Um Minicurso sobre Teoria dos Jogos

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1 Um Minicurso sobre Pedro Aladar Tonelli Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática e Estatística USP Semana de Matemática Aplicada FFCLRP-USP setembro de 2006

2 Sumário 1 Jogos de O Conceito de equiĺıbrio de Nash Os jogos de soma zero e dois jogadores Elementos de e Estratégias Ótimas Estratégias dominantes 2 Jogos não soma zero Definições Exemplos com matrizes de dimensão 2 Equiĺıbrios evolucionariamente estáveis Bibliografia

3 O que é? Sumário Jogos de é conjunto de ferramentas matemáticas para estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de interesses por parte dos agentes que tomam decisão. Exemplos: Jogo de xadrez Conflito diplomático ou poĺıtico Concorrência na Economia Teoria da Evolução em Sistemas biológicos

8 Histórico Sumário Jogos de Cournot (1840) Walras (1890) Borel (1915) von Neumann e Morgenstern (1940) Nash, Shapley, Aumann ( ) Maynard-Smith (1970)

13 Divisões Comuns Sumário Jogos de Tradicionalmente a teoria é dividida em tópicos Jogos Cooperativos Jogos não Cooperativos Forma Extensiva Forma Estratégica (Normal) Jogos de Jogos com 2 jogadores ou jogos com n jogadores. Estudaremos os jogos não cooperativos com dois jogadores.

17 Primeiras definições Sumário Jogos de Um jogo não cooperativo na forma normal é composto dos seguintes elementos: Jogadores: P = {p 1,..., p n } (finito). Estratégias: Σ i (quase sempre finito). Π : Σ 1 Σ n R n (pagamento) Π i (u 1,..., u n ) é o pagamento que recebe o i-ésimo jogador uma vez que todos os jogadores se decidiram por suas estratégias.

21 Dilema dos Prisioneiros Jogos de O Jogo: Dois prisioneiros são mantidos em escritórios separados e o promotor do caso oferece a cada um o seguinte: caso ele testemunhe contra o comparsa e este não testemunhar contra ele, sua pena será de 1 ano de prisão cabendo a seu colega cumprir 10 anos. Caso o comparsa também testemunhe contra ele sua pena será de 5 anos. Se, todavia, ambos se recusarem a testemunhar um contra o outro, ambos passarão dois anos na cadeia.

22 Jogos de Tabela de pagamentos do dilema dos prisioneiros N T N ( 2, 2) ( 10, 1) T ( 1, 10) ( 5, 5)

23 Melhor Resposta Sumário Jogos de Temos um jogo na forma normal: Π : Σ 1 Σ n R n Um ponto u = (u 1,..., u n )) Σ 1 Σ n vamos chamar de um perfil de estratégias. Fixado o perfil u e o jogador i definimos o conjunto melhor resposta de i M i (u) Σ i como M i (u) = {v i Σ i : Π i (u 1,..., u i 1, v i, u i+1,..., u n ) = max Π i (u 1,..., u i 1, v, u i+1,..., u n )} (1) v Σ i

24 O equiĺıbrio como ponto fixo Jogos de Note que na definição acima não é necessário que u i M i (u). Definimos M(u) = M 1 (u) M n (u) Σ 1 Σ n (2) e diremos que um perfil u é um quando: u M(u)

25 Interpretação do equiĺıbrio Jogos de Se u M(u), para o jogador p i : u i M i (u) Σ i, ou seja, u i é a melhor resposta do jogador para o perfil u. Assim para um perfil de equiĺıbrio, se um jogador mudar sozinho de estratégia ele não pode aumentar, e corre o risco de rebaixar o ganho individual Π i. Obs: Pode existir um perfil em que todos os jogadores ganham mais que num perfil de equiĺıbrio, mas aí cada jogador precisaria do auxílio dos outros.

26 Equiĺıbrio do dilema dos prisioneiros Jogos de N T N ( 2, 2) ( 10, 1) T ( 1, 10) ( 5, 5) O perfil u = (T, T ) é um equiĺıbrio de Nash.

27 Método dos perfís racionais Jogos de Diremos que um perfil u Σ satisfaz a propriedade da racionalidade individual para o jogador i quando Π i (u) = max v Σ i Π i (u 1,..., v,..., u n ) (3) Definimos o conjunto de perfis racionais de i como sendo: R i = {u Σ : u tem a prop. de racionalidade individual } Σ (4) N = n i=1 R i é o conjunto de todos os perfís de equiĺıbrio do jogo.

28 definição dos jogos de soma zero Jogos de Num jogo com dois Jogadores (Luiza e Carlos) com as estratégias Σ 1 = {e 1,..., e n } e Σ 2 = {f 1,..., f m } O jogo tem soma zero se Π 1 (e i, f j ) + Π 2 (e i, f j ) = 0. Π(e i, f j ) = (Π 1 (e i, f j ), Π 1 (e i, f j )) = (a ij, b ij ) (5)

29 Exemplo: Pedra, papel, tesoura Jogos de Luiza e Carlos estão jogando Pedra, Papel e Tesoura, eles tem o mesmo conjunto de estratégias Σ = {R, P, T } A = (6) 1 1 0

30 Elementos de sela Sumário Jogos de Se (e i, f j ) for um par de equiĺıbrio então: a ij a kj k {1,..., n} (7) a ij a il l {1,..., m} (8) Dada uma matriz A M n m um elemento a ij é chamado elemento de sela da matriz A quando satisfaz as duas relações simultaneamente: a ij = max a kj para k {1,..., n} k (9) a ij = min a il para l {1,..., m} l (10)

31 exemplo Sumário Jogos de Vejamos um exemplo, a matriz A = (11) 2 0 4

32 Propriedades dos elementos de sela Jogos de Proposição Se a ij e a pq forem diferentes elementos de sela de uma matriz A, então a pj e a iq também são elementos de sela e a ij = a pq No caso de haver muitos elementos de sela seus valores são iguais. Pode não haver elementos de sela.

35 Sumário Jogos de É comum uma matriz de um jogo não ter pontos de sela. Definimos então uma distribuição de probabilidades sobre as estratégias puras. Σ 1 = {e 1,..., e n } : estratégias de Luiza. Σ 2 = {f 1,..., f n } : estratégias de Carlos. M 1 = {(p 1,..., p n ) R n : p i = 1 e p i 0} estratégias mistas de Luiza. M 2 = {(q 1,..., q m ) R m : q j = 1 e q j 0} estratégias mistas de Carlos.

42 Exemplo: estratégia mista Jogos de Digamos que a matriz do jogo seja: ( ) A = Esta matriz não tem ponto de Sela. Luiza tem duas estratégias puras e Carlos três. (0.6, 0.4) é uma estratégia mista de Luiza. (0.5, 0.3, 0.2) uma estratégia mista de Carlos. Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo?

47 Extensão Mista do Jogo Jogos de Luiza escolhe: p = (p 1,..., p n )p = (p 1,..., p n ) Carlos: q = (q 1,..., q m ) Pagamento: E(p, q) = i,j a ijp i q j = p t Aq (M 1, M 2, E) Extensão mista do jogo.

51 No exemplo anterior Sumário Jogos de A = ( ) p = (0.6, 0.4) é uma estratégia mista de Luiza. q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estratégia mista de Carlos. E(p, q) = E(p, q) =

56 Jogos de Valor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza v L (A) = max p min q E(p, q) Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos. v C (A) = min q max p E(p, q)

62 Estratégias Ótimas Sumário Jogos de Estratégias ótimas, ou estratégias maxmin e minmax. r é uma estratégia ótima para Luiza v L (A) = min q E(r, q) s é uma estratégia ótima para Carlos se v C (A) = max p E(p, s)

67 Teorema Minmax Sumário Jogos de Teorema Dada uma matriz A temos que existem estratégias mistas ótimas para o jogador das linhas e das colunas e v C (A) = v L (A).

68 Jogos de Estratégias ótimas e perfil de equiĺıbrio r e s estratégias ótimas. v L (A) = E(r, s) = v C (A) Se Luiza troca a estratégia e Carlos mantém: E(r, s) = v C (A) E(p, s) Luiza não ganha nada desviando da estratégia. Nem Carlos com raciocínio análogo. O perfil (r, s) é um equiĺıbrio de Nash.

75 Jogos de Um resultado para o Cálculo das estratégias ótimas Proposição Definindo: E(i, q) = m j=1 a ijq j e E(p, j) = n i=1 a ijp i então: v C (A) = min q max E(i, q) (12) i v L (A) = max min E(p, j) (13) p j

76 Caso de matrizes 2 2 Jogos de Quando cada jogador tem só duas estratégias puras temos: M 1 = {(x, 1 x) : x [0, 1]} M 2 = {(y, 1 y) : y [0, 1] Neste caso podemos calcular facilmente os equiĺıbrios.

80 Exemplo Sumário Jogos de A = ( ) (14) Para Luiza temos min j E(p, j) = min{e(x, 1), E(x, 2)} E(x, 1) = 1.x + 3.(1 x) = 2x + 3 e E(x, 2) = 2x O Valor de Linha será o valor da intersecção das retase(x, i)

85 Jogos de Gráfico para o problema maxmin de Luiza x

86 Valor do jogo para Luiza Jogos de Neste caso temos: v L (A) = 3/2 estratégia ótima de Luiza é (3/4, 1/4).

89 Para Carlos Sumário Jogos de A = ( ) (15) Para Carlos temos que achar max{e(1, y), E(2, y)} E(1, y) = 1.y + 2.(1 y) = y + 2 e E(2, y) = 3y O Valor de Coluna será o valor da intersecção das retase(i, y)

94 Problema minmax para Carlos Jogos de y

95 Valor do jogo para Carlos Jogos de Neste caso temos: v C (A) = 3/2 estratégia ótima de Carlos é (1/2, 1/2).

98 Dominância para Luiza Jogos de Luiza possui estratégias puras e i, e k Σ 1 tais que Π 1 (e i, f j ) Π 1 (e k, f j ) para toda estratégia f j de Carlos. Dizemos que e i domina e k.

101 Dominância para Carlos Jogos de Carlos possui estratégias puras f j, f l Σ 2 tais que Π 1 (e i, f j ) Π 1 (e i, f l ) para toda estratégia e i de Luiza. Dizemos que f j domina f l.

104 Exemplo: Dominância para Luiza Jogos de A = A = ( ) A = 3 0 1

107 Dominância para Carlos Jogos de ( ) A = ( ) 1 2 A = 3 0

108 Dominância para Carlos Jogos de ( ) A = ( ) 1 2 A = 3 0

109 Exemplo de redução Sumário Jogos de O jogo entre Luiza e Carlos tem a seguinte matriz de pagamento A = Note que a linha 2 domina a linha 3

110 Exemplo de redução Sumário Jogos de O jogo entre Luiza e Carlos tem a seguinte matriz de pagamento A = Note que a linha 2 domina a linha 3

111 A matriz reduzida Sumário Jogos de Luiza não jogará nada na linha 3 A matriz reduzida do jogo será ( ) A r = 2 1 2

114 Cálculo da estratégia ótima de Luiza Jogos de Luiza acha a estratégia maxmin entre E(x, 1) = 2 3x E(x, 2) = 1 E(x, 3) = 4x 2

118 Gráfico Sumário Jogos de E(x, 3) E(x, 2) E(x, 1)

119 Jogos de Valor do Jogo para Luiza é 2/7 = Estratégia ótima de Luiza é (4/7, 3/7, 0)

120 Jogos de Valor do Jogo para Luiza é 2/7 = Estratégia ótima de Luiza é (4/7, 3/7, 0)

121 Estratégia para Carlos Sumário Jogos de Estratégia ótima para Carlos terá a forma (y, 0, 1 y) Pois qualquer peso na coluna 2 ativa E(x, 2) e aumenta o ganho de Luiza. Fazemos os cálculos usandoe(1, y) = 3y + 2 e E(2, y) = 4y 2. Obtemos a estratégia ótima (4/7, 0, 3/7).

125 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Jogos sem soma zero, e dois jogadores Σ 1 = {e 1,..., e n } e Σ 2 = {f 1,..., f m } estratégias puras. Π(e i, f j ) = (Π 1 (e i, f j ), Π 2 (e i, f j )) = (a ij, b ij ) A = (a ij ) matriz de Luiza e B = (b ij ) matriz de Carlos. Se Luiza escolhe a estratégia mista p e Carlos escolhe q então o pagamento de Luiza será: E(p, q) = i,j a ijp i q j = p t Aq E de Carlos: F (p, q) = i,j b ijp i q j = p t Bq Note que agora não há o interesse racional de Carlos minimizar o pagamento de Luiza uma vez que isto não significa mais que ele estará aumentando seu pagamento.

132 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Equiĺıbrios de Nash Para que um par de estratégias puras (e k, f l ) seja um perfil de equiĺıbrio de Nash devemos ter a kl a il i e b kl b kj j Então para descobrirmos se existe equíbrios de estratégias puras, marcamos os maiores elementos em cada coluna de A e os maiores elementos em cada linha de B, se existir uma posição kl em que a kl e b kl estiverem marcados então (e k, f l ) será um equiĺıbrio. Claro que pode não existir.

135 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Um Exemplo A = B = (16)

136 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Um Exemplo (5, 2) (3, 0) (8, 1) (2, 3) (6, 3) (5, 4) (7, 4) (1, 1) (7, 5) (4, 6) (6, 8) (0, 2) (17)

139 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Equiĺıbrios na extensão mista M 1 = {(x, 1 x) : x [0, 1]} e M 2 = {(y, 1 y) : y [0, 1]}: Estratégias mistas. E(x, y) = (a 11 + a 22 a 12 a 21 )xy + (a 12 a 22 )x + (a 21 a 22 )y + a 22 é o pagamento de Luiza. O pagamento de Carlos é: F (x, y) = (b 11 + b 22 b 12 b 21 )xy + (b 12 b 22 )x + (b 21 b 22 )y + b 22

143 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Conjuntos dos Perfís racionais Para achar os equiĺıbrios de Nash achamos os perfís racionais. Para Luiza: R 1 = {(x, y) : E(x, y) = sup x [0,1] E( x, y)} E para Carlos: R 2 = {(x, y) : F (x, y) = supȳ [0,1] F (x, ȳ)} Encontramos R 1 R 2.

147 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Um exemplo da estratégia descrita acima O jogo é descrito pela seguinte bimatrix de pagamento (3, 2) (2, 4) (2, 3) (4, 3)

148 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Pagamento de Luiza e Carlos O pagamento de Luiza será E(x, y) = (3y 2)x 2y + 4 Pagamento de Carlos: F (x, y) = ( 8x + 6)y + 7x 3

152 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Conjuntos R 1 e R 2 1 y R 2 2/3 R 1 3/4 x 1 (3/4, 1/4) e (2/3, 1/3) é equiĺıbrios de Nash.

153 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Jogo do Cruzamento Neste Jogo Carlos e Luiza encontram-se num cruzamento.

154 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia As Matrizes de Pagamentos A = ( t2 /2 ɛ t 2 ) 0 t 2 /2 δ ( ) t1 /2 ɛ 0 e B = t 1 t 1 /2 δ

155 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia As Estratégias Cada um pode esperar (E) e prosseguir (P). t 1 é o tempo para Luiza completar a conversão. t 2 é o tempo pa Carlos completar a conversão. ɛ atraso devido a mútua espera. δ atraso devido ao mútuo avanço.

160 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Fórmula dos pagamentos dos jogadores E(x, y) = ( (ɛ + δ)y + (δ t 2 /2))x + (t 2 /2 + δ)y t 2 /2 δ F (x, y) = ( (ɛ + δ)x + (δ t 1 /2))y + (t 1 /2 + δ)x t 1 /2 δ

161 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Fórmula dos pagamentos dos jogadores E(x, y) = ( (ɛ + δ)y + (δ t 2 /2))x + (t 2 /2 + δ)y t 2 /2 δ F (x, y) = ( (ɛ + δ)x + (δ t 1 /2))y + (t 1 /2 + δ)x t 1 /2 δ

162 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Representação Gráfica de R 1 e R 2 1 y R 2 θ 2 R 1 θ 1 x 1

163 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia O Jogo Hawk-Dove Dois leões competem pela posse de território. Se dois leões se encontram numa disputa cada um deles pode agir de duas maneiras: comportamento agressivo (Hawk), ou ele apenas ruge ameaçadoramente mas foge se vier um ataque (Dove). Digamos que o leão Jubinha encontra-se com o Sansão e iniciam a competição. Se Jubinha agir como Hawk e Sansão como Dove, Jubinha ficará com o território e ganhará ρ pontos. Se Sansão reagir, ou seja, agir com Hawk também, aí haverá luta com chances iguais de ganho para cada um dos lados. O lado ganhador receberá ρ e o perdedor perderá C. O valor esperado de ganho de Jubinha é ρ/2 C/2. Quando Jubinha agir como dove, não ganha nada se Sansão for Hawk (ele foge) e ganhará metade das disputas por rugidos se Sansão for Dove.

164 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia As matrizes deste Jogo A = ( 1/2(ρ C) ρ ) 0 1/2ρ e B = ( 1/2(ρ C) 0 ) ρ 1/2ρ (20)

165 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Funções de pagamentos E(x, y) = ( C 2 y + ρ 2 )x ρ 2 y + ρ 2 F (x, y) = ( C 2 x + ρ 2 )y ρ 2 x + ρ 2 (21) (22)

166 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Identificação dos pontos de equiĺıbrio y 1 R 2 ρ C R ρ C x 1

167 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Jogo Populacional Um jogo em que A = B t como o jogo Hawk-Dove é chamado de Jogo Populacional. Neste caso, o jogo é simétrico e não é importante quem tem as linhas ou colunas. A idéia é que este jogo ocorra entre os elementos de uma população, constantemente e de forma aleatória. A idéia do jogo populacional foi introduzida por Maynard-Smith.

171 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Escolha dos equiĺıbrios de Nash Em alguns jogos podem ter muitos equiĺıbrios de Nash. Se estes equilibrios dão o mesmo pagamento para os jogadores e podem ser alternados, são soluções de Nash do Jogo. Se isto não acontecer são necessários outros critérios para escolha de um equiĺıbrio. No caso de jogos populacionais, são os equilibrios evolucionáriamente estáveis.

175 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Estratégias não invadíveis Por causa da simetria de um jogo populacional só consideramos uma função de pagamento. No caso H-D: E(x, y) = ( C 2 y + ρ 2 )x ρ 2 y + ρ 2. Uma estratégia x é não invadível se: E(x, x ) E(y, x ) para todo y [0, 1] E(x, x ) = E(y, x ) então E(x, y) > E(y, y)

180 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Interpretação da estratégia não invadível Se a maioria da população usa a estratégia x e um invasor da espécie usa a estratégia y então o ganho do invasor contra um elemento que usa a estratégia da maioria x não será maior que o ganho de alguém com a estratégia comum x. Ainda que o invasor logre igualar o ganho contra x, contra outro invasor ele sairia perdendo.

181 Definições Gerais Caso duas estratégias Equiĺıbrios Evolucionariamente Estáveis Bibliografia Equiĺıbrio evolucionariamente estável no Hawk-Dove (x, x ) é um equiĺıbrio de Nash. Chamaremos este equiĺıbrio de evolucionariamente estáveis. No jogo Hawk-Dove o par (ρ/c, ρ/c) é um equiĺıbrio evolucionariamente estável. Este equiĺıbrio tem uma caracterização dinâmica.

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