CURSO DE MICROECONOMIA 2

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1 CURSO DE MICROECONOMIA 2 TEORIA DOS CONTRATOS - Seleção Adversa PROF Mônica Viegas e Flavia Chein Cedeplar/UFMG 2/2009 Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

2 O Modelo Padrão Agente que troca um vetor de mercadorias q por uma transferência p. As funçôes utilidade são de nidas por: Principal: W(q, t) Agente: U(q, t, θ) - quando o contrato é assinado o agente conhece o seu próprio tipo θ. - o principal tem uma crença sobre o tipo do agente a qual é representada por uma distribuição de probabilidade f com distribuição acumulada F(Θ) (prior) - O agente tem um contínuo possível de tipos. - Pelo princípio da revelação sabemos que o principal deve ofertar ao agente um menu de contratos (q (.), t (.)) indexados por um anúncio do tipo do agente que deve ser revelador no equilíbrio. Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

3 Análise da Restrição de Incentivos É necessário caracterizar os menus de contrato de modo que: (IC ) O agente θ escolhe (q (θ), t (θ)) que o principal desenhou para ele (IR) O agente obtém pelo menos o nível de utilidade de reserva e o menu de contratos (q (θ), t (θ)) maximiza a utilidade esperada do principal entre todos os menus que satisfazem (IR) e (IC ). Faça V θ, bθ ser a utilidade alcançada pelo agente do tipo θ que anuncia ser do tipo bθ e portanto aufere utilidade dada por: V θ, bθ = U q b θ, t b θ, θ Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

4 O mecanismo (q, t) satisfaz as restrições de incentivos se e somente se sendo revelador faz com que todos os tipos de agente tenham o máximo de utilidade. V θ, bθ 2 Θ 2, Θ = θ, θ V (θ, θ) V θ, bθ (IC ) Para simpli car o problema vamos supor duas hipóteses: Hipótese 1: q é unidimensional (ou seja se for qualidade ou quantidade, mas tem apenas uma dimensão) Hipótese 2: Supomos que o espaço de tipos está contido na reta real. Isso equivale a dizer que os tipos têm apenas uma dimensão em que podem se diferenciar. Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

5 Restrição de Compatibilidade de Incentivos Para que (q, t) seja compatível com incentivos são condições necessárias (não são su cientes, mas podem ser se o problema for côncavo) que as condições de 1a e 2a ordem sejam válidas: ( V (θ, θ) = 0 (cpo) ) 8θ 2 Θ bθ 2 V bθ 2 (θ, θ) 0 (cso) Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

6 Restrição de Compatibilidade de Incentivos Condição de Primeira Ordem:(Derivando em relação ao θ que o indivíduo anuncia ser) V θ, bθ V θ = U q b θ, t b θ, θ = U (q, θ) t (θ) = U dq dt q dθ dθ Condição de Segunda Ordem: = 0 =) U q dq dθ = dt dθ 2 V θ 2 (θ, θ) = U q dt θ q θ dθ = 2 U q 2 q 2 + U d 2 q θ q dθ 2 =) d 2 t dθ 2 2 U q 2 q 2 + U θ q d 2 t dθ 2 0 (IC 1 ) d 2 q dθ 2 (IC 2 ) Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

7 Restrição de Compatibilidade de Incentivos Diferenciando a condição de primeira ordem em relação a θ : U dq q dθ Substituindo em IC 2 : = dt dθ d 2 t dθ 2 = 2 U q 2 q 2 + U d 2 q θ q dθ U q q θ θ =) 2 U q 2 d 2 t dθ 2 2 U q q 2 θ dq dθ =) 2 U dq q θ dθ U d 2 q q dθ 2 (IC 2 ) 2 + U d 2 q q dθ U q q θ θ 2 U q 2 dq 2 + U d 2 q dθ q dθ 2 Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

8 Restrição de Compatibilidade de Incentivos Consequentemente as condições de 1a e 2a ordem podem ser escritas como: ( U dq q d θ 8θ 2 Θ = ) dt d θ (IC 1 ) 2 U q q θ θ 0 (IC 2) A maior parte dos modelos simpli ca a análise supondo que a derivada cruzada tem sinal constante. A condição sobre a derivada cruzada também é conhecida como condição de Spence-Mirrlees ou condição de cruzamento único. No caso concreto, supomos que a função de utilidade dos agentes é crescente e côncava. Vamos supor que esta derivada é estritamente crescente, 8θ 2 2 U dq Θ, 8q, q θ dθ > 0 Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

9 Desenhar o grá co: Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

10 Condição de Spence-Mirlees Intuição da Condição de Spence-Mirlees - agentes com tipos mais elevados, isto é, no caso que valorizam mais o bem, estão mais propensos a pagar por um adicional de qualidade do que os agentes com menor propensão. Indivíduos com tipo mais elevado têm curvas de indiferença mais inclinadas uma vez que u q aumenta com θ. =) É possível separar os tipos oferecendo alocações com q mais elevados para agentes do tipo mais elevado. Condição de Spence- Mirrlees = condição que permite separar os tipos Agora vamos mostrar que q pertence ao desenho de mecanismo direto e revelador (q, t) se e somente se q é não decrescente. Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

11 Desenho de mecanismos revelador da verdade Demonstração: Considere a condição de primeira ordem: V θ, bθ = u q b dq θ, θ b θ bθ q dθ Escrevendo IC 1 em bθ, temos: consequentemente: V θ, bθ = θ u q q b θ dq, bθ (θ) dθ c = dt b θ dθ u q b θ, θ q O sinal do lado direito é dado por: dt b θ dθ u q b dq θ, bθ b θ q dθ 2 q b θ, θ dq θ bθ b θ q θ dθ (Aplicação do teorema do valor intermediário) Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

12 Desenho de mecanismos revelador da verdade Dada acondição de Spence-Mirrlees este termo tem o mesmo sinal que θ bθ se q for não decrescente em θ. Assim, a função bθ! V θ, bθ cresce até que bθ = θ e depois decresce. Portanto bθ =θ é o maximo global de V θ, bθ e o mecanismo é revelador da verdade se q for não decrescente em θ. Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

13 Solucionando o modelo: -Contínuo de Tipos -Função Utilidade do Principal é separável W (t, q) = t C (q) (1) 8q, θ, U (q, θ) θ > 0 Uma mesma alocação dá para os tipos com θ mais elevado, nível de utilidade maior. Suponha que a condição de Spence-Mirrlees é válida: 2 U (q, θ) > 0 (2) q θ Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

14 Faça v(θ) ser a utilidade que o agente do tipo θ aufere no ponto ótimo. Como o mecanismo é revelador da verdade temos: v (θ) = V (θ, θ) = U (q (θ), θ) t (θ) (3) v =) U q θ q θ + U dt (q (θ), θ) θ dθ (4) U dq Mas no ponto de ótimo, temos que : q dθ = dt (IC 1 ) (5) dθ =) v θ =) U θ (q (θ), θ) > 0 (6) v(θ) = renda informacional que o agente do tipo θ aufere no ponto ótimo Esta renda informacional é crescente com os tipos. ACABAMOS DE DEMONSTRAR QUE QUANTO MAIS ELEVADO O TIPO MAIOR A RENDA INFORMACIONAL Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

15 PARA VER ESSE RESULTADO VAMOS CALCULAR A UTILIDADE DOS INDIVÍDUOS Utilidade do indivíduo que é do tipo θ e nge ser do tipo bθ pode ser escrita como: U q b θ, θ t b θ = v b θ + U q b θ, θ pois v b θ = V b θ, bθ = U q b θ, bθ que é necessariamente maior que a utilidade v b θ U t b θ q b θ, bθ uma vez que a utilidade é crescente em θ e θ > bθ. - A habilidade dos tipos mais elevados em ngirem ( se esconderem atrás dos tipos inferiores ) que são de tipos inferiores é o fato gerador da renda informacional. Esta renda é o preço que o principal tem que pagar para que estes tipos se revelem. Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

16 RESTRIÇÃO DE PARTICIPAÇÃO RESTRIÇÃO DE PARTICIPAÇÃO A hipótese de racionalidade individual (restrição de participação) pode ser reescrita apenas para o tipo mais baixo: 8θ, v (θ) 0 como v é crescente em θ, a restrição pode ser escrita apenas para o menor tipo. A restrição de participação pode ser reescrita como: 8θ, v (θ) 0 (7) Esta restrição é válida como igualdade uma vez que é custoso para o principal realizar transferências (caso contrário o lucro dele é menor) Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

17 Substituindo as transferencias Essas considerações nos permitem reescrever o problema do principal sem que seja necessário que este maximize nas transferências. Como visto vamos substituir as trasferências no problema do principal e maximizar escolhendo q(.). Temos que para cada tipo, a renda informacional é dada por: =) v (θ) = Z θ θ U θ (q (τ), τ) dτ Consequentemente, podemos reescrever as transferências como: t (θ) = U (q (θ), θ) v (θ) (8) = U (q (θ), θ) Z θ θ U θ (q (τ), τ) dτ (9) Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

18 O problema do principal Vamos agora retornar ao objetivo do Principal: Max Z θ θ θ [t (θ) c (q (θ))] f (θ) dθ substituindo o valor de t, obtemos Z θ Z θ U Max U (q (θ), θ) (q (τ), τ) dτ θ θ c (q (θ)) f (θ) dθ Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

19 Integrando por partes: Z udv = uv Z vdu Reescrevendo o segundo termo da função utilidade do principal: 1 = = Z θ Z θ θ Z θ θ Z θ θ U (q (τ), τ) dτ f (θ) dθ = θ θ {z } {z } dv u U θ (q (τ), τ) dτ F θ F (θ) Z θ U θ (q (θ), θ) (1 F 1 Usar a regra de Leibniz: (θ)) f (θ) dθ f (θ) K (x) = Z b a θ F (t, x) dt Z dk b dx = F x (t, x) dt + F [b(x), x] b0 (x) a F (θ) U θ (q (θ), θ) dθ Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

20 A função Utilidade do Principal pode ser reescrita como: Z θ θ U (q (θ), θ) U θ (q (τ), τ) (1 F (θ)) f (θ) c (q (θ)) f (θ) dθ Esta função pode ser reescrita como: Z θ θ H (q (θ), θ) f (θ) dθ que é o excedente virtual. Denominamos f (θ) = h (θ) (Hazard Rate) (1 F (θ)) Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

21 Se F(θ) fosse a probabilidade de morrer antes da idade θ, por exemplo, então h(θ) é a probabilidade instanânea de morrer na idade θ condicionado a ter sobrevivido até a idade θ. H (q (θ), θ) consiste de dois termos: U (q (θ), θ) c (q (θ)) (Excedente Social do First Best) O segundo termo consiste de: v0 (θ) h (θ) mensura o impacto do problema de incentivos no excedente social O termo resulta da necessidade de se garantir renda informacional v(θ) crescente. Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

22 Se a alocação do tipo θ é aumentada, então também o é a sua renda informacional e para manter compatível com incentivos o principal deve também elevar a renda de todos os tipos θ 0 > θ. Resta considerar a segunda condição da restrição de incentivos: 2 U q q θ θ 0 (IC 2) como estamos supondo que a single cross property está válida, temos que 2 U q θ > 0 Logo resta mostrar que q θ > 0 A maneira mais simples de proceder é negligenciar esta restrição em um primeiro momento. Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

23 A solução do principal é obtida maximizando o integrando: H q (q (θ), θ) = 0 H (q, θ) = U (q, θ) c (q) H q = U q c0 (q) U θ (q, θ) 1 h (θ) 2 U θ q (q, θ) 1 h (θ) = 0 =) U = c0 (q) + 2 U q θ q (q, θ) 1 h (θ) {z} {z } =) preço>cmg - representa o quanto se desvia da solução ótima. Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

24 Se a função q é não decrescente, este é o ótimo. (Está satisfeita a condição de segunda ordem da restrição de incentivos). Tipos de θ mais elevados tem uma alocação q mais elevada e pagam mais por isto. É sempre possível fazer hipóteses que garantam o resultado de separação. Se por exemplo U(q, θ) = θq e C é convexa, o leitor pode checar que supondo que a hazard rate é não decrescente é condição su ciente para implicar que q* é crescente. Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25

25 Se q* é decrescente em um subintervalo, então esta função não pode ser a solução. É necessarío considerar apenas as regiões onde q é não descrescente. Vamos veri car que a solução irá consistir de subintervalos no qual q é crescente e q é constante. Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 2/ / 25