Proteção de Recursos Naturais Internacionais. Populações Assimétricas: Um Tratamento em Jogos Evolucionários

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1 com Populações Assimétricas: Um Tratamento em Jogos Evolucionários Alexandre Balduino Sollaci Orientador: Gil Riella Universidade de Brasília Outubro de 2011

2 Introdução Recursos naturais internacionais. Recursos que transcendem fronteiras de países. Exemplos: rios, lagos, florestas, etc. Necessidade de cooperação entre países para a garantia de proteção desses recursos. Problema: Proteção é um bem público, e, como tal, não gera incentivos à sua provisão voluntária em quantidades eficientes.

3 Como resolver esse problema? Idéia: introduzimos um ĺıder! Um ĺıder é uma pessoa que resolve, unilateralmente, prover a quantidade eficiente do bem público. Espera-se que o ĺıder incentive outros jogadores a proverem proteção em quantidades eficientes também. Podemos saber se essa idéia pode realmente dar certo? Em teoria, sim! Já que estamos lidando com comportamento estratégico de vários agentes, usamos a teoria dos jogos.

4 Recursos naturais internacionais e bens públicos internacionais: sobre-utilização e falhas de mercado A proteção de recursos naturais internacionais e as funções de composição social. Liderança: conceito Q = α [ 1 n Modelos existentes. (Arce M. (2001), Oliveira, Faria e Arce M. (2005) e Oliveira e Riella (2010)) n i=1 q ρ i ] 1 ρ

5 Modelo Introdução Best-shot Utilidade crescente, retornos decrescentes f (s + 1) f (s) < f (s) f (s 1) Funções de composição social { min{q1, q Q(q 1, q 2 ) = 2 } max{q 1, q 2 } Utilidade individual U i (Q) = f (Q) q i c i, i = 1, 2 Liderança L = { 1, se x = 0, 1 2, se x = 2, L

6 Jogo sem liderança Introdução Best-shot Jogador 1 Jogador f (0), f (0) f (0), f (0) c 2 f (0), f (0) 2c 2 1 f (0) c 1, f (0) f (1) c 1, f (1) c 2 f (1) c 1, f (1) 2c 2 2 f (0) 2c 1, f (0) f (1) 2c 1, f (1) c 2 f (2) 2c 1, f (2) 2c 2

7 Jogo com liderança Introdução Best-shot Jogador 1 Jogador L 0 f (0), f (0) f (0), f (0) c 2 f (0), f (0) 2c 2 f (0), f (0) c 2 1 f (0) c 1, f (0) f (1) c 1, f (1) c 2 f (1) c 1, f (1) 2c 2 f (1) c 1, f (1) c 2 2 f (0) 2c 1, f (0) f (1) 2c 1, f (1) c 2 f (2) 2c 1, f (2) 2c 2 f (2) 2c 1, f (2) 2c 2 L f (0) c 1, f (0) f (1) c 1, f (1) c 2 f (2) 2c 1, f (2) 2c 2 f (2) 2c 1, f (2) 2c 2

8 Jogo com liderança modificado Best-shot Jogador 1 Jogador L 0 f (0), f (0) f (0), f (0) c 2 f (0), f (0) 2c 2 f (0), f (0) c 2 + b 1 f (0) c 1, f (0) f (1) c 1, f (1) c 2 f (1) c 1, f (1) 2c 2 f (1) c 1, f (1) c 2 + b 2 f (0) 2c 1, f (0) f (1) 2c 1, f (1) c 2 f (2) 2c 1, f (2) 2c 2 f (2) 2c 1, f (2) 2c 2 L f (0) c 1 + b, f (0) f (1) c 1 + b, f (1) c 2 f (2) 2c 1, f (2) 2c 2 f (2) 2c 1, f (2) 2c 2

9 Jogo sem liderança Introdução Best-shot Jogador 1 Jogador f (0), f (0) f (1), f (1) c 2 f (2), f (2) 2c 2 1 f (1) c 1, f (1) f (1) c 1, f (1) c 2 f (2) c 1, f (2) 2c 2 2 f (2) 2c 1, f (2) f (2) 2c 1, f (2) c 2 f (2) 2c 1, f (2) 2c 2

10 Jogo com liderança Introdução Best-shot Jogador 1 Jogador L 0 f (0), f (0) f (1), f (1) c 2 f (2), f (2) 2c 2 f (1), f (1) c 2 1 f (1) c 1, f (1) f (1) c 1, f (1) c 2 f (2) c 1, f (2) 2c 2 f (1) c 1, f (1) c 2 2 f (2) 2c 1, f (2) f (2) 2c 1, f (2) c 2 f (2) 2c 1, f (2) 2c 2 f (2) 2c 1, f (2) 2c 2 L f (1) c 1, f (1) f (1) c 1, f (1) c 2 f (2) 2c 1, f (2) 2c 2 f (2) 2c 1, f (2) 2c 2

11 Jogos evolucionários Introdução Best-shot Surgimento: biologia Definição e relação com equiĺıbrio de Nash Vantagem: todo equiĺıbrio evolucionariamente estável é um equiĺıbrio de Nash dinamicamente estável Generalização para mais de uma população. Problema: um equiĺıbrio é evolucionariamente estável se e somente se é equiĺıbrio de Nash estrito (2 e L se excluem mutuamente).

12 Jogos evolucionários Introdução Best-shot Conjunto de equiĺıbrio evolucionário estável. Seja (S i ) a estenção com estratégias mistas do conjunto de estratégias puras do jogador i, S i. O conjunto X n i=1 (S i) é um conjunto de equiĺıbrio evolucionário estável se ele é mínimo com respeito às seguintes propriedades: i) X é fechado e não vazio. ii) X é um subconjunto do conjunto de equiĺıbrios de Nash. iii) Existe ε (0, 1) tal que se x X, y n i=1 (S i), ε (0, ε ) e y b(w), então w X, onde w = εy + (1 ε)x, b : n i=1 (S i) n i=1 (S i) é definido como b(z) = n i=1 b i(z) e b i (z) = {x i S i : u i (x i, z i ) u i (x i, z i) x i (S i )}.

13 Jogos evolucionários Introdução Best-shot Conjunto de equiĺıbrio evolucionário estável. Difícil operacionalidade. Equivalente: i) X é fechado e não vazio. ii) X é um subconjunto do conjunto de equiĺıbrios de Nash. iii) X é convexo

14 best-shot Proposição O par de estratégias (2, 2) é Equiĺıbrio de Nash no jogo sem liderança se, e somente se, f (2) f (1) c 1 e f (2) f (1) c 2.

15 best-shot Proposição Se (2, 2) é EN no jogo sem liderança, então (0, 0) e (1, 1) também são EN no jogo sem liderança.

16 best-shot Proposição O par de estratégias mistas (α 1 e 2 + (1 α 1 )e L, α 2 e 2 + (1 α 2 )e L ), α 1, α 2 [0, 1] é um equiĺıbrio de Nash no jogo com liderança se, e somente se, (2, 2) é Equiĺıbrio de Nash no jogo sem liderança.

17 Jogo com liderança alterado best-shot Proposição Se o jogador i mistura entre 1 e L, então α 1 = f (1) f (2) + c 2 b + f (1) + f (2) + c 2 e α 2 = f (1) f (2) + c 1 b + f (1) + f (2) + c 1

18 Jogo com liderança alterado best-shot Proposição Se (α 1 e 1 + (1 α 1 )e L, α 2 e 1 + (1 α 2 )e L ) é um equiĺıbrio de Nash no jogo com liderança modificado, então (f (2) f (1) c 1)(α 1 α 2 α 1 )+α 2 c 1 α 2 α 1 α 2 (f (2) f (1) c 2)(α 2 α 2 α 1 )+α 1 c 2 b α 1 α 1 α 2 > (f (0) f (1)+c 1)(2 α 1 α 2 +α 1 α 2 ) α 2 α 1 α 2 > (f (0) f (1)+c 2)(2 α 1 α 2 +α 1 α 2 ) α 1 α 1 α 2

19 best-shot Nenhum equiĺıbrio cooperativo e Pareto-eficiente Liderança é um mecanismo para se atingir equiĺıbrios cooperativos, logo, não há espaço para ela. Possível provisão eficiente: contrato. se f (2) min 2{c 1, c 2 } θ e f (2) min 2{c 1, c 2 } (1 θ), onde θ é a fração do custo que cada jogador paga, então a provisão máxima de proteção será atingida.

20 Duas conclusões básicas no 1 A liderança sozinha não é efieciente 2 Quando o ĺıder ganha um benefício exógeno, a liderança afeta a provisão social média. Essa provisão depende diretamente do valor do benefício. lim α i = 0 e lim α i = 1, b b 0 No jogo com best-shot a conclusão é negativa: a liderança não tem muito espaço para alterar o equiĺıbrio.

21 Liderança não é um mecanismo de fomento de equiĺıbrios cooperativos em presença de ou best-shot a não ser que haja algum benefício exógeno associado a ela. Mas esses dois agregadores são muito extremos, podem ser raros. Liderança é mais eficaz com o agregador de soma, mais comum na literatura. Ela não deve ser descartada, mas deve ser olhada com cautela sempre que se suspeitar a presença de algum agregador extremo