Jogo de balanceamento de carga

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1 Jogo de balanceamento de carga Dados: n tarefas m máquinas w i : peso da tarefa i s j : velocidade da máquina j Teoria dos Jogos p. 1

2 Jogo de balanceamento de carga Dados: n tarefas m máquinas w i : peso da tarefa i s j : velocidade da máquina j Cada jogador controla uma tarefa. Conjuntos de estratégias S i = [m]: o jogador escolhe a qual máquina atribuir sua tarefa. Teoria dos Jogos p. 1

3 Jogo de balanceamento de carga Dados: n tarefas m máquinas w i : peso da tarefa i s j : velocidade da máquina j Cada jogador controla uma tarefa. Conjuntos de estratégias S i = [m]: o jogador escolhe a qual máquina atribuir sua tarefa. Vetor de estratégias: atribuição A : [n] [m]. Teoria dos Jogos p. 1

4 Jogo de balanceamento de carga Dados: n tarefas m máquinas w i : peso da tarefa i s j : velocidade da máquina j Cada jogador controla uma tarefa. Conjuntos de estratégias S i = [m]: o jogador escolhe a qual máquina atribuir sua tarefa. Vetor de estratégias: atribuição A : [n] [m]. Custo de A para i, onde j = A(i): custo i (A) = k:a(k)=j w k s j. Teoria dos Jogos p. 1

5 Jogo de balanceamento de carga Vimos na aula passada: Teoria dos Jogos p. 2

6 Jogo de balanceamento de carga Vimos na aula passada: Jogo com estratégias puras sempre tem equilíbrio. Teoria dos Jogos p. 2

7 Jogo de balanceamento de carga Vimos na aula passada: Jogo com estratégias puras sempre tem equilíbrio. Para m máquinas idênticas, o preço da anarquia é ( 2 2 m+1). Teoria dos Jogos p. 2

8 Jogo de balanceamento de carga Vimos na aula passada: Jogo com estratégias puras sempre tem equilíbrio. Para m máquinas idênticas, o preço da anarquia é ( 2 2 m+1). Nesta aula: tempo de convergência para máquinas idênticas Teoria dos Jogos p. 2

9 Jogo de balanceamento de carga Vimos na aula passada: Jogo com estratégias puras sempre tem equilíbrio. Para m máquinas idênticas, o preço da anarquia é ( 2 2 m+1). Nesta aula: tempo de convergência para máquinas idênticas preço da anarquia para máquinas relacionadas Teoria dos Jogos p. 2

10 Jogo de balanceamento de carga Vimos na aula passada: Jogo com estratégias puras sempre tem equilíbrio. Para m máquinas idênticas, o preço da anarquia é ( 2 2 m+1). Nesta aula: tempo de convergência para máquinas idênticas preço da anarquia para máquinas relacionadas tempo de convergência para máquinas relacionadas Teoria dos Jogos p. 2

11 Tempo de convergência Para máquinas idênticas, há sequência curta de melhoras de qualquer atribuição inicial para um equilíbrio. Teoria dos Jogos p. 3

12 Tempo de convergência Para máquinas idênticas, há sequência curta de melhoras de qualquer atribuição inicial para um equilíbrio. Política da melhor resposta de peso máximo: Teoria dos Jogos p. 3

13 Tempo de convergência Para máquinas idênticas, há sequência curta de melhoras de qualquer atribuição inicial para um equilíbrio. Política da melhor resposta de peso máximo: Ative apenas tarefas insatisfeitas de peso máximo. Teoria dos Jogos p. 3

14 Tempo de convergência Para máquinas idênticas, há sequência curta de melhoras de qualquer atribuição inicial para um equilíbrio. Política da melhor resposta de peso máximo: Ative apenas tarefas insatisfeitas de peso máximo. Uma tarefa ativa muda para melhor máquina. Teoria dos Jogos p. 3

15 Tempo de convergência Para máquinas idênticas, há sequência curta de melhoras de qualquer atribuição inicial para um equilíbrio. Política da melhor resposta de peso máximo: Ative apenas tarefas insatisfeitas de peso máximo. Uma tarefa ativa muda para melhor máquina. Teorema: A política de melhor resposta de peso máximo atinge um equilíbrio depois de no máximo n passos. Teoria dos Jogos p. 3

16 Tempo de convergência Para máquinas idênticas, há sequência curta de melhoras de qualquer atribuição inicial para um equilíbrio. Política da melhor resposta de peso máximo: Ative apenas tarefas insatisfeitas de peso máximo. Uma tarefa ativa muda para melhor máquina. Teorema: A política de melhor resposta de peso máximo atinge um equilíbrio depois de no máximo n passos. Prova: Tarefa que migra nunca mais fica insatisfeita. Teoria dos Jogos p. 3

17 Tempo de convergência Máquinas idênticas Política da melhor resposta de peso máximo: Ative apenas tarefas insatisfeitas de peso máximo. Uma tarefa ativa muda para melhor máquina. Teorema: A política de melhor resposta de peso máximo atinge um equilíbrio depois de no máximo n passos. Prova: Tarefa que migra nunca mais fica insatisfeita. Teoria dos Jogos p. 4

18 Tempo de convergência Máquinas idênticas Política da melhor resposta de peso máximo: Ative apenas tarefas insatisfeitas de peso máximo. Uma tarefa ativa muda para melhor máquina. Teorema: A política de melhor resposta de peso máximo atinge um equilíbrio depois de no máximo n passos. Prova: Tarefa que migra nunca mais fica insatisfeita. A carga mínima não diminui. Teoria dos Jogos p. 4

19 Tempo de convergência Máquinas idênticas Política da melhor resposta de peso máximo: Ative apenas tarefas insatisfeitas de peso máximo. Uma tarefa ativa muda para melhor máquina. Teorema: A política de melhor resposta de peso máximo atinge um equilíbrio depois de no máximo n passos. Prova: Tarefa que migra nunca mais fica insatisfeita. A carga mínima não diminui. Tarefas ativas têm peso não crescente. Teoria dos Jogos p. 4

20 Tempo de convergência Máquinas idênticas Política da melhor resposta de peso máximo: Ative apenas tarefas insatisfeitas de peso máximo. Uma tarefa ativa muda para melhor máquina. Teorema: A política de melhor resposta de peso máximo atinge um equilíbrio depois de no máximo n passos. Prova: Tarefa que migra nunca mais fica insatisfeita. A carga mínima não diminui. Tarefas ativas têm peso não crescente. Atinge equilíbrio no máximo em n passos. Teoria dos Jogos p. 4

21 Caso de máquinas relacionadas Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga em m máquinas relacionadas, PoA(m) = Θ ( lg m lg lg m). Teoria dos Jogos p. 5

22 Caso de máquinas relacionadas Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga em m máquinas relacionadas, PoA(m) = Θ ( lg m lg lg m). Primeira parte: Mostrar que para jogos J = (n,m,w,s) e atribuições A : [n] [m] em equilíbrio vale que custo(a) = O ( lg m ) OPT(J). lg lg m Teoria dos Jogos p. 5

23 Caso de máquinas relacionadas Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga em m máquinas relacionadas, PoA(m) = Θ ( lg m lg lg m). Primeira parte: Mostrar que para jogos J = (n,m,w,s) e atribuições A : [n] [m] em equilíbrio vale que custo(a) = O ( lg m ) OPT(J). lg lg m Segunda parte: Apresentar jogo J = (n,m,w,s) e atribuição A : [n] [m] em equilíbrio tal que custo(a) = Ω ( lg m ) OPT(J). lg lg m Teoria dos Jogos p. 5

24 Primeira parte Lema: Para jogos J = (n,m,w,s) e atribuições A : [n] [m] em equilíbrio, vale que custo(a) = O ( lg m ) OPT(J). lg lg m Teoria dos Jogos p. 6

25 Primeira parte Lema: Para jogos J = (n,m,w,s) e atribuições A : [n] [m] em equilíbrio, vale que custo(a) = O ( lg m ) OPT(J). lg lg m Prova: Seja c = custo(a)/opt(j). Teoria dos Jogos p. 6

26 Primeira parte Lema: Para jogos J = (n,m,w,s) e atribuições A : [n] [m] em equilíbrio, vale que custo(a) = O ( lg m ) OPT(J). lg lg m Prova: Seja c = custo(a)/opt(j). Vamos mostrar que c Γ 1 (m), onde Γ 1 denota a inversa da função gama, que é tal que Γ(k) = (k 1)!. Teoria dos Jogos p. 6

27 Primeira parte Lema: Para jogos J = (n,m,w,s) e atribuições A : [n] [m] em equilíbrio, vale que custo(a) = O ( lg m ) OPT(J). lg lg m Prova: Seja c = custo(a)/opt(j). Vamos mostrar que c Γ 1 (m), onde Γ 1 denota a inversa da função gama, que é tal que Γ(k) = (k 1)!. Sabe-se que Γ 1 (m) = Θ ( lg m lg lg m), logo isso é suficiente para completar a prova. Teoria dos Jogos p. 6

28 Primeira parte Lema: Para jogos J = (n,m,w,s) e atribuições A : [n] [m] em equilíbrio, vale que custo(a) = O ( lg m ). lg lg m Prova: Seja c = custo(a)/opt(j). Vamos mostrar que c Γ 1 (m) = Θ ( lg m lg lg m), onde Γ é a função gama e Γ(k) = (k 1)!. Teoria dos Jogos p. 7

29 Primeira parte Lema: Para jogos J = (n,m,w,s) e atribuições A : [n] [m] em equilíbrio, vale que custo(a) = O ( lg m ). lg lg m Prova: Seja c = custo(a)/opt(j). Vamos mostrar que c Γ 1 (m) = Θ ( lg m lg lg m), onde Γ é a função gama e Γ(k) = (k 1)!. SPG, s 1 s 2 s m, e seja L = [1, 2,...,m] a lista das máquinas em ordem de velocidade. Teoria dos Jogos p. 7

30 Primeira parte Lema: Para jogos J = (n,m,w,s) e atribuições A : [n] [m] em equilíbrio, vale que custo(a) = O ( lg m ). lg lg m Prova: Seja c = custo(a)/opt(j). Vamos mostrar que c Γ 1 (m) = Θ ( lg m lg lg m), onde Γ é a função gama e Γ(k) = (k 1)!. SPG, s 1 s 2 s m, e seja L = [1, 2,...,m] a lista das máquinas em ordem de velocidade. Para k {0,...,c 1}, L k : maior prefixo de L de máquinas com carga kopt(j). Teoria dos Jogos p. 7

31 Primeira parte Γ(k) = (k 1)! s 1 s 2 s m L = [1, 2,...,m] Para k {0,...,c 1}, L k : maior prefixo de L de máquinas com carga kopt(j). Teoria dos Jogos p. 8

32 Primeira parte Γ(k) = (k 1)! s 1 s 2 s m L = [1, 2,...,m] Para k {0,...,c 1}, L k : maior prefixo de L de máquinas com carga kopt(j). c c 1 c 2 L c 1 L c 2 L c 3 Teoria dos Jogos p. 8

33 Primeira parte Γ(k) = (k 1)! s 1 s 2 s m L = [1, 2,...,m] Para k {0,...,c 1}, L k : maior prefixo de L de máquinas com carga kopt(j). Teoria dos Jogos p. 9

34 Primeira parte Γ(k) = (k 1)! s 1 s 2 s m L = [1, 2,...,m] Para k {0,...,c 1}, L k : maior prefixo de L de máquinas com carga kopt(j). Vamos provar que L k (k + 1) L k+1 e L c 1 1. Teoria dos Jogos p. 9

35 Primeira parte Γ(k) = (k 1)! s 1 s 2 s m L = [1, 2,...,m] Para k {0,...,c 1}, L k : maior prefixo de L de máquinas com carga kopt(j). Vamos provar que L k (k + 1) L k+1 e L c 1 1. Disso segue que L 0 (c 1)! = Γ(c). Teoria dos Jogos p. 9

36 Primeira parte Γ(k) = (k 1)! s 1 s 2 s m L = [1, 2,...,m] Para k {0,...,c 1}, L k : maior prefixo de L de máquinas com carga kopt(j). Vamos provar que L k (k + 1) L k+1 e L c 1 1. Disso segue que L 0 (c 1)! = Γ(c). Como L 0 = L, temos que m Γ(c) e portanto c Γ 1 (m). Teoria dos Jogos p. 9

37 Primeira parte Γ(k) = (k 1)! s 1 s 2 s m L = [1, 2,...,m] Para k {0,...,c 1}, L k : maior prefixo de L de máquinas com carga kopt(j). Vamos provar que L k (k + 1) L k+1 e L c 1 1. Disso segue que L 0 (c 1)! = Γ(c). Como L 0 = L, temos que m Γ(c) e portanto c Γ 1 (m). Resta provar a recorrência. Teoria dos Jogos p. 9

38 Prova da recorrência Vamos provar que L k (k + 1) L k+1 e L c 1 1. Teoria dos Jogos p. 10

39 Prova da recorrência Vamos provar que L k (k + 1) L k+1 e L c 1 1. Primeiro, mostremos que L c 1 1. Suponha que não, ou seja, que L c 1 =. Teoria dos Jogos p. 10

40 Prova da recorrência Vamos provar que L k (k + 1) L k+1 e L c 1 1. Primeiro, mostremos que L c 1 1. Suponha que não, ou seja, que L c 1 =. Então a carga l 1 < (c 1)OPT(J). Teoria dos Jogos p. 10

41 Prova da recorrência Vamos provar que L k (k + 1) L k+1 e L c 1 1. Primeiro, mostremos que L c 1 1. Suponha que não, ou seja, que L c 1 =. Então a carga l 1 < (c 1)OPT(J). Seja i tarefa atribuída a uma máquina com carga c OPT(J). Teoria dos Jogos p. 10

42 Prova da recorrência Vamos provar que L k (k + 1) L k+1 e L c 1 1. Primeiro, mostremos que L c 1 1. Suponha que não, ou seja, que L c 1 =. Então a carga l 1 < (c 1)OPT(J). Seja i tarefa atribuída a uma máquina com carga c OPT(J). l 1 + w i s 1 < (c 1) OPT(J) + OPT(J) = c OPT(J). Teoria dos Jogos p. 10

43 Prova da recorrência Vamos provar que L k (k + 1) L k+1 e L c 1 1. Primeiro, mostremos que L c 1 1. Suponha que não, ou seja, que L c 1 =. Então a carga l 1 < (c 1)OPT(J). Seja i tarefa atribuída a uma máquina com carga c OPT(J). l 1 + w i s 1 < (c 1) OPT(J) + OPT(J) = c OPT(J). Ou seja, i tem incentivo para mudar para a máquina 1. Teoria dos Jogos p. 10

44 Prova da recorrência Vamos provar que L k (k + 1) L k+1 e L c 1 1. Primeiro, mostremos que L c 1 1. Suponha que não, ou seja, que L c 1 =. Então a carga l 1 < (c 1)OPT(J). Seja i tarefa atribuída a uma máquina com carga c OPT(J). l 1 + w i s 1 < (c 1) OPT(J) + OPT(J) = c OPT(J). Ou seja, i tem incentivo para mudar para a máquina 1. Contradição pois A é um equilíbrio. Teoria dos Jogos p. 10

45 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Teoria dos Jogos p. 11

46 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Teoria dos Jogos p. 11

47 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Prova: Se L k = L, nada a provar. Teoria dos Jogos p. 11

48 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Prova: Se L k = L, nada a provar. Seja q máquina de menor índice em L \ L k. Teoria dos Jogos p. 11

49 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Prova: Se L k = L, nada a provar. Seja q máquina de menor índice em L \ L k. Temos que l q < k OPT(J). Teoria dos Jogos p. 11

50 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Prova: Se L k = L, nada a provar. Seja q máquina de menor índice em L \ L k. Temos que l q < k OPT(J). l A(i) (k + 1) OPT(J) para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Teoria dos Jogos p. 11

51 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Prova: Se L k = L, nada a provar. Seja q máquina de menor índice em L \ L k. Temos que l q < k OPT(J). l A(i) (k + 1) OPT(J) para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Se w i s q OPT(J), então i tem incentivo para ir para q: l q + w i s q < k OPT(J) + OPT(J) = (k + 1)OPT(J) l A(i), contradição. Teoria dos Jogos p. 11

52 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Prova: Seja q máquina de menor índice em L \ L k. Temos que l q < k OPT(J). Para toda tarefa i tq A(i) L k+1, l A(i) (k + 1) OPT(J) e w i > s q OPT(J). Teoria dos Jogos p. 12

53 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Prova: Seja q máquina de menor índice em L \ L k. Temos que l q < k OPT(J). Para toda tarefa i tq A(i) L k+1, l A(i) (k + 1) OPT(J) e w i > s q OPT(J). Por contradição, suponha que j = A (i) L k. Teoria dos Jogos p. 12

54 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Prova: Seja q máquina de menor índice em L \ L k. Temos que l q < k OPT(J). Para toda tarefa i tq A(i) L k+1, l A(i) (k + 1) OPT(J) e w i > s q OPT(J). Por contradição, suponha que j = A (i) L k. Então, como s j s q, a carga de j em A seria w i s j > s q OPT(J) s j OPT(J), contradição. Teoria dos Jogos p. 12

55 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Teoria dos Jogos p. 13

56 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Pela definição de L k+1, para cada j em L k+1, w i (k + 1) OPT(J)s j, i:a(i)=j Teoria dos Jogos p. 13

57 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Pela definição de L k+1, para cada j em L k+1, w i (k + 1) OPT(J)s j, i:a(i)=j e o total de peso atribuído por A a máquinas em L k+1 é (k + 1) OPT(J)s j. j L k+1 Teoria dos Jogos p. 13

58 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Pela definição de L k+1, para cada j em L k+1, w i (k + 1) OPT(J)s j, i:a(i)=j e o total de peso atribuído por A a máquinas em L k+1 é (k + 1) OPT(J)s j. j L k+1 Pelo Lema, A atribui tudo isso a L k sem estourar OPT(J). Teoria dos Jogos p. 13

59 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. O total de peso atribuído por A a máquinas em L k+1 é (k + 1) OPT(J)s j. j L k+1 Teoria dos Jogos p. 14

60 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. O total de peso atribuído por A a máquinas em L k+1 é (k + 1) OPT(J)s j. j L k+1 Pelo Lema, A atribui tudo isso a L k sem estourar OPT(J), logo OPT(J)s j (k + 1) OPT(J)s j, j L k j L k+1 Teoria dos Jogos p. 14

61 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. O total de peso atribuído por A a máquinas em L k+1 é (k + 1) OPT(J)s j. j L k+1 Pelo Lema, A atribui tudo isso a L k sem estourar OPT(J), logo OPT(J)s j (k + 1) OPT(J)s j, j L k j L k+1 que implica que j L k s j j L k+1 (k + 1)s j. Teoria dos Jogos p. 14

62 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Peso atribuído por A a máquinas em L k+1 é j L k+1 (k + 1) OPT(J)s j. Como A atribui tudo isso a L k sem estourar OPT(J), temos que j L k s j j L k+1 (k + 1)s j, ou seja, j L k \L k+1 s j j L k+1 k s j. Teoria dos Jogos p. 15

63 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Peso atribuído por A a máquinas em L k+1 é j L k+1 (k + 1) OPT(J)s j. Como A atribui tudo isso a L k sem estourar OPT(J), temos que j L k s j j L k+1 (k + 1)s j, ou seja, j L k \L k+1 s j j L k+1 k s j. Seja s a velocidade da máquina mais lenta em L k+1, ou seja, s = s Lk+1. Teoria dos Jogos p. 15

64 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Peso atribuído por A a máquinas em L k+1 é j L k+1 (k + 1) OPT(J)s j. Como A atribui tudo isso a L k sem estourar OPT(J), temos que j L k s j j L k+1 (k + 1)s j, ou seja, j L k \L k+1 s j j L k+1 k s j. Seja s a velocidade da máquina mais lenta em L k+1, ou seja, s = s Lk+1. Então j L k s j L k+1 (k + 1)s, Teoria dos Jogos p. 15

65 Prova de que L k (k + 1) L k+1 Seja A uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Lema: A (i) L k para toda tarefa i tq A(i) L k+1. Peso atribuído por A a máquinas em L k+1 é j L k+1 (k + 1) OPT(J)s j. Como A atribui tudo isso a L k sem estourar OPT(J), temos que j L k s j j L k+1 (k + 1)s j, ou seja, j L k \L k+1 s j j L k+1 k s j. Seja s a velocidade da máquina mais lenta em L k+1, ou seja, s = s Lk+1. Então j L k s j L k+1 (k + 1)s, donde concluímos que L k (k + 1) L k+1. Teoria dos Jogos p. 15

66 Caso de máquinas relacionadas Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga em m máquinas relacionadas, PoA(m) = Θ ( lg m lg lg m). Primeira parte: Mostrar que para jogos J = (n,m,w,s) e atribuições A : [n] [m] em equilíbrio vale que custo(a) = O ( lg m ). lg lg m Teoria dos Jogos p. 16

67 Caso de máquinas relacionadas Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga em m máquinas relacionadas, PoA(m) = Θ ( lg m lg lg m). Primeira parte: Mostrar que para jogos J = (n,m,w,s) e atribuições A : [n] [m] em equilíbrio vale que custo(a) = O ( lg m ). lg lg m Segunda parte: (Aula que vem!!!!) Apresentar jogo J = (n,m,w,s) e atribuição A : [n] [m] em equilíbrio tal que custo(a) = Ω ( lg m ). lg lg m Teoria dos Jogos p. 16

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