Temas. A Matemática, a Origem do Estado e o Significado da Democracia. Significado da Democracia. Tardes Matemáticas

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1 Tardes Matemáticas A Matemática, a Origem do Estado e o Significado da Democracia Miguel Gouveia Faculdade de Ciências Económicas e Empresariais UNIVERSIDADE CATÓLICA PORTUGUESA Temas A teoria dos Jogos e o Dilema dos Prisioneiros de Albert Tucker. Estratégia individual, equilíbrio social e falhas de cooperação Papel do Estado Regras de decisão colectiva Paradoxo de Condorcet Teorema de Arrow Significado da Democracia Gouveia - Matemática, Estado e Democracia 2 1

2 O Dilema dos Prisioneiros 1 Dois suspeitos são interrogados separadamente. Polícia procura obter confissão de culpa para um eventual crime feito em conjunto. Se ambos confessarem cada um tem 3 anos de prisão Se só um confessar, esse irá livre e o outro terá 4 anos de prisão Se nenhum confessar, cada um terá 1 ano de prisão. Estratégias do jogo: confessar ou não confessar. Resultados do jogo: anos de prisão. Gouveia - Matemática, Estado e Democracia 3 Dilema dos Prisioneiros 2 Prisioneiro A Confessar Negar Prisioneiro B Confessar Negar -3, -3 0, -4-4, 0-1, -1 Equilíbrio em Estratégias Dominantes: (C, C) Óptimo de Pareto: (N,N) Gouveia - Matemática, Estado e Democracia 4 2

3 Consequências Optimização individual leva a escolha de estratégias racionais Equilíbrio social gerado pela interacção de participantes é mau. Há cooperação a menos e todos perdem com isso. O problema é então mudar as regras do jogo, levando a mudanças de comportamento por forma a ter um equilíbrio bom. Gouveia - Matemática, Estado e Democracia 5 Dilema dos Cidadãos - 1 Projecto público: localizar um ou dois polícias num bairro com dois quarteirões. Custo de cada polícia = 5 Benefícios de cada polícia para cada quarteirão = 4 Se só um quarteirão contribuir: benefícios de 4, custos de 5, resultado líquido é -1. Resultado para o outro quarteirão é 4. Se contribuírem os dois: para cada há custos = 4, benefícios = 8, resultado líquido =3 Gouveia - Matemática, Estado e Democracia 6 3

4 Dilema dos Cidadãos - 2 Pagar Cidadão B Não Pagar Cidadão A Pagar Não Pagar 3, 3-1, 4 4, -1 0, 0 Equilíbrio em Estratégias Dominantes: (NP, NP) Óptimo de Pareto: (P,P) Gouveia - Matemática, Estado e Democracia 7 Solução do Problema Equilíbrio implica atitude de ir à boleia ou seja cada um quer que sejam os outros a pagar. Equilíbrio é muito ineficiente: há toda a vantagem num grupo se organizar para ultrapassar o problema de coordenação e compromisso de cada um. A solução é todos os membros do grupo fazerem um contrato constituindo uma instituição com o poder de punir desvios, por exemplo castigar quem não pague impostos. Essa instituição é o Estado e a sua característica definidora é precisamente o monopólio do uso legal da força e do poder de decidir sobre a liberdade ou propriedade das pessoas. Gouveia - Matemática, Estado e Democracia 8 4

5 Regras de decisão colectiva E como é que a sociedade escolhe o nº de polícias? Problema da escolha pública. Há um conjunto de pessoas com preferências heterogéneas e um conjunto vasto de escolhas a fazer pela colectividade: Deputados, Presidente, Aborto, Regionalização, Constituição Europeia, etc.. Qual é a regra de decisão colectiva óptima? Será que é a regra da maioria simples? É um padrão em democracia, mas não absoluto. Ex: 2/3 para revisão constitucional. Os sistemas parlamentares sem proporcionalidade estrita (indivisibilidades dos mandatos por círculo eleitoral). Gouveia - Matemática, Estado e Democracia 9 O Paradoxo de Condorcet 1 Um problema com maioria simples. Exemplo: Governo português tem 3 escolhas no Iraque: A) ajudar activamente os EUA, B) neutralidade, C) contrariar os EUA. Três opiniões no Conselho de Ministros: 1. A B C 2. B C A 3. C A B Agenda da decisão e resultados: Resultado: A v. B 1 prefere A, 2 prefere B, 3 prefere A. Logo A ganha. Gouveia - Matemática, Estado e Democracia 10 5

6 O Paradoxo de Condorcet 2 Agenda da decisão e resultados: Resultado: A v. B A ganha. A v. C. C ganha. C v. B B ganha Logo C ganha a A, que ganha a B que ganha a C A decisão é inconsistente. Dada uma decisão é sempre possível encontrar outra que derrota a inicial. O ciclo de decisão não termina - fenómeno do cycling. Não existe a escolha por maioria não se pode falar de um vontade do povo. Gouveia - Matemática, Estado e Democracia 11 A Regra de Borda 1 Haverá outra regra de decisão preferível à maioria simples? Que tal a regra ou contagem de Borda? Trata-se de um método posicional, em que se usa informação sobre o lugar de cada alternativa nas preferências. Funcionamento: perante L alternativas, atribuem-se pontos a cada alternativa de acordo com intensidade de preferências: (L-1) para alternativa melhor, L-2 para segunda melhor, etc., zero para pior. Vejamos um exemplo Borda, com 7 pessoas e 3 alternativas: a, b, c. Gouveia - Matemática, Estado e Democracia 12 6

7 Pessoas A Regra de Borda 2 Preferências I 1 e 2 a>b>c 3 e 4 b>c>a 5 e 6 c>a>b 7 a>b>c Pontos Tot. a b c Escolha Social com Borda: a>b>c Gouveia - Matemática, Estado e Democracia 13 Problemas com a Regra de Borda: Alternativas Irrelevantes Pessoas Preferências II 1 e 2 a>b>c>y 3 e 4 b>c>y>a 5 e 6 c>y>a>b 7 a>b>c>y Pontos Tot. a b c y Escolha Social com Borda: c>b>a>y A adição de uma alternativa irrelevante causou uma mudança total na decisão e nas preferências sociais. Gouveia - Matemática, Estado e Democracia 14 7

8 Dificuldades nas Escolhas Públicas Com a regra de Borda a adição de uma alternativa irrelevante causou uma mudança total na decisão e nas preferências sociais. A junção ou eliminação de alternativas transforma-se se em estratégias para tentar manipular os resultados A maioria simples, a regra de Borda, a pluralidade, a eliminação ou a a provação também não funcionam bem. Haverá alguma regra de decisão social que funcione bem? Resposta: Gouveia - Matemática, Estado e Democracia 15 Teorema da Impossibilidade de Arrow Procurar regra de decisão social com boas propriedades. As propriedades postuladas por Arrow foram: Consistência (regra é transitiva e completa) Universalidade. Não há restrições à forma das preferências individuais areto. Escolhem-se se sempre melhorias de Pareto. Pareto Independência de Alternativas Irrelevantes Ditadores Ausentes. Decisão social não segue sistematicamente preferências de uma pessoa. Resultado: Não existe nenhuma regra assim. Em particular CUPI D Gouveia - Matemática, Estado e Democracia 16 8

9 Significado da Democracia O Teorema de Arrow diz que não há regras de decisão perfeitas. Qualquer regra tem defeitos. Isso não significa inferioridade da democracia. Churchill: A democracia é o pior dos sistemas; excepto todos os outros... Logo não parece ser correcto equacionar a ideia de democracia com a ideia de uma regra de decisão colectiva específica, por exemplo maioria simples. Qual é então a essência da democracia? Talvez a de um regime político onde há uso sistemático de mecanismos que permitem a remoção pacífica de quem está no poder! Gouveia - Matemática, Estado e Democracia 17 9