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Aurélia Cipriano Camilo
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1 CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Aula de Derivada Definição da Primeira Derivada Nesta seção, é definida a primeira derivada de uma função e são examinadas várias interpreta- ções dela. A primeira derivada de uma função num ponto é a declividadee da função neste ponto. A definição precisa deste conceito é a seguinte: A declividade m de uma reta é definida como a tangente do seu ângulo de inclinação ou, de forma equivalente, como a taxa de variação da distância vertical (elevação) relativamente à variação da distância horizontal (percurso), à medida que um ponto se move ao longo da reta, em qualquer sentido (veja a Figura 2.13). A declividade de qualquer reta dada é uma constante isto é, a taxa de variação de y quando x varia é constante ao longo da reta. Contudo, para outras curvas a declividade não é constante e deve ser determinada para cada ponto em particular. ଵ ݕ ଶ ݕ = ߠ ݐ = ଵ ݔ ଶ ݔ ݕ = ݔ Suponha que (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) sejam dois pontos quaisquer da curva y = f(x). Então, a declividade da reta (chamada secante) que liga (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) é dada por ௦ = ݕ ଶ ݕ ଵ ݕ = ݔ ଵ ݔ ଶ ݔ Suponha, agora, que o ponto (x 1, y 1 ) seja fixado, enquanto o ponto (x 2, y 2 ) é movimentado ao longo da curva y = f(x), em direção ao ponto (x 1, y 1 ). À medida que o ponto (x 2, y 2 ) se move, em geral, a declividade da reta que liga (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) variará. Entretanto, pode acontecer e acontece realmente para a maioria das curvas encontradas na prática que à medida que o ponto

2 (x 2, y 2 ) se aproxima cada vez mais do ponto (x 1, y 1 ), a declividade da reta secante varia em quantidades cada vez menores e, de fato, aproxima-se de um valor limite constante. Quando isto acontece, diz-se que o valor limite é a declividade da tangente à curva em (x 1, y 1 ) [(veja a Figura 2.14)]. De modo mais conciso, se, à medida que o ponto (x 2, y 2 ) se aproxima do ponto (x 1, y 1 ) ao longo da curva y = f(x), a declividade da secante tende a um valor limite constante, então diz-se que este valor limite é a declividade da tangente à curva em (x 1, y 1 ) ou, em poucas palavras, a declividade da curva em (x 1, y 1 ) ou a declividade de f(x) em (x 1, y 1 ). Isto é, lim ௦ ௫ ݔ) (ݔ) ݒ = ݔ,ଵ ݕ ଵ ) ௫ ݕ A declividade de uma função num dado ponto é a primeira derivada da função neste ponto. Costuma-se definir a primeira derivada utilizando-se a notação (x, y) (x 1, y 1 ) e a notação (x + Δx, y + Δy) para o ponto móvel (x 2, y 2 ). Então para o ponto estacionário ݕ ݔ ݕ ௫ ݔ ௫ (ݔ) (ݔ + ݔ) ݔ é a primeira derivada em relação a x da função y = f(x). Este limite pode existir para alguns valores de x e deixar de existir para outros. Em cada ponto (x, y) onde este limite existe, diz-se que a função y = f(x) tem uma derivada ou é diferenciável, e diz-se que simplesmente, a derivada de y = f(x). O processo para se obter a primeira derivada de uma função é conhecido como diferenciação. Vários tipos de notação, além de são utilizados para denotar a primeira derivada de y = f(x) em relação a x. Os mais comuns entre estes são: é a primeira derivada ou, y, f ( x), D x y Deve ser observado que a primeira derivada de uma função em relação a x é, em geral, outra

3 função de x que deve ser calculada para valores particulares. Isto corresponde ao fato estabelecido acima de que, exceto para retas, as curvas não têm em geral a mesma declividade em diferentes pontos. A partir da definição de derivada e das propriedades de limites, podem ser obtidas regras para se encontrar as derivadas de vários tipos de funções. Estas serão dadas numa seção posterior. A fim de ilustrar este fato, as derivadas de várias funções relativamente simples são obtidas diretamente, em vez de se utilizar as fórmulas. Exemplo: Ache a primeira derivada de y = 4x + 1. f ( x ) f ( x) lim 0 4( x ) 1 (4x 1) lim 0 4 lim lim Observe que y = 4x + 1 representa uma reta e, portanto, é uma con nstante. Velocidade de um Corpo em Movimento Considere um corpo (ou uma partícula) movendo-se ao longo de uma trajetória em linha reta. Seja t o tempo medido a partir de um determinado instante, e s a distância da partícula medida a partir de uma origem fixa na reta, onde s é positiva ou negativa, de acordo com o sentido do movimento a partir da origem. Suponha que a distância a partir da origem seja dada em termos do tempo pela função s = f(t) chamada lei do movimento. [Por exemplo, pense que o corpo ou a partícula é um automóvel que passa por uma estrada reta, de tal maneira que sua distância desde o ponto de partida é dada como uma função de t por s=f(t)] Num determinado instante t 1, suponha que a partícula esteja a uma distância s 1 da origem 0, e suponha que durante o intervalo de tempo Δt, ela se mova a uma distância Δs da origem (veja a Figura 2.15). Se a razão for constante, de forma que distâncias iguais sejam sempre percorridas em intervalos iguais de tempo, o movimento é chamado uniforme e a razão é denominada velocidade em qualquer instante. O termo velocidade é freqüentemente usado para denotar a magnitude isto é,

4 o valor absoluto da velocidade. Se, entretanto, o movimento não for uniforme, a razão varia, à medida que Δt varia, e não representa mais a velocidade da partícula em qualquer instante. Em vez disso, representa a velocidade média da partícula durante um determinado intervalo de tempo Δt : velocidade média durante o intervalo Δt = À medida que o intervalo de tempo Δt tende a zero, esta velocidade média pode tender a um limite. Se isto ocorrer, diz-se que este limite é a velocidade instantânea no instante t 1 : velocidade instantânea no instante t 1 0 Mas, por definição, lim é a primeira derivada de f(t) no ponto t = t 1. Portanto, num instante t 1, a 0 velocidade de uma partícula que se move numa reta, de acordo com a lei do movimento s = f(t), onde s é a distância orientada a partir de uma origem fixa e t é o tempo, é dada pelo valor da derivada de s em relação a t para t = t 1. Exemplo: A distância de um trem desde o seu ponto de partida, quando ele viaja ao longo de um trilho em linha reta, é dada pela equação ݐ 16 =ݏ ଶ +,ݐ 2 onde s é a distância em quilômetros e t é o tempo em horas. Ache a distância percorrida e a velocidade após 2 horas. Assim, após 2 horas, s = = 68 quilômetros percorridos. ݏ = ݒ ݐ 2 ଶ ݐ 16 (ݐ +ݐ) 2 + ଶ (ݐ +ݐ) 16 (ݐ) (ݐ +ݐ) ݐ (ݐ ) 2 + ଶ (ݐ ) 16 + (ݐ )ݐ 32 ݐ 2 ଶ ݐ 16 ݐ 2 +ݐ 2 + ଶ (ݐ ) 16 + (ݐ )ݐ 32 + ଶ ݐ 16 ௧ 2] + (ݐ ) 16 +ݐ 32 ] ௧ (2 +ݐ 32 ) ݏ ฬ = = 66 h ݐ ௧ ଶ ݏ çã ݐ ܣ 2 =ݐ ݎ ݒ é ݏ çã ݑ ݑݍ ݏ ฬ ݐ ௧ ଶ ݐ Taxa de Variação de uma Função Sejam p e q as medidas de duas variáveis relacionadas e suponha que q seja uma função de p isto é, q = f(p). Se a razão das variações correspondentes nas duas variáveis tiver o mesmo valor para todos os valores de Δp, ela é chamada taxa de variação de q em relação a p e diz-se que q varia uniformemente em relação a p. Mas, se a razão não for constante, à medida que p varia, q não varia uniformemente e é, então, denominada a taxa de variação média de q em relação a p no

5 intervalo Δp. Se a razão tende a um limite quando Δp tende a zero, diz-se, então, que este limite é a taxa de variação instantânea de q em relação a p. A partir da definição da derivada, segue-se que a taxa de variação instantânea de uma quantidade variável q em relação a uma quantidade variável relacionada p é dada pela derivada de q em relação a q p, isto é,. Costuma-se utilizar a expressão "taxa de variação de uma função" como equivalente à derivada da função. Se a variável q puder ser expressa como uma função da variável tempo t, então a derivada de q em relação a t dá a taxa de variação no tempo de q. Assim, a velocidade de uma partícula é a taxa de variação no tempo da sua distância a partir da origem. A interpretação de uma derivada em termos da taxa de variação de uma função é freqüentemente aplicável na Economia, como é discutido a seguir.

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