1) a n = a 1 + (n-1) r 9)

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1 MATEMÁTICA FORMULÁRIO 0 o 45 o 60 o sen cos tg ) a n = a + (n-) r 9) C p n = n! p! (n p)! a + an ) S n = n 0) V cilindro = π r h ) a n = a q n ) V cubo = a n a ( q ) 4) Sn= q ) (x a) + (y b) = r a 5) S q xb xa + ( yb ya ) n! 6) An p = (n p)! 4) C = π r 7) P n = n! l 5) α = r 8) α β = 6) a = b = P, n n! α! β! senâ senbˆ c senĉ

2 Questão 0. Na implantação do novo plano diretor de uma cidade, um cidadão teve parte de seu terreno de esquina desapropriado pela prefeitura para alargamento das duas avenidas laterais. Do terreno, em forma de quadrado, foi perdida uma faixa de m de largura ao sul e uma faixa de 4 m de largura a leste. Se a área do terreno ficou reduzida à metade, então a medida do perímetro do terreno antes da desapropriação era de 48 m. 0. Se na planta de um edifício em construção, cuja escala é :50, a área de uma sala retangular é de 80 cm, então a área real da sala projetada é de 40 m. 04. Se um corpo com peso de 80 N é abandonado em um plano inclinado, cujo ângulo de elevação é de 0, sendo desprezível o atrito entre o corpo e o plano, então a intensidade da reação normal de apoio é de 40 N. 08. Se x, y, z e w são os menores valores numéricos inteiros para que a equação química xau(oh) + yh 4 P O 7 zau 4 (P O 7 ) + wh O fique balanceada, então x + y + z + w = 0. Questão Gabarito: 09 (0+08) Número de acertos: 898 (,%) Grau de dificuldade previsto: fácil Grau de dificuldade obtido: médio Proposições Percentual de 45,0 4,0 8,0 5,0 0, incidência (%) A questão envolve a aplicação de conhecimentos matemáticos como equação do grau, área e perímetro de figuras planas, razões e proporções, relações trigonométricas no triângulo retângulo e sistemas lineares a situações-problema e a outras áreas de conhecimento como Física e Química. Além da resposta correta 09 (0+08), outras respostas predominaram no quadro de freqüência, que são, em ordem decrescente de preferência: 08,0%; 0 0,08%; 0 (0+08) 9,0%; 04 8,6%; 0 8,06%; 06 (0+04) 6,88%; (04+08) 6,57%; 0 (0+0) 6,%; 05 (0+04) 5,7%; ( ) 4,50%. Como se pode verificar através dos índices das respostas 0 e 08, na dúvida, os candidatos optam pelo acerto parcial. A proposição correta 0 obteve 45% da preferência dos candidatos e foi responsável também pelos índices alcançados por outras respostas das quais fazia parte, como se pode observar acima. É provável que a dificuldade dos candidatos nesta proposição tenha sido a leitura, compreensão, interpretação e transcrição da situação-problema para a linguagem matemática, já que os tópicos envolvidos são: equação do grau, área e perímetro de figuras planas. A grande responsável pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 0 e 04 como corretas, com 4% e 8% da preferência dos candidatos, respectivamente. A proposição 0, incorreta, foi a com o maior índice de preferência dos candidatos. É surpreendente o fato de que um percentual tão significativo dos candidatos tenha considerado esta proposição como correta, pois ela envolve o conceito de escala, um dos mais básicos e fundamentais temas explorado no Ensino Fundamental, não somente na disciplina de Matemática, mas também em outras disciplinas, como Geografia, na confecção de mapas, plantas e maquetes; Artes,

3 na ampliação e redução de desenhos; além de aparecer em anúncios imobiliários de alguns jornais e revistas. Para intuir a veracidade ou não da proposição, o candidato poderia tomar um retângulo qualquer de 80 cm de área, por exemplo, 0 cm de comprimento por 8 cm de largura, aplicar o conceito de escala e verificar que as medidas reais do retângulo seriam 500 cm (5m) por 400 cm (4m), o que daria uma área de 0 m e não de 40 m conforme afirmava a proposição. Talvez a maioria dos candidatos que assinalou a proposição 0 como correta tenha feito simplesmente 80 cm x 50 = 400 cm, sem dar a devida atenção às transformações de unidades e ao fato de que se trata de medidas de área. Portanto, deveria fazer 80 cm x 50 x 50 = cm (0 m ). Os candidatos que assinalaram a proposição 04 como verdadeira, provavelmente tiveram dificuldades em aplicar seus conhecimentos de Matemática e/ou Física do Ensino Médio, em especial aqueles relativos às relações trigonométricas no triângulo retângulo e às leis de Newton, ou simplesmente combinaram os dados do enunciado com os do formulário, fazendo o seguinte cálculo: 80 N sen0º = 80N = 40N. A proposição correta 08 obteve 5% da preferência dos candidatos e foi responsável também pelos índices alcançados por outras respostas das quais fazia parte, como se pode observar acima. Talvez o bom índice obtido por esta proposição se deva ao fato de que ela poderia ser resolvida tanto pela aplicação dos conhecimentos matemáticos de sistemas lineares como dos conhecimentos químicos de balanceamento de uma equação química. Isso vem corroborar no sentido de que a interdisciplinaridade proposta pela Banca tem boa aceitação e é perfeitamente compreendida pelos candidatos. Questão 0. João e Pedro são dois meninos que recolhem latinhas de cerveja e refrigerante para ajudar no orçamento familiar. Enquanto João trabalha 4 horas por dia, Pedro trabalha 5 horas por dia. Ao final do dia recolhem 80 latinhas. Se a divisão das latinhas for feita proporcionalmente às horas trabalhadas, então João fica com 00 latinhas e Pedro fica com 80 latinhas. 0. Um retângulo tem 0 cm de comprimento e x cm de largura. A equação que corresponde à área A em função do perímetro P do retângulo, em centímetros quadrados, é A= 5P O plano de saúde A, que cobra R$ 40,00 de mensalidade e R$ 50,00 por consulta, é mais econômico para o cliente do que o plano B, que cobra R$ 00,00 de mensalidade e R$ 44,00 por consulta, independentemente do número de consultas. 08. Se três moedas perfeitas distinguíveis forem lançadas ao ar simultaneamente, então o número de resultados possíveis é Uma circunferência é dividida em 7 arcos iguais de cm de comprimento cada um. O diâmetro dessa circunferência é de 0,8 cm, considerando a aproximação de duas casas decimais e π=,4. Questão Gabarito: 8 (0+6) Número de acertos: 00 (4,87%)

4 Grau de dificuldade previsto: fácil Grau de dificuldade obtido: médio Proposições Percentual de 6,0 4, 6,,0 46,0 0 0 incidência (%) A questão compreende cinco proposições, envolvendo a aplicação de conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio: proporcionalidade, área e perímetro de figuras planas, composição de funções, função afim e probabilidade. Nesta questão, as outras respostas que predominaram no quadro de freqüência, foram: 0 9,08%; 6 8,48%; 04 7,65%; 08 6,9%; (04+08) 5,55%; 0 (04+6) 5,00%; 0 4,9%; 05 (0+04),78% e 0 (0+08),4%. Mais uma vez fica evidente no quadro de freqüência de respostas da prova a preferência dos candidatos em não arriscar e tirar proveito do acerto parcial, como se pode observar através dos índices das respostas 0 9,08% e 6 8,48%. As grandes responsáveis pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foram as indicações das proposições 0, 04 e 08 como corretas, com 6%, 6,% e % da preferência dos candidatos, respectivamente. Em ambos os casos, é surpreendente o fato de os candidatos tomarem estas proposições como corretas. No caso da proposição 0, não havia sequer a necessidade de o candidato efetuar algum cálculo para verificar a veracidade ou não da afirmação, bastava prestar atenção ao fato de que, se a divisão das latinhas é proporcional às horas trabalhadas, então Pedro, que trabalhou mais horas do que João, não poderia ficar com menos latinhas do que este. Da mesma forma, não eram necessários cálculos para saber que a proposição 04 é falsa, pois o custo dos dois planos de saúde A e B são compostos de uma parte fixa e uma parte variável que corresponde ao número de consultas, e não independente deste número, conforme afirma o enunciado. A opção de 7,65% dos candidatos pela resposta 04 pode ser um indicativo de que os mesmos têm sérios problemas na aplicação de seu pensamento algébrico e com mais razão ainda de seu pensamento geométrico. No caso da proposição 08, é surpreendente o fato de que % dos candidatos a consideraram como correta, já que a sua veracidade ou não podia ser facilmente verificada a partir do espaço amostral do experimento: {( C, C, C),( C, C, K),( C, K, C),( C, K, K),( K, C, C),( K, K, C),( K, K, K) }, onde ( C : cara; K : coroa). Esperava-se um índice superior aos 4,0% obtidos pela proposição 0, já que ela envolve alguns dos mais básicos e fundamentais temas do Ensino Fundamental e Médio, ou seja, área e perímetro de figuras planas associados à composição de funções. Para resolver a proposição, isto é, determinar corretamente a equação que corresponde à área A em função do perímetro P do retângulo de 0 cm de comprimento por x cm de largura, bastava ao candidato fazer: A= b h A= 0 x e P= b+ h P= b+ x, isolar x na segunda equação e substituir na primeira, ficando com A = 5P 00. Para a proposição 6 também se esperava um índice superior aos 46% obtido pela proposição, por tratar-se da aplicação da fórmula do comprimento de uma circunferência, tópico este muito explorado no Ensino Fundamental e Médio. Para resolver a proposição bastava que o candidato, com o auxílio do formulário, fizesse: C= 7cm C= 4cm, mas C= π r 4= ( r),4 = 0, 8cm. Ambas as proposições referem-se a conteúdos de geometria plana do Ensino Fundamental, o que leva a crer que este assunto não é bem assimilado pelos candidatos, pois para resolvê-los há necessidade de entendimento e aplicação dos conceitos básicos a respeito destes temas. Isso sugere uma reflexão a todos aqueles envolvidos e preocupados com a melhoria do ensino da Matemática em todos os níveis, em particular a respeito do desenvolvimento do pensamento geométrico dos estudantes. Será que o ensino de geometria continua sendo colocado em segundo plano, apesar de todo o movimento das pesquisas na área de Educação Matemática e dos PCN (998) destacarem a importância de se resgatar o trabalho com Geometria no Ensino Fundamental?

5 Questão 0. As telas dos televisores costumam ser medidas em polegadas. Quando se diz que um televisor tem 9 polegadas, isto significa que a diagonal da tela mede 9 polegadas, isto é, aproximadamente 7,66 cm. Então, um televisor cuja diagonal da tela meça 0,48 cm terá polegadas. 0. Se, inicialmente, um relógio marcava exatamente 5h, então, após o ponteiro menor (das horas) percorrer um ângulo de 4º, o relógio estará marcando 9h44min. 04. Se um bolo de chocolate, em forma de cilindro, tem por base um círculo de 0 cm de diâmetro, mede 8 cm de altura e custa R$ 5,00, então um outro bolo feito da mesma massa e tendo a mesma forma cilíndrica, só que medindo 40 cm de diâmetro e 6 cm de altura, custará R$ 0, A soma dos números ímpares de 7 a 75 é Se o lucro de uma empresa é dado por L(x) = 4( x)(x ), onde x é a quantidade vendida, então o lucro da empresa é máximo quando x =,. Questão Gabarito: 0 (0 + 0) Número de acertos: 87 (7,%) Grau de dificuldade previsto: médio Grau de dificuldade obtido: médio Proposições Percentual de 65,0 47,0 4,0 7, 9,0 0,0 0 incidência (%) A questão envolve a aplicação de conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio, regra de três simples, unidades de medidas de arcos e ângulos, semelhança, progressão aritmética e função quadrática. 7,% dos candidatos inscritos acertaram esta questão. Um dos fatores que pode ter contribuído para o índice alcançado é o fato de que as proposições corretas 0 e 0 eram as mais fáceis da questão, o que deve ter feito com que a maioria dos candidatos nem tentasse resolver as outras opções. Embora esta tenha sido a questão mais fácil de toda a prova, obtendo o maior índice de acerto entre as respostas corretas, é necessário destacar que este índice foi muito baixo, principalmente, levando em conta o nível de dificuldade das proposições e os tópicos elementares a que elas se referem. Como se pode observar, mais de 80% dos candidatos teve dificuldades em trabalhar com estes temas que são bastante explorados na Educação Básica dos candidatos. As proposições corretas 0 e 0 obtiveram 65% e 47% da preferência dos candidatos, respectivamente, e foram responsáveis pelos índices das respostas 0 5,4% e 0 5,9%, reforçando a tese de que, na dúvida, os candidatos optam pelo acerto parcial. Para resolver as proposições 0 e 0 bastava ao candidato aplicar seus conhecimentos de grandezas proporcionais, em particular da regra de três simples. No caso da proposição 0, se 9 polegadas correspondem a 7,66 cm, então 0,48cm corresponderá a polegadas, conforme afirma o enunciado. Da mesma forma, na

6 proposição 0, se o ponteiro menor (das horas) leva 60 minutos para percorrer 0º, então para percorrer 4º levará 84 minutos (4horas e 44 minutos). Portanto, o relógio estará marcando 9h4min (5h+4h44min). A proposição incorreta 04 obteve 4% da preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices obtidos pelas respostas: 05 (0+04) 0,0%; 04 8,%; 07 (0+0+04) 5,% e 06 (0+04) 4,78%. É surpreendente o fato de um índice tão elevado dos candidatos tomarem esta proposição como correta, pois quando se constrói um objeto semelhante a outro, dobrando as medidas dos segmentos correspondentes, todas as linhas são ampliadas na mesma proporção, resultando um objeto com todos os comprimentos duplicados. Mas isso vale apenas para os comprimentos. Não é verdade que as áreas de regiões correspondentes nos dois objetos também resultem duplicadas, assim como também não é verdade que o volume do objeto grande passe a ser o dobro do volume do pequeno. As proposições incorretas 04 e 08 obtiveram 4% e 7,% da preferência dos candidatos, respectivamente. Ainda assim considera-se um índice relativamente alto para estas proposições, já que as mesmas poderiam facilmente ser resolvidas aplicando conhecimentos básicos de progressão aritmética e função quadrática. No caso da proposição 04, bastaria ao candidato com o auxílio do formulário fazer: = 7+ ( n ). n= 5. A seguir faz-se Sn = 5 Sn = 75. Para a proposição 08 faz-se: L ( x) = 4( x)( x ) L( x) = 4x + 0x 4. Logo o lucro da empresa é máximo em b 0 x v = xv = xv =,5. a ( 4) Questão 4 0. A figura a seguir representa uma trilha com as 8 peças do jogo de dominó. No jogo de dominó uma trilha é uma linha formada por peças que se casam : nas ligações, as duas partes sempre devem ter o mesmo número de pontos. Se a trilha representada na figura começa com o número três, então ela também termina com o número três m é a área da figura resultante das instruções a seguir: a ) Ande 0 m; a ) Gire 90º para a esquerda; a ) Ande 0 m; 4 a ) Gire 0º para a esquerda; 5 a ) Ande 0 m; 6 a ) Gire 0º para a esquerda; 7 a ) Ande 0 m; 8 a ) Gire 0º para a esquerda; 9 a ) Ande 0 m. 04. A figura a seguir representa a tesoura do telhado de uma casa. A telha que vai ser usada é a telha francesa, que exige uma inclinação de pelo menos 40% para que a água das chuvas escoe. Essa inclinação de 40% é obtida da seguinte maneira: partindo da extremidade para o topo do telhado, para cada metro na horizontal, sobe-se 40% de metro na vertical. Portanto, o comprimento da viga AC é 9 m.

7 C A M 0 m B 08. Os 00 quartos de um hotel serão numerados de a 00 utilizando placas do tipo:,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0. Para efetuar esta numeração serão necessárias ao todo 90 placas. Questão 4 Gabarito: 05 (0 + 04) Número de acertos: 956 (,97%) Grau de dificuldade previsto: médio Grau de dificuldade obtido: médio Proposições Percentual de 48, 8,4 56,0 4, 0,04 0,0 0 incidência (%) O percentual de candidatos que obtiveram acerto total nesta questão ficou muito aquém do esperado, frente ao fato de que os temas envolvidos nas proposições são, realmente, básicos do Ensino Fundamental, como números pares e ímpares, sistema de numeração decimal e geometria plana. Apenas,97% responderam corretamente, com um correlato espalhamento, distribuído entre várias respostas. Listando por ordem decrescente das preferências as respostas, têm-se: 04 7,09%; 0,5%; 08 9,0%; 06 (0+04) 8,7%; 09 (0+08) 7,66%; (04+08) 5,90%; 0 4,97%; 0 (0+0),84%; 07 (0+0+04),5% e 0 (0+08),%. Como se pode verificar através dos índices das respostas 0 e 04, na dúvida, os candidatos optam pelo acerto parcial. A proposição correta 0 obteve 48,% da preferência dos candidatos, ela tratava de números pares e ímpares aplicados ao jogo de dominó. Portanto, um tema que desde muito cedo está constantemente presente na vida dos candidatos assim como o jogo de dominó, que em geral está presente em praticamente todas as faixas etárias, desde a infância até a terceira idade. Para resolver a proposição 0 o candidato deveria levar em conta que o número três, como os outros, aparece oito vezes numa trilha completa. Como ele começa a trilha, sobram sete números três. No miolo da trilha, por causa dos casamentos, ele aparece um número par de vezes, ou seja, seis vezes. Logo, sobra o número três para o fim da trilha. O fato tanto da resposta 0 como da proposição 0 terem alcançado os índices acima levanta uma questão para reflexão: Será que os candidatos aplicaram seus conhecimentos matemáticos? Aqui surge outra questão interessante para reflexão: Os candidatos utilizaram seus conhecimentos acadêmicos (par ou ímpar) ou do senso comum (jogar dominó), ou ainda ambos para resolver a proposição? No caso da proposição correta 04, esperava-se um índice superior aos 55% obtidos, tendo em vista que porcentagem e Teorema de Pitágoras são temas muito explorados ao longo de toda Educação Básica dos candidatos. Para resolver a proposição 40 faz-se: med( CM ) = 5 med( CM ) = m. A seguir tem-se: 00

8 ( med( AM ) + ( med( CM ) med( AC) = ( 5) + ( ) med( AC) = m ( med ( AC)) = 9. As grandes responsáveis pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foram as indicações das proposições 0 e 08 como corretas, que obtiveram 8,4% e 4,% da preferência dos candidatos, respectivamente. Provavelmente, a maior dificuldade dos candidatos na proposição 0 foi seguir as instruções dadas no enunciado e orientar-se geometricamente, isto é, fazer a passagem da linguagem materna para a linguagem matemática. Seguindo as instruções do enunciado, o candidato chegaria à figura, composta por um triangulo eqüilátero (I) junto a um quadrado (II). A seguir o candidato poderia determinar a área A dada por era falsa, pois A = A I + A e compará-la a II 5 5 (,7) A 00 II = m >. m, ou simplesmente, verificar que a proposição É surpreendente o fato de que quase 5% dos candidatos tenham considerado esta proposição como correta, tendo em vista o nível elementar do tema envolvido e a simplicidade da situação-problema proposta, que era calcular o número de placas do tipo: ~, ~ ~, ~,4 ~,5 ~,6 ~,7 ~,8 ~,9 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ e 0 ~ para numerar os 00 quartos de um hotel. Ora, para numerar os ~ nove primeiros quartos, de a 9, serão necessárias 9 placas. Do 0 ao 99, são noventa quartos, sendo que em cada um serão utilizadas placas. Portanto, para esses 90 quartos serão necessários 80 placas. Para o quarto de número 00, serão necessárias mais placas. Logo, ao todo, têm-se = 9 placas e não 90 conforme afirma a proposição. Questão 5 Na figura a seguir determine a medida do segmento AB, em cm, sabendo que sen a = 0,6. B a C a 00 cm. A Assinale o resultado encontrado no cartão-resposta.

9 Questão 5 Gabarito: 96 (questão aberta) Número de acertos: 556 (8,6%) Grau de dificuldade previsto: médio Grau de dificuldade obtido: difícil A questão envolve alguns dos principais objetivos do estudo da trigonometria no Ensino Fundamental e Médio como: resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as razões trigonométricas. O grau de dificuldade obtido vem confirmar um fato, já apontado em relatórios de anos anteriores, de que a Trigonometria é um dos tópicos que os candidatos têm mais dificuldades de resolver, seja nos vestibulares ou nas Escolas, ainda mais quando a questão envolve vários aspectos sobre o tema. O que chama atenção na análise dos resultados obtidos nesta questão é o fato de que mais de 90% dos candidatos tiveram dificuldades de trabalhar com esses conceitos básicos de trigonometria. Além da resposta correta 96 com 8,6%, outras três respostas predominaram no quadro de freqüência, que são: 60,9%; 80 0,89% e 50 4,07%. Como se pode observar, as respostas 60 e 80 superaram inclusive o índice da resposta correta da questão. Por tratar-se de uma questão aberta, a probabilidade de acerto casual é reduzida, assim como a possibilidade de se fazer uma inferência a respeito dos possíveis raciocínios desenvolvidos pelos candidatos. É provável que os candidatos que responderam 60, tenham feito x simplesmente: senα = 0,6 00= x x= 60cm, sem dar a devida atenção ao fato de 00 que o ângulo considerado era de α. No caso da resposta 80, é possível que os candidatos tenham feito: sen α + cos α = ( 0,6) + cos α = cosα = 0, 8. A seguir, calcularam y equivocadamente y em vez de x, fazendo: cos α = y= 0,8 00 y= 80 conforme a 00 figura abaixo. Finalmente, o motivo que levou os candidatos a darem 50 como resposta não aparece de forma clara. A hipótese mais plausível é de que eles tenham se baseado no desenho fornecido e sido impulsionados pela sua intuição visual, considerando o lado AB como a metade de 00 cm. Outra possibilidade é que os candidatos talvez tenham construído uma escala a partir das medidas dadas no desenho e depois a compararam com o lado desconhecido. A seguir são apresentadas duas maneiras pelas quais os candidatos poderiam resolver corretamente a questão. A partir da figura ao lado tem-se: ª Maneira a) sen α + cos α = ( 0,6) + cos α = cosα = 0, 8 y b) cos α = y= 0,8 00 y= 80cm 00 x c) senα = x= 0,6 60 x= 96cm 60 ª Maneira a) sen α + cos α = ( 0,6) + cos α = cosα = 0, 8 x x b) sen α = senα cosα = x= ( 0,6) ( 0,8) 00 x= 96cm

10 Questão 6 0. Considere duas caixas-d água de mesma altura: uma em forma de cubo e a outra, em forma de paralelepípedo retângulo com área da base de 6 m. Se o volume da caixa cúbica tem 4 m a menos que o volume da outra caixa, então a única medida possível da aresta da caixa cúbica é m. 0. É possível construir um poliedro regular, utilizando-se seis triângulos eqüiláteros. 04. Na figura, estão representados três sólidos e, na figura, estão representadas três planificações. Fazendo corresponder cada sólido com sua planificação, tem-se a relação A, B e C. figura figura A B C 08. Um retângulo, quando girado em torno de seu lado maior, descreve um cilindro cujo volume tem 4π cm. Se o lado maior do retângulo mede o dobro da medida do lado menor, então a área desse retângulo é de 7 cm. Questão 6 ANULADA Questão 7 π 0. O gráfico que representa a função trigonométrica f ( t ) = sen( t+ ), t, é: f(t) t - -

11 0. Um estudo do impacto ambiental provocado pelo desmatamento de uma região prevê t 0 4 que a quantidade de pássaros de certa espécie irá diminuir segundo a lei: n( t ) = n. 5 em que n 0 (n 0 > 0) é a quantidade estimada de pássaros antes do início do desmatamento e n(t) é a quantidade existente t anos depois. Então o tempo necessário para que a população de pássaros dessa espécie se reduza à oitava parte da população no início do desmatamento é de 7,5 anos. 04. Um produto que custa hoje R$ 00,00 terá seu preço reajustado em % a cada mês. Fazendo-se uma tabela do preço deste produto, mês a mês, obtém-se uma progressão geométrica de razão, São dados dois arcos de 60º. Um está sobre uma circunferência de 4 cm de diâmetro e o outro, sobre uma circunferência de 6 cm de diâmetro. Comparando os comprimentos desses arcos, pode-se afirmar que o primeiro é o maior. 6. Uma das aplicações dos logaritmos é na medida da intensidade de terremotos. Na E escala Richter, a intensidade I de um terremoto é definida por: I= log, em que E é a energia liberada pelo terremoto, em kwh, e E 0 E 0 = 0 kwh. Assim, aumentando em uma unidade a intensidade do terremoto, a energia liberada fica multiplicada por 00. Questão 7 Gabarito: 06 (0+04) Número de acertos: 760 (,0%) Grau de dificuldade previsto: difícil Grau de dificuldade obtido: médio Proposições Percentual de 5,0 4, 60,, 44,0 0,0 0 incidência (%) A questão envolve a aplicação de conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Médio, gráficos de funções trigonométricas, equações exponenciais, progressões geométricas, medida do comprimento de arcos e equações logarítmicas. Nesta questão, o grau de dificuldade previsto pela banca se confirmou como pode ser observado a partir das freqüências das diversas respostas dos candidatos: 04 7,6%; 0 (04+6) 8,78%; 6 6,4%; 8 (0+6) 5,9%; (0+04+6) 5,5%; e 0 4,96%. Novamente, percebe-se que, na dúvida, os candidatos optam pelo acerto parcial, assinalando apenas aquela(s) proposição(ões) que têm certeza, neste caso 0 e 04. A veracidade da proposição 0 era facilmente obtida, bastando ao candidato fazer: t t 5 5 n( t) = n0 n0 = n0 4 = t= 7,5anos. Da mesma forma, para a proposição 04, 8 8 n bastava ao candidato montar a seqüência (00;(,0) 00;(,0) 00;...;(,0).00;...) para

12 verificar que se tratava de uma progressão geométrica conforme afirmava a proposição. Como se pode observar, a grande responsável pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração da proposição 6 como correta, que obteve o alto índice de 4,97% da preferência dos candidatos. Para verificar que a proposição era falsa, bastava ao candidato E fazer: I = log subtraindo a segunda equação da primeira, tem-se E0 E I+ = log E0 = log E E E E log = log E = 0 0 E0 E E. Portanto, a proposição é falsa, pois E = E 0 E = 0 0E é diferente de E = 00E conforme afirma a proposição. É surpreendente o fato de que 5% e,% dos candidatos tenham considerado as proposições 0 e 08 como corretas, tendo em vista o nível elementar de dificuldade envolvido nas duas situações. No caso da proposição 0, bastaria ao candidato calcular π f ( 0) = sen( 0+ ) f (0) = para verificar que o gráfico apresentado não representava a função trigonométrica dada, pois f ( 0) =. Para verificar a veracidade ou não da proposição 08, não havia sequer a necessidade do candidato efetuar algum cálculo, bastava prestar atenção ao fato de que, se os dois arcos dados são de 60º, então o de maior comprimento está sobre a circunferência de maior raio e não ao contrário, como afirma a proposição. Questão 8 0. Em uma clínica médica trabalham cinco médicos e dez enfermeiros. Com esse número de profissionais é possível formar 00 equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e quatro enfermeiros. 0. Entre os anagramas da palavra ÁGUA, 6 começam por consoante. 04. A partir de pontos distintos marcados numa circunferência podem ser feitos 440 triângulos unindo-se três desses pontos. 08. Um dado (cubo de seis faces congruentes) perfeito, cujas faces estão numeradas de a 6, é lançado duas vezes sucessivamente. A probabilidade de que o produto dos pontos obtidos seja maior que é de /6. 6. O total de números pares que se obtém permutando os algarismos,,, 5, 5, 5 e 6 é 80. Questão 8 Gabarito: 4 (08+6) Número de acertos: 45 (,58%) Grau de dificuldade previsto: difícil Grau de dificuldade obtido: difícil

13 Proposições Percentual de 8, 49,0, 4,0 5, 0,0 0 incidência (%) A questão compreende cinco proposições típicas do Ensino Médio, envolvendo os conteúdos de Análise Combinatória e Probabilidade. O objetivo da questão era avaliar a capacidade dos candidatos de aplicar, na resolução de situações-problema, os conceitos de combinação simples, permutação com repetição e de probabilidade. Segundo os resultados obtidos, essa foi a questão da prova a ter o menor índice de acerto e, portanto a mais difícil. As expectativas da Banca a respeito do grau de dificuldade da questão se confirmaram, ou seja, os candidatos têm dificuldades em aplicar o seu raciocínio combinatório e probabilístico a situações-problema. No entanto, é surpreendente o fato de que mais de 96% dos candidatos tivessem dificuldades de trabalhar com estes temas que, além de serem muito explorados no Ensino Médio e nos vestibulares, são bastante aplicados em situaçõesproblema não só de Matemática como de outras disciplinas, como por exemplo o estudo de probabilidades na Biologia. Ao analisar o quadro de freqüência de respostas observa-se, além da resposta correta, um correlato espalhamento, distribuído entre várias respostas, que são em ordem decrescente de preferência: 0 6,9%; 0 (0+08) 9,4%; 08 9,0%; 6 5,9%; 04 4,7%; 0 (04+6),99%; 0,40% e (04+08),9%. Novamente, percebe-se que, na dúvida, os candidatos optam pelo acerto parcial, assinalando apenas aquelas proposições que têm certeza, neste caso 08 e 6, as quais obtiveram 4% e 5,% da preferência dos candidatos, respectivamente. A grande responsável pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 0 e 04 como corretas, que obtiveram índices de 49% e,%, respectivamente. A proposição 0 foi a proposição incorreta da prova a ter o maior índice de preferência dos candidatos. Talvez os candidatos que consideraram a proposição 0 como correta tenham feito simplesmente P =! 6, sem darem a devida atenção =! ao fato de que se trata de uma permutação com repetição e o resultado correto é P = =.! No caso da proposição 04, é provável que os candidatos tenham cometido algum erro ao!! fazer o cálculo C, = C, = 0, como por exemplo C, = C, = 440. A 9!! 9! proposição incorreta 0 obteve 8,% da preferência dos candidatos. Uma hipótese para que os mesmos tenham considerado esta proposição como correta é que tenham feito uso meramente manipulativo dos dados presentes no enunciado, aliando a isso um raciocínio equivocado e simplista da situação. Consideraram que uma equipe é formada de um médico e quatro enfermeiros, como são cinco médicos, fizeram 5 x 4 = 0, mas como são 0 enfermeiros, então colocaram 0 x 0 = 00. A respeito da proposição 08, bastaria ao candidato determinar o espaço amostral através da tabela abaixo: (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) (4,) (4,) (4,) (4,4) (4,5) (4,6) (5,) (5,) (5,) (5,4) (5,5) (5,6) (6,) (6,) (6,) (6,4) (6,5) (6,6) A seguir, calcular a probabilidade do evento, fazendo 6 e confirmando a veracidade da proposição. No caso da proposição 6, as expectativas da banca se confirmaram, ela foi a proposição correta da prova com maior grau de dificuldade, obtendo o menor índice da

14 preferência dos candidatos, 5,%. Para resolvê-la, o candidato deveria fazer:, 6! 6! P 6 + P6 = + = 0+ 60= 80.!!! Questão 9 0. O efeito estufa é a retenção de calor na Terra causada pela concentração de diversos tipos de gases na atmosfera. Segundo os cientistas, o resultado mais direto do efeito estufa será o aumento da temperatura do planeta em até 5,8 ºC ao final de 00 anos. Supondo que nos próximos 00 anos a temperatura do planeta aumente linearmente em função do tempo, então daqui a aproximadamente 4,4 anos haverá um acréscimo de ºC nessa temperatura. 0. A figura a seguir representa parte do mapa de um país, em que o ponto C(6,0) foi o epicentro de um terremoto cujos efeitos foram sentidos, no máximo, até um raio de 5 km. (Considere unidade linear do plano cartesiano correspondendo a km.) Com base na figura, pode-se afirmar que a região afetada pelo terremoto é representada, nesse sistema de eixos, pela inequação x + y + x+ 0. y 0 (6,0) x 04. Um projétil desloca-se no plano cartesiano e seus deslocamentos, em metros, na x = t+ 5 horizontal e na vertical, são descritos, respectivamente, pelas equações: y = t+ 6 em que t( t 0 ) representa o tempo em minutos. A distância percorrida pelo projétil entre o ponto A, para t = 0, e o ponto B, para t = 5 minutos, é de 0 metros. 08. Se, a partir de cada vértice de um cubo de madeira com x (x >) cm de aresta retirou-se um cubinho com cm de aresta, então o volume do bloco remanescente, em cm, após a retirada dos pequenos cubos, é V= ( x + x+ 4 )( x ).

15 Questão 9 Gabarito: 09 (0+08) Número de acertos: 984 (4,40%) Grau de dificuldade previsto: difícil Grau de dificuldade obtido: médio Proposições Percentual de 67,0 4,0,0 45,0 0, incidência (%) Nesta questão, esperava-se que o candidato aplicasse seus conhecimentos sobre geometria analítica, geometria espacial, polinômios e equações algébricas. Além da resposta correta 09 (0+08), outras respostas predominaram no quadro de freqüência, que são, em ordem decrescente de preferência: 0 4,8%; 05 (0+04) 7,57%; 08 6,0%; 0 (0+08) 5,8%; 0 (0+0) 5,50%; 0 5,4%; (0+0+08) 5,5%; ( ) 4,80%; 04 4,58%; 06 (0+04) 4,07% e (04+08),9%. O fato do índice da resposta 0 ser superior ao da resposta correta vem, novamente, reforçar a tese de que os candidatos preferem não arriscar e, na dúvida, optam pelo acerto parcial. A proposição 0 foi a proposição correta da prova a ter o maior índice de preferência dos candidatos (67%), pois tratava-se de uma situação que tanto poderia ser resolvida usando os conhecimentos de funções, em particular de função linear, como de geometria analítica, equação da reta que passa por dois pontos. A grande responsável pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 0 e 04 como corretas. Em relação à proposição 0, causa estranheza o fato de que 4% dos candidatos a tenham considerado como correta, já que bastava ao candidato utilizar a ajuda do formulário e desenvolver a inequação a seguir para verificar que: ( x 6) + ( y 0) ( 5) x + y x+ 0 x + y + x+ 0. No caso da proposição incorreta 04, também causa estranheza o índice que ela alcançou (%), pois envolvia dois tópicos elementares de geometria analítica, que são a aplicação da equação paramétrica de uma reta e o cálculo da distância entre dois pontos. O que mais surpreende em relação ao índice obtido é que, para verificar a veracidade ou não da proposição, bastava ao candidato aplicar os valores de t nas equações dadas para a obtenção dos pontos A (5,6) e B (0,), e a seguir aplicar a fórmula da distância entre dois pontos que estava no formulário para o cálculo da mesma. Uma possibilidade a ser considerada para que os candidatos tenham indicado esta proposição como correta é o uso meramente manipulativo dos dados presentes no enunciado aliado a algum erro grosseiro de cálculo, como por exemplo: d AB = ( 0 5) + ( 6) = 0 ou d AB = ( 0 + ) ( 5+ 6) = 0. No caso da proposição 08, esperava-se um índice superior aos 45%, já que para verificar sua veracidade bastava ao candidato utilizar-se do auxílio do formulário para determinar o volume de um cubo de aresta x cm. Como um cubo tem oito vértices e de cada um retirou-se um cubo de aresta cm, fica-se com: = x 8 cm. A seguir, o candidato deveria aplicar a propriedade distributiva V bloco V para verificar que Vbloco e V eram iguais, isto é, eram duas representações analíticas distintas do mesmo objeto matemático. ao produto = ( x + x+ 4)( x )

16 Questão 0 i j i 0. O elemento a 64 da matriz A = (a i j) de ordem 8, onde a i j = ( ) +, é. j 0. O triângulo ABC, cujas coordenadas dos vértices são A(0,0), B(0,) e C(0,0), tem 0 unidades de área. 04. Para duas matrizes A e B de mesma ordem, vale sempre: (AB) t = A t B t. 08. A matriz inversa da matriz A= é a matriz 5 A = O elemento b da matriz B = A t, onde A = (a i j) x, e a i j = i + j, é 8. Questão 0 Gabarito: 7 (0+6) Número de acertos: 068 (5,6%) Grau de dificuldade previsto: fácil Grau de dificuldade obtido: médio Proposições Percentual de 57,0 6,0 47,0 8,0 5,0 0,0 0 incidência (%) A questão compreende cinco proposições, envolvendo alguns dos principais objetivos do estudo de matizes e determinantes como: identificar os elementos de uma matriz e os tipos mais freqüentes de matrizes; reconhecer e aplicar as propriedades das operações com matrizes; determinar as matrizes transposta e inversa de uma matriz dada; calcular analiticamente a área de um triângulo utilizando o cálculo de determinante. A Banca considerou a questão fácil, mas acabou tendo grau médio de dificuldade. Essa foi a segunda questão mais fácil de toda a prova, demonstrando que o tema matrizes e determinantes é bem explorado no Ensino Médio. Embora considerado pelos estudantes como muito fácil, esperava-se um índice superior ao obtido pela questão. Por outro lado, fica a dúvida se o resultado seria o mesmo caso a Banca exigisse nas proposições uma aplicabilidade destes tópicos como ocorreu em outras questões da prova. Ainda que somente 5,6% dos candidatos tenham apontado como corretas apenas as proposições 0 e 6, estas proposições obtiveram um bom índice da preferência dos candidatos, 57% e 5%, respectivamente. Cabe destacar a facilidade com que ambas as proposições podiam ser resolvidas. No caso da proposição 0, o candidato deveria substituir os valores de i= 6 e i+ j i 6+ 4 (6) j = 4 em aij = ( ). a64 = ( ). obtendo 64 j 4 a = conforme afirmado no enunciado. Da mesma forma, na proposição 6, tem-se b = a, como a = () + = 8, então b = 8. A proposição 0 obteve índice de 5,7%, ou seja, mais de um quarto do total dos candidatos teve dificuldades de calcular a área do triângulo ABC, seja através do cálculo analítico com

17 aplicação do uso de determinante ou através da geometria plana utilizando o cálculo de áreas de figuras planas. Nesta questão, as outras respostas que predominaram no quadro de freqüência, foram: 0 e 7,97%; 04 7,0%; 05 (0+04) 5,66%; 0 (04+6) 5,8%; (04+08) 4,45%; 6 4,% e 08,95%. Mais uma vez, fica evidente no quadro de freqüência de respostas da prova a preferência dos candidatos de não arriscar e tirar proveito do acerto parcial, como se pode observar através dos índices das respostas 0 e 6. A grande responsável pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 04 e 08 como corretas, com 47% e 8% da preferência dos candidatos, respectivamente. A proposição 04 foi a proposição incorreta da prova com o segundo maior índice de preferência dos candidatos. Talvez a maioria dos candidatos que assinalou tal proposição como correta tenha aplicado de forma equivocada as propriedades das potências numéricas às matrizes, sem levar em conta as propriedades do produto de matrizes. No caso da proposição 08, bastava ao candidato fazer o produto da matriz A dada pela sua suposta inversa também dada A para verificar que o resultado é diferente da matriz identidade I e, portanto, a proposição era falsa.

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