Introdução a teoria dos jogos

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1 Introdução a teoria dos jogos Sabino da Silva Porto Junior Sportojr@gmail.com Fevereiro de Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 1

2 James Waldegrave: primeiro a apresentar o conceito de solução de um jogo de estratégia mista em uma carta enviada em 1713 a Pierre Rémond de Montmort. Cournot: Reserches sur les principes Mathematiques de la Theorie des Richesses. Ernst Zermelo: e Teorema e sobre o jogo do Xadrez (1913), em cada etapa do jogo pelo menos um jogador possui uma estratégia que o levará a vitória ou ao empate. Primeiro a usar a semântica da otimalidade em jogos. Emile Borel: jogos simétricos de soma zero com dois jogadores e com um número finito n de estratégias para cada jogador. Procurou a solução Minimax e provou em 1921 a existência de solução para n = 3 e em 1924 para n=5. John Von Neumann: em 1928, usando topologia e cálculo funcional, mostrou a existência de solução em estratégias mistas para um jogo de soma zero com dois jogadores e um número arbitrário n de estratégias puras. Introuziu a forma extensa do jogo. Fevereiro de Definição A teoria dos jogos é uma teoria matemática criada para se modelar fenômenos que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisão interagem entre si. teoria dos modelos matemáticos que estuda a escolha de decisoes otimas sob condicoes de conflito. Aplicações: eleições, balanços de poder, leiloes, economia, evolução genética, esportes, etc. John von Neumann Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 2

3 Jogo Estático ou Estratégico: jogadas simultâneas (ação igual a estratégia) Regras 1. Jogadores 2. Estratégias 3. Ganhos para cada combinação de estratégias Fevereiro de Albert W. Tucker (1950) Situação: Dois ladrões, M e T, são capturados e acusados de um mesmo crime. Presos em selas separadas e sem poderem se comunicar entre si, o delegado de plantão faz a seguinte proposta: cada um pode escolher entre confessar e não confessar o crime... Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 3

4 Equilíbrio em Estratégias Dominantes John Forbes Nash Junior 1949 Tese de doutorado na universidade de Princenton Non-cooperative Games. Artigos: 1950 Equilibrium points in N-person games The Baragaining Problem 1951 Non-cooperative games Two person cooperative games Tchaikovsky Jonh Nash (nobel de 1994) Maestro Confessar Não confessar Confessar Não confessar (negar) (-5,-5) (0,-10) (-10,0) (-1,-1) Fevereiro de Eliminação sequencial de estratégias estritamente dominadas linha g1 g2 g3 g4 coluna s1 s2 s3 s4 (5,2) (2,6) (1,4) (0,4) (0,0) (3,2) (1,1) (5,1) (7,0) (2,2) (1,1) (5,1) (9,5) (1,3) (0,2) (4,8) Jogador coluna não possui estratégia té dominante. Do ponto do vista do coluna, estratégia s1 é estritamente dominada. Do ponto de vista do linha: estratégia g1 é estritamente dominada...etc. Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 4

5 Guerra dos sexos Mulher Futebol Cinema Futebol (10,5) (3,3) (0,0) 3) 0) Homem Cinema (0,0) (5,10) Fevereiro de Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 5

6 DILEMA DOS PRISIONEIROS Jogo Estático de informação completa Se jogarem suas estratégias dominantes o resultado é pior para os dois. Ganho do linha (1,5) (2,2) < (3,3) (3,3) C D C D 3,3 1,5 5,1 2,2 Observe o resultado do jogo: Se o linha joga C, o coluna joga D (5>3); Se o linha joga D, o Coluna joga D (2>1) Portanto, D é um ESTRATÈGIA DOMINANTE para o jogador linha e para o jogador coluna. (2,2) (5,1) EED: resultado sub-ótimo Ganho do coluna Fevereiro de Divida a Torta com seu oponente!! Como dividi-la de tal forma que os dois indivíduos fiquem satisfeitos??? Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 6

7 Qual arranjo ou acordo seria aceitável??? Você aceitaria ficar com o lado A??? B A Fevereiro de B E agora, você aceitaria??? A Equilíbrio de Nash: eu divido, você escolhe Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 7

8 A cereja do bolo: um dos jogadores adora cerejas... Se você revela o quanto gosta de cerejas, pode perder a capacidade de barganha A B Fevereiro de Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 8

9 Jogo dinâmico ou extensivo de informação completa Árvore do Jogo Ponto de decisão inicial Pontos terminais Ponto de decisão SEC CORTAR PONTO NÃO CORTAR CPERS CPERS G T G T (1,2) (3,3) (5,-4) (4,2) Fevereiro de (2,-3) Governo (-4,3) CPERS (-1,-1) Governo Gov (1,2) (-1,1) (-3,-3) CPERS (-1,6) G o v Ncorta Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 9

10 (3,3) Presidente Aceita Veta (2,2) Presidente Aceita (4,1) U Veta (2,2) Congresso Aceita (1,4) Presidente Veta (2,2) (2,2) Fevereiro de Congresso U Presidente Presidente Veta M Veta (3,3) (1,4) (4,1) (2,2) 2) (4,1) (2,2) (1,4) Em problemas de decisão individual maior liberdade de ação nunca é pior. Em Games, ao contrário, maior liberdade de ação ou maior conjunto de opções, pode ser pior porque isso acaba influenciando i a ação dos outros jogadores. (Dixit e Nalebuff, p. 43). Vantagens do Commitment Presidente (2,2) (2,2) 2) Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 10

11 Jogo de Xadrez 20 braços iniciais a partir da raiz (jogador de peças brancas pode mover qualquer um de seus 8 peões um ou dois quadrados a frente e pode mover um de seus cavalos em uma ou duas maneiras. Jogador de peças negras: tem 20 movimentos disponiveis para cada ramo. Até aqui: 400 caminhos distintos Número de nódulos possíveis é muito grande O método de árvores não consegue resolver e não há computador capaz de resolver esse problema. Usar outros métodos... Fevereiro de Partida contra Verdasco é a mais longa da história do Australian Open 5h14min (no dia seguinte Nadal venceria Federer em uma partida de 3h22min) Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 11

12 NÚMEROS DA PARTIDA Rafael Nadal Fernando Verdasco 12 Aces /176 = 73% % de 1º saque 146/216 = 68% 3 Duplas faltas 4 92/128 = 72% % de pontos no 1º saque 103/146 = 71% 28/48 = 58% % de pontos no 2º saque 36/70 = 51% 52 Bolas Vencedoras Erros não-forçados 76 77/261 = 36% % de pontos na devolução 56/176 = 32% 4/20 = 20% Break points 2/4 = 50% 193 Total de pontos /23 = 70% Subidas à rede 33/51 = 65% Fevereiro de Estratégia de Polinização as vespas cultivam as flores para seus propósitos e as flores domesticam as vespas para os propósitos delas. Os participantes não estão agindo pelo bem do ciclo, eles estão no ciclo pelo seu próprio bem. Mutualismo natural: flores em benefício de vespas, vespas em benefício de flores. Qual o verdadeiro significado do em benefício? Resposta: DNA (Richard Dawkins, 2003,p. 288) Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 12

13 Nem de longe lembra uma vespa fêmea. (Senhora, defensora do design inteligente, em carta dirigida a Dawkins) Ophrys vermixia!!! Ao buscar o néctar a vespa acaba polinizando as orquídeas... Fevereiro de Eficiência econômica e decisão na margem Baixo custo para a orquídea pólen e design Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 13

14 Descubra que caminho leva a vila dos verdadeiros fazendo apenas uma pergunta. Tente novamente!!! Se você fosse membro da outra vila, como você responderia à questão: Qual o a caminho à esquerda estrada leva à leva à vila dos que vila dos honestos?? sempre falam a verdade? Siga a esquerda Vila dos verdadeiros Dúvida: a pessoa que respondeu é honesto ou veio da vila azul??? Vila do s mentirosos Fevereiro de Se você fosse membro da outra vila, como você responderia à questão: o caminho à esquerda leva à vila dos honestos?? Agora as respostas independem do tipo da pessoa que responde. Se a verdade é Sim, ambos responderão NÃO Raciocínio: se a resposta correta é Nãoeoestranhoéummentiroso. Ele sabe que se fosse verdadeiro responderia Não, mas como é um mentiroso responde Sim. Se a verdade é Sim, ambos responderão NÃO Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 14

15 Quadro de respostas possíveis. A verdade é... O estranho é... Verdadeiro SIM não NÃO sim Faça o contrário e chegue ao seu objetivo Mentiroso não sim Problema: só funciona com mentirosos literais (ou compulsivos, mentem mecanicamente) Mentirosos estratégicostentariam, deliberadamente, enganar o viajante (mentem quando é conveniente). Fevereiro de Exemplo com mentirosos estratégicos: mais realista. Corretor de fundos Situação dos valores dos fundos: Go up Down Tipo de corretor: Honesto Desonesto Objetivo ideal: comprar quando o valor está baixo e vender quando está alto.(comprar na baixa e vender na alta). Pergunta inteligente: se você fosse um corretor de tipo oposto, como responderia à seguinte questão: estes valores estão em alta ou em baixa? Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 15

16 Quadro de respostas: Questões inteligentes não A verdadeira resposta é... funcionam com mentiroso estratégico, ao fazer isso, ele daria uma resposta que Up Down induziria você a pensar que o estoque estaria indo na direção contrária o que seria Honesto down up conveniente para o mentiroso. O corretor é Mentiroso literal Mentiroso estratégico down up up down Saída: criar um esquema de incentivo para que ele fale a verdade. Por exemplo, criar um esquema de comissao para que ele assuma uma parcela das eventuais perdas. Mecanismo de Screening Fevereiro de Definição Esquema de Incentivo: é uma estratégia que tentat influenciar i uma ação não observável de outro jogador, dando a ele alguma recompensa ou penalidade baseada em um resultado observável daquela ação. Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 16

17 airton senna japao Fevereiro de QWERT Convenções, cultura e mudança Questão: onde encontrar um amigo na noite de POA? Saída: não importa qual convenção escolhemos, desde que todos concordem com a mesma convenção. Por vezes uma convenção é muito melhor do que a outra, mesmo assim ela não será, necessariamente, adotada. Se alguma mudança nas circunstâncias torna uma outra convenção mais desejável, mesmo assim, pode ser muito difícil adotar a mudança. Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 17

18 Fatos históricos: Christopher Scholes cria o design qwerty Objetivo: maximizar a distância entre as letras mais usadas para provocar uma digitação mais lenta, ou seja, evitar atropelamento das teclas Remington Produção em massa de máquinas de escrever com o novo teclado. Fevereiro de : Máquinas elétricas; DSK - Divorak s Simplified Keyboard Reduz em 50% a distância dos dedos em relação às letras mais usadas. Isso provoca uma redução de 10% no tempo de digitação. Mesmo assim, qwerty continua sendo usado até hoje, inclusive nos computadores modernos. Circulo vicioso completo: Todos usam QWERTY Aprendemos QWERTY Fábricas produzem QWERTY Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 18

19 : Marinha norteamericana passa a usar DSK e o custo de retreinamento é recuperado completamente em 10 dias. Observação: só funcionava plenamente para iniciantes na datilografia. Hoje: computadores podem trocar para DSK, porém o digitador tem que converter o teclado mentalmente para DSK. Ou seja, iniciantes tem que aprender QWERTY. Jogo: jogadores são as empresas e a escolha do design a estratégia. Eq. Nash: o % usado de cada tecnologia é uma constante no tempo. Ou seja, esse jogo dinâmico converge para um Equilíbrio. Fevereiro de Efeito vagão: as decisões descoordenadas de indivíduos, mantém-nos presos a QWERTY. Nenhum uso individual pode mudar uma convenção social. Matemática: dois equilíbrios no final 1. Todos usam DSK 2. 98% usam QWERTY Não diz nada a respeito da qualidade do equilíbrio ou sobre qual equilíbrio será escolhido. História importa: o acidente histórico que levou ao qwerty capturou aproximadamente 100% dos digitadores e se autoperpetuou mesmo que a motivação original para usar qwerty não exista mais. Ou seja, um evento aleatório pode levar a um equilíbrio inferior que se autoperpetua. Sempre há a Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 19

20 Sempre há a possibilidade de melhorar a vida de todos. Como fazer para sair de uma situação de Path dependence??? Ação coordenada pode o mudar para um equilíbrio melhor. Não é necessário converter todos, mas apenas a massa crítica. Como mudar para o DSK? a) Se a principal industria produzir DSK b) Se o governo federal treinar em DSK Obama e o petróleo, é possível mudar??? Fevereiro de Equilíbrio de baixo nível CMe 0 Custo médio de QWERTY Custo médio DSK Q D Q* Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 20

21 Chance de que o próximo digitador usará QWERTY Apesar desse handicap o qwerty domina o equilíbrio Percentual de digitadores usando QWERTY Fevereiro de Chance de que o próximo digitador usará QWERTY Percentual de digitadores usando QWERTY Se o percentual de digitadores usando QWERTY cair abaixo de 72% o DSK dominará e o qwerty será abandonado no futuro. Vale o mesmo para pesquisa eleitoral? Fevereiro de [PPGE/UFRGS] 21