MATEMÁTICA PRIMEIRO ANO NOME COMPLETO: TURMA: TURNO: ANO: PROFESSORA:

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1 MATEMÁTICA PRIMEIRO ANO NOME COMPLETO: TURMA: TURNO: ANO: PROFESSORA:

2 OBJETIVO GERAL DA ÁREA DO CONHECIMENTO Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo a sua volta; Perceber que a disciplina estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas; Desenvolver a auto-estima e a perseverança na busca de soluções durante o processo de ensino e aprendizagem; Interagir com os colegas de modo cooperativo, aprendendo a trabalhar em conjunto na busca de soluções; Utilizar os conceitos estudados em Matemática para analisar, interpretar, formular, comparar e resolver situações problema contextualizadas ou não, favorecendo a estrutura do pensamento e o desenvolvimento do raciocínio lógico. Estabelecer relações entre esses conceitos e os conhecimentos adquiridos em outras áreas do conhecimento. CONTEÚDOS ABORDADOS NESTE MÓDULO 1. Noções básicas de conjuntos numéricos 2. Noção de notação de intervalos e sua representação na reta real 3. Revisão de plano cartesiano 4. Conceito de função através de situações gráficas e problemas 5. Analise de gráficos quanto ao: domínio, imagem, crescimento e decrescimento entre outras analises. 6. Função do primeiro grau e suas aplicações 7. Função do segundo grau e suas aplicações 8. Equações e funções exponenciais 2

3 1. Noção básica de conjuntos numéricos 1.1 Conceito de Conjunto Segundo Medeiros (2009) não existe uma definição especifica para conjunto, podendo ser considerado uma coleção de objetos. Os objetos que fazem parte de uma coleção são os elementos do conjunto. Ex.: um ponto é um elemento de um conjunto de pontos. Um planeta é um elemento do conjunto de astros. Relação de Pertinência Para dizer que x é um elemento de um conjunto A, escreve-se: x є A (leitura: x pertence ao A) Para dizer que x não é um elemento do conjunto A, escreve-se: x A (leitura x não pertence ao A) (MEDEIROS, 2009) Relação de inclusão Medeiros (2009) menciona que se todo elemento de um conjunto A também for um elemento de um conjunto B, então podemos dizer que A é um subconjunto de B. Para indicar que A é um subconjunto de B, escreve-se: A B (A está contido em B) A B (B contém A) Se o conjunto de A não for subconjunto de B, escreve-se A B (A não está contido em B) 1.2 Tipos de Números a) Números naturais (N) Para Medeiros (2009), o conjunto dos números naturais é importante pelo seu uso na contagem, ou seja, é uma classe de números usados no processo de contagem de objetos (concretos ou abstratos). 3

4 Notação é N = {0, 1, 2, 3, 4...} A sucessão dos números naturais começa pelo zero e cada número seguinte é obtido acrescentando- uma unidade (+1) ao número anterior. (Giovanni e Giovanni Jr, 2010). Não existe o maior número natural, a sucessão é infinita. Existindo uma sucessão de números (14, 15 e 16) são chamados números consecutivos. Sucessão dos números naturais pares = 0, 2, 4, 6, 8... Sucessão dos números naturais ímpares = 1, 3, 5, 7... b) Números inteiros (Z) Conforme Medeiros (2009) o conjunto dos números inteiros é formado pelos elementos do conjunto dos números naturais acrescidos de seus simétricos. Notação Z = {...- 2, -1, 0, 1, 2,...} Conjunto de números inteiros positivos (equivalente ao conjunto dos números naturais). Ex.: + 14, + 22, + 13 Conjunto de números inteiros negativos Ex.:- 8, - 6, - 1 c) Números Racionais ou fracionários (Q) Números racionais são os que podem ser escritos na forma de fração de números inteiros. Tem representação decimal finita ou periódica. Para Giovanni e Giovanni Jr (2010) todo numero racional é o resultado de uma divisão de números inteiros, sendo o segundo número diferente de zero. Todo número racional relativo pode ser escrito da seguinte forma:, com a e b inteiros e b 0. Ex.: a) + 4 e 4 são números racionais inteiros. 4 = 4 1 = 4 (número racional escrito na forma fracionária) ou 4 (número 1 1 inteiro) 4

5 b) + 5 e 5 (números racionais na forma de fração) 7 7 c) + 2,8 e 2,8 (números racionais na forma decimal) d) Números Irracionais (I) São números cuja representação decimal é sempre infinita (não é exata), nem periódica, consequentemente, não podem ser escritos sob a forma de fração. Um número irracional nunca pode ser escrito da seguinte forma:, sendo a e b números inteiros e b 0 ex.: = 1, = 3, e) Números Reais (R) É a reunião ou união de todos os números acima apresentados. Logo podemos pensar em: N U Z U Q U I= R ou ainda Q U I= R pois Q = N U Z Atenção: U significa união Representação de um conjunto 1) Extensão Quando está entre chaves, e separados por vírgulas representam os elementos formadores de um conjunto. Ex.: A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4, 5} 5

6 2) Compreensão Medeiros (2009) diz Quando escrevemos entre chaves, uma característica comum a todos os elementos formadores do conjunto. Ex.: A resposta está escrito por A = {x x é vogal} = {a, e, i, o, u} extensão {a,e,i,o,u}, agora quando B={xN/0<x<4} = {1,2,3} C={xN/0 x 4}={0,1,2,3,4} olhamos para {xr/0<x<4}, dizemos que está escrito por compreensão 3) Por figuras Através de linhas simples fechadas conhecidas como diagramas de Venn. C Exemplos: Conjunto unitário É o conjunto que possui apenas um elemento. Ex.: A = {x x é par compreendido entre 9 e 11} = {10} Conjunto vazio É aquele que não possui elementos, sendo representado da seguinte forma: { } ou A = {x x = x² = 9 e x é par} = { } 6

7 Operações entre conjuntos Reunião ou união Dados dois conjuntos A={0,10,20,30} e B={0,20,40,50}, podemos escrever um conjunto C formados com os elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou a ambos. Assim, C={0,10,20,30,40,50}. O conjunto C é chamado reunião ou união de a e B é indicado por A B(lê-se: A união com B ou A reunião com B). A B={x /xa ou xb} Intersecção Dados dois conjuntos A={0,10,20,30} e B={0,20,40,50}, podemos escrever um conjunto C formados com os elementos que pertencem simultaneamente a A e B, ou seja, pelos elementos comuns a aa e a B. Assim, C={0,20}. O conjunto C é chamado intersecção de a e B e é indicado por A B(lê-se: A intersecção b ou, simplesmente, a interb} A B={x /xa e xb} Diferença Dados dois conjuntos A={0,1,3,6,8,9} e B={1,4,9,90}, podemos escrever um conjunto C formado pelos elementos pertencentes a A mas que não pertencem a B. Assim, C={0,3,6,8}. O conjunto C é chamado diferença entre A e B e é indicado por A-B{lê-se: A menos B} A-B={ x /xa e x B} 7

8 Alguns exemplos resolvidos: Cuidado com os sinais: > maior menor e igual 2 x 4 a resposta são números maiores e igual a 2 e menores e igual a 4 2 < x < 4 a resposta são números maiores que a 2 e menores que 4 I)Escreva por extensão os elementos abaixo: a) K= { x N / x >0} = b) R= { x N / x 3}= c) T={x Z*/-1 x 2 } = d) W={x Z/0 x 2 }= II) Resolução de problemas: Antes de resolver monte sempre o diagrama isso vai lhe ajudar. 1) Numa pesquisa sobre a preferência em relação a três marcas de salgadinhos. O resultado foi o seguinte: 250 delas gostam do salgadinho A, 150 gostam do salgadinho B e 50 gostam somente do salgadinho C, e ainda 10 gostam do A e B, 15 do B e C, 5 do A e C e 2 dizem gostar do A, B e C. Vamos preencher os dados no diagrama: A B C a)quantos gostam apenas do salgadinho A? b)quantos gostam do salgadinho A ou B e não gostam de C? c)quantos gostam dos três? d)quantos gostam do C? e)quantas pessoas foram entrevistadas? 8

9 2) Em uma prova discursiva de álgebra com apenas duas questões, 470 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova? 3)Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas. Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum Número de telespectadores x Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: (A)200 (B)300 (C)600 (D)900 (E) 1000 Exercícios: 1. Determine os elementos dos conjuntos, represente por extensão: a) A = { x N / x 0} b) C= { x N /1< x< 4} c)d={ x Z* / -1 < x < 4} d)h={x Z/-5 x 8} e)w={x Z/-3 x 4 } f)i={x Z/-3 x 2} g)t={x Z/-3 x 0 } h)t= { x N / x 0} 9

10 2. Marque V ou F, caso seja falsa justifique: a)( )O conjunto dos números inteiros contem o conjunto dos números racionais. b)( )O subconjunto de números que podem ser expressos através de uma fração está contido no conjunto dos números racionais que contem também o conjunto de todas às raízes. c)( )Um decimal periódico pertence ao conjunto dos números irracionais. d)( )O zero pertence somente ao conjunto dos números naturais. e)( )O conjunto dos números reais é dado pela união do conjunto dos números racionais e irracionais. f)( )O conjunto dos naturais contem o conjunto dos inteiros. g)( )O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números reais. 3. Observe a seqüência de números abaixo: 1 7, 7, 4,, 8, - 9, 0,333..., 1, , Analise as afirmações abaixo: I)Todos os números listados acima pertencem ao conjunto dos números reais. II)Dois deles pertence ao conjunto dos números naturais. III)Somente dois deles pertencem ao conjunto dos números irracionais. IV)Somente um pertence ao conjunto dos números inteiros. V)Somente seis deles pertencem ao conjunto dos números racionais. Posso afirmar que: a)( ) a I e a V estão corretas. b)( ) todas estão corretas. c)( )somente a V está correta. d)( ) a I e a II e a III estão corretas. e)( )todas estão incorretas, exceto a II 4. A partir do diagrama abaixo marque V ou F a)( ) N Z I b)( ) R Q I I N c)( ) d)( ) Q R Q R Q N Z I 10

11 Atenção resolver no caderno!!!! 5. Pesquisadas todas assinavam pelo menos um dos dois jornais A e B: 50 assinavam A; 80 o jornal B e 30 assinavam A e B. Qual o total de assinantes? 6. Numa escola 150 alunos estudavam Matemática, 20 estudavam Português e Matemática e os 30 restantes estudavam outra disciplina. Pergunta-se: Qual o total de alunos dessa escola? 7. Num clube exatamente 30% dos sócios praticam futebol, 80% vôlei. Se todos os sócios praticam pelo menos um dos dois esportes, qual é o percentual de praticantes dos dois? 8. Os dados abaixo é o resultado de uma pesquisa feita em uma cidade sobre o consumo de três produtos: A=30 B=50 C=70 AeB=10 AeC=5 BeC=6 A,BeC=1 NENHUM= Com base nos dados responda: a)quantas pessoas foram pesquisadas? b)quantas consomem apenas um dos produtos? c)quantos não consomem o produto C? d)quantas pessoas consomem só dois produtos? 9. Em um condomínio de 600 famílias, 315 possuem carro, 240 famílias possuem TV e 182 não possuem carro nem TV. Perguntas-se: a)quantas possuem carro ou TV? b)quantas possuem carro e TV? c)quantas possuem carro e não possuem TV? 10. Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis e 11 jogam as três modalidades. O numero de pessoas que jogam xadrez é igual ao numero de pessoas que jogam tênis. a)quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei? b)quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei? c)quantos jogam vôlei e não jogam xadrez? 11. Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas lêem o jornal A, 180 o jornal B e 60, os jornais A e B. a)quantas pessoas lêem apenas o jornal A? b)quantas lêem o jornal B? c)quantas lêem jornais? d)quantas não lêem jornais? 11

12 12. Numa pesquisa verificou-se que das pessoas consultadas 110 liam o jornal A 150 liam o jornal B, 20 liam os dois (A e B) e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas forma consultadas? 13. Uma prova está constituída de dois problemas. 330 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo 100 acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova? 14. Numa sala de aula com 60 alunos 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Calcule o numero de homens que não jogam xadrez. 15. Um levantamento socioeconômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?... Atenção... Alguns conjuntos podem ser representador por extensão outros não, pois sua resposta contempla uma grande quantidade de números que não conseguimos escrever. Veja os dois exemplos abaixo: A= { x Z / 2 x<5 }= {2,3,4} B= { x R / 2 x<5 }= há infinitos números reais maiores e iguais a 2 e menores que 5, logo não é possível escrevê-los todos entre chaves separados por vírgula. Então foi necessário criar uma maneira de representar estes conjuntos. Nasce ai a notação de intervalos. Então como podemos representar o exemplo dado acima através desta nova notação. { x R / 2 x<5 } Na reta real: Por notação de intervalos: [2,5[ ou [2,5) 12

13 2.Noção de Intervalos A notação de intervalos surgiu para que pesquisadores pudessem expressar uma grande quantidade de números que não podem ser escritas por extensão. Para tal se faz uso da reta real para representar estes números. Denominamos intervalo a qualquer subconjunto dos números reais (um intervalo infinitos elementos). Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, temos: a) intervalo aberto Representação algébrica: x R a x b ou (a, b) ou ]a, b[ A bolinha vazia indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, exclusive. b) intervalo fechado Representação algébrica: x R a x b ou [a, b] A bolinha cheia indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, inclusive. c) intervalo semi-aberto à direita Representação algébrica: x R a x b ou [a, b) ou [a, b[ d) intervalo semi-aberto à esquerda Representação algébrica: x R a x b ou (a, b] ou ]a, b] Podemos ter ainda intervalos com as seguintes características: x R x a ou (a, + ) 13

14 x R x a ou [a, + ) x R x a ou (-, a) x R x a ou (-, a] 1. Escreva através de notação de intervalos e por compreensão os intervalos representados graficamente. a) Reta real Notação por compreensão Notação de intervalos b) c) 1 d) -3 e) -2 5 f) g) 14

15 h) 2. Represente na reta real: a) (-6,8] b) (-1,3) c) [2,6] d) (-,5] e) (-,3) f) { x R / x 0} g) {xr/1<x<4} h) { x R / -1 < x < 4} i) { x R / 2 x 0} j) { x R / x 5} k) { x R / x 4} 15

16 3. Analise as afirmações abaixo e marque a resposta correta: I ){ x N / 3 x 5} ]3,5[ II ){ x R / 2 x 4} {3} III ){ x R / x 2} (2, ) IV ){ x Z / x 2} (,2] a) ( ) a I e II estão corretas d) ( )a III e IV estão corretas b) ( )a II e III estão corretas e) ( )todas são falsas exceto a III c) ( )todas são falsas exceto a II 4. Sejam as retas, analise e marque a resposta correta é: I) = I ) (-2,5) -2 5 II) = II ){ xz / x 2} -2 III) = III ){-1,0,1,2,3,...} a) ( ) somente a I é falsa b) ( ) somente a II é falsa c) ( ) somente a III é falsa d) ( )nenhuma é falsa e) ( ) todas são falsas 3.Retomada de plano cartesiano a partir de leis de formação A denominação sistema cartesiano tem origem na palavra Cartesius, que é a forma latina do nome René Descartes( ), filósofo e matemático francês. A inteligente invenção de Descartes, assim como outras descobertas importantes, é simples. Idéia : desenhe duas linhas perpendiculares uma da outra. A posição de qualquer ponto pode ser dada medindo a distância até o ponto a partir de cada uma dessas linhas. Observe: Cada reta acima recebe um nome, a linha que está na horizontal recebe o nome de abscissa ou eixo x, já a linha que está na vertical recebe o nome de ordenada ou eixo y. 16

17 O local onde as duas retas se encontram chama-se origem, a partir dela no eixo x marca-se pontos positivos para a direita e negativo para a esquerda. Já no eixo y a partir da origem para cima marcam-se os pontos positivos e abaixo da origem os pontos negativos. O sistema cartesiano é simples cada par ordenado (x,y) é como um endereço onde a primeira coordenada refere-se ao deslocamento da origem para a esquerda ou direita (eixo x) e posteriormente para cima ou para baixo de acordo com a segunda coordenada (eixo y). Um cuidado especial que devemos ter é quando uma das coordenadas for zero. Quando a coordenada de x for zero isso significa que a localização do ponto ficará marcado em cima do eixo y, da mesma maneira quando y for igual a zero a localização do ponto será dada em cima do eixo x e quando as duas coordenadas for nula a localização deste ponto será a origem. Dizemos que os pontos alem de estar na origem ou em cima de algum dos eixos ele também pode estar no primeiro, segundo terceiro e quanto quadrante. Observe: Veja que os quadrantes são dados em sentido anti-horário. Vejamos : A=(-5,3) B=(6,5) C=(4,5;-3,5) D=(0,0) E= (-4,-3) F (-6,0) G (0,-6) 17

18 Localização dos pontos A está no II quadrante C no IV quadrante E no III quadrante B no I quadrante D na origem F no eixo x G no eixo y Retirando pares ordenados de gráficos: Exemplo: Observe o plano cartesiano abaixo, veras que temos uma reta como gráfico, encontrem os valores de y para cada valor de x abaixo conforme a tabela. X Y 18

19 Traçando gráficos a partir de sentenças matemáticas Para tal basta escolher valores aleatórios de x e substituir na equação encontrando y a)y= -2x+2 Vamos usar x={-2,-1,0,1,2} 19

20 b)y= x²-2 Vamos usar x={-2,-1,0,1,2} 20

21 Exercício: 1. Faça os cálculos e construa os gráficos, para todas as sentenças abaixo: Para efeito de cálculo usar: x={-2,-1,0,1,2} a) y= - x +1 21

22 b) y= x

23 c) y= -3.x-2 23

24 d) y= - x²-2 24

25 e) y= -x²+ 1 25

26 2. Dados os gráficos abaixo retire os valores que se pede conforme a tabela: a) b) x y x y 26

27 4. Função Função é uma relação entre duas grandezas (A e B) que variam a partir de uma relação de dependência, onde cada elemento de (A) possui um único correspondente em (B), sendo x Ae y B. Nesta relação de dependência as grandezas são denominadas: (x) independentes e (y) ou f(x) dependente e esta relação de dependência que torna as funções importante para administradores, contadores, gestores ambientais etc. Ex; de situações: a) O que se paga por mês de água depende do consumo da mesma. Variáveis: consumo de água e valor a pagar Quem depende de quem: valor a pagar depende do consumo de água b) O que você gasta por mês depende do que você compra. Variáveis: compras e gasto total Quem depende de quem: o gasto de mês depende das compra realizadas c) A conta de telefone depende do tempo de ligação. Variáveis: Quem depende de quem: d) O preço de uma roupa depende do seu custo de produção. Variáveis: Quem depende de quem: Todos estes exemplos representam funções isto é, uma dependência entre variáveis. As funções podem ser expressas através de sentenças matemática ou leis de formação como, por exemplo: y = 2.x+1 variável dependente é y a independente é x (cada valor de y será igual a duas vezes o valor de x mais um) v = t-2 variável dependente é v e a variável independente é t (cada valor de v será igual a t menos dois) f(x) = x +4 variável dependente f(x) e a variável independente é x (cada valor de f(x) será igual a x mais quatro) 27

28 Representação gráfica de uma função Graficamente é importante lembrar que representamos no eixo x a variável independente e no eixo y a dependente. Relembrando: Função é uma relação entre duas grandezas (A e B) que variam a partir de uma relação de dependência, onde cada elemento de (A) possui um único correspondente em (B), sendo x Ae y B. Exemplos: Noção de função no gráfico descontextualizado: Gráficos descontínuos Sendo: A={1,2,3} e B={1,2,3}, onde: x Ae y B 1) 2) 3) 4) Observações: 28

29 Gráficos contínuos Dica: Traçar retas paralelas ao eixo y em cima do gráfico se alguma destas retas tiver passando pelo gráfico em mais de um ponto significa que este gráfico não representa uma função. Quais gráficos são funções, sendo A e B R, onde: x Ae y B. 1) 2) 3) 4) Observações: 29

30 Exercícios: 1. Sendo a f(x)= R em R, analise os gráficos abaixo e identifique os que são funções e os que não justifique de maneira breve: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 30

31 2. Os gráficos abaixo representam uma relação R de A={1,2,3,4} em B={5,6,7,8}, quais deles não são funções, justifique: a) b) y x y x c) d) 8 y y x x y e) 8 f) x 1 4 x 31

32 3. Sendo os gráficos abaixo de A=[3,6] em Reais? Marque a alternativa correta: a) b) c) d) e) f) ( )todos são funções ( )somente a e d são funções ( )somente c e e são funções ( )todas são funções exceto a e c ( )todas são funções exceto a, c e f 5. Outras análises: domínio, imagem crescente, decrescente e constante Num gráfico podem ser analisadas muitas coisas como: domínio e imagem: Primeiro alguns conceito iniciais: O domínio de uma função é obtido pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas (eixo x) Imagem é obtida pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas (eixo y). 32

33 Imagem Imagem Domínio D(f) ={x R / 0 x 3} Ou D(f) = [ 0, 3 ] Im(f) ={y R / -2 y 4} Ou Im(f) = [ -2, 4 ] y x Domínio D(f) ={x R / -2 < x <2} Ou D(f) = ( -2, 2) Im(f) ={y R / -3 y <3} Ou Im(f) = [ -3, 3) 33

34 ... Cuidados especiais... I) Quando a função não é contínua. D={-1,1,2} Im={-2,3} II) Quando a função vai para o infinito D=R ou Im=R ou D= (-, +) Im=(-, +) III) Quando a imagem é somente um número D=R ou D= (-, +) Im={1} 34

35 Analise do intervalo de x onde a função é: crescente, decrescente ou constante. Uma função é dita crescente se para x 1 > x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ), isto é, se à medida que x aumentar o y também aumentar. Se x 1 > x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ), a função é dita decrescente e constante quando para todo x tem-se o mesmo y, isto é uma única imagem. Função crescente Função decrescente Função é constante y y y x x x O exemplo abaixo mostra um gráfico (f ) de velocidade em função do tempo, analise e responda: a) Qual o intervalo de tempo em que a velocidade diminuiu? (decrescente) b) Qual o intervalo de tempo em que a velocidade aumentou? (crescente) c) Qual o intervalo de tempo em que a velocidade não se alterou? (constante) 35

36 d) Qual a velocidade que o carro está 1 hora e 30 minutos? Ou f(1,5) isto é qual o valor de y para x=1,5 e)há que horas o carro estava com uma velocidade de 130km/h? Ou f(x)=130 isto é qual o valor de x para y=130 Exemplo: Responda o que se pede abaixo: Qual o valor de x para y= -1 F(0)= F( )= D= D= Im= Im= Intervalo de x: Cre De Con Intervalo de x: Cre De Con 36

37 Exercício: 1. Analise os gráficos abaixo. Determine domínio e imagem e a seguir indique para quais valores de x a função é crescente, decrescente ou constante e se houver alguma pergunta responda: D= D= Im= Im= Intervalo de x: Intervalo de x: Cre Cre De De Con Con 37

38 D= D= Im= Im= Intervalo de x: Intervalo de x: Cre Cre De De Con Con F(0)= x para f(x)= 4 x para f(x)= -5 38

39 D= D= Im= Im= Intervalo de x: Intervalo de x: Cre Cre De De Con Con x para f(x)=5 x para f(x)=-1 F(1)= F(5)= 39

40 D= D= Im= Im= Intervalo de x: Intervalo de x: Cre Cre De De Con Con x para f(x)= -3 x para f(x)=-3 F(0)= F(-3)= 40

41 2. Analise o gráfico e responda: a) O que está acontecendo com a velocidade do carro após 12 km? b) Qual a velocidade do carro em 10 km do percurso? c)qual a velocidade máxima que o carro atingiu? d) Qual o intervalo de tempo que a velocidade aumentou? 3. O gráfico mostra variação da velocidade, em metros por segundo, de um objeto em função do tempo. v t a) O que podemos dizer sobre a velocidade, durante o intervalo de tempo de 2 à 6s? b)qual a velocidade do carro em 2 segundos? c)o que pode-se dizer sobre a velocidade do carro após 6segundos? 41

42 4. O gráfico mostra a trajetória de uma bala de canhão, no gráfico: altura (H) e tempo (t). Qual que altura a bala em 4segundos? 5. O gráfico mostra a trajetória de uma bola de tênis jogada de certa altura. a) Em que instante de tempo a bola atinge o solo? b) Após atingir o solo qual a altura máxima da bola? 6. O gráfico abaixo mostra o deslocamento de duas bicicletas, sabe-se que ambos estão numa velocidade constante. a)quem estava na frente nos 5 primeiros segundo de prova? b)em que momento os dois estão com a mesma velocidade? 42

43 6. Função linear ou função polinomial do primeiro grau e função constante Algumas considerações sobre função do primeiro grau: I. Toda a função do tipo: f(x)=a.x+b é linear sendo a 0 onde a é chamado coeficiente de inclinação ou angular e b chamado coeficiente linear. Por exemplo: y= -5x+1 a= -5 b=1 f(x)= 3x a=3 b=0 Não esqueça: II. Uma função pode ser: Crescente Decrescente Exemplos: y= -5x+1 a= -5 função decrescente f(x)= 3x a=3 função crescente 43

44 III. O coeficiente angular (a) é responsável pela inclinação da reta em relação ao eixo x. IV. O coeficiente linear (b) é responsável pelo deslocamento no eixo y. V. Raiz de uma função ou zero da função é o valor fica marcado em cima do eixo x, isto é o valor de x quando y=0 ou f(x)=0 isto é quando a função se anula. O valor que intercepta o eixo y é o valor de b, isto é o valor de y quando x=0 VI. Para traçar o gráfico vamos utilizar os pontos de intersecção dos eixos que é dado a partir da raiz da função e do valor do coeficiente linear. Por exemplo: Vamos responder as questões abaixo: f(x)= -2x+4 Quem é o coeficiente angular: e o linear; a partir da lei da função pode-se dizer que ela é ( )constante, ( )crescente ou ( )decrescente Calcule o valor de f(3) Qual o valor de x para f(x)=4 Resolva: f(2)+f(0)-f(3) 44

45 Encontre os pontos de intersecção dos eixos? Eixo y é interceptado pelo valor de b: que neste caso é: Eixo x é interceptado pela raiz da função: calculamos então Faça agora a representação gráfica utilizando os pontos de intercecção. 45

46 Algumas considerações sobre função constante: I. Toda a função do tipo: f(x)= b é constante pois a=0 II. Toda função constante é uma reta, paralela ao eixo x, pois sua imagem é sempre um mesmo valor. III. Não existe raiz função ou zero da função, pois a reta não cruza o eixo x. IV. Para traçar o gráfico de uma função constante basta conhecer o coeficiente linear e assim traçar uma reta paralela ao eixo x passando por este ponto. Exercícios: 1. Dada a função f(x)= 41, determine o que se pede a) Qual a raiz da função, se existir b) Ela é crescente decrescente ou constante, justifique: c) Qual a imagem da função d) Qual o domínio da função 46

47 2. Dada a função f(x)=-3x-9, determine o que se pede: a) Calcule f(3)-f(-1) b) Calcule f(-1)+f(4) c) Calcule x para f(x)=5 d) Calcule x para f(x)=10 47

48 3. Dada as funções abaixo as classifique em crescente, decrescente ou constante, encontre sua raiz (se existir), e faça a representação gráfica, utilizando os pontos de intersecção dos eixos. a) f(x)= 2x+1 b) f(x)= -x+2 48

49 c) f(x)= x d) f(x)=4 49

50 e) f(x)= 4 x +2 f) f(x)=1-2 x 50

51 g) f(x)=-7 h) f(x)= 3 x +1 51

52 4. Dada a função f(x)=3+2x, determine o que se pede: a) Calcule f(x)=5 b) Calcule f(0)-f(3). f(-1) c) Calcule x para f(x)= -10 d) Calcule f(2) : f(-1) + f(0) 5. Dada f: tal que f(x) = 5x 9 Verifique se os pares ordenados (0, 9) e (1, 4) pertencem ao gráfico da função. Justifica tua resposta 52

53 6. Simular o gráfico das funções de primeiro grau de acordo com as características dadas: Exemplo a>0 e b> 0 O b informa onde corta o eixo y e a diz se a f é crê, de ou constante, dica: 1º marque o b e depois desenhe a reta de acordo com o que se pede passando pelo ponto marcado. b>0 marca acima do eixo x a>0 significa que reta deve ser crescente b a) a<0 e b<0 d) a>0 e b<0 b) a<0 e b>0 e) a=0 e b>0 c) a=0 e b<0 53

54 Aplicações de funções do primeiro grau Exemplo: I) O salário mensal (sem os descontos legais) de um operário é composto por $ 1500,00 fixo mais $15,00 por hora extra, sabe-se que o salário dele varia de acordo com as horas extras que faz. Responda: a) Quais as variáveis do problema? b) Quem depende de quem? c) Represente matematicamente a situação através de uma equação que expresse essa dependência, isto é escreva matematicamente como é calculado o salário. d) Se o operário trabalha faz 5 horas extras, qual será seu salário? e) Se o operário recebeu bruto no final do mês $ 1800,00, quantas horas extras ele fez no mês? 54

55 f) Represente graficamente como fica o salário bruto do funcionário em função do número de horas extras trabalhados Para organizar o raciocínio montei uma tabela, vamos usar para o número de horas extras (0,2,4,6) Exercícios (FAZER NO CADERNO) 1. Márcia ligou seu computador à rede internacional de computadores INTERNET. Para fazer uso dessa rede, ela paga uma mensalidade fixa de R$ 30,00, que lhe dá direito a 1000 min mensais e mais 5 centavos de real (R$0,05) a cada minuto de uso excedente ao plano. O valor a ser pago por Márcia ao final do mês depende, então do tempo que ela gasta acessando a INTERNET. a) Quais as variáveis do problema: b) Faça uma lei que explique a situação acima: c) Construa uma tabela representando a situação acima, registrando o tempo de uso e o valor a pagar: d) Se Márcia pagou R$100, quanto tempo excedente ficou na internet. e) Represente graficamente essa situação incluindo os minutos de direito. 55

56 2. Cada vendedor de certa loja de ferramentas recebe um salário mensal que consiste de duas partes: salário fixo de R$ 1400,00 e 3% de comissão, calculada sobre o valor total dos itens 3 que ele vende no mês. Obs.: 3% é o mesmo que ou ainda 0, a) Encontre uma lei que represente o salário mensal (S) do vendedor em função do valor total (v) dos itens vendidos. b) Quanto ganhou de comissão um funcionário que vendeu R$ 5000,00 no mês? Qual foi seu salário mensal? c) Um funcionário recebeu um salário mensal de R$ 850,00. Quantos reais em ferramentas ele vendeu? 2. Em certa cidade, ao entrar num táxi, você já deve o valor da bandeirada (1): R$ 5,50. Partindo daí, você pagará 50 centavos por quilômetro rodado. a) Complete a tabela abaixo, baseando-se no enunciado: x (Km) ,5 R (reais) b) Represente a situação acima através de uma lei: c) Quanto percorreu um passageiro que pagou R$ 11,50 d) Quanto pagou um passageiro que andou 20 quilômetros 3. Cada vendedor de certa loja de ferramentas recebe um salário mensal que consiste de duas partes: salário fixo de R$ 1500,00 e 5% de comissão, calculada sobre o valor total dos itens que ele vende no mês. a) Encontre uma lei que represente o salário mensal (S) do vendedor em função do valor total (v) dos itens vendidos. b) Quanto ganhou de comissão um funcionário que vendeu R$ 1000,00 no mês? c) Qual foi seu salário mensal, de acordo com o que você fez na letra b? d) Um funcionário recebeu um salário mensal de R$ 2000,00. Quantos reais em ferramentas ele vendeu? 56

57 4. Um estacionamento cobra R$ 4,00 até duas horas no local e cada 1 hora decorrida após cobra R$ 0,50 de cada carro que permanece no local. a) Complete abaixo, a tabela que representa esse fato. Tempo em horas (t) Valor em reais (p) b) Determine a lei que expressa o fato do preço ser dado em função do número de horas que um carro fica nesse estacionamento. c)pedro deixou seu carro durante todo o período em que o estacionamento fica aberto, ou seja, das 8h às 18h. Quanto ele pagou? d)faça um gráfico desta situação (conforme dados da tabela): 5. A quantia que uma pessoa desembolsa para abastecer seu carro depende quantos litros de combustível são colocados. O preço por litro é 3,95. a) Represente através de uma sentença matemática como se calcula o preço a pagar em função da quantidade de litros b) Quantos litros foram colocados no tanque se a pessoa que pagou R$ 79? c) Quanto pagou a pessoa que encheu o tanque, sabe-se que a capacidade do mesmo é de 50 litros? d) Construa o gráfico relacionando o preço a pagar e a quantidade de comprada de acordo com a tabela: Q(L) R$ 57

58 Encontrando leis de função do primeiro grau a partir de tabelas ou gráficos: Exemplo: Escolha dois valores e vamos analisar o que acontece com eles (cuidado!!!) x y (-3) 5+3=8 Para encontrar o coeficiente angular usamos: y a x ( 3) 4 Para encontrar o coeficiente linear usamos: y=ax+b já sabemos que a=2 escolha qualquer par ordenado que está marcado no gráfico como por exemplo (3,1) e substitua os valores para encontrar b 1=2. 3+b 1=6+b 1-6=b -5=b Logo a lei de formação é y=2x-5 58

59 Exercícios 1. Dados os gráficos abaixo encontre a lei de formação de cada um: a) 59

60 b) 60

61 c) d) 61

62 62

63 e) 63

64 2. Na tabela temos a evolução do preço de uma conta de telefone em função do tempo de ligação. Determine o preço por minuto? E escreva a expressão que relaciona valor em função dos minutos. a) Tempo (min) Valor (V) b) Tempo (min) Valor (V)

65 c) Tempo (min) Valor (V) d) Tempo (min) Valor (V)

66 Traçando gráficos num mesmo plano: Represente num mesmo plano as funções y=x+1 (1) e y= -x+3 (2). Para tal faremos os passos abaixo: 1) Encontre o ponto de encontro das duas retas: Para isso basta igualar as duas funções vejamos: y (1) = y (2) x+1= -x+3 isolando x temos: x+x=3-1 2x=2 x= 2 2 x=1 para encontrar y basta substituir o valor x encontrado em qualquer uma das funções, pois o resultado é o mesmo veja: (1) y=x+1 y=1+1 y=2 ou (2) y= -x+3 y= -1+3 y=2 Então as duas retas se encontram no ponto (1,2) Vejamos: Se substituirmos x por zero em ambas as funções vamos encontrar: (1) y=x+1 y=0+1=1 formando o par ordenado (0,1) corta o y no 1 (2) y=-x+3 y=-0+3=3 formando o par ordenado (0,3) corta o y no 3 Estes valores são marcados no eixo y, pois são os coeficientes lineares (termo independente) de cada uma das funções 2) Marcando no gráfico: Primeiro momento: vamos marcar no eixo y os valores (0,1) e (0,3)

67 Segundo momento: vamos marcar o ponto onde as duas retas se encontram: (1,2) isto é por onde elas passam ao mesmo tempo Ponto de encontro por onde vai passar a reta que vocês vão traçar primeiro a reta (1) e depois a (2) 1 Terceiro momento: a) Vamos marcar o ponto que da função (1) que é (0,1) unindo os pontos (0,1) e (1,2) temos a reta azul(1) 3 (1) b) Agora a partir do que já foi feito vamos fazer o mesmo para a função (2) que passa pelos pontos (0,3) e (1,2) unindo estes pontos temos a reta vermelha (2) 3 (1) 2 Ponto de encontro 1 1 (2) 67

68 Exercícios: 1. Encontre o ponto de nivelamento e represente graficamente: (lembre-se ponto de nivelamento é o ponto de encontro das retas no gráfico) a) y=2x+4 e y= -3x

69 b) y=3x+2 e y=-x+6 69

70 c) y=4x+2 e y= 2x+4 70

71 d) y=40-x e y=20+x 71

72 7. Função Quadrática Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax 2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas: 1. f(x) = 3x 2-4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 (completa) 2. f(x) = x 2-1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 (incompleta) 3. f(x) = - x 2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 (incompleta) Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax 2 + bx + c, com a chamada parábola, observe o desenho e seus termos: 0, é uma curva Observações relevantes: I) Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax 2 + bx + c, notaremos sempre que: Concavidade voltada para cima concavidade voltada para baixo 72

73 II) Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de vértice são: x b e y v v 2. a 4.. a Veja os gráficos: Tem ponto de máximo Tem ponto de mínimo III) Zero ou raízes da função Equação do 2º Grau Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax 2 + bx + c, onde a 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função f(x) = ax 2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau, para tal substituir f(x) por zero, e resolver utilizando a fórmula de Bhaskara: Temos: x b 2a, onde b b b 4. a. c ou x 2a 4. a. c A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o : 73

74 Quando é positivo, há duas raízes reais e distintas (toca o eixo x em dois pontos ); Quando é zero, há só uma raiz real (toca o eixo x somente num ponto) Quando é negativo, não há raiz real. (não toca o eixo x) Analisando b Se b>0 a parábola cruza o eixo y no ramo crescente. 74

75 Se b<0 a parábola cruza o eixo y no ramo decrescente. Se b=0 a parábola cruza o eixo y no vértice. Analisando c Se c>o, o valor que intercepta o eixo y fica acima do eixo x Se c<o, o valor que intercepta o eixo y fica abaixo do eixo x Se c=o, o valor que intercepta o eixo y fica na origem. Analisando gráficos de função quadrática, de um modo geral: Podemos perceber que o a é responsável pela abertura da parábola Quanto menor o valor de a maior é a abertura da parábola O valor de c é o valor que intercepta o eixo y Quando b muda observa-se que o gráfico se desloca no eixo x 75

76 Vejamos: Observe o gráfico e responda as questões abaixo: a) a 0 complete com o sinal de: > ou < Justifique: b) b 0 complete com o sinal de >,< ou = Justifique: c) 0 complete com o sinal de >,< ou = Justifique: d) quem é o valor de c? e onde ele está marcado no gráfico? e) quem são as raízes da função? e onde elas estão marcadas no gráfico? e como se encontra as raízes da função? f) quem é o vértice? ele está localizado no ponto de máximo ou de mínimo? 76

77 Exercícios: 1. Analise os gráficos, diga se tem ponto de máximo ou de mínimo, qual o vértice, as raízes se existirem o valor de c e o que você pode afirmar sobre os sinais de a e b. a) Máximo ( ) Mínimo ( ) Vértice x= y= O valor de c é: Raízes são (se existir): a>0 ( ) a<0 ( ) b>0 ( ) b,<0 ( ) b=0 ( ) b) Máximo ( ) Mínimo ( ) Vértice x= y= O valor de c é: Raízes são (se existir): a>0 ( ) a<0 ( ) b>0 ( ) b,<0 ( ) b=0 ( ) 77

78 Faça o esboço gráfico de uma função quadrática para as situações abaixo: Exemplo analise cada uma das situações a>0, >0 e c<0 c<0 significa que toca o eixo y num ponto negativo, isto é abaixo de x >0 significa que o eixo x é tocado em dois pontos diferentes a>0 significa que a concavidade é voltada para cima Dica: 1º Comece marcando o c, pois este ponto é fixo no eixo y 2º Marque dois pontos diferentes em x, pois são duas raízes diferentes e assim vai tocar o eixo x em dois pontos distintos 3º Faça o desenho da parábola conforme o valor de a neste caso ela é para cima. Cuidado algumas terá mais de uma opção certa veja que aqui desenhei dois gráficos que atendem os itens acima c ou c Caso eu tivesse dito que b=0 veja que só o primeiro estaria certo, assim como se eu tivesse mencionado que b<0 o segundo estaria certo Cuidado ao fazer o exercício!!!! 78

79 2. Faça o esboço gráfico de uma função quadrática para as situações abaixo: a) a<0, >0 e c>0 c) a>0 e <0 e c>0 d)a<0, >0 e c<0 e)a>0, =0 e c=0 f) a<0, >0 e c=0 g)tem vértice (-2,-1) e c>0 h)tem vértice (0,-3) e c<0 i)tem ponto de máximo e vértice (3,0) 79

80 3. A partir dos gráficos identifique para cada um dos casos se: a>0 ou a<0, >0, <0 =0 e c<0, c>0 ou c=0, b>0, b<0 ou b=0 80

81 Construção da Parábola É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte: 1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; 2. Os zeros (raízes) definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x; Para tal pode utilizar a báskara x b 2a, onde b b b 4. a. c ou x 2a As raízes são marcadas no eixo x quando existirem 4. a. c 3. O vértice indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0) e onde a parábola muda de sentido ou chamado eixo de simetria; x b y v v 2. a 4. a O vértice é um par ordenado que está localizado no ponto mais alto ou baixo da parábola 4. Para x = 0, temos y = a b 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y. Logo o valor de c sempre vai interceptar o eixo y 5. Dica traçar o gráfico a partir do vértice. 1º. Etapa: encontrar as raízes Para tal é necessário: 2º. Etapa: encontrar o vértice 3º. Etapa: traçar o gráfico conforme dica. 81

82 Exemplos de construção gráfica: a) f(x)= x²-1 82

83 b) f(x)=-x²+2x-3 83

84 c) f(x)=x²+4x+4 84

85 Exercícios: 1.Das funções quadráticas encontre: As raízes se existirem e o vértice faça o esboço gráfico. a)f(x)= x²-6x+8 85

86 b)y= x²-5x+6 86

87 c)f(x)= -x²-4x+12 87

88 d)y= -x²+6x 88

89 e)f(x)= x²-6x+9 89

90 f)y= -x²+6x-9 90

91 g)f(x)= -x²-4x-4 91

92 h)f(x)= x²+4 92

93 i)y= -x²+3x-4 93

94 2. Sendo: y= 2x -1 - x², marque a afirmação correta: ( )a= -1 b= -1 c= 2, tem ponto de máximo e corta o y no vértice da parábola. ( )a= 2 b= -1 c= -1, tem ponto de mínimo e corta o y no ramo decrescente da parábola. ( )a= 2 b= -1 c= -1,tem ponto de mínimo e corta o y no ramo crescente da parábola. ( )a= -1 b= 2 c= -1, tem ponto de máximo e corta o y no ramo decrescente da parábola. ( ) a= -1 b= 2 c= -1, tem ponto de máximo e corta o y no ramo crescente da parábola. 3.Dada a função y= - x²-1 marque a alternativa incorreta: ( ) corta o eixo y no ramo decrescente ( ) a concavidade é voltada para baixo. ( )intercepta o eixo y no -1 ( )possui ponto de máximo ( )n.d.a 4.Dada a função y= - x²-x+8, calcule: a) f(-1) : f(2)= b) f(0) - (-4)= c)f(-2)+f(1) : f(4)= 94

95 Aplicações de função quadrática Exemplos: 1) O custo de um edifício foi de 600 mil dólares. O construtor espera que a receita R, em milhares de dólares, apurada pelas vendas dos apartamentos cresça de acordo com a função R= -x²+62x, em que x é o número de apartamentos vendidos. a) Quais as receitas se foram vendidos 15 apartamentos? X= quantidade de apartamentos logo x=15 substituindo na função temos: R= -x²+62.x R= - (15)²+62.15= R= =705 mil dólares b) Qual o lucro na venda destes 15 apartamentos? Receita= 705 mil dólares e o Custo é 600 mil dólares Lucro é o que sobra logo: 105 mil dólares 2) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y = 40x² + 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. Use os conhecimentos adquiridos até aqui para encontrar: a) A altura máxima atingida pelo projétil b) Em que instante de tempo ele atingir a altura máxima 95

96 Exercícios (fazer no caderno) 1. Um comerciante de roupas compra ternos e camisetas para revenda e tem um orçamento limitado para compra. A quantidade de ternos é representada por x, a de camisetas por y, e a equação que dá a restrição orçamentária é 10 x² + 10y = a) Se forem comprados 8 ternos, quantas camisetas é possível comprar? b) Se forem compradas 19 camisetas, quantos ternos é possível comprar? c) Se não forem comprados ternos, qual a quantidade de camisetas compradas? d) Se forem comprados 7 ternos e 40 camisetas, tal compra ultrapassará o orçamento? 2. Um avião lança medicamentos para desabrigados vítimas de enchentes. A distância d do avião em relação ao solo é dada pela expressão d = 40t , onde t representa o tempo, em segundos, após o lançamento. Determine quantos segundos os medicamentos levam para atingir o solo. 3. Uma bola colocada no chão é chutada para o alto, percorrendo uma trajetória descrita por y = 2x x, em que y é a altura, dada em metros. A altura máxima atingida pela bola é de? 4. Uma bola de canhão é atirada por um tanque de guerra como mostra o gráfico onde o lançamento está no ponto (0,0) e descreve uma trajetória em forma de parábola de equação y= -3x²+60x sendo x e y em metros. a)qual a altura máxima atingida pela bala? b)qual o alcance do disparo? 5. Suponha que o consumo de um carro, para percorrer 100 km com velocidade de x km/h, seja dado por C(x)=0,006x²-0,6x+25. a)para qual velocidade esse consumo é mínimo? b)qual o consumo mínimo para essa velocidade? 6. Uma bola é lançada verticalmente para cima, a partir do solo, tem uma altura h(metros) expressa pela função do tempo t (em segundos), decorrido após o lançamento, pela lei: h(t)= 40.t-5t². A altura que a bola se encontra 1 segundo após o lançamento é? 96

97 7. Sabe-se que o custo de produção de um produto depende de muitos fatores entre eles a quantidade que irá ser produzida. Considere uma função custo dada por C(x)= x²+10x onde x é expressa a quantidade do produto. Qual o custo para produzir 100 unidades? 8. Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h= -t² +4t +6. Determine: a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima; b) a altura máxima atingida peal bola; c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo 9. Os cangurus vivem na Austrália, sabes-se que eles conseguem saltar muito mais do que nós humanos. Considere que um canguru possa ser descrito na função: y=, em que x é a distância e y a altura do salto, em metros. a) Determine a distância alcançada pelo canguru nesse salto. b) Qual a altura máxima que o canguru obteve? 8. FUNÇÃO EXPONENCIAL Introdução A função exponencial é uma ferramenta matemática presente na descrição e análise de muitos fenômenos da vida real, tais como cálculos financeiros, datação de materiais arqueológicos por meio de técnicas que utilizam a radioatividade, estudo do crescimento ou decrescimento de uma população, etc. 97

98 Questão problema: Um biólogo acompanhou o crescimento de uma planta aquática de forma circular. Durante suas observações, percebeu que a cada três meses o diâmetro da planta triplicava no tanque de pesquisa, no inicio de suas observações o biólogo mediu a planta e ela estava com 1cm de diâmetro, qual será o diâmetro que essa planta terá ao final de um ano que é seu prazo máximo de sobrevivência? Para resolver este problema vamos construir uma tabela que mostre o aumento do diâmetro da planta em função do tempo. Obs: inicial (0) Após 3 meses (1 obs) Após 6 meses (2 obs) Após 9 meses (3 obs) Após 12 meses (4 obs) 1cm Então ao final de um 1 ano o diâmetro da planta é igual a cm Se hipoteticamente essa planta crescesse por x meses, seu diâmetro seria, ou seja seu crescimento seria dado pela função f(x)=, que é uma função exponencial. T ( cm) OBS 98

99 Definição de Função Exponencial: Dado um número real a (a > 0 e a 1), denomina-se a função exponencial de base a a uma função f de IR em por ou. Exemplos: f(x) = g(x) = Gráfico da função exponencial Vamos analisar os gráficos de duas funções exponenciais, a primeira com a > 1 e a segunda com 0 < a < 1. 1) ou y = x y = Gráfico: 99

100 2) f(x) = ou y = x y = Gráfico: Pela observação das tabelas e dos gráficos podemos concluir que, para uma função exponencial o D(f) = IR, CD(f) =, Im(f) = o o gráfico é uma figura chamada curva exponencial, que passa por (0,1); o o gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III e IV; o para a > 1, a função é crescente ( ); o para 0 < a < 1, a função é decrescente ( ); Conclusão: 100

101 A função exponencial será crescente quando a base a for maior que 1, e decrescente se a for positivo menor que 1. Seu gráfico terá sempre um dos seguintes aspectos: a > 1, f é crescente 0<a < 1, f é decrescente Exemplo: Devido ao declínio da qualidade de vida em um bairro, prevê-se que, durante os próximos quatro anos, um imóvel desvalorização de 10%, hoje o valor do imóvel é , assim a equação que calcula o bem do imóvel é V= (0,9) t. Qual o valor deste imóvel daqui a dois anos? Exercícios: 1. Imagine a mesma planta que falamos anteriormente,isto é triplica a cada observação, porem agora seu tamanho inicial é 2cm de diâmetro. Complete a tabela e construa o gráfico de seu crescimento. Observação Tamanho 101

102 2. Uma caixa d água com 1000L é esvaziada pela metade a cada hora. Depois de 4 horas com quantos litros estará, complete a tabela e faça a representação gráfica? Horas Volume 3. Um criador de gado triplicava sua criação a cada ano. Se quando começo tinha 10 cabeças de gado, ao final de 5 anos quantas cabeças de gado ele tem? 4. Uma pesquisadora acompanhou o crescimento de uma colônia de bactérias. Na primeira semana de observação constatou um total de 1500 bactérias. Observações subsequentes revelam que a colônia dobrava sempre em relação à imediatamente inferior. Em que observação a colônia alcançou bactérias? 5. Devido ao declínio da qualidade de vida em um bairro, prevê-se que, durante os próximos quatro anos, um imóvel desvalorização de 10%, hoje o valor do imóvel é , assim a equação que calcula o bem do imóvel é V= (0,9) t. Qual o valor deste imóvel daqui a três anos? 6. Construa o gráfico das funções abaixo e classifique as em crescente ou decrescente. Para todos os itens abaixo utilizar x= {-2,-1,0,1,2} a) f ( x) 5 b) f(x) 2 c)f(x) 2 1 d)f(x) 3 e)f(x) x x 1 2 x1 1 x f) f(x) 0,1 x x1 102

103 Equações exponenciais Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. Veja alguns Exemplos: X x-1 x 9 a )4 32 b)3 81 c)0,75 16 d) e) 8 64 x1 2 x3 1 f) 3 x2 81 -x g)4 x1 1 h)2 x

104 104 Exercícios 1) Encontre o valor de x nas equações: 3 8 x x 2 2x 9 3x 3 ² 2 2x x²-5 2 3x x-3 x-2 x 3x 3x-1 2x ) ) 5 13) ) ) )4 81 9) ) )2 8 6) )0, ) ) ) )2 x x ) ) ) ) 1 23) )1 1 21) ) ) ) ) )9 x-2 x x- 3 x x-1 3 2x 2 4 x 2 8 x 4 x 2 x 3 x x x x x x x ) ) ) )10. 0, ) ) ) ) )5.2 3x-1 2x-1 1 2x 1 2x x-3 1 x 6 4x 6 2x x²-4

105 Respostas finais 1)-1/2 2)5/2 3)-2/3 4)-4/3 5)-3/2 6)5 7)0 8)-4/3 9)±3 10)5/4 11)±1 12)-31/9 13)1/8 14)-1/2 15)-43/6 16)6 17)2/3 18)4/5 19)1 20)2 21)-2 22)-3/2 23)1 24)0 25)2 26)3 27)6 28)±3 29)-3 30)-5/4 31)1 32)4 33)-1 34)1/4 35)0 36)-1/3 EQUAÇÕES COM ARTIFÍCIO 2 tipo: A resolução de determinadas equações exponenciais exige, além da mudança de base, a utilização de alguns artifícios. Exemplos: b) 2 x x