EXPLORAÇÃO DO SOFTWARE WINGEOM NO ENSINO DA GEOMETRIA ESPACIAL PARA O CÁLCULO DE VOLUMES POR APROXIMAÇÃO: UMA PROPOSTA PEDAGÓGICA

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1 EXPLORAÇÃO DO SOFTWARE WINGEOM NO ENSINO DA GEOMETRIA ESPACIAL PARA O CÁLCULO DE VOLUMES POR APROXIMAÇÃO: UMA PROPOSTA PEDAGÓGICA Adriana de Fátima Vilela Biscaro Universidade Federal da Grande Dourados - UFGD adrianabiscaro@ufgd.edu.br Ana Maria Villela Grecco Universidade Federal da Grande Dourados - UFGD anagrecco@ufgd.edu.br Bruno Rogério Locatelli dos Santos Universidade Federal da Grande Dourados UFGD brunolocatelli@ufgd.edu.br Resumo: O presente artigo tem como objetivo apresentar uma proposta pedagógica utilizando alguns recursos do software Wingeom para auxiliar no ensino da Geometria Espacial, no Ensino Médio. O uso de softwares educativos nas escolas públicas vem ganhando destaque quando se trata de melhorias na qualidade de ensino, principalmente quando a utilização é referente ao ensino da Geometria Espacial. Neste sentido, a utilização de softwares pode contribuir para a compreensão de conceitos e propriedades geométricas, de forma que o aluno é levado a visualizar, interpretar, conjecturar, induzir e generalizar resultados, assumindo o papel de sujeito ativo na construção do seu próprio conhecimento. A metodologia apresentada no artigo é voltada para o cálculo de volumes dos sólidos geométricos, em especial o volume da pirâmide através de aproximação da soma de volumes de cubos dispostos em pirâmide. Tal aproximação será superior ao volume da pirâmide de base quadrada, e verifica-se que ao diminuirmos as arestas dos cubos e aumentarmos a quantidade dos mesmos, obtemos uma melhor aproximação para o volume da pirâmide. O artigo apresenta também uma demonstração geométrica do volume da pirâmide. Esta proposta possibilita ao aluno uma melhor aprendizagem, permitindo que ele assimile os conceitos da geometria espacial. Palavras-chave: Software Wingeom. Geometria Espacial. Volumes. Introdução De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, Brasil (1998), o conhecimento matemático é visto como instrumento necessário em diversas situações da vida cotidiana, e

2 serve de apoio a outras áreas do conhecimento, ou ainda, como forma de desenvolver habilidades de pensamento. No ensino de Geometria espera-se que o aluno desenvolva habilidades de visualização e desenho espacial, use seus conhecimentos em geometria para resolver problemas geométricos em situações do seu cotidiano. Segundo Brousseau (2008, p.20) uma situação é um modelo de interação de um sujeito com um meio determinado. Tal desenvolvimento ajuda na compreensão e ampliação da percepção de espaço e construção de modelos para interpretar questões da Matemática e de outras áreas do conhecimento. Sendo assim, é de suma importância procurar novas formas de estabelecer o processo de ensino-aprendizagem, com a intenção de não somente melhorar a qualidade do ensino, mas também de adotar estratégias que levem o aluno a questionar e traçar novos caminhos, como forma de superar suas dificuldades cotidianas. Tratando-se dos recursos tecnológicos que nos circundam, devemos utilizá-los a nosso favor. Segundo Oliveira (1977, p.8): Tecnologia Educacional é o processo pelo qual os recursos para a aprendizagem são planejados, produzidos, utilizados e avaliados. [...] [Assim não é o uso da TV, por si só, que faz com que essas mudanças aconteçam. É a especificação dos objetivos, a análise cuidadosa do aluno e do conteúdo, a produção e a implementação dos materiais de instrução, tudo isso enfim que, integrado, indica a aplicação de tecnologia]. Dentro deste contexto, a utilização de tecnologias como os softwares matemáticos no ensino-aprendizagem pode ser vista como auxílio para que os alunos assimilem melhor os conceitos matemáticos. A utilização de softwares de Geometria Dinâmica pode contribuir para a compreensão e assimilação de conceitos e propriedades geométricas, em especial em Geometria Espacial, pois as construções geométricas tridimensionais são favorecidas pela visualização e mobilidade oferecida por tais recursos. A partir de situações problema onde é possível manipular as construções geométricas em um ambiente de Geometria Dinâmica, o aluno é levado a visualizar, interpretar, conjecturar, induzir e generalizar resultados, assumindo o papel de sujeito ativo na construção do seu próprio conhecimento. De acordo com Richit, (2005) a manipulação, a visualização e o contato com diversos elementos construídos a partir de um elemento geométrico básico (software), potencializa a abordagem desse conteúdo. Borba &Villarreal, (2005), acreditam que os passos construtivos de tal conceito podem ser tratados separadamente ou conjuntamente, permitindo assim um melhor entendimento da Geometria Espacial.

3 Segundo Piaget (1975, p.61): Os esquemas de agir e pensar se desenvolve num processo interativo que permite ampliar e aprofundar nossa leitura de mundo. Quando somos colocados frente aos desafios que perturbam nossas crenças e certezas, podem surgir novas formas de ação (física ou mental) em nossa atividade, o que vai permitir construir novos conhecimentos. A interação é condição necessária a toda construção de conhecimento, o que incluí, além da interação com os objetos, a interação com outros sujeitos. Diante destas considerações, propomos como uma atividade pedagógica a utilização do software Wingeom para o ensino da Geometria Espacial, em especial para o cálculo do volume da pirâmide através de aproximação da soma de volumes de cubos dispostos em pirâmide, será apresentado também à demonstração geométrica do volume da pirâmide utilizando o referido software. O estudo da Geometria no ensino médio De acordo com o Referencial Curricular da Rede Estadual de Ensino do Estado de Mato Grosso do Sul ( os conteúdos referentes à Geometria Espacial estão propostos para do terceiro ano do Ensino Médio, pois nesta etapa é esperado que os alunos tenham o domínio sobre conteúdos de Geometria Plana. Entre as competências e habilidades que se pretendem alcançar podem ser destacadas a utilização do conhecimento geométrico para ler e representar a realidade como também agir sobre ela; analisar características e propriedades das formas geométricas em segunda e terceira dimensão, além de desenvolver argumentos matemáticos sobre as relações geométricas. Como uma das maiores dificuldades dos alunos no ensino da Geometria Espacial é a visualização espacial dos sólidos, a utilização de softwares de Geometria Dinâmica pode ser vista como auxílio para superar essas dificuldades, pois dá ao aluno a oportunidade de construir e reconstruir de forma interativa. Conhecendo o software Wingeom

4 Desenvolvido pelo Professor Richard Parris, da Philipis Exceter Academy, o Wingeom é distribuído em 10 idiomas, incluindo o Português do Brasil. O Wingeom é um software gratuito de geometria dinâmica que permite criar formas geométricas em duas ou três dimensões e manipular as construções facilitando a verificação de propriedades geométricas. Esse software visa favorecer os processos educacionais em Matemática, pois é de fácil manuseio e possui aplicações que procuram motivar o ensinoaprendizagem. O programa oferece a opção de trabalhar em duas ou três dimensões. As versões disponíveis para Windows são 95/98/ME/2K/XP/Vista/7, e a versão utilizada neste trabalho é a de 1 setembro de Para obter uma versão grátis acesse o endereço e faça download do mesmo. O programa é de fácil utilização, pois cada menu do Wingeom tem seu próprio arquivo de ajuda. Todas as construções podem ser modificadas e animadas, facilitando assim a compreensão e visualização do professor ou do aluno. Volume de um bloco retangular Um bloco retangular é um sólido limitado por seis retângulos, que são suas faces. Esses retângulos são constituídos de três pares, onde em cada par são retângulos idênticos. Os lados dos retângulos são chamados de arestas do bloco. Figura 1: As arestas, a, b e c determinam o bloco retangular Para medir a grandeza chamada volume, devemos compará-la com uma unidade, e tradicionalmente, a unidade de volume é o cubo, cuja aresta mede uma unidade de comprimento, denominada cubo unitário (Lima, 2010). Como exemplo: dado um cubo de

5 aresta 1 cm, seu volume será de 1cm 3. Sendo assim, o volume do cubo de aresta a é dado por 3 V a. a. a, ou seja, V a. Volume da Pirâmide Podemos considerar uma pirâmide como um poliedro que possui por base um polígono qualquer, por faces laterais triângulos que tem um vértice comum. Este ponto é o vértice da pirâmide. De forma geral, se P é uma pirâmide com área de base B e altura h, então o volume da pirâmide é dado por: 1 V ( P) Bh 3 Para melhor compreensão desta fórmula, faremos a demonstração geométrica a partir de um cubo, pois podemos decompô-lo em três pirâmides de bases quadradas de mesmo volume. Demonstração geométrica do volume da pirâmide a partir do programa Wingeom Vamos demonstrar geometricamente que o volume de uma pirâmide é igual a um terço do volume de um cubo. Para esta demonstração precisaremos da aplicação dos teoremas. Teorema 1: Duas pirâmides de mesma área da base e mesma altura tem o mesmo volume. Teorema 2: Seja C um cubo de aresta a. Então o volume de C é igual a soma do volume de três pirâmides, inscritas em C, com mesmo vértice e bases quadradas. Em outras palavras podemos representar uma descrição do resultado do teorema 2. Seja C um cubo de volume 3 V a, dividindo-o em três pirâmides P 1, P 2, P 3, de mesmo vértice E, tal que suas bases quadradas sejam faces do cubo, obtemos três pirâmides de mesma área da base e mesma altura. Logo pelo Teorema 1, terão o mesmo volume. Por construção, temos que a soma dos respectivos volumes, de P 1, P 2, P 3, é igual ao volume do cubo.

6 Vejamos agora a demonstração do teorema 2 geometricamente, com o auxílio do software Wingeom. Para esta demonstração, devemos seguir os seguintes procedimentos: Passo 1: Construir o cubo e organizar seus vértices em ordem alfabética e no sentido anti-horário, clicando em cada um dos vértices com o botão direito do mouse. Na barra de ferramentas acesse a Janela 3dim Unidades Poliedros Paralelepípedo (modificando na janela que se abre o comprimento, a largura e a altura, colocando em ambos o valor 1) Execute o caminho: Ver Aparência Pintada Pontilhada para que todos os vértices do cubo fiquem visíveis. Para melhor visualização na coloração das faces das pirâmides é recomendável deixar todas as faces transparentes antes de executar o passo 2. Figura 2: Cubo com vértices ordenados Passo 2: Vamos agora construir e colorir as pirâmides inscritas no cubo Construindo a pirâmide de base ABCD e vértice F: Para isto, execute o caminho Linear Segmento ou face (para criar os segmentos BF, CF e DF, uma vez que o segmento AF já existe) Colorindo as faces da pirâmide ABCDF Execute o caminho Editar Elementos Lineares (para colorir as faces ABCD, ABF, ADF, CDF e BCF).

7 Figura 3: Construção da Pirâmide1 inscrita no Cubo 2.3. Construindo a pirâmide de base CDEH e vértice F: Repita (para criar os segmentos CF, DF, HF (uma vez que EF já está construído)) Colorindo as faces da pirâmide CDEHF. Repita (para colorir as faces CDEH, CDF, CHF, DEF, EHF). Figura 4: Construção da Pirâmide 2 no Cubo 2.5. Construindo a pirâmide de base BCHG e vértice F: Repita (para criar os segmentos BF, CF, HF (uma vez que GF já está construído)) Colorindo as faces da pirâmide BCHGF. Repita (para colorir as faces BCHG, BCF, BGF, CHF, GHF).

8 Figura 5: Construção da Pirâmide 3 no Cubo Após executar todos os procedimentos descritos, temos a visão final das pirâmides inscritas no Cubo. Logo, ao movimentarmos o cubo no programa Wingeom, conseguimos visualizar as três pirâmides. Figura 6 e 7: Cubo com as pirâmides inscritas Podemos também calcular e comparar o volume das três pirâmides e do cubo. Portanto as três pirâmides construídas possuem mesma área e mesmo volume, segundo o teorema 1. Logo cada uma das pirâmides tem volume igual a um terço do volume do cubo, como queríamos demonstrar. Volume da pirâmide por aproximação de cubos

9 Intuitivamente dizemos que o volume de um sólido é a capacidade de espaço por ele ocupada. Diante desta ideia, estamos interessados em mostrar o volume da pirâmide com a utilização do software Wingeom através de aproximação da soma de volume de cubos dispostos em pirâmide. Inicialmente, tomaremos como unidade de volume um cubo cuja aresta mede uma unidade de comprimento. Sendo assim, o volume da pirâmide deverá ser um número que exprima quantas vezes a pirâmide contém o cubo. A figura 8 mostra uma pirâmide de base quadrada com vértices ABCE e vértice E, onde o volume da pirâmide é uma aproximação superior ao volume da pirâmide de base quadrada. Figura 8: Representação 1 do volume da pirâmide Em seguida, tomaremos uma pirâmide de cubos cuja soma dos comprimentos das arestas da base tenham o mesmo comprimento da aresta da base pirâmide da Figura 8. Observamos que ao diminuirmos as arestas dos cubos e aumentarmos sua quantidade, o volume da pirâmide de cubos se aproxima cada vez mais do volume da pirâmide, conforme Figura 9.

10 A Figura 9: Representação 2 do volume da pirâmide Analogamente a Figura 10 mostra uma melhor aproximação do volume da pirâmide. Figura 10: Representação 3 do volume da pirâmide Continuando infinitamente o mesmo processo de construção, e considerando o erro entre os volumes como E V c VP, onde V c é o volume da pirâmide de cubos, ou seja, (número de cubos que a forma) e conforme E se aproxima de zero, V P é o volume da pirâmide de base quadrada. Temos que, V c se aproxima de V P. Considerações finais

11 A proposta mostrada neste trabalho reflete uma possibilidade de ensinar a Geometria Espacial, em especial o volume da pirâmide, de forma diferenciada, buscando transmitir os conceitos geométricos de forma concreta, que muitas vezes somente com o lápis e papel tornam-se difícies de demonstrar e visualizar, principalmente quando estamos no espaço tridimensional. O software Wingeom oferece novas perspectivas ao ensino da linguagem matemática, pois apresenta um papel muito importante na visualização das representações geométricas, permitindo que os alunos possam interpretar, conjecturar, fazer simulações e investigações a respeito do assunto que esteja estudando, podendo relacionar os conceitos envolvidos nas representações, elaborar suas hipoteses e principalmente desenvolver o pensamento geometrico. Referência Bilbiográfica BIDEL, A. C. L., SILVA, D. M. I., DALMOLIN, D., BONALDO, L. M. M. Geometria Plana e Espacial com o Wingeom Disponível em Acesso em: 09 abr BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Brasília. MEC/SEF, BROUSSEAU, G. Introdução ao estudo das situações didáticas: conteúdos e métodos de ensino. Ática, DANTE, L. R. Matemática. Ática, GERÔNIMO, J. R., FRANCO, V. S. Geometria Plana e Espacial. Editora UEM, LIMA, E. L.; et AL. A Matemática do Ensino Médio. Volume 3. SBM. Rio de Janeiro, OLIVEIRA, J. B. A. Perspectivas da Tecnologia Educacional. Pioneira, PAIVA, M. Matemática. Moderna, PIAGET, C.CM. Ao alcance dos Professores. Tradução Prof. Ingeborg Strake. Rio de Janeiro. Livro Técnico, Referencial Curricular da Rede Estadual de Ensino de Mato Grosso do Sul Ensino Fundamental. Acesso em: 09 abr 2014.

12 RICHIT, A, TOMKELSKI, M.L.,RICHIT, A. Software Wingeom e Geometria Espacial: Explorando Conceitos e Propriedades. Disponível em: Acesso em 17 fev Secretaria de Educação Básica. Explorando o ensino da Matemática. Artigos. volumes 1 a 3.Brasília: MEC, 2004.