Aritmética e Álgebra 6º, 7º e 8º ano

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1 Conteúdo Pedagógico Aritmética e Álgebra 6º, 7º e 8º ano 6 ano Matemática contábil e Introdução à álgebra O cálculo de percentagens e de juros ainda se faz, nos alunos de doze anos, por uma compreensão intuitiva. Podemos introduzir nele um elemento de nacionalidade, tratando nesse período das relações entre o cálculo, a circulação de mercadorias e a situação econômica dos homens. Mais adiante, esse tema já estimulará o egoísmo econômico, o qual terá, por exemplo, o ideal de altos juros para as economias realizadas. No 6 ano, esse efeito ainda pode ser, em grande parte, evitado. Começamos expondo aos alunos o cálculo de juros através de problemas do mundo dos negócios, por exemplo: aumento e redução de preços, descontos, abatimentos, peso líquido e bruto, tara, estatísticas, composição de produtos, amálgamas e toda espécie de comparações. Isso dará o ensejo de incluir nos problemas vários tipos de unidades de medida, permitindo a sua recapitulação. Treinamos o cálculo da percentagem, do capital e da taxa e repetimos a formulação da regra de três, pois isso constitui um obstáculo que muitas crianças só vencem depois de várias tentativas. Os problemas práticos deveriam estar relacionados com alguma atividade da classe, como por exemplo, uma visita, problemas com o edifício da escola ou problemas que têm surgido em outras matérias do ensino. Para o estudo da porcentagem propriamente dita, é necessário dispor de bastante tempo. Limitamo-nos originalmente aos juros anuais e treinamos o cálculo de juros, do capital e da taxa de juros. Incluímos o fator tempo, mas ainda não falamos de juros compostos. Pode haver problemas com juros de vários anos e de apenas uma parte de um ano. Convém resolver tais problemas inicialmente com a regra de três, mas ao usarmos as abreviações j, c, p, t, para juros, o capital, taxa e tempo, já criamos, com as várias fórmulas, uma ponte para o cálculo com números genéricos. É importante que os alunos do 6 ano possam se elevar do cálculo com números determinados de maneira concreta ao raciocínio baseado em números genéricos. Por isso, ampliamos o uso dos símbolos do cálculo de juros para cálculos nos quais ocorrem números genéricos (símbolos, letras) misturados com números concretos. Contribuem para isso, as contemplações geométricas tais como serão expostas, mais adiante, no capítulo "Geometria". Outros problemas que servem de introdução à

2 álgebra se encontram no livro de Ernst Schubert, Der Mathematikunterricht in der sechsten Klasse anwaldorfschule. Essa nova matéria tem um significado particular quanto à evolução das crianças, ela tem urna importância especial. Mas não podemos deixar de lado a recapitulação do que já foi aprendido. O cálculo com frações só será assimilado pelas crianças menos bem dotadas, se no decorrer dos anos voltarmos sempre com a repetição das fórmulas já decoradas. 7 ano O cálculo algébrico, iniciado no 6 ano, é que passa a Ter, de agora em diante, urna importância particular. Os alunos podem se conscientizar mais sobre as regras genéricas dos cálculos, do que se calculassem apenas numericamente. Isso não quer dizer que o cálculo algébrico deva sempre ocorrer separado do cálculo numérico. Muito ao contrário, o cálculo algébrico pode nascer do cálculo numérico e a relação entre ambos precisa sempre ser procurada. Quando os alunos não calculam mais com números definidos, mas com números gerais, usando letras no lugar de algarismos, eles deveriam ter a sensação de lidar com números. Por um caminho que liga o cálculo algébrico com o cálculo numérico, elas vão vivenciar que a álgebra revela regras gerais de cálculo, tornando visíveis relações importantes e, ao mesmo tempo, bonitas. Começamos, por exemplo, com cálculos, tais como 14 x 26. Calculamos, inicialmente, "de cabeça", 10 x 26 = 260, em seguida 4 x 26 = 104, total 364. Depois de termos solucionado uma série de tais problemas, podemos passar a escrever o exemplo da seguinte maneira: 14 x 26 = (10 + 4) x 26 = x 26 = x (20 + 6) = = 364 Dessa maneira, reproduzimos por escrito exatamente o que antes tinhamos calculado mentalmente, só que ainda desmembramos o 26 em Depois fazemos com que as crianças escrevam muitos exemplos, de uma maneira mais sistemática: 14 x 26 = (10 + 4)x(20 + 6) = 10 x x x x 6 = = 364 As multiplicações deveriam sempre ser feitas na ordem indicada. Podemos também fazer calcular seqüências como 13 x 16, 13 x 17, 13 x 18, etc. 16 x 12, 26 x 22, 36 x 32, etc. Comparando os resultados é possível descobrir relações regulares. O passo seguinte pode ser a solução de (a + 6) x (a +2) feita da maneira já treinada acima: (a + 6)(a + 2) = a² + 2a + 6a + 12 = a² + 8a + 12

3 A essa altura podemos colocar vários números no lugar de a e fazer a operação de duas maneiras: uma vez de acordo com a fórmula (a + 6)(a + 2), e em seguida, de acordo com fórmula a² + 8a Os alunos vão poder constatar que os resultados são os mesmos. Dessa maneira, familiarizamos os alunos, pela operação prática, primeiro com números quadrados, em seguida com potências mais elevadas e com o uso de ( ) parênteses. Em seguida, percorremos o caminho em sentido inverso, transformando seqüências trinominais em produtos, por exemplo: a² + 10a + 21 = (a + 3)(a + 7). Efetuamos a multiplicação e verificamos se a solução está correta. Após muitos exercícios e aumentando a dificuldade, chegamos ao primeiro teorema do binômio. (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b2 = a² + 2ab + b² Substituindo a + b por uma seqüência de números de dois algarismo, por exemplo: 11² = (10 +1)² = 10² + 2 x 10 x 1+1² = = ² = (10 +2)² = 10² + 2 x 10 x 2 +2² = = 144, etc., Constatamos o crescimento de um número quadrado para o seguinte e descobrimos uma série de regras. Com os números negativos, os alunos passam a conhecer uma nova qualidade dos números. Esta não pode ser vivenciada pelo termômetro. Pois quando a temperatura desce abaixo de zero, o calor simplesmente diminuiu, sem mudar para uma qualidade oposta. A situação é diferente quando o saldo de uma conta bancária diminui constantemente, fazendo que o saldo positivo passe a ser uma dívida. Os alunos sentem muito bem essas mudanças qualitativas. Mesmo assim, é um bom exercício observar temperaturas que sobem e descem, pois os alunos devem aprender a ler com segurança as escalas. As qualidades opostas dos números positivos e negativos podem ser claramente vivenciadas pelo peso e pela leveza. Dessa maneira, a segurança nos cálculos e a compreensão das diferenças qualitativas, acompanhadas pelo sentimento, aumentarão gradualmente. Os alunos aprendem a efetuar, com plena compreensão, a subtração de números negativos (com o aumento do resultado), assim como a multiplicação de um número negativo com outro. Finalmente, os números positivos e negativos vêm a formar, não obstante seus aspectos contrários, um reino numérico uniforme. Um campo importante do cálculo é constituído pelas equações. Os alunos podem ser introduzidos neste campo matemático de modo a ter a sensação de que este não lhes

4 é estranho, continuando assim, a efetuar os cálculos da mesma maneira. Podemos partir, por exemplo, de cálculos do seguinte tipo: - Imagino um número. Somando a ele 12, o resultado é Imagino um número. Somando a ele 4, o resultado é Imagino um número. Subtraindo dele 7, o resultado é Imagino um número. Multiplicando por 3 e acrescentando 4, o resultado é 19. Escrevendo esses cálculos e colocando um "x" no lugar do número imaginado, realizamos uma transição fácil de acompanhar. Para essa forma de equação poderemos desenvolver, pouco a pouco, as técnicas de transformação que são típicas das equações. 8 ano Os alunos adquirem a prática na transformação das expressões algébricas através de muitos exercícios e um sentimento para a escolha do processo matematicamente correto. Eles vêm a conhecer na álgebra problemas mais difíceis, pelos quais aprendem a lidar com as potências, com as raízes, com os parênteses e com frações envolvendo números negativos. As equações oferecem, justamente, a oportunidade de incluir novas dificuldades, por meio de passos bem dosados. Das equações com números inteiros que têm como soluções frações, passamos a outras com frações cujas soluções são números inteiros, chegando, por fim, às equações com frações que levam a resultados contendo frações. Esses problemas apresentam uma dificuldade adicional quando usamos, em escala maior, números negativos. O exercícios práticos, que exigem que se estabeleçam equações, podem também fazer parte de cálculos já conhecidos. Podemos, de início, apresentar problemas iguais aos já usado para introduzir as equações, mas com um grau de dificuldade um pouco maior. Por exemplo: a undécima parte de um número é menor que 5, em comparação com a 6a parte. Passamos, em seguida, a problemas nos quais não só a expressão lingüística da equação precisa ser apresentada em forma de símbolos, mas onde a própria equação precisa ser encontrada. Uma boa oportunidade para isso são os problemas nos quais é necessário procurar toda uma seqüência de números. Por exemplo: quatro números consecutivos, da seqüência natural dos números, têm como soma 234. Aumentamos o grau de dificuldade, sugerindo procurar seqüências com números ímpares, e, em seguida, com diferenças maiores. Com isso, criamos uma base a partir da qual podemos atacar problemas ainda mais difíceis.

5 Nessa idade, as forças de discemimento estão ansiosas para despertarem. Os cálculos algébricos podem ser muito úteis, para que tais forças possam nascer com plena realização, porém, só ocorrerá no ensino médio (colegial).