas. Caa m os oos qe a cosem corresoe à esae e m Far-Ifrare-LASER em esao caóco. A sére fo oba or Uo Heber o Phs.-Tech. Besasal, Brascheg, Germa. As meas foram feas a arr e m LASER NH3 ão-lsao [3]. A sére, cja rereseação gráfca é mosraa a Fgra 5.4 é escra or Wege e Gershefel em [] e fo oba e h://.ser..e/~aege/tmeseres/saafe.hml. Observação: Em ambos os exemlos e reção e séres emoras qe aresearemos ese eso (caso lear e caso ão-lear qe será areseao a Seção 5..) lzaremos a sére Chaoc_LASER. 37

38 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro Fgra 5.4: Rereseação gráfca a sére Chaoc_LASER. Oreaa: Iesae e m Far-Ifrare-LASER em esao caóco. Abscssa: Íce a meção. A reção esmaa ˆ ( +) é exressa como ma combação lear e amosras révas, eqvaleo a zer qe a orem a reção lear aoaa é M (coforme herísca e reção escra em 5..). Os valores ara os coefcees qe oeram al combação lear foram obos aravés e (5.6) e são W , W , W -.6, W.4479, 3 W , W.5455, W -.476, W , W.793, W e W ˆ, e al forma qe a Eqação (5.43) resla em: ( + ) ( ) ( ).6( ) ( 3)+.9438( 4) ( 5).476( 6) ( 7) ( 8).4885( 9) ( ) 38

39 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro Ulzao eses coefcees o flro FIR a Fgra 5.3, o NMSE fal reslae, coforme Eqação (5.63), é NMSE( N ).3. A Fgra 5.5 aresea as rereseações gráfcas a sére Chaoc_LASER., observaa e rea. É morae salear qe, aesar e a orem e reção ser M, a reção lear aq efeaa ecessa o cohecmeo révo e oos os N elemeos a sére emoral ara moar a marz e correlação R, a eava e aroxmar o oeraor E {} ela méa emoral oba a arr os elemeos cohecos. Fgra 5.5: Sére Chaoc_LASER Preção Lear M. NMSE( ).3 N 39

40 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro 5.. Preção Não-Lear e Séres Temoras aravés e RNAs RBF A ree eral arfcal RBF lzaa ara reção ão-lear e séres emoras é a âmca, orqe o arezao acoece e forma coía com o eserolar emoral a sére [6]. A Fgra 5.6 aresea a arqera a ree RBF em qesão. Fgra 5.6: RNA RBF lzaa ara reção ão-lear e séres emoras. Assm como a ree mosraa a Fgra 5., esa ree RBF oss M ós e eraa e ceros Gassaos. O veor M R é o ésmo veor cero a ree RBF o ésmo veor e esao o rocesso assocao à sére emoral S, é o ésmo eso sáco e σ é a varâca comm a oos os ceros Gassaos, com,,,!. No coexo e reção e séres emoras, é o úmero e veores e esao o rocesso e M é a orem e reção [6][7]. 4

41 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro M A saía a ree eral RBF qao o ésmo veor e eraa () R é areseao à sa eraa é T () () ϕ () ϕ () () (5.64) oe ϕ () ex σ () () () (5.65) é a saía o ésmo cero Gassao com o veor () alcao à eraa a ree RBF. Para lzar a ree RBF o coexo e reção e séres emoras ora-se ecessára a efção e algmas esrras e aos. Seja S ma sére emoral efa or { (), (),, ( N ) } S!, oe N é o úmero e amosras e S. A m sae qalqer, o objevo é rezer a amosra ( + ) e S, seo cohecas as N + M amosras révas (), ( ),, ( M + )! qe comõem a jaela e reção () { ( M + ),, ( ), ( ) }! efa sobre S. No sae, seja o rocesso assocao ao eserolar emoral e S rereseao elo cojo U e + veores ( ) M δ R, δ,,!,, efo sobre a jaela (), e forma qe os veores cosecvos e U esejam eslocaos ere s a sâca emoral ere as amosras sbseqüees e S, coforme mosra a Fgra 5.7. Seja, aa, o veor e eraa a ree RBF o sae ao or () [ () ( ) ( M + )] T! (5.66) e seja, o sae, o ésmo veor e esao () o rocesso assocao ao eserolar emoral e S, ao or 4

42 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro () ( ),,,!, (5.67) A Fgra 5.7 aresea, a ílo lsravo, a jaela () efa sobre S, a cosrção os veores e esao o rocesso e os veores e eraa ( j) j,,!,, ara o caso em qe 4 e M 3., Fgra 5.7: Elemeos e eresse a sére emoral S o sae e cosrção os veores e esao o rocesso assocao à S e os veores e eraa ( j), j,,!,,,,!,, ara o caso 4 e M 3. Observe qe () é formaa or + M 7 +. N amosras cohecas, révas a ( ) Para qe se efa a varâca σ () comm a oos os ceros Gassaos o sae, assme-se qe σ () seja roorcoal ao qarao a máxma sâca Eclaa ere oos os veores e esao o rocesso [6]: 4

43 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro { } j () ξ max () () σ,,,,, j! (5.68) oe ξ é a cosae e roorção chamaa Faor e Varâca, a qal absorve a cosae a Eqação (5.65). Assm, a saía o ésmo cero Gassao, qao o veor () é alcao à eraa a ree RBF oe ser efa como () () ϕ () ex {,, j,,!, ξ max () j () } (5.69) O cojo ϕ (),,,!,, e saías os ceros Gassaos, cojo qe resla a alcação o veor e eraa (), oe ser colocao a forma veoral aravés e Por exemlo, ( ) () [ ϕ () ϕ () ϕ () ] T ϕ! (5.7) ϕ R é o veor qe resla a alcação o veor M ( ) R à eraa a ree RBF. Os elemeos o veor ϕ( ) R são as saías e caa cero Gassao ao veor ( ). O ésmo cero Gassao é efo or se resecvo veor M R e esao o rocesso,,,,!. Noe qe, a qalqer sae arbráro, a rasformação ão-lear efa ela Eqação (5.69) maea o veor ( ) M araso arbráro qalqer, o veor ( ) eraa ( ), ( ),, ( ) ϕ ( ), ϕ( ),, ϕ( ) δ R alcao à eraa a ree RBF, δ é m ϕ δ R. Porao, a seqüêca e veores e! efe a seqüêca e veores! obos elo maeameo ão-lear ela Eqação (5.69). M R R efo 43

44 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro Assm, aesar e efos em ma mesão feree a mesão orgal os veores R M e esaos a sére S, e aesar e obos aravés e ma rasformação ão-lear ere as mesões ϕ ( ), ϕ( ),, ϕ( ) M R e R, o cojo e veores! efos em R aa armazea formação sobre o eserolar emoral a sére. Porao, os veores em R coêm formação mlíca sobre os esaos e S, efos agora em ma ora mesão, com S seo vsa aravés e m rocesso ão-lear. Assm, o cojo e veores em R oe ser agrao em ma marz e rasção e esaos a sére emoral S, agora erreaa como m rocesso ão-lear com esaos R mesoas. A marz e rasção e esaos a sére emoral S, omaa como m rocesso ão-lear com esaos R mesoas o sae, é mosraa a Eqação (5.7). Φ () ϕ ϕ ϕ T ( ) T ( ) " ( ) T ϕ ϕ ϕ ( ) ϕ( )! ϕ ( ) ( ) ϕ ( )! ϕ ( ) " ( ) ϕ ( )! ϕ ( ) " " (5.7) ϕ Noe qe as lhas e Φ () corresoem aos veores e rasção e esao ( ) T, ϕ( ) T,, ϕ( ) T! o rocesso ão-lear, os qas reslam resecvamee a alcação os veores ( ), ( ),, ( ) RBF.! à eraa a ree ϕ Noe ambém, a rasformação (5.69), qe o -ésmo comoee o veor ( δ ) R M ( ) R, δ arbráro, ee ara o valor máxmo. à mea em qe o veor δ alcao à eraa a ree RBF ee ara o veor e esao a -ésma M fção e base raal. Porao, (5.69) é ma rasformação ão-lear e R R qe 44

45 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro mee o qao o eserolar emoral momeâeo a sére S se relacoa com os esaos báscos o rocesso à ela assocao. Para m veor e esos sácos arbráro e saías () ara Φ () ao é obo or () Φ(). a a, o cojo e saías o o veor (5.7) com () [ ( ) ( ) ( )] T! (5.73) oe ( ), ( ),, ( )! são as saías a ree RBF com reseo aos veores e eraa ( ), ( ),, ( )! assocaos ao eserolar emoral momeâeo a sére S, seo aos o veor e esos sácos arbráro Φ (). a e a marz e esaos Vamos sor qe () () () [ () ( ) ( + )] T, oe () é o veor e saías esejaas efo or! coforme cosrção mosraa a Fgra 5.7, e al forma qe () () () ( ) " ( + ) Φ (). () (5.74) ϕ ϕ ϕ ( ) ϕ( )! ϕ ( ) ( ) ϕ ( )! ϕ ( ) " ( ) ϕ ( )! ϕ ( ) " " () () " () Observe-se qe caa elemeo em () é o elemeo qe se coloca ma osção à free a sére S, com reseo ao veor e eraa qe gero o corresoee veor e rasção e esao ão-lear em Φ. Por exemlo, a rmera lha e Φ a Eqação 45

46 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro (5.74) é o veor e rasção e esao ão-lear ( ) T ϕ qe resla a alcação o veor ( ) à eraa a ree eral. A saía esejaa corresoee a ese veor e eraa é o elemeo () e (), qe se ecora ma osção à free a sére S, com reseo ao veor ( ), coforme oe ser observao a Fgra 5.7. () R Porao, aravés a rasformação lear efa elo veor e esos sácos e aravés a rasformação ão-lear efa ela marz Φ (), a Eqação (5.74) mlcamee relacoa caa veor ( ),,!,, com o elemeo ( ) e S, seo ( ) localzao a sére S ma osção à free o veor ( ). formao a jaela (), o elemeo qe esá Assm, ma vez eermao, () coerá formação e como se efea a rasção aro os esaos révos o rocesso e S aé o róxmo elemeo e S meaamee aae ao resecvo veor ( ) emoral momeâeo e S. rereseavo o eserolar É morae ressalar qe a formação e rasção em () é reslae e ma M rasformação ão-lear R R, e, em coseqüêca so, é ma formação qe evolve as esaíscas e orem seror o rocesso e S. Em fção so, o méoo e reção ão-lear aq areseao é oecalmee mas caaz e caar as slezas esaíscas o rocesso esocásco sbjacee em S o qe o méoo e reção lear baseao em esaíscas e sega orem vso a Seção 5... A obeção e () é efa ela Eqação (5.75). () () () Φ (5.75) Nese eso, a versa a marz Φ é oba ela seo-versão marcal e Moore-Perose [6], aravés e ecomosção em valores sglares SVD. Embora a SVD mmze o roblema a eveal sglarae e Φ e, embora oa a sére emoral seja ormalzaa ara o ervalo [, ], aes e qalqer rocemeo, or 46

47 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro 9 recação, acoa-se o valor à agoal rcal e Φ, como m arâmero e reglarzação [6], vsao axlar o raameo as sglaraes a marz Φ. Vamos agora efear o rocesso e reção roramee o. Uma vez obo () e (5.75), alca-se o veor () [ (), ( ),, ( M + ) ] T! à eraa a ree eral. O veor eso sáco () obo e (5.75) armazea formação e como ocorre a rasção esaos révos róxmo elemeo ao o veor e eraa qe escreve o eserolar emoral momeâeo a sére S. Como, or efção, ma varável e esao ão sofre aleração ara ma varação eqea o ssema or ela escro [3], assme-se qe os veores e esao o rocesso e S ão sofram ma maça sgfcava ma osção à free em S. Assm, a saía a ree eral () ao veor e eraa () [ () ( )! ( M + ) ] T será ma esmava ˆ ( +) amosra ( +), aa ela Eqação (5.76) com base em (5.64): o reção a ˆ ( + ) () () () () ex ξ max{ () j () } (5.76) T () ϕ () () ϕ() Em oras alavras, se esá mlcamee eslzao a marz Φ ma osção à free ao logo e S, assmo qe os esaos armazeaos em Φ ermaecem aleraos e sao-se a formação e rasção armazeaa em ara esmar o róxmo elemeo em S, a arr os esaos efos em Φ. Obvamee, eve ser grae o sfcee ara qe Φ ossa armazear oos os esaos sgfcavos. Da mesma forma, a mesão M os veores e esao o rocesso e S eve ser sfceemee grae ara reresear os esaos sgfcavos o rocesso. Esa écca e reção ão-lear aravés e rees eras arfcas o o RBF com arbção e ceros efa ela Eqação (5.67) oravae será refera como reção com base a Arbção Parão os Ceros (APC). 47

48 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro 5... Smáro a Herísca APC ara Preção Não-Lear e Séres Temoras va RNAs RBF. Poscoar ( ) I Icalzação: e N elemeos, sobre S.. Defr e M, ( N + M ) a arr e (). 3. Formar veores-cero M () R as fções e base raal. 4. M Formar veores ( ) δ,,, δ R,! o cojo e reo. II - Treameo:. Aresear oos os veores o cojo e reo à eraa a ree RBF (exceo o veor qe coém as formações mas recees sobre S, o veor () ), obeo ara caa m os emas veores ( ) M δ R, δ,!, o corresoee veor ( δ ) R, δ,!, ϕ.. Cosrr Φ () a arr os veores ϕ( δ ). 3. Formar veor saía esejaa () [ () ( )! ( + ) ], arbo a caa veor ϕ( δ ) ma saía esejaa eqvalee ao úlmo comoee o veor ( δ +). 4. Deermar veor e esos sácos () () () Φ. 48

49 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro 5. Alcar veor () à eraa a RBF, obeo a saía ˆ ( ) ( ) + ex ξ () () () max () (), j [ j ] 6. + (eslzao () ma osção à free em S). T ()() ϕ 7. Oba a ova jaela, volar ao asso 3 a eaa e calzação Preção Não-Lear e Séres Temoras: Exemlo Nesa seção são areseaos os reslaos obos ara a reção ão-lear aravés a herísca APC a mesma sére lzaa a Seção 5... (Preção Lear e Séres Temoras: Exemlo), a sére Chaoc_LASER, com N amosras. Por coerêca, fo aoaa a mesma orem e reção aoaa o caso a reção lear, M, e 8 veores ceros, ecessao orao, e N + M 9 amosras cohecas, aerores à amosra ( +) qe se eseja rezer. Para o Faor e Varâca lzo-se ξ.. O reslao a reção ão-lear ara ese caso é mosrao a Fgra 5.8. O valor obo ara o Erro Méo Qaráco Normalzao fal, coforme Eqação (5.63), é NMSE( N )

50 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro Fgra 5.8: Sére Chaoc_LASER Preção ão-lear aravés a herísca APC com M, 8 e N 9. NMSE( N ).96. Exermeo-se ovamee a reção lear a sére Chaoc_LASER (coforme escra a Seção 5..), coserao, ese ovo exermeo, o obro a orem e reção lzaa a reção or APC, so é, M ara o caso lear. Os valores os coefcees obos ara o flro lear, aravés e (5.43) são W , W , W -.539, W.9869, W , 3 4 W.963, W , W -.538, W.7756, W , W.7955, W -.636, W.936, W , W.48657, 3 4 W.6, W , W.76988, W , W.658, W e W.58. 5

51 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro O reslao a reção lear ara ese caso é mosrao a Fgra 5.9 e o NMSE fal reslae, coforme Eqação (5.63), é NMSE( N ).85. Fgra 5.9: Sére Chaoc_LASER Preção Lear M. NMSE( N ).85. Observe qe, mesmo com o obro a orem e reção lzaa a herísca APC, a reção lear resla em m NMSE fal qase as vezes maor. A fereça e erformace ere a reção lear e a herísca ão-lear APC fca aa mas evee se lembrarmos qe a herísca APC ecessa, ese caso, ara efear a reção, e aeas N 9 amosras révas cohecas, coas a jaela e reção (). Já a reção lear recsa cohecer oas as N amosras a sére Chaoc_LASER ara moar a marz e correlação R. 5

52 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro Nese seo, ara ma orem e reção M, oe-se zer qe a herísca APC obém m NMSE fal.96 com ma jaela e reção com aeas 9 amosras révas cohecas, eqao qe a reção lear obém m NMSE fal e.3 ecessao, ara sso, ma jaela e reção eqvalee às amosras révas cohecas oas as amosras a sére. 5.3 Referêcas Bblográfcas o Caílo 5: [] B. Mlgre, Alg Raal Bass Fcos, IEEE Sgal Processg Magaze, 5-65, 996. [] B. Wro a S. D. Sears. Aave Sgal Processg. Prece-Hall, Egleoo Clff, 985. [3] C. T. Che, Lear Ssem Theor a Desg, Harcor Brace College Pblshers, 984. [4] C. M. Bsho. Mxre Des Neors. Neral Comg Research Gro. De. of Comer Scece a Ale Mahemacs, Aso Uvers, Brmgham, U, Febrar, 994. [5] C. M. Bsho. Neral Neors for Paer Recogo. Oxfor Uvers Press, 997. [6] S. Ha, Aave Fler Theor, 3 r e., Prece Hall, Uer Sale Rver, Ne Jerse, 996. [7] S. Ha, Neral Neors, e., Prece Hall, Uer Sale Rver, Ne Jerse, 999. [8] W. H. Press, S. A. Teols, W. T. Veerlg a B. P. Flaer. Nmercal Reces C, e., Cambrge Uers Press, 99. [9] R. D. Srm e D. E. r, Frs Prcles of Dscree Ssems a Dgal Sgal Processg, Aso-Wesle,

53 PUCRS - FENG - DEE - Mesrao em Egehara Elérca Rees Neras Arfcas Ferao César C. e Casro e Mara Crsa F. e Casro [] H. Tab a D.L. Schllg, Prcles of Commcaos Ssems, McGra-Hll, 986. [] F. R. Gamacher, The Theor of Marces, vol., Chelsea Pblshg Coma, Ne Yor, NY, 977. [] A. S. Wege a N. A. Gershefel. Tme Seres Preco: Forecasg he Fre a Uersag he Pas. Aso-Wesle Pblshg Coma, 994. [3] U. Heber, N. B. Abraham a C. O. Wess. Dmesos a eroes of chaoc es lsaos a sgle-moe far-frare NH3 laser. Phs. Rev. A 4,. 6354,