Aula 00. Matemática p/ Banco da Amazônia - Técnico Bancário Professores: Arthur Lima, Luiz Gustavo Dantas Gonçalves DEMO

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1 Aula 00 Matemática p/ Banco da Amazônia - Técnico Bancário Professores: Arthur Lima, Luiz Gustavo Dantas Gonçalves

2 ! #! AULA 00 (demonstrativa) SUMÁRIO PÁGINA 1. Apresentação Análise do edital e da banca examinadora Resolução de questões da CESGRANRIO Questões apresentadas na aula Gabarito APRESENTAÇÃO Seja bem-vindo a este curso de MATEMÁTICA, desenvolvido para auxiliar a sua preparação para o próximo concurso de Técnico Bancário do Banco da Amazônia S.A. (BASA). Este curso é integralmente baseado no edital recémpublicado, cujas provas serão aplicadas pela banca CESGRANRIO em 27/09/2015. Neste curso você terá: - 52 blocos de aulas em vídeo (aprox. 30 minutos cada) sobre os todos os tópicos teóricos do último edital, onde também resolvo alguns exercícios introdutórios para você começar a se familiarizar com os assuntos; - 10 aulas escritas (em formato PDF) onde explico todo o conteúdo teórico do último edital, além de apresentar cerca de 600 (seiscentas) questões resolvidas e comentadas, com destaque para aqueles recentes da CESGRANRIO; - fórum de dúvidas, onde você pode entrar em contato direto comigo diariamente. Sou Engenheiro Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), e trabalhei por 5 anos no mercado de aviação, até ingressar no cargo de Auditor- Fiscal da Receita Federal do Brasil (também fui aprovado para Analista da RFB). Sou professor aqui no Estratégia Concursos desde o primeiro ano do site. Caso você queira tirar alguma dúvida comigo antes de adquirir o curso, escreva para ProfessorArthurLima@hotmail.com, ou me procure pelo meu novo Facebook (

3 ! #! 2. ANÁLISE DO EDITAL E DA BANCA EXAMINADORA A CESGRANRIO aplicou concursos recentes para o Banco da Amazônia, em especial as provas de Técnico Bancário de 2013 e de Técnico Científico de Além disso, essa banca aplicou outros concursos bancários importantes, como o último concurso do Banco do Brasil, realizado em 2015, e concursos mais antigos deste banco em 2014, 2012 e Embora o conteúdo cobrado nesses certames não seja exatamente igual, ao cobrado para a prova do BASA 2015, o estudo dessas provas anteriores nos ajuda a entender bem o estilo de cobrança da CESGRANRIO e tentar vislumbrar o que devemos estudar com mais cuidado para a sua prova. É interessante notar que o conteúdo proposto no seu edital não contempla apenas Matemática, como é o nome da disciplina. Trata-se de um conteúdo bastante extenso, que pode ser dividido assim: - Tópicos de Matemática do ensino médio: 1 - Números inteiros, racionais e reais. 2 - Sistema legal de medidas. 3 - Razões e proporções. 4 - Divisão proporcional. 5 - Regras de três simples e compostas. 6 - Percentagens. 7 - Equações e inequações de 1.º e de 2.º graus. 8 Sistemas de equações do 1º grau. 9 - Funções e gráficos Progressões aritméticas e geométricas Funções exponenciais e logarítmicas. - Tópicos de Matemática Financeira (como é de se esperar, afinal trata-se de um concurso bancário): 12 - Juros simples e compostos: capitalização e descontos Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente Rendas uniformes e variáveis Planos de amortização de empréstimos e financiamentos Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento Avaliação de alternativas de investimento Taxas de retorno, taxa interna de retorno. - Tópicos de Estatística: 19 - Análise e interpretação de tabelas e gráficos estatísticos Variância, desvio padrão, média, mediana e moda. Para cobrir este conteúdo, nosso curso será dividido em 10 aulas, além desta aula demonstrativa. São elas:!

4 ! #! Aula 00 demonstrativa (vídeos + pdf) Aula 01 - Números inteiros, racionais e reais. Percentagens. (vídeos + pdf) Aula 02 - Razões e proporções. Divisão proporcional. Regras de três simples e compostas. (vídeos + pdf) Aula 03 - Juros simples e compostos: capitalização e descontos. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. (vídeos + pdf) Aula 04 - Continuação da aula anterior (descontos) (vídeos + pdf) Aula 05 - Planos de amortização de empréstimos e financiamentos. (vídeos + pdf) Aula 06 - Rendas uniformes e variáveis. Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento. Avaliação de alternativas de investimento. Taxas de retorno, taxa interna de retorno. (vídeos + pdf) Aula 07 - Sistema legal de medidas. Equações e inequações de 1.º e de 2.º graus. Sistemas de equações do 1º grau. Funções e gráficos. Progressões aritméticas e geométricas. Funções exponenciais e logarítmicas. (vídeos + pdf) Aula 08 - Análise e interpretação de tabelas e gráficos estatísticos. Variância, desvio padrão, média, mediana e moda. (vídeos + pdf) Aula 09 - Bateria de questões recentes da CESGRANRIO (somente pdf) Aula 10 - Resumo teórico (somente pdf) Reitero que você terá acesso também a um grande volume de aulas em vídeo sobre todos os temas trabalhados, visando permitir que você diversifique o seu estudo. DICA FORTE: você tem muita dificuldade ou perde muito tempo com cálculos matemáticos envolvendo casas decimais, divisões, potências, frações etc? Conheça meu curso de Matemática para Iniciantes, formado por 8 horas de video-aulas sobre esses tópicos mais básicos, bem como uma série de dicas para agilizar a manipulação de números. Assim você conseguirá aproveitar ainda mais este curso para o Banco da Amazônia. Veja o vídeo demonstrativo em: Sem mais, vamos a um breve aquecimento!!!!

5 3. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DA CESGRANRIO! #! Nesta aula demonstrativa vamos resolver juntos questões variadas da CESGRANRIO relativas aos tópicos de matemática financeira do seu edital. Com isso você terá uma visão geral do que costuma ser cobrado pela banca, e em que nível de dificuldade. É natural que tenha dificuldade em resolver as questões nesse momento, afinal ainda não vimos os tópicos teóricos correspondentes. Ao longo das próximas aulas voltaremos a essas questões em momentos oportunos, para que você verifique o seu aprendizado. 1. CESGRANRIO BANCO DO BRASIL 2015) Arthur contraiu um financiamento para a compra de um apartamento, cujo valor à vista é de 200 mil reais, no Sistema de Amortização Constante (SAC), a uma taxa de juros de 1% ao mês, com um prazo de 20 anos. Para reduzir o valor a ser financiado, ele dará uma entrada no valor de 50 mil reais na data da assinatura do contrato. As prestações começam um mês após a assinatura do contrato e são compostas de amortização, juros sobre o saldo devedor do mês anterior, seguro especial no valor de 75 reais mensais fixos no primeiro ano e despesa administrativa mensal fixa no valor de 25 reais. A partir dessas informações, o valor, em reais, da segunda prestação prevista na planilha de amortização desse financiamento, desconsiderando qualquer outro tipo de reajuste no saldo devedor que não seja a taxa de juros do financiamento, é igual a (A) 2.087,25 (B) 2.218,75 (C) 2.175,25 (D) 2.125,00 (E) 2.225,00 Como será dada uma entrada de 50 mil reais, o saldo devedor inicial é VP = = reais. Esse valor será financiado durante 20 anos, ou 20x12 = 240 meses. Desse modo, o valor da amortização mensal é igual a:] A = VP / n A = / 240!

6 ! #! A = 625 reais Após pagar a primeira prestação, o saldo devedor cai para = reais. Durante o segundo mês saldo devedor rende juros de 1 por cento: J = 1% x = 0,01 x = 1.493,75 reais A segunda prestação é dada pela soma: P = juros + amortização + seguro + despesa administrativa P = 1.493, P = 2.218,75 reais Resposta: B 2. CESGRANRIO BANCO DO BRASIL 2015) Um microempresário precisa aumentar seu capital de giro e resolve antecipar 5 cheques de reais cada um, todos com data de vencimento para dali a 3 meses. O gerente do banco informa que ele terá exatamente dois custos para realizar a antecipação, conforme descritos a seguir. Custo 1 Um desconto sobre o valor dos cheques a uma taxa de 4% ao mês. Esse desconto será diretamente proporcional ao valor dos cheques, ao tempo de antecipação e à taxa de desconto anunciados. Custo 2 Custos operacionais fixos de 500 reais para antecipações de até 100 mil reais. Assim, comparando o valor de fato recebido pelo microempresário e o valor a ser pago após 3 meses (valor total dos cheques), o valor mais próximo da taxa efetiva mensal cobrada pelo banco, no regime de juros compostos, é de!

7 ! #! (A) 5,2% (B) 4,5% (C) 4,7% (D) 5,0% (E) 4,3% A soma dos valores dos cinco cheques é igual a 50 mil reais. Foi aplicado um desconto proporcional ao tempo de antecipação e à taxa de desconto. Essa proporcionalidade acontece no regime de desconto simples. Mais do que isso, devemos usar o regime de desconto comercial simples, por se tratar de uma operação bancária. Assim: A = N x (1 - j x t) A = x (1-4%x3) A = x 0,88 A = reais Ainda foi preciso pagar a taxa de 500 reais, e o empresário recebeu apenas = reais. Para calcular a taxa efetiva no regime composto, devemos considerar a operação de desconto racional composto, onde o valor nominal é N = reais, o valor líquido é A = reais, e o prazo é t = 3 meses. Logo, N = A x (1 + j) t!

8 ! #! = x (1 + j) / = (1 + j) 3 1,149 = (1 + j) 3 Na tabela, veja que 1,047 3 = 1,148. Isto é, (1 + 0,047) 3 = 1,148 (1 + 4,7%) 3 = 1,148 Portanto, 1,149 é aproximadamente (1 + 4,7%) 3, de modo que j é aproximadamente 4,7%. Resposta: C 3. CESGRANRIO BANCO DO BRASIL 2015) Uma conta de R$ 1.000,00 foi paga com atraso de 2 meses e 10 dias. Considere o mês comercial, isto é, com 30 dias; considere, também, que foi adotado o regime de capitalização composta para cobrar juros relativos aos 2 meses, e que, em seguida, aplicou-se o regime de capitalização simples para cobrar juros relativos aos 10 dias. Se a taxa de juros é de 3% ao mês, o juro cobrado foi de (A) R$ 64,08 (B) R$ 79,17 (C) R$ 40,30 (D) R$ 71,51 (E) R$ 61,96 Para os 2 meses onde houve capitalização composta, temos: M = C x (1+j) t M = x (1+3%) 2!

9 ! #! M = x (1,03) 2 M = x 1,0609 M = 1.060,90 reais Este valor é capitalizado, pelo regime simples, pelos 10 dias restantes, ou seja, 10/30 = 1/3 de mês. Logo, M final = 1.060,90 x (1+3%x1/3) M final = 1.060,90 x (1+1%) M final = 1.060,90 x (1,01) M final = 1.071,51 reais Resposta: D Assim, os juros totalizam 1.071, = 71,51 reais. 4. CESGRANRIO BANCO DO BRASIL 2015) Em um período no qual a inflação acumulada foi de 100%, R$ ,00 ficaram guardados em um cofre, ou seja, não sofreram qualquer correção. Nessas condições, houve uma desvalorização dos R$10.000,00 de (A) 1/4 (B) 1/2 (C) 2/3 (D) 3/4 (E) 1 Veja que temos uma inflação de i = 100%, e o rendimento nominal (ou aparente) do capital foi j n = 0%, afinal não houve qualquer correção. Assim, o ganho real é:!

10 ! #! (1 + j real ) = (1 + j n ) / (1 + i) (1 + j real ) = (1 + 0%) / ( %) (1 + j real ) = 1 / (1 + 1) (1 + j real ) = 1/2 j real = 1/2 1 j real = -1/2 = -50% Portanto, a desvalorização foi de ½, ou de 50% (o sinal negativo indica desvalorização). Resposta: B 5. CESGRANRIO TJ/RO 2008) Um investidor que aplicou um capital durante 25 meses, à taxa de juros simples de 2,0% ao mês, resgatou, no final da operação, R$25.000,00 de juros. Qual o valor, em reais, aplicado por esse investidor? (A) ,00 (B) ,00 (C) ,00 (D) ,00 (E) ,00 Aqui foi dito que os juros totais da aplicação é J = (e não o montante final M!). A taxa de juros é j = 2% ao mês, e o prazo de aplicação é t = 25 meses. Na fórmula de juros simples, temos: M = C (1 + j t) que é igual a: M = C + C j t Nessa última fórmula, vemos que o Montante final (M) é formado pela soma de duas parcelas: o capital inicial C e os Juros totais ( J = C j t ). Portanto, podemos dizer que:!

11 J = C j t! #! = C 0,02 25 C = O capital inicial C, isto é, o valor aplicado inicialmente pelo investidor, foi de R$50.000,00. Resposta: D 6. CESGRANRIO ANP 2008) A Empresa Mar Aberto Ltda. realizou uma aplicação de R$ ,00 pelo prazo de 3 meses, obtendo uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. O valor que a empresa vai resgatar no vencimento da aplicação, em reais, será (A) ,08 (B) ,00 (C) ,34 (D) ,34 (E) ,56 O enunciado nos diz que um capital inicial C = foi aplicado pelo prazo t = 3 meses a uma taxa de juros j = 2% ao mês. Note que a taxa de juros e o prazo já estão na mesma unidade temporal (meses). Através da fórmula de juros compostos, podemos obter o montante final M: t M = C (1 + j) M = (1+ 0,02) 3 M = (1,02) 3 M = (1,02) (1,02) (1,02) M = , M = 10612,08 Portanto, o valor a ser resgatado ao final do prazo de 3 meses é de R$10.612,08. Resposta: A!

12 ! #! 7. CESGRANRIO TJ/RO 2008) Um capital de R$ ,00, aplicado por 6 meses, obtém um montante de R$ ,33. A taxa mensal de juros compostos, aplicada neste caso, foi (A) 1,137% (B) 1,933% (C) 2,005% (D) 2,222% (E) 2,500% Aqui temos um capital inicial C = aplicado pelo prazo t = 6 meses, obtendo montante M = 28992,33. Assim, na fórmula de juros compostos temos: t M = C (1 + j) 28992,33 = (1 + j ) ,33 = (1 + j ) ,15969 = (1 + j) 6 6 Até aqui a conta é relativamente fácil. Em algumas provas, será fornecida uma tabela com valores de (1 + j ) t para diversos valores de j e de t. Com isso, bastaria encontrar o valor mais próximo de 1,15969 na tabela e obter o valor de j, dado que t = 6. Nessa prova isso não aconteceu. Aqui, a solução é testar as alternativas de resposta. Mas não vamos testar qualquer uma. Veja que 1,1596 significa um rendimento de 15,96% de juros. Dividindo por 6, teríamos aproximadamente 2,66% de juros por mês, se estivéssemos trabalhando com juros simples. Esta é uma boa aproximação da resposta, pois o prazo (6 meses) não é muito longo, de modo que juros simples ou compostos ficam muito próximos. Vamos testar a alternativa 2,5% (letra E), que mais se aproxima deste valor: 6 6 (1 + j ) = (1+ 2,5%) = 1,025 1,025 1,025 1,025 1,025 1,025 = 1,1596 Veja que chegamos ao valor que queríamos. Portanto, a taxa de juros compostos é de j = 2,50%. Resposta: E!

13 8. CESGRANRIO TRANSPETRO 2011)! #! A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente, monta a: (A) 12,68% (B) 12,75% (C) 12,78% (D) 12,96% (E) 13,03% Temos uma taxa anual com capitalização mensal. Basta dividi-la por 12 para obter a taxa efetiva, uma vez que temos 12 meses em 1 ano. Assim, 12% ao ano, capitalizada mensalmente, corresponde à taxa efetiva de 1% ao mês. Para obter o valor da taxa anual equivalente a esta, basta lembrarmos que, após o mesmo período (1 ano, ou 12 meses) as duas taxas devem levar o mesmo capital inicial C ao mesmo montante final M: t M = C (1 + j) = C (1 + j ) eq eq C C j eq 12 1 (1 + 1%) = (1 + ) Observe que na fórmula da esquerda temos a taxa mensal (1%) e o tempo em meses (12), já na da direita temos a taxa anual equivalente (j eq ) e o tempo em anos (1). Cortando a variável C, temos: 12 (1 + 1%) = (1 + jeq) j eq = 12 (1, 01) 1 Para auxiliar as nossas contas, o exercício disse que (1,01) 11 = 1,1157. Basta multiplicarmos este valor por 1,01 e teremos (1,01) 12 : Assim, 12 (1,01) = 1, 01 1,1157 = 1,1268 t!

14 ! #! jeq = = = = 12 (1,01) 1 1, , ,68% a. a. Resposta: A 9. CESGRANRIO PETROBRÁS 2011) Uma aplicação financeira é realizada em período com inflação de 2,5%. Se a taxa real foi de 5,6%, a taxa aparente da aplicação no período foi de (A) 3,02% (B) 3,10% (C) 8,10% (D) 8,24% (E) 8,32% Para resolver esta questão, podemos usar a fórmula que relaciona a taxa nominal (aparente) j n com a taxa real j real e a inflação j inflação : (1 + jn ) = (1 + jreal ) (1 + j ) inflação (1 + j ) = (1 + j ) (1 + j ) n real inflação (1 + j n ) = (1 + 5,6%) (1 + 2,5%) (1 + j ) = 1,056 1,025 = 1,0824 j n n = 0, 0824 = 8, 24% Portanto, se tivemos um ganho real de 5,6% em um período onde a inflação foi de 2,5%, então o rendimento aparente do nosso investimento foi de 8,24%. Resposta: D 10. CESGRANRIO TRANSPETRO 2011) A taxa anual equivalente à taxa composta trimestral de 5% é (A) 19,58% (B) 19,65% (C) 19,95% (D) 20,00% (E) 21,55%!

15 ! #! Aplicando o capital C ao longo de 1 ano (t = 4 trimestres) à taxa de 5% ao trimestre, temos o seguinte montante: t 4 M = C (1 + j) = C (1 + 0,05) M = C 1, 2155 A taxa anual equivalente (j eq ), que leva o mesmo capital C ao montante final Cx1,2155, após o mesmo período (t = 1 ano), é: Resposta: E M = C (1 + j ) eq C 1, 2155 = C (1 + j ) 1, 2155 = (1 + j ) j eq eq = 0, 2155 = 21,55% 1 1 eq CESGRANRIO BNDES 2011) Uma empresa precisa solicitar um empréstimo de R$ ,00 e, para tal, fez uma pesquisa de mercado entre cinco instituições financeiras. Qual das taxas de juros nominais abaixo representa a melhor alternativa para a empresa, considerando que a dívida será amortizada, em um único pagamento, quatro meses após a contratação do empréstimo, em regime de juros simples? (A) 12% ao ano com capitalização mensal (B) 24% ao ano com capitalização bimensal (C) 9% ao semestre com capitalização bimensal (D) 12% ao semestre com capitalização mensal (E) 4,5% ao trimestre com capitalização mensal Como estamos no regime de juros simples, fica fácil efetuar a análise. Neste regime, veremos que taxas de juros proporcionais (em relação ao tempo) são também equivalentes entre si. As alternativas A e B já apresentam taxas anuais (12%aa e 24%aa). Vejamos as taxas anuais correspondentes às letras C, D, e E:!

16 ! #! 9% ao semestre x 2 = 18% ao ano 12% ao semestre x 2 = 24% ao ano 4,5% ao trimestre x 4 = 18% ao ano Portanto, fica fácil visualizar que a taxa de 12% ao ano, presente na alternativa A, é a menor de todas, sendo a mais interessante para a empresa tomadora do empréstimo. Resposta: A Obs.: repare que, para confundir, a questão forneceu formas de capitalização diferentes em cada alternativa. Isto faria diferença se estivéssemos no regime de juros compostos, mas em nada influencia a resolução no regime de juros simples. 12. CESGRANRIO BNDES 2011) Considere uma nota promissória de valor nominal N e termo de 2 anos, emitida no dia de hoje. Qual deve ser a taxa aproximada de desconto mensal, a ser paga daqui a seis meses, para que o valor de resgate seja a metade do valor nominal, considerando o desconto racional simples? (A) 3,333% a.m. (B) 4,167% a.m. (C) 5,556% a.m. (D) 7,667% a.m. (E) 8,333% a.m. Um título de crédito, no caso uma nota promissória, possui um valor nominal ou de face (pois é o valor que nela está escrito) e um valor atual ou presente (que é quanto este título vale hoje, antes da data do seu vencimento). No regime de desconto racional simples, veremos que a relação entre o valor nominal (N), valor atual (A), taxa de desconto (j) e tempo para o vencimento do título (t) é:!

17 ! #! N = A x (1 + j x t) A questão nos diz que o vencimento ( termo ) do título é em 2 anos Daqui a 6 meses, estarão faltando ainda t = 18 meses para o vencimento do título. Se o valor atual A for a metade do valor nominal N, podemos dizer que A = 0,5N. Substituindo em nossa fórmula, temos: N = 0,5N x (1 + j x 18) 1 = 0,5 x (1 + 18j) 2 = j 1 = 18j j = 1/18 = 0,05556 = 5,556% ao mês Resposta: C 13. CESGRANRIO BNDES 2011) Uma nota promissória com valor nominal de R$ ,00 foi descontada em um banco 100 dias antes do vencimento, à taxa de desconto de 2% a.m., mais 5% sobre o valor nominal, a título de despesas bancárias. Considerando a sistemática de desconto bancário simples e ano comercial, o valor descontado é, aproximadamente, (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Considerando o mês comercial de 30 dias, podemos dizer que 100 dias correspondem a 100/30 meses, ou 10/3 meses. A fórmula do desconto comercial simples nos diz que a relação entre o valor nominal (N), valor atual (A), taxa de desconto (j) e tempo para o vencimento do título (t) é:!

18 ! #! A = N x (1 j x t) Assim, com N = reais, j = 2% ao mês e t = 10/3 meses, teríamos: A = x (1 2% x 10/3) Devemos fazer mais uma pequena alteração na fórmula para inserir o desconto de 5% sobre o valor nominal, a título de despesas bancárias: A = x (1 2% x 10/3) 5% x A = = reais Resposta: A Assim, o valor obtido com a operação de desconto é de R$ , CESGRANRIO BANCO DO BRASIL 2014) Uma empresa contraiu um financiamento para a aquisição de um terreno junto a uma instituição financeira, no valor de dois milhões de reais, a uma taxa de 10% a.a., para ser pago em 4 prestações anuais, sucessivas e postecipadas. A partir da previsão de receitas, o diretor financeiro propôs o seguinte plano de amortização da dívida: Ano 1 Amortização de 10% do valor do empréstimo; Ano 2 Amortização de 20% do valor do empréstimo; Ano 3 Amortização de 30% do valor do empréstimo; Ano 4 Amortização de 40% do valor do empréstimo. Considerando as informações apresentadas, os valores, em milhares de reais, das prestações anuais, do primeiro ao quarto ano, são, respectivamente, (A) 700, 650, 600 e 500 (B) 700, 600, 500 e 400 (C) 200, 400, 600 e 800!

19 (D) 400, 560, 720 e 860! #! (E) 400, 580, 740 e 880 O valor inicial do empréstimo é VP = reais. Ao longo do primeiro ano, este empréstimo rendeu juros de 10%, ou seja, J 1 = 10% x = reais No final deste primeiro ano, foi feita ainda uma amortização de 10% do valor do empréstimo, ou seja, A 1 = 10% x = reais seja, A primeira prestação é dada pela soma entre a amortização e os juros, ou P 1 = A 1 + J 1 P 1 = = reais Como foram amortizados reais, o saldo devedor caiu para: SD = = reais Durante o segundo ano, este saldo devedor rendeu juros de 10%: J 2 = 10% x = reais é: E no segundo ano houve a amortização de 20% do valor do empréstimo, isto A 2 = 20% x = reais Portanto, a segunda prestação foi:!

20 ! #! P 2 = A 2 + J 2 = = reais Como foram amortizados reais, o saldo devedor caiu para: SD = = reais Durante o terceiro ano, este saldo devedor rendeu juros de 10%: J 3 = 10% x = reais é: E no terceiro ano houve a amortização de 30% do valor do empréstimo, isto A 3 = 30% x = reais Portanto, a segunda prestação foi: P 3 = A 3 + J 3 = = reais Como foram amortizados reais, o saldo devedor caiu para: SD = = reais Durante o quarto ano, este saldo devedor rendeu juros de 10%: J 4 = 10% x = reais E no quarto ano houve a amortização de 40% do valor do empréstimo, isto é: A 4 = 40% x = reais Portanto, a quarta prestação foi: P 4 = A 4 + J 4 = = reais!

21 ! #! Com isso, repare que a dívida foi zerada, pois havia um saldo devedor SD = reais e foram amortizados exatamente A 4 = reais. Portanto, as prestações são exatamente aquelas da alternativa E: (E) 400, 580, 740 e 880 Resposta: E 15. CESGRANRIO BANCO DO BRASIL 2014) Um cliente contraiu um empréstimo, junto a um banco, no valor de R$ ,00, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, com prazo de 2 trimestres, contados a partir da liberação dos recursos. O cliente quitou a dívida exatamente no final do prazo determinado, não pagando nenhum valor antes disso. Qual o valor dos juros pagos pelo cliente na data da quitação dessa dívida? (A) R$ 5.300,00 (B) R$ 2.650,00 (C) R$ 1.250,00 (D) R$ 1.640,00 (E) R$ 2.500,00 Temos um empréstimo de valor inicial C = reais, com taxa de juros j = 4% ao mês, e prazo de 2 trimestres, ou seja, t = 6 meses (pois cada trimestre tem 3 meses). O montante final desta dívida, no final do prazo, é dado pela fórmula de juros compostos: M = C x (1 + j) t!

22 ! #! M = x (1 + 4%) 6 M = x (1 + 0,04) 6 M = x (1,04) 6 Repare que a tabela fornecida no enunciado disse que o valor aproximado de (1,04) 6 é 1,265. Fazendo essa substituição na equação acima, temos: M = x 1,265 M = reais Portanto, ao final do prazo a dívida era de R$25.300,00. Portanto, o valor dos juros pagos pelo cliente na data da quitação dessa dívida é: J = M C J = J = reais Resposta: A 16. CESGRANRIO BANCO DO BRASIL 2014) Apenas três equipes participaram de uma olimpíada estudantil: as equipes X, Y e Z. A Tabela a seguir apresenta o número de medalhas de ouro, de prata e de bronze obtidas por essas equipes. De acordo com os critérios adotados nessa competição, cada medalha dá a equipe uma pontuação diferente: 4 pontos por cada medalha de ouro, 3 pontos por cada medalha de prata e 1 ponto por cada medalha de bronze. A classificação final das equipes é dada pela ordem decrescente da soma dos pontos de cada equipe, e a!

23 ! #! equipe que somar mais pontos ocupa o primeiro lugar. Qual foi a diferença entre as pontuações obtidas pelas equipes que ficaram em segundo e em terceiro lugares? (A) 6 (B) 5 (C) 1 (D) 2 (E) 4 A regra de pontuação é: - 4 pontos por cada medalha de ouro, - 3 pontos por cada medalha de prata - 1 ponto por cada medalha de bronze Com base na tabela, podemos calcular a pontuação de cada equipe: Equipe X = (4 x 3) + (3 x 4) + (1 x 2) = 26 Equipe Y = (4 x 1) + (3 x 6) + (1 x 8) = 30 Equipe Z = (4 x 0) + (3 x 9) + (1 x 5) = 32 Assim, a equipe Z foi a primeira, Y foi a segunda e X a terceira colocada. A diferença entre as pontuações obtidas pelas equipes que ficaram em segundo (Y) e em terceiro (X) é: Diferença = = 4 pontos Resposta: E 17. CESGRANRIO BANCO DA AMAZÔNIA 2013) Um empréstimo deverá ser pago em quarenta e nove prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação trinta dias após a liberação do dinheiro. O financiamento foi feito pelo!

24 ! #! Sistema de Amortização Constante, SAC, com taxa mensal de juros de 1%. Se a vigésima quinta prestação é de R$ 5.000,00, o saldo devedor, em reais, após o pagamento da quadragésima oitava prestação é de (A) (B) (C) (D) (E) Seja VP o valor inicial da dívida, de modo que a amortização mensal é: A = VP/n = VP/49 Após 24 pagamentos, o saldo devedor caiu para: SD = VP 24 x VP/49 SD = 49VP/49 24VP/49 SD = 25VP/49 Este saldo renderá juros de 1% no 25º mês: J 25 = 0,01 x (25VP/49) = 0,25VP/49 Assim, a 25ª prestação será: P = A + J P = VP/49 + 0,25VP/49 P = 1,25VP/ = 1,25VP/ x 49 = 1,25VP 1000 x 49 = 0,25VP = 0,25VP 4 x = 4 x 0,25VP = VP Portanto, após o pagamento da 48ª prestação, restará como saldo devedor o valor da última amortização, que é: A = VP/n!

25 RESPOSTA: A! #! A = / 49 A = 4000 reais 18. CESGRANRIO BANCO DA AMAZÔNIA 2013) As capitalizações oferecidas por dois fundos de investimento foram simuladas por uma operadora financeira. A aplicação inicial em ambos os fundos foi a mesma. Na simulação, a capitalização no primeiro fundo de investimento durou 48 meses e se deu a juros mensais de 1%, no regime composto. No segundo fundo de investimento, a capitalização durou 24 meses apenas. A operadora buscava determinar qual deveria ser a taxa mensal de juros oferecida pelo segundo fundo, em regime composto, para, ao final dos 24 meses, gerar o mesmo montante gerado pelo primeiro ao final dos 48 meses. Essa taxa é de (A) 2% a.m. (B) 2,01% a.m. (C) 2,02% a.m. (D) 2,1% a.m. (E) 2,2% a.m. Precisamos descobrir a taxa que em 24 meses gera o mesmo montante que a taxa de um por cento ao mês gera em 48 meses. Ou seja, queremos saber a taxa equivalente. Podemos igualar: Montante 1 = Montante 2 M 1 = M 2 C x (1 + 1%) 48 = C x (1 + j) 24 (1 + 1%) 48 = (1 + j) 24 (1 + 1%) 24x2 = (1 + j) 24 Podemos tirar a raiz de 24º grau dos dois lados da igualdade anterior, ficando com: (1 + 1%) 2 = (1 + j) 1,01 2 = 1 + j 1,0201 = 1 + j j = 0,0201 = 2,01% ao mês!

26 RESPOSTA: B! #! 19. CESGRANRIO BANCO DA AMAZÔNIA 2013) Um refrigerador custa, à vista, R$ 1.500,00. Um consumidor optou por comprá-lo em duas parcelas. A loja cobra uma taxa mensal de juros (compostos) de 2%, atuante a partir da data da compra. O valor da primeira parcela, paga pelo consumidor 30 dias após a compra, foi de R$ 750,00. Um mês após o primeiro pagamento, o consumidor quitou sua dívida ao pagar a segunda parcela. Qual foi o valor da segunda parcela? (A) R$750,00 (B) R$765,00 (C) R$780,00 (D) R$795,60 (E) R$810,00 Durante o primeiro mês a dívida inicial de 1500 reais foi acrescida de juros de 2%, chegando a: 1500 x (1 + 2%) = 1530 reais Como o pagamento de 750 reais sobrou o saldo: = 780 reais Ao longo do segundo mês essa dívida sofreu juros de 2%, chegando ao valor: 780 x (1 + 2%) = 795,60 reais Esse é o valor do segundo pagamento para quitar a dívida. RESPOSTA: D *************************** Pessoal, por hoje, é só!! Vemo-nos na aula 01. Abraço, Arthur Lima (

27 4. QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA! #! 1. CESGRANRIO BANCO DO BRASIL 2015) Arthur contraiu um financiamento para a compra de um apartamento, cujo valor à vista é de 200 mil reais, no Sistema de Amortização Constante (SAC), a uma taxa de juros de 1% ao mês, com um prazo de 20 anos. Para reduzir o valor a ser financiado, ele dará uma entrada no valor de 50 mil reais na data da assinatura do contrato. As prestações começam um mês após a assinatura do contrato e são compostas de amortização, juros sobre o saldo devedor do mês anterior, seguro especial no valor de 75 reais mensais fixos no primeiro ano e despesa administrativa mensal fixa no valor de 25 reais. A partir dessas informações, o valor, em reais, da segunda prestação prevista na planilha de amortização desse financiamento, desconsiderando qualquer outro tipo de reajuste no saldo devedor que não seja a taxa de juros do financiamento, é igual a (A) 2.087,25 (B) 2.218,75 (C) 2.175,25 (D) 2.125,00 (E) 2.225,00 2. CESGRANRIO BANCO DO BRASIL 2015) Um microempresário precisa aumentar seu capital de giro e resolve antecipar 5 cheques de reais cada um, todos com data de vencimento para dali a 3 meses. O gerente do banco informa que ele terá exatamente dois custos para realizar a antecipação, conforme descritos a seguir. Custo 1 Um desconto sobre o valor dos cheques a uma taxa de 4% ao mês. Esse desconto será diretamente proporcional ao valor dos cheques, ao tempo de antecipação e à taxa de desconto anunciados. Custo 2 Custos operacionais fixos de 500 reais para antecipações de até 100 mil reais. Assim, comparando o valor de fato recebido pelo microempresário e o valor a ser pago após 3 meses (valor total dos cheques), o valor mais próximo da taxa efetiva mensal cobrada pelo banco, no regime de juros compostos, é de!

28 ! #! (A) 5,2% (B) 4,5% (C) 4,7% (D) 5,0% (E) 4,3% 3. CESGRANRIO BANCO DO BRASIL 2015) Uma conta de R$ 1.000,00 foi paga com atraso de 2 meses e 10 dias. Considere o mês comercial, isto é, com 30 dias; considere, também, que foi adotado o regime de capitalização composta para cobrar juros relativos aos 2 meses, e que, em seguida, aplicou-se o regime de capitalização simples para cobrar juros relativos aos 10 dias. Se a taxa de juros é de 3% ao mês, o juro cobrado foi de (A) R$ 64,08 (B) R$ 79,17 (C) R$ 40,30 (D) R$ 71,51 (E) R$ 61,96 4. CESGRANRIO BANCO DO BRASIL 2015) Em um período no qual a inflação acumulada foi de 100%, R$ ,00 ficaram guardados em um cofre, ou seja, não sofreram qualquer correção. Nessas condições, houve uma desvalorização dos R$10.000,00 de (A) 1/4 (B) 1/2 (C) 2/3 (D) 3/4 (E) 1!

29 ! #! 5. CESGRANRIO TJ/RO 2008) Um investidor que aplicou um capital durante 25 meses, à taxa de juros simples de 2,0% ao mês, resgatou, no final da operação, R$25.000,00 de juros. Qual o valor, em reais, aplicado por esse investidor? (A) ,00 (B) ,00 (C) ,00 (D) ,00 (E) ,00 6. CESGRANRIO ANP 2008) A Empresa Mar Aberto Ltda. realizou uma aplicação de R$ ,00 pelo prazo de 3 meses, obtendo uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. O valor que a empresa vai resgatar no vencimento da aplicação, em reais, será (A) ,08 (B) ,00 (C) ,34 (D) ,34 (E) ,56 7. CESGRANRIO TJ/RO 2008) Um capital de R$ ,00, aplicado por 6 meses, obtém um montante de R$ ,33. A taxa mensal de juros compostos, aplicada neste caso, foi (A) 1,137% (B) 1,933% (C) 2,005% (D) 2,222% (E) 2,500% 8. CESGRANRIO TRANSPETRO 2011)!

30 ! #! A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente, monta a: (A) 12,68% (B) 12,75% (C) 12,78% (D) 12,96% (E) 13,03% 9. CESGRANRIO PETROBRÁS 2011) Uma aplicação financeira é realizada em período com inflação de 2,5%. Se a taxa real foi de 5,6%, a taxa aparente da aplicação no período foi de (A) 3,02% (B) 3,10% (C) 8,10% (D) 8,24% (E) 8,32% 10. CESGRANRIO TRANSPETRO 2011) A taxa anual equivalente à taxa composta trimestral de 5% é (A) 19,58% (B) 19,65% (C) 19,95% (D) 20,00% (E) 21,55% 11. CESGRANRIO BNDES 2011) Uma empresa precisa solicitar um empréstimo de R$ ,00 e, para tal, fez uma pesquisa de mercado entre cinco!

31 ! #! instituições financeiras. Qual das taxas de juros nominais abaixo representa a melhor alternativa para a empresa, considerando que a dívida será amortizada, em um único pagamento, quatro meses após a contratação do empréstimo, em regime de juros simples? (A) 12% ao ano com capitalização mensal (B) 24% ao ano com capitalização bimensal (C) 9% ao semestre com capitalização bimensal (D) 12% ao semestre com capitalização mensal (E) 4,5% ao trimestre com capitalização mensal 12. CESGRANRIO BNDES 2011) Considere uma nota promissória de valor nominal N e termo de 2 anos, emitida no dia de hoje. Qual deve ser a taxa aproximada de desconto mensal, a ser paga daqui a seis meses, para que o valor de resgate seja a metade do valor nominal, considerando o desconto racional simples? (A) 3,333% a.m. (B) 4,167% a.m. (C) 5,556% a.m. (D) 7,667% a.m. (E) 8,333% a.m. 13. CESGRANRIO BNDES 2011) Uma nota promissória com valor nominal de R$ ,00 foi descontada em um banco 100 dias antes do vencimento, à taxa de desconto de 2% a.m., mais 5% sobre o valor nominal, a título de despesas bancárias. Considerando a sistemática de desconto bancário simples e ano comercial, o valor descontado é, aproximadamente, (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00!

32 (D) R$ ,00! #! (E) R$ , CESGRANRIO BANCO DO BRASIL 2014) Uma empresa contraiu um financiamento para a aquisição de um terreno junto a uma instituição financeira, no valor de dois milhões de reais, a uma taxa de 10% a.a., para ser pago em 4 prestações anuais, sucessivas e postecipadas. A partir da previsão de receitas, o diretor financeiro propôs o seguinte plano de amortização da dívida: Ano 1 Amortização de 10% do valor do empréstimo; Ano 2 Amortização de 20% do valor do empréstimo; Ano 3 Amortização de 30% do valor do empréstimo; Ano 4 Amortização de 40% do valor do empréstimo. Considerando as informações apresentadas, os valores, em milhares de reais, das prestações anuais, do primeiro ao quarto ano, são, respectivamente, (A) 700, 650, 600 e 500 (B) 700, 600, 500 e 400 (C) 200, 400, 600 e 800 (D) 400, 560, 720 e 860 (E) 400, 580, 740 e CESGRANRIO BANCO DO BRASIL 2014) Um cliente contraiu um empréstimo, junto a um banco, no valor de R$ ,00, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, com prazo de 2 trimestres, contados a partir da liberação dos recursos. O cliente quitou a dívida exatamente no final do prazo determinado, não pagando nenhum valor antes disso. Qual o valor dos juros pagos pelo cliente na data da quitação dessa dívida?!

33 ! #! (A) R$ 5.300,00 (B) R$ 2.650,00 (C) R$ 1.250,00 (D) R$ 1.640,00 (E) R$ 2.500, CESGRANRIO BANCO DO BRASIL 2014) Apenas três equipes participaram de uma olimpíada estudantil: as equipes X, Y e Z. A Tabela a seguir apresenta o número de medalhas de ouro, de prata e de bronze obtidas por essas equipes. De acordo com os critérios adotados nessa competição, cada medalha dá a equipe uma pontuação diferente: 4 pontos por cada medalha de ouro, 3 pontos por cada medalha de prata e 1 ponto por cada medalha de bronze. A classificação final das equipes é dada pela ordem decrescente da soma dos pontos de cada equipe, e a equipe que somar mais pontos ocupa o primeiro lugar. Qual foi a diferença entre as pontuações obtidas pelas equipes que ficaram em segundo e em terceiro lugares? (A) 6 (B) 5 (C) 1!

34 (D) 2! #! (E) CESGRANRIO BANCO DA AMAZÔNIA 2013) Um empréstimo deverá ser pago em quarenta e nove prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação trinta dias após a liberação do dinheiro. O financiamento foi feito pelo Sistema de Amortização Constante, SAC, com taxa mensal de juros de 1%. Se a vigésima quinta prestação é de R$ 5.000,00, o saldo devedor, em reais, após o pagamento da quadragésima oitava prestação é de (A) (B) (C) (D) (E) CESGRANRIO BANCO DA AMAZÔNIA 2013) As capitalizações oferecidas por dois fundos de investimento foram simuladas por uma operadora financeira. A aplicação inicial em ambos os fundos foi a mesma. Na simulação, a capitalização no primeiro fundo de investimento durou 48 meses e se deu a juros mensais de 1%, no regime composto. No segundo fundo de investimento, a capitalização durou 24 meses apenas. A operadora buscava determinar qual deveria ser a taxa mensal de juros oferecida pelo segundo fundo, em regime composto, para, ao final dos 24 meses, gerar o mesmo montante gerado pelo primeiro ao final dos 48 meses. Essa taxa é de (A) 2% a.m. (B) 2,01% a.m. (C) 2,02% a.m. (D) 2,1% a.m. (E) 2,2% a.m. 19. CESGRANRIO BANCO DA AMAZÔNIA 2013) Um refrigerador custa, à vista, R$ 1.500,00. Um consumidor optou por comprá-lo em duas parcelas. A loja cobra uma taxa mensal de juros (compostos) de 2%, atuante a partir da data da!

35 ! #! compra. O valor da primeira parcela, paga pelo consumidor 30 dias após a compra, foi de R$ 750,00. Um mês após o primeiro pagamento, o consumidor quitou sua dívida ao pagar a segunda parcela. Qual foi o valor da segunda parcela? (A) R$750,00 (B) R$765,00 (C) R$780,00 (D) R$795,60 (E) R$810,00!

36 5. GABARITO! #! 01 B 02 C 03 D 04 B 05 D 06 A 07 E 08 A 09 D 10 E 11 A 12 C 13 A 14 E 15 A 16 E 17 A 18 B 19 D!

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