Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande. Capítulo 3. Sistemas de Equações Lineares

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1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande Capítulo Sistemas de Equações Lineares

2 . Sistemas de Equações Lineares.. Definição Equação linear: É uma equação que envolve certo número de variáveis onde estas se apresentam como monômios de uma variável, apenas com grau e coeficientes reais. Exemplos: ) x + y ez + w = 2 Aqui as variáveis são x, y, z e w, seus coeficientes são reais,,, -e (número de Napier) e. 2 é o termo independente. 2) xy + 5z = 7 Apresenta um monômio com duas variáveis, isso torna o grau da equação igual a 2. ) x y² + z = 0 O segundo monômio tem grau 2. 4) 5x 4y 9 z O terceiro monômio, na verdade, tem grau, pois a variável z está no denominador. Sistemas de equações lineares: É um conjunto de equações lineares onde a solução que se procura deve maneira satisfazer todas as equações ao mesmo tempo. Não necessariamente se tem o mesmo número de equações e de incógnitas. Exemplos: x 2y z 8 x y z 7 x y z w 0 x 5y z 0 2x 4y z 0 x y z 2w 5 x y 2x y z w x y z 24 x y z equações equações 4 equações incógnitas 4 incógnitas incógnitas A existência da solução não é garantida em nenhuma dessas de situações, seja número de equações igual ao de incógnitas, mais equações que incógnitas ou mais incógnitas que equações. Mais tarde analisaremos um sistema segundo a existência ou não de solução. Mesmo que abordemos apenas os sistemas lineares, em determinadas situações podemos fazer adaptações e resolver sistemas não lineares por métodos lineares..2. Algumas aplicações Para motivar o estudo dos sistemas lineares, mostraremos algumas aplicações antes de qualquer coisa. Apenas algumas, pois a obtenção e resolução de um sistema de equações se faz presente na maioria das áreas do conhecimento, além das ciências exatas onde o uso de sistemas seria óbvio. Resolver sistemas de equações é necessário em qualquer estudo onde se pesquise a interação de variáveis em determinado fenômeno ou experimento. Nem todos os sistemas que iremos encontrar serão lineares, mas os exemplos abaixo sim. Aplicação : Circuitos Elétricos. Com o objetivo de encontrar os valores das correntes no circuito ao lado, com o auxílio da lei de Kirchhof é obtido o seguinte sistema:

3 I I2 I 4I I2 8 I 2 4I 6 0 Aplicação 2: Balanceamento de equações químicas. Quando procuramos a quantidade certa de átomos que iguale a quantidade de reagente e produto numa reação química, por exemplo, a combustão da amônia (NH ) em oxigênio (O 2) que produz gás nitrogênio (N 2) e água (H 2O). Representada por: wnh + xo 2 yn 2 + zh 2O Em que: w é a quantidade de nitrogênio, x é a quantidade de oxigênio, y a quantidade de nitrogênio e z a quantidade de água. Podemos notar uma quantidade de amônia não produz a mesma quantidade de nitrogênio, pois cada molécula de amônia possui um átomo de nitrogênio, enquanto o gás nitrogênio possui dois átomos de nitrogênio, por isso é importante o balanceamento que gera o seguinte sistema: w 2y w 2z 2x z Note que o sistema possui mais incógnitas que equações, este fato não impede que exista solução para o sistema. Aplicação : Distribuição de temperatura numa placa metálica. A temperatura em cada ponto interior P de uma placa metálica é aproximadamente a média aritmética das temperaturas nos pontos adjacentes a P. Esse enunciado nos permite encontrar as temperaturas nos pontos t, t 2 e t indicadas na placa de formato triangular, onde cada lado está sendo implicada uma temperatura diferente. Aplicando o enunciado obtemos o seguinte sistema: 4t t2 250 t 4t 2 t 50 t2 4t Solução de um sistema de equações. Naturalmente, uma n-upla será a solução de um sistema que possui n incógnitas se verifica identicamente todas as equações do sistema. Um se sistema pode ter apenas uma solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Exemplos:. Verifique se o trio ordenado x y z 7 2x 4y z 0 x y 8,,4 é solução do sistema:

4 2. Verifique se as quádruplas ordenadas (, 5, 9, ) e (, 2, 0, ) são soluções do sistema: x y z w 0 x y z 2w 5 2x y z w. Verifique se o trio ordenado (,, ) é solução do sistema abaixo: x y z 7 2x 4y z 2x 2y 2z 6.4. Classificação de um sistema de equações lineares. Sistema Possível e Determinado e Indeterminado Existe uma única solução. Existem infinitas soluções. Sistema Impossível Não existe solução.

5 Está é só a classificação, ainda não temos subsídios para, a priori, classificar o sistema. O único meio é tentando resolvê-lo. A impossibilidade de termos, por exemplo, apenas duas soluções num sistema linear, ficará claro na interpretação geométrica desses sistemas..5. Interpretação Geométrica de solução de um sistema de equações lineares 2x2. Sistemas 2x2 são aqueles que possuem 2 incógnitas e 2 equações. Já conhecemos esse tipo de sistema sabemos resolvê-los por dois métodos: substituição e adição. Exemplo:(a) Resolva o sistema: x x y 2y 6 (b) O que representa geometricamente cada equação do sistema? Faça o gráfico. (c) O que representa a solução do sistema geometricamente?.6. Posição relativa entre retas. Vimos no exemplo anterior que quando o sistema tem solução as retas se interseccionam num ponto e aí as chamamos de concorrentes. As retas

6 ainda podem ser paralelas ou coincidentes. Consideramos o caso de coincidentes, pois algebricamente podemos escrever a equação de uma reta de várias formas, por exemplo, x y = e 2x 2y = 6. Algebricamente temos duas equações, geometricamente são a mesma reta. (a) Retas paralelas: As retas paralelas no plano, por definição, são aquelas que não possuem ponto de intersecção. Por isso analisamos este caso quando o sistema é. (b) Retas coincidentes: Retas coincidentes têm todos os pontos em comum, pois na verdade são uma mesma reta. Assim analisamos este caso quando o sistema com as equações da reta é. Podemos analisar de uma forma mais simples, pois as equações podem ser simplificadas, tornando-se idênticas. (c) Retas concorrentes: Retas que possuem um ponto em comum, portanto o sistema com as equações dessas retas é. Concluímos que basta resolver o sistema, ou melhor, classificá-lo para determinar a posição relativa entre as retas representadas pelas equações lineares. Exemplo: Determine a posição relativa entre os pares de retas abaixo: (a) r: 2x y = 7 e s: x + 5y =. (b) r: 2x y = 7 e s: 4x 6y =. (c) r: 4x 6y = 7 e s: 0x 5y = 5. Analisar a posição relativa entre retas sem a necessidade de representação no plano cartesiano é vantajosa, pois assim não precisamos nos basear em gráficos imprecisos, decorrentes de nossas ferramentas defeituosas ou até mesmo pressa..7. Exercícios. Verifique se a terna (0,,) é solução dos sistemas:

7 (a) x y z 2 x y z 0 2x 2y z (b) x y z 2 x y z 0 2x y z 0 2. Um nutricionista pretende misturar três tipos de alimentos (A, B e C) de forma que a mistura resultante contenha 600 unidades de vitaminas, 2500 unidades de minerais e 2700 unidades de gorduras. As unidades por gramas de vitaminas, minerais e gorduras dos alimentos constam da tabela abaixo: Vitaminas Minerais Gordura A B C Quantas gramas do alimento C devem compor a mistura?. Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? 4. Identifique porque o sistema abaixo é impossível: x y 7z 0 4x 2y 6z 8 2x y z 6 5. Determine as posições relativas entre os pares de reta abaixo, se forem concorrentes determine o ponto de intersecção: (a) r: x + y = 2 e s: 2x + 2y = 2 (b) r: 2x y = e s: x + 4y = (c) t: 2x + y = 4 e s: 4x + y = 2 (d) r: x 6y = 2 e t: x 2y = 4