Introdução à Modelação Geométrica

Transcrição

1 Manel Ventra Proecto de Naos I Mestrado em Engenhara e Arqtectra Naal Smáro. Cras Paramétrcas 2. Sperfíces Paramétrcas 2

2 Cras Paramétrcas. Tpos de Formlações Matemátcas Splnes cúbcas Bézer B-Splne Beta-Splne NURBS 2. Interpolação e aproxmação de cras 3. Análse de cras 3 Splne Cúbca Consderando o rote splne ma ga elástca fna e para peqenas flexões a le de Eler relacona a deformada do exo da ga yx com o momento flector Mx pela expressão: x y M x EI em qe E Módlo de Yong I Momento de nérca da secção da ga 4 2

3 Splne Cúbca 2 Assmndo qe a ga é smplesmente apoada nos pesos então o momento flector ara lnearmente entre eles o sea MxAxB. Sbsttndo e ntegrando reslta yx M x dx 3 2 Ax B dx Ax Bx Cx D EI EI Em cada segmento a cra pode ser defnda em fnção do parâmetro t normalzado para o nteralo [] P t At 3 Bt 2 Ct D As constantes podem ser obtdas de condções de frontera como as estabelecdas para a nterpolação de Hermte P P P P p p T T 5 Splne Cúbca 3 Fnalmente a cra pode ser representada na forma matrcal 3 2 t [ t t t ][ H ][ G] P [ H ] [ G] p p T T 6 3

4 Cras de Bézer As cras geralmente conhecdas por Bézer resltaram da nestgação separada de Castela Ctroen e Perre Bézer Renalt no níco dos anos 6. Uma cra de Bézer é defnda por: n P t C Bn t for t em qe B n são as fnções de base de Bernesten de gra n B n n! t! n! n n n t t n for... t 7 Cras de Bézer 2 A cra de Bézer é tangente ao prmero e últmo segmentos do polígono de controlo A ordem é gal ao número de értces do polígono de controlo. A cra está contda nteramente na enolente conexa dos pontos de controlo. 8 4

5 Cras B-Splne Foram estdadas por N. Lobatchesy no séclo XIX A sa tlzação para aproxmação de dados começo em 946 com Schoenberg Fo ntrodzda nos sstemas de CAD por J. Fergson Boeng em 963. N N t para C t t t N t t t n t t < t t t t P N t t t Em qe C são os pontos do polígono de controlo e N são as fnções de base B-Splne de ordem qe podem ser calcladas pela expressão recrsa de Cox/de Boor: N t Defndas sobre o ector de nós {... } X t t 2 t 3 t m 9 Cras B-Splne 2 O ector de nós é ma seqênca não-decrescente de números O ector de nós pode ser classfcado em: Unforme o espaçamento entre os nós é constante { } Peródco o espaçamento é constante e gal a { } Não-Peródco os espaçamentos dos nós nternos constantes e gas a e os nós das extremdades com mltplcdade gal à ordem { } Não-Unforme - os espaçamentos dos nós nternos não necessaramente constantes e os nós das extremdades com mltplcdade gal à ordem { } 5

6 Cras B-Splne 3 As cras B-Splne têm as propredades segntes: Precsão lnear Casco conexo em pontos de controlo consectos Dmnção da aração São narantes qando sbmetdos a transformações afns Qando a ordem do B-Splne é gal ao número de pontos de controlo o ector de nós consste apenas nos alores das extremdades com a mltplcdade gal à ordem { } e as fnções B-Splne de base são eqalentes a fnções de Bernesten e a cra degenera nma cra de Bézer. Beta-Splnes Os Beta-splnes cúbcos foram ntrodzdos em 98 por Barsy São ma generalzação dos B-Splnes baseados em noções de contndade geométrca e na modelação matemátca da tensão Os reqstos de contndade paramétrca de 2ª ordem C 2 entre segmentos das B-Splnes é sbsttída pelos reqstos de contndade geométrca de 2ª ordem G 2 do ector tangente ntáro e do ector cratra Isto dá orgem a descontndades nas ª e 2ª deradas paramétrcas qe são expressas em termos dos parâmetros β e β2 desgnados respectamente por bas e tensão. 2 6

7 Beta-Splnes 2 Uma cra Beta-splne é defnda por: b C br r2 r 2 g 3 β β ; P p / < 2 r em qe b γ são as fnções de base g β β2; cgr β β p / < e r 2 A contndade paramétrca reflecte a aração sae da parametrzação e não necessaramente da cra A contndade geométrca é ma medda da contndade qe é ndependente da parametrzação 3 Cras NURBS C n n P. w N w. N p p N para < N p N p p p N p p { } U 2 n n... n 4 7

8 Representação de Cóncas Uma cra NURBS do 2º gra com três pontos representa m forma cónca se o factor de forma cónca c defndo por: 4 c 4 c 4 c w. w 2 4. w c 3 ter m dos segntes alores 2 <. elpse. parabola >. hperbole 5 Representação de Cóncas 2 Para representar m arco de crcnferênca os três pontos de controlo [P P2 P3] têm qe estar sobre m trânglo sósceles O rao do arco obtdo é calclado por: P R 2 4b 4b Crcnferêncas completas podem ser representadas ntando arcos Com 9 pontos podem ntar-se 4 arcos de 9 X W { } {. } { } em qe: P P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 2 b 2 6 8

9 Representação de Cóncas 3 A representação anteror pode ser smplfcada remoendo os nós.25 e.75 repetdos Reslta ma crcnferênca representada por apenas sete pontos de controlo X W P { } { } { P P P P P P P} Representação de Cóncas 4 Pode também obter ma crcnferênca ntando 3 arcos de 2 defndos por 7 pontos de controlo. X W { } { } P P P P P P P

10 Representação de Cóncas 5 Uma elpse completa pode ser representada aplcando ma transformação afm a ma crcnferênca como por exemplo ma representada por 7 pontos de controlo mantendo a dstrbção dos pesos e o ector de nós. X W P { } { } { P P P P P P P} Resmo - Cras Paramétrcas Vantagens Desantagens Obs. Splne cúbca Interpola pontos dados Pode apresentar ondlações nesperadas Bézer Polígono de controlo Comportamento global Gra amenta drectamente com o número de pontos de controlo 2

11 Resmo - Cras Paramétrcas 2 Vantagens Desantagens Obs. B-Splne Beta-Splne NURBS Comportamento local Gra ndependente do número de pontos de controlo Dos parâmetros adconas p/ controlo bas e tensão Representação exacta de cóncas Não representa cóncas com exactdão Dfícl trar partdo da coordenada adconal peso Utlzado em métodos de desempolamento Estado da arte Usado na maora dos sstemas actas de CAD 2 Geração de Cras Interpolação Aproxmação 22

12 Análse da Cratra de Cras A cratra de ma cra no espaço é defnda por: κ t x t x t x t 3 A dstrbção desta cratra ao longo da cra pode ser representada sando o método do porco-espnho ectores com módlos proporconas aos alores da cratra em cada ponto normas à cra nesse ponto orentados para o lado oposto ao centro de cratra 23 Análse da Cratra de Cras

13 3 25 Sperfíces Paramétrcas. Sperfíces NURBS 2. Geração de sperfíces Extrsão Traçagem Varrmento Reolção Interpolação de grelha Prmtas geométrcas 3. Análse de sperfíces Sombreamento Contornos Cratras Isofotos Lnhas de reflexão 26 Sperfíces NURBS Uma sperfíce NURBS com gra l nas drecções é defnda pela expressão: n n M N w M N w P S l m l m... < / N N N p N < / M M M p M l l l l l l

14 Extrsão Traectóra drectrz Perfl geratrz 27 Traçagem Loftng Secções 28 4

15 Traçagem em Constrção Naal A desgnação de traçagem loftng tem orgem na constrção naal Desgna a operação de desenoler a sperfíce do casco de naos nterpolando a forma de m connto de secções transersas e qe era leada a cabo na sala do rsco loft O processo constrto prmto era semelhante ao processo de traçagem sando as caernas para dar forma ao casco. 29 Varrmento Sweepng Perfl geratrz Traectóra drectrz 3 5

16 Sperfíces de Reolção Exo de rotação Perfl geratrz 3 Interpolação de Grelha 32 6

17 Formas Prmtas Paralelepípedo Cone Clndro Esfera 33 Análse de Sperfíces - Sombreamento Sombreamento shadng 34 7

18 Análse de Sperfíces - Contornos Contornos 35 Análse de Sperfíces - Isofotos Isofotos: Analyze/Srface/Zebra Lnhas de ntensdade lmnosa constante cradas por m connto de fontes lmnosas paralelas com ma dada drecção L n L cosα 36 8

19 Análse de Sperfíces Cratras Cratra Méda 2FM EN GL H 2 2 EG F Cratra de Gass LN M K EG F 2 2 Cratras expressas em fnção das cratras máxma e mínma H κ mn κ max 2 K κ κ mn max Coefcentes da ª Forma Fndamental Vector normal E r. r F r. r G r. r ntáro da sperfíce Coefcentes da 2ª Forma Fndamental r r n p/ r r r r L n. r M n. r N n. r 37 Cratra Méda Cratra Méda 38 9

20 Cratra de Gass K < K K > Sperfíce c/ dpla cratra sela Sperfíce planfcáel Sperfíce concaa o conexa 39 2