Uma equação de duas variáveis representa, geometricamente, uma reta no plano. Exemplo: x + y = 1

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1 Uma equação de duas variáveis representa, geometricamente, uma reta no plano. Exemplo: x + y = 1 Na forma da função afim: y = x + 1 Temos uma variável livre: x. O valor de y depende do valor de x escolhido, que pode ser qualquer valor real. A reta é unidimensional. Na reta temos infinitos pontos, não apenas o que o gráfico mostra. Se o grau da equação não fosse um, o gráfico seria curvo, ou melhor, possuiria curvatura. Por exemplo: y= 2x 2 3x + 6 é uma parábola. A equação y= x 1, grau 1, é uma hipérbole. O que representa uma equação com três variáveis? Uma equação LINEAR com três variáveis do tipo ax + by + cz = k, onde a, b, c e k são números reais. Por analogia ao caso com duas variáveis, podemos deduzir que este objeto é bidimensional, uma superfície, pois com três variáveis só conseguiremos uma solução que verifique a equação se atribuirmos dois valores aleatórios e calcular o terceiro, por exemplo, atribuir um valor de z e um valor a y e calcular x. Ou seja, temos duas variáveis livres. Também podemos deduzir que este objeto está inserido no espaço tridimensional, assim como a reta está inserida no plano (espaço bidimensional). Analogamente, podemos dizer que essa superfície tem infinitos pontos é ilimitada e não possui curvatura. Que superfície seria essa? UM PLANO. A interpretação geométrica é análoga ao sistema com duas equações e duas incógnitas, pois a solução de um sistema é o conjunto de valores que satisfazem as equações ao mesmo tempo. Resolver um sistema de duas equações e três incógnitas é equivalente a encontrar a intersecção existente entre dois planos. O tipo de intersecção entre dois planos define a posição relativa entre em eles. Temos três posições relativas possíveis: Paralelos, coincidentes e concorrentes. = 1 2 = 1 = t

2 Exemplos: Determine a posição relativa entre os planos abaixo: (a) 1 : 2x + 3y + 6z = 5 e : 4x + 6y + 12z = 8. (b) 1: 2x + 3y + 6z = 5 e 2: 4x + 6y + 12z = 10. (c) : 2x + 3y + 6z = 5 e : 2x + y 3z = 1. 1 Assim como retas são identificadas por letras minúsculas do nosso alfabeto, planos são identificados por letras gregas.

3 Continuando a analisar a intersecção entre, agora três planos, os casos já não são tão simples e poucos. Para estudarmos qual a posição relativa entre estes planos precisamos fazer um estudo mais profundo do que simplesmente analisar a classificação do sistema, se SPD, SPI ou SI. Será mostrado aqui um caso proveniente de cada tipo de classificação. Uma posição relativa para SPD, uma posição relativa para SPI, e uma posição relativa para SI. Observação: Cada solução de um sistema é um ponto em comum entre os três planos. Se o sistema é SPD, possui uma solução, ou seja, UM PONTO de intersecção, se o sistema é SPI, existem infinitas soluções, ou seja, infinitos pontos em comum entre os planos. Se e o sistema é SI, não possui solução, isto é, os três planos não possuem pontos em comum. (a) Uma solução: Se o sistema é SPD, encontrarmos um trio-ordenado (x,y,z) que satisfaz as três equações. A interpretação geométrica é que os três planos têm em comum um único ponto. Não há outra posição relativa, cujo sistema seja SPD. Indicado pelo ponto vermelho. Veja que cada par de planos existe uma reta de intersecção, as três retas se interseccionam num único ponto. Exemplo dessa situação são os planos coordenados, cuja intersecção é a origem O do sistema cartesiano ortogonal tridimensional. (b) Infinitas soluções: Se o sistema é SPI, encontramos infinitos trio-ordenados (x,y,z) que satisfazem as três equações. A interpretação geométrica não é uma só, ou melhor, a posição dos planos admite mais de uma possibilidade. Uma delas é o exemplo ao lado, todos os planos concorrem em uma reta, indicada em vermelho. Existem mais duas posições relativas associadas a sistemas SPI. As desenhe abaixo:

4 (c) Não possui solução: Se o sistema é SI, não é possível encontrar nenhum trio-ordenado que satisfaça as três equações AO MESMO TEMPO. Novamente, a interpretação geométrica não é uma só. Uma da possibilidade é ter dois planos paralelos e outro oblíquo. Dessa forma os planos se interseccionam por pares formando retas, mas elas são paralelas e assim não se interseccionam, por isso nenhum ponto dessas retas pode ser comum aos três planos ao mesmo tempo. Existem mais três possibilidades de posições relativas entre três planos relacionados a sistemas SI. As desenhe abaixo: Tomando como base que sabemos agora determinar quando dois planos são paralelos, coincidentes e concorrentes, podemos analisar a posição relativa com três planos analisando dois a dois. Existem três posições relativas em que não há planos paralelos ou planos coincidentes. Nesse caso só a classificação do sistema relativo pode determinar qual é essa posição. Dentre os desenhos que fizeste, ou os que já estavam prontos circule estes casos. Exemplos: Determine a posição relativa entre os planos abaixo: : 2x + 3y + 6z = 5, : x y + z = 3 e : 3x + 2y + 7z = 8.

5 1. Determine a posição relativa entre os planos e descritos abaixo. Para os planos que forem concorrentes determine a equação da reta comum aos planos: (a) : 3x + 2y + z = 1 e : 2x y + 4z = 5 (b) : 4x + y z = 0 e : 2x y + 3z = 4 (c) : 2x 5y + z = 3 e : 8x 20y + 4z = 4 (d) : 4x 6y + 2z = 18 e : 6x 9y + 3z = Temos oito posições relativas possíveis para três planos,, e. Associe cada sistema abaixo com uma dessas posições relativas, justificando sua resposta. x y z 1 3x 2y z 0 (a) x 2y 2z 3 (f) x 5y z 1 x y z 2 5x 8y z 5 x y z 1 (b) 2x y z 3 5x 2y 4z 6 (g) 3x 6y 9z 3 5x 10y 15z x 2y 3z 1 2 x 2y z 3 (c) 2x 4y 2z 1 3x 6y 3z 3 (h) 3x 2y z 3 x 2y z 1 4 4x 8y 4z 1 (d) x y 3z 1 2x y 5z 6 3x 2y z 7 (e) 6x 2y 4z 2 3x y 2z 1 15x 5y 10z 5 3t 2 t x x 4 x 14 3t 3 7 5t t y (a) S y 5 3t (b) S y (c) S 2 z t;t lr 3 3t z t; t lr z 2 w t; t lr x 1 2k y 12 7k (d)s={(3,2)} (e) S = (f) S z 10 6k t k;t lr (g) x 14 12t 13 17t y S 2 (h) S 9 9t z 2 w t; t lr x y z 10 19t 8 2 9t 8 t; t lr