Ordem dos Engenheiros Colégio de Engenharia Geográfica. Alguns factos pouco conhecidos sobre a estimação do desvio padrão

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1 Ordem dos Egeheiros Colégio de Egeharia Geográfica Algus factos pouco cohecidos sobre a estimação do desvio padrão João M. M. Casaca Membro Coselheiro

2 Resumo Ceários A distribuição do desvio padrão Gráficos da FDP e simulação de amostras Fórmula de Bayes-Laplace A abordagem ão iformativa de Laplace A distribuição posterior do desvio padrão Gráficos da FDP posterior Exemplo: a base de teste de DEM do LNEC Total: 0 slides

3 Ceários cosiderados Amostra aleatória ormal (iid): C (AAN) (X,,X ) X i N(µ,σ ) σ desvio padrão da população Modelo de Gauss-Markov: C (MGM) B(m,)β(,) y(m,) + ε(m,) ε N(µ(m,), σ Σ(m,m)) σ desvio padrão do modelo B matriz do modelo β vector dos coeficietes do modelo y vector das gradezas observáveis ε vector ruído

4 Amostra aleatória ormal iid FDP cojuta e verosimilhaça (likelihood) da amostra: f(x, K, x µ, σ f(x, s µ, σ ) L( µ, σ x, s ) ) πσ exp s + (x σ µ ) Máximo da verosimilhaça: Correcção de Bessel: i) x ii) s i x i i (x i x) E(s E ) σ s s CB σ

5 Modelo liear de Gauss-Markov FDP e verosimilhaça do vector das observações: f(y B, β, σ L( β, σ B, ) y) (π) m σ m exp (y Bβ) T Σ σ (y Bβ) Máximo da verosimilhaça: i) β (B T Σ B) B T Σ y; ii) s m (y Bβ) T Σ (y Bβ) m v T Σ v Correcção de Bessel: E(s ) m m σ E m m s s CB σ

6 A distribuição do desvio padrão empírico A FDP do DP empírico (s) codicioada pelo DP da população (σ) e pelo úmero de graus de liberdade (ν): f(s σ, ν) ω ν / s ( ν / ) ν Γ( ν / ) exp ω s S s f(s σ)ds m ω ω i) AAN σ ii) MGM σ ν ν m Moda e valor esperado: i) M(s) ν ω ii) E(s) ω Γ(( ν + ) / Γ( ν / ) )

7 A correcção de excetricidade (CE) O desvio padrão empírico (s) deve sofrer uma correcção de excetricidade: s s CE CE s s CE CE s s Γ(( ) / ) (AAN) Γ(/ ) m Γ((m ) / ) Γ ((m ) / ) (MGM) CE CB CE CB,783,44 7,6,080 3,38,5 8,08,069 4,53,55 9,094,06 5,89,8 0,084,054 6,5,095 50,05,00

8 FDP do DP da amostra (s) ( 5, σ ) (M,55, E,68, DP 0,6)

9 Amostra pseudo-aleatória de desvios padrão empíricos 30 DPE ( 5, σ, MODA,55, média da amostra,53) Desta ão estava eu à espera! ,0 0,5,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0

10 FDP do DP da amostra (s) ( 30, σ ) (M,93, E,95, DP 0,6)

11 Amostra pseudo-aleatória de desvios padrão empíricos 0 DPE ( 30, σ, MODA,93, média da amostra,93) Assim está melhor! 0,0 0,5,0,5,0,5

12 A evolução do pitecatropo e o recurso aos métodos Bayesiaos

13 A fórmula de Bayes-Laplace Relacioa a FDP posterior com a FDP aterior (prior) do parâmetro θ Θ (espaço de parâmetros). p( θ x) L( θ x)h( θ) L( θ x)h( θ)dθ 4 Θ costate L( θ x)h( θ) f(x θ) L(θ x) f(x θ) h(θ) p(θ x) FDP da amostra (x) codicioada por θ Verosimilhaça do parâmetro θ, dada a amostra (x) FDP aterior do parâmetro θ FDP posterior de θ, dada a amostra (x)

14 A FDP aterior de Laplace Quado ão dispuha de iformação aterior sobre o parâmetro, Laplace tomava h(θ) costate e trasformava a verosimilhaça a FDP posterior do parâmetro. p( θ x) Θ L( θ L( θ x) x)dθ L( θ x) h(θ) p(θ x) FDP aterior de Laplace FDP posterior de θ (verosimilhaça ormalizada) Os máximos da FDP posterior de Laplace são iguais aos máximos da verosimilhaça. As regiões de erro são diferetes.

15 A distribuição posterior do DP da população A FDP posterior de Laplace do DP da população (σ) pode ser expressa a forma: p( σ a,b) b a Γ( ν / ) σ exp b a + σ Θ L(θ x)dθ i) AAN a b ν s ii) MGM a b ν ms Moda e valor esperado: i)m( σ) b a + ii)e( σ) b Γ((a ) Γ(a) / )

16 A moda da FDP posterior de Laplace Moda da FDP do DP empírico (s): ( l(l(θ))/ θ θ) 0 i)m(s) σ ; AAN m ii)m(s) σ m 3 MGM Moda da FDP posterior de Laplace do DP da população (σ): i)m( σ) s ; AAN m ii)m( σ) s 444 m MGM

17 FDP posterior de Laplace do DP da população (σ) ( 5, s,53) (M,96, E 3,98, DP 3,60)

18 FDP posterior de Laplace do DP da população (σ) ( 30, s,89) (M,96, E,05, DP 0,9)

19 Exemplo: A base para teste de DEM do LNEC Cico PE com cetragem forçada e boa fudação a distâcias etre 5 m e 75 m. Esaios de um DEM Leica TC003 (orma ISO). DP (s) 00 0,34 mm 0 0,5 mm 0 0,4 mm 04 0, mm 04 0,7 mm 04 0,4 mm Moda da posterior cojuta de Laplace M(σ) 0,43 mm m k s i i k(m )

20 Coclusões Recomeda-se a utilização da FDP posterior de Laplace para estimar o desvio padrão da população (σ) a partir do desvio padrão empírico (s). No caso de amostras de tamaho médio ou grade, ou de modelos com um úmero médio ou grade de graus de liberdade, a estimação covecioal é satisfatória embora teda a subestimar o desvio padrão da população. No caso de amostras de tamaho pequeo, ou de modelos com poucos graus de liberdade, é importate estimar o desvio padrão da população com a FDP posterior de Laplace. o Casaca, J. (05). A Distribuição do Desvio Padrão Empírico. LNEC, Série ICT, INCB. o Casaca, J. (0). Aálise de Regressão Multivariada: Uma Perspectiva Bayesiaa. LNEC, Série ICT, INCB 8. o Casaca, J. (0). Itrodução à Aálise Bayesiaa. LNEC, Série ICT, INCB 6.