Cálculo das Probabilidades I. Departamento de Estatistica

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1 Cálculo das Probabilidades I Departamento de Estatistica Primeira Edição

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3 Sumário iii

4 Capítulo Introdução a Probabilidade Objetivo: O objetivo da teoria da Probabilidade é criar modelos teóricos que reproduzam de maneira razoável a distribuição de freqüências de fenômenos(experimentos) aleatórios de interesse. Tais modelos são chamados modelos probabilísticos. Definição. (Experimento aleatório). Um experimento que pode fornecer diferentes resultados, muito embora seja repetido toda vez da mesma maneira, é chamado experimento aleatório. Características de um experimento aleatório: Imprevisibilidade: o resultado do experimento não pode ser conhecido a priori; É conhecido o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento; Exemplos de experimentos aleatórios (E) Lançar uma moeda uma vez. Anota-se o resultado; (E2) Lançar uma moeda duas vezes. Anota-se a seqüência obtida; (E3) Lançar uma moeda duas vezes. Anota-se o número de caras obtido; (E4) Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num dia de trabalho; (E5) Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas vermelhas. Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda; se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra bola. Anota-se o resultado obtido. Definição.2 (Espaço amostral). É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Notação: Ω Cada resultado possível é denominado ponto ou elemento de Ω e denotado genericamente por ω. Assim, escrevemos ω Ω para indicar que o elemento ω está em Ω. Exemplos de espaço amostral: (E) Ω = c, r, em que c=cara e r=coroa;

5 (E2) Ω = (c, c),(c, r ),(r, c),(r, r ) ; (E3) Ω = 0,, 2 ; (E4) Ω = 0,, 2,... ; (E5) Ω = (B, c),(b, r ),(V, B),(V, V ), em que B=bola branca, V=bola vermelha; Definição.3. Sejam A e B dois conjuntos. Então diz-se que A é um subconjunto de B se, e somente se ω A implicar ω B. Notação: A B. Observação.. Da Definição?? segue que A A, pois ω A implicar ω A. Observação.2. Se A não é um subconjunto de B, então existe pelo menos um ω A tal que ω / B. Notação: A B. Definição.4 (Igualdade de conjuntos). Sejam A e B dois conjuntos. Então diz-se que A = B se, e somente se, A B e B A, isto é, ω A implicar ω B e ω B implicar ω A. Observação.3. Se A não é igual a B, então existe pelo menos um ω A tal que ω / B ou um ω B tal que ω / A. Definição.5 (Evento). É um subconjunto do espaço amostral Ω. Os subconjuntos de Ω serão denotados por letras latinas maiúsculas (A,B,C,... ). Se A é um subconjunto de Ω então denotamos A Ω. Exemplo.. Considere o experimento aleatório (E2). Seja A=Obtenção de faces iguais. Portanto, A = (c, c),(r, r ) ; Observação.4. Diz-se que " ocorre o evento A" quando o resultado do experimento aleatório for um elemento de A. Observação.5. O espaço amostral Ω e o conjunto vazio também são eventos, em que Ω é o evento certo e é o evento impossível. Operações básicas entre conjuntos Sejam A Ω e B Ω, então: Complementar: A c = ω Ω : ω / A ; Interseção: A B = ω Ω : ω A e ω B ; União: A B = ω Ω : ω A ou ω B = ω Ω : ω a pelo menos um dos eventos ; Diferença: A B = ω Ω : ω A e ω / B, deste modo segue que A B = A B c ; Diferença simétrica: A B = ω Ω : ω A e ω / B ou ω / A e ω B, deste modo segue que A B = (A B c ) (A c B). Definição.6 (Eventos disjuntos). Dois eventos são disjuntos se e somente se A B =.

6 Observação.6. Da Definição?? segue que o conjunto vazio é disjunto de qualquer outro evento, pois para todo evento A tem-se que A =. Definição.7 (Partição de um evento). Seja A um subconjunto de Ω. Então A,..., A n formam uma partição de A se e somente se A i A j = para todo i j e n i = A i = A. Deste modo, se A = Ω então A,..., A n formam uma partição de Ω se e somente se A i A j = para todo i j e n i = A i = Ω. Definição.8 (Espaço Produto). Sejam Ω e Ω 2 dois espaços amostrais. Então o espaço produto Ω = Ω Ω 2 é dado por, Ω Ω 2 = (ω,ω 2 ) : ω Ω e ω 2 Ω 2 Observação.7. Se Ω = Ω 2 = Ω então o espaço produto Ω Ω 2 é denotado por Ω 2. Definição.9 (Produto entre eventos). Sejam A Ω e B Ω 2. Então o evento produto, denotado por A B é dado por, A B = (ω,ω 2 ) Ω : ω A e ω 2 B. Propriedades das operações entre conjuntos(eventos) Sejam A, B,C subconjuntos de Ω, então:. A A B e B A B; 2. A B A e A B A; 3. A B A B = B; 4. A C e B C A B C ; 5. Idempotente: A A = A e A A = A; 6. Distributiva: A (B C ) = (A B) (A C ); A (B C ) = (A B) (A C ); A (B C ) = (A B) (C A) (A B) (A C ); A (B C ) = (A B) (A C ); (A B) C = A (B C ) A (B C ); A (B C ) = (A B) (A C ) (A B) (A C ); A (B C ) = (A B) (A C ) (A B) (A C ); A (B C ) = (A B) (A C ); A (B C ) = (A B C ) (A c B C ) (A B) (A C );

7 7. Comutativa: A B = B A; A B = B A; A B = (A B) (B A) = (B A) (A B) = B A = A B A B; A B B A, pois A B = A B c e B A = A c B; 8. Associativa: (A B) C = A (B C ); (A B) C = A (B C ); (A B) C = A (B C ); (A B) C A (B C ), pois e (A B) C = (A B c ) C c = A (B c C c ) = A (B C ) c = A B C A (B C ) = A (B C c ) c = A (B c C ) = (A B c ) (A C ) = (A B) (A C ). 9. Identidade: A = A, A Ω = A e A Ω = Ω, A = ; 0. Complemento: A A c = Ω, A A c = e (A c ) c = A, Ω c = e c = Ω. Proposição. (Leis de De Morgan). Sejam A,..., A n tal que A i Ω para todo i, então: (i) n i = A c i = n i = Ac i Imterpretação: o complementar da ocorrência de pelo menos um dos eventos é a não ocorrência de todos os eventos; (ii) n i = A c i = n i = Ac i. Imterpretação: o complementar da ocorrência de todos os eventos é a não ocorrência de pelo menos um dos eventos. Demonstração. Para (i) tem-se que: Para todo ω n i = A c i tem-se que ω / n i = A i, logo ω / A i para todo i, pois se ω A i para algum i então ω n i = A i. Conseqüentemente ω A c i para todo i, portanto ω n i = Ac i. Logo, n A c i = i n i = Ac. (.) i Por outro lado tem-se que, para todo, ω n i = Ac i implica que ω A c i para todo i. Logo ω / A i para todo i. Conseqüentemente, ω / n i = A i. Deste modo, ω n i = A i c. Nestas condições segue que, n i = Ac i n i = A i c (.2) Logo, de (??) e (??) segue a igualdade (i). Para (ii) tem-se que: Para todo ω n i = A c i implica que ω / n i = A i. Logo, ω / A i para pelo menos um i, conseqüentemente ω A c i para pelo menos um i. Portanto, ω n i = A c i. Assim, n i = A i c n i = Ac i. (.3)

8 Por outro lado tem-se que, para todo, ω n i = Ac i implica que ω A c i para pelo menos um i. Conseqüentemente, ω / A i para pelo menos um i, portanto ω / n i = A i, logo, n i = A i c. Assim, De (??) e (??) segue a igualdade (ii). n i = A c i n i = A i c. (.4).2 Função indicadora Definição.0 (Função indicadora). Seja A Ω, então se ω A I A (ω) = 0 se ω / A Propriedades da função indicadora Sejam A Ω e B Ω, então: (i) I A c (ω) = I A (ω); (ii) I A B (ω) = I A (ω) + I B (ω) I A (ω)i B (ω) = min I A (ω), I B (ω) ; (iii) I A B (ω) = I A (ω)i B (ω) = max I A (ω), I B (ω) ; (iv) I A B (ω) = I A (ω)i B c (ω) e I B A (ω) = I A c (ω)i B (ω); (v) I A B (ω) = I A (ω)i B c (ω) + I A c (ω)i B (ω). (vi) I A (ω) = I B (ω) se e somente se A = B; (vii) I A (ω) I B (ω) se e somente se A B; Demonstração. Para (i) tem-se que: tome ω A c então I A c (ω) = e I A (ω) = 0 pois ω / A logo I A (ω) =. Do mesmo, modo se ω / A c então I A c (ω) = 0 e I A (ω) = pois ω A logo I A (ω) = 0. Por outro lado, se ω A então I A (ω) = e I A c (ω) = 0 pois ω / A c. Do mesmo, modo se ω / A então I A (ω) = 0 e I A c (ω) = pois ω A c. Logo, I A c (ω) = I A (ω)..3 Álgebra e Sigma álgebra Definição. (Álgebra). Seja Ω um conjunto não vazio. Uma classe de subconjuntos de Ω, satisfazendo: (A) Ω ; (A2) Se A então A c ; (A3) Se A e B então A B ; é denominada uma álgebra de subconjuntos de Ω.

9 Proposição.2. Seja uma álgebra de subconjuntos de Ω. Então, valem as seguintes propriedades: (A4) ; (A5) é fechada para uniões e intersecções finitas, isto é, se A,..., A n então n i = A i e n i = A i. Demonstração. (A4) é direto visto que o complementar de Ω é. Para (A5) tem-se por indução que, A A 2. Agora suponha que k i = A i, assim, k + i = A i = k i = A i Ak +. Deste modo, como k i = A i e A k + segue que k + i = A i. Logo, vale a relação para todo n finito. Para a segunda parte de (A5) tem-se que: como A,..., A n segue por (A2) que A c,..., A c, portanto da primeira parte de (A5) segue que n n i = Ac i. Agora de (A2) segue que n c i = Ac i. Mas da lei de Morgan sabe-se que n c i = Ac i = n i = A i. Exemplo.2. Exemplos de álgebras:. = {,Ω}, esta é a álgebra trivial; 2. = {A, A c,,ω}, para Ω = A A c ; 3. Seja Ω = {ω,ω 2,ω 3 } então = {ω,ω 2,ω 3,{ω,ω 2 },{ω,ω 3 },{ω 2,ω 3 },,Ω} é uma álgebra de subconjuntos de Ω. Neste caso, é chamado de álgebra das partes de Ω e é denotado por. Exemplo.3. Seja Ω infinito, enumerável ou não, e seja uma classe de subconjuntos de Ω que são finitos ou cujos complementos são finitos, isto é, = {A Ω : A ou A c é finito}. Prove que é uma álgebra. Demonstração. De fato, pois:. Ω c = que é finito, portanto, Ω ; 2. Seja A, logo A ou A c é finito. Se A é finito segue que A c pois A c c = A é finito. Se A c é finito, então A c ; 3. Seja A e B,logo A ou A c é finito e B ou B c é finito, assim: Se A e B forem finitos segue que A B é finito, portanto A B ; Se A ou B ou ambos forem infinitos então A B c = A c B c é finito pois A c ou B c ou ambos são finitos. Logo A B. Definição.2 (σ-álgebra). Uma classe de subconjuntos de Ω é denominada uma σ-álgebra se ela satisfaz: (F) Ω ;

10 (F2) Se A então A c ; (F3) Se A i para todo i então i = A i ; Observação.8. Da Definição?? segue que:. Toda σ-álgebra é uma álgebra; 2. Nem toda álgebra é uma σ-álgebra. Observação.9. O par (Ω, ) é chamado de espaço mensurável..4 Medida de Probabilidade Definição.3 (Definição Clássica). Seja (Ω, ) um espaço finito de eventos equiprováveis. Assim, para todo A tem-se que, P(A) = #A #Ω em que # é o número de elementos do conjunto. Exemplo.4. Considere o experimento aleatório (E2). Seja A=Obtenção de faces iguais. Portanto, A = (c, c),(r, r ). Deste modo, P(A) = 2 = 0, Alguns conceitos básicos de Contagem Nesta seção vamos apresentar os princípios aditivo e multiplicativo e mostrar como a aplicação destes princípios podem ser feitas para obter as fórmulas de permutação, arranjo e combinação. Definição.4 (Princípio Aditivo). Sejam A,..., A n uma partição, então # n i = A i = n a i = i. Se A,..., A n for uma partição de Ω então # n i = A i = #Ω = n, em que n é número de elementos de Ω. Da Definição?? segue que, se A = n i = A i então, n i = P(A) = a i. n Exemplo.5. Numa confeitaria há 5 sabores de picolés e 3 sabores de salgados. Suponha que Maria só tenha permissão para tomar um picolé ou comer um salgado. Quantos são os possíveis pedidos de Maria? Solução: Tem-se os seguintes eventos: Ω = {P,..., P 5,S,S 2,S 3 }, A = {ω Ω : ω = p i col } e A 2 = {ω Ω : ω = s a l g a do} Assim, o evento A =" tomar um picolé ou comer um salgado" é A = A A 2. Logo, tem-se que Maria pode escolher entre #A A 2 = = 8 pedidos possíveis.

11 Exemplo.6. Uma caixa contém quatro lâmpadas de 40 W, cinco de 60 W e seis de 75 W. Uma lâmpada é sorteada ao acaso, qual a probabilidade que seja uma lâmpada de 40 W ou 75 W? Solução: Tem-se os seguintes eventos: Ω = {L40,..., L40 4, L60,..., L60 5, L75,..., L75 6 }, Portanto, A = {ω Ω : ω = L40 i, i =,..., 4} e A 2 = {ω Ω : L75 j, j =,..., 6} P(A A 2 ) = = 2 3. Definição.5 (Princípio Multiplicativo). Sejam A,..., A n n eventos em que A i Ω i. Se cada evento A i pode ocorrer de m i maneiras diferentes. Então esses n eventos podem ocorrer em sucessão de m m n maneiras diferentes, isto é, o evento produto A A n tem cardinalidade m m n. Exemplo.7. Suponha mo exemplo anterior que Maria tenha permissão para tomar um picolé e comer um salgado. Quantos são os possíveis pedidos de Maria, neste caso? Solução: Tem-se os seguintes eventos: Ω = {P,..., P 5,S,S 2,S 3 }, A = {ω Ω : ω = p i col } e A 2 = {ω Ω : ω = s a l g a do} Assim, o evento A =" tomar um picolé e comer um salgado" é A = A A 2. Logo, tem-se que Maria pode escolher entre #A A 2 = 5 3 = 5 pedidos possíveis. Vamos agora mostrar como combinar os dois princípios. Exemplo.8. Um amigo mostrou-me 5 livros diferentes de Matemática, 7 livros diferentes de Física e 0 livros diferentes de Química e pediu-me para escolher 2 livros com a condição de que eles não fossem da mesma matéria. De quantas maneiras eu posso escolhê-los? Solução: Tem-se os seguintes eventos: A = {M,..., M 5 }, A 2 = {F,..., F 7 } e A 3 = {Q,...,Q 0 }. Agora note que posso fazer as seguintes escolhas: A A 2 ou A A 3 ou A 2 A 3. Logo, #(A A 2 ) (A A 3 ) (A 2 A 3 ) = #(A A 2 ) + #(A A 3 ) + #(A 2 A 3 ) = = 55. Exemplo.9. No Exemplo??, suponha que duas lâmpadas sejam selecionadas ao acaso, qual a probabilidade que: (a) Exatamente duas sejam de 75 W? Solução: Seja, Ω = {L40,..., L40 4, L60,..., L60 5, L75,..., L75 6 } e Ω 2 = {L40,..., L40 4, L60,..., L60 5, L75,..., L75 5 }, com A = {L75}, # A = 6 e A 2 = {L75} e # A 2 = 5.. Assim, tem-se que # A A 2 = 6 5 = 30 e # Ω Ω 2 = 5 4 = 20, P(A A 2 ) = = 7.

12 (b) Sair uma de 40 W e uma de 60 W? (combinando os dois princípios) Solução: Seja, Ω = {L40,..., L40 4, L60,..., L60 5, L75,..., L75 6 }, # Ω = 5, Ω 2 = {L40,..., L40 3, L60,..., L60 5, L75,..., L75 6 }, # Ω 2 = 4 ou Ω 3 = {L40,..., L40 4, L60,..., L60 4, L75,..., L75 6 }, # Ω 3 = 4, com A = {L40,..., L40 4 } e # A = 4, A 2 = {L60,..., L60 5 } e # A 2 = 5. Assim, Sair uma de 40 W e uma de 60 W = A A 2 ou A 2 A, logo, P((A A 2 ) (A 2 A )) = P(A A 2 ) + P(A 2 A ) = Permutação Simples Uma permutação de n elementos distintos é qualquer agrupamento ordenado desses objetos. Assim, seja A i o conjunto de elementos quando da escolha do i-ésimo elemento sem reposição. Assim, se inicialmente tivermos n elementos, então #A i = n i +. Deste modo, o número de elementos em uma permutação simples será dada por, Notação: P n = n!. #(A A n ) = n (n ) = n! Exemplo.0. Considere uma urna com 5 bolas numeradas de a 5 e seja o seguinte experimento: retirar 3 bolas sem reposição. Qual a probabilidade dos três números sorteados serem o,2 e o 3, não necessariamente nessa da ordem? Qual a a probabilidade dos três números sorteados serem o,2 e o 3, nessa da ordem? Solução: Tem-se que A =" os três números sorteados são o,2 e o 3". Como a ordem não importa tem-se que #A = P 3 = 3! = 6, que são as permutações simples dos 3 números. Vamos agora calcular o número de elementos de Ω. Utilizando o princípio multiplicativo tem-se que: seja A =as 5 bolas numeradas, A 2 =as 4 bolas numeradas restantes depois da primeira retirada e A 3 =as 3 bolas numeradas restantes depois da segunda retirada. Assim, #Ω = #(A A 2 A 3 ) = = 60. Note que nesse cálculo foi considerado as permutações simples de cada elemento. Assim, Para o segundo caso, tem-se que: #A = assim, P(A) = #A #Ω = 6 = 0,. 60 P(A) = #A #Ω = 60.

13 Arranjos Simples Arranjos simples de n elementos distintos tomados r a r, r n, são todos os grupos distintos(ordenados), que diferem pela ordem e pela natureza dos r elementos que compõe cada grupo. Note que o arranjo simples é semelhante é o caso geral e a permutação simples é o caso particular quando r = n. Assim, seja A i o conjunto de elementos quando da escolha do i-ésimo elemento sem reposição. Assim, se inicialmente tivermos n elementos, então #A i = n i +. Deste modo, o número de elementos em um arranjo simples será dada por, #(A A r ) = n (n ) (n r + ) multiplicando em cima e em baixo por (n r )! obtém-se, Notação: A r n = n! (n r )!. n (n ) (n r + ) (n r )! #(A A r ) = (n r )! = n! (n r )!. Combinações Simples Combinações simples de n elementos distintos tomados r a r, r n, são todos os grupos não ordenados de p elementos que diferem entre si apenas pela natureza dos elementos e não pela ordem. Deste modo, basta dividir o número de arranjos simples tomados r a r pelo número de permutações r a r. Assim, Notação: C r n = n r. A r n P r = n! r!(n r )! = n r Observação.0. Note que C r n = n r = n n r = C n r n. Os valores C r são chamados de coeficientes binomiais, por causa do fato que, n (a + b) n = n C r a r b n r. n r =0 Definição.6. Seja (Ω, ) um espaço não enumerável, com Ω n, n. Então, para todo A segue que a probabilidade de A é dada por, P(A) = A Ω em que poderá ser: um comprimento, uma área, um volume, etc. Esse é o conceito geométrico de probabilidade.

14 Exemplo.. Um ponto (a,b) é escolhido aleatóriamente no quadrado definido por x e y. Qual a probabilidade que a equação a z + b = 0 tenha solução positiva. Solução: Note que, z = b a 0 se e somente se (a,b) [, 0) [0, ] ou (a,b) (0, ] [, 0]. Assim, Ω = 2 2 = 4 e A = + = 2. Portanto, P(A) = 2 = 0, 5. 4 Definição.7. Seja Ω um espaço amostral de um experimento aleatório. Seja n repetições independentes de um experimento aleatório e n A o número de ocorrências do evento A Ω. Então, a probabilidade de A é dada por, n A P(A) = lim n n Esse é o conceito frequencista de probabilidade. Definição.8. Seja (Ω, ) um espaço mensurável. Então uma função P : [0, ] é uma probabilidade se, (P) P(Ω) = ; (P2) Para todo A tem-se P(A) 0; (P3) P é σ-aditiva, isto é, se A, A 2,..., são dois a dois disjuntos então, P A n = P(A n ). n= Esta é a definição axiomática devida a Kolmogorov. A trinca (Ω,, P) é chamada de espaço de probabilidade. Observação.. Note que de um modo geral a medida de probabilidade P não precisa assinalar uma probabilidade para todo evento, isto é, não precisa ter uma probabilidade associada a todo ponto amostral de Ω, mas apenas para os eventos em. Exemplo.2. Seja Ω =, 2, 3 e considere a σ-álgebra das partes, e uma outra σ-álgebra = por n= =,Ω,{},{2},{3},{, 2},{, 3},{2, 3},Ω,{3},{, 2}. Seja P a medida de probabilidade em (Ω, ) dada P ({}) = P ({2}) = P ({3}) = 3 e P ({, 2}) = P ({, 3}) = P ({2, 3}) = 2 3. Seja P 2 a medida de probabilidade em (Ω, ) dada por P 2 ({3}) = 3 e P 2({, 2}) = 2 3. Consideremos agora dois eventos, A = {, 2} e B = {2, 3}, então P (A) = P 2 (A) = 2 3 e P (B) = 3 entretanto P 2(B) não está definido. Neste caso diz-se que o evento B é -mensurável mas não é -mensurável.

15 Observação.2. Observe que para o espaço mensurável (Ω, ) foi definido uma probabilidade para todo ω Ω. Note que nestes casos a probabilidade de qualquer outro evento A é dada por, P(A) = P(ω). ω Ω:ω A Deste modo, se P for definida para todo ω Ω então estará bem definida para qualquer σ-álgebra. Propriedades de uma medida de probabilidade Seja (Ω,, P), então para todo A e B, tem-se que: (P4) P(A c ) = P(A). Demonstração. De fato, como Ω = A A c e A A c = segue que, P(Ω) = = P(A A c ) = P(A) + P(A c ) P(A c ) = P(A) 0; (P5) P( ) = 0, pois Ω = c logo por (C) P( ) = P(Ω) = = 0; (P6) P é uma função não decrescente, isto é, para todo A, B tal que A B tem-se que P(A) P(B). Demonstração. De fato, como B = (A B) (A c B) e A B = A pois A B, segue que P(B) = P(A B) + P(A c B) = P(A) + P(A c B) P(A); }{{} 0 (P7) Para todo A, B tal que A B tem-se que P(B A) = P(B) P(A); Este resultado segue diretamente do anterior; (P8) Para todo A, B arbitrários tem-se que: P(A B) = P(A) P(A B) e P(B A) = P(B) P(A B). Demonstração. De fato, como A = (A B) (A B c ) = (A B) (A B) e B = (A B) (A c B) = (A B) (B A) segue que, P(A) = P(A B) + P(A B) e P(B) = P(A B) + P(B A) Logo, P(A B) = P(A) P(A B) e P(B A) = P(B) P(A B).

16 (P9) Para todo A tem-se que 0 P(A). Este resultado segue de (P), (P2) e (C3) e do fato que A Ω; (P0) Para todo A, B arbitrários tem-se que: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Demonstração. De fato, como A = (A B) (A B c ) e B = (A B) (A c B) tem-se que, A B = (A B) (A B c ) (A B) (A c B) = (A B) (A B c ) (A c B) = (A B) (A B) (B A) Perceba que A B, A B e B A são disjuntos. Assim, por (P3) e (P8) segue que, P(A B) = P(A B) + P(A B) + P(B A) = P(A B) + [P(A) P(A B)] + [P(B) P(A B)] = P(A) + P(B) P(A B)..5 Probabilidade Condicional Seja (Ω,, P) o espaço de probabilidade para um determinado experimento aleatório. Suponha que tenhamos a priori alguma informação a respeito do resultado do experimento aleatório. Por exemplo, suponha que saibamos que um determinado evento B ocorreu. Isto elimina qualquer incerteza que tínhamos a respeito da ocorrência ou não do evento B. Além do mais, esta nova informação a respeito do experimento aleatório pode mudar as incertezas a respeito de outros eventos em e portanto uma nova medida de probabilidade deve ser considerada. Esta nova medida de probabilidade é também uma medida no espaço mensurável (Ω, ), será chamada de Probabilidade condicional. Exemplo.3. Seja Ω =, 2, 3, 4, 5, 6 um espaço de eventos equiprováveis. Seja = a σ-álgebra das partes de Ω e P a medida de probabilidade definida em (Ω, ) assim, para todo A. Considere os seguintes eventos, Deste modo, tem-se que P(A) = #A #Ω A = {, 2, 6} e B = {2, 3, 5}. P(A) = 3 6 = 2 e P(B) = 3 6 = 2. Suponha agora que tenhamos a informação que o evento B ocorreu. Essa informação poderá alterar a probabilidade atribuída aos eventos em. A nova medida de probabilidade será denotada por P(. B). Observe que podemos considerar que temos um novo espaço amostral Ω B = B e uma nova σ-álgebra B = C B : C = A B, para algum A.

17 Desta maneira, tem-se que B, por este motivo B é denominada uma restrição de ao evento B. Assim, o novo espaço de probabilidade seria B, B, P(. B). Para o exemplo acima, dado que o evento B ocorreu, então o evento A só irá ocorrer se o evento C = {} = A B ocorrer, assim #(A B) P(A B) = = #(B) 3. Entretanto, não é necessária a construção deste novo espaço de probabilidade, pois pode-se considerar apenas uma nova medida de probabilidade para o mesmo espaço mensurável (Ω, ). Para fazer isso, basta que a nova medida de probabilidade P(. B) seja válida para todo A e não apenas para A B. Deste modo, para um dado evento B tem-se A (B B c ) P(A) = P(A) P(Ω) = P P(B B c ) = P(A B) + P(A B c ) P(B) + P(B c ) Nestas condições segue que, dado que o evento B ocorreu, tem-se que P(B c ) = 0 e P(A B c ) = 0 logo pode-se definir P(. B) para todo A, com segue, Para o exemplo assim tem-se que, P(A B) P(A B) =. P(B) P(A B) = 3. Definição.9 (Probabilidade Condicional). Seja (Ω,, P) um espaço de probabilidade. Seja B um evento tal que P(B) > 0. Então a probabilidade condicional, dado o evento B, é uma função denotada por P(. B) e definida para todo A como segue, em que P(A B) é chamada a probabilidade condicional de A dado B. P(A B) P(A B) =. (.5) P(B) Suponhamos agora que tenhamos Ω,, P e Ω2, 2, P 2 dois espaços de probabilidade e Ω,, P o espaço produto associado. Considere A Ω e A 2 Ω 2, então quem seria P (A A 2 ) e P 2 (A 2 A )? Para poder utilizar a Definição?? temos que colocar os eventos A e A 2 no mesmo espaço. Para fazer isso, vamos verificar quem seria os eventos associados no espaço produto Ω,, P. Note que, o evento associcado a A em é A = A Ω 2 pois se ω A então ω = (ω,ω 2 ) A, do mesmo modo se ω = (ω,ω 2 ) A então ω A, logo P(A) = P (A ). De maneira análoga segue que para B = Ω A 2, tem-se P(B) = P 2 (A 2 ). Note ainda que, Portanto, da Definição?? tem-se que, P(A B) P (A A 2 ) = P(A B) = P(B) A B = (A Ω 2 ) (Ω A 2 ) = A A 2. = P(A A 2 ) P 2 (A 2 ) P(A B) e P (A 2 A ) = P(B A) = P(A) = P(A A 2 ). P (A )

18 Lema.. A função P(. B) é uma medida de probabilidade em (Ω, ). Demonstração. De fato,. P(Ω B) =, pois 2. Para todo A segue que, pois P(B) > 0 e P(A B) 0; P(Ω B) P(Ω B) = P(B) = P(B) P(B) = ; P(A B) P(A B) = 0 P(B) 3. Seja A, A 2,... tal que A i A j = para i j então, P A n B n= = P A n= n B = P n= (A n B) P(B) P(B) n= = P(A n B) P(A n B) = P(B) P(B) n= = P(A n B). n= Teorema. (Regra do Produto). Seja A, A 2,..., A n eventos tais que, P n A n > 0 então, n P A n = P(A )P(A 2 A )P(A 3 A A 2 ) P(A n A A 2 A n ). i = Se A i i para i =,..., n então, n i = P i = A n = P (A )P 2 (A 2 A )P 3 (A 3 A A 2 ) P n (A n A A 2 A n ). Demonstração. Fazer por indução. Tem-se que P(A A 2 ) = P(A )P(A 2 A ) pela Definição?? de probabilidade condicional. Suponha que é valido para k, isto é, P(A A k ) = P(A )P(A 2 A ) P A k k A i = i e então mostrar que vale para n = k +. Assim, seja B k = k i = A i, logo P(B k A k + ) = P(B k )P(A k + B k ).

19 Exemplo.4. Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Duas bolas são retiradas ao acaso sem reposição. Qual a probabilidade de que: (a) Ambas sejam verdes? (b) Ambas sejam da mesma cor? Solução: Seja (Ω,, P ) o espaço de probabilidade na primeira retirada com Ω = {b, v, p}, (Ω,, P ) o espaço de probabilidade na segunda retirada com Ω 2 = {b, v, p}, e Ω = Ω Ω 2 o espaço amostral do experimento, assim (a) sejam os seguintes eventos: A = {v } = retirar verde na primeira retirada e A 2 = {v } = retirar verde na segunda retirada e no espaço produto, A = A Ω 2 = {(v,b),(v, v ),(v, p)} = retirar verde na primeira retirada e B = Ω A 2 = {(b, v ),(v, v ),(p, v )} = retirar verde na segunda retirada. Assim, P(A A 2 ) = P(A)P(B A) = P (A )P 2 (A 2 A ) = = 6. (b) sejam os seguintes eventos: B i = {b} = retirar branca na i-ésima retirada e C i = {p} = retirar preta na i-ésima retirada. O evento desejado é (A A 2 ) (B B 2 ) (C C 2 ), portanto, P (A A 2 ) (B B 2 ) (C C 2 ) = P(A A 2 ) + P(B B 2 ) + P(C C 2 ) = P (A )P 2 (A 2 A ) + P (B )P 2 (B 2 B ) + P (C )P 2 (C 2 C ) = = = 5 8 Exemplo.5. Um carcereiro informa a três prisioneiros que um deles foi sorteado para ser executado no dia seguinte, enquanto que os outros dois serão libertados. O prisioneiro João Espeto se aproxima do carcereiro e cochicha no seu ouvido, solicitando que ele lhe conte qual dos outros dois prisioneiros será solto. O prisioneiro argumenta que isso não altera em nada a situação, visto que pelo menos um desses prisioneiros será solto. Entretanto, o carceiro não atende seu pedido, acreditando que isto poderia dar ao João Espeto alteração nas suas expectativas de ser libertado. Você acha que o carcereiro tem razão? Solução: Note que neste problema temos dois espaços amostrais: o espaço amostral de quem será sorteado para ser executado, Ω = A, B,C em que, A = o prisioneiro João Espeto será executado, e o espaço amostral sobre a informação que o carcereiro poderá fornecer, Ω 2 = b, c em que b = o segundo prisioneiro será solto e c = o terceiro prisioneiro será solto. Assim, o espaço amostral do nosso problema será o espaço produto, Ω = Ω Ω 2 = (A,b),(A, c),(b,b),(b, c),(c,b),(c, c).

20 Agora note que, Do mesmo modo, P (A,b) = P A b P A = 3 2 = 6 P (A, c) = 6, e P (B,b) = P B b P B = 3 0 = 0 = P (C, c) P (B, c) = P B c P B = 3 = 3 = P (C,b). Nestas condições segue que, se por exemplo o carcereiro disser que o segundo prisioneiro será solto então A P b = P (A,b) P b = 6 = 3 = P A 2. Teorema.2 (Probabilidade Total). Seja {A i, i =,..., n} uma partição de Ω com P(A i ) > 0 para todo i =,..., n. Então, para todo B tem-se que, P(B) = n P(A i )P(B A i ). i = Demonstração. De fato, pois assim, B = B Ω = B n A i = i, P(B) = P B n A i = i = P n (A i = i B) n n = P(A i B) = P(A i )P(B A i ). i = i = Exemplo.6. No curso de Engenharia Mecânica 5% dos homens e 2% das mulheres estão acima dos pesos ideais. Um aluno é escolhido aleatoriamente. Sabendo-se que 60% dos alunos são homens calcule a probabilidade que: a) O estudante esteja acima do peso; Solução: Seja Ω = {h, m } o espaço amostral relacionado ao sexo dos alunos e Ω 2 = {l, f } o espaço amostral relacionado ao peso dos alunos. Assim, o espaço amostral do experimento é dado por Ω = Ω Ω 2. Seja A = {h} o evento o aluno é do sexo masculino e A 2 = {f } o evento o aluno está acima do peso ideal. Assim, P 2 (A 2 A ) = 0, 05, P 2 (A 2 A c ) = 0, 02, P (A ) = 0, 60 e P (A c ) = 0, 40

21 No espaço produto, o evento o aluno está acima do peso ideal é A = Ω A 2 = (A A c ) A 2 = (A A 2 ) (A c A 2) assim, a probabilidade do aluno está acima do peso ideal é dada por, P 2 (A 2 ) = P(A) = P (A A 2 ) (A c A 2) = P A A 2 + P A c A 2 = P (A )P 2 (A 2 A ) + P (A c )P 2(A 2 A c ) = 0, 6 0, , 4 0, 02 = 0, 038. b) Seja mulher sabendo que o estudante está acima do peso. Solução: temos que P (A c A 2) = P(Ac A 2) P 2 (A 2 ) = P (A c )P 2(A 2 A c ) P 2 (A 2 ) 0, 4 0, 02 = = 0, 2. 0, 038 Exemplo.7. Seja U e U 2 duas urnas. A urna U contém 3 bolas pretas e 2 vermelhas e a urna U 2 contém 4 bolas pretas e 2 vermelhas. Escolhe-se ao acaso uma urna e dela retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade de que a bola seja preta? Solução: Tem-se que: Ω = Ω Ω 2 = (u, p),(u, v ),(u 2, p),(u 2, v ), em que u = bola da urna, u 2 = bola da urna 2, p = bola preta e v = bola vermelha. Sejam os eventos: A = {u } bola da urna e A 2 = {p} bola preta. Do problema tem-se que: P (A ) = P (A c ) = 0, 5, P 2 O evento de interesse é (U P) (U 2 P), assim: P (U P) (U 2 P) = P(U P) + P(U 2 P), pois os eventos são disjuntos = P(U )P(P U ) + P(P U 2 ) = = = 9 30 Teorema.3 (Fórmula de Bayes). Seja {A i, i =,..., n} uma partição de Ω com P(A i ) > 0 para todo i =,..., n. Então, para todo B para o qual P(B) > 0 tem-se que, P(A j B) = P(A j )P(B A j ) n i = P(A i )P(B A i ) Exemplo.8. Do exemplo anterior, calcule a probabilidade de que dado uma bola preta tenha sido sorteada, ela seja da urna U? Solução: Primeiro note que U e U 2 são uma partição de Ω. Assim, P(U )P(P U ) P(U P) = P(U )P(P U ) + P(U 2 )P(P U 2 ) = = =

22 Definição.20. Sejam A, B e ((Ω, ), P) um espaço de probabilidade. Então A e B são independentes se P(A B) = P(A) ou se P(B A) = P(B). Isto é, o fato de um dos eventos ocorrer não altera a probabilidade do outro ocorrer, assim da Definição?? de probabilidade condicional segue que, P(A B) = P(A)P(A B) = P(A B)P(B) = P(A)P(B). Exemplo.9. Sejam dois eventos A e B tal que P(A) =, P(A B) = e P(B A) =. Esses eventos são independes? Solução: Os eventos A e B são independentes, pois, P(A B) = P(A)P(B A) = 2 4 = 8 P(A B) = P(B)P(A B) P(B) = P(A)P(B) = 2 4 = = P(A B) 8 P(A B) P(A B) = 8 = 4 2 Definição.2. Seja ((Ω, ), P) um espaço de probabilidade e A,..., A n eventos em. Então os eventos são independentes(ou completamente independentes) se, P(A i A i k ) = P(A i )... P(A i k ) para k = 2,..., n e i,..., i k =,..., n tal que i <... < i k n. Diz-se também que estes eventos são dois a dois independentes se, P(A i A j ) = P(A i )P(A j ), para todo i j..6 Problemas. Na copa do mundo de futebol em 2006, os jogos das semi-finais foram Alemanha versus Itália e França versus Portugal. Supondo que não sabemos os resultados destes jogos, responda: a) Qual o espaço amostral da classificação final dos quatro times? b) Seja A o evento em que a Itália é a campeã da copa do mundo. Descreva o evento A; c) Seja B o evento em que Portugal seja um dos finalistas. Descreva o evento B; d) Descreva os eventos A B e A B. 2. Considere os veículos que passam pela BR-230 na altura da UFPB, no ponto em que podem continuar na BR-230(f), seguir em direção à UFPB(d) ou seguir em direção ao centro pela Pedro II(e). Considerando a direção tomada por três veículos quaisquer que passam sucessivamente, descreva os seguintes eventos: a) Ω;

23 b) A = os três veículos seguem na mesma direção; c) B = cada veículo toma uma direção diferente; d) C = exatamente dois seguem em direção à UFPB; e) D = exatamente dois seguem na mesma direção; f) A B, A C, A D, B C, B D e C D. Quais desses eventos formam uma partição de Ω? 3. Uma empresa de construção civil está construindo três prédios(,2,3) em João Pessoa. Seja A i o evento em que a empresa entrega o prédio i no prazo previsto. Descreva os eventos a seguir em termos dos eventos dados A, A 2, A 3 e desenhe o diagrama de Venn sombreando a região correspondente ao evento descrito. a) B = ao menos um prédio é entregue no prazo previsto; b) B 2 = todos os prédios são entregues no prazo previsto; c) B 3 = apenas o prédio é entregue no prazo previsto; d) B 4 = Exatamente um prédio é entregue no prazo previsto; e) B 5 = nenhum prédio é entregue no prazo previsto; 4. Dois dados são lançados. Sejam os eventos: A: o primeiro número é maior que o segundo; B: o primeiro número é igual ao dobro do segundo; C: a soma dos dois números é maior ou igual a 8. a) Descreva o espaço amostral e os eventos A, B e C ; b) Calcule a probabilidade dos eventos A, B e C ; c) Calcule P(A C ), P(B C c ) e P(A C c ). 5. Uma caixa contém fichas de duas cores sendo 4 vermelhas(v) e 3 pretas(p). Uma segunda caixa contém 2 vermelhas(v) e 4 pretas(p). Uma ficha é selecionada aleatoriamente da primeira caixa e colocada na segunda. Em seguida uma ficha é retirada da segunda caixa. a) Descreva o espaço amostral do experimento. Obs.: Este experimento é composto pois são observadas duas variáveis: a cor da ficha retirada da a. caixa e a cor da ficha retirada da segunda caixa. b) Seja A o evento a segunda ficha é vermelha. Descreva o evento A e calcule a sua probabilidade. 6. Um sistema de alarme que indica quando a temperatura de uma máquina está elevada a ponto de provocar um incêndio utiliza três sensores(,2,3) que agem independentemente um do outro. A probabilidade de cada sensor não funcionar é de 0, quando a temperatura ultrapassa 80 o C. O alarme é ativado se pelo menos um dos sensores entrar em funcionamento.

24 a) Descreva o espaço amostral do experimento. Obs.: o experimento é a observação do funcionamento ou não dos sensores; b) Seja A o evento o alarme dispara quando a temperatura ultrapassar 80 o C. Descreva o evento A c e calcule P(A) utilizando a relação entre P(A) e P(A c ). 7. Uma máquina pode parar por defeito mecânico ou elétrico. Se há defeito elétrico a probabilidade da máquina parar é de 0,3 e se há defeito mecânico a máquina para na proporção de para 4. Em 80% das vezes que a máquina é ligada não há defeito mecânico, em 0% das vezes que a máquina é ligada há defeito elétrico. Considere que não pode ocorrer mais de um defeito quando a máquina é ligada. a) Descreva o espaço amostral do experimento. Obs.: Este experimento é composto pois são observadas duas variáveis: estado da máquina e defeito. Deste modo, o espaço amostral é o resultado de um produto de dois espaços amostrais. Um espaço amostral é o da variável estado da máquina(parada ou em funcionamento) e o outro espaço amostral é o da variável defeito(nenhum defeito, defeito elétrico, defeito mecânico). b) Se a máquina parar, qual a probabilidade de ser por defeito mecânico? c) Qual a probabilidade da máquina parar? 8. Para verificar o perfil de seus empregados o gerente de uma indústria coletou as seguintes informações: Menor que 25 anos(l) Entre 25 e 40 anos(b) Maior que 40 anos(u) Homens(h) Mulheres(m) Um empregado é selecionado ao acaso: a) Descreva o espaço amostral desse experimento; b) Qual a probabilidade que ele seja homem ou tenha entre 25 e 40 anos de idade; c) Qual a probabilidade que tenha mais de 40 anos e seja homem; d) Qual a probabilidade que tenha menos de 25 anos sabendo que é mulher; Considere agora que dois empregados são selecionados ao acaso e sem reposição: e) Descreva o espaço amostral desse experimento; f) Ambos tenham menos de 25 anos; g) Exatamente tenha mais de 40 anos; h) A idade dos funcionários independe do sexo? 9. No curso de Engenharia Mecânica 5% dos homens e 2% das mulheres estão acima dos pesos ideais. Um estudante é escolhido aleatoriamente. Sabendo-se que 60% dos estudantes são homens calcule a probabilidade de que: a) O estudante esteja acima do peso;

25 b) Seja mulher sabendo que o estudante está acima do peso. 0. Na disciplina de Cálculo das Probabilidades e Estatística I, apenas dois alunos, Paulo e João, ficaram para fazer o exame final. A probabilidade de Paulo resolver a prova em mais de hora é 0,6 e a probabilidade de que João resolva a prova em menos de hora é de 0,7. Qual a probabilidade da prova ser resolvida em menos de hora?. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é de 3/4 e de seu marido é de 3/5. Calcule a probabilidade de que: a) Apenas o homem estar vivo; b) Apenas a mulher estar viva; c) Pelo menos um estar vivo; d) Ambos estarem vivos. 2. Três empresa,,2 e 3, de informática disputam a obtenção de um contrato para a produção de um software. O diretor do departamento de vendas da empresa estima que sua companhia tem probabilidade igual à da empresa 2 de obter o contrato que por sua vez é igual a duas vezes a probabilidade da empresa 3 obter o mesmo contrato. Determine a probabilidade da empresa ou 3 obter o contrato. 3. Suponha que temos dois lotes nas seguintes condições: O primeiro lote(l ) contendo 200 peças das quais 0 tem defeito(d) de fabricação, e o segundo lote(l 2 ) contendo 300 peças das quais 2 tem defeito(d) de fabricação. Se uma peça for retirada de cada lote, qual é a probabilidade de que: a) Pelo menos uma das peças escolhidas seja perfeita; b) Ambas tenham defeito de fabricação? c) Nenhuma delas tenha defeito de fabricação? d) Apenas a peça do primeiro lote tenha defeito de fabricação? e) Somente uma delas tenha defeito de fabricação? 4. Numa cidade 20% dos carros são da marca K, 30% dos carros são táxis e 40% dos táxis são da marca K. Se um carro é escolhido, ao acaso, determinar a probabilidade de que: a) Ser táxi e ser da marca K; b) Ser táxi e não ser da marca K; c) Não ser táxi, sabendo-se que é da marca K; d) Não ser táxi e não ser da marca K; e) Não ser táxi e ser da marca K.

26 5. Em uma empresa a probabilidade de que uma nova política de mercado tenha sucesso(a) foi estimada em 0,6. A probabilidade de que a despesa para o desenvolvimento da estratégia seja mantida dentro dos limites do orçamento previsto(b) é de 0,5. Admitindo que ambos os eventos A e B sejam independentes, determine a probabilidade de que: a) Pelo menos um dos objetivos seja atingido; b) Somente A seja atingido; c) Somente B seja atingido. 6. Em uma universidade, 40% dos estudantes praticam vôlei e 30% praticam natação. Dentre os que praticam vôlei, 20% praticam também natação. Que porcentagem de estudantes não praticam nenhum dos dois esportes? 7. Sejam A e B dois eventos tais que P(A) = 0, 4 e P(A B) = 0, 7. Seja P(B) = p. Para que valor de p, A e B serão mutuamente exclusivos? Para que valor de p A e B serão independentes? 8. Uma caixa contém 5 bolas brancas e três bolas pretas. Duas bolas são retiradas simultaneamente ao acaso e substituídas por três bolas azuis. Em seguida duas novas bolas são retiradas da caixa. a) Descreva o espaço amostral deste experimento; b) Calcule a probabilidade de as duas últimas bolas retiradas sejam da mesma cor; c) Se as duas últimas bolas retiradas forem uma branca e uma preta, calcular a probabilidade de que, na primeira extração, tenham saído duas bolas brancas. 9. Dois jogadores jogam alternadamente uma moeda, ganhando o jogo aquele que primeiro obtiver uma cara. a) Descreva o espaço amostral deste experimento; b) Qual a probabilidade do primeiro jogador ganhar o jogo? c) Qual a probabilidade do segundo jogador ganhar o jogo? 20. Em um lote de 2 lâmpadas, duas são defeituosas. Considere o experimento: três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente. a) Descreva o espaço amostral deste experimento; b) Qual a probabilidade de que nenhuma seja defeituosa; c) Qual a probabilidade de que exatamente uma seja defeituosa; d) Qual a probabilidade de que pelo menos uma seja defeituosa; e) Qual a probabilidade de que exatamente duas sejam defeituosas. 2. Em uma festa beneficente serão sorteados um DVD(a) e uma máquina fotográfica digital(b). São vendidos 400 bilhetes para o primeiro prêmio e 200 para o segundo. Uma mulher compra 4 bilhetes para concorrer a cada prêmio. Encontre a probabilidade de que:

27 a) Descreva o espaço amostral deste experimento; b) Ela ganhe exatamente um prêmio; c) Ela ganhe alguma coisa.

28 Capítulo 2 Variáveis aleatórias Neste capítulo serão estudados o conceito de variável aleatória, sua classificação: discreta e contínua; os tipos de distribuição de probabilidade: função de probabilidade, função de distribuição e densidade de probabilidade; e os conceitos de esperança, variância e função geradora de momentos. 2. Conceitos e definições Definição 2. (Variável aleatória). Seja (Ω,, P) um espaço de probabilidade associado. Então uma função X : Ω, que associa a cada elemento de ω Ω um número real é uma variável aleatória se a imagem inversa de todo boreliano da reta B for um elemento de, isto é, X (B) = ω Ω : X (ω) B Os borelinos da reta é a classe de todos os tipos de intervalos da reta (,x ),(,x ],(x, ),[x, ),(x, y ),[x, y ),(x, y ],[x, y ] Observação 2.. A função X deve ser unívoca, isto é, para cada ω Ω deve haver apenas um X (ω) associado. Entretanto, diferentes valores de ω podem levar a um mesmo valor de X. Observação 2.2. Uma função X satisfazendo as condições da Definição?? é chamada de variável aleatória mensurável. Exemplo 2.. Considere o seguinte experimento: selecionar uma peça em uma linha de produção e observar se a peça é boa ou ruim. Nestas condições, segue que Ω = {b, r } em que b=boa e r=ruim. Consideremos a seguinte variável aleatória, X (ω) = 0 se ω = b, se ω = r, Assim, considerando a σ álgebra das partes de Ω, isto é, = boreliano B tal que:,ω,b, r tem-se que para todo 25

29 {0, } / B, por exemplo B = ( 5, 0), assim X (B) = ; 0 B e / B, por exemplo B = 0, 2, assim X (B) = X (0) = {b} ; 0 / B e B, por exemplo B = [, 2], assim X (B) = X () = {r } = {r } ; {0, } B, por exemplo B = [0, ], assim X (B) = X ({0, }) = {b, r } = Ω ; Portanto X como definido é uma variável aleatória. Observação 2.3. Note que para todo boreliano B da reta tal que B Im(X ) = tem-se X (B) =, em que Im(X ) é o conjunto imagem de X. Logo, é suficiente fazer a verificação apenas para o conjunto imagem de X que denotaremos de Ω X. Definição 2.2. Seja (Ω,, P) um espaço de probabilidade ex uma variável aleatória. Então P X será a medida de probabilidade induzida por X no espaço,b, tal que para todo A = X (B) tem-se que P X (B) = P X (B) = P(A). Portanto,b, P X será o espaço de probabilidade induzido pela variável aleatória X. Observação 2.4. Visto que P X (B) = 0 para todo B Ω X =, ao invés de utilizarmos o espaço (,b, P X ) utilizaremos (Ω X, X, P X ), em que X é a σ-álgebra gerada por Ω X. Observação 2.5. De um modo geral, sempre que estamos trabalhando com a medida de probabilidade induzida por uma variável aleatória X utilizamos a notação P X, entretanto para que a notação não fique muito carregada e desde que não possa haver confusão não utilizaremos o subescrito. Definição 2.3 (Função de Distribuição). Seja X uma variável aleatória, então sua função de distribuição é definida como, F (x) = P(X x) = P X (ω) (,x] = P X,x, para todo x. F é também conhecida como função de distribuição acumulada de X. Propriedades: As condições necessárias e suficientes para que uma função seja uma função de distribuição são: (P) lim x F (x) = 0 e lim x F (x) = ; (P2) F é contínua à direita, isto é, para x n x tem-se que lim xn x F (x n ) = F (x + ) = F (x);

30 (P3) F é não decrescente, isto é, F (x) F (y ) para todo x, y tal que x y. Exemplo 2.2. Seja X uma variável aleatória e F uma função dada por 0 se x < F (x) = c e (x ) se x < 2 e + e 2 e 2(x ) se x 2. a) Verifique se F pode ser uma função de distribuição; c Solução: F é uma função de distribuição para c = e + e 2. De fato, (a) lim F (x) = 0 pois F (x) = 0 para x < x lim F (x) = lim e + e 2 e 2(x ) = e + e 2 = x x c c Assim, para c = e + e 2 tem-se lim x F (x) = ; (b) F é continua à direita pois é contínua nos intervalos x <, x < 2 e x 2 e nos pontos x = {, 2} tem-se que F () = F ( + ) e F (2) = F (2 + ). Alem disso, note que F é continua pois F () = F ( + ) = c e ( ) = 0 = F ( ) e F (2) = F (2 + ) = e + e 2 e 2(2 ) = e = F (2 ) = e (2 ) c c c (c) F é não decrescente, pois b) Calcule P X, 5 X < 4. Solução: P X, 5 X < 4 d F (x ) e (x ) se x < 2 c 2 = d x e 2(x ) se x 2 c 0 caso contrário = P X <, 5 X < 4 P X, 5, X 4 = P X 4 P X, 5 F (, 5) = = P X 4 F (4) 0, = = 0, , para todo x. = P X, 5 X 4 pois F é contínua

31 2.2 Classificação das variáveis aleatórias As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. A classe das variáveis aleatórias contínuas ainda pode ser subdividida em três: absolutamente contínua, singular e mista. Neste curso será abordada apenas a variável aleatória discreta e a absolutamente contínua. Definição 2.4 (Variável aleatória discreta). Uma variável aleatória X é discreta se o número de valores que X possa assumir for enumerável. Definição 2.5 (Função de Probabilidade). A função de probabilidade de uma variável aleatória X discreta é uma função que atribui probabilidade a cada um dos possíveis valores x i de X, isto é, P X (x i ) = P(X = x i ) = P({ω Ω : X (ω) = x i }) para todo i {, 2,..., n}, n e satisfaz as seguintes condições, (i) para todo i {, 2,..., n} tem-se que 0 P(X = x i ) ; (ii) n i = P(X = x i ) =. Exemplo 2.3. Seja =lançamento de duas moeda, seja X =número de caras ocorridos. Assim, Ω = (c, c),(c, r ),(r, c),(r, r ) Ω X = 0,, 2 e P X (0) = P X (0) P X () = P X () P X (2) = P X (2) = P(r, r ) = 4, = P (c, r ),(r, c) = P(c, r ) + P(r, c) = 2 4 = 2, = P(c, c) = 4. Deste modo, a função de probabilidade de X é dada por X 0 2 P X (x) Definição 2.6. Para uma variável aleatória discreta a função de distribuição é dada por, F (x) = P X (x i ) = P(X = x i ). para todo x. x i x x i x Exemplo 2.4. Do exemplo anterior tem-se que, 0 se x < 0 se 0 x < 4 F (x) = 3 se x < 2 4 se x 2

32 Observação 2.6. Da Definição?? segue que P(a < X b) = F (b) F (a ); P(a X b) = F (b) F (a ) P(X = a ) = F (b) F (a ); P(a < X < b) = F (b) P(X = b) F (a ) = F (b ) F (a ); P(a X < b) = F (b) P(X = b) F (a ) P(X = a ) = F (b ) F (a ); De fato, F (b) F (a ) = P(X = x i ) P(X = x i ) x i b = P(X = x i ) + xi a = a <x i b x i a P(X = x i ) P(X = x i ) a <x i b x i a P(X = x i ) = P(a < X b). Exemplo 2.5. Remessas de carne são feitas periodicamente por um grande frigorífico industrial. O período de entrega, isto é, o tempo transcorrido entre o recebimento do pedido e a entrega da carne, é uma variável aleatória X (medida em dias), com a seguinte função de probabilidade. Determinar: P X (x) = (a) O valor da constante c; Resposta: c = 4 ; c (9 x) se x = {4, 5, 6, 7} 0 caso contrário. (b) A probabilidade de o período de entrega ser no mínimo 5 dias; Resposta: P(X 5) = 0, Definição 2.7 (Variável aleatória contínua). Uma variável aleatória X é contínua se o número de valores que X possa assumir for não enumerável. Definição 2.8 (Variável aleatória absolutamente contínua). Uma variável aleatória X é absolutamente contínua se existir uma função não negativa f tal que para todo x, F (x ) = x f (t )d t. em que F é a função de distribuição da variável aleatória X. Observação 2.7. Note que toda variável aleatória absolutamente contínua é uma variável aleatória contínua mas nem toda variável aleatória contínua é uma variável aleatória absolutamente contínua.

33 A função f da Definição?? é chamada de função densidade de probabilidade, e da Definição??, segue que, f (x) = d F (x) d x para todo x aonde F for derivável. Propriedades da função densidade: As condições necessárias e suficientes para que uma função seja uma função densidade são: (i) f (x ) 0 para todo x ; (ii) f (x )d x =. A partir da definição de função de distribuição para uma variável aleatória contínua tem-se que, P X (ω) (a,b] = P(a < X b) = P(a X b) = P(a X < b) = P(a < X < b) = b para todo a,b tal que a < b. a f (x)d x = F (b) F (a ). Exemplo 2.6. Seja X uma variável aleatória contínua. Seja f uma função como segue, 2x se 0 x f (x) = 0 caso contrário. (a) Mostre que f é uma função densidade de probabilidade; (b) Calcule P(X 0, 75)? (c) Calcule P(X 0, 75 0, 5 X )? Solução: (a) f é uma fdp pois, (i) f (x) 0 para todo x, pois () Para x [0, ] tem-se que 2x 0; (2) Para x / [0, ] tem-se que f (x ) = 0. (ii) Portanto, f (x)d x = 0 se x < 0 F (x) = x 2 se 0 x se x >. 2x d x = x 2 0 =

34 (b) Do ítem anterior tem-se que, 3 2 P(X 0, 75) = F (0, 75) = = (c) temos que, P ((X 0, 75) (0, 5 X )) P(0, 5 X 0, 75) P(X 0, 75 0, 5 X ) = = P(0, 5 X ) P(0, 5 X ) 9 F (0, 75) F (0, 5) = = 6 4 = 5 F () F (0, 5) Independência de Variáveis Aleatórias Vamos agora definir o conceito de independência entre variáveis aleatórias. Como será visto, este conceito difere um pouco do conceito de independência entre eventos, pois agora cada variável aleatória gera uma σ-álgebra, deste modo para que um conjunto de variáveis aleatórias sejam independentes, as σ-álgebras deverão ser independentes, isto é, se tivermos n variáveis aleatórias, então elas serão independentes se as n σ-álgebras fores independentes. Se isto ocorrer então quaisquer subconjunto das n variáveis aleatórias serão independentes. É exatamente este fato que difere do conceito de independência entre eventos, isto é, n eventos independentes não implica que são 2 a 2 independentes. Definição 2.9 (Independência entre variáveis aleatórias). Sejam X,..., X n, n variáveis aleatórias definidas no espaço de probabilidade (Ω,, P). Então, X,..., X n são independentes se para todo boreliano da reta B i, i {,..., n} tivermos, Pela definição acima segue que, P(X B,..., X n B n ) = n P(X i B i );. Se X,..., X n tem função de distribuição F,..., F n respectivamente, então, F (x,...,x n ) = i = n F i (x i ). 2. Se X,..., X n tem função densidade f,..., f n respectivamente, então, f (x,...,x n ) = i = n f i (x i ). Exemplo 2.7. Considere o experimento de lançar um moeda honesta duas vezes. Assim, Ω = (c, c),(c, r ),(r, c),(r, r ). Considere as seguintes variáveis aleatórias: X = número de caras nos dois lançamentos mais o número de coroas nos dois lançamentos, X 2 = número de caras nos dois lançamentos menos o número de coroas nos dois lançamentos assim, i =

35 Ω X X 2 (c,c) 2 2 (c,r) 2 0 (r,c) 2 0 (r,r) 2-2 Deste modo, tem-se que, X P(X = x) X 2 P(X 2 = y ) P(X = x, X 2 = y ) Função de Variáveis Aleatórias Seja (Ω,, P) um espaço de probabilidade, X uma variável aleatória neste espaço e (Ω X, X, P X ). Seja h : Ω X uma função X -mensurável, nestas condições Y = h(x ) também será uma variável aleatória e sua função de probabilidade induzida P Y será para todo boreliano da reta B, 4 P(Y B) = P X h (B) = P 4 x Ω X : h(x) B Definição 2.0. Chama-se supremo de um conjunto B à menor de suas cotas superiores. Assim, se s for o supremo de B então: para todo b B tem-se que b s ; para todo ε > 0 existe um b B tal que s ε < b Definição 2.. Chama-se ínfimo de um conjunto B à maior de suas cotas inferiores. Assim, se i for o ínfimo de B então: para todo b B tem-se que b i ; para todo ε > 0 existe um b B tal que i + ε > b Se h for uma função monótona não decrescente então a função de distribuição de Y é dada por, F Y (y ) = P(Y y ) = P X h (y ) = F X h (y ) em que h (y ) = inf x Ω X : h(x) y é a inversa generalizada para este caso. Se h for uma função monótona não crescente então a função de distribuição de Y é dada por, F Y (y ) = P(Y y ) = P X h (y ) F X h (y ) em que h (y ) = inf x Ω X : h(x) y é a inversa generalizada para este caso. Se X for uma variável aleatória absolutamente contínua e h for uma função derivável e bijetora, então a densidade de Y é dada por, f Y (y ) = d F Y (y ) d y. = d F X h (y ) = d F X h (y ) d h (y ) = f d y d h X h (y ) J (x, y ). (y ) d y