Transição de Fase Difusiva-Balística em Polímeros Aleatórios

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1 Transição de Fase Difusiva-Balística em Polímeros Aleatórios por Simone Vasconcelos da Silva Orientador: Leandro Martins Cioletti Brasília 204

2 AGRADECIMETOS Agradeço aos professores Leandro Cioletti e Chang Dorea, pela orientação, incentivo e confiança na minha capacidade de realizar este feito. Vocês são pessoas que me inspiram profissionalmente. Agradeço aos professores membros da banca examinadora, pelo paciente trabalho de revisão e sugestões para pesquisas futuras, à Universidade de Brasília, seu corpo docente, direção e administração, por fornecer a estrutura acadêmica necessária e à Universidade Federal de Goiás, pelo apoio na realização do doutorado juntamente com a atividade docente. Aos amigos, agradeço por poder dividir as alegrias e dificuldades desta experiência. Agradeço aos meus familiares, que me deram toda a estrutura para conseguir realizar este sonho, por entenderem a minha ausência e por se orgulharem deste feito tanto quanto eu. Em especial, agradeço à minha mãe, Maria da Graça, pela confiança e amor incondicional. Agradeço ao Fernando, que durante este processo foi namorado, noivo e esposo, sempre compreensivo e me incentivando a buscar minhas realizações profissionais, mesmo que para isso tenhamos que ficar fisicamente distantes. Finalmente, agradeço a Deus, pela presença constante ao meu lado e por me cercar de amor, cuidado e pessoas incríveis. Esta foi uma jornada longa, mas o aprendizado foi ainda maior. Obrigada.

3 Resumo este trabalho, problemas de transição de fase são abordados para polímeros aleatórios em Z 2 com interações auto-repulsivas de longo alcance. a ausência de drift e com interações com decaimento polinomial, o polímero exibe transição de um comportamento difusivo para balístico. Quando drifts não-nulos são adicionados e interações positivas e invariantes por translação são consideradas, o polímero apresenta um comportamento balístico. ossos resultados complementam alguns estudos anteriores sobre o assunto e também obtivemos um Teorema do Limite Central para o modelo. Palavras-chave: polímeros aleatórios auto-repulsivos; modelo de Ising; interações de longo-alcance; transição de fase difusiva-balística; Teorema do Limite Central.

4 Abstract In this Ph.D. dissertation phase transition issues are addressed for random polymers on Z 2 with long-range self-repulsive interactions. It is shown that, in the absence of drift and with power law interactions, the polymer exhibits transition from diffusive to a ballistic behavior. When non-null drifts are added and positive translation invariant interactions are considered, the polymer presents a ballistic behavior. Our results complement some previous studies on the matter and we also derive a Central Limit Theorem for the model. Keywords: self-repelling random polymers; Ising model; long-range interactions; diffusive-ballistic phase transition; Central Limit Theorem.

5 ão me envergonho de mudar de idéia, porque não me envergonho de pensar. Blaise Pascal

6 Conteúdo O Modelo de Ising Unidimensional 8. Introdução O Modelo de Ising Unidimensional Desigualdades de Momento Magnetização e Energia Livre Medida de Gibbs a Volume Infinito Teorema de Lee-Yang Distância Média Quadrática no Modelo de Polímeros Introdução O Modelo de Polímeros Aleatórios Bidimensional Relação entre o Modelo de Ising e o Modelo de Polímeros Ausência de Transição de Fase Transição de fase: h= Teorema do Limite Central para o Modelo de Polímeros Introdução Condição de Regularidade O Modelo de Polímeros com Condição Externa Teorema do Limite Central

7 Introdução Um dos temas comuns da Teoria de Probabilidade e Mecânica Estatística é a descoberta de regularidade em meio ao caos. As leis da Teoria de Probabilidade resumem o comportamento de sistemas estocásticos em termos de alguns parâmetros como, por exemplo, a média e a variância. Em Mecânica Estatística estudam-se propriedades macroscópicas de um sistema de partículas a partir de uma distribuição de probabilidade que é definida a partir das interações entre as partículas que constituem o sistema. Exemplos de sistemas físicos importantes na área de Mecânica Estatística são os modelos ferromagnéticos e modelos que representam polímeros. Ambos serão explorados neste trabalho. Um polímero, do ponto de vista químico, é uma molécula constituída por uma grande quantidade de monômeros, unidos através de ligações químicas devido à multivalência dos átomos. Alguns exemplos são proteínas, açúcares, borracha, sequência de DA entre outros. Em Mecânica Estatística, passeios aleatórios dependentes são denominados polímeros aleatórios, e são representados na rede Euclidiana d-dimensional Z d, d, de forma que podemos pensar nos monômeros como sendo os vértices de um caminho em Z d e as ligações químicas sendo os segmentos de reta (de comprimento na métrica Euclideana) paralelos aos eixos coordenados que ligam dois pontos imediatamente próximos. O assunto principal desta tese é um modelo de polímero na rede bidimensional Z 2. Mais precisamente, seja W a coleção de passeios aleatórios conexos de passos em Z 2 dada por W := {S = (S 0,..., S ) : S i Z 2, S 0 = 0, S i+ S i =, i =,..., }, sendo a norma l. Cada elemento S W é chamado de polímero. 2

8 Figura : Polímero Aleatório em Z 2 ote que podemos pensar em um polímero em W como um passeio em Z 2 de passos que inicia na origem e termina na posição S. A função H, denominada Hamiltoniano, associa uma energia para cada polímero S W, fornecendo informações de como o polímero interage com o meio e consigo mesmo. Para o nosso modelo, H (S) = i<j V ij X i, X j h, S, () onde X i = S i S i corresponde ao i-ésimo passo, {V ij } i,j= R são nãonegativos denominados interações, h R 2 é um vetor fixado denominado drift e, denota o produto interno usual em R 2. Seja β um parâmetro positivo associado ao inverso da temperatura do meio em que o polímero está imerso. A probabilidade de cada S W com respeito ao inverso da temperatura β é dada por P β (S) = exp [ βh (S)], onde Z β Z β = exp [ βh (S)], S W é denominada medida de Gibbs associada ao par (W, H ). Devido à questões de estabilidade, os polímeros com mais baixas energias têm maior probabilidade de ocorrência na natureza. Portanto o Hamiltoniano e a medida de Gibbs de um polímero S são inversamente proporcionais. Já que V ij 0 e β > 0, um polímero S tem maior probabilidade de ocorrer, segundo a medida de Gibbs definida acima, se ele satisfaz H (S) H ( S), para todo S W. 3

9 Seja fixado, e µ uma medida de probabilidade em W. Sejam µ (H ) = µ (S)H (S) e H(µ ) = µ (S) log µ (S), S W S W o valor esperado de H (com respeito a µ ) e a entropia de Shannon de µ, respectivamente. Por argumentos simples de convexidade, podemos observar que a entropia de Shannon de uma medida de probabilidade atinge seu valor máximo para medidas de probabilidade que atribuem mesmo peso para todos os pontos do espaço e seu valor mínimo (zero) quando a medida de probabilidade é uma medida tipo Delta concentrada em algum ponto. A medida de Gibbs é a única medida de probabilidade em W que minimiza a diferença µ (H ) H(µ ). Esta minimalidade é precisamente a condição de equilíbrio clássica para um sistema físico, com temperatura constante. O princípio variacional para sistemas finitos afirma que para qualquer medida de probabilidade µ em W vale a desigualdade µ (H ) H(µ ) log Z, onde Z = S W exp[ H (S)], e a igualdade ocorre somente para a medida de Gibbs P (S) = (Z ) exp[ H (S)], S W. De fato, aplicando a desigualdade de Jensen para a função convexa ϕ(x) = x log(x), podemos escrever para qualquer µ, µ (H ) H(µ ) + log(z ) = [ ] µ (S) H (S) + log(µ (S)) + log(z ) S W = [ ( e H )] (S) µ (S) log(µ (S)) log Z S W = µ (S) log [ µ (S)/P (S) ] S W = P (S) ϕ ( µ (S)/P (S) ) S W ϕ ( S W P (S) µ (S)/P (S) =ϕ() = 0. Como ϕ é estritamente convexa, a igualdade é válida se, e somente se a função S µ (S)/P (S) é constante, o que implica em µ 4 ) = P. Aplicamos o

10 princípio variacional para um sistema finito. O mesmo pode ser estendido para sistemas físicos infinitos (veja o Capítulo 5 em [3]). osso principal interesse ao estudar o modelo de polímeros definido através do Hamiltoniano H em () é avaliar a distância média quadrática entre as extremidades do polímero. Caracciolo et al. ([4], 994) introduziu um modelo de polímeros aleatórios auto-repulsivo com Hamiltoniano em W dado por H (S) = g 0 0 i<j V ij δ Si,S j, onde g 0 > 0 e as interações V ij = i j α. Para este modelo, foi conjecturado que para dimensão d 4 existe um expoente estritamente positivo γ = γ(d, α) tal que a distância média quadrática entre as extremidades do polímero satisfaz o seguinte resultado assintótico E P [ S 2 ] S W S (S) 2 P (S) c γ, onde a medida de Gibbs P é definida através do Hamiltoniano H. Baseado em simulações e argumentos heurísticos, Madras et al. ([26], 993) apresentaram a conjectura de que para β (0, ] a distância média quadrática do modelo de polímeros com medidas de Gibbs Q β (S), cujo Hamiltoniano é H(S) = δ Si,S j, é tal que 0 i,j i j E Q β ( S 2 ) D 3 2, quando, (2) onde D = D(β) > 0. Mais recentemente, H. Duminil-Copin e A. Hammond [8] provaram que para β =, existe κ < 2 tal que E Q β ( S 2 ) D κ, quando. ada se sabe sobre a conjectura (2) para β (0, ). Classifica-se um modelo de polímeros aleatórios com medida de Gibbs P definido sobre W de acordo com o comportamento assintótico da distância 5

11 média quadrática determinando o expoente γ > 0 para a qual o seguinte limite existe, é positivo e finito lim γ E P [ S 2 ] = lim γ S W S 2 P (S). (3) Dizemos que o modelo de polímeros é difusivo se γ =, superdifusivo se < γ < 2 e balístico se γ = 2. Considerando o Hamiltoniano H (S) = 0 i<j i j α S i S j 2, onde 3 < α 4, Procacci et. al. ([30], 2008) provaram a existência de constantes positivas β < β 2 tais que o modelo de polímeros apresenta uma transição de fase de um regime difusivo (β < β ) para um regime balístico (β > β 2 ). o entanto não se estabeleceu o comportamento do modelo quando β [β, β 2 ]. A principal motivação para este trabalho foi construir um modelo de polímeros aleatórios auto-repulsivo para o qual fosse possível obter uma transição de fase difusiva-balística genuína, ou seja, a existência de uma única constante positiva β c separando o modelo em dois regimes. Este resultado foi obtido para o modelo de polímeros cujo Hamiltoniano é dado em () (Teorema B). A principal ferramenta para obtenção do resultado de transição de fase é a comparação do modelo de polímeros com um modelo unidimensional para sistemas ferromagnéticos, denominado modelo de Ising. otações diferentes serão usadas para o modelo de polímeros bidimensional e para o modelo de Ising unidimensional. Para o modelo de polímeros bidimensional introduzido neste trabalho, utilizaremos as notações W, H h, P β,h e E P β,h para o espaço de configurações, Hamiltoniano, medida de Gibbs e esperança com respeito à medida de Gibbs P β,h, respectivamente, onde β > 0 é o inverso da temperatura e h R 2 é o drift. Para o modelo de Ising unidimensional usaremos as notações Σ, H h, P β,h e β,h para o espaço de configurações, Hamiltoniano, medida de Gibbs e esperança com respeito à medida de Gibbs P β,h, respectivamente, onde β > 0 é o inverso da temperatura e h R é denominado campo externo. A notação para esperança matemática para o modelo de Ising não é habitual em Teoria de Probabili- 6

12 dade, mas é usual em referências para o estudo do modelo de Ising, portanto será utilizada também neste trabalho. Certamente, o modelo de Ising é o sistema físico mais estudado em Mecânica Estatística e possui uma vasta literatura. O Capítulo é dedicado à definição do modelo de Ising unidimensional e à apresentação de propriedades e resultados clássicos que serão importantes na obtenção de resultados para o modelo de polímeros aleatórios bidimensional. A relação entre o modelo de polímeros e o modelo de Ising unidimensional é apresentada no Capítulo 2. O Lema A permite escrever a medida de Gibbs do modelo de polímeros em termos da medidas de Gibbs de dois modelos de Ising independentes. Considerando-se drift não-nulo, concluímos no Teorema A que para todo β (0, ) o modelo é balístico e não ocorre transição de fase. Quando o drift h = 0 e as interações V ij = i j α com < α 2 o resultado de transição de fase mencionado anteriormente (Teorema B) é apresentado. Além dos resultados para a distância média quadrática, no Capítulo 3 provamos um Teorema do Limite Central para projeções normalizadas do deslocamento total dos polímeros. Este resultado é obtido usando-se o Teorema de Lee-Yang aplicado ao modelo de Ising e a condição de C 2 -regularidade de Wu Liming [25]. Foram utilizadas duas enumerações distintas para os resultados apresentados nesta tese. Resultados obtidos no desenvolvimento desta pesquisa são enumerados por letras maiúsculas e os outros recebem enumeração numérica de acordo com o capítulo e a seção onde se encontram. Os resultados originais obtidos nesta Tese de Doutorado foram aceitos para publicação no Journal Statistical Physics em 204, veja referência [6]. 7

13 Capítulo O Modelo de Ising Unidimensional. Introdução Macroscopicamente, um ímã em barra é um dipolo magnético, formado por um pólo norte e um pólo sul. A orientação sul-norte do campo magnético gerado espontaneamente no interior do ímã pode ser representada por um vetor chamado momento de dipolo magnético. Podemos imaginar que o ímã é constituído por dipolos magnéticos microscópicos que interagem entre si, e a magnetização do ímã seria a resultante de uma orientação preferencial dos momentos de dipolo magnéticos atômicos. Modelos ferromagnéticos foram desenvolvidos para representar, de forma simplificada, a interação de spins de elétrons em imãs reais. este capítulo apresentamos o modelo mais estudado de Mecânica Estatística, o modelo de Ising unidimensional ferromagnético. Em 920, um esboço do modelo de Ising foi apresentado pela primeira vez por Lenz, em [23], mas o modelo recebeu este nome em 925 em [7], quando seu aluno E. Ising concluiu em sua Tese de Doutorado, que não existe transição de fase no modelo unidimensional (de primeiros vizinhos), e erroneamente extrapolou seu resultado para o modelo bidimensional. Em 936, Rudolf Peierls com um argumento bastante engenhoso mostrou em [28] que E. Ising estava errado e que o modelo de Ising tinha transição de fase em 8

14 dimensão maior ou igual a dois. Desde então o modelo de Ising d-dimensional vem sendo estudado amplamente, destacando-se resultados relacionados à transição de fase. Serão apresentados neste capítulo resultados clássicos do modelo de Ising unidimensional, que serão úteis na obtenção de resultados sobre o modelo de polímeros aleatórios bidimensional definido no Capítulo 2. a Seção.2 é definido o modelo de Ising unidimensional ferromagnético com condição externa livre, que é a principal ferramenta para o desenvolvimento dos resultados do modelo de polímeros bidimensional. Define-se também o modelo de Ising com condição externa. Desigualdades de esperança com respeito à medida de Gibbs do modelo de Ising são apresentadas na Seção.3, que serão utilizadas para provar propriedades da magnetização e energia livre, apresentadas na Seção.4. A medida de Gibbs a volume infinito é apresentada na Seção.5. Por último, o Teorema de Lee-Yang, uma das principais ferramentas usadas para provar um Teorema do Limite Central para o modelo de polímeros, é apresentado na Seção.6..2 O Modelo de Ising Unidimensional Definimos primeiramente o modelo de Ising ferromagnético a volume finito. Considere = {, 2,..., }, onde. Para cada ponto j (que também será chamado de sítio), está associada uma variável aleatória σ j, chamada spin assumindo valores + (spin para cima) ou (spin para baixo). Considere o seguinte espaço amostral que é chamado de espaço de configurações Σ = { } σ = (σ, σ 2,..., σ ) : σ i {, +}, i =,..., = {, +}. Observação.. Usualmente, o modelo de Ising a volume finito é definido para conjuntos de sítios simétricos {,..., } Z. A adaptação ao caso = {,..., } é adequada à necessidade deste trabalho e tem o objetivo de tornar imediatas as aplicações dos resultados do modelo de Ising unidimensional que serão utilizadas nos capítulos seguintes. 9

15 Associada a cada configuração de spin σ Σ, tem-se uma energia, denominada Hamiltoniano, dada por H h (σ) = i<j V (j i)σ i σ j hσ j. (.) O parâmetro h, denominado campo externo, é um número real que fornece a força de um campo magnético externo atuando em cada sítio j. O termo V (j i)σ i σ j fornece a energia de interação entre os spins nos sítios i e j. este trabalho, a função V, denominada função interação será considerada não-negativa. Sob o ponto de vista fenomenológico, a interação não-negativa favorece orientações iguais para os spins, descrevendo um comportamento ferromagnético e é denominada portanto interação ferromagnética. Consideramos também que a interação V é somável, ou seja, k V (k) é finito. Para excluir casos triviais, consideramos que V (j i) > 0 para pelo menos um par i, j. O modelo de Ising ferromagnético (ou seja, com interação ferromagnética) é definido através da medida P β,h em (Σ, B(Σ )), onde B(Σ ) representa os borelianos de Σ, que atribui a cada σ Σ a probabilidade P β,h (σ) = exp ( βhλ h (σ) ). (.2) Z β (h) O parâmetro β representa o inverso da temperatura /T e é positivo. O fator de normalização Z β (h) = é chamado função de partição e a medida P β,h a volume finito em. j= σ Σ exp ( βh h (σ) ) (.3) é chamada de medida de Gibbs A medida de Gibbs a volume finito em (.2) pode ser modificada por uma configuração fixada no exterior de. Se considerarmos o experimento físico em que se fixa um spin externo ω j {, +}, para cada sítio j \, tem-se que ω = (ω +, ω +2,... ) determina uma condição externa. O modelo de Ising ferromagnético com condição externa ω é definido através do Hamiltoniano H h,ω (σ) = i<j V (j i)σ i σ j 0 ( h + i= j=+ V (j i)ω j. ) σ i. (.4)

16 Cada ω j, j Λ c, interage com cada spin σ i, i. Comparando os Hamiltonianos em (.) e (.4), a condição externa ω modifica HΛ h alterando o campo externo de h R para o valor h i = h + j=+ V (j i)ω j, i. (.5) Como V é absolutamente somável, h i é bem definido para todo i. Sistemas ferromagnéticos em que se tem ausência de condição externa, como em (.) são chamados de modelos ferromagnéticos com condição externa livre. A medida de Gibbs a volume finito com condição externa ω, atribui a cada σ, a probabilidade em (Σ, B(Σ )) onde P β,h,ω (σ) = exp ( ) βh h,ω (σ) Z β,ω (h) Z β,ω (h) = ( ) exp βh h,ω (σ) σ, (.6) (.7) é a respectiva função de partição. Observe que o Hamiltoniano em (.4) não apresenta os termos V (j i)ω i ω j e hω i. De fato, como h e cada ω i, são fixados, os respectivos termos se cancelam no numerador e denominador em (.6). Duas escolhas de condição externa ω são particularmente importantes, aquelas em que ω j = +, j e, respectivamente,. Estas condições externas são chamadas de mais e menos, respectivamente. As medidas de Gibbs definidas por estas condições externas são denotadas por P β,h,+ e P β,h,, respectivamente. Definição. (Alcance da Interação). Dizemos que uma função interação V possui alcance L se L = inf{l : V (k) = 0, k > l}. Vejamos alguns casos particulares do modelo de Ising unidimensional, que também serão importantes:

17 Exemplo. (Modelo de Ising de Primeiros Vizinhos). Considere um número fixo V > 0. Para cada i < j, defina a função interação V (j i) = { V, se j i = 0, caso contrário, que acopla somente os sítios mais próximos. O modelo de Ising unidimensional em com esta interação é chamado de modelo de Ising de primeiros vizinhos e a respectiva medida de Gibbs a volume finito é denotada por P β,h,nn. Exemplo.2 (Modelo de Ising de longo alcance). Considere i, j tal que i < j. O modelo de Ising de longo alcance possui interação de alcance infinito dada por V (j i) = (j i) α, α >. Exigimos que o expoente α seja maior do que um para que a interação V seja somável, ou seja, k V (k) <. Definição.2 (Estados fundamentais). As configurações σ Σ que maximizam a medida de Gibbs em um modelo (consequentemente minimizam o Hamiltoniano) são chamadas de estados fundamentais do modelo. Considere σ + (respectivamente σ ) a configuração com σ + j = + (respectivamente σ j = ) para todo j. Para o modelo de Ising ferromagnético e somável com condição externa livre, é fácil verificar que Para h > 0, σ + é o único estado fundamental; Para h < 0, σ é o único estado fundamental; Se h = 0, σ + e σ são estados fundamentais. Serão únicos se a interação V for irredutível em, ou seja, se para cada par de sítios i < j em, V (j i) > 0 ou existe uma sequência finita i = i, i 2,..., i r = j em tal que V (i α+ i α ) > 0, α =,... r. 2

18 .3 Desigualdades de Momento esta seção apresentaremos desigualdades de momento, que serão utilizadas no estudo do modelo de Ising unidimensional. As desigualdades de momento serão aplicadas também no Capítulo 2, auxiliando na obtenção de resultados para o modelo de polímeros bidimensional, visto que este modelo pode ser comparado com o modelo de Ising unidimensional, conforme será apresentado na Seção 2.2. As desigualdades de momento não se restrigem à medida de Gibbs do modelo de Ising unidimensional, P β,h,ω, e serão apresentadas nesta seção de forma mais geral. Seja Λ um subconjunto não-vazio e finito, {V ij } i,j Λ números reais não-negativos, e {h i } i Λ um conjunto de números reais. Para Σ Λ = {σ = (σ i ) i Λ : σ i {, +}, i Λ}, considere a medida de probabilidade P em (Σ Λ, B(Σ Λ )) dada por P (σ) = e H(σ), onde H(σ) = V ij σ i σ j Z h i σ i i,j Λ i Λ e Z = exp ( H(σ)). σ Σ Λ A esperança com respeito a P será denotada por ou hi. A medida P se reduz a P β,h,ω se Λ = = {, 2,..., }, V ij = βv (j i) e h i = βh + β j=+ V (j i)ω j, i. Para B um subconjunto não-vazio de Λ, definimos σ B = i B σ i. Para cada j Λ, o valor esperado de cada função projeção π j (σ) = σ j será denotado por σ j. Em modelos ferromagnéticos, o estado de spins paralelos, ou seja, σ i = σ j é mais provável que o estado de spins antiparalelos σ i = σ j, de modo que o valor esperado para o produto σ i σ j é não-negativo. Este fato é estabelecido pela desigualdade GKS-, apresentada no teorema a seguir. Considerando-se o modelo de Ising, é esperado que a magnetização no sítio i, calculada 3

19 usando-se o valor médio do spin σ i, aumente quando aumentamos a intensidade do campo magnético externo aplicado. A desigualdade GKS-2 é usada para verificar esta monotonicidade. As desigualdades GKS- e GKS-2 foram provadas por Griffiths em [4], [5] para correlação entre pares, contudo a forma generalizada foi provada por Kelly e Sherman em [20]. Teorema. (Desigualdade GKS-). Considere cada h i 0. Então, para qualquer B subconjunto não-vazio de Λ, σ B 0. Demonstração. Por definição, σ B = Z σ Σ Λ σ B exp( H(σ)) Como a função de partição Z é positiva, basta provar que σ B exp( H(σ)) = σ Σ Λ σ Σ Λ σ B Expandindo-se exp(v ij σ i σ j ) em série de Taylor, temos exp(v ij σ i σ j ) exp(h i σ i ) 0. i,j Λ i Λ σ Σ Λ σ B e H(σ) = σ Σ Λ σ B = σ Σ Λ σ B = σ Σ Λ i Λ i Λ e h iσ i e h iσ i i,j Λ i,j Λ [cosh(v ij ) + sinh(v ij )σ i σ j ] cosh(v ij ) [ + tanh(v ij )σ i σ j ] (.8) c m L m (.9) m onde (.9) é obtida desenvolvendo os produtórios em (.8). Cada termo em m c ml m é constituído de um produto envolvendo as variáveis spins L m = σ n i σ nm i m exp(h i σ i ) e cada termo c m é contituído pelo produto de funções hiperbólicas, ora cosh(v ij ), ora cosh(v ij ) tanh(v ij ) e independe das variáveis spins. Como V ij 0, cada c m 0. Além disso, se L m é tal que todos os expoentes 4 i Λ

20 n k são pares, então L m > 0. Caso haja em L m pelo menos um expoente ímpar, digamos n j, então L m = σ n j j exp(h i σ i ) = σ j exp(h i σ i ) = σ j exp(h j σ j ) i Λ i Λ i Λ\{j} Efetuando-se a soma sobre todas as configurações σ, o termo σ j exp(h j σ j ) = 2 sinh(h j ) > 0, σ j {,+} exp(h i σ i ). pois h j 0. Portanto a expressão em (.9) é não-negativa e consequentemente σ Σ Λ σ B exp( H(σ)) 0. Teorema.2 (Desigualdade GKS-2). Considere cada h i 0. Então, para quaisquer A e B subconjuntos não-vazios de Λ, σ A σ B σ A σ B 0. Demonstração. A prova se baseia em um argumento de acoplamento que neste caso se reduz a construção de um sistema de spins duplicados, definido no espaço de configurações Σ Λ Σ Λ, que consiste em duas cópias do sistema original, que não interagem entre si, cujo Hamiltoniano é dado por H(σ, µ) = H(σ) + H(µ) = i,j Λ V ij [σ i σ j + µ i µ j ] i Λ h i [σ i + µ i ]. (.0) Valores esperados com respeito à medida de Gibbs associada a este Hamiltoniano serão denotados por (2). Observe que Então σ A (2) = µ A (2) = σ A, σ A µ B (2) = σ A µ B e σ A σ B (2) = σ A σ B = µ A µ B = µ A µ B (2). σ A σ B σ A σ B = σ A σ B σ A µ B (2) = 5 i A σ i ( i B σ i i B µ i ) (2).

21 Definindo X i = (σ i µ i )/ 2 e Y i = (σ i + µ i )/ 2, podemos reescrever o lado direito da expressão acima, obtendo σ A σ B σ A σ B = ( ) [ Yi + X i 2 i A i B ( ) Yi + X i ( ) ] (2) Yi X i. 2 i B 2 (.) Expandindo o produto i B (Y i X i )/ 2, qualquer termo com coeficiente negativo será cancelado com o termo correspondente na expansão de i B (Y i + X i )/ 2, portanto o lado direito em (.) é a esperança de um polinômio em {X i } e {Y i } com coeficientes não-negativos. Para concluir a demonstração, basta provar que para h i 0 e para quaisquer A e B subconjuntos não-vazios de Λ, temos X A Y B (2) 0, onde X A = i A X i e Y B = i B Y i. De fato, X A Y B (2) = (σ,µ) Σ 2 Λ X A Y B exp( H(σ, µ)), (.2) Z (2) onde Z (2) é a função de partição com respeito ao Hamiltoniano H(σ, µ) dado em (.0), que pode ser escrito em termos de {X i } e {Y i } da seguinte maneira H(σ, µ) = h i Y i. i,j Λ V ij [X i X j + Y i Y j ] 2 i Λ A não-negatividade da função de partição é imediata. Expandindo a exponencial dada em (.2) em série de Taylor e fatorando as somas resultantes em somatórios sobre i Λ, a demonstração se reduz a verificar que para cada sítio i e para todos os inteiros não-negativos m e n, ( ) m ( ) n Xi m Yi n σi µ i σi + µ = i 0. (σ i,µ i ) {,+} 2 (σ i,µ i ) {,+} Como os spins assumem os valores e +, cada termo do somatório é nulo, se m e n são positivos. Se ou m ou n são nulos, os termos do somatório ou são potências de X i sozinhas ou de Y i, que resultam em somatórios positivos (se o expoente não-nulo é par) ou nulos (se o expoente não-nulo é ímpar). Este argumento conclui a prova do teorema. 6

22 A desigualdade a seguir foi provada por Griffiths, Hurst e Shermann em [6]. A demonstração é semelhante à prova da desigualdade GKS-2 e consiste em considerar um sistema de spins quadruplicado no espaço de configurações Σ 4 Λ, com Hamiltoniano H(σ, µ, σ, µ) = H(σ) + H(µ) + H( σ) + H( µ). Teorema.3 (Desigualdade GHS). Considere cada h i 0. Então para sítios arbitrários i, j, k Λ, (σ i σ i ) (σ j σ j ) (σ k σ k ) = σ i σ j σ k σ i σ j σ k σ j σ i σ k 0 σ k σ i σ j + 2 σ i σ j σ k Observação.2. As três desigualdades apresentadas acima requerem que cada h i seja não-negativo. Resultados análogos são obtidos para a hipótese de cada h i não-positivo. Antes de enunciar a última desigualdade de momento, considere a seguinte relação de ordem parcial em Σ Λ : Definição.3. Sejam σ e σ configurações em Σ Λ. Dizemos que σ σ se σ j σ j, j Λ. Uma função real f em Σ Λ é dita ser não-decrescente se f(σ) f( σ) sempre que σ σ. A função projeção π j (σ) = σ j, para cada j Λ é um exemplo de função não-decrescente, assim como f B (σ) = i B Teorema.4 (Desigualdade FKG). ( + σ 2 i). Sejam f e g funções reais não-decrescentes em Σ Λ. Então, para qualquer {h i } i Λ em R, a covariância de f e g é não-negativa, ou seja, fg f g 0. Em particular, se h i h i, então f {hi } f { hi }. Demonstração. A prova da desigualdade de FKG pode ser encontrada em [, 24] e também em todos os detalhes na referência [0]. Vamos porém mostrar 7

23 como usá-la para provar o segundo resultado da afirmação do teorema acima, isto é, verificar que se h i h i, então f {hi } f { hi }. De fato, pensando agora em h i não como uma constante mas sim como uma variável real temos que H/ h i = σ i e também Z h i Z = Σ Λ σ i exp( H(σ)) Z = σ i. Desta forma segue que { } f = f(σ) exp[ H(σ)] h i h i Z Σ { Λ } = f(σ) σ i exp[ H(σ)] h i Z Σ Λ = f σ i f σ i, f Z h i Z que é não-negativo, já que f e σ i são não-decrescentes. Portanto f {hi } é uma função não-decrescente de cada h i. As desigualdades de momento apresentadas acima serão úteis para provar propriedades importantes de esperanças com respeito a medida de Gibbs a volume finito com condição externa P β,h,ω. Usaremos a notação β,h,ω para denotar essas esperanças. Proposição.. Considere a medida de Gibbs a volume finito com condição externa ω e campo externo h i, definido em (.5), onde i. (a) Se cada h i 0, então σ k β,h,ω 0. (b) Se cada h i 0, então β σ k β,h,ω 0. (c) Se cada h i 0 e cada ω j =, para cada j Λ c, então V (k) σ l β,h,ω 0 e V (k) σ lσ m β,h,ω 0. 8

24 (d) Se cada h i 0, então (e) Para qualquer h i, 2 h i h j σ l β,h,ω 0. h i σ j β,h,ω 0. Demonstração. Para simplificar a notação, usaremos σ k β,h,ω = σ k, H h,ω (σ) = H(σ), Z β,ω (h) = Z e P β,h,ω (σ) = P (σ). (a) É imediato de GKS-. (b) Observe que Então, Z Z β = H(σ) exp[ βh(σ)] Z σ Σ = H. (.3) [ ] β σ k = σ k exp[ βh(σ)] β Z σ Σ = σ k H(σ) exp[ βh(σ)] Z σ Σ σ k exp[ βh(σ)] Z β Z. (.4) 2 σ Σ Substituindo (.3) em (.4), obtemos β σ k = σ k H + σ k H = V (j i)[ σ k σ i σ j σ k σ i σ j ] i<j + i h i ( σ k σ i σ k σ i ). (.5) Aplicando a desigualdade GKS-2 em (.5), obtemos h i 0. β σ k 0, pois (c) Tem-se que H(σ) V (k) = i<j j i=k σ i σ j i,j Λ c j i=k ω j σ i (.6) 9

25 e Z Z V (k) = β i<j j i=k σ i σ j β i,j Λ c j i=k Substituindo (.6) e (.7) na derivada abaixo, temos V (k) σ l = β i<j j i=k + β i,j Λ c j i=k [ σ l σ i σ j σ l σ i σ j ] ω j [ σ l σ i σ l σ i ] ω j σ i. (.7) (d) (e) Se cada h i 0, e cada ω j 0 então V (k) σ l 0, pela desigualdade GKS-2. A demonstração para V (k) σ lσ m é análoga. 2 σ l =β ( σl σ j σ l σ j ) h i h j h i Se cada h i 0, então =β 2[ σ l σ j σ i σ l σ j σ i σ j ( σ l σ i σ l σ i ) σ l ( σ j σ i σ j σ i ) ] =β 2[ σ l σ j σ i σ l σ j σ i σ j σ l σ i σ i σ l σ j + 2 σ l σ j σ i ]. 2 h i h j σ l 0, pela desigualdade GHS. h i σ j = β[ σ i σ j σ i σ j ] 0, pela desigualdade FKG..4 Magnetização e Energia Livre Para cada σ Σ, considere o spin total S Λ (σ) = π j (σ), j 20

26 onde π j (σ) = σ j. O valor esperado de S Λ com respeito à medida P β,h,ω é uma função importante para o estudo do modelo de Ising unidimensional. Quando for importante explicitar a dependência de ω em relação a, escreveremos ω( ). Definição.4. A magnetização a volume finito com condição externa ω é o valor médio do spin total em com respeito à medida P β,h,ω e é definida por m Λ (β, h, ω) = S Λ (σ)p β,h,ω (σ) = σ j β,h,ω, σ Σ j onde β,h,ω denota a esperança com respeito a P β,h,ω. A magnetização a volume finito com condição externa livre, ou seja com respeito à medida P β,h será denotada por m Λ (β, h). Escreveremos a magnetização a volume finito como m Λ (β, h, +) ou m Λ (β, h, ) quando a condição externa ω for mais ou menos, respectivamente. Considerando o caso em que a condição externa é livre, a medida de Gibbs a volume finito satisfaz P β, h (σ) = P β,h ( σ), para todo σ Σ. Portanto m Λ (β, h) = m Λ (β, h), (.8) isto implica que no caso do campo externo nulo, m Λ (β, 0) = 0, β > 0. (.9) Além disso, a magnetização a volume finito é limitada pela cardinalidade do conjunto, ou seja, m Λ (β, h) σ j P β,h (σ). (.20) j= σ Σ Outras propriedades da magnetização a volume finito com condição externa livre, são enunciadas a seguir. Proposição.2 (Propriedades da Magnetização a volume finito com condição externa livre). 2

27 (a) Para cada β > 0 fixado, m Λ (β, h) é uma função não-decrescente do parâmetro h R e é uma função não-negativa e côncava para h 0. (b) Para cada h 0 fixado, m Λ (β, h) é uma função não-negativa e nãodecrescente como função de β > 0 e de cada interação V (k) 0, k. Demonstração. (a) Vamos mostrar primeiro que m Λ (β, h) 0. Para isto tomamos h i = h em (.5) para cada sítio i. Daí segue do item (a) da Proposição. que m Λ (β, h) = σ j β,h 0. j Além disso, pelo item (d) da Proposição. temos que m Λ (β, h) é côncava para h 0, pois 2 m Λ = 2 β,h σ j 0 h 2 h 2 j Para h real, aplicando o item (e) da Proposição., tem -se m h 0, portanto m Λ (β, h) é crescente em h. (b) De acordo com os itens (b) e (c) da Proposição. respectivamente, obtém-se que para h 0, m Λ β 0 e m Λ V (k) 0. Definição.5. A energia livre a volume finito com condição externa ω é definida por f Λ (β, h, ω) = β log Zβ,ω (h), onde Z β,ω (h) é a função de partição definida em (.7). A energia livre a volume finito com condição externa livre é dada por f Λ (β, h) = β log Zβ (h), para Z β (h) definido em (.3). 22

28 A magnetização a volume finito com condição externa ω, pode ser obtida derivando com respeito a h a energia livre a volume finito com mesma condição externa f (β, h, ω) h = Z β,ω (h) β h Z β,ω (h) ( ) = σ j exp βh h,ω (σ) j= σ Σ Z β,ω (h) = m Λ (β, h, ω). Esta relação permite que a existência do limite quando tende a infinito da magnetização a volume finito e propriedades importantes sejam apresentadas em termos do limite da energia livre a volume finito. Uma propriedade importante da energia livre a volume finito é que para qualquer sequência de condições externas em Λ c, o limite lim f (β, h, ω( )) coincide com o limite lim f (β, h), ou seja, esta quantidade independe da condição externa. Lema.. Para qualquer β > 0, h real (a) Existe o limite f(β, h) = lim f (β, h). (b) Para qualquer sequência de condições externas {ω( )}, f(β, h) = lim f (β, h, ω( )), ou seja, o limite existe, é independente da escolha da condição externa {ω( )} e coincide com o limite para a energia livre a volume finito com condição externa livre. Demonstração. (a) ote que a função de partição definida em (.3) satisfaz Z β (h) Z β Λ M (h)z β M (h), M. (.2) 23

29 Assim segue de (.2) que { log Z Λ } é uma sequência subaditiva, ou seja, log Z β (h) log Z β Λ M (h) + log Z β M (h), M, e como f Λ (β, h) = β log Zβ (h) segue que f(β, h) = lim f (β, h) = sup f (β, h) existe em (, ]. Como inf σ Σ H β,h C onde C é uma constante finita, então pode ser excluído dos valores limitantes. (b) A prova deste ítem pode ser obtida como aplicação da seguinte desigualdade: para qualquer medida de probabilidade µ em um espaço Ω e funções f, g : Ω R limitadas em Ω, temos log e f dµ log e g dµ sup f(ω) g(ω) Ω Ω x Ω (veja [0], página 54). Em nosso caso, se olhamos para Z como uma integral de Lebesgue com respeito a medida de contagem em Σ Λ normalizada obtemos diretamente da desigualdade acima que f (β, h, ω) f Λ (β, h) H h,ω H h. Como f(β, h) existe, é suficiente provar que o lado direito da desigualdade acima tende a zero quando tende a infinito. Dado ε > 0, existe ε tal que k> ε V (k) < ε. Para qualquer σ Σ, Como V (j i) max k (V (k)) 2 ε, a demonstração está completa. (σ) HΛ h (σ) H h,ω i,j Λ c j i ε i j Λ c V (j i) i j Λ c j i ε V (j i) + ε. 24

30 O Lema. garante que é suficiente definir o limite da energia livre a volume finito para o caso em que a condição externa é livre. Definição.6. Sejam f Λ (β, h) e f Λ (β, h, ω) a energia livre a volume finito com condição externa livre e condição externa ω, respectivamente. A energia livre é definida por f(β, h) = lim = lim para qualquer sequência de condição externa {ω( )}. f (β, h) (.22) f (β, h, ω( )), O limite da magnetização a volume finito herda a propriedade da energia livre, ou seja também independe da sequência de condição externa e coincide com o limite com condição externa livre. Este é um fato muito importante e sua prova pode ser vista em [0, p. 4]. Definição.7. Considere a magnetização a volume finito com condição externa livre. magnetização é definida pelo limite m(β, h) = lim m (β, h). As propriedades da magnetização a volume finito apresentadas em (.8), (.9), (.20) e na Proposição.2 se estendem de maneira natural para a magnetização: m(β, h) = m(β, h); m(β, 0) = 0, β > 0; m(β, h). Para cada β > 0, m(β, h) é uma função não-decrescente de h real e é não-negativa e côncava de h 0; Para cada h 0, m(β, h) é uma função não-negativa e não-decrescente de β > 0 e de cada interação V (k), k. 25 A

31 Proposição.3 (Propriedades de magnetização e energia livre). (a) Para cada β > 0, f(β, h) é uma função côncava e par de h real. Além disso é continuamente diferenciável para h 0. (b) Para β > 0 e h 0, a magnetização m(β, h) = lim m (β, h, ω) existe e é independente da escolha da condição externa ω. (c) Para todo β > 0 e h 0, m(β, h) = f(β, h)/ h. Demonstração. (a) Concavidade é preservada por limites pontuais. Portanto a concavidade de f(β, h) é consequência da concavidade de f Λ (β, h, ω), para qualquer condição externa ω, que por sua vez é equivalente à desigualdade Z β (λh + ( λ)h 2 ) (Z β (h )) λ (Z β (h 2 )) λ, para quaisquer h h 2 reais e 0 < λ <. Mas a desigualdade acima é uma simples aplicação da desigualdade de Hölder às funções exp(βλh j σ j ) e exp(β( λ)h 2 j σ j ). (b) Como visto acima a energia livre f(β, ) é uma função par pois H h (σ) = HΛ h ( σ). Além do mais a energia livre a volume finito está relacionada com a magnetização a volume finito pela derivada com respeito à h, ou equivalentemente (f (β, h) f Λ (β, 0)) = h 0 m Λ (β, s)ds. Se passarmos ao limite quando, o lado esquerdo se torna f(β, h) f(β, 0). Para o lado direito precisamos de uma análise mais refinada. a igualdade acima, considere h 0. Já que 0 m Λ (β, h) usando um argumento tipo diagonal de Cantor, podemos afirmar que existe uma subsequencia Λ de tal que m(β, h) = lim Λ m Λ (β, h) existe para qualquer número racional h 0 e além do mais é uma função côncava de h 0. Usando a propriedade de concavidade desta função, temos imediatamente que m(β, h) existe para todo h 0 e é côncava, e portanto contínua para h > 0. Pelo Teorema da Convergência Dominada, f(β, h) f(β, 0) = 26 h 0 m(β, s)ds.

32 H Figura.: Esboço do gráfico da magnetização para alguns valores de β > 0. que prova que f(β, h) é uma função continuamente diferenciável de h > 0 e que f(β, h)/ h = m(β, h). A mesma demonstração é válida para h < 0. Como f Λ (β, h, ω) é uma função côncava de h real e para h 0 f(β, h)/ h = m(β, h) existe, tem-se que lim n m Λ (β, h, ω ) existe para toda sequência { } e m Λ (β, h, ω( )) = f Λ (β, h, ω( )) h f(β, h) = m(β, h). h Portanto o limite é independente da escolha da condição externa {ω( )}. A energia livre f(β, h) não é necessariamente diferenciável em h = 0. A não-existência de f(β, 0)/ h está relacionada ao fato de o sistema permanecer magnetizado depois que o campo externo é removido. O modelo é dito ter magnetização espontânea quando o efeito de alinhamento construído na medida de Gibbs a volume finito permanece no limite quando. De forma mais precisa, definimos a magnetização espontânea como se segue. Definição.8. O modelo de Ising unidimensional é dito ter magnetização espontânea se m(β, +) := lim m(β, h) > 0. h

33 O inverso da temperatura crítica é definido por β c = sup{β > 0 : m(β, +) = 0}. Teorema.5 (Propriedades da Magnetização Espontânea). (a) Para cada β > 0, existem os limites m(β, +) = lim m(β, h), h 0 + m(β, ) = lim m(β, h) h 0 e m(β, ) = m(β, +). Além disso, m(β, +) é uma função nãonegativa e não-decrescente de β > 0. (b) Para cada β > 0, temos que e m(β, +) = lim h 0 + m(β, ) = lim h 0 h h f(β, h) f(β, 0) h + f(β, h) f(β, 0) h m(β, ) m(β, 0) = 0 m(β, +). (.23) Portanto, a magnetização espontânea ocorre em β > 0 se, e somente se, f(β, h) é não diferenciável em h = 0, ou seja, m(β, +) > 0. Demonstração. Como f(β, h) é côncava para h real e diferenciável para h 0, f/ h é não-crescente para h 0. Além disso, f(β, h) m(β, +) = lim m(β, h) = lim h 0 + h 0 + h existe e é igual à derivada a direita de f em h = 0, que denotamos por f(β, 0)/ h +. O mesmo é válido para m(β, ). Para cada h 0, m(β, h) é uma função não-negativa e não-decrescente de β > 0, portanto as mesmas propriedades são válidas para m(β, +). Como f(β, h) é diferenciável em h = 0 se, e somente se, f(β, 0)/ h + = f(β, 0)/ h, a magnetização ocorre em β se, e somente se, f(β, h) é não diferenciável em h = 0. 28

34 De acordo com a parte (b) do Teorema.5, a magnetização espontânea corresponde a uma descontinuidade na derivada de primeira ordem f/ h. Este fato é denominado de transição de fase de primeira ordem. Exemplo.3 (Matriz de Transferência). Verifiquemos que o modelo de Ising de primeiros vizinhos, apresentado no exemplo., não possui transição de fase de primeira ordem. A demonstração é feita através do uso de uma matriz, chamada de matriz de transferência do modelo. Por simplicidade, considere o modelo de Ising de primeiros vizinhos com cadeia periódica fechada, ou seja, σ, σ 2,..., σ, σ + = σ. É fácil ver que no limite quando, obtém-se o mesmo resultado para cadeia não-periódica. A função de partição do modelo é = ( βv σ n σ n+ + βh Z β,h,nn σ Σ exp = σ Σ n= n= ) σ n n= ( exp βv σ n σ n+ + βh 2 (σ n + σ n+ ) ). (.24) Definindo L(σ n, σ n+ ) = exp ( βv σ n σ n+ + βh 2 (σ n + σ n+ ) ) e substituindo em (.24), temos Z β,h,nn = σ Σ n= = L(σ n, σ n+ ) σ =± σ =± σ =± L(σ, σ 2 ) L(σ 2, σ 3 ) L(σ, σ ) (.25) A matriz de transferência (2 2) é definida por ( ) ( L(, ) L(, ) e β(v +h) e βv L = = L(, ) L(, ) e βv e β(v h) ). (.26) Os autovalores da matriz L, dada em (.26), são as raízes do polinômio característico det ( e β(v +h) λ e βv e βv 29 e β(v h) λ ) = 0,

35 ou seja, λ 2 λe ( βv e βh + e βh) + ( e 2βV e ) 2βV = 0. Portanto, os autovalores de L são λ ± = [e ( βv e βh + e βh) ± 2 ( e 2βV sinh 2 (βh) + e ) ] 2βV /2 2 = e βv cosh(βh) ± ( e 2βV sinh 2 (βh) + e 2βV ) /2 (.27) Analisando o primeiro somatório em (.25), que depende de σ, temos que L(σ, σ )L(σ, σ ) =L(σ, )L(, σ ) σ =± + L(σ, )L(, σ ) =L (2) (σ, σ ), onde L (2) (σ, σ ) é o elemento (σ, σ ) da matriz L 2. Utilizando recursivamente o mesmo argumento, obtém-se Z β,h,nn = σ =± = traço(l () ) L () (σ, σ ) = λ + + λ, (.28) onde λ + e λ são respectivamente o maior e menor autovalor de L, dados em (.27). De acordo com (.28), podemos escrever a energia livre do modelo de primeiros vizinhos em termos dos autovalores de L, f nn (β, h) = ( ) β lim log(λ + + λ ) { [ ( = β lim log λ + + = β log(λ +). ( λ λ + ) )]} Derivando a energia livre com respeito a h, obtemos que a magnetização do modelo de Ising de primeiros vizinhos é m nn (β, h) = nn f sinh(βh) (β, h) = h 30 sinh 2 (βh) + e 4βV. (.29)

36 Como sinh(0) = 0, m nn (β, h) se anula quando h = 0, para todo β > 0. Portanto não ocorre transição de fase de primeira ordem no modelo de Ising de primeiros vizinhos, ou seja, β c =. A ausência de transição de fase verificada no Exemplo.3 para o modelo de Ising de primeiros vizinhos, também ocorre para qualquer modelo de Ising unidimensional com interação de alcance finito. O Teorema a seguir apresenta condições suficientes sobre a interação para que se tenha transição de fase. Teorema.6. Seja V uma interação somável e ferromagnética em e defina o número V 0 = k V (k). Então valem os seguintes resultados: (a) β c é bem definido e V 0 β c. Em particular, β c > 0. (b) β c = se k kv (k) < (c) β c < se V > 0 e V (k) k α, para < α 2. (d) Para 0 < β < β c, f(β, h) é diferenciável em h = 0 e m(β, +) = 0. Para β > β c, a diferenciabilidade falha e ocorre a magnetização espontânea: Referências das Demonstrações. m(β, ) < 0 < m(β, +). (.30) (a) Pearce [27] provou este resultado através de comparação com outro modelo ferromagnético unidimensional, denominado modelo de Curie-Weiss. (b) É uma consequência dos resultados apresentados por Sakai em [33] e Bricmont et al em [2]. (c) Segue de [9] que β c é finito se V é positivo e V (k) k α, para algum < α < 2 e em [2] foi provado o caso em que V (k) = k 2. (d) Para 0 < β < β c, m(β, +) é igual a 0 e portanto f(β, h) é diferenciável em h = 0. Para β > β c, m(β, +) é positiva e (.30) segue de (.23). 3

37 .5 Medida de Gibbs a Volume Infinito Até o momento, o modelo de Ising unidimensional foi apresentado em termos da medida de Gibbs a volume finito, que são medidas de probabilidade em Σ = {, +}, onde = {, 2,..., }. Estudaremos agora a medida de Gibbs a volume infinito, ou seja, no espaço de configuração Σ = {, +}. Estas medidas são obtidas através de limites fracos de medidas de Gibbs a volume finito. Primeiramente, estendemos cada medida de Gibbs a volume finito P β,h para uma medida de probabilidade em (Σ, B(Σ)). Seja B ω = {σ Σ : σ j = ω j, para cada j Λ c } e π a projeção de Σ em Σ, ou seja, (π (σ)) i = σ i, para i. A extensão P β,h,ω por da medida de Gibbs a volume finito é definida para cada A B(Σ) P β,h,ω Como o suporte de P β,h,ω a condição externa. ( (A) = P β,h,ω Λ π (A BΛ ω ) ) = P β,h,ω (σ). σ π (A B ω ) é o conjunto B ω, a extensão é compatível com Seja C (Σ) o espaço das funções reais limitadas e contínuas em Σ com a norma do supremo. Se f é uma função em C (Σ) tal que o valor de f(σ) depende apenas de uma quantidade finita de coordenadas de σ, digamos σ i, σ i2,..., σ ir e é um intervalo contendo os sítios i, i 2,..., i r, então a restrição de f para as coordenadas {σ i, i } define uma função em C (Σ ). Denotaremos a restrição de f pelo mesmo símbolo f. Se σ = π (σ), com σ Σ e σ Σ, então f(σ) = f(σ) e f(σ)dp β,h,ω = f(σ)dp β,h,ω. Σ Σ P β,h,ω De agora em diante, denotaremos a extensão P β,h,ω usado para a medida original. pelo mesmo símbolo Sejam M (Σ) o conjunto das medidas de probabilidade em (Σ, B(Σ)). 32

38 Definição.9. Seja {P, =, 2,... } uma sequência de medidas de probabilidade em M (Σ). Dizemos que uma medida de probabilidade P M (Σ) é o limite fraco de {P, =, 2,... }, denotado por P =w-lim P, se para toda f C (Σ) lim f(σ)dp = f(σ)dp. Σ Σ Se um limite fraco P existe, então é único. Se definirmos em Σ a métrica σ σ = j σ j σ j 2 j, (Σ,. ) é um espaço métrico compacto e M (Σ) também é compacto com respeito a convergência fraca, portanto qualquer sequência de medidas de Gibbs a volume finito {P β,h,ω Λ, Λ } { com condição externa arbitrária {ω(λ)} possui subsequência convergente P β,h,ω(λ ) Λ }. É natural investigar a dependência dos limites em relação à escolha de condições externas. Para diferentes valores de β e h, situações distintas ocorrem: existe um único limite fraco, independente da escolha da condição externa e o limite é invariante por translação; O limite fraco depende da escolha da condição externa e pode ou não ser invariante por translação, termo que será definido adiante. Considere o conjunto de limites { } Gβ,h 0 = P M (Σ) : P = w- lim P β,h,ω(λ ) Λ Λ, onde {Λ } é uma sequência crescente de subconjuntos de cuja união é e ω(λ ) é uma condição externa para Λ. Definimos G β,h como sendo o fecho da envoltória convexa de Gβ,h 0, ou seja, é o fecho com respeito à convergência fraca do conjunto de combinações convexas { } k k P M (Σ) : P = λ j P j, λ j > 0, λ j = e P j Gβ,h 0. j= Cada medida em G β,h é chamada uma medida de Gibbs a volume infinito. Quando G β,h possui mais de uma medida, dizemos que ocorre uma transição de fase de primeira ordem. 33 j=

39 Definição.0. Seja T : Σ Σ o shift, definido por T (σ) j = σ j+, para j. Uma medida de probabilidade P em (Σ, B(Σ)) é dita ser invariante por translação, se o shift T preserva P, ou seja, P (B) = P (T (B)), para todo B B(Σ). Denotamos por M S (Σ) o conjunto das medidas de probabilidade invariantes por translação em B(Σ). Cada medida de Gibbs a volume infinito que é invariante por translação é chamada de uma fase. Definição.. Seja {P, =, 2,... } uma sequência de medidas de probabilidade em (Σ, B(Σ)). Um subconjunto L de C (Σ) é chamado de classe determinante de convergência se a existência do limite lim Σ fdp para cada f L implica que {P, =, 2,... } converge fracamente para alguma medida de probabilidade P. Como Σ é compacto, o próprio C (Σ) é uma classe determinante de convergência. Outro exemplo conhecido é o subconjunto formado por todas as funções p(σ) = i B σ i, se B é finito e não vazio e p(σ) =, se B é vazio. Será importante para a prova da existência da medida de Gibbs a volume infinito uma variação desta classe determinante de convergência. Lema.2. Para B um subconjunto finito e não vazio de, defina f B (σ) = i B 2 ( + σ i) e f B (σ) =, se B =. O subconjunto de C (Σ) formado por todas as funções f B é uma classe determinante de convergência. Escreveremos β,h,ω para a esperança com respeito à medida de Gibbs. O Lema.3 relaciona m(β, h), m(β, +) e m(β, ) com as quantidades P β,h,ω σ i β,h,+ e σ i β,h,, definidas por σ i β,h,+ = lim σ i β,h,+ Λ e σ i β,h, = lim σ i β,h,+ Λ, e mostra também que os números reais σ i β,h,± são na verdade médias com respeito às medidas P β,h,±. 34

40 Lema.3. Seja V uma interação ferromagnética e somável em. (a) Para β > 0 e h 0 (b) Para β > 0 e h = 0, σ i β,h,+ = m(β, h) = f h (β, h) = σ i β,h,. σ i β,0,+ = m(β, +) = f (β, 0) 0, h + σ i β,0, = m(β, ) = f (β, 0) 0 h e pelo item (a) do Teorema.5, σ i β,0,+ = σ i β,0,. A magnetização espontânea ocorre em β se, e somente se σ i β,0,+ = m(β, +) > 0. Para provar que os limites fracos P β,h,+ w- lim P β,h, Λ = w- lim P β,h,+ Λ e P β,h, = existem, basta provar que para qualquer conjunto finito e não vazio B, os limites lim f B β,h,+ existem. O Teorema.7 garante a existência de P β,h,+ e P β,h, e relaciona a ocorrência e lim f B β,h, de transição de fase de primeira ordem com a existência de magnetização espontânea. Teorema.7. Seja V uma interação ferromagnética somável em. (a) Para cada β > 0, e h real, os limites fracos P β,h,+ = w- lim P β,h,+ Λ e P β,h, = w- lim P β,h, Λ existem e são invariantes por translação. Portanto G β,h e G β,h M S são não vazios. (b) P β,h,+ é igual a P β,h, se, e somente se f (β, h) existe. h valores de β e h, definimos P β,h P β,h,+ = P β,h,. Para estes (c) Se f h (β, h) existe, então P β,h é a única medida em G β,h e portanto em G β,h M S, ou seja, não ocorre transição de fase de primeira ordem. 35