Problemas e exercícios do capítulo 5

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1 Problemas e exercícios do capítulo 5 CAPÍTULO 5: 1) Um circuito de Fórmula Mundial circular, com 320 m de raio, tem como velocidade de segurança 40 m/s. Calcule a tangente do ângulo de inclinação da pista. Observação: velocidade de segurança é a velocidade com a qual o carro pode trafegar sem que nenhuma força de atrito lateral seja exercida em suas rodas. RESOLUÇÃO: Da figura temos que: => 2) Um brinquedo consiste em duas pequenas bolas A e B, de mesma massa M, e um fio flexível: a bola B está presa na extremidade do fio e a bola A possui um orifício pelo qual o fio passa livremente. Para o jogo, um operador (com treino!) deve segurar o fio e girá-lo, de tal forma que as bolas descrevam trajetórias circulares, com o mesmo período T e raios diferentes. Nessa situação, como indicado na figura 1, as bolas permanecem em lados opostos em relação ao eixo vertical fixo que passa pelo ponto O. A figura 2 representa o plano que contém as bolas e que gira em torno do eixo vertical, indicando os raios e os ângulos que o fio faz com a horizontal. Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 1

2 Assim, determine: a) O módulo da força de tensão F, que permanece constante ao longo de todo o fio, em função de M e g. b) A razão K = sen /sen š, entre os senos dos ângulos que o fio faz com a horizontal. c) O número N de voltas por segundo que o conjunto realiza quando o raio R da trajetória descrita pela bolinha B for igual a 0,10 m. Não há atrito entre as bolas e o fio. Considere sen š 0,4 e cos š 0,9; 3. RESOLUÇÃO: Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 2

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4 EXEMPLO 5-9. PÁGINA:139. Você está girando um balde que contém uma quantidade de água de massa m, em um círculo vertical de raio r. Se a rapidez no topo do círculo é v topo, encontre: (a) A força F BA exercida pelo balde sobre a água no topo do circulo. (b) o valor mínimo de v topo para que a água permaneça dentro do balde. (c) Qual é a força exercida pelo balde sobre o balde na base do círculo, onde a rapidez do balde é V base? RESOLUÇÃO: Diagramas de forças (corpo livre) para a água no topo e na base do círculo. No topo a equação para as forças é: F ba + mg = mv 2 /R => F ab = m (V 2 topo/r - g) Na parte mais baixa a equação para as forças é:f ba -mg= mv 2 /R =>F ab = m (V 2 base/r + g) Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 4

5 EXEMPLO 5-12: PÁGINA 141. Uma curva de 30,0 m de raio é inclinada de um ângulo Θ. Isto é, a normal da superfície da estrada forma um ângulo Θ com a vertical. Encontre Θ para que o carro percorra a curva a 40,0 km/h, mesmo se a estrada está coberta de gelo, o que a torna praticamente sem atrito. RESOLUÇÃO: Ver questão 1 EXEMPLO 5-13: PÁGINA 142. Você é membro de uma equipe de testes de pneus de automóveis. Você está testando um novo modelo de pneus de corrida para verificar se, realmente, o coeficiente de atrito estático entre os pneus e o pavimento de concreto seco é 0,90, conforme alegado (afirmado) pelo fabricante. Um carro de corrida foi capaz de percorrer com rapidez constante um circulo de 45,7 m de raio em 15,2 s, sem derrapar. Despreze o arraste do ar e o atrito de rolamento, e suponha horizontal a superfície plana da pista. O carro percorreu com a máxima rapidez possível V, sem derrapar. (a) Qual foi a rapidez V? (b) Qual foi a aceleração? (c) Qual é o menor valor do coeficiente de atrito entre os pneus e a pista? Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 5

6 RESOLUÇÃO: Diagrama de corpo livre: 2008 by W.H. Freeman and Company V = 2πr/T = 2π 45,7/15,2 => V = 18,9 m/s; a c = V 2 /r = 18,9 2 / 45,7 => a c =7,81 m/s 2 => a t = 0. Observe o diagrama de forças. A força de atrito faz o papel da resultante centrípeta. Assim: μe.n = mv 2 /r => μe = mv 2 /r.mg = v 2 /rg = 18,9 2 / 45,7.9,81 = 0,796 => μe = 0,796 PÁGINA 159. EX 43. Um bloco de massa m 1 = 250 g está sobre um plano inclinado de um ângulo de 30 com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é 0,100. O bloco está amarrado a um segundo bloco de massa m 2 = 200 g que pende livremente de um cordão que passa por uma polia sem massa e sem atrito. Depois que um segundo bloco caiu 30,0 cm, qual é sua rapidez? Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 6

7 RESOLUÇÃO: Vamos adotar um sistema de coordenadas em que a direção + x é o da inclinação para o bloco cuja massa é m 1 e para baixo para o bloco cuja massa é m 2. Poderia ser adotado o sentido contrário.podemos encontrar a velocidade do sistema, quando se desloca um dado distância usando uma equação-aceleração constante (por exemplo a equação de Torricelli). Vamos supor que a cordão é sem massa e que não estica. Sob a influência das forças mostrados na os diagramas de livre do corpo, os blocos terão um uma aceleração comum. o aplicação da segunda lei de Newton para cada bloco, seguido pela eliminação de a tensão T e à utilização da definição de fk (força de atrito), permitirá determinar o aceleração do sistema. Observe que a força peso no bloco 2 é maior que o componente Px da força peso no bloco 1. Portanto, a tendência do bloco1 é subir o plano inclinado. Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 7

8 Aplicando a segunda Lei de Newton para cada bloco, temos: Bloco 2: P 2 - T = m 2.a Bloco 1: T - Px - fk = m 1.a atenção: fk = fat= μn = μpy = μmgcosθ Somando as equações dos blocos 1 e 2, isolando a aceleração e substituindo os valores com unidades no Sistema Internacional temos: Usando a equação de Torricelli : Livro Tipler capítulo 5 Página 156 1) Um caminhão viaja ao longo de uma estrada horizontal reta, carregando vários objetos. Se o caminhão esta aumentando sua rapidez, quais são as forças que, atuando sobre os objetos, também fazem com que eles aumentem de rapidez? Explique por que alguns objetos podem continuar em repouso sobre o piso, enquanto outros podem escorregar pra trás sobre o piso. RESOLUÇÃO: As forças de atrito estática e cinética são responsáveis pelas acelerações. Se o coeficiente de atrito estático entre os objetos e a carroceria do caminhão é suficientemente grande, então o objeto não escorregará na carroceria do caminhão. Quanto maior aceleração do caminhão, quanto maior deverá ser o coeficiente de atrito estático que é necessário para evitar o escorregamento. Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 8

9 3) Um bloco de massa m repousa sobre um plano inclinado de um ângulo Ɵ com a horizontal. Determine o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano. RESOLUÇÃO: Diagrama de corpo livre. Para situação de repouso, temos que: Px = mg senθ; Py = mg cosθ Px fat => μemgcosθµmgsenθ μeµtgθ Página 157: 11) Esta questão é um excelente quebra-cabeça inventado por Boris Korunsky. Dois blocos idênticos estão ligados por um cordão sem massa que passa por uma polia. Inicialmente, o ponto do meio do cordão está passando pela polia e a superfície sobre a qual está o bloco 1 não tem atrito. Os blocos1 e 2 estão inicialmente em repouso, quando o bloco 2 é largado, com o cordão tracionado e na horizontal. O bloco 1 atingirá a polia antes ou depois do bloco 2 atingir a parede? (Suponha que a distância inicial do bloco 1 à polia seja igual à distância inicial do bloco 2 à parede) RESOLUÇÃO: Diagrama de corpo livre. Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 9

10 Os seguintes diagramas de corpo livre mostram as forças que atuam sobre os dois objetos algum tempo após o bloco 2 é descartado. Observe que a tensão na corda é a mesma em ambos os lados da polia. A única força necessária para puxar o bloco 2 à esquerda é a componente horizontal da tensão. A componente desta força é menor do que a tração T e os blocos 1 e 2 têm a mesma massa, a aceleração do bloco 1 para a direita será sempre maior do que a aceleração do bloco 2 para a esquerda. Devido a distância inicial a partir do bloco 1 para a polia é o mesmo que o inicial distância do bloco 2 à parede, o bloco 1 vai bater na polia antes de bloco 2 bater na parede. 14) Um bloco escorrega sobre uma superfície sem atrito ao longo do trilho de perfil circular. O movimento do bloco é rápido o suficiente para impedir que ele perca contato com o trilho. Relacione os pontos ao longo do caminho com os respectivos diagramas de corpo livre. Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 10

11 RESOLUÇÃO: As únicas forças que atuam sobre o bloco são o seu peso e A força que a superfície exerce sobre ele. Como a superfície de loop-a-loop é sem atrito, a força que ela exerce sobre o bloco deve ser perpendicular à sua superfície. No ponto A o peso é para baixo e para a força normal é para a direita. A força normal é a força resultante centrípeta. Corpo livre diagrama 3 corresponde a estas forças. No ponto B o peso para baixo, a força normal é para cima, e a força normal é maior do que o peso de modo a que a sua diferença é a força resultante centrípeta. O diagrama 4 corresponde a essas forças. No ponto C, o peso é baixo e a força normal é para a esquerda. A força normal é a força resultante centrípeta. O diagrama 5 corresponde a estas forças. No ponto D, tanto o peso e a força normal são para baixo. Sua soma é a força Resultante centrípeta. O diagrama 2 corresponde a essas forças. Página ) Dois blocos ligados por um cordão deslizam para baixo sobre um plano inclinado de 10. O bloco 1 tem massa m 1 = 0,80 kg e o bloco 2 tem massa m 2 = 0,25 kg. Os coeficientes de atrito cinético entre o blocos e o plano são 0,30, para o bloco 1 e 0,20 para o bloco 2. Determine: a) a aceleração do sistema; b) a tração na corda. Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 11

12 RESOLUÇÃO: Suponha que a corda é sem massa e não estica. Em seguida, os blocos têm uma aceleração comum e a tensão na corda atua sobre ambos os blocos, de acordo com a terceira lei de Newton. Desenhe os diagramas de corpo livre para cada bloco e aplique a Segunda lei de Newton de movimento e à definição da força de atrito cinético para cada bloco para obtenção de equações simultâneas para determinar aceleração e tração T. Escrevendo a segunda Lei de Newton para cada bloco temos: Bloco 1: - μ 1 m 1 gcosθ + T + m 1 gsenθ = m 1 a Bloco 2: - μ 2 m 2 gcosθ - T + m 2 gsenθ = m 2 a Somando as duas equações e isolando a aceleração temos: Módulo de da aceleração: a = 0,96 m/s 2 Substituindo o valor da aceleração em qualquer uma das equações temos: T = 0,18 N. Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 12

13 56) Uma massa de 100 kg é puxada sobre uma superfície sem atrito e horizontal por uma força F, de forma que sua aceleração é a 1 = 6,00 m/s 2. Uma massa de 20 kg desliza sobre o topo da massa de 100 kg tem aceleração de a 2 = 4,00 m/s 2. (Deslizando para trás em relação á massa de 100 kg). a) Qual a força de atrito exercida pela massa de 100 kg sobre a massa de 20 kg? b) Qual a força resultante sobre a massa de 100 kg? Quanto vale a força F? c) Depois que a massa de 20 kg cair para fora da massa de 100 kg, qual é aceleração da massa de 100 kg? Suponha a força F inalterada. RESOLUÇÃO: As forças que atuam sobre cada uma dessas massas são mostradas no diagrama de corpo livre abaixo. m 1 representa a massa da massa 20,0 kg e m 2 que da massa 100 kg. Observe os diagramas de corpo livre para cada corpo. Escrevendo a segunda Lei de Newton para cada corpo, temos: Corpo 1: f k1 = m 1.a 1 Corpo 2: F - f k2 = m 2.a 2 = Fresultante Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 13

14 Lembrando que pela terceira Lei de Newton f k2 = f k1 => módulos das forças de atritos a) fk 1 = m 1.a 1 = 20,0.4,00 = 80 N b) m 2.a 2 = Fresultante => Fresultante = 100.6,00 = 600 N c) F = = 680 N => F = m 2.a => 680 = 100.a => a = 6,80 m/s 2 Ao cair o bloco de 20,0 kg, a força de atrito entre os blocos deixa de existir. Página ) Um pequeno objeto de massa m 1 se move em trajetória circular de raio r sobre uma mesa horizontal e sem atrito. Ele está preso a cordão que passa por um pequeno furo sem atrito no centro da mesa. Um segundo objeto, de massa m 2, está preso a outra extremidade do cordão. Deduza uma expressão para r em termos de m 1 e m 2 e o tempo T de revolução. RESOLUÇÃO: Suponha que o cordão é sem massa e que não faz esticar. Os diagramas de corpo livre para o dois objetos são mostrados à direita. O furo na mesa muda o sentido da tensão no cordão (o qual fornece uma força resultante centrípeta necessária para manter o objeto se movendo em uma trajetória circular). A aplicação da segunda Lei Newton ea definição de força resultante centrípeta nos levará a um expressão para r como uma função da M 1, M 2, e T o tempo para uma revolução. Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 14

15 81) Um bloco de massa m 1 está amarrado a um cordão de comprimento L 1 fixo por uma extremidade. O bloco se move em um circulo horizontal sobre uma mesa sem atrito. Um segundo bloco de massa m2 é preso ao primeiro por um cordão de comprimento L 2 e também se move em circulo sobre a mesa horizontal sem atrito. Se o período de movimento é T, encontre a tração na corda em termos dos dados informados. RESOLUÇÃO: Os diagramas de corpo livre mostram as forças que atuam sobre cada corpo. Escrevendo a Segunda Lei de Newton e usando a Resultante Centripeta, temos: Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 15

16 Página )Um avião está voando em círculo horizontal com velocidade d 480 km/h. O avião está inclinado para o lado, suas asas formando um ângulo de 40 com a horizontal. Considere uma força de sustentação perpendicular às asas atuando sobre a aeronave em seu movimento. Qual é o raio do circulo que o avião está descrevendo? Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 16

17 RESOLUÇÃO: A força de sustentação aerodinâmica ( ), normal às asas, e o peso ( ) do avião geram, por composição, a sua resultante centrípeta horizontal. : Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 17

18 Página ) Três massas pontuais, de 2,0 kg cada uma, estão localizadas no eixo x. Uma está na origem, outra em x = 0,20 me outra em x = 0,50 m. Encontre o centro de massa do sistema. RESOLUÇÃO: Da definição das coordenadas do centro de massa temos: 102) Em uma escavação arqueológica de final de semana, você descobre um velho machado consistindo em uma pedra simétrica de 8,0 kg presa à extremidade de um bastão uniforme. As medidas que você obteve são mostradas na figura. A que distância da extremidade livre do cabo está o centro de massa do machado? RESOLUÇÃO: Calcule separadamente o centro de massa da pedra e do bastão. Após determinar o centro de massa de cada peça, calcule o centro de massa do sistema pedra bastão. Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 18

19 Centro de massa do bastão: (80+18)/2 = 49 cm Centro de massa da pedra: = 89 cm 103) Três bolas A, B e C, com massas de 3,0 kg, 1,0 kg e 1,0 kg, respectivamente, estão ligadas por barras sem massas. a) Quais são as coordenadas do centro de massa? b) Uma força de 12 N i é aplicada à bola de 3,0 kg, não há forças sobre as outras bolas. Qual é a aceleração do cento de massa? RESOLUÇÃO: Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 19

20 Página ) Encontre o centro de massa da folha uniforme de compensado. Considere-a como um sistema efetivamente constituído de duas folhas, fazendo com que uma delas tenha massa negativa para dar conta do corte. Assim, uma delas é uma folha quadrada de 3 m de lado e massa m 1, e a outra, é uma folha retangular medindo 1,0 m x 2,0 m e com uma massa m 2. Localize a origem das coordenadas no canto esquerdo da folha. RESOLUÇÃO: A chapa pode ser dividida em retângulos menores. Determinamos o centro de massa de cada retângulo. Com o a chapa é homogênea e de espessura uniforme. Sua densidade é constante. Podemos escrever: d = m 1 /A 1 = m 2 /A 2 = m 3 /A 3. Assim a massa de cada parte da placa fica determinada: m 1 = d.a Substtituindo nas equações das coordenadas do centro de massa, chegamos nas relações abaixos. Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 20

21 Substituindo o centro de massa de cada retângulo e suas repectivas áresa temos: (Xcm = 1.5m, Ycm = 1.4m) 113) Duas partículas de 3,0 kg têm velocidades v 1 = (2,0 m/s) i + (3,0 m/s) j v 2 = (4,0 m/s) i - (6,0 m/s) j. Encontre a velocidade do centro de massa. RESOLUÇÃO: V cm = dx cm /dt 114) Um carro de 1500 kg desloca-se para oeste com velocidade de 20,0 m/s e um caminhão de 3000 kg viaja para o leste com velocidade de 16,0 m/s. Encontre a velocidade do sistema carro - caminhão. RESOLUÇÃO: Problemas e Exercícios do Capítulo 5 Página 21