ANÁLISE DE UM MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS COM INTERFACE ESTABILIZADA PARA A EQUAÇÃO DE ADVECÇÃO - REAÇÃO

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1 Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática ANÁLISE DE UM MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS COM INTERFACE ESTABILIZADA PARA A EQUAÇÃO DE ADVECÇÃO - REAÇÃO Rosalía Taboada Leiva Orientador: Sávio Brochini Rodrigues São Carlos Agosto de 014

2 ANÁLISE DE UM MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS COM INTERFACE ESTABILIZADA PARA A EQUAÇÃO DE ADVECÇÃO - REAÇÃO Rosalía Taboada Leiva Orientador: Sávio Brochini Rodrigues Dissertação apresentada ao PPG-M da UFSCar como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Matemática. Orientação: Prof Dr. Sávio Brochini Rodrigues. São Carlos Agosto de 014 Autor Orientador i

3 Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar L533am Leiva, Rosalia Taboada. Análise de um método de elementos finitos com interface estabilizada para a equação de advecção - reação / Rosalia Taboada Leiva. -- São Carlos : UFSCar, f. Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, Matemática.. Elementos finitos. 3. Galerkin, Métodos de. 4. Equação de advecção-reação. I. Título. CDD: 510 (0 a )

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5 Agradecimentos Principalmente ao meu Señor Jesuscristo pela ajuda em todo este tempo, dando-me ânimo e fortaleza nos momentos difíceis. A glória seja para ele. Aos meus pais, Hugo Taboada Gonzáles e Carmen Rosa Leiva Huamanchumo, pela compreensão e as orações feitas a Deus por mim. Ao professor Sávio Brochini Rodrigues, pela orientação, a paciência e os ensinamentos que ajudaram muito para este trabalho. Ao programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de São Carlos, pela oportunidade da realização deste trabalho. À CAPES, pelo auxilio financeiro. ii

6 Resumo Neste trabalho apresentamos um método de elemento finito com interface estabilizada para a equação de advecção - reação: µu + a u = f em, ua n = g sobre Γ, onde R d com 1 d 3 e Γ é a porção de na qual a n < 0. Analisaremos a parte teórica da estimativa de erro e a melhor aproximação da solução do problema discreto com respeito à solução exata. O que faremos primeiro é estudar o método de Galerkin descontínuo clássico e depois introduziremos o novo método, onde usando as mesmas técnicas do método clássico analisaremos a estimativa de erro e a melhor aproximação. iv

7 Abstract In this study we present an interface stabilised finite element method for the scalar advection-reaction equation: µu + a u = f em, ua n = g sobre Γ, where R d with 1 d 3 and Γ is the portion of on which a n < 0. We analyze the theoretical part of the error estimate and the best approximation of the discrete solution to exact solution. We study the classic discontinuous Galerkin method and then we introduce the new method, which using the same techniques of classical method analyze the error estimate and the best approximation. iii

8 Sumário 1. Introdução 1. Formulação Variacional 4.1. Espaços com Produto Interno Espaços de Hilbert Exemplos de Subespaços de Espaços de Hilbert Teorema de Representação de Riesz Formulação de Problema Variacionais Não Simétricos Boa colocação para modelos de problemas lineares Espaços de Sobolev Quebrados Espaços de Sobolev Espaços de Lebesgue Espaços de Sobolev O Caso Discreto Malhas Faces da malha, Medias e Saltos Espaço de Polinômios Quebrados Espaço de Sobolev Quebrados Análise abstrata de erro não conforme Análise abstrata de erro não conforme v

9 O Problema Discreto Estabilidade Discreta Consistência Limitação Estimativa de erro Sequência de Malhas de Forma Regular Desigualdades Inversa e do Traço Aproximações Polinomiais Equação Advecção-Reação Derivação Heurística Estimativa de erro Upwinding Estimativa de erro baseado na condição inf-sup Fluxos Numéricos Equação Advecção-Reação com interface estabilizada Método de interface estabilizada Problema modelo O método Bibliografía 70 vi

10 Capítulo 1 Introdução Os métodos de Galerkin descontínuos (GD) foram introduzidos nos anos 1970 e seu desenvolvimento desde então têm seguido dois caminhos principalmente: métodos para equações diferenciais parciais hiperbólicas e elípticas. Mais recentemente, os métodos de Galerkin descontínuo para equações hiperbólicas tiveram uma evolução significativa com base nas idéias de fluxos numéricos (Cockburn e outros []). Para equações diferenciais parciais hiperbólicas, o primeiro método de Galerkin descontínuo foi introduzido por Reed e Hill [9] no ano 1973 para simular o transporte de nêutrons e a primeira análise dos métodos de Galerkin descontínuo para equações hiperbólicas em uma forma geral e abstrata foi feito por Lesaint e Raviart em 1974 ([7] e [8]). A análise foi posteriormente melhorada por Johnson et al. que estabeleceu que a ordem ideal de convergência na norma L é p+ 1 se fossem utilizados polinômios de grau p ([5]). O interesse nos métodos de Galerkin descontínuo é estimulado por vários fatores, entre eles o fato de ser vantajoso em relação a suas propriedades de estabilidade e a possibilidade de combinar malhas não-conformes. Uma desvantagem do método é o aumento de graus de liberdade globais em uma determinada malha em relação aos métodos Galerkin contínuos. Neste trabalho foi estudado o artigo [10] em que o autor propõe um método para minimizar esta desvantagem através de um tratamento 1

11 especial para as interfaces entre elementos, no entanto somente nos limitaremos a estudar o funcionamento do método de uma forma mais teórica, analisando a convergência e a melhor aproximação da solução do problema discreto com respeito à solução exata, a análise dos graus de liberdade e a implementação do método podem ser feitos em trabalhos posteriores. O trabalho está organizado da seguinte maneira: no capítulo expomos os conceitos e resultados básicos que precisamos para obter a formulação variacional de uma equação diferencial e o seu boa colocação; os resultados mais importantes neste capítulo são o teorema Banach-Nêcas-Babuška e o lema de Lax - Milgram. No capítulo 3, começamos recordando os espaços de Sobolev usuais e introduzimos também as definições e algumas propriedades dos espaços de Sobolev Quebrados. No capítulo 4, apresentamos as ferramentas que precisamos para fazer a análise da estimativa de erro, os quais são a estabilidade discreta, a consistência e a limitação; além disso, vemos duas desigualdades importantes, desigualdade inversa e do traço, para o desenvolvimento de aproximação polinomial para o qual também precisaremos certa regularidade da solução exata. No capítulo 5, aplicaremos a teoria dos capítulos anteriores à equação de advecção - reação com condição de fronteira homogênea β u + µu = f em, u = 0 sobre, Aqui, a função desconhecida u é de valor escalar e representa, por exemplo, uma concentração de alguma substância; β é a velocidade de advecção com valores em R d, µ o coeficiente de reação, f é o termo de fonte, e de denota a parte da fronteira de R d onde o fluxo entra, isto é: := {x β(x) n(x) < 0}.

12 Além disso, vemos como atua os fluxos numéricos quando restringimos a uma formulação local por elemento. Por último, no capítulo 6, vemos as estimativas de estabilidade e convergência de um método chamado de método de interface estabilizada o qual é formulado em [6]. Resumimos todo o trabalho no seguinte esquema: 3

13 Capítulo Formulação Variacional Este capítulo é dedicado às ferramentas da análise funcional necessárias para desenvolver a formulação variacional de equações diferenciais. Apresentamos uma introdução aos espaços de Hilbert, incluindo só o material que é essencial para futuros desenvolvimentos. O objetivo do capítulo é fornecer os resultados com os quais podem ser estabelecidas a existência e a unicidade de soluções para problemas variacionais..1. Espaços com Produto Interno Definição.1 Uma forma bilinear, a(, ), sobre um espaço vetorial V é uma função a : V V R tal que cada uma das funções w a(w, v) e v a(w, v) é linear sobre V. Uma forma bilinear é simétrica se a(w, v) = a(v, w), w, v V Um produto interno, denotado por (, ), é uma forma bilinear simétrica sobre um espaço vetorial V que satisfaz: a) (v, v) 0, v V b) (v, v) = 0 v = 0 4

14 Um espaço vetorial V acompanhado com um produto interno definido sobre este, é chamado um Espaço Produto Interno e é denotado por (V, (, )) Outras definições importantes são as seguintes: Uma forma bilinear é coerciva se existe α > 0 tal que, w V, a(w, w) α w V Uma forma bilinear é contínua se existe uma constante C > 0 tal que, u, v V, a(u, v) C u V v V Teorema.1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Se (V, (, )) é um espaço com produto interno, então (u, v) (u, u) 1/ (v, v) 1/ (.1) A igualdade vale se e somente se u e v são linearmente dependentes. Proposição 1 v := (v, v) define a norma no espaço produto interno (V, (, ))... Espaços de Hilbert A proposição (1) diz que para um espaço com produto interno, existe uma norma associada definida sobre V, isto é v := (v, v). Assim, um espaço produto interno pode ser transformado num espaço vetorial normado. Definição. Seja (V, (, )) um espaço com produto interno. Se o espaço vetorial normado associado (V, ) é completo, então (V, (, )) é chamado um espaço de Hilbert. 5

15 Definição.3 Seja H um espaço de Hilbert e S H é um subespaço linear 1 que é fechado em H. Então S é chamado um subespaço de H. Proposição Se S é um subespaço de H, então (S, (, )) é também um espaço de Hilbert...1. Exemplos de Subespaços de Espaços de Hilbert (i) H e {0} são casos óbvios. (ii) Seja T : H uma função linear contínua de H em outro espaço vetorial. Então o núcleo de T, er T, é um subespaço. (iii) Seja x H e definimos x := {v H : (v, x) = 0}. Então x é um subespaço de H. Para ver isso, notar que x = er L x, onde L x é a funcional linear L x : v (v, x) (.) Pela desigualdade de Schwarz (.1), L x (v) v x, o qual implica que L x é limitada e por tanto contínua. Isto prova que x é um subespaço de H em vista do exemplo anterior. (iv) Seja M H um subconjunto e definimos M := {v H : (x, v) = 0 x M}. Note que M = x M x e cada x é um subespaço fechado de H e a intersecção arbitrária de fechados é fechado. Assim, M é um subespaço de H. Proposição 3 Seja H um espaço de Hilbert. Então (1) M, N H, M N N M. () M H com 0 M, M M = {0}. 1 Lembrando que S é linear significa que se u, v S, α R αu + v S 6

16 (3) {0} = H. (4) H = {0}... Teorema de Representação de Riesz Dado u H, lembremos que um funcional linear contínuo L u pode ser definido sobre H por L u (v) = (u, v) (.3) O seguinte teorema prova que a recíproca também é verdadeira. Teorema. (Teorema de Representação de Riesz) Todo funcional linear contínuo L sobre um espaço de Hilbert H pode ser representado unicamente como L(v) = (u, v) para algum u H (.4) também temos, L H = u H...3. Formulação de Problema Variacionais Não Simétricos Um problema variacional não simétrico é colocado da seguinte forma. Suponha que as 5 condições seguintes são válidas: (1) (H, (, )) é um espaço de Hilbert. () V é um subespaço (fechado) de H. (3) a(, ) é uma forma bilinear sobre V, não necessariamente simétrica. (4) a(, ) é contínua (limitada) sobre V. (5) a(, ) é coerciva sobre V. (.5) 7

17 Então o problema variacional não simétrico é o seguinte: Dado F V, encontre u V tal que a(u, v) = F (v) v V. (.6) O problema de aproximação (Galerkin) é dado assim: Dado um subespaço de dimensão finita V h V e F V, encontre u h V h tal que a(u h, v) = F (v) v V h. (.7) Consideremos o seguinte exemplo: Seja o seguinte problema de contorno u + u + u = f sobre [0, 1] u (0) = u (1) = 0 (.8) Uma formulação variacional para este problema é a seguinte: V = H 1 (0, 1) a(u, v) = 1 0 (u v + u v + uv)dx F (v) = (f, v) (.9) Notar que a(, ) não é simétrica pelo termo u v. Mas a(, ) é contínua; pois observe que 1 1 a(u, v) = (u v + uv)dx + u vdx (u v + uv)dx + u vdx = (u, v) H 1 + u vdx 0 u H 1 v H 1 + u L v L usando desig. Schwarz (.1) u H 1 v H 1 + u H 1 v H 1 = u H 1 v H 1. 8

18 Portanto, a(, ) é contínua (tomando C 1 = na definição). Além disso, a(v, v) = = = v H 1. (v + v v + v )dx = 1 (v + v) dx (v + v) dx + 1 v H 1 0 ( 1 v + v v + 1 ) v dx + (v + v )dx 1 0 ( 1 v + 1 ) v dx Portanto, a(, ) é coerciva (tomando α = 1 na definição)..3. Boa colocação para modelos de problemas lineares Depois de descrevemos a formulação variacional de um problema, gostaríamos de considerar a existência e a unicidade da solução de tal problema variacional. Nosso primeiro objetivo é especificar as condições em que este problema é bem posto. Usamos a seguinte definição: Um problema é bem posto se admite uma única solução e se for dotado de uma propriedade de estabilidade. Dois importantes resultados afirmando a boa colocação são apresentados: O teorema Banach-Nêcas-Babuška com suposições um pouco mais sofisticadas, dá condições necessárias e suficientes para que o problema seja bem posto. O lema de Lax- Milgram, o qual fornece uma condição suficiente para ser bem posto. 9

19 Considere o seguinte problema (abstrato) Encontrar u X tal que a(u, v) = f(v) v Y. (.10) onde: (i) X e Y são espaços vetoriais equipados com suas respectivas normas X e Y. Para um caso geral supomos que Y é um espaço de Banach reflexivo e X é um espaço de Banach. X é chamado espaço solução e Y é chamado espaço teste. (ii) a é uma forma bilinear contínua sobre X Y, i.e, a L(X Y, R), daqui dizemos também a é limitada em X Y (iii) f é uma forma linear contínua sobre Y, i.e., f Y := L(Y, R). Para simplificar a notação, escrevemos f(v) em vez de < f, v > Y,Y. Definição.4 (Hadamard) O problema (.10) é dito bem posto se admite uma única solução e se a seguinte estimativa a priori vale C > 0, f Y, u X C f Y Banach-Nêcas-Babuška O teorema Banach-Nêcas-Babuška (BNB) tem um papel fundamental neste trabalho, este resultado foi indicado pela primeira vez por Nêcas em 196 e popularizado por Babuška em 197 no contexto dos métodos de elementos finitos. Teorema.3 (Banach-Nečas-Babuška (BNB) Seja X um espaço de Banach e Y um espaço de Banach reflexivo. Seja a L(X Y, R) e seja f Y. Então, o problema (.10) está bem posto se, e somente se: 10

20 (i) Existe α > 0 tal que α inf w X\{0} sup v Y \{0} a(w, v) w X v Y, (.11) (ii) Para todo v Y, ( w X, a(w, v) = 0) (v = 0). (.1) Além disso, a seguinte estimativa a priori é válida: u X 1 α f Y. Para mostrar isso usaremos a seguinte proposição [Ern-Guermond, pg. 47, proposição A.45] Proposição A.45: Seja A L(X, Y ). As seguintes afirmacões são equivalentes: (i) A é bijetora. (ii) Existe uma constante α > 0 tal que w X, Aw Y α w X. (.13) v Y, (A T v = 0) (v = 0). (.14) (iii) Existe uma constante α > 0 tal que α inf sup v, Aw Y,Y, (.15) w X v Y w X v Y v Y, ( v, Aw Y,Y = 0, w X) (v = 0). (.16) 11

21 Prova do teorema BNB: [ ] A hipótese é equivalente a dizer: f Y,!u X tal que a(u, v) = f, v Y,Y v Y. Para usar a proposição A.45, introduziremos um operador linear limitado A L(X, Y ) definido assim: Aw, v Y,Y := a(w, v) (w, v) X Y e mostraremos que A é bijetora: A é injetora, pois seja Aw 1 e Aw que pertencem a Y tal que Aw 1 = Aw, isso significa que Aw 1, v = Aw, v v Y a(w 1, v) = a(w, v) v Y a(w 1 w, v) = 0 v Y Agora pela hipótese, para f = 0 Y,!u = 0 X tal que a(0, v) = 0 v Y w 1 = w A é injetora. A é sobrejetora, pois f Y, u X tal que a(u, v) = f, v Y,Y v Y Au, v Y,Y = f, v Y,Y v Y Au f, v Y,Y = 0 v Y Au = f 1

22 pela proposição A.45 (.13), existe uma constante α > 0 tal que w X, Aw Y α w X Aw, v sup α w X w X v Y \{0} v Y sup v Y \{0} inf w X\{0} Aw, v v Y w X α, w X \ {0} sup v Y \{0} Aw, v w X v Y α. Daí, para mostrar (.1) usamos (.16) da proposição A.45, isto é, v Y, ( v, Aw Y,Y = 0, w X) (v = 0). Lembrando a injeção canônica J : Y Y x J x : Y R definida assim J x, f = f, x, a qual é injetora. Então seja v Y arbitrário e temos que ( w X, a(w, v) = 0), isso é equivalente a dizer que w X, Aw, v = 0, como Aw Y w X, J v, Aw = Aw, v = 0 J v = 0 v = 0 X Y [ ] Como Y é reflexivo introduzimos o operador A T L(Y, X ) tal que (w, v) A T v, w X,X = Aw, v Y,Y. Vamos provar (.14), v Y, A T v = 0 w X, Aw, v = A T v, w = 0 13

23 w X, a(w, v) = 0 por (.1), v = 0 Isto, mostra (ii) da proposição (A.45) o qual implica (i). Lema de Lax-Milgram Consideraremos o caso onde o espaço solução e o espaço test é o mesmo. Assim, o problema modelo é: Encontrar u Y tal que a(u, v) = f(v) v Y. (.17) Lema.1 (Lax-Milgram) Seja Y um espaço de Hilbert, seja a L(Y Y, R) e seja f Y. Suponha que a forma bilinear a é coerciva, i.e., α > 0, w Y, a(w, w) α w Y Então, o problema (.17) é bem posto com a estimativa a priori f Y, w Y 1 α f Y. Prova: Vamos verificar as condições do teorema BNB: X = Y Y é Hilbert, isso implica que Y é Banach e reflexivo. Vamos mostrar que a coercividade de a(, ) implica (.11) e (.1). De fato, para provar (.11) usamos a coercividade, i.e., α > 0, w Y, a(w, w) 14

24 α w w Y \ {0}, α w Y α > 0, inf w Y \{0} sup v Y \{0} a(w, w) a(w, v) sup w Y v Y \{0} v Y a(w, v) w Y v Y α. Para mostrar (.1), seja v Y tal que a(w, v) = 0 w Y, em particular para w = v, temos α v a(v, v) = 0 v 0 v = 0 v = 0. 15

25 Capítulo 3 Espaços de Sobolev Quebrados 3.1. Espaços de Sobolev Na prática, o problema modelo (.10) corresponde a uma EDP definida sobre um domínio R d (d 1). O domínio é um subconjunto limitado, conexo e aberto de R d com fronteira Lipschitz. Os espaços X e Y em (.10) são espaços de funções geradas por funções definidas sobre. Por simplicidade consideraremos funções de valor escalar. Apresentaremos brevemente duas classes de espaços de funções que serão usadas no que segue, isto é, os espaços de Lebesgue e os espaços de Sobolev. Nós só indicaremos as propriedades básicas de tais espaços Espaços de Lebesgue Consideraremos funções v : R que são Lebesgue mensuráveis e denotamos por v a integral (Lebesgue) de v sobre. Seja 1 p um número real, definimos ( ) 1/p v L p () = v p, 1 p <. 16

26 e v L () := sup ess{ v(x) q.t.p x } = inf {M > 0 tal que v(x) M q.t.p x }. Em ambos casos, definimos o espaço de Lebesgue L p () := {v : R lebesgue mensurável v L p () < }. Equipado com a norma L p, L p é um espaço de Banach para todo 1 p. Além disso, o espaço C0 () gerado por funções infinitamente diferenciáveis com suporte compacto em é denso em L p () para 1 p <. No caso particular p =, L () é um espaço de Hilbert quando tem como produto interno (v, w) L () := vw Uma ferramenta útil nos espaços de Lebesgue é a desigualdade de Hölder, a qual afirma que, para todo 1 p, q < tal que 1/p + 1/q = 1, para todo v L p () e todo w L q (), temos que vw L 1 () e vw v L p () w L q () O caso particular p = q = dá como resultado a desigualdade de Cauchy Espaços de Sobolev Sobre a base cartesiana de R d com coordenadas (x 1,..., x d ), o símbolo i com i {1,..., d} denota a derivada parcial distribucional com respeito a x i. Para uma d-upla α N d, α v denota a derivada distribucional α 1 1,..., α dv de v com a d convenção que (0,...,0) v = v. Para qualquer número real 1 p, definimos para 17

27 todo ξ R d com componentes (ξ 1,..., ξ d ) na base cartesiana de R d, a norma ( d ) 1/p ξ l p := ξ i p, 1 p < i=1 e ξ l := máx 1 i d ξ i. O índice é omitido para a norma euclideana obtida com p =. Seja m 0 um inteiro e seja 1 p um número real, definimos o espaço de Sobolev W m,p () := {v L p ()/ α A m d, α v L p ()} onde A m d := {α Nd / α l 1 m}. Assim, W m,p é gerado por funções com derivadas globais de ordem até m em L p (). Em particular W 0,p () = L p (). O espaço de Sobolev W m,p () é um espaço de Banach quando é equipado com a norma v W m,p () := 1/p α v p L p (), 1 p < α A m d e v W m, () := max α A m d α v L. Consideremos também a seminorma W m,p () restringindo as definições acima as d- uplas no conjunto A m d := {α N d / α l 1 = m}, isto é, mantendo apenas as derivadas de ordem global igual a m. Para p =, usamos a notação H m () := W m, (), de modo que H m () = {v L ()/ α A m d, α v L ()}. 18

28 H m é um espaço de Hilbert quando está equipado com o produto interno (v, w) H m () := ( α v, α w) L (), α A m d a qual conduz à norma e seminorma v H m () := α A m d 1/ α v L (), v H m () := α A m d 1/ α v L (). Para permitir uma notação mais compacta, no caso m = 1, consideremos o gradiente v = ( 1 v,..., d v) t com valores em R d. A norma sobre W 1,p () pode se reescrever assim: v W 1,p () := ( v p L p () + v p [L p ()] d ) 1/p, 1 p <, com ( ) ( 1/p v [L p ()] := v p d l = p No caso p =, obtemos ) 1/p d i v p. i=1 (v, w) H 1 () = (v, w) L () + ( v, w) [L ()] d. Valores de contorno de funções no espaço de Sobolev W 1,p () pode ser visto como funções (pelo menos) em L p ( ). Mais precisamente (ver, por exemplo, Brenner e Scott ([1], pg.39, Cap. 1)), para todo 1 p, existe C tal que v L p ( ) C v 1 1/p L p () v 1/p W 1,p () v W 1,p (). (3.1) Em particular, para p =, obtemos v L ( ) C v 1/ L () v 1/ H 1 () v H 1 (). (3.) 19

29 As limitações (3.1) e (3.) São chamadas desigualdades do traço contínuas. 3.. O Caso Discreto Definição 3.1 (Poliedro em R d ) Dizemos que o conjunto P é um poliedro em R d se P é um conjunto aberto, conexo, limitado de R d tal que sua fronteira P é uma união finita de partes de hiperplanos, {H i } 1 i np. Além disso, para todo 1 i n P, cada ponto x do interior de P H i, os pontos y do interior de P que acumulam próximos a x o fazem somente de um lado da fronteira (isto evita cortes no domínio). Suponhamos que o domínio é um poliedro em R d. Definição 3. (Fronteira e Normal exterior) A fronteira de é denotada por e sua normal (unitária) exterior, a qual está definida q.t.p sobre, por n Malhas Definição 3.3 (Simplexo) Dada uma família {a 0,..., a d } de (d+1) pontos em R d tal que os vetores {a 1 a 0,..., a d a 0 } são linearmente independentes, a envoltória convexa de {a 0,..., a d } é chamada um simplexo não degenerado de R d, e os pontos {a 0,..., a d } são chamados de vértices. Definição 3.4 (Faces de simplexo) Seja S um simplexo não degenerado com vértices {a 0,..., a d }. Para cada i {0,..., d}, a envoltória convexa de {a 0,..., a d } \ {a i } é chamada uma face do simplexo S. Definição 3.5 (Malha Simplicial) Uma malha simplicial T de um domínio é uma coleção finita de simplexos não degenerados T = {T } formando uma partição de, = T T T (3.3) Cada T T é chamado um elemento de malha. 0

30 Definição 3.6 (Malha Geral) Uma malha geral T de um domínio é uma coleção finita e disjunta de poliedros T = {T } obedecendo (3.3). Cada T T é chamado um elemento de malha. Uma malha simplicial é um caso particular de uma malha geral. Definição 3.7 (Diâmetro do elemento, tamanho da malha) Seja T uma malha geral do domínio. Para todo T T, h T denota o diâmetro de T, e o tamanho da malha é definido como o número real h := max T T h T Usamos a notação T h para uma malha T com tamanho de malha h. Definição 3.8 (Normal exterior de um elemento) Seja T h uma malha geral do domínio e seja T T h. Definimos n T q.t.p sobre T como a normal exterior (unitária) a T Faces da malha, Medias e Saltos Definição 3.9 (Faces da malha) Seja T h uma malha do domínio. Dizemos que um subconjunto (fechado) F de é uma face da malha se F é (d-1)-dimensional e se uma das seguintes duas condições é satisfeita: (i) Existem elementos distintos T 1 e T tal que F = T 1 T ; nesse caso, F é chamada uma interface. (ii) Existe T T h tal que F = T ; nesse caso, F é chamada uma face de fronteira F i h denota o conjunto de interfaces e F b h denota o conjunto de faces de fronteira. Daqui em diante, definimos F h = F i h F b h. 1

31 Definição 3.10 (Medias e Saltos de interfaces) Seja v uma função de valor único definida sobre e assumimos que é a suficientemente suave para admitir sobre cada F F i h traços provenientes dos elementos T 1 e T (possivelmente com valores diferentes). Isto significa que, para todo T T, a restrição v T de v ao conjunto aberto T pode ser definida sobre a fronteira T. Então, para todo F F i h e x F q.t.p, a média de v é definida como {v } F (x) := 1 (v T 1 (x) + v T (x)), e o salto de v como [v ] F (x) = v T1 (x) v T (x). (3.4) Definição 3.11 (Normais das faces) Para todo F F h e x F q.t.p, definimos a normal (unitária) n F a F em x como (i) n T1, a normal unitária a F em x de T 1 a T se F F i h com F = T 1 T, a orientação de n F é arbitrária dependendo da escolha de T 1 a T e mantém-se fixa no que segue. (ii) n, a normal exterior unitária a em x se F F b h. Nota 3.1 No que segue do trabalho veremos expressões que envolvem o salto de v na fase F ([v ] F ) e a normal na fase (n F ). Observe que nas definições (3.10) e (3.11) a escolha dos elementos T 1 e T é a mesma. Ou seja, a direção da normal n F é determinada pela escolha feita na fórmula (3.4).

32 3..3. Espaço de Polinômios Quebrados O Espaço Polinomial P k d Seja k 0 um inteiro e seja o conjunto A k d := {α Nd, α l 1 k}, definimos o espaço de polinômios de d variavéis, de grau no máximo k, como P k d = p : Rd x p(x) R (γ α ) α A k d R card(ak d ) tal que p(x) = γ α x α, α A k d com a convenção que, para x = (x 1,..., x d ) R d, x α := d i=1 xα i i. O Espaço Polinomial Quebrado P k d (T h) Podemos agora definir o espaço polinomial quebrado o qual contém funções tal que a restrição em cada elemento da malha T h é um polinômio, isto é, P k d(t h ) := {v L () T T h, v T P k d(t )}. (3.5) Espaço de Sobolev Quebrados Nesta seção introduziremos os espaços de sobolev quebrados e o operador gradiente quebrado. Seja T h uma malha no domínio. Para qualquer elemento T T h, os espaços de Sobolev H m (T ) e W m,p (T ) podem ser definidos como antes substituindo por T. Então definimos os Espaços de Sobolev Quebrados H m (T h ) := {v L () T T h, v T H m (T )}, (3.6) W m,p (T h ) := {v L p () T T h, v T W m,p (T )}, (3.7) onde m 0 é um inteiro e 1 p é um número real. No contexto de espaços de Sobolev quebrados, a desigualdade de traço contínuo 3

33 (3.1) pode ser usada para inferir que, para todo v W 1,p (T h ) e todo T T h, v L p ( T ) C v 1 1 p L p (T ) v 1 p W 1,p (T ), (3.8) enquanto p =, obtemos, para todo v H 1 (T h ) e todo T T h, v L ( T ) C v 1 L (T ) v 1 H 1 (T ). (3.9) Agora, é natural definir o operador gradiente quebrado agindo sobre o espaço de Sobolev quebrado W 1,p (T h ). Em particular, este operador também age sobre os espaços de polinômios quebrados. Definição 3.1 (Gradiente Quebrado) O gradiente quebrado h : W 1,p (T h ) [L p ()] d é definido tal que, para todo v W 1,p (T h ), T T h, ( h v) T := (v T ). (3.10) Uma vez vista a definição, é importante observar que os espaços de Sobolev usuais são subespaços dos espaços de Sobolev quebrados, e que sobre os espaços de Sobolev usuais, o gradiente quebrado coincide con o gradiente distribucional como se mostra no seguinte resultado. Lema 3.1 (Gradiente Quebrado sobre espaços de Sobolev usuais) Seja m 0 e 1 p. Então W m,p () W m,p (T h ). Além disso, para todo v W 1,p (), h v = v em [L p ()] d Prova: É suficiente provar a inclusão para m = 1. Se v W 1,p () primeiro observamos que (v T ) = ( v) T, T T h 4

34 De fato, Φ [C 0 (T )] d, a extensão de Φ por zero a, denotada por EΦ, pertence a [C 0 ()] d então T (v T ) Φ = ( Φ) v usando integração por partes T = ( (EΦ))v pela definição de v em = v EΦ integração por partes = ( v) T Φ pois EΦ \T = 0. T Como Φ é arbitrária, isto implica (v T ) = ( v) T e como T T h é arbitrário, então h v = v. Esta igualdade também mostra que v W 1,p (T h ). Lema 3. (Caracterização de W 1,p ()) Seja 1 p. A função v W 1,p (T h ) pertence a W 1,p () se, e somente se [v ] = 0 F F i h. (3.11) Prova: [ ] Seja v W 1,p (T h ). Então para todo Φ [C 0 ()] d, observemos que ( h v) Φ = T T h T = T T h = T T h = T T h (v T ) Φ T T T = v( Φ) v( Φ) + T T h v( Φ) + v( Φ) F F i h T F Φ [C 0 ()] d (n T Φ)v T (n F Φ) [v ] (3.1) 5

35 h v = v, significa então que h v [L p ()] d. Assim v W 1,p (). [ ] Se v W 1,p () e v = h v em [L p ()] d, daí de (3.1) implica (n F Φ) [v ] = F Fh i F = ( h v) Φ + v( Φ) ( h v) Φ ( v) Φ = 0 o que por sua vez implica (3.11), escolhendo o suporte de Φ interceptando uma interface e uma vez Φ é arbitrária. 6

36 Capítulo 4 Análise abstrata de erro não conforme 4.1. Análise abstrata de erro não conforme O Problema Discreto Seja V h L () denota um espaço de funções de dimensão finita; tipicamente, V h é um espaço de polinômios quebrados. Estamos interessados no problema discreto Encontrar u h V h tal que a h (u h, w h ) = l h (w h ) para todo w h V h, (4.1) com a forma bilinear discreta a h definida somente sobre V h V h e a forma linear l h definida sobre V h. Em terminologia de elementos finitos, dizemos que a approximação é não conforme, no sentido em que V h não é subespaço de W m,p () no qual espera-se que a solução de (.10) pertença. Assim mesmo, é possível introduzir o operador discreto (linear) A h : V h V h tal que, para todo v h, w h V h, (A h v h, w h ) L () := a h (v h, w h ), (4.) 7

37 e a função discreta L h V h tal que, para todo w h V h, (L h, w h ) L () = l h (w h ). Isso leva para o seguinte problema (equivalentemente a (4.1)): Encontrar u h V h tal que A h u h = L h em V h, (4.3) Por simplicidade, suporemos que f L (), já que o lado direito do problema modelo (.10) torna-se (f, w) L (), enquanto o lado direito dos problemas discretos (4.1) e (4.3) tornam-se, respectivamente, l h (w h ) = (f, w h ) L (), L h = π h f Aqui, π h denota a projeção ortogonal de L () para V h, isto é, π h : L () V h está definido tal que, para todo v L (), π h v V h com (π h v, y h ) L () = (v, y h ) L () y h V h. (4.4) Estabilidade Discreta Para formular estabilidade discreta, introduzimos uma norma, denotada por y, e definida (pelo menos) sobre V h. Definição 4.1 (Estabilidade Discreta) Dizemos que uma forma bilinear discreta a h possui estabilidade discreta sobre V h se existe C sta > 0 tal que v h V h, C sta v sup w h V h \{0} a h (v h, w h ). (4.5) w h A propriedade (4.5) é referida como uma condição inf-sup já que é equivalente a C sta inf v h V h \{0} a h (v h, w h ) sup w h V h \{0} v h w h 8

38 Um fato importante é que (4.5) é uma condição necessária e suficiente para o bom posicionamento discreto pois V h é de dimensão finita. Lema 4.1 (Boa colocação discreto) O problema discreto (4.1), ou equivalentemente (4.3), está bem posto se, e somente se a condição inf-sup (4.5) é satisfeita. Prova: Note que a condição (4.5) é o equivalente da condição (.11) no teorema BNB. Daí, devido a este teorema, a boa colocação discreto implica (4.5). Reciprocamente, observemos que (4.5) implica que o operador A h definido por (4.) é injetora. De fato: A h v h = 0 a h (v h, w h ) = 0 w h V h por (4.5) v h = 0. Como V h é de dimensão finita, então A h é sobrejetora e por tanto A h é bijetora e isso implica a boa colocação. Observemos que a boa colocação discreto é equivalente a uma única condição, isto é (4.5), embora no caso contínuo aparecem duas condições. Isto é porque injetividade é equivalente a bijetividade quando o espaço teste e o espaço solução tem a mesma dimensão Consistência Até agora, nós consideramos uma forma bastante forte de consistência, isto é que a solução u satisfaz as equações discretas em (4.1). Para formular consistência, é necessário colocar a solução exata no primeiro argumento da forma bilinear discreta a h, e isto não é possível em geral pois a forma bilinear discreta a h está definida até agora somente sobre V h V h. 9

39 Por esse motivo, supomos que existe um subespaço X X tal que a solução exata u pertence a X e tal que a forma bilinear discreta a h pode ser estendida a X V h (em geral não é possível estender a h a X V h ). Consistência pode agora ser formulada como segue. Definição 4. (Consistência) Dizemos que o problema discreto (4.1) é consistente se para a solução exata u X, a h (u, w h ) = l h (w h ) w h V h. (4.6) Observação 4.1 (Ortogonalidade de Galerkin) Consistência é equivalente à propriedade de ortogonalidade de Galerkin freqüentemente considerada no contexto dos métodos de elemento finito De fato, (4.6) é válido se, e somente se a h (u u h, w h ) = 0 w h V h Limitação O último ingrediente na análise de erro é a limitação. Introduzimos o espaço vetorial X h := X + V h, e observamos que a aproximação de erro (u u h ) pertence a este espaço. Nosso objetivo é medir a aproximação de erro usando a norma de estabilidade discreta.. Portanto, assumimos no que segue esta norma pode ser estendida ao espaço X h. No caso presente, desejamos assegurar limitação no espaço produto X h V h e não apenas em V h V h. Acontece em muitas situações, que não é possível afirmar limitação usando só a norma de estabilidade discreta.. Esta é a razão pela qual introduzimos uma segunda norma, que denotaremos.. 30

40 Definição 4.3 (Limitação) Dizemos que a forma bilinear discreta a h é limitada em X h V h se existe C bnd tal que (v, w h ) X h V h, a h (v, w h ) C bnd v w h, para uma norma. definida sobre X h e tal que, para todo v X h, v C v, onde C é uma constante positiva Estimativa de erro Agora podemos afirmar o resultado principal desta seção. Teorema 4.1 (Estimativa de erro) Seja u a solução de (.10) com f L (). Seja u h a solução de (4.1). Seja X X e suponhamos que u X. Seja X h := X +V h e suponhamos que a forma bilinear discreta a h pode ser estendida a X h V h. Seja. e. duas normas definidas sobre X h e tal que, para todo v X h, v C v. Supondo estabilidade discreta, consistência e limitação, como definimos anteriormente, temos a seguinte estimativa de erro: u u h C inf y h V h u y h, (4.7) com C = 1 + C 1 stac bnd. Prova: Seja y h V h. Devido à estabilidade discreta temos u h y h C 1 sta = C 1 sta sup w h V h \{0} sup w h V h \{0} a h (u h y h, w h ) w h a h (u y h, w h ) w h (isso pela consistência) 31

41 Daí pela definição de limitação obtemos u h y h C 1 stac bnd u y h u u h u y h + y h u h u y h + C 1 stac bnd u y h = (1 + C 1 stac bnd ) u y h u u h C inf y h V h u y h onde C = 1 + C 1 stac bnd Sequência de Malhas de Forma Regular O objetivo desta seção é derivar algumas técnicas importantes, ferramentas para analisar a convergência do método de Galerkin descontínuo quando o tamanho da malha vai para zero. Nós consideramos uma sequência de malha T H := (T h ) h H, onde H denota um subconjunto contável de R >0 := {x R x > 0} tendo a 0 como único ponto de acumulação. Nossas ferramentas de análise são, a desigualdade inversa e a desigualdade do traço, as quais são fundamentais para se afirmar a estabilidade discreta e a limitação em h, e por outro lado, propriedades ótimas de aproximação polinomial, de modo que possamos inferir, a partir de estimativas de erro da forma (4.7), as taxas de convergência em h para a aproximação de erro sempre que a solução exata for suficientemente suave. Primeiro, introduziremos o conceito de forma e contato regular de sequências de malhas, o que é suficiente para derivar a desigualdade inversa e desigualdade do traço. 3

42 Um conceito útil encontrado no contexto dos métodos de elementos finitos conformes é o de malhas simpliciais encaixadas. Definição 4.4 (Malha Simplicial Encaixada) Dizemos que T h é uma malha simplicial encaixada se esta é uma malha simplicial e se para cada T T h com vértices {a 0,..., a d }, o conjunto T T para todo T T h, T T, é a envoltória convexa (possivelmente vazia) de um subconjunto de {a 0,..., a d }. Definição 4.5 (Submalha Simplicial Encaixada) Seja T h uma malha geral. Dizemos que G h é uma submalha simplicial encaixada de T h se (i) G h é uma malha simplicial encaixada, (ii) Para todo T G h, existe um único T T h tal que T T, (iii) Para todo F F h, a coleção de faces da malha de G h, existe no máximo uma F F h tal que F F. Os simplexos em G h são chamados subelementos, e as faces da malha em F h são chamados subfaces. Seja, para todo T T h, G T := {T G h T T }, F T := {F F h F T }. E também seja, para todo F F h, F F := {F F h F F }. Definição 4.6 (Forma e Contato Regular) Dizemos que a sequência de malhas T H é de forma e contato regular se para todo h H, T h, possui uma submalha simplicial encaixada G h tal que 33

43 (i) A sequência de malhas G H é de forma regular, isto é, se existe um parâmetro ϱ 1 > 0, independente de h, tal que, para todo T G h, ϱ 1 h T r T, onde h T é o diâmetro de T e r T o raio da maior bola inscrita em T, (ii) Existe um parâmetro ϱ > 0, independente de h, tal que, para todo T T h e para todo T G h, ϱ h T h T. Os parâmetros ϱ 1 e ϱ são chamados os parâmetros de regularidade de malha e são coletivamente denotados pelo símbolo ϱ. Finalmente, se T h é simplicial encaixada, então G h = T h e a única exigência para os resultados seguintes é a forma e contato regular com o parâmetro ϱ 1 > 0 independente de h. Daqui em diante trabalharemos com uma sequência de malhas simplicial encaixada. Brevemente veremos algumas propriedades geométricas úteis de sequências de malhas de forma e contato regular. Lema 4. (Limitante Inferior sobre Diâmetro de Faces) Seja T H uma sequência de malhas com forma e contato regular com parâmetro ϱ. Então, para todo h H e para todo T T h, e todo F F T, δ F ϱ 1 ϱ h T, (4.8) onde δ F denota o diâmetro de F. Prova: Pode-se encontrar a demonstração em [3], pg. 5, lema

44 Uma consequência direta do lema (4.) é um resultado de comparação dos diâmetros de elementos vizinhos. Lema 4.3 (Comparação de Diâmetro de Elementos Vizinhos) Seja T H uma sequência de malhas com forma e contato regular com parâmetro ϱ. Então, para todo h H e para todo T, T T h que compartilham uma face F, cumpre-se min(h T, h T ) ϱ 1 ϱ max(h T, h T ). (4.9) Prova: Pode-se encontrar a demonstração em [3], pg. 6, lema Desigualdades Inversa e do Traço As desigualdades inversa e do traço são ferramentas úteis para analisar métodos de Galerkin descontínuo. Por simplicidade, derivaremos essas desigualdades sobre o espaço de polinômios quebrados P k d (T h) definido em (3.5). Lema 4.4 (Desigualdade Inversa) Seja T h uma sequência de malha de forma e contato regular com parâmetro ϱ. Então, para todo h H, e para todo v h P k d (T h), e todo T T h, onde C inv só depende de ϱ, d e k. v h [L (T )] d C invh 1 T v h L (T ), (4.10) Prova: A demonstração encontra-se em [3], pg. 6, lema Lema 4.5 (Desigualdade do traço discreta) Seja T h uma sequência de malha de forma e contato regular com parâmetro ϱ. Então, para todo h H, e para todo v h P k d (T h), todo T T h, e todo F F T v h L (F ) h 1/ T C tr v h L (T ), (4.11) onde C tr só depende de ϱ, d e k. 35

45 Prova: A demonstração encontra-se em [3], pg. 7, lema Lema 4.6 (Desigualdade do traço continuo) Seja T h uma sequência de malha de forma e contato regular. Então, para todo h H, e para todo v H 1 (T h ), todo T T h, e todo F F T v L (F ) C cti( v [L (T )] d + dh 1 T v L (T )) v L (T ), (4.1) onde C cti := ϱ 1 1 se T h é encaixada e simplicial, enquanto C cti := (1 + d)(ϱ 1 ϱ ) 1 em outro caso. Prova: A demonstração encontra-se em [3], pg. 8, lema Aproximações Polinomiais Para inferir da estimativa (4.7) uma taxa de convergência em h para a aproximação do erro (u u h ) medida na norma onde a solução exata é o suficientemente suave, precisamos estimar primeiro o lado direito da desigualdade por inf y h V h u y h onde V h é o espaço de polinômios quebrados P k d (T h) definida em (3.5). Como u h V h, de (4.7) temos que inf u y h u u h C inf u y h (4.13) y h V h y h V h Definição 4.7 (Otimalidade, Quasi-otimalidade e subotimalidade) Dizemos que a estimativa de erro (4.13) é (i) Ótima se =, 36

46 (ii) Quasi-ótima se as duas normas são diferentes, mas os limitantes superior e inferior de (4.13) converge, para uma u suave, na mesma taxa de convergência quando h 0, (iii) Subótima se o limitante superior converge a uma taxa menor que o limitante inferior. A análise do limitante superior inf u y h depende das propriedades de aproximação polinomial que podem se efetuar no espaço de polinômios quebrados V h y h V h. Definição 4.8 (Aproximação polinomial ótima) Dizemos que uma sequência de malha T h tem propriedades de aproximação polinomial ótima se, para todo h H, todo T T h, e todo polinômio de grau k; existe um operador de interpolação IT k : L (T ) P k d (T ) tal que, para todo s {0,..., k + 1} e todo v Hs (T ), vale v I k T v H m (T ) C app h s m T v H s (T ) m {0,..., s}, (4.14) onde C app é independente de T e h. Definição 4.9 (Sequência de malhas admissíveis) Dizemos que uma sequência de malha T H é admissível se é uma malha com forma e contato regular e se tem propriedades de aproximação polinomial ótima. Lema 4.7 (Otimalidade da projeção ortogonal de L ) Seja T H uma sequência de malha admissível. Seja π h a projeção ortogonal de L sobre P k d (T ). Então, para todo s {0,..., k + 1} e todo v H s (T ) vale v π h v H m (T ) C apph s m T v H s (T ) m {0,..., s}, (4.15) onde C app é independente de T e h. 37

47 Prova: Pela definição da projeção ortogonal de L, e fazendo m = 0 na definição (4.8) temos v π h v L (T ) v I k T v L (T ) C app h s T v H s (T ). (4.16) Para m 1, usamos m vezes a desigualdade inversa (4.10) e junto com a desigualdade triangular inferimos v π h v H m (T ) v I k T v H m (T ) + I k T v π h v H m (T ) usando desig. triangular v IT k v H m (T ) + C h m T Ik T v π h v L (T ) usando desig. inversa m vezes [ v IT k v H m (T ) + C h m T I k T v v L (T ) + v π h v L (T )] = v IT k v H m (T ) + C h m T Ik T v v L (T ) + C h m T v π hv L (T ) v IT k v H m (T ) + C h m T Ik T v v L (T ) + C h m T v Ik T v L (T ) = v I k T v H m (T ) + C h m T v Ik T v L (T ), C app h s m T v H s (T ) + C h m T C apph s T v H s (T ) usando (4.14) e (4.16) = (1 + C )C app h s m T v H s (T ) (4.17) onde C tem as mesmas dependências de C app. Lema 4.8 (Aproximação polinomial sobre faces da malha) Sob as hipóteses do lema (4.7), e supondo que s 1. Então, para todo h H, todo T T h e toda face F F T vale e se s, v π h v L (F ) C apph s 1/ T v H s (T ), (v π h v) T n T L (F ) C apph s 3/ T v H s (T ), onde C app e C app são independentes de T e h. 38

48 Capítulo 5 Equação Advecção-Reação A equação advecção-reação com condição de fronteira homogênea β u + µu = f em, (5.1) u = 0 sobre, (5.) Aqui, a função desconhecida u é de valor escalar e representa, por exemplo, uma concentração de alguma substância; β é a velocidade de advecção com valores em R d, µ o coeficiente de reação, f é o termo de fonte, e de denota a parte da fronteira de onde o fluxo entra, isto é: := {x β(x) n(x) < 0} (5.3) O principal objetivo deste capítulo é o de aplicar e analisar o métodos de Galerkin descontínuo para aproximar o problema modelo (5.1) e (5.). Antes de começar, vamos especificar condições sobre os dados para o problema modelo (5.1) e (5.), e assim formular este problema na sua forma fraca, e mostrar 39

49 que é bem posto. Em relação aos dados µ e β supomos que µ L (), β [Lip()] d (5.4) onde Lip() := {v = R L v tal que x, y, v(x) v(y) L v x y }. Daí β [W 1, ()] d com β i [L ()] d L β i i {1,..., d} onde (β 1,..., β d ) são as componentes de β. Definimos L β := max 1 i d L β i. (5.5) Além de (5.4), supomos que existe um número real µ 0 > 0 tal que Λ := µ 1 β µ 0 em q.t.p. (5.6) Em relação ao termo fonte f, supomos que f L (). Finalmente, lembremos que é um poliedro em R d, no que segue, consideraremos uma referência de tempo τ c e uma referência de velocidade β c definidas como τ c := {max( µ L (), L β )} 1, β c := β [L ()] d. (5.7) Nosso primeiro objetivo é especificar o espaço funcional no qual a solução do problema modelo (5.1) pertence. Seja C0 () o espaço de funções infinitamente diferenciáveis com suporte compacto em e lembremos que este espaço é denso em L (). Para uma função v L (), a afirmacão β v L () significa que a forma linear C0 () R φ v (βφ) 40

50 é limitada em L, isto é, C v tal que φ C 0 (), v (βφ) C v φ L (). Definição 5.1 (Espaço Grafo) O espaço grafo é definido como V := {v L () β v L ()} (5.8) com o produto escalar v, w V, (v, w) V := (v, w) L () + (β v, β w) L (), (5.9) e a norma associada norma grafo v V = (v, v) 1/ V Proposição 4 O espaço grafo da definição (5.1) equipada com o produto escalar (, ) V é um espaço de Hilbert. Prova: A demonstração encontra-se em [3], pg. 40, lema.. O próximo passo é especificar matematicamente o significado das condições de fronteira (5.). Para este propósito, precisamos pesquisar o traço sobre de funções no espaço grafo V. Nosso objetivo é dar significado para tais traços no espaço L ( β n ; ) := { } v é mensurável sobre β n v <. (5.10) Lema 5.1 (Traço e integração por partes.) No contexto acima, o operador tra- 41

51 ço γ : C 0 () L ( β n ; ) v γ(v) := v estende-se continuamente a V, isto significa que C γ tal que v V, γ(v) L ( β n ; ) C γ v V. Além disso, a seguinte fórmula de integração por partes vale v, w V, [(β v)w + (β w)v + ( β)vw] = (β n)γ(v)γ(w). Prova: A prova deste lema pode ser encontrado em [3], pg. 44, lema.5. Agora com o uso deste lema, já podemos estabelecer a formulação fraca do problema (5.1) e com isso derivar o bom posicionamento do modelo. Para um número real x, definimos sua parte positiva e negativa respectivamente como x := 1 ( x + x), x := 1 ( x x) (5.11) Observamos que ambas quantidades são não negativas. Introduzimos a seguinte forma bilinear: v, w V, a(v, w) := µvw + (β v)w + (β n) vw. (5.1) Esta forma bilinear é limitada em V V, precisamente a(v, w) (1 + µ L ()) 1/ v V w L () + C γ v V w V. 4

52 Usando o espaço grafo V e a forma bilinear a, o problema modelo (5.1) pode ser convertido na forma fraca Encontrar u V tal que a(u, w) = fw w V (5.13) Proposição 5 (Caracterização da solução de (5.13)) Suponha que u V soluciona (5.13). Então, β u + µu = f q.t.p. em (5.14) u = 0 sobre (5.15) Lema 5. (Coercividade em L de a) A forma bilinear a definida por (5.1) é L -coerciva sobre V, isto é, v V a(v, v) µ 0 v L () + 1 β n v. (5.16) As demonstrações da proposição 5 e do lema 5. podem se encontrar em [3] na página 43. Teorema 5.1 (Boa colocação) O problema (5.13) é bem posto. Prova: A demonstração encontra-se em [3], pg. 44, lema.9. Agora veremos que acontece no caso em que a condição de fronteira é não homogênea, i.e., u = g sobre. Estendemos o dado da fronteira g a sendo zero fora de e supomos que g L ( β n ; ). 43

53 Então o problema modelo na forma fraca fica assim: Encontrar u V tal que a(u, w) = fw + (β n) gw w V (5.17) O resultado chave para pesquisar as condições de fronteira não homogêneas é a sobrejetividade do operador traço γ : V L ( β n ; ) definido no lema (5.1) Lema 5.3 (Sobrejetividade do traço) Para todo g L ( β n ; ), existe u g V tal que u g = g q.t.p em +. Além disso, existe C, que somente depende de e β, tal que u g V C g L ( β n ; ) Prova: A demonstração encontra-se em [3], pg. 46, lema.11. Teorema 5. (Boa colocação) O problema (5.17) é bem posto. Além disso, sua única solução u V satisfaz (5.14) e u = g q.t.p em. Prova: A demonstração encontra-se em [3], pg. 47, lema.1. Com isso presente analisaremos o método de Galerkin descontínuo para aproximar o problema modelo (5.13). Conforme à seção (4.1), o método é elaborado de modo a ser consistente, e a possuir estabilidade discreta assegurada pela coercividade em L. Nós vimos uma solução aproximada no espaço de polinômios quebrados P k d (T h) definido em (3.5). Supomos que k 1 e que T h pertence a alguma sequência de malha de forma regular. Seja V h := P k d (T h) e consideremos o problema discreto: Encontrar u h V h tal que a h (u h, v h ) = fv h v h V h, para uma forma bilinear discreta a h ainda a ser proposta. Para analisar o método, faremos uma suposição de regularidade um pouco mais forte sobre a solução exata u que agora pertencem ao espaço grafo V. Esta suposição 44

54 é necessária para formular a consistência do método, ao colocá-la diretamente na forma bilinear discreta a h. Em particular, é preciso considerar o traço da solução exata em cada face da malha. Supomos que existe uma partição P = { i } 1 i N de em poliedros disjuntos tal que, para a solução exata u, u V := V H 1 (P ). (5.18) Assim como na seção (4.1), seja V h := V + V h. Devido à desigualdade do traço (3.8) com p =, a suposição anterior implica que para todo T T h, a restrição u T tem traço q.t.p sobre cada face F F T, e esses traços pertencem a L (F ). Com isto é possível mostrar o seguinte lema Lema 5.4 (Saltos de u através das interfaces) A solução exata u V é tal que, para todo F F i h, (β n F ) [u] (x) = 0 q.t.p em x F. (5.19) Prova: A demonstração encontra-se em [3], pg. 48, lema.14. Quando trabalhamos com condição de fronteira não homogênea u = g sobre, o problema discreto fica assim Encontrar u h V h tal que a h (u h, v h ) = fv h + (β n) gv h v h V h Derivação Heurística A idéia principal para elaborar a forma bilinear discreta a h é de obter a coercividade em L que vale no caso contínuo e ao mesmo tempo mantermos a consistência. Nosso ponto inicial é uma forma bilinear discreta a (0) h,a qual é derivada da forma 45

55 bilinear exata a substituindo o termo de advecção β por seu termo equivalente discreto β h, isto é definimos sobre V h V h, a (0) h (v, w h) := {µvw h + (β h v)w h } + (β n) vw h. Podemos ver que a (0) h tem consistência pois a solução exata satisfaz (5.14) e (5.15). Agora centraremos a análise na coercividade discreta. Uma observação importante é que esta propriedade não é transferida de a a a (0) h. De fato: Integrando por partes sobre cada elemento da malha temos, para cada v h V h, a (0) h (v h, v h ) = = = { } µv h + (β h v h )v h + (β n) vh µvh + (β v h )v h + (β n) vh T T h Λv h + T T h T T 1 (β n T )v h + (β n) v h, onde lembremos que Λ = µ 1 v β e que n T denota a normal exterior a T sobre T. O segundo termo da expressão do lado direito pode ser reformulado como uma soma sobre faces da malha. Fazemos isto aproveitando a continuidade de β através das interfaces obtemos T T h T 1 (β n T )vh = F F i h F 1 (β n F )[vh ] + F F b h F 1 (β n)v h. Para todo F F i h com F = T 1 T, v i = v h Ti, i {1, }, vemos que 1 [v h ] = 1 (v 1 v ) = 1 (v 1 v )(v 1 + v ) = [v h ] {v h }, 46