MVO-10 Desempenho de Aeronaves

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1 MVO-10 Desempenho de Aeronaves (carga horária: 64 horas) Flávio Silvestre / Maurício Morales Departamento de Mecânica do Vôo Divisão de Engenharia Aeronáutica Instituto Tecnológico de Aeronáutica 2012

2 Ementa da disciplina MVO-10 - DESEMPENHO DE AERONAVES Requisito: noções de aerodinâmica. Horas semanais: Conteúdo: Desempenho pontual: planeio, voo horizontal, subida, voo retiĺıneo não-permanente, manobras de voo, diagrama altitude-número de Mach. Desempenho integral: cruzeiro, voo horizontal não-permanente, subida e voos curviĺıneos. Decolagem e aterrissagem.

3 Vinh, N. K., Flight mechanics of high-performance aircraft, New York, University Press, 1993; Paglione, P., Apostila de MVO-02: Desempenho de Aeronaves, 1985; Asselin, M., An introduction to aircraft performance, AAIA, 1997 (AIAA Education Series); Ojha, S. K., Flight performance of aircraft, Washington, AAIA, 1995 (AIAA Ed. Series). Bibliografia auxiliar: Talay, T. A., Introduction to the Aerodynamics of Flight. NASA SP-367, 1975; Yechout, T. R., Introduction to Aircraft Flight Mechanics. AIAA Education Series, 2003; Olson, W. M., Aircraft Performance Flight Testing. Technical Information Handbook, Air Force Flight Test Center, Edwards Air Force Base, California, 2000; Cook, M. V., Flight Dynamics Principles. Elsevier Aerospace

4 Ementa da disciplina : Prof. Morales introdução ao MatLab modelo atmosférico modelo aerodinâmico modelo propulsivo componentes de um avião Dedução das equações do movimento Desempenho nos diversos seguimentos da trajetória cruzeiro subida descida e planeio decolagem e aterrissagem curvas outras figuras de mérito

5 PARTE I

6 aeronave concebida para realizar determinada missão ex: PAX, carga, aplicações militares (alto desempenho), planadores (competição),... missão: requer uma trajetória decolagem, subida, cruzeiro, manobras (ex: curvas), descida, aterrissagem controle da trajetória tração resultante

7 Ementa da disciplina Características de desempenho de interesse: intervalo de velocidades de operação: velocidade mínima, velocidade máxima teto de voo manobrabilidade: taxa de subida, raio de curvatura, velocidade de curva alcance, para uma data quantidade de combustível tempo de voo, para uma data quantidade de combustível

8 Ementa da disciplina Objetivo geral: desempenho máximo para dada situação. Exemplos: problema do alcance: círculo de máximo raio que contendo as distâncias que se pode percorrer: altitude, tração, resultante aerodinâmica aeroporto London City problema da curva coordenada, H=cte: mínimo raio, máxima velocidade angular Problema da decolagem / aterrissagem: mínima pista London City, pista: 1500m (BBI: 4000m) problema da subida / descida: máxima razão de subida / descida Flávio Silvestre / Maurício Morales MVO-10 Desempenho de Aeronaves 2012 c wikpedia c dassault

9 Exemplo: informações de desempenho do fabricante (fonte:

10 Exemplo: informações de desempenho do fabricante (fonte:

11 Exemplo: informações de desempenho do fabricante (fonte:

12 Exemplo: informações de desempenho do fabricante (fonte:

13 Ementa da disciplina sistema terrestre fixo origem: ponto fixo sobre a superfície da Terra zi: vertical, apontando para o centro da Terra xi e y I: repousam sobre o plano horizontal sistema terrestre móvel eixos paralelos ao fixo origem no CM sistema inercial: considerado coincidente com o terrestre fixo sistema do corpo ( body reference frame BRF, body axes ): velocidades e acelerações da aeronave sistema aerodinâmico: resultante aerodinâmica sistema propulsivo: tração transformação entre sistemas de referência

14 Ementa da disciplina sistema do corpo, body axes (Cx b y b z b ): utilizado em estabilidade e controle, simulação de vôo e para referenciar grandezas dinâmicas medidas por sensores fixos à estrutura da aeronave como acelerações e velocidades angulares. origem C: CM do veículo; x b roll CM z b pitch yaw y b longitudinal axis eixo-x b : aribitrário, mas normalmente coincide com a linha de referência da fuselagem; eixo-z b : no plano de simetria da aeronave, apontando para fora do ventre da aeronave; eixo-y b : completa um triedro ortogonal dextrógiro

15 Ementa da disciplina sistema aerodinâmico (Cx a y a z a ): também chamado de sistema de trajetória em relação ao ar, utilizado nos estudos de desempenho de aeronaves e para expressar as forças aerodinâmicas origem C: CM da aeronave; x b a x a V b z b plano de simetria xb zb plano formado por xa e yb CM z a y b y a eixo-x a : coincide com o vetor velocidade da aeronave em relação ao ar ( vento relativo ) eixo-z a : no plano de simetria da aeronave, apontando para fora do ventre da aeronave eixo-y a : completa um triedro ortogonal dextrógiro

16 Os ângulos de Euler expressam a orientação relativa entre dois sistemas de referência. Rotações sucessivas, numa ordem determinada, levam um sistema a coincidir com o outro. Os três principais conjuntos de ângulos de Euler usados na mecânica do vôo são: sistema terrestre móvel sistema do corpo: ψ, θ, φ (proa, atitude longitudinal, inclinação lateral) sistema terrestre móvel sistema aerodinâmico: χ, γ, µ (rumo, ângulo de trajetória, rolamento aerodinâmico) sistema aerodinâmico sistema do corpo: β, α, 0 (ângulo de derrapagem, ângulo de ataque)

17 Do sistema terrestre para o sistema do corpo são necessárias três rotações sucessivas: x b x 3 rotação de ψ em torno do eixo ϕ z y 1 θ 1 (vertical) x 2 y 2 y 3 (x 1,y 1,z 1 ) (x 2,y 2,z 2 ) x 1 CM y b rotação de θ em torno do eixo y 2 ψ y (x 2,y 2,z 2 ) (x 3,y 3,z 3 ) E x E O rotação de φ em torno do eixo z 3 x 3 x b do corpo z b z 1 z 2 sistema terrestre fixo z E (x 3,y 3,z 3 ) (x b,y b,z b )

18 1 a rotação: ângulo ψ em torno do eixo z do sistema terrestre móvel. No final o eixo x está no plano ox b z b do corpo. u 2 = u 1 cosψ +v 1 sinψ v 2 = u 1 sinψ +v 1 cosψ w 2 = w 1 u 2 v 2 w 2 = cosψ sinψ 0 sinψ cosψ } {{ } L ψ u 1 v 1 w 1

19 2 a rotação: ânguloθ emtornodoeixoy doprimeirosistemaintermediário. Nofinaloeixox dosegundosistemaintermediáriocoincidecomodocorpo. u 3 = u 2 cosθ w 2 sinθ v 3 = v 2 w 3 = u 2 sinθ+w 2 cosθ u 3 v 3 w 3 = cosθ 0 sinθ sinθ 0 cosθ } {{ } L θ u 2 v 2 w 2

20 3 a rotação: ângulo φ em torno do eixo x do segundo sistema intermediário. No final todos os eixos coincidem. u = u 3 v = v 3 cosφ+w 3 sinφ w = v 3 sinφ+w 3 cosφ u v w = cosφ sinφ 0 sinφ cosφ } {{ } L φ u 3 v 3 w 3

21 Matriz de rotação para passar do sistema terrestre para o sistema do corpo. L bt = L φ L θ L ψ = cosθcosψ cosθsinψ sinθ sinφsinθcosψ cosφsinψ cosφcosψ +sinφsinθsinψ sinφcosθ cosφsinθcosψ +sinφsinψ sinφcosψ +cosφsinθsinψ cosφcosθ ComoamatrizL bt éortogonal,atransformaçãoinversaébastantesimples: L tb = L 1 bt = L T bt = cosθcosψ sinφsinθcosψ cosφsinψ cosφsinθcosψ +sinφsinψ cosθsinψ cosφcosψ +sinφsinθsinψ sinφcosψ +cosφsinθsinψ sinθ sinφcosθ cosφcosθ

22 Exemplo: força peso no sistema terrestre W t = força peso no sistema do corpo 0 0 mg W b = L bt W t = mg sinθ mg sinφcosθ mg cosφcosθ

23 Para melhor visualização:

24 Lembrando que: sistema terrestre móvel sistema do corpo: ψ, θ, φ (proa, altitude longitudinal, inclinação lateral) sistema terrestre móvel sistema aerodinâmico: χ, γ, µ (rumo, ângulo de trajetória, rolamento aerodinâmico) Então a matriz de rotação para passar do sistema terrestre móvel para o sistema aerodinâmico é análoga à matriz que passa do do sistema terrestre móvel para o sistema do corpo, bastando apenas trocar ψ, θ e φ por χ, γ e µ. L at = cosγcosχ cosγsinχ sinγ sinµsinγcosχ cosµsinχ cosµcosχ+sinµsinγsinχ sinµcosγ cosµsinγcosχ+sinµsinχ sinµcosχ+cosµsinγsinχ cosµcosγ

25 ComoamatrizL at éortogonal,atransformaçãoinversaébastantesimples: L ta = Lat 1 = L T at = cosγcosχ sinµsinγcosχ cosµsinχ cosµsinγcosχ+sinµsinχ cosγsinχ cosµcosχ+sinµsinγsinχ sinµcosχ+cosµsinγsinχ sinγ sinµcosγ cosµcosγ Exemplo: velocidade aerodinâmica no sistema aerodinâmico (V) a = V 0 0 velocidade aerodinâmica no sistema terrestre móvel (V) t = L ta (V) a = V cosγcosχ V cosγsinχ V sinγ

26 Do sistema aerodinâmico para o sistema do corpo são necessárias DUAS rotações sucessivas: plano formado rotação de β em torno do por xa e yb eixo z a, pertencente por b x a V y b ao plano x b z b da aeronave (plano de simetria) x b a z b plano de simetria xb zb CM z a y a (x a,y a,z a ) (x e,y e,z e ) rotação de α em torno do eixo y e y b (x e,y e,z e ) (x b,y b,z b )

27 1 a rotação: ângulo β em torno do eixo z. No final os eixos y coincidem u 2 = u 1 cosβ v 1 sinβ v 2 = u 1 sinβ +v 1 cosβ w 2 = w 1 u 2 v 2 w 2 = cosβ sinβ 0 sinβ cosβ } {{ } L β u 1 v 1 w 1

28 2 a rotação: ângulo α em torno do eixo y. No final, todos os eixos coincidem. u = u 2 cosα w 2 sinα v = v 2 w = u 2 sinα+w 2 cosα u v w = cosα 0 sinα sinα 0 cosα } {{ } L α u 2 v 2 w 2

29 matriz de cosαcosβ cosαsinβ sinα L ba = L α L β = sinβ cosβ 0 sinαcosβ sinαsinβ cosα Exemplo 1: força de arrasto aerodinâmico no sistema aerodinâmico D a = D 0 0 força de arrasto aerodinâmico no sistema do corpo D cosαcosβ D b = L ba D a = D sinβ Dsinαcosβ

30 força de sustentação aerodinâmica no sistema do corpo L b = L α 0 0 = Lsinα 0 L Lcosα força lateral aerodinâmica no sistema do corpo Y b = 0 Y a 0 resultante aerodinâmica no sistema do corpo A b = D b +Y b +L b = D cosαcosβ +Lsinα D sinβ +Y a D sinαcosβ Lcosα

31 Exemplo 2: velocidade aerodinâmica no sistema aerodinâmico V a = V 0 0 velocidade aerodinâmica no sistema do corpo V b = L ba V a = V cosαcosβ V sinβ = u v V sinαcosβ w Note que: α = arctan w u, β = arcsin v V, V = u 2 +v 2 +w 2

32 Em outras palavras: o ângulo de derrapagem (β) é o ângulo entre o vetor-velocidade e o plano de simetria da aeronave; o ângulo de ataque (α) é o ângulo formado pela componente do vetor-velocidade no plano de simetria da aeronave e a linha de referência da fuselagem (LRF).

33 A transformação é idêntica à anterior (do sistema aerodinâmico para o sistema do corpo), sendo o sistema propulsivo equivalentemente definido pelos ângulos α T e β T. 1 a rotação: ângulo β T em torno do eixo z do motor. No final os eixos y coincidem. L βt = cos(β T) sin(β T ) 0 sin(β T ) cos(β T ) a rotação: ângulo α T em torno do eixo y do motor. No final todos os eixos coincidem. L αt = cos(α T) 0 sin(α T ) sin(α T ) 0 cos(α T )

34 matriz de transformação do sistema do motor para o sistema do corpo: L bp = L αt L βt = cos(α T)cos(β T ) cos(α T )sin(β T ) sin(α T ) sin(β T ) cos(β T ) 0 sin(α T )cos(β T ) sin(α T )sin(β T ) cos(α T ) Exemplo: força propulsiva no sistema de referência do motor ( T) p = T 0 0 força propulsiva no sistema de referência do corpo ( T) b = L bp ( T) p = T cos(α T)cos(β T ) T sin(β T ) T sin(α T )cos(β T )

35 ψ, θ e φ são componentes não ortogonais de ω a velocidade angular φ já está no sistema do corpo; a velocidade angular θ necessita de uma rotação φ para ser expressa no sistema do corpo; a velocidade angular ψ necessita de duas rotações (θ e φ) para ser expressa no sistema do corpo. ω b = p φ 0 0 q = 0 +L φ θ +L φ L θ 0 r 0 0 ψ p q = 1 0 sinθ φ 0 cosφ sinφcosθ θ r 0 sinφ cosφcosθ ψ

36 Invertendo a expressão anterior obtem-se: φ θ ψ = 1 sinφtanθ cosφtanθ 0 cosφ sinφ 0 sinφ/cosθ cosφ/cosθ p q r Ou então: φ = p +tanθ(q sinφ+r cosφ) θ = q cosφ r sinφ ψ = q sinφ+r cosφ cosθ

37 Analogamente, tem-se a relação entre o vetor velocidade angular ω da aeronave nos eixos aerodinâmicos e as derivadas dos ângulos de Euler χ, γ, µ: Ou então: ω a = p a q a r a = 1 0 sinγ 0 cosµ sinµcosγ 0 sinµ cosµcosγ p a = µ χsinγ q a = γcosµ+ χsinµcosγ r a = γsinµ+ χcosµcosγ µ γ χ

38 Aplicação da 2a. Lei de Newton Casos particulares da dinâmica da aeronave: estudo do desempenho (MVO-10) estudo da estabilidade (MVO-30) controle automático (MVO-20 + MVO-30) Estudo do desempenho, hipóteses: Terra plana (g = cte) e sem rotação: assumida referencial inercial movimento de translação do CG da aeronave massa variável, POR ÉM: variação no momento linear associada à queima de combustível (ṁv) é desprezível

39 2a. Lei de Newton para translação: m dv dt relação cinemática: variação de massa: = F ext = W }{{} gravidade dr dt + A }{{} aero + T }{{} prop (1) = V (2) dm dt = C F (H,M,π) }{{} consumo específico de combustível (3) dedução no sistema aerodinâmico: sistema da trajetória

40 Seja: dv = derivada temporal do vetor velocidade, medida pelo dt observador fixo no referencial inercial; δv = derivada temporal do vetor velocidade, medida pelo δt observador fixo no sistema não-inercial, que gira em torno do inercial com velocidade angular ω Da análise vetorial, tem-se que: dv dt = δv δt +ω V

41 Sejam: a velocidade angular ω a do sistema aerodinâmico em relação ao referencial inercial, expressa no sistema aerodinâmico: ω a = p a µ χsinγ q a = γcosµ+ χsinµcosγ r a γsinµ+ χcosµcosγ a velocidade do CM da aeronave expressa no sistema aerodinâmico: V a = V 0 0 as forças externas descritas no sistema aerodinâmico: F ext a = X a Y a = A a +W a +T a Z a

42 Aplicando a 2 a Lei de Newton: [ ] F ext δva a = m +ω a V a δt V F a ext = m 0 +m V 0 = m 0 0 p a q a r a V r a V q a V Substituindo as relações entre velocidade angular w e as derivadas do ângulos de Euler: X a m V Y a = mv( χcosγcosµ γsinµ) Z a mv( χcosγsinµ+ γcosµ) Agora basta expressar as forças externas no sistema aerodinâmico

43 Forças externas: força aerodinâmica força peso A a = D Y a L W a = L at 0 0 = mg mg sinγ mg cosγsinµ mg cosγcosµ força de tração T a = L ab F cos(α F)cos(β F ) F sin(β F ) F cos(α α F)cos(β β F ) F cos(α α F )sin(β β F ) F sin(α F )cos(β F ) F sin(α α F )

44 Substituindo as forças externas: m V = F cos(α α F )cos(β β F ) D mg sinγ mv( χcosγcosµ γsinµ) = F cos(α α F )sin(β β F )+Y a +mg cosγsinµ mv( χcosγsinµ+ γcosµ) = F sin(α α F )+L mg cosγcosµ Isolando as variáveis de estado: m V = F cos(α α F )cos(β β F ) D mg sinγ mv cosγ χ = [L+F sin(α α F )]sinµ+[y a F cos(α α F )sin(β β F )]cosµ mv γ = [L+F sin(α α F )]cosµ [Y a F cos(α α F )sin(β β F )]sinµ mg cosγ

45 Da velocidade aerodinâmica descrita no sistema terrestre móvel temos as equações cinemáticas: V t = L ta V a = V cosγcosχ ẋ t V cosγsinχ = ẏ t V sinγ ḣ Ou seja: ẋ t = V cosγcosχ ẏ t = V cosγsinχ ḣ = V sinγ

46 Resumo As equações foram deduzidas utilizando o sistema aerodinâmico em relação ao sistema terrestre, o qual foi considerado inercial. Ficamos com os seguintes estados e controles: x = V χ γ x t y t h m u = F α β µ

47 No estudo de trajetórias ótimas, costuma-se adotar: aeronave simétrica derrapagem nula (β = 0) Y a 0 α F β F 0 peso variável m V =F(H,M,π)cosα D(H,M,α) mg sinγ mv cosγ χ =(F(H,M,π)sinα+L(H,M,α))sinµ mv γ =(F(H,M,π)sinα+L(H,M,α))cosµ mg cosγ ẋ =V cosγcosχ ẏ =V cosγsinχ ḣ =V sinγ ṁ = C i (H,M,π)