Vetores. Capítulo DEFINIÇÕES 1.2 ADIÇÃO DE DOIS VETORES

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1 Capítulo 1 Vetores 1.1 DEFINIÇÕES uantidades escalares possuem somente intensidade; o tempo, o volume, a energia, a massa, a densidade e o trabalho são alguns exemplos. Escalares somam-se por meio dos métodos algébricos usuais, por exemplo, 2 s + 7 s = 9 s e 14 kg 5 kg = 9 kg. uantidades vetoriais possuem intensidade e direção : os exemplos são a força, o deslocamento e a velocidade. Um vetor é representado por uma seta em um dado ângulo. A orientação da seta indica o sentido, e o comprimento representa a intensidade do vetor. O símbolo que indica um vetor é mostrado com os tipos em negrito, por exemplo. A intensidade é representada por ou. Frequentemente, em manuscritos, usaremos. Um vetor livre pode ser transladado para qualquer posição no espaço desde que ele mantenha a mesma direção e intensidade. Um vetor deslizante pode ser posicionado em qualquer ponto ao longo da sua linha de ação. elo princípio da transmissibilidade, os efeitos externos de um vetor deslizante permanecem os mesmos. Um vetor fixo deve permanecer sempre no mesmo ponto de aplicação. Um vetor unitário é um vetor cujo módulo é a unidade. Ele é representado por i, n, ou na forma manuscrita por,. O negativo de um vetor é um vetor que tem a mesma intensidade e a mesma direção, porém o seu sentido é oposto. A resultante de um sistema de vetores é a menor quantidade possível de vetores que pode substituir um sistema dado. 1.2 ADIÇÃO DE DOIS VETORES (a) A regra do paralelogramo determina que a resultante R de dois vetores e é a diagonal do paralelogramo, do qual e são os lados adjacentes. Os três vetores, e R são concorrentes como mostra a Fig. 1-1(a). e são também denominados de componentes de R. (b) Se os lados do paralelogramo da Fig. 1-1(a) forem perpendiculares, os vetores e serão chamados de componentes retangulares do vetor R. As componentes retangulares estão ilustradas na Fig. 1-1(b). As intensidades das componentes retangulares são dadas por = R cos = R cos (90 ) = R sen (1) (c) Regra do triângulo. osicionando a origem de um vetor na extremidade da seta do outro vetor, o vetor resultante será obtido unindo a origem do primeiro vetor à extremidade da seta do segundo vetor. A regra do triângulo Entende-se que a direção inclui o ângulo que a linha de ação do vetor forma com a referência dada e o sentido do vetor ao longo dessa linha de ação.

2 2 ENGENHARIA MECÂNICA: DINÂMICA O R (a) ( b) R Figura 1-1 Adição de vetores. resulta da regra do paralelogramo, uma vez que os lados opostos do paralelogramo são vetores livres, conforme mostra a Fig R R Figura 1-2 A regra do triângulo. (d) A adição de vetores é comutativa, isto é, + = SUBTRAÇÃO DE VETOR A subtração de um vetor é efetuada adicionando o negativo desse vetor. = + ( ) (2) Note também que ( + ) = 1.4 VETOR ZERO O vetor zero é obtido quando um vetor é subtraído de si mesmo; isto é, = 0. Ele também é chamado de vetor nulo. 1.5 COMOSIÇÃO DE VETORES Composição de vetores é o processo pelo qual se determina a resultante de um sistema de vetores. Um polígono de vetores é desenhado posicionando a origem de cada vetor na extremidade da seta do vetor precedente, conforme mostrado na Fig A resultante é obtida conectando a origem do primeiro vetor à seta do último vetor. Como será mostrado mais tarde, nem todos os sistemas de vetores reduzem-se a um único vetor.uma vez que a ordem na qual os vetores são dispostos é insignificante, para três vetores, e S dados, verifica-se que A Equação (3) pode ser estendida para qualquer número de vetores. R = + + S = ( + ) + S = + ( + S) = ( + S) + (3)

3 CAÍTULO 1 VETORES 3 R S Figura 1-3 Composição de um vetor. 1.6 MULTILICAÇÃO DE VETORES OR ESCALARES (a) O produto de um vetor por um escalar m é o vetor m cuja intensidade é m vezes a intensidade do vetor e será orientado de acordo ou em oposição a, dependendo se m é positivo ou negativo. (b) Outras operações com escalares m e n são (m + n) = m + n m( + ) = m + m (4) m(n) = n(m) = (mn) 1.7 TERNA ORTOGONAL DE VETORES UNITÁRIOS Uma terna ortogonal de vetores unitários i, j e k é formada por vetores unitários nas direções dos eixos x, e z, respectivamente. Um conjunto de eixos dextrorso é mostrado na Fig O vetor é escrito como = x i + j + z k (5) j i x j O z x x i k z k z z Figura 1-4 Vetores unitários i, j, k. Figura 1-5 Componentes do vetor.

4 4 ENGENHARIA MECÂNICA: DINÂMICA onde x i, j e z k são as componentes de nas direções dos eixos x, e z, respectivamente, como mostrado na Fig Observe que x = cos x, = cos, e z = cos z. 1.8 VETOR OSIÇÃO O vetor posição r de um ponto (x,, z) no espaço escreve-se r = xi + j + zk (6) onde (ver Fig. 1-6). (x,, z) r xi j zk z Figura 1-6 O vetor posição r. Figura 1-7 O ângulo entre os vetores. 1.9 RODUTO ESCALAR O produto escalar de dois vetores e, escrito, é uma quantidade escalar e é definida como o produto das intensidades dos dois vetores e do cosseno do ângulo entre eles (ver Fig. 1-7). Assim, = cos (7) As regras a seguir aplicam-se aos seguintes produtos escalares, onde m é um escalar: = ( + S) = + S ( + ) (S + T) = (S + T) + (S + T) = S + T + S + T (8) m( ) = (m) = (m) Desde que i, j e k sejam ortogonais, i j = i k = j k = (1)(1)cos90 = 0 i i = j j = k k = (1)(1)cos0 = 1 (9) Também, se = x i + j + z k e = x i + j + z k, então = x x + + z z = 2 = x z 2 (10) As intensidades das componentes do vetor na direção dos eixos retangulares podem ser escritas x = i = j z = k (11)

5 CAÍTULO 1 VETORES 5 e, exemplificando, i = ( x i + j + z k) i = x = x Analogamente, a intensidade de uma componente de em qualquer direção L pode ser dada por e L, onde e L é o vetor unitário ao longo da linha L. (Alguns autores utilizam u para designar vetor unitário.) A Fig. 1-8 mostra um plano que passa pela origem A e outro plano que passa pela seta B de um vetor, ambos os planos perpendiculares à direção L. Os planos interceptam a linha L nos pontos C e D. O vetor CD é a componente de na direção L, e a sua intensidade é igual a e L = e L cos. Aplicações desses princípios podem ser encontradas nos roblemas 1.15 e L A B D e L C Figura 1-8 A componente de na direção de uma linha RODUTO VETORIAL O produto vetorial de dois vetores e, denotado por, é um vetor R cuja intensidade é dada pelo produto das intensidades dos dois vetores e o seno do ângulo entre eles. O vetor R = é normal ao plano que contém e com direção e sentido dados pela regra da mão direita quando aplicada girando de para segundo o menor ângulo entre eles. Assim, se e é o vetor unitário que dá a direção de R =, o produto vetorial pode ser escrito A Fig. 1-9 indica que = (não comutativa). R = = (sen) e (12) R = (a) ( b) = Figura 1-9 O produto vetorial entre dois vetores.

6 6 ENGENHARIA MECÂNICA: DINÂMICA As seguintes regras aplicam-se aos produtos vetoriais, com m escalar: ( + S) = + S ( + ) (S + T) = (S + T) + (S + T) = S + T + S + T m( ) = (m) = (m) (13) Uma vez que i, j e k são ortogonais, e, se = x i + j + z k e = x i + j + z k, então i i = j j = k k = 0 (14) i j = k j k = i k i = j = ( z z )i + ( z x x z ) j + ( x x )k = (15) ara ver a demonstração desse produto vetorial, vá ao roblema CÁLCULO VETORIAL (a) A derivada de um vetor que varia com relação a uma quantidade escalar o longo do tempo t é feita da seguinte forma. Seja = (t); isto é, é uma função do tempo t. Um acréscimo em Δ na medida que o tempo varia de t para t + Δt é Δ = (t + Δt) (t) Então (16) Se (t) = x i + j + z k, onde x, e z são funções do tempo t, teremos As seguintes operações serão válidas: (17) (18) onde φ é uma função escalar de t.

7 CAÍTULO 1 VETORES 7 (b) A integração de um vetor que varia com relação a uma quantidade escalar, assim como o tempo t, será efetuada conforme segue. Seja = (t); isto é, é uma função do tempo t. Então, (19) 1.12 DIMENSÕES E UNIDADES No estudo da mecânica, as características de um corpo e seus movimentos podem ser descritas em termos de um conjunto básico de quantidades designadas por grandezas. Nos Estados Unidos, os engenheiros geralmente empregam um sistema gravitacional baseado nas grandezas força, comprimento e tempo. Em muitos países, usa-se o sistema absoluto no qual as grandezas consideradas são a massa, o comprimento e o tempo. Há uma tendência crescente de utilizar esse segundo sistema nos Estados Unidos. Ambos os sistemas derivam da segunda lei de movimento de Newton, a qual escreve-se como R = ma, (20) onde R é a resultante de todas as forças que atuam sobre uma partícula, a é a aceleração da partícula e m é uma constante de proporcionalidade chamada massa. O Sistema Internacional (SI) No Sistema Internacional (SI), a unidade de massa é o quilograma (kg), a unidade de comprimento é o metro (m) e a unidade de tempo é o segundo (s). A unidade de força é o Newton (N), que é definida como sendo a força que acelera uma massa de um quilograma a um metro por segundo ao quadrado (m/s 2 ). ortanto, 1 N = (1 kg)(1 m/s 2 ) = 1 kg m/s 2 (21) Uma massa de 1 kg que cai livremente próxima à superfície terrestre experimenta uma aceleração gravitacional g que varia de ponto para ponto. Nesse livro assumiremos um valor médio igual a 9,80 m/s 2. ortanto, a força da gravidade que atua em um 1 kg de massa é W = mg = (1 kg)(9,80 m/s 2 ) = 9,80 kg m/s 2 = 9,80 N (22) Naturalmente, os problemas da estática envolvem forças; mas, nos problemas, a massa dada em quilogramas não é uma força. A força gravitacional agindo na massa, é o que devemos utilizar. Em todos os trabalhos que envolvam massa, o estudante deve lembrar-se de multiplicar a massa em quilogramas por 9,80 m/s 2 para obter a força gravitacional em newtons. Uma massa de 5 kg é submetida a uma força gravitacional de 5 9,8 = 49 N. Ao resolver os problemas de estática, a massa pode não ser mencionada. É importante perceber que a massa em quilogramas é uma constante para um determinado corpo. Na superfície da lua, essa mesma massa dada terá agindo sobre ela uma força de gravidade aproximadamente um sexto daquela na Terra. O estudante também deve observar que, no SI, o milímetro (mm) é a unidade de dimensão padrão linear para desenhos de engenharia. Centímetros são tolerados no SI e podem ser usados para evitar a exigência de muitos zeros quando se utiliza milímetros. Além disso, um espaço em branco deve ser deixado entre o número e o símbolo da unidade, por exemplo, 2,85 mm, e não 2,85mm. Ao usar cinco ou mais algarismos, represente-os em grupos de 3, começando a partir do ponto que separa os decimais assim como Não use vírgulas no SI. Um número com quatro algarismos pode ser escrito sem o espaçamento mencionado desde que ele não faça parte de uma coluna que contenha números com cinco ou mais algarismos. Tabelas de unidades do SI, prefixos do SI, e fatores de conversão para o sistema métrico moderno (SI) estão incluídos no Apêndice A. Nesta sexta edição, todos os problemas estão formulados em unidades do SI. SI é um acrônimo para Sstème International d`unités (sistema métrico internacional modernizado).

8 8 ENGENHARIA MECÂNICA: DINÂMICA roblemas Resolvidos 1.1 Encontre, no plano, a resultante de uma força de 300 N a 30 e uma força de 250 N a 90, utilizando o método do paralelogramo. Veja a Fig. 1-10(a). Encontre, também, o ângulo α entre a resultante e o eixo. (Os ângulos são sempre medidos no sentido anti-horário com início no eixo x positivo.) Desenhe um esquema do problema, não necessariamente em escala. O sinal negativo indica que a força de 250 N age ao longo de uma linha que forma 90 a contar da origem. Isso é equivalente a uma força de 250 N positiva na direção de uma linha que forma 270 com a mesma origem, de acordo com o princípio da transmissibilidade. Como na Fig. 1-10(b), posicione a extremidade inicial dos dois vetores em um mesmo ponto. Complete o paralelogramo. Considere o triângulo cujo lado está no eixo, na Fig. 1-10(b). Os lados desse triângulo são R, 250 e 300. O ângulo entre os lados de 250 e 300 é 60. Aplicando a lei dos cossenos, R 2 = (300)(250)cos60 R = 278, N 300 N α (a) ( b) R = 278,3 300 Figura 1-10 Agora, aplicando a lei dos senos, temos α = 69 Nota: Se as forças e os ângulos forem desenhados em escala, a intensidade de R e o ângulo α poderão ser medidos no desenho. 1.2 Use a lei do triângulo e resolva o roblema 1.1 (ver Fig. 1-11). É indiferente qual vetor será escolhido primeiro. Use a força de 300 N. À seta desse vetor, posicione a extremidade do vetor força de 250 N. Desenhe a resultante ligando a extremidade do vetor força de 300 N e terminando na seta do vetor força de 250 N. Usando o triângulo mostrado, os resultados serão os mesmos daqueles do roblema α R x R = 400 α F N 20 x Figura 1-11 Figura A resultante de duas forças em um plano é 400 N a 120, como mostrado na Fig Uma das forças é 200 N a 20. Determine a força F e o ângulo α.

9 CAÍTULO 1 VETORES 9 Selecione um ponto pelo qual passem a resultante e a força de 200 N dada. Desenhe a força que liga as setas da força dada e a resultante. Essa força representa a incógnita F. O resultado é obtido aplicando as leis da trigonometria. O ângulo entre R e a força de 200 N é 100, e, pela lei dos cossenos, a força desconhecida F é F 2 = (400)(200)cos100 F = 477 N Então, pela lei dos senos, o ângulo α é encontrado: α = 24,4 1.4 No plano, subtraia a força de 130 N a 60 da força de 280 N a 320 (ver Fig. 1-13) α 280 x R Figura 1-13 Adicione a negativa da força de 130 N a 60 à força de 280 N a 320. A resultante é obtida como segue: R 2 = (280)(130) cos 100 R = 329 N A lei dos senos nos permite encontrar α: ortanto, R forma com o eixo x um ângulo de 62, Determine a resultante do seguinte sistema coplanar de forças: 26 N a 10 ; 39 N a 114 ; 63 N a 183 ; 57 N a 261 (ver Fig. 1-14). Esse problema pode ser resolvido usando a ideia de componentes retangulares. Decomponha cada força nas suas componentes x e. Como todas as componentes x são colineares, elas podem ser adicionadas algebricamente, assim como as componentes. Agora, se as componentes x e forem somadas, as duas somas formarão as componentes x e da resultante. ortanto, R x = 26 cos cos cos cos 261 = 62,1 R = 26 sen sen sen sen 261 = 19,5 tg

10 10 ENGENHARIA MECÂNICA: DINÂMICA 39 N 63 N R N x 57 N Figura Na Fig. 1-15, a componente retangular da força F é 10 N na direção de OH. A força F atua a 60 do eixo x positivo. ual é a intensidade da força? A componente de F na direção de OH é Fcos. Assim, Fcos15 = 10 F = 10,35N F H O x N 20 x Figura 1-15 Figura Um bloco de 80 kg é posicionado em um plano inclinado de 20 com a horizontal. ual é a componente gravitacional (a) normal ao plano inclinado e (b) paralela ao plano inclinado? Ver Fig (a) A componente normal forma um ângulo de 20 com o vetor força gravitacional (o peso), o qual tem intensidade de 80(9,8) = 784 N. A componente normal é (b) A componente paralela é F = 784 cos 20 = 737 N F = 784 cos 70 = 268 N 1.8 A força de 235 N atua em um ângulo de 60 com a horizontal em um bloco que repousa em um plano inclinado de 22. Determine (a) as componentes horizontal e vertical de e (b) as componentes de perpendicular e contida no plano. Observe a Fig. 1-17(a).

11 CAÍTULO 1 VETORES 11 (a) A componente horizontal h atua para a esquerda e vale A componente vertical v atua para cima e vale como mostrada na Fig. 1-17(b). (b) A componente paralela ao plano é h = 235 cos 60 = 118 N v = 235 sen 60 = 204 N = 235 cos (60 22 ) = 185 N agindo para cima no plano. A componente normal ao plano é como mostrada na Fig. 1-17(c). 235 N = 235 sen 38 = 145 N 60 υ 22 h (a) ( b) (c) Figura As três forças mostradas na Fig produzem uma força resultante de 20 N atuando para cima na direção do eixo. Determine as intensidades de F e. ara que a resultante seja uma força de 20 N para cima na direção do eixo, R x = 0 e R = 20 N. Como a soma das componentes em x deve ser igual à componente x da resultante R x = cos cos 40 = 0 = 79,6 N Analogamente, R = sen sen 40 F = 20 F = 77,7 90 N F Figura 1-18

12 12 ENGENHARIA MECÂNICA: DINÂMICA 1.10 Observe a Fig As extremidades x, e z de um paralelepípedo retangular são 4, 3 e 2 m, respectivamente. Se a diagonal O desenhada na origem representa uma força de 50 N, determine as componentes x, e z da força. Expresse a força como um vetor em termos dos vetores unitários i, j e k. 3 m O 4 m 2 m x z Figura 1-19 Admitamos que x,, z representem, respectivamente, os ângulos entre a diagonal O e os eixos x, e z. Então, x = cos x = cos z = cos z O comprimento de. Assim, Desde que cada componente na figura está no sentido positivo do eixo em relação ao qual atua, O vetor é escrito como x = 50 cos x = 37,2 N = 50 cos = 27, 9 N z = 50 cos z = 18,6 N = x i + j + z k = 37,2i + 27,9j + 18,6k N 1.11 Determine as componentes x, e z da força de 100 N que passa pela origem e pelo ponto (2, 4, 1). Expresse o vetor em termos dos vetores unitários i, j e k. Os cossenos diretores da linha de ação da força são Assim, x = 43,7 N, = 87,3 N, z = 21,8 N O vetor é = 43,7i 87,3j + 21,8k N 1.12 Mostre que o produto vetorial entre dois vetores e pode ser escrito por

13 CAÍTULO 1 VETORES 13 Escrevem-se os vetores dados na forma de suas componentes e expande-se o produto vetorial para obter = ( x i + j + z k) ( x i + j + z k) = ( x x ) i i + ( x ) i j + ( x z ) i k + ( x ) j i + ( ) j j + ( z ) j k + ( z x ) k i + ( z ) k j + ( z z ) k k Mas i i = j j = k k = 0; i j = k e j i = k, etc. ortanto, = ( x ) k ( x z ) j ( x ) k + ( z ) i + ( z x ) j ( z ) i Esses termos podem ser agrupados como = ( z z ) i + ( z x x z ) j + ( x x ) k ou na forma de determinante como Tenha o cuidado de observar que as componentes escalares do primeiro vetor no produto vetorial devem ser escritas na linha do meio do determinante A força F = 2,63i + 4,28j 5,92k N atua passando pela origem. ual é a intensidade dessa força e quais ângulos ela faz com os eixos x, e z? 1.14 Encontre o produto escalar de = 4,82i 2,33j + 5,47k (N) e = 2,81i 6,09j + 1,12k m. = x x + + z z = (4,82)( 2,81) + ( 2,33)( 6,09) + (5,47)(1,12) = 6,72 N m 1.15 Determine o vetor unitário e L para a reta L com origem no ponto (2, 3, 0) e que passa pelo ponto ( 2, 4, 6). Em seguida, determine a projeção do vetor = 2i + 3j k na direção da reta L. O segmento de reta L varia de +2 a 2 na direção x, ou uma variação de 4. A variação na direção é 4 3 = 1. A variação na direção z é 6 0 = 6. O vetor unitário é

14 14 ENGENHARIA MECÂNICA: DINÂMICA A projeção de é, então, e L = 2( 0,549) + 3(0,137) 1(0,823) = 1, Determine a projeção da força = 10i 8j + 14k N na direção da reta L com origem no ponto (2, 5, 3) e que passa pelo ponto (5, 2, 4). O vetor unitário na direção da reta L é A projeção de em L é e L = (10i 8j + 14k) (0,29i + 0,677j 0,677k) = 2,90 5,42 9,48 = 12,0 N O sinal menos indica que a projeção está no sentido oposto ao da orientação de L Encontre o produto vetorial de = 2,85i + 4,67j 8,09k m e = 28,3i + 44,6j + 53,3k N Determine a derivada no tempo do vetor posição r = xi j 3zk, onde i, j, k são vetores fixos. A derivada no tempo é 1.19 Determine a integral no tempo, desde o tempo t 1 = 1 ao tempo t 2 = 3, do vetor velocidade v = t 2 i + 2tj k m/s, onde i, j e k são vetores fixos.

15 CAÍTULO 1 VETORES 15 roblemas Complementares 1.20 Determine a resultante das forças de 100 N a 0 e 200 N a 90. Resp. 224 N, x = Determine a resultante das forças de 32 N a 20 e 64 N a 190. Resp. 33,0 N, x = Encontre a resultante das forças de 80 N a 30 e 60 N a 60. Resp. 100 N, x = 6, Encontre a resultante das forças concorrentes e coplanares de 120 N a 78 e 70 N a 293. Resp. 74,7 N, x = 45, A resultante de duas forças coplanares é de 18 N a 30. Se uma das forças é 28 N a 0, determine a outra. Resp. 15,3 N, A resultante de duas forças coplanares é de 36 N a 45. Se uma das forças é 24 N a 0, encontre a outra força. Resp. 25,5 N, A resultante de duas forças coplanares é 50 N a 143. Uma das forças é 120 N a 238. Determine a força desconhecida. Resp. 134 N, x = 79, A resultante de duas forças, uma no sentido positivo de x e a outra no sentido positivo de, é de 100 N a 50 no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. uais são as duas forças? Resp. R x = 64,3 N, R = 76,6 N 1.28 Uma força de 120 N tem uma componente retangular de 84 N atuando na direção de uma linha que faz com o semieixo positivo de x um ângulo de 20 no sentido anti-horário. ual é o ângulo que a força de 120 N faz com o semieixo positivo de x? Resp. 65, Determine a resultante das forças coplanares: 6 N a 38 ; 12 N a 73 ; 18 N a 67 ; 24 N a 131. Resp. 50,0 N, x = Determine a resultante das forças coplanares: de 20 N a 0 ; 20 N a 30 ; 20 N a 60 ; 20 N a 90 ; 20 N a 120 ; 20 N a 150. Resp. 77,2 N, x = Determine a única força que pode substituir as forças coplanares: 120 N a 30 ; 200 N a 110 ; 340 N a 180 ; 170 N a 240 ; 80 N a 300. Resp. 351 N, Encontre a única força que substitui o seguinte sistema coplanar de forças: 150 N a 78 ; 320 N a 143 ; 485 N a 249 ; 98 N a 305 ; 251 N a 84. Resp. 321 N, Um trenó está sendo puxado por uma força de 100 N em um plano inclinado que forma com a horizontal um ângulo de 30. ual é a componente da força que efetivamente puxa o trenó? ual é a componente que tende a levantar o trenó na vertical? Resp. h = 86,6 N, v = 50 N

16 16 ENGENHARIA MECÂNICA: DINÂMICA 1.34 Determine a resultante das seguintes forças coplanares: de 15 N a 30 ; 55 N a 80 ; 90 N a 210 ; 130 N a 260. Resp. 136 N, x = Um automóvel está viajando com uma velocidade constante por um túnel em rampa de 1 por cento. Se o automóvel mais os passageiros pesam 12,4 kn, qual deverá ser a força motriz que o motor deve fornecer para ser capaz de superar a componente da força gravitacional que age na direção da parte mais baixa do túnel? Resp. 124 N 1.36 Um poste telefônico é suportado por um cabo fixo no seu topo e puxado por um homem que lhe aplica uma força de 800 N. Se o ângulo entre o poste e o cabo é de 50, quais serão as componentes horizontal e vertical da força aplicada no poste? Resp. h = 613 N, v = 514 N 1.37 Um barco está sendo rebocado através de um canal por um cabo horizontal que faz um ângulo de 10 com a costa. Se o esforço no cabo é de 200 N, encontre a força que tende a mover o barco na direção do canal. Resp. 197 N 1.38 Exprima em termos dos vetores unitários i, j e k a força de 200 N que se origina no ponto (2, 5, 3) e passa pelo ponto ( 3, 2, 1). Resp. F = 141i 84,9j + 113k N 1.39 Determine a resultante das três forças F 1 = 2,01i + 3,3j 2,6k N, F 2 = i + 5,2j 2,9k N e F 3 = 8,3i 6,6j + 5,8k N, que são concorrentes no ponto (2, 2, 5). Resp. R = 9,3i + 1,9j + 0,3k N em (2, 2, 5) 1.40 A polia mostrada na Fig está livre para deslizar pelo cabo de apoio. Se a polia suporta um peso de 160 N, qual será o esforço no cabo? Resp. T = 234 N A 30 C 90 B 160 N 500 N Figura 1-20 Figura Dois cabos suportam um peso de 500 N, como mostra a Fig Determine o esforço em cada cabo. Resp. T AB = 433 N, T BC = 250 N 1.42 ue força horizontal é necessária para manter o peso de 10 N na posição mostrada na Fig. 1-22? Resp. = 3,25 N N Figura 1-22

17 CAÍTULO 1 VETORES Uma partícula carregada está em repouso sob a ação de três outras partículas carregadas. As forças exercidas por duas das partículas estão mostradas na Fig Determine a intensidade e a direção da terceira partícula. Resp. F = 0,147 N, x = 76,8 F 0,10 N 30 x 15 0,20 N Figura Determine a resultante das forças coplanares de 200 N a 0 ; 400 N a 90. Resp. 448 N, x = 64 (Uma vez que as forças no roblema 1.20 foram multiplicadas pelo escalar 2, a intensidade da resultante neste problema deverá ser igual ao dobro daquela do roblema O ângulo deverá ser o mesmo.) 1.45 ual o vetor que deverá ser adicionado ao vetor F = 30 N, 60 para obter o vetor nulo? Resp. 30 N, x = No instante de tempo t = 2 s, um ponto que se move em uma curva tem as coordenadas (3, 5, 2). No instante de tempo t = 3 s, as coordenadas do ponto são (1, 2, 0). ual é a mudança no vetor posição? Resp. Δr= 2i + 3j 2k Determine o produto escalar de = 4i + 2j k e = 3i + 6j 2k. Resp Encontre o produto escalar de = 2,12i + 8,15j 4,28 k N e = 6,29i 8,93j 10,5k m. Resp. 14,5 N m 1.49 Determine o produto vetorial dos vetores do roblema Resp. = 2i + 11j + 30k 1.50 Determine o produto vetorial de = 2,12i + 8,15j 4,28 k e = 2,29i 8,93j 10,5k. Resp. 124i + 12,5j 37,6k 1.51 Determine a derivada em relação ao tempo de = xi + 2i z 2 k. Resp Se = 2ti + 3t 2 j tk e = ti + t 2 j + t 3 k, mostre que ( ) = 4t + 8t 3

18 18 ENGENHARIA MECÂNICA: DINÂMICA Verifique o resultado utilizando 1.53 No roblema 1.52, mostre que ( ) = (15t 4 + 3t 2 )i (8t 3 + 2t)j 3t 2 k Verifique o resultado utilizando 1.54 Determinar os produtos escalares entre os seguintes vetores. (a) 3i 2j + 8k i 2j 3k (b) 0,86i + 0,29j 0,37k 1,29i 8,26j + 4,0k (c) ai + bj ck di ej + fk Resp. 23 2,77 ad be cf 1.55 Determine os produtos vetoriais entre os seguintes vetores. (a) 3i 2j + 8k i 2j 3k (b) 0,86i + 0,29j 0,37k 1,29i 8,26j + 4,0k (c) ai + bj ck di ej + fk Resp. 22i + j 8k 1,90i 3,92j 7,48k (bf ec)i (af + cd)j (ae + bd)k 1.56 Determine a componente do vetor = 10i 20j 20k na direção do segmento de reta que inicia no ponto (2, 3, 2) e passa pelo ponto (1, 0, 5). Resp. 11, Determine a componente do vetor = 1,52i 2,63j + 0,83k na direção do segmento de reta que inicia no ponto (2, 3, 2) e passa pelo ponto (1, 0, 5). Resp. L = 1, Dados os vetores = i + j 3k e = 4i + 3j, determine o valor de de modo que o produto vetorial dos dois vetores seja 9i 12j. Resp. = 0, Dados os vetores = i 3j +, k e = 4i k, determine o valor de z de modo que o produto escalar dos dois vetores seja 14. Resp. z = 10

19 CAÍTULO 1 VETORES Exprima os vetores mostrados na Fig em notação i, j, k. 400 N 100 N S 200 N z z z (a) ( b ) ( c) Figura 1-24 Resp. (a) = 223i + 306j 129k; (b) = 75i + 50j 43,3k; (c) S = 144i + 129j + 52,4k