Muitos problemas de geometria podem ser resolvidos com o auxílio da trigonometria. As fórmulas que você deve saber são basicamente essas quatro:

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1 Geometria com ontas Às vezes precisamos de mais elementos para resolver problemas de geometria. Pode-se traçar novos elementos na figura que possam ajudar ou fazer algumas contas. Mostraremos algumas técnicas para fazer algumas contas que ajudam (e até resolvem!. (i Em geral, pode-se pensar em problemas de geometria seguindo esses passos: Faça a figura do problema (praticamente nenhum problema vem com figura, bem grande e com certa precisão (ou seja, use a régua e o compasso, mas não é necessário muito rigor. (ii Mexa um pouco com os elementos da figura. lgo que é sempre útil é fixar um certo número de ângulos (de preferência, o menor número possível, de modo que os ângulos marcados determinem a figura a não ser, é claro, que acrescentar algum outro ângulo adicione alguma simetria algébrica útil e calcular todos os outros ângulos possíveis (se os ângulos que você escolheu determinam a figura, é possível calcular todos os outros, de um jeito ou de outro. Procure quadriláteros inscritíveis para ajudar. Se necessário, faça conjecturas (é para isso que você fez um desenho bem feito!. lguns problemas de geometria já são resolvidos nesse passo! (iii Se o problema ainda não foi resolvido, é hora de elaborar uma estratégia para resolver o problema, ou seja, determinar quais cálculos devem ser feitos. Nada de fazer cálculos sem planejá-los! (iv Execute sua estratégia. Lembre-se sempre de ter uma meta em mente (algo do tipo precisamos calcular tal ângulo e, se você estiver numa prova, de controlar seu tempo e o tamanho da conta (não deixe a conta crescer muito; a falta de controle é um fermento muito poderoso para contas. É claro que esses passos não são precisos e que, para dominá-los, é preciso muito treino e, por que não, aprender algumas técnicas. 1. Trigonometria Muitos problemas de geometria podem ser resolvidos com o auxílio da trigonometria. s fórmulas que você deve saber são basicamente essas quatro: sen(a + b = sen a cos b + sen b cos a sen(a b = sen a cos b sen b cos a cos(a + b = cos a cos b sen a sen b cos(a b = cos a cos b + sen a sen b partir dessas você pode deduzir essas outras, que na verdade são as mais úteis para nós e que tornam a trigonometria tão poderosa. Transformando produtos em somas Transformando somas em produtos sen a sen b = 1 ( ( ( x + y x y cos(a b cos(a + b sen x + sen y = sen cos cos a cos b = 1 ( ( ( cos(a b + cos(a + b x y x + y sen x sen y = sen cos sen a cos b = 1 ( sen(a b + sen(a + b ( ( x + y x y cos x + cos y = cos cos ( ( x + y x y cos x cos y = sen sen Por fim, relembramos a lei dos senos e a lei dos co-senos. No triângulo, seja = c, = b,

2 = a, = α, = β e = γ. O circunraio de é R. a sen α = b sen β = c sen γ = R a = b + c bc cos α b = a + c ac cos β c = a + b ab cos γ lei dos senos, por envolver proporções (que são mais simples e elementos adicionais do triângulo (o circunraio, é particularmente útil. Vamos resolver alguns problemas e mostrar algumas técnicas de cálculo onvenção Sempre que houver um triângulo, α, β e γ são as medidas dos ângulos, e, respectivamente. 1.. Um começo e o truque da co-tangente Exemplo 1.1. (Prova de Seleção para a IMO Seja Γ uma circunferência de centro O tangente aos lados e do triângulo nos pontos E e F. reta perpendicular ao lado por O intercepta EF no ponto D. Mostre que, D e M (ponto médio de são colineares. Resolução Primeiro, um bom desenho, com todos os ângulos que pudermos marcar (a técnica do arrastão é bastante útil é por isso que você deve fazer um desenho grande!!. Note que os ângulos do triângulo já determinam toda a figura (para perceber isso, note que se construir todos os outros elementos da figura já estão determinados. E D O F M

3 É sempre bom justificar os cálculos. Seja P a interseção e e da reta perpendicular a. omo EO e P O são retos, o quadrilátero P OE é inscritível, de modo que DOE = EM = β. nalogamente, DOF = γ. reta O é bissetriz e OEF é inscritível, logo OEF = OF E = α/. Mas, como provar que, D e M estão alinhados? Uma maneira é provar que D = M, por exemplo. Para isso, é só calcular os dois ângulos. omo calcularemos φ = D? Veja o triângulo DE. Sendo r o raio de Γ, com uma lei dos senos calculamos DE. E pode ser facilmente calculado. omo já conhecemos ED (viu como é bom fazer o arrastão?, temos elementos suficientes para calcular φ. Para calcular θ = M, usaremos o triângulo M, da qual conhecemos M, e M. Já temos uma estratégia. Vamos executar o plano! E r D O No triângulo ODE, DE sen β = r sen(β + α DE = r sen β sen(β + α (note que ODE = π (β +α/ utilizamos o fato de que sen x = sen(π x para todo x real; utilizaremos bastante esse fato e o fato sen(π/ x = cos x Sendo o triângulo EO retângulo em E, obtemos E = r cotg(α/. No triângulo DE, DE sen φ = E cos(φ + α ( Quando temos uma equação do tipo a sen x = b sen(x + δ, e queremos determinar x, utilizamos o truque da co-tangente: a sen x = b sen(x + δ sen(x + δ sen x = b a sen x cos δ + sen δ cos x sen x = b a cos δ + sen δ cotg x = b a e podemos isolar cotg x.

4 Voltemos a (. Substituindo DE e E e utilizando o truque da co-tangente, temos cos cotg φ + sen = cotg sen(β + α sen β cotg φ = cos sen(β + α sen sen β sen sen β cos cotg φ = sen(β + α cos sen sen β sen α sen β cotg φ = sen(α + β + sen β sen sen β sen α sen β cotg φ = sen(α + β + sen β(1 sen sen α sen β sen(α + β + sen β cos α cotg φ = sen α sen β alculemos θ. Uma prática normal em trigonometria é adotar o circunraio de algum triângulo igual a 1/, de modo que, pela lei dos senos, seus lados sejam iguais aos senos dos seus respectivos ângulos opostos. Podemos fazer isso porque estamos só fixando o tamanho da figura. É claro que só podemos fazer isso uma vez só em cada problema. sen sen M Nesse caso, façamos isso com. Temos M = / = 1 sen α e = sen γ = sen(α + β. No triângulo M, M sen θ = sen(θ + β sen β cotg θ + cos β = sen(α + β sen α cotg θ = sen(α + β sen α cos β sen α sen β Puxa, os resultados de cotg φ e cotg θ são diferentes! Na verdade, não são. Nunca perca a fé! cotg φ = cotg θ sen(α + β + sen β cos α = sen(α + β sen α cos β sen(α + β = sen α cos β + sen β cos α,

5 que é sempre verdade lgumas identidades Suponha que o circunraio do triângulo é R = 1/. a = = sen α. lém disso, por exemplo, Então, c = = sen γ, b = = sen β e O perímetro do triângulo é p = 4 cos cos( β cos( γ ; área do triângulo é S = sen α sen β sen γ/; O inraio do triângulo é r = sen sen( β sen( γ ; cos α + cos β + cos γ = 1 + r/r; p a = cos sen( β sen( γ. 01. Prove todas as identidades acima. Exemplo 1.. (IMO Sejam H 1, H e H 3 as alturas de um triângulo acutângulo. circunferência inscrita no triângulo é tangente aos lados,, em T 1, T e T 3, respectivamente. onsidere a reta simétrica da reta H 1 H relativamente à reta T 1 T, a reta simétrica da reta H H 3 relativamente à reta T T 3, a reta simétrica da reta H 1 H 3 relativamente à reta T 1 T 3. Prove que estas retas simétricas determinam um triângulo cujos vértices pertencem à circunferência inscrita no triângulo. Resolução Esse é o único problema 6 de IMO de geometria euclidiana nos últimos 10 anos. Primeiro, uma boa, e bem grande, figura. Vamos só desenhar a reta simétrica relacionada a T T 3. H é

6 o ortocentro de. H P = H T 3 T 3 l 1 X 3 H 1 Façamos o arrastão: veja que H HH 3 é inscritível, logo H 3 H = γ. Seja P a interseção de T T 3 e H H 3 (só não podemos escolher duas retas T i T j e H i H j concorrentes quando o triângulo é equilátero; tal caso é trivial. omo T = T 3, os ângulos T T 3 e T 3 T medem ambos π/ α/. ssim, H 3 P T 3 = T 3 T P H 3 T 3 = π α/ γ e, sendo l 1 a reta simétrica da reta H H 3 relativamente à reta T T 3, o ângulo entre l 1 e T T 3 é igual também a π α/ γ. Logo o ângulo entre l 1 e é (π/ α/ γ + γ = π α γ = β, ou seja, l 1 e são paralelos. Definindo analogamente l e l 3, temos l // e l 3 //. om isso, já sabemos que o triângulo determinado por l 1, l e l 3 é semelhante a, e com lados

7 homólogos paralelos. Temos, então, dois candidatos a tal triângulo: Estudando um caso particular (o triângulo equilátero, por exemplo, vemos que o candidato mais indicado é o da direita. Podemos, então, calcular a distância entre lados homólogos nessa situação e compararmos com a distância entre e l 1. ssuma que o circunraio de é 1/, para termos = sen α, = sen β e = sen α. Vamos calcular a distância entre e l 1. Seja X 3 a interseção de l 1 e. distância de a l 1 é X 3 sen β. E a distância desejada é H 1 X 3 sen β. om, H 1 é fácil de calcular: H 1 = sen β = sen γ sen β. E X 3? H 3 é fácil de calcular, T 3 também. Podemos calcular H 3 T 3 = T 3 H 3 e usar a lei dos senos no triângulo P H 3 X 3, com a ceviana P T 3. Mãos à obra!! Para começar, H 3 = cos α = sen β cos α e T 3 = p sen α, sendo p o semiperímetro de. Portanto H 3 T 3 = p sen α sen β cos α. Pela lei dos senos no triângulo P H 3 T 3, P T 3 sen γ = H 3 T 3 sen H 3 P T 3 No triângulo P T 3 X 3, P T 3 sen β = X 3 T 3 sen X 3 P T 3 Dividindo as duas últimas equações e tendo em vista que H 3 P T 3 = X 3 P T 3, obtemos X 3 T 3 = sen γ sen β H p sen γ sen γ sen α sen γ sen β cos α 3T 3 = sen β Da lei dos co-senos (ela também é útil de vez em quando!, Logo, substituindo p = sen γ sen β cos α = sen β + sen γ sen α sen α+sen β+sen γ, X 3 T 3 = sen α sen γ + sen β sen γ + sen γ sen β sen γ + sen α sen β = sen α sen γ + sen β sen γ sen β + sen α sen β

8 sen α+sen β+sen γ Enfim, podemos calcular X 3 = T 3 + X 3 T 3. Veja que T 3 = p sen α =. X 3 = sen β( sen α + sen β + sen γ sen α sen γ + sen β sen γ sen β + sen α sen β = sen α sen β + sen β sen γ sen α sen γ + sen α sen β Enfim, a distância entre l 1 e é H 1 X 3 sen β = sen β sen γ sen α sen β + sen β sen γ sen α sen γ + sen α sen α( sen α + sen β + sen γ = Na seção de identidades, você deve provar que ( β ( γ p a = cos sen sen Logo a distância entre l 1 e é (ufa! ( β ( γ d = cos sen sen sen α gora calculemos a distância entre os lados homólogos dos triângulos e o de lados respectivamente paralelos aos lados de. I r r Seja I o incentro do triângulo. distância de I a é igual ao inraio r e a distância de I a é r cos α. ssim, a distância entre e é ( d = r + r cos α = r(1 + cos α = r cos α Você tem outra identidade para provar: ( β ( γ r = sen sen sen

9 Logo d = sen sen = sen = cos sen ( β ( γ sen ( β cos sen ( β ( cos α sen ( γ sen sen α = d ( γ cos onseqüentemente, l 1 contém. nalogamente (ou você acha que eu faria todas as contas de novo?, l contém e l 3 contém. Às vezes traçar novos elementos na figura também ajuda. Exemplo 1.3. (IMO Seja P um ponto interior ao triângulo tal que P = P Sejam D e E os incentros dos triângulos P e P, respectivamente. Prove que as retas D, E e P passam por um ponto comum. Resolução Seja θ = P = P. 1 P Veja que podemos separar θ de β e γ. Note que se θ ficar para baixo obtemos um quadrilátero

10 inscritível, então faremos isso. 1 F G 1 P O quadrilátero F P G é inscritível, logo F G = β, ou seja, F G //. O problema pede, na verdade, para provarmos que as bissetrizes de P e P se encontram sobre P. Sejam Q e R as interseções de D e E com P. Devemos ter Q = R. Do teorema das bissetrizes, Q QP = P e R RP = P omo é suficiente demonstrarmos que Q = R Q = R Q P Q = R P R P = P Q QP = R RP, Vamos, então, calcular P e P. Sendo F G paralela a, temos F = k e G = k. plicando a lei dos senos ao triângulo F P, temos P sen(α 1 + γ = F sen θ P = k sen(α 1 + γ sen θ P = sen θ k sen(α 1 + γ nalogamente, P = sen θ k sen(α + β omo α 1 + γ e α + β somam π, o resultado está demonstrado.

11 . Geometria nalítica Quando aparecem problemas com muitos ângulos retos e que envolvam só retas, geometria analítica às vezes é indicada. Exemplo.1. (IMO No quadrilátero convexo D, as diagonais e D são perpendiculares e os lados opostos e D não são paralelos. Sabemos que o ponto P, onde se intersectam as mediatrizes de e D, está no interior de D. Prove que D é um quadrilátero cíclico se, e somente se, os triângulos P e DP têm áreas iguais. Resolução Esse problema é perfeito para se resolver com geometria analítica: é muito fácil colocar as coisas nos eixos (tome como eixos as diagonais; tudo é muito fácil de calcular analiticamente (mediatrizes e áreas; e, por fim, a única condição que poderia complicar, que é saber quando D é cíclico, pode ser facilmente transformada na potência da interseção das diagonais em relação ao seu circuncírculo. y (0;b (c;0 O P (a;0 x (0;d D Sejam, então, = (a; 0, = (0; b, = (c; 0 e D = (0; d. O quadrilátero D é inscritível se, e somente se, O O = O OD ac = bd. Fácil, não? Seja P = (x; y. omo P pertence às mediatrizes de e D, temos P = P e P = P D. P = P (x a + (y 0 = (x 0 + (y b ax a = by b nalogamente, P = P D cx c = dy b. Resolvendo o sistema obtido, temos ax by = a b x = (a b d (c d b (ad bc cx dy = c d y = (a b c (c d a (ad bc

12 Tudo bem com os denominadores pois, como e D não são paralelos, O/O O/OD a/b c/d ad bc 0 (nunca se esqueça de verificar quando os denominadores são nulos; essa verificação às vezes faz você perceber que tem que estudar alguns casos em separado. área do triângulo P é igual a D /, em que x y 1 D = a 0 1 = ay bx + ab 0 b 1 Da mesma forma, a área do triângulo P D é igual a D /, em que x y 1 D = c 0 1 = cy dx + cd 0 d 1 ssim, devemos ter ay bx + ab = cy dx + cd Seria muito bom nos livrarmos do módulo. O sinal de D depende da ordem em que colocamos as coordenadas no determinante. Se os pontos correspondentes estão dispostos no sentido anti-horário, D é positivo; se estão no sentido horário, é negativo. omo P pertence ao interior de D, P e P D têm a mesma orientação, de modo que realmente podemos nos livrar do módulo. Logo, tirando o módulo e substituindo x e y, temos que as áreas de P e P D são iguais se, e somente se, (a c (a b c (c d a (ad bc + (b d (a b d (c d b (ad bc = ab cd ( Nada de abrir tudo com pressa! Queremos ac = bd, e isso significa que provavelmente em algum momento fatoraremos a equação com ac bd como um dos fatores. ( (a b (ac + bd c d + (c d (ac + bd a b = (ab cd(ad bc (ac + bd(a + c b d a c a d + b c + b d a c b c + a d + b d = (a bd ab c acd + bc d ac(a + c bd(b + d acb acd + bda + bdc + (a c b d = (a bd ab c acd + bc d ac(a + c bd(b + d ( acb acd + bda + bdc + (a c b d = 0 ac(a + c bd(b + d + ac(b + d bd(a + c + (ac bd(ac + bd = 0 (ac bd(a + b + c + d (ac bd(ac + bd = 0 (ac bd((a c + (b d = 0 ac = bd ou (a = c e b = d Não é possível termos a = c e b = d pois já vimos que ad bc. Logo as áreas de P e P D são iguais se, e somente se, ac = bd. geometria analítica tem uma pequena desvantagem: não passa de aplicações extensivas do teorema de Pitágoras. pesar de Pitágoras resolver problemas como o que acabamos de ver, mesclar um pouco as contas com trigonometria e números complexos pode vir a calhar. gora, alguns problemas para você pensar. 0. Seja um triângulo acutângulo, M o ponto médio do segmento, P o ponto sobre o segmento M tal que P M = M, H o pé da perpendicular de P a, Q o ponto de interseção entre o segmento

13 e a reta que passa através de H e é perpendicular a P e, finalmente, R o ponto de interseção entre o segmento e a reta que passa através de H e é perpendicular a P. Mostre que o circuncírculo do triângulo QHR é tangente a no ponto H. 03. No triângulo, =. D é um ponto sobre o lado tal que D = D. Se P é o ponto de D tal que P = P, prove que DP =. 04. Um quadrilátero convexo está inscrito em uma circunferência de raio unitário. Demonstre que a diferença entre seu perímetro e a soma das diagonais é maior do que zero e menor do que. 05. (IMO O prolongamento da bissetriz L do triângulo acutângulo intercepta a circunferência circunscrita no ponto N. partir do ponto L traçam-se perpendiculares LK e LM aos lados e, respectivamente. Prove que a área do triângulo é igual a área do quadrilátero KNM. 06. (Ibero circunferência inscrita no triângulo é tangente aos lados, e nos pontos D, E e F, respectivamente. D corta a circunferência num segundo ponto Q. Demonstrar que a reta EQ passa pelo ponto médio de F se, e somente se, =. 07. (IMO Seja I o incentro do triângulo. circunferência inscrita no triângulo é tangente aos lados, e nos pontos K, L e M, respectivamente. reta que passa por, paralela ao segmento MK, intercepta as retas LM e LK nos pontos R e S, respectivamente. Prove que o ângulo RIS é agudo. 08. (Vietnã Seja um triângulo e,, pontos médios dos arcos, e do circuncírculo de, respectivamente. s retas e interceptam o lado em M e N, respectivamente. Defina os pares de pontos P, Q e R, S analogamente. Prove que MN = P Q = RS se, e somente se, é equilátero. 09. (IMO Seja um triângulo acutângulo com circuncentro O. Seja P uma altura do triângulo com P no lado. onsidere que Prove que + OP < (IMO Num triângulo, seja P a bissetriz de com P no lado, e seja Q a bissetriz de com Q no lado. Sabemos que = 60 e que + P = Q + Q. Quais são os possíveis valores dos ângulos do triângulo? 11. (oréia Sejam R e r o circunraio e o inraio, respectivamente, do triângulo, e R e r o circunraio e o inraio, respectivamente, do triângulo. Prove que se = e Rr = R r então os triângulos são semelhantes. 1. (Turquia Sejam e P a área e o perímetro, respectivamente, do quadrilátero cíclico. Se a área e o perímetro do quadrilátero cujos lados são tangentes ao circuncírculo de são T e P T, respectivamente, prove que ( P T P T 13. (EU Seja D um trapézio isósceles com // D. O incírculo do triângulo D toca D em E. Seja F um ponto da bissetriz de D tal que EF D. O circuncírculo do triângulo F corta a reta D em e G. Mostre que o triângulo F G é isósceles. 14. (alcânica, adaptado Seja um triângulo acutângulo e M, N e P as projeções ortogonais do baricentro de sobre seus lados. Prove que ([XY Z] é a área do triângulo XY Z 9 < [MNP ] 1 [] 4

14 15. (Ibero Dados dois círculos ω 1 e ω, dizemos que ω 1 bissecta ω quando se intersectam e a corda comum é um diâmetro de ω. Se ω 1 e ω são idênticas, dizemos que ω 1 e ω bissectam-se mutuamente. onsidere dois círculos fixos e não concêntricos ω 1 e ω. (a Mostre que há infinitos círculos ω que bissectam tanto ω 1 como ω. (b Encontre o lugar geométrico do centro de ω. 16. (Ibero Seja um triângulo acutângulo com circuncírculo ω centrado em O. Seja D, E e F as alturas de. reta EF corta ω em P e Q. (a Prove que O P Q. (b Se M é o ponto médio de, prove que P = D OM 17. (São Petersburgo Seja L uma bissetriz interna do triângulo, com L sobre. s retas paralelas l 1 e l passam por e, respectivamente, e são equidistantes de. Os pontos M e N pertencem a l 1 e l, respectivamente, e são tais que os pontos médios de LM e LN pertencem a e, respectivamente. Prove que LM = LN.