Tópicos da História da Física Clássica
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- Luísa Natal da Silva
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1 Tópicos da História da Física Clássica Leis de Conservação Victor O. Rivelles Instituto de Física da Universidade de São Paulo Edifício Principal, Ala Central, sala
2 Leis de Conservação Sucesso do conhecimento científico: 1 isolar o fenômeno dos efeitos não importantes 2 descrever o que está acontecendo sem ambiguidades 3 discernir alguma continuidade no fluxo dos eventos
3 Leis de Conservação Sucesso do conhecimento científico: 1 isolar o fenômeno dos efeitos não importantes 2 descrever o que está acontecendo sem ambiguidades 3 discernir alguma continuidade no fluxo dos eventos Estes tres pontos são resumidos pelas leis de conservação.
4 Leis de Conservação Sucesso do conhecimento científico: 1 isolar o fenômeno dos efeitos não importantes 2 descrever o que está acontecendo sem ambiguidades 3 discernir alguma continuidade no fluxo dos eventos Estes tres pontos são resumidos pelas leis de conservação. Conjunto de quantidades que permanecem constantes ao longo da observação, mesmo em situações complexas e complicadas.
5 Leis de Conservação Sucesso do conhecimento científico: 1 isolar o fenômeno dos efeitos não importantes 2 descrever o que está acontecendo sem ambiguidades 3 discernir alguma continuidade no fluxo dos eventos Estes tres pontos são resumidos pelas leis de conservação. Conjunto de quantidades que permanecem constantes ao longo da observação, mesmo em situações complexas e complicadas. Muitas vezes são chamados de Princípios ao invés de leis.
6 Leis de Conservação Sucesso do conhecimento científico: 1 isolar o fenômeno dos efeitos não importantes 2 descrever o que está acontecendo sem ambiguidades 3 discernir alguma continuidade no fluxo dos eventos Estes tres pontos são resumidos pelas leis de conservação. Conjunto de quantidades que permanecem constantes ao longo da observação, mesmo em situações complexas e complicadas. Muitas vezes são chamados de Princípios ao invés de leis. Frequentemente são o ponto de partida para a própria compreensão científica dos fenômenos.
7 Lei da Conservação da Massa Os gregos antigos (Demócrito, Epicuro,...) acreditavam num princípio geral bastante profundo: As coisas não podem ser criadas do nada, não podem, quando criadas, retornarem ao nada. Mas não possuíam provas disso.
8 Lei da Conservação da Massa Os gregos antigos (Demócrito, Epicuro,...) acreditavam num princípio geral bastante profundo: As coisas não podem ser criadas do nada, não podem, quando criadas, retornarem ao nada. Mas não possuíam provas disso. Mais tarde, muitos acreditavam que a matéria era conservada nas reações químicas.
9 Lei da Conservação da Massa Os gregos antigos (Demócrito, Epicuro,...) acreditavam num princípio geral bastante profundo: As coisas não podem ser criadas do nada, não podem, quando criadas, retornarem ao nada. Mas não possuíam provas disso. Mais tarde, muitos acreditavam que a matéria era conservada nas reações químicas. Newton define quantidade de matéria e diz que é essa quantidade que muitas vezes tomo a seguir sob o nome de corpo ou massa. Para conhecer a quantidade de matéria é necessário saber sua inércia (ou seu peso).
10 Lei da Conservação da Massa Os gregos antigos (Demócrito, Epicuro,...) acreditavam num princípio geral bastante profundo: As coisas não podem ser criadas do nada, não podem, quando criadas, retornarem ao nada. Mas não possuíam provas disso. Mais tarde, muitos acreditavam que a matéria era conservada nas reações químicas. Newton define quantidade de matéria e diz que é essa quantidade que muitas vezes tomo a seguir sob o nome de corpo ou massa. Para conhecer a quantidade de matéria é necessário saber sua inércia (ou seu peso). Para estabelecer a lei da conservação da massa foi necessário primeiro esclarecer o conceito de sistemas isolados ou fechados.
11 Lei da Conservação da Massa Os gregos antigos (Demócrito, Epicuro,...) acreditavam num princípio geral bastante profundo: As coisas não podem ser criadas do nada, não podem, quando criadas, retornarem ao nada. Mas não possuíam provas disso. Mais tarde, muitos acreditavam que a matéria era conservada nas reações químicas. Newton define quantidade de matéria e diz que é essa quantidade que muitas vezes tomo a seguir sob o nome de corpo ou massa. Para conhecer a quantidade de matéria é necessário saber sua inércia (ou seu peso). Para estabelecer a lei da conservação da massa foi necessário primeiro esclarecer o conceito de sistemas isolados ou fechados. Antoine Laurent Lavoisier apresentou a primeira versão da lei da conservação da massa em Traité Êlémentaire de Chimie em 1789, quase 100 anos após o Principia.
12 Lei da Conservação da Massa Os gregos antigos (Demócrito, Epicuro,...) acreditavam num princípio geral bastante profundo: As coisas não podem ser criadas do nada, não podem, quando criadas, retornarem ao nada. Mas não possuíam provas disso. Mais tarde, muitos acreditavam que a matéria era conservada nas reações químicas. Newton define quantidade de matéria e diz que é essa quantidade que muitas vezes tomo a seguir sob o nome de corpo ou massa. Para conhecer a quantidade de matéria é necessário saber sua inércia (ou seu peso). Para estabelecer a lei da conservação da massa foi necessário primeiro esclarecer o conceito de sistemas isolados ou fechados. Antoine Laurent Lavoisier apresentou a primeira versão da lei da conservação da massa em Traité Êlémentaire de Chimie em 1789, quase 100 anos após o Principia. Considerado o primeiro livro de química moderno.
13 Lei da Conservação da Massa Devemos tomar como um axioma incontestável que em todas as operações da arte e da natureza nada é criado; a mesma quantidade de matéria existe antes e depois do experimento... e nada acontece além de mudanças e modificações desses elementos. De acordo com este princípio, a arte de fazer experimentos químicos depende de supor um igualdade exata entre os elementos do corpo examinado e dos produtos da análise.
14 Lei da Conservação da Massa Devemos tomar como um axioma incontestável que em todas as operações da arte e da natureza nada é criado; a mesma quantidade de matéria existe antes e depois do experimento... e nada acontece além de mudanças e modificações desses elementos. De acordo com este princípio, a arte de fazer experimentos químicos depende de supor um igualdade exata entre os elementos do corpo examinado e dos produtos da análise. A massa é realmente conservada? Resposta: a experiência sempre mostra que sim dentro de uma certa margem de erro devido ao aparato experimental.
15 Lei da Conservação da Massa Devemos tomar como um axioma incontestável que em todas as operações da arte e da natureza nada é criado; a mesma quantidade de matéria existe antes e depois do experimento... e nada acontece além de mudanças e modificações desses elementos. De acordo com este princípio, a arte de fazer experimentos químicos depende de supor um igualdade exata entre os elementos do corpo examinado e dos produtos da análise. A massa é realmente conservada? Resposta: a experiência sempre mostra que sim dentro de uma certa margem de erro devido ao aparato experimental. Mais recentemente a relatividade restrita incorporou a lei da conservação da massa na lei da conservação da energia devido à E = mc 2. Verificado na radioatividade: fusão e fissão nucleares.
16 Lei da Conservação do Momento É difícil imaginar um corpo em movimento sem algo que o mantenha em movimento.
17 Lei da Conservação do Momento É difícil imaginar um corpo em movimento sem algo que o mantenha em movimento. Frade William Ockham no século 14: existe algo não material num corpo em movimento que garante a continuidade de seu movimento: impetus.
18 Lei da Conservação do Momento É difícil imaginar um corpo em movimento sem algo que o mantenha em movimento. Frade William Ockham no século 14: existe algo não material num corpo em movimento que garante a continuidade de seu movimento: impetus. Seu discípulo Jean Buridan afirmou em 1327 que essa quantidade era proporcional ao produto do peso do projétil e alguma função de sua velocidade.
19 Lei da Conservação do Momento É difícil imaginar um corpo em movimento sem algo que o mantenha em movimento. Frade William Ockham no século 14: existe algo não material num corpo em movimento que garante a continuidade de seu movimento: impetus. Seu discípulo Jean Buridan afirmou em 1327 que essa quantidade era proporcional ao produto do peso do projétil e alguma função de sua velocidade. Sistema filosófico mecanicista de Descartes necessitava dessa idéia.
20 Lei da Conservação do Momento É difícil imaginar um corpo em movimento sem algo que o mantenha em movimento. Frade William Ockham no século 14: existe algo não material num corpo em movimento que garante a continuidade de seu movimento: impetus. Seu discípulo Jean Buridan afirmou em 1327 que essa quantidade era proporcional ao produto do peso do projétil e alguma função de sua velocidade. Sistema filosófico mecanicista de Descartes necessitava dessa idéia. Princípios Filosóficos (1644): É completamente racional assumir que Deus, já que quando da criação da matéria imprimiu movimentos diferentes às suas partes, e preserva toda matéria na mesma maneira e condições nas quais foram criadas, similarmente preserva a mesma quantidade de movimento.
21 Lei da Conservação do Momento Descartes definiu a quantidade de movimento em 1644 como o produto da massa pela velocidade. Era um escalar, e não um vetor!
22 Lei da Conservação do Momento Descartes definiu a quantidade de movimento em 1644 como o produto da massa pela velocidade. Era um escalar, e não um vetor! Ele testa essas idéias estudando colisões. Problemas: 1 precisava de regras adicionais (conservação da energia cinética) 2 a conservação do momento não se aplicava à colisões perfeitamente inelásticas.
23 Lei da Conservação do Momento Descartes definiu a quantidade de movimento em 1644 como o produto da massa pela velocidade. Era um escalar, e não um vetor! Ele testa essas idéias estudando colisões. Problemas: 1 precisava de regras adicionais (conservação da energia cinética) 2 a conservação do momento não se aplicava à colisões perfeitamente inelásticas. O problema das colisões era tão importante que a Royal Society de Londres formou uma comissão para resolver a questão em 1666.
24 Lei da Conservação do Momento Descartes definiu a quantidade de movimento em 1644 como o produto da massa pela velocidade. Era um escalar, e não um vetor! Ele testa essas idéias estudando colisões. Problemas: 1 precisava de regras adicionais (conservação da energia cinética) 2 a conservação do momento não se aplicava à colisões perfeitamente inelásticas. O problema das colisões era tão importante que a Royal Society de Londres formou uma comissão para resolver a questão em Em 1669 o resultado obtido por Christian Huygens, John Wallis e Christopher Wren foi que a quantidade de movimento ou momento liner é um vetor!
25 Lei da Conservação do Momento Descartes definiu a quantidade de movimento em 1644 como o produto da massa pela velocidade. Era um escalar, e não um vetor! Ele testa essas idéias estudando colisões. Problemas: 1 precisava de regras adicionais (conservação da energia cinética) 2 a conservação do momento não se aplicava à colisões perfeitamente inelásticas. O problema das colisões era tão importante que a Royal Society de Londres formou uma comissão para resolver a questão em Em 1669 o resultado obtido por Christian Huygens, John Wallis e Christopher Wren foi que a quantidade de movimento ou momento liner é um vetor! As regras adicionais de Descartes foram esclarecidas por Huygens. Nas colisões elásticas havia outra quantidade conservada: a força viva (vis viva), o produto da massa pelo quadrado da velocidade (energia cinética)!
26 Lei da Conservação do Momento Descartes definiu a quantidade de movimento em 1644 como o produto da massa pela velocidade. Era um escalar, e não um vetor! Ele testa essas idéias estudando colisões. Problemas: 1 precisava de regras adicionais (conservação da energia cinética) 2 a conservação do momento não se aplicava à colisões perfeitamente inelásticas. O problema das colisões era tão importante que a Royal Society de Londres formou uma comissão para resolver a questão em Em 1669 o resultado obtido por Christian Huygens, John Wallis e Christopher Wren foi que a quantidade de movimento ou momento liner é um vetor! As regras adicionais de Descartes foram esclarecidas por Huygens. Nas colisões elásticas havia outra quantidade conservada: a força viva (vis viva), o produto da massa pelo quadrado da velocidade (energia cinética)! O momento é sempre conservado?
27 Conservação da Energia Em 1669 Christian Huygens e outros propõem a conservação da vis viva: mv 2, nas colisões elásticas. Pode ser aplicada em outras situações?
28 Conservação da Energia Em 1669 Christian Huygens e outros propõem a conservação da vis viva: mv 2, nas colisões elásticas. Pode ser aplicada em outras situações? Problema: um objeto em movimento é parado quando colocamos a mão na sua frente. 1 Que força o coloca em repouso? 2 É possível determinar sua velocidade?
29 Conservação da Energia Em 1669 Christian Huygens e outros propõem a conservação da vis viva: mv 2, nas colisões elásticas. Pode ser aplicada em outras situações? Problema: um objeto em movimento é parado quando colocamos a mão na sua frente. 1 Que força o coloca em repouso? 2 É possível determinar sua velocidade? Para isso é necessário o teorema trabalho-energia cinética: dt F ap v = 1 2 m v f m v i 2.
30 Conservação da Energia Em 1669 Christian Huygens e outros propõem a conservação da vis viva: mv 2, nas colisões elásticas. Pode ser aplicada em outras situações? Problema: um objeto em movimento é parado quando colocamos a mão na sua frente. 1 Que força o coloca em repouso? 2 É possível determinar sua velocidade? Para isso é necessário o teorema trabalho-energia cinética: dt F ap v = 1 2 m v f m v i 2. Novos conceitos: 1 Quando uma força aplicada sobre um corpo o desloca ela produz trabalho: dt F ap v. 2 É uma quantidade escalar obtida de dois vetores!
31 Conservação da Energia O trabalho feito sobre um corpo pode produzir vários efeitos. 1 Trabalho feito para vencer o atrito. É dissipado na forma de calor. 2 Trabalho feito para vencer a inércia. Produz a vis viva, energia cinética. 3 Trabalho feito para vencer o campo gravitacional. Produz energia potencial.
32 Conservação da Energia O trabalho feito sobre um corpo pode produzir vários efeitos. 1 Trabalho feito para vencer o atrito. É dissipado na forma de calor. 2 Trabalho feito para vencer a inércia. Produz a vis viva, energia cinética. 3 Trabalho feito para vencer o campo gravitacional. Produz energia potencial. Portanto, podemos escrever que dt F ap v = E a + E c + E p Mas isto não é a lei de conservação da energia! Depende do sistema no qual é aplicado!
33 Conservação da Energia O trabalho feito sobre um corpo pode produzir vários efeitos. 1 Trabalho feito para vencer o atrito. É dissipado na forma de calor. 2 Trabalho feito para vencer a inércia. Produz a vis viva, energia cinética. 3 Trabalho feito para vencer o campo gravitacional. Produz energia potencial. Portanto, podemos escrever que dt F ap v = E a + E c + E p Mas isto não é a lei de conservação da energia! Depende do sistema no qual é aplicado! 1 Sistema dissipativo: energia mecânica é dissipada de forma irrecuperável. 2 Sistema conservativo: não apresenta perdas de energia E c + E p = 0.
34 Conservação da Energia O trabalho feito sobre um corpo pode produzir vários efeitos. 1 Trabalho feito para vencer o atrito. É dissipado na forma de calor. 2 Trabalho feito para vencer a inércia. Produz a vis viva, energia cinética. 3 Trabalho feito para vencer o campo gravitacional. Produz energia potencial. Portanto, podemos escrever que dt F ap v = E a + E c + E p Mas isto não é a lei de conservação da energia! Depende do sistema no qual é aplicado! 1 Sistema dissipativo: energia mecânica é dissipada de forma irrecuperável. 2 Sistema conservativo: não apresenta perdas de energia E c + E p = 0. Apresentado de forma clara pela primeira vez por Joseph Louis Lagrange em Mécanique Analytique em 1788.
35 Extensão da Lei da Conservação da Energia Estender o significado de energia cinética e energia potencial para abrigar outras maneiras pelas quais a energia pode aparecer ou ser armazenada.
36 Extensão da Lei da Conservação da Energia Estender o significado de energia cinética e energia potencial para abrigar outras maneiras pelas quais a energia pode aparecer ou ser armazenada. 1 Energia potencial de corpos elásticos. Lei de Hooke, Robert Hooke em Energia cinética de rotação.
37 Extensão da Lei da Conservação da Energia Estender o significado de energia cinética e energia potencial para abrigar outras maneiras pelas quais a energia pode aparecer ou ser armazenada. 1 Energia potencial de corpos elásticos. Lei de Hooke, Robert Hooke em Energia cinética de rotação. 3 Energia potencial elétrica. 4 Energia química. 5 Som, luz, e outras formas de radiação.
38 Extensão da Lei da Conservação da Energia Estender o significado de energia cinética e energia potencial para abrigar outras maneiras pelas quais a energia pode aparecer ou ser armazenada. 1 Energia potencial de corpos elásticos. Lei de Hooke, Robert Hooke em Energia cinética de rotação. 3 Energia potencial elétrica. 4 Energia química. 5 Som, luz, e outras formas de radiação. Lei da conservação deve ser escrita: trabalho externo ou qualquer outra forma de energia suprida = Ec + E p + perdas por atrito + energia química +...
39 Extensão da Lei da Conservação da Energia Estender o significado de energia cinética e energia potencial para abrigar outras maneiras pelas quais a energia pode aparecer ou ser armazenada. 1 Energia potencial de corpos elásticos. Lei de Hooke, Robert Hooke em Energia cinética de rotação. 3 Energia potencial elétrica. 4 Energia química. 5 Som, luz, e outras formas de radiação. Lei da conservação deve ser escrita: trabalho externo ou qualquer outra forma de energia suprida = Ec + E p + perdas por atrito + energia química +... Mayer, 1842: A energia não pode ser criada mas apenas transformada de uma forma para outra.
40 Leis de Conservação Massa
41 Leis de Conservação Massa Energia
42 Leis de Conservação Massa Energia Momento linear
43 Leis de Conservação Massa Energia Momento linear Relatividade restrita: massa e energia, quadri-momento
44 Leis de Conservação Massa Energia Momento linear Relatividade restrita: massa e energia, quadri-momento Momento angular
45 Leis de Conservação Massa Energia Momento linear Relatividade restrita: massa e energia, quadri-momento Momento angular Relatividade restrita: transformações de Lorentz e momento angular
46 Leis de Conservação Massa Energia Momento linear Relatividade restrita: massa e energia, quadri-momento Momento angular Relatividade restrita: transformações de Lorentz e momento angular Carga elétrica
47 Leis de Conservação Massa Energia Momento linear Relatividade restrita: massa e energia, quadri-momento Momento angular Relatividade restrita: transformações de Lorentz e momento angular Carga elétrica Probabilidade na mecânica quântica
48 Leis de Conservação Massa Energia Momento linear Relatividade restrita: massa e energia, quadri-momento Momento angular Relatividade restrita: transformações de Lorentz e momento angular Carga elétrica Probabilidade na mecânica quântica Cor (quarks)
49 Leis de Conservação Massa Energia Momento linear Relatividade restrita: massa e energia, quadri-momento Momento angular Relatividade restrita: transformações de Lorentz e momento angular Carga elétrica Probabilidade na mecânica quântica Cor (quarks) Isospin fraco (partículas elementares)
50 Leis de Conservação Massa Energia Momento linear Relatividade restrita: massa e energia, quadri-momento Momento angular Relatividade restrita: transformações de Lorentz e momento angular Carga elétrica Probabilidade na mecânica quântica Cor (quarks) Isospin fraco (partículas elementares) CPT:conjugação de carga (q q); paridade ( x x); inversão temporal (t t)
51 Leis de Conservação Massa Energia Momento linear Relatividade restrita: massa e energia, quadri-momento Momento angular Relatividade restrita: transformações de Lorentz e momento angular Carga elétrica Probabilidade na mecânica quântica Cor (quarks) Isospin fraco (partículas elementares) CPT:conjugação de carga (q q); paridade ( x x); inversão temporal (t t) Há uma relação profunda entre simetria e leis de conservação!
52 Simetria Senso impreciso de harmonia, beleza ou perfeição.
53 Simetria Ou mais precisamente através de relações espaciais como rotações e reflexões. Senso impreciso de harmonia, beleza ou perfeição.
54 Simetria Ou mais precisamente através de relações espaciais como rotações e reflexões. É a base para a compreensão profunda de vários aspectos da física moderna, incluindo o espaço e o tempo. Senso impreciso de harmonia, beleza ou perfeição.
55 Reflexão
56 Rotações Discretas
57 Rotações Discretas C 6 = {g 0, g 1, g 2, g 3, g 4, g 5 }, g 0 é a identidade e g 6 = g 0.
58 Rotações Discretas C 6 = {g 0, g 1, g 2, g 3, g 4, g 5 }, g 0 é a identidade e g 6 = g 0. Um grupo é um conjunto G munido de uma operação que associa a dois elementos de G, a e b, outro elemento de G denotado a b, com as seguintes propriedades: Associatividade: (a b) c = a (b c) Elemento identidade e: e a = a e = a Elemento inverso de a denotado a 1 : a a 1 = a 1 a = e
59 Rotações Discretas C 6 = {g 0, g 1, g 2, g 3, g 4, g 5 }, g 0 é a identidade e g 6 = g 0. Um grupo é um conjunto G munido de uma operação que associa a dois elementos de G, a e b, outro elemento de G denotado a b, com as seguintes propriedades: Associatividade: (a b) c = a (b c) Elemento identidade e: e a = a e = a Elemento inverso de a denotado a 1 : a a 1 = a 1 a = e C 6 : grupo cíclico de ordem 6.
60 Rotações Discretas C 6 = {g 0, g 1, g 2, g 3, g 4, g 5 }, g 0 é a identidade e g 6 = g 0. Um grupo é um conjunto G munido de uma operação que associa a dois elementos de G, a e b, outro elemento de G denotado a b, com as seguintes propriedades: Associatividade: (a b) c = a (b c) Elemento identidade e: e a = a e = a Elemento inverso de a denotado a 1 : a a 1 = a 1 a = e C 6 : grupo cíclico de ordem 6. O grupo cíclico por ser generalizado para C n : rotações de 2π/n. Podemos também considerar rotações contínuas.
61 Rotações Contínuas em 2D x = x cos θ y sin θ y = x sin θ + y cos θ
62 Rotações Contínuas em 2D x = x cos θ y sin θ y = x sin θ + y cos θ Forma matricial ( cos θ sin θ R(θ) = sin θ cos θ ) ( x, X = y ), X = RX
63 Rotações Contínuas em 2D x = x cos θ y sin θ y = x sin θ + y cos θ Forma matricial ( cos θ sin θ R(θ) = sin θ cos θ ) ( x, X = y ), X = RX Existe um número infinito de matrizes de rotação: uma para cada valor de θ. O grupo de rotações em 2 dimensões tem um número infinito de elementos.
64 Rotações Contínuas em 2D x = x cos θ y sin θ y = x sin θ + y cos θ Forma matricial ( cos θ sin θ R(θ) = sin θ cos θ ) ( x, X = y ), X = RX Existe um número infinito de matrizes de rotação: uma para cada valor de θ. O grupo de rotações em 2 dimensões tem um número infinito de elementos. As matrizes R(θ) são ortogonais (RR t = 1) e possuem determinante 1. São denotadas por SO(2) e formam um grupo.
65 Rotações em 3 Dimensões Podemos compor uma rotação em 3 dimensões como uma combinação de rotações ao redor dos eixos x, y e z: R x (θ x ), R y (θ y ), R z(θ z).
66 Rotações em 3 Dimensões Podemos compor uma rotação em 3 dimensões como uma combinação de rotações ao redor dos eixos x, y e z: R x (θ x ), R y (θ y ), R z(θ z). As matrizes agora são 3 3, ortogonais e de determinante 1: formam o grupo SO(3).
67 Rotações em 3 Dimensões Podemos compor uma rotação em 3 dimensões como uma combinação de rotações ao redor dos eixos x, y e z: R x (θ x ), R y (θ y ), R z(θ z). As matrizes agora são 3 3, ortogonais e de determinante 1: formam o grupo SO(3). Qualquer rotação infinitesimal pode ser escrita como uma combinação linear dos 3 geradores mais a identidade: J 1 = ( ), J 2 = ( ), J 3 = ( )
68 Rotações em 3 Dimensões Podemos compor uma rotação em 3 dimensões como uma combinação de rotações ao redor dos eixos x, y e z: R x (θ x ), R y (θ y ), R z(θ z). As matrizes agora são 3 3, ortogonais e de determinante 1: formam o grupo SO(3). Qualquer rotação infinitesimal pode ser escrita como uma combinação linear dos 3 geradores mais a identidade: J 1 = ( ), J 2 = ( ), J 3 = ( ) A ordem é importante: as rotações não são comutativas!
69 Rotações em 3 Dimensões Podemos compor uma rotação em 3 dimensões como uma combinação de rotações ao redor dos eixos x, y e z: R x (θ x ), R y (θ y ), R z(θ z). As matrizes agora são 3 3, ortogonais e de determinante 1: formam o grupo SO(3). Qualquer rotação infinitesimal pode ser escrita como uma combinação linear dos 3 geradores mais a identidade: J 1 = ( ), J 2 = ( ), J 3 = ( ) A ordem é importante: as rotações não são comutativas! Como as rotações não comutam podemos trabalhar os comutadores dos geradores: [A, B] = AB BA [J 1, J 2 ] = J 3, [J 1, J 3 ] = J 2, [J 2, J 3 ] = J 1 (1) Os geradores podem ser escritos como J i, (i = 1, 2, 3) e os comutadores como [J i, J j ] = ɛ ijk J k com ɛ 123 = 1, ɛ 132 = 1, etc.
70 Rotações em 3 Dimensões Podemos compor uma rotação em 3 dimensões como uma combinação de rotações ao redor dos eixos x, y e z: R x (θ x ), R y (θ y ), R z(θ z). As matrizes agora são 3 3, ortogonais e de determinante 1: formam o grupo SO(3). Qualquer rotação infinitesimal pode ser escrita como uma combinação linear dos 3 geradores mais a identidade: J 1 = ( ), J 2 = ( ), J 3 = ( ) A ordem é importante: as rotações não são comutativas! Como as rotações não comutam podemos trabalhar os comutadores dos geradores: [A, B] = AB BA [J 1, J 2 ] = J 3, [J 1, J 3 ] = J 2, [J 2, J 3 ] = J 1 (1) Os geradores podem ser escritos como J i, (i = 1, 2, 3) e os comutadores como [J i, J j ] = ɛ ijk J k com ɛ 123 = 1, ɛ 132 = 1, etc. Todas as propriedades das rotações em 3 dimensões estão embutidas no comutador acima.
71 Translação A física não depende da origem do sistema de coordenadas (e nem da origem do tempo)!
72 Translação A física não depende da origem do sistema de coordenadas (e nem da origem do tempo)! Translação x = x + x 0. O gerador de translação infinitesimal é P i, i = 1, 2, 3. Como as translações comutam [P i, P j ] = 0.
73 Translação A física não depende da origem do sistema de coordenadas (e nem da origem do tempo)! Translação x = x + x 0. O gerador de translação infinitesimal é P i, i = 1, 2, 3. Como as translações comutam [P i, P j ] = 0. Podemos incluir translações temporais t = t + t 0 com gerador P 0, e [P 0, P i ] = 0.
74 Transformações de Lorentz Na relatividade restrita mudamos de referencial através de uma transformação de Lorentz. De forma análoga às rotações podemos considerar os geradores das transformações de Lorentz infinitesimais K x, K y, K z ou K i, (i = 1, 2, 3): matriz 4 4
75 Transformações de Lorentz Na relatividade restrita mudamos de referencial através de uma transformação de Lorentz. De forma análoga às rotações podemos considerar os geradores das transformações de Lorentz infinitesimais K x, K y, K z ou K i, (i = 1, 2, 3): matriz 4 4 Eles possuem comutadores que geram rotações! [K i, K j ] = ɛ ijk J k, [K i, J j ] = ɛ ijk K k. (2) As transformações de Lorentz NÃO formam um grupo!
76 Transformações de Lorentz Na relatividade restrita mudamos de referencial através de uma transformação de Lorentz. De forma análoga às rotações podemos considerar os geradores das transformações de Lorentz infinitesimais K x, K y, K z ou K i, (i = 1, 2, 3): matriz 4 4 Eles possuem comutadores que geram rotações! [K i, K j ] = ɛ ijk J k, [K i, J j ] = ɛ ijk K k. (2) As transformações de Lorentz NÃO formam um grupo! Os geradores J i e K i formam o grupo de Lorentz.
77 Transformações de Lorentz Na relatividade restrita mudamos de referencial através de uma transformação de Lorentz. De forma análoga às rotações podemos considerar os geradores das transformações de Lorentz infinitesimais K x, K y, K z ou K i, (i = 1, 2, 3): matriz 4 4 Eles possuem comutadores que geram rotações! [K i, K j ] = ɛ ijk J k, [K i, J j ] = ɛ ijk K k. (2) As transformações de Lorentz NÃO formam um grupo! Os geradores J i e K i formam o grupo de Lorentz. As rotações, transformações de Lorentz e translações espaciais e temporais formam o grupo de Poincaré. Numa notação compacta em que os geradores de rotação e Lorentz são denotados por L µν = L νµ e as translações por P µ, com µ = 0, 1, 2, 3: [P µ, P ν] = 0, [J µν, P λ ] = η µλ P ν η νλ P µ, (3) [J µν, J λρ ] = η µλ J νρ +... (4) Estas são as simetrias do espaço-tempo na relatividade restrita.
78 Leis de Conservação As simetrias são importantes pois indicam a existência de leis de conservação pelo Teorema de Noether:
79 Leis de Conservação As simetrias são importantes pois indicam a existência de leis de conservação pelo Teorema de Noether: Traslação no tempo: ENERGIA
80 Leis de Conservação As simetrias são importantes pois indicam a existência de leis de conservação pelo Teorema de Noether: Traslação no tempo: ENERGIA Translação no espaço (homogeneidade): MOMENTO LINEAR
81 Leis de Conservação As simetrias são importantes pois indicam a existência de leis de conservação pelo Teorema de Noether: Traslação no tempo: ENERGIA Translação no espaço (homogeneidade): MOMENTO LINEAR Rotações do espaço (isotropia): MOMENTO ANGULAR
82 Leis de Conservação As simetrias são importantes pois indicam a existência de leis de conservação pelo Teorema de Noether: Traslação no tempo: ENERGIA Translação no espaço (homogeneidade): MOMENTO LINEAR Rotações do espaço (isotropia): MOMENTO ANGULAR Inversão espacial x x: P - PARIDADE ESPACIAL
83 Leis de Conservação As simetrias são importantes pois indicam a existência de leis de conservação pelo Teorema de Noether: Traslação no tempo: ENERGIA Translação no espaço (homogeneidade): MOMENTO LINEAR Rotações do espaço (isotropia): MOMENTO ANGULAR Inversão espacial x x: P - PARIDADE ESPACIAL Inversão temporal t t: T - PARIDADE TEMPORAL
84 Leis de Conservação As simetrias são importantes pois indicam a existência de leis de conservação pelo Teorema de Noether: Traslação no tempo: ENERGIA Translação no espaço (homogeneidade): MOMENTO LINEAR Rotações do espaço (isotropia): MOMENTO ANGULAR Inversão espacial x x: P - PARIDADE ESPACIAL Inversão temporal t t: T - PARIDADE TEMPORAL Conjugação de carga Q Q: C - PARIDADE DE CARGA
85 Leis de Conservação As simetrias são importantes pois indicam a existência de leis de conservação pelo Teorema de Noether: Traslação no tempo: ENERGIA Translação no espaço (homogeneidade): MOMENTO LINEAR Rotações do espaço (isotropia): MOMENTO ANGULAR Inversão espacial x x: P - PARIDADE ESPACIAL Inversão temporal t t: T - PARIDADE TEMPORAL Conjugação de carga Q Q: C - PARIDADE DE CARGA CPT: PRODUTO DAS PARIDADES
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