Introdução a teoria dos jogos

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1 Introdução a teoria dos jogos Sabino da Silva Porto Junior Sportojr@gmail.com Fevereiro de Fevereiro de Definição James Waldegrave: primeiro a apresentar o conceito de solução de um jogo de estratégia mista em uma carta enviada em 1713 a Pierre Rémond de Montmort. Cournot: Reserches sur les principes Mathematiques de la Theorie des Richesses. Ernst Zermelo: Teorema sobre o jogo do Xadrez (1913), em cada etapa do jogo pelo menos um jogador possui uma estratégia que o levará a vitória ou ao empate. Primeiro a usar a semântica da otimalidade em jogos. Emile Borel: jogos simétricos de soma zero com dois jogadores e com um número finito n de estratégias para cada jogador. Procurou a solução Minimax e provou em 1921 a existência de solução para n = 3 e em 1924 para n=5. John Von Neumann: em 1928, usando topologia e cálculo funcional, mostrou a existência de solução em estratégias mistas para um jogo de soma zero com dois jogadores e um número arbitrário n de estratégias puras. Introuziu a forma extensa do jogo. Fevereiro de A teoria dos jogos é uma teoria matemática criada para se modelar fenômenos que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisão interagem entre si. teoria dos modelos matemáticos que estuda a escolha de decisoes otimas sob condicoes de conflito. Aplicações: eleições, balanços de poder, leiloes, economia, evolução genética, esportes, etc. John von Neumann Fevereiro de

2 Jogo Estático ou Estratégico: jogadas simultâneas (ação igual a estratégia) Regras 1. Jogadores 2. Estratégias 3. Ganhos para cada combinação de estratégias Albert W. Tucker (1950) Situação: Dois ladrões, M e T, são capturados e acusados de um mesmo crime. Presos em selas separadas e sem poderem se comunicar entre si, o delegado de plantão faz a seguinte proposta: cada um pode escolher entre confessar e não confessar o crime... Fevereiro de Fevereiro de Jonh Nash (nobel de 1994) Maestro John Forbes Nash Junior Confessar Não confessar Equilíbrio em Estratégias Dominantes 1949 Tese de doutorado na universidade de Princenton Non-cooperative Games. Artigos: 1950 Equilibrium points in N-person games The Baragaining Problem 1951 Non-cooperative games Two person cooperative games Tchaikovsky Confessar Não confessar (negar) (-5,-5) (0,-10) (-10,0) (-1,-1) Fevereiro de Eliminação sequencial de estratégias estritamente dominadas linha g1 g2 g3 g4 s1 s2 (5,2) (2,6) (0,0) (7,0) (9,5) coluna (1,3) s3 (1,4) Jogador coluna não possui estratégia dominante. Do ponto do vista do coluna, estratégia s1 é estritamente dominada. Do ponto de vista do linha: estratégia g1 é estritamente dominada...etc. Fevereiro de s4 (0,4) (3,2) (1,1) (5,1) (1,1) (5,1) (0,2) (4,8) 2

3 Guerra dos sexos Mulher Futebol Cinema Futebol (10,5) (3,3) (0,0) Homem Cinema (0,0) (5,10) Fevereiro de Fevereiro de DILEMA DOS PRISIONEIROS Jogo Estático de informação completa Ganho do linha (1,5) Se jogarem suas estratégias dominantes o resultado é pior para os dois. < (3,3) C D (3,3) C D 3,3 5,1 1,5 2,2 Observe o resultado do jogo: Se o linha joga C, o coluna joga D (5>3); Se o linha joga D, o Coluna joga D (2>1) Portanto, D é um ESTRATÈGIA DOMINANTE para o jogador linha e para o jogador coluna. Divida a Torta com seu oponente!! Como dividi-la de tal forma que os dois indivíduos fiquem satisfeitos??? (5,1) EED: resultado sub-ótimo Ganho do coluna Fevereiro de Fevereiro de

4 Qual arranjo ou acordo seria aceitável??? B Você aceitaria ficar com o lado A??? Perceba, a torta foi dividida pelo seu oponente... A B E agora, você aceitaria??? A Equilíbrio de Nash: eu divido, você escolhe Fevereiro de Fevereiro de A cereja do bolo: um dos jogadores adora cerejas... Se você revela o quanto gosta de cerejas, pode perder a capacidade de barganha A B Fevereiro de Fevereiro de

5 Jogo dinâmico ou extensivo de informação completa Árvore do Jogo Ponto de decisão inicial Pontos terminais Ponto de decisão SEC CORTAR NÃO PONTO CORTAR Esse foi o raciocínio que prevaleceu: o governo assinou um decreto que virou ameaça vazia, e a greve ocorreu de fato e CPERS CPERS novos desdobramentos ocorreram... G T G T (1,2) (3,3) (-4, 5) (4,2) Fevereiro de CPERS Greve Aula Gov Governo PL greve Decreto aula (2,-3) Ameaça crível: ao aprovar o projeto de lei o governo tornaria inescapável a Governo punição e o sindicato teria que negociar. O problema do governo seria (-4,3) convencer os aliados a votar a favor do projeto... Corta o ponto Não corta Corta o ponto Não Corta (-1,1) (-1,-1) (1,2) (-3,-3) Jogo anterior com ameaça vazia do governo CPERS (-1,6) Ncorta G o Fevereiro de 2008 v 18 greve cortar (3,3) Congresso U + M Nenhum U M Presidente Presidente Presidente Veta Veta Veta (4,1) (1,4) Situação real: nos EUA presidente ou aceita ou veta. Congresso U + M M U Presidente Nenhum Presidente Veta M Veta M Veta ambos Veta (3,3) (1,4) (4,1) (4,1) (1,4) Em problemas de decisão individual maior liberdade de ação nunca é pior. Em Games, ao contrário, maior liberdade de ação ou maior conjunto de opções, pode ser pior porque isso acaba influenciando a ação dos outros jogadores. (Dixit e Nalebuff, p. 43). Vantagens do Commitment Presidente Veta Fevereiro de Fevereiro de

6 Jogo de Xadrez 20 braços iniciais a partir da raiz (jogador de peças brancas pode mover qualquer um de seus 8 peões um ou dois quadrados a frente e pode mover um de seus cavalos em uma ou duas maneiras. Jogador de peças negras: tem 20 movimentos disponíveis para cada ramo. Até aqui: 400 caminhos distintos Número de nódulos possíveis é muito grande: ( 1 com 120 zeros depois dele...) Um supercomputador necessitaria de anos para examinar todos os nódulos O método de árvores não consegue resolver e não há computador capaz de resolver esse problema. Usar outros métodos... Partida contra Verdasco é a mais longa da história do Australian Open 5h14min (no dia seguinte Nadal venceria Federer em uma partida de 3h22min) Fevereiro de Fevereiro de Rafael Nadal NÚMEROS DA PARTIDA Fernando Verdasco Estratégia de Polinização /176 = 73% 3 92/128 = 72% 28/48 = 58% /261 = 36% Aces % de 1º saque Duplas faltas % de pontos no 1º saque % de pontos no 2º saque Bolas Vencedoras Erros não-forçados % de pontos na devolução /216 = 68% 4 103/146 = 71% 36/70 = 51% /176 = 32% as vespas cultivam as flores para seus propósitos e as flores domesticam as vespas para os propósitos delas. Os participantes não estão agindo pelo bem do ciclo, eles estão no ciclo pelo seu próprio bem. Mutualismo natural: flores em benefício de vespas, vespas em benefício de flores. Qual o verdadeiro significado do em benefício? Resposta: DNA (Richard Dawkins, 2003,p. 288) 4/20 = 20% Break points 2/4 = 50% 193 Total de pontos /23 = 70% Subidas à rede 33/51 = 65% Fevereiro de Fevereiro de

7 Nem de longe lembra uma vespa fêmea. (Senhora, defensora do design inteligente, em carta dirigida a Dawkins) Eficiência econômica e decisão na margem Baixo custo para a orquídea pólen e design Ophrys vermixia!!! Ao buscar o néctar a vespa acaba polinizando as orquídeas... Fevereiro de Fevereiro de Descubra que caminho leva a vila dos verdadeiros fazendo apenas uma pergunta. Se você fosse membro da outra vila, como você responderia à questão: Qual a o estrada caminho à esquerda leva à àvila dos Siga a que sempre esquerda vila dos honestos?? falam a verdade? Tente novamente!!! Vila dos verdadeiros Dúvida: a pessoa que respondeu é honesto ou veio da vila azul??? Se você fosse membro da outra vila, como você responderia à questão: o caminho à esquerda leva à vila dos honestos?? Agora as respostas independem tipo da do pessoa que responde. Se a verdade é Sim, ambos responderão NÃO Vila do s mentirosos Fevereiro de Raciocínio: se a resposta correta é Não e o estranho é um mentiroso. Ele sabe que se fosse verdadeiro responderia Não, mas como é um mentiroso responde Sim. Se a verdade é Sim, ambos responderão NÃO Fevereiro de

8 Quadro de respostas possíveis. O estranho é... Verdadeiro Mentiroso A verdade é... SIM não não NÃO sim sim Problema: só funciona com mentirosos literais (ou compulsivos, mentem mecanicamente) Faça o contrário e chegue ao seu objetivo Mentirosos estratégicostentariam, deliberadamente, enganar o viajante (mentem quando é conveniente). Fevereiro de Exemplo com mentirosos estratégicos: mais realista. Corretor de fundos Situação dos valores dos fundos: Go up Down Tipo de corretor: Honesto Desonesto Objetivo ideal: comprar quando o valor está baixo e vender quando está alto.(comprar na baixa e vender na alta). Pergunta inteligente: se você fosse um corretor de tipo oposto, como responderia à seguinte questão: estes valores estão em alta ou em baixa? Fevereiro de Quadro de respostas: Definição O corretor é Honesto Mentiroso literal Mentiroso estratégico A verdadeira resposta é... Questões inteligentes não funcionam com mentiroso estratégico, ao fazer isso, ele daria uma resposta que Up Down induziria você a pensar que o estoque estaria indo na direção contrária o que seria down up conveniente para o mentiroso. down up up down Saída: criar um esquema de incentivo para que ele fale a verdade. Por exemplo, criar um esquema de comissao para que ele assuma uma parcela das eventuais perdas. Esquema de Incentivo: é uma estratégia que tenta influenciar uma ação não observável de outro jogador, dando a ele alguma recompensa ou penalidade baseada em um resultado observável daquela ação. Mecanismo de Screening Fevereiro de Fevereiro de

9 QWERT Convenções, cultura e mudança airton senna Japão Questão: onde encontrar um amigo na noite de POA? Saída: não importa qual convenção escolhemos, desde que todos concordem com a mesma convenção. Por vezes uma convenção é muito melhor do que a outra, mesmo assim ela não será, necessariamente, adotada. Se alguma mudança nas circunstâncias torna uma outra convenção mais desejável, mesmo assim, pode ser muito difícil adotar a mudança. Fevereiro de Fevereiro de Fatos históricos: Christopher Scholes cria o design qwerty Objetivo: maximizar a distância entre as letras mais usadas para provocar uma digitação mais lenta, ou seja, evitar atropelamento das teclas Remington Produção em massa de máquinas de escrever com o novo teclado. 1914: Máquinas elétricas; DSK - Divorak s Simplified Keyboard Reduz em 50% a distância dos dedos em relação às letras mais usadas. Isso provoca uma redução de 10% no tempo de digitação. Mesmo assim, qwerty continua sendo usado até hoje, inclusive nos computadores modernos. Circulo vicioso completo: Todos usam QWERTY Aprendemos QWERTY Fábricas produzem QWERTY Fevereiro de Fevereiro de

10 : Marinha norteamericana passa a usar DSK e o custo de retreinamento é recuperado completamente em 10 dias. Observação: só funcionava plenamente para iniciantes na datilografia. Hoje: computadores podem trocar para DSK, porém o digitador tem que converter o teclado mentalmente para DSK. Ou seja, iniciantes tem que aprender QWERTY. Jogo: jogadores são as empresas e a escolha do design a estratégia. Eq. Nash: o % usado de cada tecnologia é uma constante no tempo. Ou seja, esse jogo dinâmico converge para um Equilíbrio. Fevereiro de Efeito vagão: as decisões descoordenadas de indivíduos, mantém-nos presos a QWERTY. Nenhum uso individual pode mudar uma convenção social. Matemática: dois equilíbrios no final 1. Todos usam DSK 2. 98% usam QWERTY Não diz nada a respeito da qualidade do equilíbrio ou sobre qual equilíbrio será escolhido. História importa: o acidente histórico que levou ao qwerty capturou aproximadamente 100% dos digitadores e se autoperpetuou mesmo que a motivação original para usar qwerty não exista mais. Ou seja, um evento aleatório pode levar a um equilíbrio inferior que se autoperpetua. Sempre há a Fevereiro de Sempre há a possibilidade de melhorar a vida de todos. Como fazer para sair de uma situação de Path dependence??? Ação coordenada pode o mudar para um equilíbrio melhor. Não é necessário converter todos, mas apenas a massa crítica. Como mudar para o DSK? CMe 0 Q D Equilíbrio de baixo nível Custo médio de QWERTY Custo médio DSK Q* a) Se a principal industria produzir DSK b) Se o governo federal treinar em DSK Obama e o petróleo, é possível mudar??? Fevereiro de Fevereiro de

11 Chance de que o próximo digitador usará QWERTY 98 Chance de que o próximo digitador usará QWERTY Percentual de digitadores usando QWERTY Apesar desse handicap o qwerty domina o equilíbrio Percentual de digitadores usando QWERTY Se o percentual de digitadores usando QWERTY cair abaixo de 72% o DSK dominará e o qwerty será abandonado no futuro. Vale o mesmo para pesquisa eleitoral? Fevereiro de Fevereiro de