Matemática Empresarial

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1 Matemática Empresarial

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3 Matemática Empresarial Márcia Castiglio da Silveira

4 Conselho Editorial EAD Dóris Cristina Gedrat (coordenadora) Mara Lúcia Machado José Édil de Lima Alves Astomiro Romais Andrea Eick Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil. Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores a emissão de conceitos. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora da ULBRA. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal. Márcia Castiglio da Silveira é natural de Porto Alegre, Rio Grande do Sul, nasceu em 25 de março de Formou-se professora das Séries Iniciais no Curso de Magistério em Ingressou na Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) em 1996, recebendo o diploma de Licenciada em Matemática em 30 de janeiro de Realizou o curso de Mestrado em Educação pelo Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (PPGEDU/UFRGS), no período Sua dissertação tem o título Produção de significados sobre Matemática nos cartuns. Em 2008, concluiu o curso de Especialização em Educação a Distância pelo Senac/RS. Iniciou sua carreira na docência como professora substituta na Faculdade de Educação da UFRGS, entre 2002 e Ainda em 2002, foi nomeada professora do Estado do Rio Grande do Sul, onde ainda trabalha como professora de Matemática no Ensino Médio. Desde 2004, é professora na Universidade Luterana do Brasil (ULBRA) em diversos cursos tecnológicos, de graduação e de extensão. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) S587m Silveira, Márcia Castiglio da. Matemática empresarial. / Márcia Castiglio da Silveira. Canoas: Ed. ULBRA, p. 1. Matemática empresarial. 2. Regra de arrendodamento. 3. Estatística. 4. Medida de variabilidade. 5. Juros. 6. Séries de pagamento. I.Título. CDU: Setor de Processamento Técnico da Biblioteca Martinho Lutero - ULBRA/Canoas ISBN Dados técnicos do livro Fontes: Antique Olive, Book Antiqua Papel: offset 90g (miolo) e supremo 240g (capa) Medidas: 15x22cm Impressão: Gráfica da ULBRA Março/2010

5 Sumário Apresentação Razão e proporção Grandezas proporcionais e regra de três Regras de arredondamento e porcentagem Estatística: conceitos básicos Medidas de tendência central Medidas de variabilidade Juros Descontos Estudo das taxas Séries de pagamento Referências...157

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7 Apresentação

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9 Apresentamos neste livro o conteúdo da disciplina de Matemática Empresarial. Ela contempla dois assuntos importantes: matemática financeira e estatística. Nos primeiros capítulos, revisamos conceitos básicos de razão, proporção, grandezas proporcionais e regra de três, pois esses são essenciais para o entendimento das relações entre as variáveis, tanto na matemática financeira quanto na estatística. Vamos ver diferentes modos de cálculos envolvendo porcentagens e os conceitos básicos de estatística, as tabelas, os gráficos e as medidas de tendência central e de variabilidade. Com relação à matemática financeira, vamos estudar os juros, os descontos, as taxas, as equivalências de capitais e as séries de pagamento. No estudo de matemática financeira, além das operações simples como multiplicações e divisões, são também realizadas operações como potenciação e radiciação. Assim, uma calculadora quatro operações é insuficiente para realizar as atividades propostas. Para operar com as fórmulas da matemática financeira precisamos no mínimo de uma calculadora científica. Além dela, podemos utilizar calculadoras financeiras (por exemplo, a HP-12C) e também a planilha de cálculo Excel. Por isso, ao longo do livro você vai encontrar dicas de como utilizar essas ferramentas de cálculo. Para complementar seus estudos, sugerimos alguns livros que apresentam os conteúdos de matemática financeira com o uso de calculadoras financeiras: BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, DAL ZOT, Willi. Matemática Financeira. 4. ed. rev. ampl. Porto Alegre: Ed. da Universidade da UFRGS, Apresentação 9

10 GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP 12c e Excel. São Paulo: Pearson Prentice Hall, KRUSE, Fábio. Matemática Financeira: conceitos e aplicações com uso da HP-12C. 2. ed. Novo Hamburgo : Ed. FEEVALE, 2005 Concluindo, cada aluno deve fazer uso da calculadora que melhor se adequar as suas necessidades. Bons estudos! Profª. Márcia Castiglio da Silveira Apresentação 10

11 1 Razão e proporção

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13 Existem conceitos bastante simples em matemática e que são fundamentais em problemas do dia-a-dia, além de servirem de base para outros conceitos matemáticos. Vejamos, neste capítulo, os conceitos de razão, proporção e divisão proporcional. 1.1 Razão De modo muito simples, em Matemática, razão significa divisão. Isto é: Razão é o quociente entre dois números. Vamos ver alguns exemplos nos quais podemos perceber a razão como um instrumento útil para comparar dois números. a) Em determinado período, enquanto a Revista ABC tem vendagem de exemplares, a Revista XYZ tem vendagem de exemplares. Calculando a razão entre a vendagem das revistas, temos: Revista ABC Revista XYZ = 5000 = Isso quer dizer que a Revista ABC vende 4 vezes mais que a Revista XYZ. b) Uma empresa realiza seleção de funcionários para preenchimento de 15 vagas. São inscritos para essa seleção 74 candidatos. Qual é a relação de candidatos por vaga? Calculando a razão entre o número de candidatos e o número de vagas, temos: nº de candidatos 74 = = 4, nº de vagas 15 Razão e proporção 13

14 Isso significa que existem 4, candidatos por vaga. Nesse caso, como a razão é um número decimal, podemos fazer uma aproximação e dizer que temos mais de 4 candidatos por vaga, ou ainda, que temos aproximadamente 5 candidatos por vaga. Conceito de Razão [1] Razão de dois números a e b, com b 0, é o quociente de a por b. Representação: a b ou a : b Lê-se: a está para b ou, simplesmente, a para b. Os termos a e b são chamados de antecedente e consequente, respectivamente. Assim, na razão 2, por exemplo, lê-se 2 está para 3 ou 2 para 3, em 3 que 2 é o antecedente e 3 é o consequente. 1.2 Razão inversa ou recíproca Duas razões são chamadas razões inversas ou recíprocas quanto o antecendente de uma é o consequente da outra, e vice-versa. Por exemplo: Razão e proporção As razões 2 e As razões 1 e 4 4 são inversas. são inversas. 4 Lembre-se que 4 é o mesmo que As razões e são inversas. (Não há nenhum problema se as duas razões forem negativas.)

15 É importante ressaltar que o número zero não possui razão inversa, pois zero pode ser antecedente, mas não pode ser consequente. Outra observação é que o produto de duas razões inversas é sempre 1 (um). Veja os exemplos: = = = = = = 1 (Lembre-se que menos vezes menos é mais.) Os conceitos de razão e de razão inversa são bastante simples e muito importante para fundamentar o conceito de proporção. 1.3 Proporção Uma proporção é a igualdade de duas razões. Desse modo, para que se tenha a igualdade, as duas razões devem representar a mesma quantidade. Por exemplo, 1 2 e 4 8 Para que fique claro, veja a ilustração abaixo: 1 4 formam uma proporção, pois =. 2 8 Razão e proporção 15

16 Como se pode notar, a parte destacada mais escura que representa 1 2 é igual à parte destacada que representa 4 8. Nesse caso, a fração 1 2 é considerada coeficiente de proporcionalidade ou constante de proporcionalidade. Usa-se a fração na sua forma irredutível, isto é, que não é mais simplificável, mas também está correto utilizar a forma decimal que, neste exemplo, é 0,5. Outros exemplos: 2 6 = o coeficiente de proporcionalidade é 1, pois as razões são equivalentes a = o coeficiente de proporcionalidade é 1, pois as razões são equivalentes a 1 5. Conceito de Proporção [2] Proporção é a igualdade de duas razões a e c b d (com a, b, c e d 0). Razão e proporção Representação: a c = ou a:b = c:d b d Lê-se: a está para b, assim como c está para d. Os termos a e d são chamados extremos e os termos b e c são chamados meios. 16

17 Assim, na proporção 2 = 4, por exemplo, lê-se 2 está para 3, assim como está para 6, em que 2 e 6 são extremos e 3 e 4 são meios. 1.4 Propriedade Fundamental das Proporções Para toda a proporção, vale a seguinte propriedade: O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e vice-versa. Por exemplo, na proporção 2 = 4, o produto dos meios (3 4) é igual 3 6 ao produto dos extremos (2 6) que é igual a 12. Veja na ilustração abaixo: 2 3 = 4 6 meios extremos 3 4 = = 12 Esta propriedade é muito importante para se calcular um termo desconhecido em uma proporção. Por exemplo, qual o valor de x na proporção x = 9? 4 2 Utilizando a propriedade fundamental das proporções, faz-se o produto dos meios (4 9) igual ao produto dos extremos (x 2), isto é: Razão e proporção 17

18 4. 9 = x. 2 (Preferimos utilizar o ponto como sinal de multiplicação.) 36 = 2x 2x = 36 (Preferimos trabalhar com a incógnita no 1º membro da equação, por isso trocamos o 1º com o 2º membro.) 2x 36 = (Simplificamos os dois membros por 2.) 2 2 x = 18 Assim, 18 é o termo desconhecido. Esta propriedade será utilizada na resolução dos problemas em que temos uma divisão proporcional e também nos problemas de regra de três. 1.5 Números proporcionais [3] Podemos comparar duas sucessões numéricas de números reais nãonulos (a, b, c, d,...) e (a, b, c, d,...) para saber se elas são sucessões de números direta ou inversamente proporcionais. Para ser diretamente proporcional, precisamos que: a b c d = = = =... = k, em que k é a constante de proporcionalidade. a' b' c' d' Para ser inversamente proporcional, precisamos que os números reais não-nulos a, b, c, d,... sejam diretamente proporcionais ao inverso dos Razão e proporção números a, b, c, d,..., ou seja, diretamente proporcionais a 1 a', 1 b', 1 c', 1,..., isto é: d' a b c d = = = =... = k, em que k é a constante de proporcionalidade a' b' c' d' 18

19 Isto equivale a: a.a' = b.b' = c.c' = d.d' =... = k. Vejamos dois exemplos: a) As sucessões (30, 45 e 60) e (2, 3 e 4) são diretamente proporcionais, pois: = = = é a constante de proporcionalidade. b) As sucessões (15, 10 e 6) e (2, 3 e 5) são inversamente proporcionais, pois: 15.2 = 10.3 = 6.5 = é a constante de proporcionalidade. 1.6 Divisão proporcional [4] Em algumas situações é necessário dividir um número em partes proporcionais ao invés de dividir em partes iguais. Por exemplo, quando duas ou mais pessoas se juntam em uma sociedade com atividade de fins lucrativos é justo que os lucros e os prejuízos sejam divididos entre elas proporcionalmente ao que cada uma investiu no negócio, ao invés de dividir igualmente. Por exemplo, imagine duas pessoas entrando em uma sociedade com os valores de R$ ,00 e R$ ,00. Transcorrido certo tempo, elas obtiveram R$ ,00 de lucro. É justo dividir proporcionalmente. Como cada pessoa investiu um valor diferente, cada uma delas irá receber um valor também diferente. Digamos que a pessoa que investiu R$ ,00 vai receber x e a que investiu R$ ,00 vai receber y. Ao total terão que receber R$ ,00, de onde, x + y = Razão e proporção 19

20 Para ser diretamente proporcional, x y = x+ y x = (Em uma proporção, podemos somar os antecedentes entre si e também somar os consequentes entre si que a constante de proporcionalidade se mantém.) x = (Trocamos x + y por ) x = x = ) (Propriedade Fundamental das Proporções) 50000x = (Simplificamos os dois membros por x = Como x + y = , então: y = y = y = Logo, a pessoa que investiu R$ ,00 terá direito a R$ ,00 e a pessoa que investiu R$ ,00 terá direito a R$ ,00. Atividades 1 Razão e proporção 1) Quais os valores de a e b na proporção a = b, sabendo que 2 3 a + b = 75? a) a = 30 e b = 45 b) a = 45 e b = As atividades deste capítulo foram adaptadas de PARENTE e CARIBÉ, 1996.

21 c) a = 40 e b = 35 d) a = 35 e b = 40 e) a = 25 e b = 50 2) Sabendo que x + y + z = 29, descubra os valores de x, y e z na proporção x y z = = a) x = 10, y = 16 e z = 3 b) x = 16, y = 10 e z = 3 c) x = 3, y = 10 e z = 16 d) x = 6, y = 13 e z = 10 e) x = 13, y = 6 e z = 10 3) No Distrito Federal, a relação entre o número de funcionários públicos e o número de habitantes, em 1989, era, aproximadamente de 2 : 45. Se, nessa época, a população do DF era de habitantes, o número de funcionários públicos pertence ao intervalo: a) entre 50 e 55 mil b) entre 55 e 60 mil c) entre 60 e 65 mil d) entre 65 e 70 mil e) entre 70 e 75 mil 4) Encontre os valores de x, y e z, sabendo que as sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são inversamente proporcionais com coeficiente de proporcionalidade k = 36. a) x = 4, y = 12 e z = 3 b) x = 4, y = 12 e z = 1 c) x = 12, y = 4 e z = 3 d) x = 3, y = 12 e z = 4 e) x = 1, y = 4 e z = 12 5) Duas pessoas formaram uma sociedade comercial e combinaram que o lucro da firma seria dividido em partes diretamente proporcionais Razão e proporção 21

22 às quantias investidas por cada uma na formação da sociedade. A primeira pessoa investiu R$ ,00 e a segunda R$ ,00. Sabendo que a sociedade rendeu R$ ,00, no final de um ano, calcule a parte desse lucro que caberá ao sócio que investiu R$ ,00. a) R$ 1.000,00 b) R$ 3.000,00 c) R$ 6.000,00 d) R$ 9.000,00 e) R$ ,00 6) O dono de uma indústria resolveu distribuir entre seus três gerentes uma gratificação de R$ ,00. Quanto coube a cada um, se a distribuição foi feita em partes de proporcionalidade composta, diretamente ao tempo de serviço de cada um e inversa aos seus salários? Gerente Tempo (anos) Salário (R$) A B C a) A = R$ ,00, B = R$ ,00 e C = R$ ,00 b) A = R$ ,00, B = R$ ,00 e C = R$ ,00 c) A = R$ ,00, B = R$ ,00 e C = R$ ,00 d) A = R$ ,00, B = R$ ,00 e C = R$ ,00 e) A = R$ ,00, B = R$ ,00 e C = R$ ,00 Razão e proporção 22 7) (Banco do Brasil) A e B fundaram uma sociedade. Três meses depois admitiram outro sócio, C. Sete meses depois da entrada do terceiro sócio C, aceitaram também o sócio D. Sabendo-se que todos entraram com capitais iguais, calcular a parte do sócio D no lucro de R$ ,00, verificado dois anos após a fundação da sociedade. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00

23 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Gabarito 1. (a); 2. (c); 3. (d); 4. (b); 5. (c); 6. (e); 7. (b) Referências [1] CRESPO, 1999, p. 11. [2] CRESPO, 1999, p. 13. [3] PARENTE, CARIBÉ, 1996, p [4] PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 28. Razão e proporção 23

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25 2 Grandezas proporcionais e regra de três

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27 Neste capítulo, vamos ver mais conceitos fundamentais para lidar com problemas matemáticos do cotidiano. Para melhor compreender a regra de três simples e também a regra de três composta, precisamos inicialmente saber identificar quando duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais. 2.1 Grandezas diretamente e inversamente proporcionais [1] Para iniciar, vamos entender o que vem a ser grandeza: Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido. Por exemplo: comprimento, tempo, força, massa, velocidade, área, volume, intensidade de som, entre outros. Além de ser medida, a grandeza é suscetível a variações, isto é, ela pode aumentar ou diminuir. Ao comparar duas grandezas, podemos classificá-las como diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais entre si. Para que duas grandezas sejam diretamente proporcionais, ao ocorrer o aumento do valor de uma, necessariamente ocorre o aumento do valor da outra seguindo a mesma proporção. Para que duas grandezas sejam inversamente proporcionais, ao ocorrer o aumento do valor de uma, necessariamente ocorre a diminuição do valor da outra seguindo a mesma proporção. Vamos ver um exemplo de cada situação: a) Grandezas tempo e distância são diretamente proporcionais. Um automóvel com velocidade constante de 80 km/h percorre: Grandezas proporcionais e regra de três 27

28 Tempo (h) Distância (km) Quando ocorre o aumento do tempo de viagem ocorre proporcionalmente o aumento da distância percorrida. As sucessões numéricas são diretamente proporcionais, então a razão entre os valores do tempo e os valores da distância é constante, isto é: = = = b) Grandezas tempo e velocidade são inversamente proporcionais. Um automóvel com velocidade constante de 50 km/h percorre certa distância em 7 horas e com velocidade constante de 70 km/h percorre a mesma distância em 5 horas. Velocidade (km/h) Tempo (h) Grandezas proporcionais e regra de três 28 Quando ocorre o aumento da velocidade do automóvel ocorre proporcionalmente a diminuição do tempo de viagem. As sucessões numéricas são inversamente proporcionais, então a razão entre os valores do tempo e os valores da distância é constante, isto é: = = = Regra de três simples [2] A regra de três é um conceito básico da Matemática que permite comparar duas grandezas direta ou inversamente proporcionais,

29 relacionando os seus valores em uma proporção, na qual três termos são conhecidos e um termo é desconhecido. Exemplo 1: Em uma fábrica, 300 operários produzem 9000 peças ao dia. Com a admissão de mais 100 operários, quantas peças serão produzidas ao dia? Em primeiro lugar, vamos considerar que a capacidade de cada funcionário é a mesma, ou seja, eles têm o mesmo rendimento, produzindo a mesma quantidade de peças por dia. As duas grandezas relacionadas neste problema são: número de operários e número de peças produzidas ao dia. Então, para facilitar, anotamos os dados em uma tabela: Nº de operários Nº de peças x Precisamos decidir se a relação entre as grandezas é direta ou inversamente proporcional. Veja que quanto mais aumenta o número de funcionários, mais peças serão produzidas ao dia. Então, como quando uma grandeza aumenta a outra grandeza também aumenta, a relação é diretamente proporcional. Basta montar a proporção, fazendo a razão entre o número de operários igual a razão entre o número de peças produzidas ao dia: = 400 x 300x = x = x = x = Grandezas proporcionais e regra de três Logo, com 400 funcionários a fábrica produz peças ao dia. 29

30 Exemplo 2: Para realizar a construção de uma casa, 24 pedreiros levaram 180 dias. Se, ao invés de 24 fossem 15 pedreiros, quantos dias eles levariam para construir a mesma casa? Novamente, vamos considerar que a capacidade de cada pedreiro seja a mesma, isto é, que eles têm o mesmo rendimento de trabalho. As duas grandezas relacionadas neste problema são: número de pedreiros e quantidade de dias para execução da obra. Então, para facilitar, anotamos os dados em uma tabela: Nº de pedreiros Nº de dias x Veja que quanto mais diminui o número de funcionários, mais dias serão necessários para a conclusão da obra. Então, como quando uma grandeza diminui a outra grandeza aumenta, a relação é inversamente proporcional. Quando a relação é inversa, para montar a proporção, fazemos a razão entre o número de pedreiros igual à razão inversa entre o número de dias: 24 x = x = Grandezas proporcionais e regra de três 30 15x = x 4320 = x = 288 Logo, com 15 pedreiros a obra vai levar 288 dias para estar concluída. 2.3 Regra de três composta [3] A regra de três composta nada mais é do que relacionar três ou mais grandezas, sendo que uma delas varia na dependência proporcional das outras.

31 Exemplo 1: Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo 14 operários produzirão, trabalhando 18 dias? As três grandezas relacionadas neste problema são: número de operários, número de peças produzidas e número de dias. Então, para facilitar, anotamos os dados em uma tabela: Nº de operários Nº de peças Nº de dias x 18 Na regra de três composta, relacionamos a grandeza que contém a variável com as demais grandezas. Comparando o número de operários com número de peças, note que quanto mais aumenta o número de operários, mais peças serão produzidas. Então, como quando uma grandeza aumenta a outra grandeza aumenta, a relação é diretamente proporcional. Comparando o número de peças com o número de dias, perceba que para produzir mais peças são necessários mais dias. Logo, como quando uma grandeza aumenta a outra grandeza aumenta, a relação é diretamente proporcional. Neste caso, para montar a equação, fazemos a razão entre o número de peças (grandeza em que temos a variável x) igual a razão entre o número de operários vezes a razão entre o número de dias: peças = x = x x = x = x = x = 5600 Logo, com 14 operários, trabalhando 18 dias, serão produzidas 5600 Grandezas proporcionais e regra de três 31

32 Exemplo 2: Se 20 operários levam 10 dias para levantar um muro de 2 metros de altura e 25 metros de comprimento, quantos dias levarão 15 operários para construir um outro (de mesma largura), mas com 3 metros de altura e 40 metros de comprimento? As quatro grandezas relacionadas neste problema são: número de operários, número de dias, altura e comprimento. Então, para facilitar, anotamos os dados em uma tabela: Nº de operários Nº de dias Altura (m) Comprimento (m) x 3 40 Grandezas proporcionais e regra de três Temos que relacionar a grandeza que contém a variável (nº de dias) com as demais grandezas. Comparando o número de operários com o número de dias, note que quanto mais aumenta o número de operários, menos dias serão necessários para a construção do muro. Então, como quando uma grandeza aumenta a outra grandeza diminui, a relação é inversamente proporcional. Comparando a altura com o número de dias, perceba que quanto mais alto for o muro mais dias serão necessários para a construção. Logo, como quando uma grandeza aumenta a outra grandeza aumenta, a relação é diretamente proporcional. Comparando o comprimento com o número de dias, veja que quanto mais comprido for o muro mais dias serão necessários para a construção. Assim, como quando uma grandeza aumenta a outra grandeza aumenta, a relação é diretamente proporcional. Neste caso, para montar a equação, fazemos a razão entre o número de dias (grandeza em que temos a variável x) igual à razão inversa entre o número de operários vezes a razão entre as alturas vezes a razão entre os comprimentos: 32

33 = x = x x = x = x = x = 32 Logo, 15 operários, para construir um muro de 3 metros de altura por 40 metros de largura levarão 32 dias. Atividades 2 1) Uma viagem seria feita em 12 dias percorrendo-se 150 km por dia. Quantos dias seriam necessários para fazer a mesma viagem percorrendo-se 200 km por dia? a) 6 dias b) 9 dias c) 12 dias d) 16 dias e) 18 dias 2) Um litro de água do mar contém 25 g de sal. Quantos litros de água devem ser evaporados para obtermos 8 kg de sal? a) 0,32 litros b) 3,2 litros c) 32 litros d) 320 litros e) 3200 litros Grandezas proporcionais e regra de três 2 As atividades deste capítulo foram adaptadas de PARENTE e CARIBÉ, 1996, e CRESPO,

34 3) Um certo rei mandou 30 homens plantar árvores em seu pomar. Se em 9 dias eles plantaram 1000 árvores, em quantos dias 36 homens plantariam 4400 árvores? (Proposto no Líber Abaci, do ano de 1202.) a) 17 dias b) 24 dias c) 33 dias d) 47 dias e) 53 dias 4) Se 6 datilógrafos, em 18 dias de 8 horas, preparam 720 páginas de 30 linhas, com 40 letras por linha, em quantos dias de 7 horas, 8 datilógrafos comporão 800 páginas, de 28 linhas por página e 45 letras por linha? a) 10 dias b) 12 dias c) 14 dias d) 16 dias e) 18 dias Grandezas proporcionais e regra de três 34 5) A produção de uma tecelagem era de 8000 m de tecido/dia. Com a admissão de mais 300 operários, a indústria passou a produzir m de tecido/dia. Qual era então o número de operários antes da admissão dos 300? a) 200 operários b) 300 operários c) 400 operários d) 500 operários e) 600 operários 6) (Banco do Brasil) Vinte e sete operários, trabalhando 8 horas diárias, durante 15 dias, fizeram um muro de 20 metros de comprimento, 1 metro e 80 centímetros de altura e 30 centímetros de espessura. Quantos operários seriam necessários para a construção de outro muro

35 de 30 metros de comprimento, 2 metros de altura e 27 centímetros de espessura, se eles trabalhassem 9 horas por dia, durante 18 dias? a) 27 operários b) 28 operários c) 29 operários d) 30 operários e) 31 operários 7) As dificuldades de dois trabalhos estão na razão de 3 para 4. Um operário, que faz 20 metros do primeiro trabalho, quantos metros fará do segundo, no mesmo tempo? a) 15 metros b) 16 metros c) 17 metros d) 18 metros e) 19 metros Gabarito 1. (b); 2. (d); 3. (c); 4. (e); 5. (c); 6. (d); 7. (a) Referências [1] PARENTE, CARIBÉ, 1996, p [2] PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 45. [3] PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 48. Grandezas proporcionais e regra de três 35

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37 3 Regras de arredondamento e porcentagem

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39 Este capítulo aborda as regras de arredondamento e o conceito de porcentagem. Os arredondamentos são necessários, pois os valores obtidos tanto nos cálculos de matemática financeira como nos cálculos estatísticos frequentemente são não-exatos, de modo que precisamos utilizar um valor aproximado. Já o conceito de porcentagem é fundamental nos cálculos estatísticos e as taxas de juros costumam ser dadas como uma taxa percentual. 3.1 Regras de arredondamento Para realizar contagens e numerações, utilizam-se, de modo exato, os números naturais (0, 1, 2, 3, 4,...) que são valores discretos ou descontínuos. Para realizar algumas outras medidas, utilizam-se escalas contínuas de tal forma que os valores, sendo não-exatos, precisam ser arredondados. A precisão da medida está relacionada ao número de casas decimais consideradas. Por exemplo, quando trabalhamos com moeda interessa uma aproximação em duas casas decimais. No caso do Real, uma aproximação em centavos. Desse modo, quando for necessário realizar um arredondamento de dados, utiliza-se a Resolução nº 886/66 da Fundação IBGE [1] : Tabela 1: De acordo com a Resolução nº 886/66 da Fundação IBGE, o arredondamento é efetuado da seguinte maneira: Condições Procedimentos Exemplos < 5 O último algarismo a permanecer fica inalterado. > 5 Aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer. 53,24 passa a 53,2 42,87 passa a 42,9 25,08 passa a 25,1 53,99 passa a 54,0 Regras de arredondamento e porcentagem 39

40 Condições Procedimentos Exemplos = 5 Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumentase uma unidade no algarismo a permanecer. Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. 2,352 passa a 2,4 25,6501 passa a 25,7 76, passa a 76,3 24,75 passa a 24,8 24,65 passa a 24,6 24,7500 passa a 24,8 24,6500 passa a 24,6 Fonte: Adaptado de CRESPO, 1998, p.174. De modo mais prático: Quando a condição for menor que 5, o último algarismo fica inalterado. Quando a condição for maior ou igual a 5, aumenta-se uma unidade no último algarismo a permanecer. Observações: Em todos os capítulos deste livro serão utilizadas as regras acima. Para evitar distorções, não devem ser feitos arredondamentos sucessivos, o melhor é fazer o arredondamento no final dos cálculos. Regras de arredondamento e porcentagem Usando uma calculadora As calculadoras científicas operam no modo algébrico, as calculadoras financeiras, como, por exemplo, a HP-12C operam no modo RPN. Ambas apresentam no visor valores arredondados, mas elas operam, internamente, com o máximo de precisão. Em uma calculadora financeira, podemos definir o número de casas decimais no visor, por exemplo, usando as teclas f (2) determinamos que serão usadas duas casas decimais. 40

41 Desse modo, ao fazer ( ) digitamos: 2 Enter no visor mostrará 66,67. Usando o Excel O Excel (planilha de cálculo do pacote Microsoft Office) possui uma função =ARRED(núm;núm_digitos) para arredondamentos. O exemplo acima poderia ser feito assim: Regras de arredondamento e porcentagem 41

42 3.2 Porcentagem [2] A expressão p%, que se lê p por cento, é chamada taxa percentual 3 e representa a razão p% = Assim, 5% = P % = % = P 100. (cinco por cento) (doze por cento) (trinta por cento) A taxa percentual pode ser transformada em taxa unitária, fazendo a P razão ser expressa na forma decimal. Isto é: % = 100 = 0,05 12% = = 0,12 Regras de arredondamento e porcentagem 30% = = 0, Cálculo direto de porcentagem Calcular p% de um valor x é multiplicar x por Exemplo: Calcule 15% de 800. É multiplicar 800 por 15%. P 100. Como 15% = 15 = 0,15, na prática, basta multiplicar por 0,15: Também é correta a expressão taxa porcentual.

43 800 0,15 = 120 Logo: 15% de 800 é Cálculo direto de acréscimo Acrescentar p% a um valor x é multiplicar x por um fator de correção f (maior que 1), dado por f = 1 + P 100. Exemplo: Um produto com preço R$ 150,00 tem seu valor reajustado em 18%. Calcule o seu novo preço. Valor inicial: 150 Acréscimo: 18%, então f = 1 + Valor final: 150 1,18 = 177 Logo: O seu novo preço será de R$ 177,00. P 100 = = 1 + 0,18 = 1, Cálculo direto de desconto Reduzir um valor x de p% é multiplicar x por um fator de correção f (menor que 1), dado por f = 1 P 100. Exemplo: Um produto com preço R$ 150,00 tem seu valor reduzido em 18%. Calcule o seu novo valor. Valor inicial: 150 Redução: 18%, então f = 1 P 100 = Valor final: 150 0,82 = 123 Logo: O seu novo valor é R$ 123,00. = 1 0,18 = 0,82 Regras de arredondamento e porcentagem 43

44 3.2.4 Cálculo direto de quanto por cento Para saber quanto por cento um valor x é de um valor y, calcula-se a razão entre x e y, ou seja, x y. Exemplo: 182 corresponde a quanto por cento de 650? Calcula-se a razão = 0,28 = = 28% Então, 182 corresponde a 28% de Cálculo do fator de correção f (correção) = valor final valor inicial Podem ocorrer três casos: f (correção) > 1, neste caso houve um acréscimo. f (correção) = 1, neste caso valor final é igual ao valor inicial. f (correção) < 1, neste caso houve uma redução. Regras de arredondamento e porcentagem Exemplo 1: Um equipamento teve seu valor reajustado de R$ 100,00 para R$ 125,00. Qual foi o percentual de acréscimo? f (correção) = 125 = 1,25 = 125% = 100% + 25% 100 Então, o percentual de acréscimo foi de 25%. Exemplo 2: Um produto com preço R$ 500,00 foi vendido por R$ 450,00. Qual o percentual de redução no preço deste produto? f (correção) = 450 = 0,9 = 90% = 100% 10% Então, o percentual de redução é de 10%.

45 3.2.6 Cálculo do fator acumulado f (% acumulado) = produto dos fatores Exemplo: Os índices semestrais de inflação em certo ano foram de 4,2% e 5,5%, respectivamente. Qual o índice de inflação nesse ano? f (% acumulado) = 1,042 1,055 = 1,09931 = 1 + 0,09931 = 100% + 9,931% Então, p% = 9,931% Cálculo do ganho real f (ganho real) = f (ganho nominal) f (inflação) Para f (ganho nominal) diferente de f (inflação) podem ocorrer dois casos: f (ganho real) > 1, neste caso, houve um ganho real. f (ganho real) < 1, neste caso, houve uma perda real. Exemplo 1: Uma aplicação semestral foi remunerada à taxa de 30%. Se nesse período a inflação foi de 25%, qual o ganho real desse investimento? f (ganho real) = 1,30 1,25 = 1,04 Então, ganho real é de 4%. Exemplo 2: Com uma inflação anual de 12% admitindo-se que o salário foi corrigido em 8%, qual a variação real do poder de compra de um assalariado? f (ganho real) = 1,08 1,12 = 0,9643 Regras de arredondamento e porcentagem 45

46 Como 0,9643 é menor que 1, houve uma perda é de 1 0,9643 = 0,0357 = 3,57% Então, a perda real é de 3,57%. 3.3 Imposto de Renda [3] Vamos ver o exemplo de contribuição ao Imposto de Renda (IR) como uma aplicação dos cálculos de porcentagem. Como o cálculo da contribuição ao IR é feito sobre o salário bruto menos a contribuição ao Instituto Nacional do Seguro Social (INSS), vamos conhecer primeiro como é calculada a contribuição ao INSS. Mensalmente, os trabalhadores segurados pelo INSS pagam uma alíquota proporcional ao seu salário bruto, seguindo normas estabelecidas. Este valor vem descontado em sua folha de pagamento. Veja abaixo as alíquotas válidas a partir de 1º de março de Tabela 2: Tabela de contribuição dos segurados empregados, empregado doméstico e trabalhador avulso, para remuneração a partir de 1º de março de Salário-de-Contribuição (R$) Alíquota para fins de recolhimento ao INSS até 911,70 8,00% Regras de arredondamento e porcentagem de 911,71 até 1.519,50 9,00% de 1.519,51 até 3.038,99 11,00% Fonte: Portaria nº 77, de 12 de março de 2008 Existe um valor máximo de contribuição, também denominado teto de contribuição. Para esse período a partir de 1º de março de 2008 o teto foi fixado em R$ 334,28. Vamos ver alguns exemplos: 46

47 Exemplo 1: Um trabalhador com salário bruto de R$ 750,00 está na primeira faixa de contribuição, sendo a alíquota de 8%. Calculando: % = 60 Este trabalhador contribui com R$ 60,00. Exemplo 2: Outro trabalhador com salário bruto de R$ 2.500,00 está na segunda faixa de contribuição, sendo a alíquota de 11%. Calculando: % = 275 Este trabalhador contribui com R$ 275,00. Depois de descontada a contribuição ao INSS, é descontado o Imposto de Renda. O desconto desse imposto segue uma tabela anualmente atualizada pelo governo federal e publicada no Diário Oficial. Vamos citar abaixo a tabela válida para Tabela 3: Tabela Progressiva Mensal 2008 Base de Cálculo (R$) Alíquota (%) Parcela a Deduzir do IR (R$) Até 1.372, De 1.372,82 até 2.743, ,92 Acima de 2.743,25 27,5 548,82 Fonte: Receita Federal. Disponível em: Leis/2007/lei11482.htm. Acesso em 12/12/08. Exemplo 1: O trabalhador com salário bruto de R$ 750,00 e contribuição ao INSS de R$ 60,00, terá como salário líquido parcial = 690. Então, R$ 690,00 é menos que R$ 1.372,81, por isso este trabalhador é isento. Exemplo 2: O trabalhador com salário bruto de R$ 2.500,00 e contribuição ao INSS de R$ 275,00, terá como salário líquido parcial = R$ 2.225,00 está na segunda faixa, na qual a alíquota do imposto é de 15%. Então, % = 244,75. Regras de arredondamento e porcentagem 47

48 Do valor R$ 244,75 deduzir a parcela R$ 205,92: 244,75 205,92 = 38,83 Salário líquido: ,83 = 2186,17. Exemplo 3: O trabalhador com salário bruto de R$ 5.000,00 terá como contribuição ao INSS o teto de R$ 334,28 e seu salário líquido parcial ,28 = 4665,72. R$ 4.665,72 está na terceira faixa, na qual a alíquota do imposto é de 27,5%. Então, 4665,72. 27,5% = 1283,073, arredondando R$ 1.283,07. Do valor R$ 1.283,07 deduzir a parcela R$ 548,82: 1283,07 548,82 = 735,25 Salário líquido: 4665,72 735,25 = 3930,47. Atividades 4 Regras de arredondamento e porcentagem 1) Qual a porcentagem de desconto que a loja está dando na venda de uma jaqueta de couro de R$ 260,00 por R$ 221,00? a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 17% 2) Sobre o trabalho noturno feminino, consta na Consolidação das Leis do Trabalho (CLT): Cada hora do período noturno de trabalho das mulheres terá 52 minutos e 30 segundos. Levando-se em conta que uma funcionária trabalha das 22h às 5h do dia seguinte, qual será, aproximadamente, o percentual de acréscimo do seu salário nesse período? 48 4 As atividades deste capítulo foram adaptadas do Banco de Questões Super Pro da Interbits.

49 a) 10,2% b) 12,1% c) 14,3% d) 16,3% e) 18,4,% 3) O salário de um trabalhador passou de R$ 840,00 para R$ 966,00. Qual foi a porcentagem de aumento? a) 14% b) 15% c) 16% d) 18% e) 19% 4) A diferença entre o preço de venda anunciado de uma mercadoria e o preço de custo é igual a R$2,00. Se essa mercadoria for vendida com um desconto de 10% sobre o preço anunciado, dará ainda um lucro de 20% ao comerciante. Determinar seu preço de custo. a) R$ 6,00 b) R$ 6,60 c) R$ 6,90 d) R$ 7,20 e) R$ 7,50 5) A população de uma certa cidade crescerá 10% a cada ano por 4 anos. A porcentagem de crescimento da população após esse período é de, aproximadamente, a) 10% b) 20% c) 24% d) 40% e) 46% 6) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Regras de arredondamento e porcentagem 49

50 Porém ele prepara a tabela de preços de venda, acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo? a) 10 % b) 15 % c) 20 % d) 25 % e) 36 % 7) 95% da massa de uma melancia de 10 kg é constituída por água. A fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas água) até que a participação da água na massa da melancia se reduza a 90%. A massa da melancia após esse processo de desidratação será igual a: a) 5/9 kg b) 9/5 kg c) 5 kg d) 9 kg e) 9,5 kg Regras de arredondamento e porcentagem Gabarito 1. (d); 2. (c); 3. (b); 4. (a); 5. (e); 6. (c); 7. (c) Referências [1] CRESPO, 1998, p [2] MORGADO, CESAR, [3] ARAÚJO, 2006, p

51 4 Estatística: conceitos básicos

52

53 Veja como Cordani [1] explica o que é Estatística: O verbete Estatística foi introduzido no século XVIII, com origem na palavra latina status (Estado), e serviu inicialmente a objetivos ligados à organização político-social, como o fornecimento de dados ao sistema de poder vigente, provavelmente para cobrança de impostos e registros de nascimento e morte. Hoje em dia a metodologia estatística é utilizada em diferentes contextos, como testes ligados ao desempenho escolar, pesquisas eleitorais, estudos financeiros, controle de qualidade, análises de crescimento de doenças, taxas populacionais, data mining, índices de desenvolvimento, índices de desemprego, modelagem de fenômenos da natureza etc. Assim, de maneira geral, pode-se dizer que a Estatística surgiu da necessidade de organizar dados e informações para o Estado. No Brasil, os dados são coletados, organizados e divulgados pelo IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística [2], órgão federal subordinado ao Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão. Os jornais e revistas apresentam dados estatísticos apresentados em tabelas ou em gráficos. Para compreensão destas informações, as pessoas devem ser capazes de ler e interpretar tabelas e gráficos. Assim, neste capítulo, vamos conhecer as características das tabelas e dos diferentes tipos de gráficos. 4.1 Tabelas As tabelas são quadros que resumem um conjunto de dados observados. Em uma tabela, temos: a. corpo conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre a variável em estudo; b. cabeçalho parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas; Estatística: conceitos básicos 53

54 c. coluna indicadora parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas; d. linhas retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas; e. casa ou célula espaço destinado a um só número; f. título conjunto de informações, as mais completas possíveis, respondendo às perguntas: O quê?, Quando?, Onde?, localizado no topo da tabela. Há ainda a considerar os elementos complementares da tabela, que são a fonte, as notas e as chamadas, colocados, de preferência, no seu rodapé. Fonte: CRESPO, 1998, p. 25. Exemplo: Estatística: conceitos básicos 54 Fonte: CRESPO, 1998, p. 26 Para nosso estudo, interessa conhecer as tabelas de distribuição de frequências. Vamos ver tabelas de distribuição de frequências para dados nãoagrupados e tabelas de distribuição de frequências para dados agrupados. Vamos supor que a Empresa ABC deseje contratar um plano de saúde para seus funcionários e que para isso precise conhecer se seus funcionários são mais jovens ou mais velhos. Para isso, foi anotada a idade

55 de cada funcionário e organizada em ordem crescente, como mostrado abaixo: Tabela 1: Idade dos funcionários da Empresa ABC Fonte: Hipotética A partir destes dados, pode ser organizada uma tabela de distribuição de frequências, anotando em uma coluna a variável idade e na outra a frequência com que esta idade ocorre entre os funcionários: Tabela 2: Frequência de idade dos funcionários da Empresa ABC Idade (anos) Frequência Estatística: conceitos básicos

56 Idade (anos) Frequência A tabela acima apresenta os dados não-agrupados, no entanto, ele não é prático, na medida em que apresenta cada uma das idades que ocorre na população (funcionários da Empresa ABC). Assim, podemos apresentar a tabela de outro modo, criando intervalos de idades. Em estatística, os intervalos são denominados classes. Para definir quantas classes teremos, podemos calcular k = n, em que n é o número de elementos da amostra e 5 k 20, isso porque com menos de 5 classes pode-se perder muita informação ou com mais de 20 classes pode-se ter detalhamento desnecessário. Na verdade, este é um cálculo feito apenas para dar alguma referência a quem está organizando a tabela, mas não é um valor determinante 5. No exemplo acima, k = 25 = 5. Então fazemos 5 classes. Depois disso, precisamos calcular a amplitude total (H) que é a variação total dos dados da amostra. H = L s L i Em que: L s é o limite superior da distribuição de frequências. L i é o limite inferior da distribuição de frequências. Estatística: conceitos básicos No exemplo, H = L s L i = = 39 A partir daí, vamos calcular a amplitude da classe (h) que é a variação dentro de cada uma das classes: 56 5 Existem outras regras, como a regra de Sturges, que calcula k = 1 + 3,3. log n, mas também não é uma determinação, vai depender de um julgamento pessoal.

57 H h = k 39 h = 5 h = 7,8 Então, para usar números inteiros, vamos fazer classes com variação de 8 anos e colocar na primeira coluna (Idade em anos). Tabela 3: Frequência de idade dos funcionários da Empresa ABC Idade (anos) Ponto médio da classe Frequência absoluta (f i ) Frequência absoluta acumulada (F i ) Frequência relativa (fr i ) Frequência relativa acumulada (Fr i ) , 08 8% 25 = = 2 0, 08 8% 25 = = ,40 40% 25 = = 12 0,48 48% 25 = = ,16 16% 25 = = 16 0, 64 64% 25 = = ,20 20% 25 = = 21 0,84 84% 25 = = ,16 16% 25 = = % 25 = = Na segunda coluna (Ponto médio da classe), calcularmos o valor que representa a classe. Ele é a média entre o limite inferior e o limite superior de cada classe. Por exemplo, na primeira classe (26 34) a média é calculada por = 30 e assim por diante. 2 Estatística: conceitos básicos 57

58 Importante, o símbolo significa que o intervalo é fechado a esquerda e aberto a direita, ou seja, na primeira classe (26 34) o 26 está e o 34 não está na primeira classe. Na terceira coluna (Frequência absoluta - fi), calculamos a frequência de ocorrência em cada classe. Na quarta coluna (Frequência absoluta acumulada - Fi), calculamos o somatório das frequências ocorridas até a classe em que estamos. Na quinta coluna (Frequência relativa - fri), calculamos a razão entre a frequência absoluta e o total de elementos. Na sexta coluna (Frequência relativa acumulada - Fri), calculamos o somatório das frequências relativas ocorridas até a classe em que estamos. 4.2 Gráficos [3] Os gráficos apresentam os dados estatísticos de modo rápido para uma leitura visual. Eles podem ser de diferentes tipos: linhas, colunas, barras, setores e outros Gráfico de linhas Estatística: conceitos básicos Os gráficos de linhas também são conhecidos como gráficos de segmentos, ou gráficos em curva. Esse tipo é utilizado, principalmente, quando a intenção é verificar a variação de um valor em tempos distintos ou para estimar valores entre dois pontos quaisquer. Para construir o gráfico, utilizamos os eixos cartesianos e marcamos pontos representados pelo par ordenado (x, y). Exemplo: Suponhamos que uma livraria fez o levantamento dos livros vendidos durante os seis primeiros meses de 2008, obtendo os seguintes resultados: 58

59 Tabela 4: Número de livros vendidos Mês Número de livros vendidos Janeiro/ Fevereiro/ Março/ Abril/ Maio/ Junho/ Fonte: Hipotética Gráfico 1: Número de livros vendidos Fonte: Hipotética A inclinação de cada segmento indica se houve crescimento, decréscimo ou estabilidade entre um mês e outro. Por exemplo: De janeiro para fevereiro houve um decréscimo nas vendas. De março para abril houve uma estabilidade nas vendas. De fevereiro a março houve um acréscimo nas vendas. Estatística: conceitos básicos 59

60 Gráfico de colunas ou de barras Este tipo de gráfico representa os valores usando retângulos que podem ser dispostos verticalmente (colunas) ou horizontalmente (barras). Exemplo: Imagine que uma empresa avaliou o desempenho de seus funcionários e chegou ao seguinte resultado: Tabela 5: Desempenho dos funcionários Desempenho Número de funcionários Ótimo 15% Bom 65% Regular 15% Insuficiente 5% Fonte: Hipotética Estatística: conceitos básicos Gráfico 2 (em colunas): Desempenho dos funcionários Note que quando o gráfico é de colunas, a altura de cada retângulo varia de acordo com a frequência que ele representa em cada categoria. Usando o mesmo exemplo, veja como ficaria o gráfico de barras: 60

61 Gráfico 3 (em barras): Desempenho dos funcionários Observe que quando o gráfico é de barras, o comprimento de cada retângulo varia de acordo com a frequência que ele representa em cada categoria. Tanto no gráfico de colunas como o gráfico de barras, mantêm os retângulos espaçados uns dos outros Gráfico de setores O gráfico de setores, também conhecido como gráfico pizza, mostra a contribuição de um valor para um total. Usa-se um círculo para representar o total e cada categoria é representada por um setor do círculo, isto é, por uma fatia da pizza. É comum usar esse tipo de gráfico quando se tem poucas categorias e quando os valores são dados em porcentagem. Para calcular o tamanho de cada setor, usa-se uma regra de três simples e direta, lembrando que 360º corresponde a 100%. Exemplo: Vamos considerar uma empresa divida em três setores distintos, cada um deles contribuindo com os lucros. Estatística: conceitos básicos 61

62 Tabela 6: Lucros da empresa por setor Setor Contribuição nos lucros A 55% B 25% C 20% Fonte: Hipotética Contribuição nos lucros por setor 20% 25% 55% A B C Gráfico 4: Contribuição nos lucros por setor Estatística: conceitos básicos 62 Observe que como o setor do círculo azul é maior, podemos visualmente concluir que o setor A contribui mais que os setores B e C para os lucros da empresa. Além disso, é possível perceber que o setor A contribui com mais da metade dos lucros, pois sua região é maior que a metade do círculo Histograma O histograma é usado quando os dados são agrupados em classes (intervalos). A representação é feita por retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe.

63 Exemplo: Vamos usar a tabela apresentada anteriormente que apresenta a frequência de idade dos funcionários da Empresa ABC: Tabela 7: Frequência de idade dos funcionários da Empresa ABC Idade (anos) Ponto médio da classe Frequência absoluta (f i ) Histograma 1: Frequência de idade dos funcionários da Empresa ABC Estatística: conceitos básicos 63

64 4.2.5 Pictograma Os pictogramas têm uma fácil compreensão. São gráficos cuja representação gráfica utiliza figuras e imagens relacionadas ao assunto do gráfico. Exemplos: Pictograma 1: Pictograma da venda anual de lâmpadas em um supermercado Fonte: Imagem disponível em estudio/matematica2.html. Atividades 6 Estatística: conceitos básicos 64 1) (ENEM 2003) O tempo que um ônibus gasta para ir do ponto inicial ao ponto final de uma linha varia, durante o dia, conforme as condições do trânsito, demorando mais nos 6 As atividades deste capítulo foram adaptadas do Banco de Questões Super Pro da Interbits.

65 horários de maior movimento. A empresa que opera essa linha forneceu, no gráfico abaixo, o tempo médio de duração da viagem conforme o horário de saída do ponto inicial, no período da manhã. De acordo com as informações do gráfico, um passageiro que necessita chegar até as 10h30min ao ponto final dessa linha, deve tomar o ônibus no ponto inicial, no máximo, até as: a) 9h20min b) 9h30min c) 9h00min d) 8h30min e) 8h50min 2) (ENEM 2004) O excesso de veículos e os congestionamentos em grandes cidades são temas de frequentes reportagens. Os meios de transportes utilizados e a forma como são ocupados têm reflexos nesses congestionamentos, além de problemas ambientais e econômicos. No gráfico a seguir, podem-se observar valores médios do consumo de energia por passageiro e por quilômetro rodado, em diferentes meios de transporte, para veículos em duas Estatística: conceitos básicos 65

66 condições de ocupação (número de passageiros): ocupação típica e ocupação máxima. Esses dados indicam que políticas de transporte urbano devem também levar em conta que a maior eficiência no uso de energia ocorre para os: a) ônibus, com ocupação típica. b) automóveis, com poucos passageiros. c) transportes coletivos, com ocupação máxima. d) automóveis, com ocupação máxima. e) trens, com poucos passageiros. 3) (FGV 2006) O gráfico a seguir representa os lucros anuais, em reais, de uma empresa ao longo do tempo. Estatística: conceitos básicos 66 Podemos afirmar que: a) O lucro da empresa em 2003 foi 15% superior ao lucro de 2001.