Jogo de balanceamento de carga
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- Glória Teixeira de Almada
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1 Jogo de balanceamento de carga Dados: n tarefas m máquinas w i : peso da tarefa i s j : velocidade da máquina j Teoria dos Jogos p. 1
2 Jogo de balanceamento de carga Dados: n tarefas m máquinas w i : peso da tarefa i s j : velocidade da máquina j Cada jogador controla uma tarefa. Conjuntos de estratégias S i = [m]: o jogador escolhe a qual máquina atribuir sua tarefa. Teoria dos Jogos p. 1
3 Jogo de balanceamento de carga Dados: n tarefas m máquinas w i : peso da tarefa i s j : velocidade da máquina j Cada jogador controla uma tarefa. Conjuntos de estratégias S i = [m]: o jogador escolhe a qual máquina atribuir sua tarefa. Vetor de estratégias: atribuição A : [n] [m]. Teoria dos Jogos p. 1
![Conjuntos de estratégias S i = [m]: o jogador escolhe a qual máquina](/docs-images/49/7493302/images/page_3.jpg "atribuir sua tarefa. Vetor de estratégias: atribuição A : [n] [m].")
4 Jogo de balanceamento de carga Dados: n tarefas m máquinas w i : peso da tarefa i s j : velocidade da máquina j Cada jogador controla uma tarefa. Conjuntos de estratégias S i = [m]: o jogador escolhe a qual máquina atribuir sua tarefa. Vetor de estratégias: atribuição A : [n] [m]. Custo de A para i, onde j = A(i): custo i (A) = k:a(k)=j w k s j. Teoria dos Jogos p. 1
![Conjuntos de estratégias S i = [m]: o jogador escolhe a qual máquina atribuir sua tarefa.](/docs-images/49/7493302/images/page_4.jpg "Vetor de estratégias: atribuição A : [n] [m].")
5 Caso de máquinas relacionadas Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga em m máquinas relacionadas, PoA(m) = Θ ( lg m lg lg m). Primeira parte (aula passada): Mostrar que para jogos J = (n,m,w,s) e atribuições A : [n] [m] em equilíbrio vale que custo(a) = O ( lg m ). lg lg m Teoria dos Jogos p. 2
6 Caso de máquinas relacionadas Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga em m máquinas relacionadas, PoA(m) = Θ ( lg m lg lg m). Primeira parte (aula passada): Mostrar que para jogos J = (n,m,w,s) e atribuições A : [n] [m] em equilíbrio vale que custo(a) = O ( lg m ). lg lg m Segunda parte: Apresentar jogo J = (n,m,w,s) e atribuição A : [n] [m] em equilíbrio tal que custo(a) = Ω ( lg m ). lg lg m Teoria dos Jogos p. 2
![Primeira parte (aula passada): Mostrar que para jogos J = (n,m,w,s) e atribuições A : [n] [m] em](/docs-images/49/7493302/images/page_6.jpg "equilíbrio vale que custo(a) = O ( lg m ).")
7 Segunda parte Lema: Existe um jogo J = (n,m,w,s) e atribuição A : [n] [m] em equilíbrio tq custo(a) 1 2 ( Γ 1 (m) 2 o(1) ) opt(j). Teoria dos Jogos p. 3
8 Segunda parte Lema: Existe um jogo J = (n,m,w,s) e atribuição A : [n] [m] em equilíbrio tq custo(a) 1 2 ( Γ 1 (m) 2 o(1) ) opt(j). Prova: Seja q = Γ 1 (m/3) 1 e sejam G 0,...,G q grupos disjuntos de máquinas. Teoria dos Jogos p. 3
9 Segunda parte Lema: Existe um jogo J = (n,m,w,s) e atribuição A : [n] [m] em equilíbrio tq custo(a) 1 2 ( Γ 1 (m) 2 o(1) ) opt(j). Prova: Seja q = Γ 1 (m/3) 1 e sejam G 0,...,G q grupos disjuntos de máquinas. q! Grupo G k : k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. Teoria dos Jogos p. 3
10 Segunda parte Lema: Existe um jogo J = (n,m,w,s) e atribuição A em equilíbrio tq custo(a) 1 ( 2 Γ 1 (m) 2 o(1) ) opt(j). Prova: Seja q = Γ 1 (m/3) 1 e sejam G 0,...,G q grupos disjuntos de máquinas. q! Grupo G k : k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. Teoria dos Jogos p. 4
11 Segunda parte Lema: Existe um jogo J = (n,m,w,s) e atribuição A em equilíbrio tq custo(a) 1 ( 2 Γ 1 (m) 2 o(1) ) opt(j). Prova: Seja q = Γ 1 (m/3) 1 e sejam G 0,...,G q grupos disjuntos de máquinas. q! Grupo G k : k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. Total de máquinas: q q G k = k=0 k=0 q! q k! = q! k=0 1 k! 3 Γ(q + 1) m. Teoria dos Jogos p. 4
12 Segunda parte Lema: Existe um jogo J = (n,m,w,s) e atribuição A em equilíbrio tq custo(a) 1 ( 2 Γ 1 (m) 2 o(1) ) opt(j). Prova: Seja q = Γ 1 (m/3) 1 e sejam G 0,...,G q grupos disjuntos de máquinas. q! Grupo G k : k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. Total de máquinas: q q G k = k=0 k=0 q! q k! = q! k=0 1 k! 3 Γ(q + 1) m. Complete m com máquinas sem grupo e vazias de velocidade 1 (como as de G 0 ). Teoria dos Jogos p. 4
13 A está em equilíbrio? Seja q = Γ 1 (m/3) 1 e sejam G 0,...,G q grupos disjuntos de máquinas. q! Grupo G k : k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. Teoria dos Jogos p. 5
14 A está em equilíbrio? Seja q = Γ 1 (m/3) 1 e sejam G 0,...,G q grupos disjuntos de máquinas. q! Grupo G k : k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. Carga em A de máquina em G k é k. Teoria dos Jogos p. 5
15 A está em equilíbrio? Seja q = Γ 1 (m/3) 1 e sejam G 0,...,G q grupos disjuntos de máquinas. q! Grupo G k : k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. Carga em A de máquina em G k é k. Então tarefa em máquina de G k não quer mudar para máquina em G j com j k (que tem carga j k), Teoria dos Jogos p. 5
16 A está em equilíbrio? Seja q = Γ 1 (m/3) 1 e sejam G 0,...,G q grupos disjuntos de máquinas. q! Grupo G k : k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. Carga em A de máquina em G k é k. Então tarefa em máquina de G k não quer mudar para máquina em G j com j k (que tem carga j k), nem para máquina de G j com j < k, pois j + 2k 2 j = j + 2k j j + (k j + 1) = k + 1, já que 2 t t + 1 pra todo t 1. Teoria dos Jogos p. 5
17 Jogo e equilíbrio Seja q = Γ 1 (m/3) 1 e sejam G 0,...,G q grupos disjuntos de máquinas. q! Grupo G k : k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. A é um equilíbrio de custo social q. Teoria dos Jogos p. 6
18 Jogo e equilíbrio Seja q = Γ 1 (m/3) 1 e sejam G 0,...,G q grupos disjuntos de máquinas. q! Grupo G k : k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. A é um equilíbrio de custo social q. Vamos mostrar que opt(j) 2. Teoria dos Jogos p. 6
19 Jogo e equilíbrio Seja q = Γ 1 (m/3) 1 e sejam G 0,...,G q grupos disjuntos de máquinas. q! Grupo G k : k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. A é um equilíbrio de custo social q. Vamos mostrar que opt(j) 2. Considere atribuição A que atribui a máquinas de G k 1 as tarefas que A atribuiu a máquinas de G k. Teoria dos Jogos p. 6
20 Jogo e equilíbrio Seja q = Γ 1 (m/3) 1 e sejam G 0,...,G q grupos disjuntos de máquinas. q! Grupo G k : k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. A é um equilíbrio de custo social q. Vamos mostrar que opt(j) 2. Considere atribuição A que atribui a máquinas de G k 1 as tarefas que A atribuiu a máquinas de G k. Tarefas que A atribuiu a G k : k G k = q!k k! = q! (k 1)! = G k 1. Teoria dos Jogos p. 6
21 Jogo e equilíbrio Seja q = Γ 1 (m/3) 1 e sejam G 0,...,G q grupos disjuntos de máquinas. q! Grupo G k : k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. A é um equilíbrio de custo social q. Vamos mostrar que opt(j) 2. Considere atribuição A que atribui a máquinas de G k 1 as tarefas que A atribuiu a máquinas de G k. Tarefas que A atribuiu a G k : k G k = q!k k! = q! (k 1)! = G k 1. Uma tarefa em cada máquina, com custo de 2k 2 = 2. k 1 Teoria dos Jogos p. 6
22 Conclusão G 0,...,G q grupos de máquinas com q = Γ 1 ( m 3 ) 1. Grupo G k : q! k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. A é um equilíbrio de custo social q e opt(j) 2. Teoria dos Jogos p. 7
23 Conclusão G 0,...,G q grupos de máquinas com q = Γ 1 ( m 3 ) 1. Grupo G k : q! k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. A é um equilíbrio de custo social q e opt(j) 2. Preço da anarquia deste jogo: q 2 = Γ 1 (m/3) 1 2 Teoria dos Jogos p. 7
24 Conclusão G 0,...,G q grupos de máquinas com q = Γ 1 ( m 3 ) 1. Grupo G k : q! k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. A é um equilíbrio de custo social q e opt(j) 2. Preço da anarquia deste jogo: q 2 = Γ 1 (m/3) 1 2 Como Γ 1 (m) = Θ ( lg m lg lg m), existem c e m 0 tq Γ 1 (m) c ( lg m lg lg m), para m m0. Teoria dos Jogos p. 7
25 Conclusão G 0,...,G q grupos de máquinas com q = Γ 1 ( m 3 ) 1. Grupo G k : q! k! máquinas com velocidade 2k, cada uma com k tarefas de peso 2 k atribuídas por A. A é um equilíbrio de custo social q e opt(j) 2. Preço da anarquia deste jogo: q 2 = Γ 1 (m/3) 1 2 Como Γ 1 (m) = Θ ( lg m lg lg m), existem c e m 0 tq Γ 1 (m) c ( lg m lg lg m), para m m0. Então, para m 3m 0, o preço da anarquia é Γ 1 (m/3) 1 2 c ( lg m/3 lg lg m/3) 1 2 = Ω ( lg m ). lg lg m Teoria dos Jogos p. 7
26 Tempo de convergência No caso de máquinas relacionadas, não se conhece resultado como o para máquinas idênticas. Teoria dos Jogos p. 8
27 Tempo de convergência No caso de máquinas relacionadas, não se conhece resultado como o para máquinas idênticas. Mas podemos computar um equilíbrio eficientemente. Teoria dos Jogos p. 8
28 Tempo de convergência No caso de máquinas relacionadas, não se conhece resultado como o para máquinas idênticas. Mas podemos computar um equilíbrio eficientemente. Algoritmo LPT (largest processing time): Teoria dos Jogos p. 8
29 Tempo de convergência No caso de máquinas relacionadas, não se conhece resultado como o para máquinas idênticas. Mas podemos computar um equilíbrio eficientemente. Algoritmo LPT (largest processing time): Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, Teoria dos Jogos p. 8
30 Tempo de convergência No caso de máquinas relacionadas, não se conhece resultado como o para máquinas idênticas. Mas podemos computar um equilíbrio eficientemente. Algoritmo LPT (largest processing time): Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo. Teoria dos Jogos p. 8
31 Tempo de convergência No caso de máquinas relacionadas, não se conhece resultado como o para máquinas idênticas. Mas podemos computar um equilíbrio eficientemente. Algoritmo LPT (largest processing time): Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo. Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio. Teoria dos Jogos p. 8
32 Tempo de convergência No caso de máquinas relacionadas, não se conhece resultado como o para máquinas idênticas. Mas podemos computar um equilíbrio eficientemente. Algoritmo LPT (largest processing time): Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo. Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio. Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas). Teoria dos Jogos p. 8
33 Tempo de convergência No caso de máquinas relacionadas, não se conhece resultado como o para máquinas idênticas. Mas podemos computar um equilíbrio eficientemente. Algoritmo LPT (largest processing time): Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo. Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio. Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas). Após colocarmos a última tarefa, apenas outras tarefas da mesma máquina podem ter se tornado insatisfeitas. Teoria dos Jogos p. 8
34 LPT devolve um equilíbrio Algoritmo LPT (largest processing time): Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo. Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio. Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas). Seja t a última tarefa, e j a máquina a que foi atribuída. Apenas tarefas alocadas a j podem estar insatisfeitas. Teoria dos Jogos p. 9
35 LPT devolve um equilíbrio Algoritmo LPT (largest processing time): Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo. Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio. Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas). Seja t a última tarefa, e j a máquina a que foi atribuída. Apenas tarefas alocadas a j podem estar insatisfeitas. Seja i < t uma tarefa alocada a j. Lembre-se que w i w t. Teoria dos Jogos p. 9
36 LPT devolve um equilíbrio Algoritmo LPT (largest processing time): Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo. Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio. Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas). Seja t a última tarefa, e j a máquina a que foi atribuída. Apenas tarefas alocadas a j podem estar insatisfeitas. Seja i < t uma tarefa alocada a j. Lembre-se que w i w t. Então l(j ) s j l(j)+w t s j l(j)+w i s j, para todo j em [m] (onde l(j) é a soma dos pesos das tarefas atribuídas a j). Teoria dos Jogos p. 9
37 LPT devolve um equilíbrio Algoritmo LPT (largest processing time): Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo. Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio. Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas). Seja t a última tarefa, e j a máquina a que foi atribuída. Apenas tarefas alocadas a j podem estar insatisfeitas. Seja i < t uma tarefa alocada a j. Lembre-se que w i w t. Então l(j ) s j l(j)+w t s j l(j)+w i s j, para todo j em [m] Logo i está satisfeita e a atribuição está em equilíbrio. Teoria dos Jogos p. 9
38 Jogo de balanceamento de carga Dados: n tarefas m máquinas w i : peso da tarefa i s j : velocidade da máquina j Teoria dos Jogos p. 10
39 Jogo de balanceamento de carga Dados: n tarefas m máquinas w i : peso da tarefa i s j : velocidade da máquina j Jogo com estratégias mistas Conjunto S = [m] e cada jogador escolhe uma distribuição de probabilidade σ i em S. Teoria dos Jogos p. 10
40 Jogo de balanceamento de carga Dados: n tarefas m máquinas w i : peso da tarefa i s j : velocidade da máquina j Jogo com estratégias mistas Conjunto S = [m] e cada jogador escolhe uma distribuição de probabilidade σ i em S. Vetor de estratégias mistas: σ = (σ 1,...,σ n ) Teoria dos Jogos p. 10
41 Jogo de balanceamento de carga Dados: n tarefas m máquinas w i : peso da tarefa i s j : velocidade da máquina j Jogo com estratégias mistas Conjunto S = [m] e cada jogador escolhe uma distribuição de probabilidade σ i em S. Vetor de estratégias mistas: σ = (σ 1,...,σ n ) Custo de σ para i: custo i (σ) = A S n custo i (A) Pr σ [A]. Teoria dos Jogos p. 10
42 Exemplo Duas máquinas idênticas, duas tarefas de peso 2, duas de peso 1. Teoria dos Jogos p. 11
43 Exemplo Duas máquinas idênticas, duas tarefas de peso 2, duas de peso Pior equilíbrio de estratégias puras tem makespan 4. Teoria dos Jogos p. 11
44 Exemplo Duas máquinas idênticas, duas tarefas de peso 2, duas de peso Pior equilíbrio de estratégias puras tem makespan 4. Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente. E[l(j)] = = = 3 Teoria dos Jogos p. 11
45 Exemplo Duas máquinas idênticas, duas tarefas de peso 2, duas de peso 1. Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente. E[l(j)] = = = 3 Teoria dos Jogos p. 12
46 Exemplo Duas máquinas idênticas, duas tarefas de peso 2, duas de peso 1. Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente. E[l(j)] = = = 3 Custo c ij para tarefa i ficar numa máquina específica j: c j i = E[l(j)] = 4 se w i = 2 = E[l(j)] = 3,5 se w i = 1 Teoria dos Jogos p. 12
47 Exemplo Duas máquinas idênticas, duas tarefas de peso 2, duas de peso 1. Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente. E[l(j)] = = = 3 Custo c ij para tarefa i ficar numa máquina específica j: c j i = E[l(j)] = 4 se w i = 2 = E[l(j)] = 3,5 se w i = 1 Independe do j, por isso é um equilíbrio. Teoria dos Jogos p. 12
48 Exemplo Duas máquinas idênticas, duas tarefas de peso 2, duas de peso 1. Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente. Este é um equilíbrio. Teoria dos Jogos p. 13
49 Exemplo Duas máquinas idênticas, duas tarefas de peso 2, duas de peso 1. Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente. Este é um equilíbrio. Qual é o makespan esperado? Teoria dos Jogos p. 13
50 Exemplo Duas máquinas idênticas, duas tarefas de peso 2, duas de peso 1. Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente. Este é um equilíbrio. Qual é o makespan esperado? 1 1 ( ) = ( ) = 4, Teoria dos Jogos p. 13
51 Exemplo Duas máquinas idênticas, duas tarefas de peso 2, duas de peso 1. Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente. Este é um equilíbrio. Qual é o makespan esperado? 1 1 ( ) = ( ) = 4, Isso é pior que o pior vetor de estratégias puras. Teoria dos Jogos p. 13
52 Quão pior pode ser? m máquinas idênticas (velocidade 1) e n tarefas de peso 1 Teoria dos Jogos p. 14
53 Quão pior pode ser? m máquinas idênticas (velocidade 1) e n tarefas de peso 1 Cada tarefa escolhe uma máquina com probabilidade 1/m. Teoria dos Jogos p. 14
54 Quão pior pode ser? m máquinas idênticas (velocidade 1) e n tarefas de peso 1 Cada tarefa escolhe uma máquina com probabilidade 1/m. Novamente é um equilíbrio. Teoria dos Jogos p. 14
55 Quão pior pode ser? m máquinas idênticas (velocidade 1) e n tarefas de peso 1 Cada tarefa escolhe uma máquina com probabilidade 1/m. Novamente é um equilíbrio. O ótimo é n/m e o makespan esperado? Teoria dos Jogos p. 14
56 Quão pior pode ser? m máquinas idênticas (velocidade 1) e n tarefas de peso 1 Cada tarefa escolhe uma máquina com probabilidade 1/m. Novamente é um equilíbrio. O ótimo é n/m e o makespan esperado? Balls and bins: cada uma de n bolas independentemente é colocada em um de m compartimentos escolhido uniformemente. Teoria dos Jogos p. 14
57 Quão pior pode ser? m máquinas idênticas (velocidade 1) e n tarefas de peso 1 Cada tarefa escolhe uma máquina com probabilidade 1/m. Novamente é um equilíbrio. O ótimo é n/m e o makespan esperado? Balls and bins: cada uma de n bolas independentemente é colocada em um de m compartimentos escolhido uniformemente. Quantas bolas no compartimento mais cheio? Teoria dos Jogos p. 14
58 Quão pior pode ser? m máquinas idênticas (velocidade 1) e n tarefas de peso 1 Cada tarefa escolhe uma máquina com probabilidade 1/m. Novamente é um equilíbrio. O ótimo é n/m e o makespan esperado? Balls and bins: cada uma de n bolas independentemente é colocada em um de m compartimentos escolhido uniformemente. Quantas bolas no compartimento mais cheio? Isso é exatamente o makespan esperado! Teoria dos Jogos p. 14
59 Delimitação inferior no PoA Balls and bins: cada uma de n bolas independentemente é colocada em um de m compartimentos escolhido uniformemente. Teoria dos Jogos p. 15
60 Delimitação inferior no PoA Balls and bins: cada uma de n bolas independentemente é colocada em um de m compartimentos escolhido uniformemente. Proposição: O valor esperado da ocupação máxima é Θ ( ln ln m (1+ mn ln m ) ). Teoria dos Jogos p. 15
61 Delimitação inferior no PoA Balls and bins: cada uma de n bolas independentemente é colocada em um de m compartimentos escolhido uniformemente. Proposição: O valor esperado da ocupação máxima é Θ ( ln ln m (1+ mn ln m ) ). Teorema: Para todo m, existe uma instância J do jogo de balanceamento de carga com m máquinas idênticas e n = m tarefas que têm um equilíbrio de Nash misto P com custo(p) = Ω ( ln m ln ln m) opt(j). Teoria dos Jogos p. 15
62 Delimitação superior no PoA Teorema: Considere uma instância J do jogo de balanceamento de carga com m máquinas idênticas e seja P um equilíbrio de Nash do jogo. Vale que custo(p) = O ( ln m ln ln m) opt(j). Teoria dos Jogos p. 16
63 Delimitação superior no PoA Teorema: Considere uma instância J do jogo de balanceamento de carga com m máquinas idênticas e seja P um equilíbrio de Nash do jogo. Vale que custo(p) = O ( ln m ln ln m) opt(j). Prova: Lembre-se que custo(p) = E[max j [m] l(j)]. Teoria dos Jogos p. 16
64 Delimitação superior no PoA Teorema: Considere uma instância J do jogo de balanceamento de carga com m máquinas idênticas e seja P um equilíbrio de Nash do jogo. Vale que custo(p) = O ( ln m ln ln m) opt(j). Prova: Lembre-se que custo(p) = E[max j [m] l(j)]. Primeiramente, E[l(j)] ( 2 2 m+1) opt(j). Teoria dos Jogos p. 16
65 Delimitação superior no PoA Teorema: Considere uma instância J do jogo de balanceamento de carga com m máquinas idênticas e seja P um equilíbrio de Nash do jogo. Vale que custo(p) = O ( ln m ln ln m) opt(j). Prova: Lembre-se que custo(p) = E[max j [m] l(j)]. Primeiramente, E[l(j)] ( 2 2 m+1) opt(j). Relembremos resultado para o jogo com estratégias puras: Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga em m máquinas idênticas com estratégias puras, PoA(m) = ( 2 2 m+1). Teoria dos Jogos p. 16
66 Relembrando... Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga em m máquinas idênticas com estratégias puras, PoA(m) = ( 2 2 m+1). Prova: Jogo J = (n,m,w) e atribuição A : [n] [m]. j : máquina com carga máxima em A i : tarefa mais leve em j l(j): carga da máquina j em A Se só i em j, então custo(a) = opt(j) e nada a provar. Senão w i 1 2 custo(a). Não há máquina com carga menor que l(j ) w i (ou i teria incentivo para ir para tal máquina). Teoria dos Jogos p. 17
67 Relembrando... Prova: Jogo J = (n,m,w) e atribuição A : [n] [m]. j : máquina com carga máxima em A i : tarefa mais leve em j l(j): carga da máquina j em A w i 1 2 custo(a). Não há máquina com carga menor que l(j ) w i. Ou seja, para todo j [m], l(j) l(j ) w i custo(a) 1 2 custo(a) = 1 2 custo(a) e opt(j) i [n] w i m = j [m] l(j) m custo(a) + (m 1)custo(A)/2 m = (m + 1)custo(A) 2m Teoria dos Jogos p. 18
68 Relembrando... Prova: Jogo J = (n,m,w) e atribuição A : [n] [m]. j : máquina com carga máxima em A i : tarefa mais leve em j l(j): carga da máquina j em A w i 1 2 custo(a). Não há máquina com carga menor que l(j ) w i. Ou seja, l(j) 1 2 custo(a) para todo j [m] e opt(j) donde se conclui que (m + 1)custo(A), 2m custo(a) ( 2 2 m + 1 ) opt(j). Teoria dos Jogos p. 19
69 Adaptação de parte da prova Jogo de balanceamento de carga com estratégias mistas jogo J = (n,m,w), vetor de estratégias mistas P Teoria dos Jogos p. 20
70 Adaptação de parte da prova Jogo de balanceamento de carga com estratégias mistas jogo J = (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j : máquina com carga esperada máxima em P Teoria dos Jogos p. 20
71 Adaptação de parte da prova Jogo de balanceamento de carga com estratégias mistas jogo J = (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j : máquina com carga esperada máxima em P i : tarefa com prob. positiva em j e p i j w i mínimo. Teoria dos Jogos p. 20
72 Adaptação de parte da prova Jogo de balanceamento de carga com estratégias mistas jogo J = (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j : máquina com carga esperada máxima em P i : tarefa com prob. positiva em j e p i j w i mínimo. l(j): carga da máquina j em P (variável aleatória) Teoria dos Jogos p. 20
73 Adaptação de parte da prova Jogo de balanceamento de carga com estratégias mistas jogo J = (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j : máquina com carga esperada máxima em P i : tarefa com prob. positiva em j e p i j w i mínimo. l(j): carga da máquina j em P (variável aleatória) custo(p) = E[l(j )] e p i j w i 2 1 custo(p). Teoria dos Jogos p. 20
74 Adaptação de parte da prova Jogo de balanceamento de carga com estratégias mistas jogo J = (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j : máquina com carga esperada máxima em P i : tarefa com prob. positiva em j e p i j w i mínimo. l(j): carga da máquina j em P (variável aleatória) custo(p) = E[l(j )] e p i j w i 1 2 custo(p). Não há máquina com carga esperada menor que E[l(j )] p i j w i (ou i teria incentivo para ir para tal máquina). Teoria dos Jogos p. 20
75 Adaptação de parte da prova Jogo de balanceamento de carga com estratégias mistas jogo J = (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j : máquina com carga esperada máxima em P i : tarefa com prob. positiva em j e p i j w i mínimo. l(j): carga da máquina j em A (variável aleatória) custo(p) = E[l(j )] e p i j w i 2 1 custo(p). Teoria dos Jogos p. 21
76 Adaptação de parte da prova Jogo de balanceamento de carga com estratégias mistas jogo J = (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j : máquina com carga esperada máxima em P i : tarefa com prob. positiva em j e p i j w i mínimo. l(j): carga da máquina j em A (variável aleatória) custo(p) = E[l(j )] e p i j w i 2 1 custo(p). Para todo j [m], E[l(j)] E[l(j )] p i j w i custo(p) 1 2 custo(p) = 1 2 custo(p) Teoria dos Jogos p. 21
77 Adaptação de parte da prova Jogo de balanceamento de carga com estratégias mistas jogo J = (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j : máquina com carga esperada máxima em P i : tarefa com prob. positiva em j e p i j w i mínimo. l(j): carga da máquina j em A (variável aleatória) custo(p) = E[l(j )] e p i j w i 2 1 custo(p). Para todo j [m], E[l(j)] 2 1 custo(p) Teoria dos Jogos p. 22
78 Adaptação de parte da prova Jogo de balanceamento de carga com estratégias mistas jogo J = (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j : máquina com carga esperada máxima em P i : tarefa com prob. positiva em j e p i j w i mínimo. l(j): carga da máquina j em A (variável aleatória) custo(p) = E[l(j )] e p i j w i 2 1 custo(p). Para todo j [m], E[l(j)] 2 1 custo(p) e i [n] opt(j) w i j [m] = E[l(j)] m m custo(p) + (m 1)custo(P)/2 m = (m + 1)custo(P). 2m Teoria dos Jogos p. 22
79 Adaptação de parte da prova Jogo de balanceamento de carga com estratégias mistas jogo J = (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j : máquina com carga esperada máxima em P i : tarefa com prob. positiva em j e p i j w i mínimo. l(j): carga da máquina j em A (variável aleatória) custo(p) = E[l(j )] e p i j w i 1 2 custo(p). Para todo j [m], E[l(j)] 1 2 custo(p) e opt(j) (m+1)custo(p) 2m. Teoria dos Jogos p. 23
80 Adaptação de parte da prova Jogo de balanceamento de carga com estratégias mistas jogo J = (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j : máquina com carga esperada máxima em P i : tarefa com prob. positiva em j e p i j w i mínimo. l(j): carga da máquina j em A (variável aleatória) custo(p) = E[l(j )] e p i j w i 1 2 custo(p). Para todo j [m], E[l(j)] 1 2 custo(p) e opt(j) (m+1)custo(p) 2m. Logo, para todo j [m], E[l(j)] ( 2 2 m + 1 ) opt(j). Teoria dos Jogos p. 23
81 Delimitação superior no PoA Teorema: Considere uma instância J do jogo de balanceamento de carga com m máquinas idênticas e seja P um equilíbrio de Nash do jogo. Vale que custo(p) = O ( ln m ln ln m) opt(j). Prova: Lembre-se que custo(p) = E[max j [m] l(j)]. Primeiramente, E[l(j)] ( 2 2 m+1) opt(j). Feito. Teoria dos Jogos p. 24
82 Delimitação superior no PoA Teorema: Considere uma instância J do jogo de balanceamento de carga com m máquinas idênticas e seja P um equilíbrio de Nash do jogo. Vale que custo(p) = O ( ln m ln ln m) opt(j). Prova: Lembre-se que custo(p) = E[max j [m] l(j)]. Primeiramente, E[l(j)] ( 2 2 m+1) opt(j). Feito. Logo max j [m] E[l(j)] 2opt(J). Teoria dos Jogos p. 24
83 Delimitação superior no PoA Teorema: Considere uma instância J do jogo de balanceamento de carga com m máquinas idênticas e seja P um equilíbrio de Nash do jogo. Vale que custo(p) = O ( ln m ln ln m) opt(j). Prova: Lembre-se que custo(p) = E[max j [m] l(j)]. Primeiramente, E[l(j)] ( 2 2 m+1) opt(j). Feito. Logo max j [m] E[l(j)] 2opt(J). Vamos mostrar que o valor esperado da carga máxima desvia de um fator O ( ln m ln ln m) do máximo dos valores esperados. Teoria dos Jogos p. 24
84 Delimitação superior no PoA Teorema: Considere uma instância J do jogo de balanceamento de carga com m máquinas idênticas e seja P um equilíbrio de Nash do jogo. Vale que custo(p) = O ( ln m ln ln m) opt(j). Prova: Lembre-se que custo(p) = E[max j [m] l(j)]. Primeiramente, E[l(j)] ( 2 2 m+1) opt(j). Feito. Logo max j [m] E[l(j)] 2opt(J). Vamos mostrar que o valor esperado da carga máxima desvia de um fator O ( ln m ln ln m) do máximo dos valores esperados. Valor esperado da carga máxima é o custo(p). Teoria dos Jogos p. 24
85 Delimitação superior no PoA Teorema: Considere uma instância J do jogo de balanceamento de carga com m máquinas idênticas e seja P um equilíbrio de Nash do jogo. Vale que custo(p) = O ( ln m ln ln m) opt(j). Prova: Lembre-se que custo(p) = E[max j [m] l(j)]. Vimos que max j [m] E[l(j)] 2opt(J). Vamos mostrar que custo(p) = O ( ln m ln ln m) maxj [m] E[l(j)]. Teoria dos Jogos p. 25
86 Delimitação superior no PoA Teorema: Considere uma instância J do jogo de balanceamento de carga com m máquinas idênticas e seja P um equilíbrio de Nash do jogo. Vale que custo(p) = O ( ln m ln ln m) opt(j). Prova: Lembre-se que custo(p) = E[max j [m] l(j)]. Vimos que max j [m] E[l(j)] 2opt(J). Vamos mostrar que custo(p) = O ( ln m ln ln m) maxj [m] E[l(j)]. Ou melhor, mostraremos que custo(p) = O ( ln m ln ln m) opt(j). Teoria dos Jogos p. 25
87 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Teoria dos Jogos p. 26
88 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Desigualdade ponderada de Chernoff: Sejam X 1,...,X N v.a. independentes em [0,z] para algum z > 0 e seja X = N i=1 X i. Para todo t, Pr[X t] (e E[X]/t) t/z. Teoria dos Jogos p. 26
89 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Desigualdade ponderada de Chernoff: Sejam X 1,...,X N v.a. independentes em [0,z] para algum z > 0 e seja X = N i=1 X i. Para todo t, Pr[X t] (e E[X]/t) t/z. Fix j [m] e seja w o maior peso de uma tarefa. Aplicando Chernoff, Pr[l(j) t] min{1, ( e E[l(j)] t ) t/w} (2e opt(j) ) t/opt(j) t Teoria dos Jogos p. 26
90 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Desigualdade ponderada de Chernoff: Sejam X 1,...,X N v.a. independentes em [0,z] para algum z > 0 e seja X = N i=1 X i. Para todo t, Pr[X t] (e E[X]/t) t/z. Fix j [m] e seja w o maior peso de uma tarefa. Aplicando Chernoff, Pr[l(j) t] min{1, ( e E[l(j)] t pois E[l(j)] 2 opt(j) e w opt(j). ) t/w} (2e opt(j) ) t/opt(j) t Teoria dos Jogos p. 26
91 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Fix j [m] e seja w o maior peso de uma tarefa. Então Pr[l(j) t] ( 2e opt(j) ) t opt(j). t Teoria dos Jogos p. 27
92 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Fix j [m] e seja w o maior peso de uma tarefa. Então Pr[l(j) t] ( 2e opt(j) ) t opt(j). t Para τ = 2 opt(j) ln m/ ln ln m, e qualquer x 0, Pr[l(j) τ+x] ( e ln ln m ln m ) 2 ln m ln ln m + x opt(j) ( 1 ) 2 ln m ln ln m ( e x ln ln m opt(j) = e 2 ln m ) 2 ln m ln ln m e x opt(j) para m suf. grande, pois ln m e ln ln m ln m e ln m e ln ln m e. Teoria dos Jogos p. 27
93 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Fix j [m] e seja w o maior peso de uma tarefa. Então Pr[l(j) t] ( 2e opt(j) ) t opt(j). t Para τ = 2 opt(j) ln m/ ln ln m, e qualquer x 0, Pr[l(j) τ+x] ) 2 ln m ln ln m + ( e ln ln m ln m ( 1 ) 2 ln m ln ln m e x opt(j) ln m x opt(j) = ( e lnln m 2 ) 2 ln m ln ln m e x opt(j) para m suf. grande, pois ln m e ln ln m ln m e ln m e ln ln m e. Teoria dos Jogos p. 27
94 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Fix j [m] e seja w o maior peso de uma tarefa. Então Pr[l(j) t] ( 2e opt(j) ) t opt(j). t Para τ = 2 opt(j) ln m/ ln ln m, e qualquer x 0, Pr[l(j) τ+x] ) 2 ln m ln ln m + ( e ln ln m ln m ( 1 ) 2 ln m ln ln m e x opt(j) ln m m 1 e x opt(j). x opt(j) = ( e lnln m 2 ) 2 ln m ln ln m e x opt(j) Teoria dos Jogos p. 27
95 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Para τ = 2 opt(j)ln m ln ln m, e qualquer x 0, Pr[l(j) τ+x] m 1 e x opt(j). Teoria dos Jogos p. 28
96 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Para τ = 2 opt(j)ln m ln ln m, e qualquer x 0, Pr[l(j) τ+x] m 1 e x opt(j). E[X] = 0 Pr[X t]dt para toda v.a. não-negativa. Teoria dos Jogos p. 28
97 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Para τ = 2 opt(j)ln m ln ln m, e qualquer x 0, Pr[l(j) τ+x] m 1 e x opt(j). E[X] = 0 Pr[X t]dt para toda v.a. não-negativa. Logo custo(p) = 0 Pr[max j [m] l(j) t]dt e Teoria dos Jogos p. 28
98 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Para τ = 2 opt(j)ln m ln ln m, e qualquer x 0, Pr[l(j) τ+x] m 1 e x opt(j). E[X] = 0 Pr[X t]dt para toda v.a. não-negativa. Logo custo(p) = 0 Pr[max j [m] l(j) t]dt e custo(p) τ + τ Pr[max l(j) τ + t]dt j [m] Pr[max j [m] l(j) τ + t]dt Teoria dos Jogos p. 28
99 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Para τ = 2 opt(j)ln m ln ln m, e qualquer x 0, Pr[l(j) τ+x] m 1 e x opt(j). E[X] = 0 Pr[X t]dt para toda v.a. não-negativa. Logo custo(p) = 0 Pr[max j [m] l(j) t]dt e custo(p) τ + τ Pr[max l(j) τ + t]dt j [m] Pr[l(j) τ + t]dt j [m] Teoria dos Jogos p. 28
100 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Para τ = 2 opt(j)ln m ln ln m, e qualquer x 0, Pr[l(j) τ+x] m 1 e x opt(j) e custo(p) τ + τ + τ Pr[max l(j) τ + t]dt j [m] Pr[l(j) τ + t]dt j [m] e x opt(j) dx = τ + opt(j) Teoria dos Jogos p. 29
101 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Para τ = 2 opt(j)ln m ln ln m, e qualquer x 0, Pr[l(j) τ+x] m 1 e x opt(j) e custo(p) τ + τ + τ Pr[max l(j) τ + t]dt j [m] Pr[l(j) τ + t]dt j [m] e x opt(j) dx = τ + opt(j) Teoria dos Jogos p. 29
102 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Para τ = 2 opt(j)ln m ln ln m, e qualquer x 0, Pr[l(j) τ+x] m 1 e x opt(j) e custo(p) τ + τ + τ Pr[max l(j) τ + t]dt j [m] Pr[l(j) τ + t]dt j [m] e x opt(j) dx = τ + opt(j) Teoria dos Jogos p. 29
103 Resta mostrar que... Lembrando que custo(p) = E[max j [m] l(j)], resta mostrar que custo(p) = O ( ln m ) opt(j). ln ln m Para τ = 2 opt(j)ln m ln ln m, e qualquer x 0, Pr[l(j) τ+x] m 1 e x opt(j) e custo(p) = τ + τ + 0 e 0 Pr[max l(j) τ + t]dt j [m] x opt(j) dx = τ + opt(j) = O ( ln m ln ln m ) opt(j). Teoria dos Jogos p. 30
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