MATEMÁTICA FORMULÁRIO

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1 MATEMÁTICA FORMULÁRIO 30 o 45 o 60 o cosec x =, sen x 0 sen x sen 3 sec x =, cos x 0 cos x cos 3 sen x tg x =, cos x 0 cos x tg 3 cos x 3 cotg x =, sen x 0 3 sen x sen x + cos x = ) A círculo = π.r ) ) C circunferência = π.r ) A triângulo = C p n = n! p! (n p)! b h 3) A retângulo = b.h 3) A triângulo = D onde D = x x x 3 y y y 3 4) a n = a + (n ). r 4) V cilindro = π.r. h a + an 5) S n =. n 5) V pirâmide = A. h b 3 6) a n = a. q n 6) V cubo = a 3 7) 8) a (q n ) = 7) V paralelepípedo = a.b.c q n! x (n p)! B xa + S n A p n = 8) d A,B = ( ) ( ) ax0 + by0 + c 9) P n = n! 9) d P,r = a + b n! 0) P α, β n = 0) (x a) + (y b) = r α! β! y B y A

2 Questão Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. No ponto de ônibus da Praça X passa um ônibus para a Linha Vermelha de 5 em 5 minutos e um ônibus para a Linha Amarela de 5 em 5 minutos. Se os dois ônibus passaram juntos às 0 horas, na primeira vez em que voltarem a passar juntos pelo ponto serão 0 horas e 40 minutos. 0. Um carpinteiro tem um bloco de madeira, na forma de um paralelepípedo retângulo, com as dimensões cm, 80cm e 48cm. Se o carpinteiro deve cortar esse bloco em cubos idênticos, com a maior aresta possível e sem que haja sobra de material, então a medida da aresta dos maiores cubos que ele pode obter é 6cm. 04. A medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 9h0 min é O proprietário de uma pizzaria calcula uma pizza circular de 0 centímetros de diâmetro por pessoa. Para uma festa com 36 pessoas seriam necessárias 6 pizzas circulares de 30 centímetros de diâmetro. 6. Aumento sucessivo de 0% e 0% no preço de um determinado produto é equivalente a um único aumento de 30%. Gabarito: 0 (0 + 08) Número de acertos:.06 (5,8%) Grau de dificuldade previsto: Fácil ANÁLISE DA QUESTÃO A questão compreende cinco proposições, envolvendo conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio e sua aplicação a situações-problema, como cálculo do máximo divisor comum e do mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, arco de circunferência e ângulo central, área de figuras planas, proporcionalidade e porcentagem. Mais uma vez, como já foi apontado e comentado nos relatórios de anos anteriores, é surpreendente o fato de que quase 85% dos candidatos tiveram dificuldades em trabalhar com alguns desses conceitos básicos e aplicá-los em situações reais. Este fato evidencia a necessidade de que o ensino de Matemática, em todos os níveis, observe o que indicam os estudos e as pesquisas em Educação Matemática e o que recomendam os PCNs de Matemática, ou seja, de que os conteúdos temáticos sejam desenvolvidos de modo integrado e que sejam feitas conexões entre esses conteúdos e os conteúdos de outras disciplinas, bem como com os temas transversais e com a realidade. Além da resposta correta 0 (0 + 08) com 5,8%, outras quatro respostas predominaram no quadro de freqüência: 0 4,6%; 04,8%; 06 (0 + 04),6% e 08 8,33%. A proposição correta 0 obteve 57,67% da preferência dos candidatos, o que era esperado já que esta era uma das proposições mais fáceis de toda a prova, por referir-se à aplicação de um tema básico e fundamental, a determinação do maior divisor comum de dois ou mais números. A proposição correta 08, que envolvia a aplicação do cálculo da área do círculo e do conceito de proporcionalidade a uma situação-problema, obteve 4,0% da preferência dos candidatos. A grande causa de erro nesta questão foi a consideração da proposição 04 como correta, a qual obteve, juntamente com outras proposições incorretas da Prova de Matemática, um elevado índice na escolha dos candidatos, 45,97%. Esta escolha originou, como se observa acima, uma elevada preferência pelas respostas: 04 e 06 (0 + 04). Provavelmente, a maioria dos candidatos que assinalou tal proposição como correta, isto é, achou 50, teve uma visão estática dos ponteiros do relógio no momento assinalado e não considerou a medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas em 0 minutos, a partir das 9 horas, ou seja, 45 (50-5 ). O fato das respostas 0 e 08 se destacarem no quadro de freqüência vem, novamente, reforçar a tese, que já foi apontada nos relatórios de anos anteriores, de que os candidatos preferem não arriscar; na dúvida, optam pelo acerto parcial, assinalando apenas aquela(s) proposição(ões) sobre a(s) qual(ais) tem(têm) certeza.

3 Questão Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. Dentre todos os retângulos com 40m de perímetro, o de maior área é aquele com lado de 0m e área de 400m. 0. Uma cidade é servida por três empresas de telefonia. A empresa X cobra, por mês, uma assinatura de R$ 35,00 mais R$ 0,50 por minuto utilizado. A empresa Y cobra, por mês, uma assinatura de R$ 0,00 mais R$ 0,80 por minuto utilizado. A empresa Z não cobra assinatura mensal para até 50 minutos utilizados e, acima de 50 minutos, o custo de cada minuto utilizado é de R$,0. Portanto, acima de 50 minutos de uso mensal a empresa X é mais vantajosa para o cliente do que as outras duas. 04. Em certa fábrica, durante o horário de trabalho, o custo de fabricação de x unidades é de C(x) = x + x reais. Num dia normal de trabalho, durante as t primeiras horas de produção, são fabricadas x(t) = 5t unidades. O gasto na produção, ao final da segunda hora, é de R$.430, Certa substância radioativa que se desintegra uniformemente ao longo do tempo tem sua quantidade ainda não desintegrada, após " t " anos, dada por M(t) = M 0 0. onde M 0 representa a quantidade inicial dessa substância. A porcentagem da quantidade ainda não desintegrada após 40 anos em relação à quantidade inicial M 0 é de, aproximadamente, 50%. 6. O gráfico abaixo mostra quanto cada brasileiro pagou de impostos (em reais per capita) nos anos indicados. t R$ R$ R$ R$ R$.500 R$ R$.500 R$ VEJA. São Paulo: Ed. Abril, ano 39, n. 5, 9 abr Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se afirmar que no ano 000 houve um aumento de 0% no gasto com impostos, em relação a 995. Gabarito: 06 (0+04) Número de acertos: 874 (,93%) Grau de dificuldade previsto: Médio

4 ANÁLISE DA QUESTÃO A questão trata de um dos temas mais explorados no Ensino Médio e em vestibulares, o estudo de funções: valor máximo da função polinomial do o grau, função definida por várias sentenças, sistemas de inequações do o grau, função composta, função exponencial, leitura e interpretação de gráficos de funções. Apesar de ser um tema muito explorado, o resultado não correspondeu à expectativa da banca, já que apenas,93% dos candidatos apontaram como corretas as proposições 0 e 04, obtendo dessa forma o acerto total. Há, também, 8,75% para a resposta 0 e 3,8% para 04, o que caracteriza, mais uma vez, a opção dos candidatos pelo acerto parcial ao invés do risco de assinalar proposições sobre as quais eles não têm certeza. Cabe ainda ressaltar que estas duas proposições obtiveram, respectivamente, 47,5% e 55,7% da preferência dos candidatos, o que leva a se deduzir que as situações-problema a que se referem às proposições, e que envolvem funções definidas por várias sentenças, sistemas de inequações do o grau e função composta, se mostraram acessíveis aos candidatos. A proposição incorreta 08 obteve 3,57% da preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices de 5,05% e 6,7% para as respostas 08 e ( ), respectivamente. Talvez a maioria dos candidatos que assinalou tal proposição como correta até tenha substituído na expressão dada o t por 40, obtendo M ( 40) = M 0., mas considerou, ingenuamente, apenas o para determinar a porcentagem da quantidade ainda não desintegrada da substância radioativa após 40 anos em relação à quantidade inicial M 0, assinalando assim 50%. Outra possibilidade para que os candidatos tenham considerado esta proposição correta é o uso meramente manipulativo dos dados presentes na questão. Questão 3 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. Uma avenida em linha reta possui 0 placas de sinalização igualmente espaçadas. A distância entre a sétima e a décima placa é.00 metros. A distância entre a primeira e a última placa é metros. 0. Se três números inteiros positivos não-nulos formam uma progressão aritmética, e a soma deles é igual a 36, então o valor máximo que o maior desses números pode ter é Uma cliente levará meses para saldar uma dívida de R$ 6.400,00 com uma loja de móveis, pagando R$ 500,00 no primeiro mês, R$ 550,00 no segundo mês, R$ 600,00 no terceiro mês e assim por diante. 08. Se o preço de uma cesta básica é, hoje, R$ 98,00 e esse valor diminui % a cada mês que passa em relação ao valor do mês anterior, então daqui a nove meses o preço da cesta 0 básica será de 00.(0,98) reais. 6. No livro O Código da Vinci, de Dan Brown, no local onde o corpo de Jacques Saunière é encontrado, alguns números estão escritos no chão. Estes números fazem parte da Seqüência de Fibonacci, que é uma seqüência infinita de números em que cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos que imediatamente o antecedem. Assim, o décimo primeiro termo da Seqüência de Fibonacci,,, 3, 5, 8, 3,... é o número 79. Gabarito: 09 (0 + 08) Número de acertos: 553 (8,9%) Grau de dificuldade previsto: Médio

5 ANÁLISE DA QUESTÃO Nesta questão, esperava-se que o candidato aplicasse seus conhecimentos sobre sucessões ou seqüências numéricas, progressões aritméticas e progressões geométricas na resolução de situações-problema. Segundo os resultados obtidos, esta foi uma das questões mais difíceis da prova, o que é surpreendente, porque além destes temas serem muito explorados no Ensino Médio e nos vestibulares, os alunos em geral demonstram uma certa facilidade quando estes tópicos são trabalhados na escola. Talvez a grande dificuldade dos candidatos não tenha sido a falta de compreensão das idéias, dos conceitos, das definições e do domínio das técnicas a respeito dos temas assinalados, mas a sua aplicação na resolução de situações-problema. O percentual de candidatos que obtiveram acerto total foi muito baixo, apenas 8,9%, com um correlato espalhamento, distribuído entre várias respostas. Listando, por ordem decrescente das preferências as respostas, têm-se: 0 7,38%; 08,93%; 0 9,45%; 03 (0 + 0) 7,45%; 0 (0 + 08) 6,65%. Como se pode observar, os índices das respostas 0 e 08, novamente, apontam para a opção dos candidatos pelo acerto parcial. As proposições corretas 0 e 08 tiveram, respectivamente, 5,79% e 35,86% da preferência dos candidatos, mas apenas 8,9% deles foram capazes de combiná-las. A grande causa de erro e do espalhamento nesta questão foi a consideração da proposição 0 como correta (34,96%), originando elevada preferência pelas respostas 0, 03 e 0. É provável que os candidatos que assinalaram tal proposição como correta tenham sido impulsionados pela aplicação da técnica para resolver a tarefa proposta, sem levar em conta as informações presentes no enunciado da questão. A proposição se referia a números inteiros positivos não-nulos, portanto, o valor máximo que o maior número pode ter é 3 e não 4. Questão 4 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. Considerando-se um hexágono regular e tomando-se ao acaso uma das retas determinadas pelos seus vértices, a probabilidade de que a reta passe pelo centro do hexágono é Se cinco atletas disputam uma prova de corrida de 800 metros, então o número de resultados possíveis para os dois primeiros lugares, sem que haja empates, é Antônio, Cláudio, Carlos e Ivan montaram uma empresa de prestação de serviços e decidiram que o nome da empresa será a sigla formada pelas iniciais dos seus nomes, por exemplo, CACI. O número de siglas possíveis é. 08. Quando sete pessoas se encontram e todas se cumprimentam, o número de apertos de mão possível, sem que os cumprimentos se repitam, é Numa lanchonete há cinco tipos de sucos: laranja, abacaxi, acerola, limão e morango. Eles são servidos em copos de três tamanhos: pequeno, médio e grande. Não é permitido misturar sabores. O número de maneiras possíveis de se pedir um suco é 5. Gabarito: 0 (04 + 6) Número de acertos:.443 (,37%) Grau de dificuldade previsto: Difícil

6 ANÁLISE DA QUESTÃO A questão compreende cinco proposições típicas do Ensino Médio, envolvendo os conteúdos de Probabilidade e Análise Combinatória. O objetivo da questão era avaliar a capacidade dos candidatos para aplicar, na resolução de situações-problema, os conceitos de probabilidade, arranjo simples, permutação com repetição, combinação simples e o princípio multiplicativo. Embora o grau de dificuldade previsto pela banca para esta questão tenha se confirmado através dos índices de espalhamento e de facilidade obtidos, ela foi a segunda questão da prova com o maior índice de resposta correta,,37%. Além deste aspecto relativo ao grau de dificuldade da questão, outros aspectos revelam-se muito interessantes de serem analisados a partir dos resultados obtidos. A proposição 6 foi a proposição correta da prova a ter o maior índice de preferência dos candidatos, 75,6%. Ela foi responsável pelos índices das respostas 6 3%; 8 (0 + 6) 6,0%; ( ) 6,3%; 4 (08 + 6) 8,38% e 8 ( ) 7,7%. Talvez o alto índice de preferência dos candidatos por esta proposição se deva à facilidade com que o seu resultado pode ser verificado, seja pela aplicação direta do princípio fundamental da contagem 3. 5 = 5 possibilidades, seja pela utilização do diagrama da árvore ou ainda pela aplicação do seu conhecimento prático adquirido a partir de situações do cotidiano, como pedir um suco frente a várias possibilidades. Por outro lado, as proposições incorretas 0 e 08 que tiveram, respectivamente, 9,66% e 35,59% da preferência dos candidatos, também contribuíram para os índices obtidos pelas respostas 8,, 4 e 8, destacadas acima. Provavelmente essas respostas foram, simplesmente, os resultados obtidos pela manipulação dos dados presentes no enunciado da questão por parte dos candidatos, mas podem também ser a manifestação da aplicação indevida dos conceitos de arranjo simples e combinação simples nas situações-problema das proposições consideradas. Questão 5 Pedro, Luiz, André e João possuem, juntos, 90 CDs. Se tirarmos a metade dos CDs de Pedro, dobrarmos o número de CDs de Luiz, tirarmos CDs de André e aumentarmos em o número de CDs de João, eles ficarão com a mesma quantidade de CDs. Determine o número inicial de CDs de André. Assinale o resultado encontrado no cartão-resposta. Gabarito: (questão aberta) Número de acertos: 5 (8,8%) Grau de dificuldade previsto: fácil Grau de dificuldade obtido: difícil ANÁLISE DA QUESTÃO A questão envolve a aplicação de conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio, equações e sistemas de equações lineares. O que chama atenção na análise dos resultados obtidos nesta questão é o fato de que mais de 80% dos candidatos tiveram dificuldades para trabalhar com esses conceitos básicos que são introduzidos e exercitados desde a sexta série do Ensino Fundamental até a terceira série do Ensino Médio. Além da resposta correta, com 8,8%, outras três respostas predominaram no quadro de freqüência: 5 5,74%; 0 9,88% e 4 9,79%. É provável que os candidatos que responderam 5, 0 e/ou 4 tenham até desenvolvido algumas das diversas etapas da resolução de um problema, ou seja, compreenderam o problema, elaboraram e executaram um plano de solução, mas esqueceram de uma etapa de suma importância que é a verificação ou revisão da solução. Provavelmente a maior dificuldade dos candidatos nesta questão tenha sido a sua falta de habilidade para ler, interpretar e compreender um problema, e fazer a passagem da linguagem materna para a linguagem matemática.

7 Questão 6 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. Se 0 x < π, então as raízes da equação cos x sen x = 0 e π. 0. Duas polias (rodas para correia transmissora de movimento), a maior de 55cm de raio e a menor de 35cm de raio, giram simultaneamente em torno de seus respectivos centros, por estarem ligadas por uma correia inextensível. Supondo que não haja deslizamento, o número mínimo de voltas completas da roda maior para que a roda menor gire um número inteiro de vezes é 5 voltas. são { } 04. Quando Eugênio entrou em sua sala de aula, havia o seguinte problema no quadro-negro: Numa indústria deseja-se construir uma rampa com inclinação de θ graus para vencer um desnível de 4m. Qual será o comprimento da rampa? Mas, o professor já havia apagado os valores de senθ e cosθ, restando apenas tgθ =. Eugênio usou seus conhecimentos de 5 trigonometria e determinou que o comprimento da rampa é 0 m. x 08. A figura a seguir mostra parte do gráfico da função f, de em, dada por f(x) = sen. 4 y - 4π 8π x 6. A figura a seguir representa o desenho de uma casa em construção. A telha que vai ser usada nessa construção necessita de um ângulo de inclinação de 30 para o telhado. 4 3 Portanto, a altura x do telhado para se obter a inclinação desejada é de metros o x 8 m Gabarito: 4 (08 + 6) Número de acertos: 996 (4,77%) Grau de dificuldade previsto: Difícil

8 ANÁLISE DA QUESTÃO A questão compreende cinco proposições, envolvendo alguns dos principais objetivos do estudo da trigonometria no Ensino Fundamental e Médio, como: resolver equações trigonométricas; aplicar a relação entre o comprimento de um arco de circunferência e o comprimento do raio da mesma; aplicar as razões trigonométricas na resolução de problemas e interpretar gráficos das principais funções trigonométricas. Além da resposta correta 4 (08 + 6) com 4,77%, outras três respostas predominaram no quadro de freqüência: 08 5,0%; 6 6,06% e 0 (04 + 6) 7,6%. Como se pode observar, a resposta 6 superou inclusive o índice da resposta correta da questão. Este fato vem reforçar a tese de que os candidatos, na dúvida, optam pelo acerto parcial, assinalando apenas aquela(s) proposição(ões) sobre a(s) qual(ais) tem(têm) certeza. A proposição 6 foi a segunda proposição correta da prova com o maior índice de preferência dos candidatos, 67,89%. Ela contribuiu também para que a resposta 0 se destacasse no quadro de freqüência de respostas da prova. Outra proposição que também contribuiu para que esta resposta se destacasse foi a consideração da proposição 04 como correta; ela obteve 37,54% da preferência dos candidatos. É provável que os candidatos que assinalaram esta proposição como correta tenham confundido o afastamento, que era realmente de 0 m, com o percurso (o comprimento da rampa), que era de 6 6 m. Questão 7 As dimensões, em metros, de um paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do 3 polinômio x 4x + 56x 64. Determine, em metros cúbicos, o volume desse paralelepípedo. Assinale o resultado encontrado no cartão-resposta. Gabarito: 64 (questão aberta) Número de acertos:.700 (5,66%) Grau de dificuldade previsto: Fácil ANÁLISE DA QUESTÃO A questão envolve os conhecimentos de equações polinomiais e geometria espacial; o objetivo era avaliar a capacidade dos candidatos de relacionar os dois temas, de determinar as raízes de uma equação polinomial e utilizá-las para calcular o volume de um paralelepípedo. Embora a questão envolva dois dos principais tópicos do conteúdo programático, ela foi a mais fácil de toda a prova, obtendo o maior índice de acerto entre as respostas corretas. Cabe registrar também que não houve outras respostas com percentuais de freqüência em destaque para esta questão. Talvez o elevado índice de acerto na questão se deva à facilidade com que o seu resultado pode ser obtido, seja calculando as raízes através do dispositivo prático de Briot-Ruffini e a seguir fazendo o produto entre elas para determinar o volume, seja aplicando as relações de Girard e obtendo o valor do volume diretamente da equação dada.

9 Questão 8 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. No capítulo XCIV, denominado Idéias Aritméticas, do livro Dom Casmurro, de Machado de Assis, temos: Veja os algarismos: não há dois que façam o mesmo ofício; 4 é 4, e 7 é 7. E admire a beleza com que um 4 e um 7 formam esta coisa que se exprime por. Agora dobre e terá ; multiplique por igual número, dá 484, e assim por diante. Mas onde a perfeição é maior é no emprego do zero. O valor do zero é, em si mesmo, nada; mas o ofício deste sinal negativo é justamente aumentar. Um 5 sozinho é um 5; ponha-lhe dois 00, é 500. Com base nas considerações acima sobre o sistema de numeração decimal, um número natural X é formado por dois algarismos cuja soma é. Invertendo-se a ordem desses algarismos, obtém-se um número que excede X em 54 unidades, então o número X está compreendido entre 0 e Se a área de um terreno triangular é vezes maior que a área da maquete desse terreno e se os lados do triângulo da maquete medem 4cm, 5cm e 6cm, então o perímetro do terreno é de 45m. 04. Observe a figura abaixo. Se o lado do triângulo eqüilátero inscrito na circunferência mede 6 3 cm, então o lado do quadrado circunscrito à circunferência mede 6cm. 08. Três meninos participaram de uma corrida. O desempenho de cada um deles está representado nos gráficos abaixo: deslocamento deslocamento deslocamento tempo tempo tempo Gráfico do primeiro menino Gráfico do segundo menino Gráfico do terceiro menino Observando-se os gráficos pode-se constatar que o primeiro menino fez o trajeto sempre com a mesma velocidade. O segundo menino, depois de percorrer certa distância, parou e prosseguiu a corrida com a mesma velocidade que ele tinha. O terceiro menino partiu com uma velocidade pequena e em certo momento aumentou esta velocidade. Gabarito: 0 (0) Número de acertos:.0 (7,89%) Grau de dificuldade previsto: Médio

10 ANÁLISE DA QUESTÃO A questão compreende quatro proposições, envolvendo conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio, como sistema de numeração decimal, proporcionalidade, polígonos regulares e análise de gráficos. O percentual de candidatos que obtiveram acerto total ficou muito aquém do esperado, frente ao fato de que os conceitos envolvidos nas três primeiras proposições são, realmente, básicos do Ensino Fundamental e a quarta proposição trata de gráficos, que é um tema que desde muito cedo está constantemente presente na vida dos candidatos, através dos livros, revistas, jornais e dos diversos meios de comunicação. Apenas 7,89% responderam corretamente, com um correlato espalhamento, distribuído entre várias respostas. Listando, por ordem decrescente das preferências as respostas, têm-se: 08 4,3%; 04,%; 06 (0 + 04) 7,47%; 0 6,67%; 05 (0 + 04) 6,58%; ( ) 6,40%; 09 (0 + 08) 5,46% e 0 (0 + 08) 5,6%. Como se pode observar, a grande responsável pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 0, 04 e 08 como corretas, que obtiveram 3,7%, 4,09% e 40,35% da preferência dos candidatos, respectivamente. O que é surpreendente é o índice alcançado por estas proposições e o fato dos candidatos considerá-las corretas, já que algumas delas, como as proposições 0 e 04, poderiam facilmente ter verificada a sua veracidade ou não, através de um raciocínio lógico. Na proposição 0, bastaria o candidato analisar que no intervalo entre 0 e 30 não se pode ter um número natural formado por dois algarismos cuja soma é, o valor máximo que se obtém é, para o número 9 ( + 9 = ). No caso da proposição 04, o candidato tinha vários caminhos para verificar a veracidade da afirmativa da proposição; um deles era usar as relações trigonométricas; outro, e talvez o mais simples e direto, era comparar a medida de 6 3cm do lado do triângulo eqüilátero com a medida de 6cm do lado do quadrado da figura dada. Ora, se está sendo afirmado que o lado do quadrado mede 6cm, então o maior segmento possível de ser traçado no interior do quadrado seria a sua diagonal que mede 6 cm ; portanto, não seria possível construir um triângulo eqüilátero de lado 6 3cm no interior do quadrado, já que 6 3cm > 6 cm. Talvez a maioria dos candidatos que assinalou tal proposição como correta tenha apenas calculado a medida do raio da circunferência, que era realmente de 6cm, mas não prestou a devida atenção ao enunciado da proposição ou simplesmente esqueceu de multiplicá-lo por dois, já que o lado do quadrado circunscrito mede o dobro da medida do raio. A respeito da proposição 08, bastaria ao candidato calcular o coeficiente angular da reta no trecho anterior à parada e compará-lo com o coeficiente angular da reta no trecho posterior à parada, para verificar que os dois trechos não foram percorridos com a mesma velocidade conforme afirma a proposição. Outra possibilidade era, simplesmente, observar a inclinação das duas retas, antes e depois da parada, e verificar que elas são diferentes, portanto não representam a mesma velocidade. Questão 9 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. Considere L e L, duas latas de forma cilíndrica, de massa de tomate, de mesma marca. A lata L possui o dobro da altura da lata L, mas seu diâmetro é a metade do diâmetro de L. Se L custa R$,80 e L R$,80, então a lata mais econômica é L.

11 0. Observe a figura abaixo. Se os diâmetros dos semicírculos estão sobre os lados do triângulo retângulo ABC, então Área I = Área II + Área III. II C I A III B 04. A figura abaixo está representando uma pirâmide inscrita num cubo. Se o volume da pirâmide é de 7m 3, então a aresta do cubo é igual a 9m. 08. O octaedro regular é um poliedro que tem 8 arestas. Gabarito: 03 (0 + 0) Número de acertos: 905 (3,43%) Grau de dificuldade previsto: Fácil ANÁLISE DA QUESTÃO A questão envolve conhecimentos de geometria espacial e geometria plana. A proposição 0 trata de um problema típico não só de geometria espacial do Ensino Médio e vestibulares, como do cotidiano dos candidatos, ou seja, escolher entre duas embalagens diferentes, com preços diferentes, verificando qual a mais econômica. A proposição 0 envolve uma aplicação direta e simples do Teorema de Pitágoras. Estas duas proposições obtiveram 50,48% e 45,00% da preferência dos candidatos, respectivamente, e foram responsáveis pelos índices das respostas 0 3,53%; 0 7,8% e 03 (0 + 0) 3,43%. O fato dos candidatos concentrarem suas respostas em 0 e 0 vem, novamente, reforçar a tese de que os candidatos, na dúvida, optam pelo acerto parcial. As proposições incorretas 04 e 08 também obtiveram índices expressivos na preferência dos candidatos, com 3,88% e 46,83%, respectivamente, sendo que este último índice foi o maior obtido por uma proposição incorreta em toda a prova. Elas foram responsáveis pelos índices obtidos pelas respostas: 04 6,3%; 05 (0 + 04) 4,4%; 06 (0 + 04) 4,94%; 08 0,39%; 09 (0 + 08) 8,65%; 0 (0 + 08) 8,09%; ( ) 4,36% e ( ) 7,45%. Surpreende o fato dos candidatos considerarem estas proposições corretas, já que no caso da proposição 04 eles poderiam, facilmente, verificar sua veracidade ou não, com o auxílio do formulário, fazendo: Ab. h l. l V pirâmide = 7 = l = 6m. No caso da proposição 08, talvez a maioria dos candidatos 3 3 que a assinalou como correta tenha sido impulsionada pela sua intuição, sem prestar a devida atenção ao fato de que o octaedro regular tem 8 faces triangulares, mas não 8 arestas, que são em número de.

12 Questão 30 A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade, em que o ponto 0 é o centro e os pontos A, B e C são pontos turísticos (considere unidade linear do plano cartesiano correspondendo a km). y A(0, 3) C(7, ) 0 B(, 0) x Com base na figura acima, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. Se o prefeito da cidade deseja colocar um novo terminal de ônibus que fique eqüidistante 7 5 dos pontos A, B e C, então sua localização deve ser o ponto T de coordenadas,. 0. A equação da reta que representa a estrada reta e asfaltada que liga os pontos A e C é x + 7y + = Se o prefeito da cidade deseja construir um trecho de estrada reto, o mais curto possível, unindo o ponto B com a estrada reta e asfaltada que já liga os pontos A e C, então o comprimento mínimo desse trecho será de km. 08. O prefeito da cidade pretende, ainda, colocar um microônibus para conduzir os turistas por uma linha circular que passa pelos pontos A, B e C; a equação da circunferência que representa esta linha circular é x + y 7x 5y 6 = A área da região triangular ABC, a partir dos pontos A, B e C que formam o Triângulo Turístico da cidade é de 0km. Gabarito: 7 (0 + 6) Número de acertos: 57 (8,48%) Grau de dificuldade previsto: Médio ANÁLISE DA QUESTÃO A questão compreende cinco proposições, envolvendo alguns dos principais objetivos do estudo da geometria analítica no Ensino Médio, como: calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano e aplicá-la na resolução de problemas; conhecer e aplicar a equação geral da reta; calcular a distância de um ponto a uma reta e aplicá-la na resolução de problemas; utilizar as várias formas da equação de uma circunferência na resolução de problemas e calcular a área de um triângulo, conhecidas as coordenadas de seus vértices. O percentual de candidatos que obtiveram acerto total foi muito baixo, apenas 8,48%, com um correlato espalhamento, distribuído entre várias respostas. Essa foi a segunda questão da prova a ter o menor índice de acerto e, portanto, a segunda mais difícil. O grau de dificuldade obtido superou negativamente as expectativas da banca porque embora, em geral, os candidatos apresentem grandes

13 dificuldades em geometria analítica e isso tenha sido apontado e comentado nos relatórios dos vestibulares de anos anteriores, nesta questão foram explorados conhecimentos básicos e fundamentais deste tópico. Além da resposta correta 7 (0+6), outras respostas predominaram no quadro de freqüência, que são, em ordem decrescente de preferência: 6 3,56%; 09 (0 + 08) 5,97%; 0 5,64%; 08 5,35%; 0 (0 + 08) 5,0%; 0 (04 + 6) 4,87%; 8 (0 + 6) 4,84% e 04 4,03%. Como se pode observar mais uma vez, na dúvida, os candidatos optam pelo acerto parcial, o que fez com que a resposta 6 obtivesse índice superior à resposta correta. Vale ainda ressaltar que a proposição correta 6 obteve 53% da preferência dos candidatos e foi responsável também pelos índices alcançados por outras respostas das quais fazia parte, como se pode observar acima. Talvez o bom índice obtido por esta proposição se deva ao fato de que o tópico envolvido, ou seja, calcular a área de um triângulo conhecidas as coordenadas de seus vértices, é bem conhecido e muito explorado nos vestibulares. Por outro lado, esperava-se um índice superior aos 4,69% obtidos pela proposição 0, já que ela envolve um dos mais básicos e fundamentais temas da geometria analítica, que é o cálculo da distância entre dois pontos no plano cartesiano. A grande responsável pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 0, 04 e 08 como corretas, com 3,85%, 30,5% e 39,64% da preferência dos candidatos, respectivamente. Provavelmente a grande dificuldade dos candidatos nesta questão, e em particular nestas proposições tenha sido o fato de que todas elas, de uma forma ou de outra, estavam intimamente relacionadas entre si. Para resolver a proposição 0, isto é, determinar corretamente a equação da reta que liga os pontos A e C, bastava ao candidato aplicar a condição de alinhamento de três pontos. Mas, se ele quisesse apenas verificar a sua veracidade ou não, era só substituir as coordenadas do ponto A na equação da reta dada, para ver que elas não satisfazem a equação. No caso da proposição 04, era só o candidato utilizar a equação obtida na proposição 0 e aplicar a fórmula da distância de um ponto a uma reta fornecida no formulário da prova. Outra maneira de verificar se a proposição era correta ou incorreta era analisar a figura dada de uma forma lógica e geométrica, para perceber que o lugar geométrico dos pontos do mapa (plano), que estão a uma distância de km do ponto B, é uma circunferência e que a mesma não terá nenhum ponto de intersecção com a reta que liga os pontos A e C; portanto, a proposição é falsa. Finalmente, para resolver corretamente a proposição 08, isto é, determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos A, B e C, o candidato já dispunha do centro dessa circunferência que foi calculado na proposição 0; bastava apenas calcular seu raio e aplicar a fórmula fornecida no formulário. No entanto, o candidato poderia comprovar facilmente que a proposição era incorreta ao substituir as coordenadas do ponto A na equação da circunferência dada e verificar que elas não a satisfaziam.

14 CONCLUSÃO Mais uma vez a prova de Matemática procurou avaliar o maior número possível dos principais tópicos do conteúdo programático proposto. As questões, sempre que possível, buscaram correlacionar os conteúdos com assuntos da vivência dos candidatos de forma que eles interpretassem, analisassem e aplicassem com precisão os conceitos e definições relativas a esses tópicos. A partir da análise geral dos resultados da prova, pode-se novamente constatar um descompasso entre o grau de dificuldade previsto e o obtido, isso se for levado em conta apenas os resultados totais. Porém, se forem levados em consideração também os resultados parciais, as expectativas da banca acabaram se confirmando. Por um lado, observase que cada uma das proposições corretas da prova, separadamente, obteve um bom índice da preferência dos candidatos e que o problema foi a combinação de ambas, realizada por um número muito reduzido de candidatos, o que implica um baixo índice de acerto total nas questões. Essa preferência dos candidatos por não arriscar e tirar proveito do acerto parcial fica evidente no quadro de freqüência de respostas da prova. Por outro lado, o que é surpreendente, preocupante e objeto de uma reflexão por todos aqueles envolvidos e preocupados com a melhoria do ensino da Matemática em todos os níveis, é o elevado índice obtido por algumas proposições incorretas que envolvem conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio, bem como a carência de uma análise de natureza lógica das proposições, sejam elas do pensamento algébrico, geométrico, trigonométrico, numérico ou estatístico. Como exemplo, na questão 8, na proposição 0, bastaria o candidato analisar que no intervalo entre 0 e 30 não se pode ter um número natural formado por dois algarismos cuja soma é, pois o valor máximo que se obtém é, para o número 9 ( + 9 = ).