Sobre um problema misto para a equação de Boussinesq num domínio

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Sobre um problema misto para a equação de Boussinesq num domínio"

Transcrição

1 Sobre um problema misto para a equação de Boussinesq num domínio não cilíndrico Flávio Roberto Dias Silva Centro de Ciências Exatas Universidade Estadual de Maringá Programa de Pós-Graduação em Matemática Mestrado Orientador: Cícero Lopes Frota Maringá - PR Março - 2

2 FLAVIO ROBERTO DIAS SILVA Sobre um problema misto para a equação de Boussinesq num domínio não cilíndrico. Dissertação submetida ao corpo docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Estadual de Maringá - UEM-PR, como parte dos requisitos nescessários à obtenção do grau de Mestre. Orientador: Cícero Lopes Frota. Maringá - PR 2

3 FLÁVIO ROBERTO DIAS SILVA Dissertação submetida ao corpo docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Estadual de Maringá - UEM-PR, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre. Aprovada por: Prof. Dr. Cícero Lopes Frota orientador... Universidade Estadual de Maringá Prof. Dr. Juan Amadeo Soriano Palomino... Universidade Estadual de Maringá Prof. Dr. Fágner Dias Araruna... Universidade Federal da Paraíba Maringá - PR Março de 2

4 Agradecimentos Primeiramente agradeço as pessoas que foram indispensáveis para a realização desse trabalho. Ao professor Cícero pela orientação e pelo apoio durante o desenvolvimento do trabalho. Ao professor Aldevino que me apoiou desde o meu primeiro dia em Maringá e ajudou a escrever a minha historia de mestrado, que sem ele teria sido muito diferente. Dentre o muito devo agradecer pela casa, comida, pela companhia, pelo playstation, pela internet, aos almoços de domingo com a P x correndo e latindo entre os Miuras vermelhos etc... Agradeço também aos muitos amigos do B-3-UNESP, Malcon, Carlos Bom de Bico, Bauru, Ruivão, Humbertão, LucianoZanga, ao Max, mano Oda, ao Fernas com quem dividi o quarto no B-3, Puff, Jorge Willian, H.U., Zé Brajé, Rafael Catarro, Moises, e tanta gente que nem é possível citar o nome, que sempre me receberam bem em suas casas quando estive de volta, com convite ou sem aviso, e me proporcionaram as melhores lembranças e as melhores historias que eu tenho para contar. Agradeço ao programa de pós-graduação em Matematica da UEM por me dar a oportunidade de realizar este trabalho e a Capes pelo apoio financeiro. - iv -

5 O topo das montanhas não é tão alto para quem sai do chão e espera o céu

6 Conteúdo Introdução Preliminares 3. Espaços Funcionais Distribuições Espaços L p Ω Espaços de Sobolev Espaços de Funções a Valores Vetoriais Topologias Fracas, Espaços Reflexivos e Separáveis Topologia Fraca Topologia Fraca Espaços Reflexivos e Espaços Separáveis Teoria Espectral Alguns Resultados Teorema de Carathéodory Mais Alguns Resultados Existência e Unicidade 3 - vi -

7 Conteúdo 2. Hipóteses e o Conceito de Solução Existência de solução fraca global e decaimento exponencial Existência de solução para o problema aproximado Estimativas a Priori Passagem ao Limite Condições Iniciais Decaimento exponencial Um resultado de unicidade Referências Bibliográficas 79 - vii -

8 Resumo Neste trabalho estudamos o problema de valores iniciais e de fronteira para a equação de Boussinesq, num domínio com fronteira movel Q u tt ux, t + u t x, t + u 2 x, t xx + u xxxx x, t = em Q uαt, t = uβt, t = u x αt, t = u x βt, t = para t > ux, = u x; u t x, = u x para x [α, β ] Aqui α e β são funções reais definidas em [, com α = α < β = β e Q = {x, t R 2, αt < x < βt t > }. Provamos a existencia de solução fraca global, o decaimento exponencial da energia associada e um resultado sobre a unicidade de solução. - viii -

9 Abstract In this work we study the initial boundary value problem for the Boussinesq s equation in moving boundary domain Q: u tt ux, t + u t x, t + u 2 x, t xx + u xxxx x, t = in Q uαt, t = uβt, t = u x αt, t = u x βt, t = for t > ux, = u x; u t x, = u x for x [α, β ] Here α and βare real functions defined on [, with α = α < β = β and Q = {x, t R 2, αt < x < βt t > }. We prove the existence of global weak solution, the exponential decay for the associate energy and a uniqueness result. - ix -

10 Introdução Neste trabalho estudamos a existência e unicidade de solução fraca global para a equação dissipativa de Boussinesq unidimensional em um domínio não cilíndrico. A equação recebe esse nome devido ao trabalho do matemático e físico frances Joseph Valentin Boussinesq. Joseph Valentin Boussinesq nasceu em Saint-André-de-Sangonis, 3 de março de 842 e faleceu em Paris, 9 de fevereiro de 929. Seu pai era camponês, sua mãe morreu quando ele tinha 5 anos e sua educação inicial foi conduzida por um tio padre que lhe ensinou latim e grego. Logo passa a estudar matemática e mecânica, enquanto também se interessa por religião e filosofia. Aos 2 anos começa a ensinar no Collège d Agde. Nesta época publicou seu primeiro artigo no Comptes Rendus da Academia Francesa de Ciências, sobre o problema de um jato d água incidindo sobre uma placa plana. A seguir se mudou para Vigas, onde realizou seus primeiros estudos sobre ótica. Apresentou sua tese de doutorado em 867, na Academia Francesa de Ciências, sobre a propagação de calor em um meio heterogêneo. Ao mesmo tempo publicou um artigo na Academia, sobre pequenas deformações de corpos elásticos sujeitos a uma carga exercida nas três direções principais. Em 868, durante uma visita aos alpes franceses, começa a se interessar por hidrodinâmica. Examinando escoamentos turbulentos, tomou contato com os experimentos de Henri Emile Bazin e reconheceu a origem da formação dos turbilhões como sendo ação da viscosidade. Contrariamente a Navier e a Stokes, Boussinesq deduziu que a ação da viscosidade não depende unicamente do fluido, mas também da posição dentro do escoamento e da intensidade da turbulência. Foi o primeiro pesquisador a quantificar a turbulência. Em 886 foi eleito Membro da Academia de Ciências de Paris. Em 872

11 Introdução foi professor de física na Faculdade de Ciências de Lille e École Centrale de Lille. Posteriormente lecionou, na Faculdade de Ciências de Paris, mecânica e física experimental , depois física, matemática e cálculo das probabilidades até 93. Seus principais trabalhos relacionam-se à Mecânica Geral e Física, às teorias de propagação do calor e da óptica, à capilaridade, à elasticidade e resistência dos materiais. Em 872, Boussinesq foi um dos primeiros a analisar a teoria de ondas de água, para o caso de aguas rasas e de ondas de pequena amplitude, idealizadas por Scott-Russell em 834 ver Boussinesq[2]. Em seu trabalho foi deduzido uma classe de equações diferenciais dissipativas e não-lineares que são agora conhecidas como as equações de Boussinesq. A equação de Boussinesq, considerada por exemplo em Boussinesq[3] e Craig[9], pode ser escrita como a seguinte equação de evolução: u tt u + au 2 xx + bu xxxx = onde u = ux, t é a componente vertical da velocidade na superfície livre de um fluído irrotacional, a é uma constante real positiva e b é uma constante real, ambas dependendo da profundidade do fluido. Quando b >, a equação em um domínio cilíndrico descreve pequenas oscilações transversais não-lineares de uma barra elástica e denominase na literatura como a boa equação de Boussinesq. Para b <, é chamada de a equação má de Boussinesq; veja Zabusky[2]. A equação de Boussinesq com a e b positivos sob ação de um forte amortecimento interno, que significa a existência de uma amortecimento estrutural cu xxt, com c >, modela oscilações não-lineares da barra na presença de viscosidade; assim torna-se u tt u + cu t + au 2 xx + bu xxxx =. 2 Neste trabalho faremos uma apresentação didática dos resultados contidos na referência Frota[] sobre o problema de valor inicial e de fronteira para equação dissipativa, não-linear e unidimensional de Boussinesq, dentro de um domínio não cilíndrico de R 2

12 Introdução 2 que tem pequenos deslocamentos, tanto crescentes como decrescentes, a saber: u tt x, t ux, t + u t x, t + u 2 x, t xx + u xxxx x, t = em Q, 3 uαt, t = uβt, t = u x αt, t = u x βt, t = para t >, 4 ux, = u x; u t x, = u x para x [α, β ], 5 aqui α e β são funções reais definidas em [,, α = α < β = β e Q = {x, t R 2 : αt < x < βt e t > } é o domínio não cilíndrico. O intervalo [α, β ] representa a barra na posição de repouso. As extremidades da barra variam pela ação de forças e tem posição [αt, βt] no tempo t >. Neste trabalho, provamos a existência e a unicidade de solução global fraca para 3-5 bem como o decaimento exponencial para a energia associada quando t. As funções α e β não são necessariamente monótonas, implicando que o domínio nãocilíndrico Q não precisa ser um domínio crescente com respeito ao parâmetro t. O trabalho está dividido em dois capítulos. No capítulo enunciamos resultados necessários para o estudo feito e as notações usadas no decorrer do trabalho. No capítulo 2 provamos a existência e o decaimento de solução fraca global Teorema 2.3 e um resultado sobre unicidade de solução Teorema 2.4. Para provarmos a existência de solução, usamos o método de Faedo-Galerkin: Projetamos o problema em um subespaço de dimensão finita de H, 2 e consideramos um problema aproximado, provamos a existência de solução para o problema aproximado e fazemos estimativas convenientes para passarmos o limite e mostramos que o limite da seqüencia das soluções dos problemas aproximados é a solução procurada para o problema 3-5. Demosntramos o resultado de unicidade via o método de Ladyzhenskaya que poder ser visto, igualmente em Límaco-Medeiros[3].

13 Capítulo Preliminares Neste capítulo enumeraremos alguns resultados que serão usados no desenvolvimento do nosso trabalho. Por serem resultados familiares, apresentaremos apenas os seus enunciados, deixando a cargo do leitor interessado a busca de suas demonstrações.. Espaços Funcionais.. Distribuições No estudo de problemas descritos pelas equações diferenciais parciais, cujos dados iniciais não são regulares o suficiente para possuírem derivada no sentido clássico, faz-se necessária a introdução de um novo conceito de derivada. Para entendermos tal conceito, necessitamos de algumas definições. Sejam x = x, x 2,..., x n pontos do R n e α = α, α 2..., α n as n-uplas de números inteiros não negativos. Considerando α = α + α α n e α! = α!α 2!...α n! denotamos o operador derivação, em R n, por D α = α x α x α x αn n Sejam Ω um aberto do R n e ϕ : Ω R uma função. Definimos o suporte da função ϕ e denotamos por suppϕ, o fecho em Ω do conjunto {x Ω; ϕx }. Quando suppϕ é compacto, dizemos que ϕ tem suporte compacto em Ω. Denotamos por C Ω

14 . Espaços Funcionais 4 o conjunto das funções ϕ : Ω R que são infinitamente diferenciáveis em Ω e que possuem suporte compacto em Ω. O espaço das funções testes em Ω, DΩ, é o espaço vetorial C Ω munido da seguinte noção de convergência: Dadas uma sequência ϕ ν ν N de funções de C Ω e ϕ C Ω dizemos que ϕ ν ϕ em DΩ. se, e somente se, existe um subconjunto compacto K de Ω tal que i suppϕ ν K, ν e suppϕ K; ii D α ϕ ν D α ϕ uniformemente sobre K, α N n. Uma distribuição sobre Ω é uma forma linear T : DΩ R sobre DΩ que é contínua no sentido da convergência dada em., isto é T, ϕ ν T, ϕ em R sempre que ϕ ν ϕ em DΩ. Chamamos por D Ω o espaço vetorial das distribuições sobre Ω. Dizemos que T ν ν R, uma sequência de elementos de D Ω, converge para T D Ω e escreveremos T ν T em DΩ quando T ν, ϕ T, ϕ, ϕ D Ω. Dada uma distribuição T sobre Ω e α N n, a derivada distribucional de ordem α da distribuição T, denotada por D α T, é definida por D α T, ϕ = α T, D α ϕ, ϕ DΩ. Com essa definição, uma distribuição T D Ω possui derivada distribucional de todas

15 . Espaços Funcionais 5 as ordens e D α T D Ω. Além disso a aplicação D α : D Ω D Ω T D α T é linear e contínua...2 Espaços L p Ω Sejam Ω um subconjunto do R n e p um número real tal que p <. Denotamos por L p Ω o espaço vetorial das classes de funções mensuráveis u, definidas em Ω tais que u p é Lebesgue integrável sobre Ω. O espaço L p Ω, munido da norma é um espaço de Banach. u L p Ω = ux p dx Ω p, Se define L Ω como o conjunto formado pelas funções u : Ω R tais que u é mensurável e existe uma constante C tal que ux C para quase todo x Ω. Uma norma em L Ω é dada por u L Ω = inf{c; ux C q.s. em Ω}, a qual o torna um espaço de Banach. Em particular, L 2 Ω é um espaço de Hilbert, cujo produto interno e norma denotamos respectivamente por u, v = uxvx dx Ω e u = u, u /2 = Ω ux 2 dx /2. Seja < p <. Diz-se que p é o índice conjugado de p se p + p =. No caso p = definimos como seu índice conjugado p =.

16 . Espaços Funcionais 6 Proposição. Desigualdade de Hölder Sejam u L p Ω e v L p Ω com p. Então uv L Ω e uv u L p Ω v L p Ω Ω Demonstração: Ver [4]. Proposição.2 Desigualdade de Minkowski Sejam u, v L p Ω e p então u + v L p Ω u L p Ω + v L p Ω. Demonstração: Ver [8]. Denota-se por L p loc Ω, p, o espaço das classes de funções u : Ω R tais que u L p K, para todo subconjunto compacto K Ω. Proposição.3 Du Bois Raymond Sejam u L loc Ω tal que Ω uxϕx dx =, ϕ C Ω, então u = quase sempre em Ω. Demonstração: Ver [5]. Definição.4 Seja u L loc Ω. Definimos a distribuição T u D Ω por: T u, ϕ = uxϕxdx Ω

17 . Espaços Funcionais 7 para toda ϕ DΩ Mostra-se sem dificuldades que T u é uma distrinbuição. Do Lema de Du Bois Raymond segue-se que para cada u L loc Ω, temos T u univocamente determinada por u sobre Ω, quase sempre, no seguinte sentido: se u, v L loc Ω então T u = T v se e somente se u = v quase sempre em Ω. Por esta razão, identificase u com a distribuição T u por ela definida e diz-se a distribuição u ao invés dde dizer a distribuição T u...3 Espaços de Sobolev Nesta seção veremos a definição e alguns resultados sobre os espaços de Sobolev, ferramenta indispensável para a resolução de problemas envolvendo equações diferenciais parciais. Sejam Ω um aberto do R n, p e m. O espaço de Sobolev W m,p Ω é o espaço vetorial de todas as funções u L p Ω tais que existe w α L p Ω onde T wα = D α T u em D Ω α N n tal que α m Simbolicamente W m,p Ω = {u L p Ω; tal que existe w α L p Ω onde T wα = D α T u em D Ω = α N n com α m} { u L p Ω; w α L p Ω tal que w α xϕxdx Ω } = α uxd α ϕx α N n com α m Ω = {u L p Ω; D α u L p Ω, α N n com α m}. Uma norma em W m,p Ω é dada por u p W m,p Ω = D α ux p dx, se p <, α m Ω

18 . Espaços Funcionais 8 e u W m, Ω = α m sup ess D α ux dx, x Ω a qual o torna um espaço de Banach. No caso p = 2, escrevemos W m,2 Ω = H m Ω e munindo-o com o produto interno temos um espaço de Hilbert. u, v H m Ω = D α u, D α v, α m Define-se o espaço W m,p Ω como sendo fecho de C Ω em W m,p Ω, ou seja, C Ω W m,p Ω = W m,p Ω. Proposição.5 Desigualdade de Poincaré Suponhamos que Ω seja um aberto limitado do R n. Então pra todo p <, existe uma constante C dependendo da medida de Ω e de p tal que u L p Ω C L p Ω, u W,p Ω. Demonstração: ver[4]. Quando Ω é limitado em alguma direção x i de R n e p < então a norma em W m,p Ω dada por u p = D α ux p dx α =m Ω é equivalente a norma induzida por W m,p Ω. Representa-se por W m,p Ω o dual topológico de W m,p Ω, onde p < e p é o índice conjugado de p. Por H m Ω denota-se o dual topológico de H m Ω. Existem diversos teoremas de imersão para os espaços de Sobolev. No caso da reta

19 . Espaços Funcionais 9 obtemos uma melhor regularidade para as funções de W m,p I, I R. Proposição.6 Seja I = a, b um intervalo da reta R, temos com m : a W m,p I C m,λ I com < λ p se p > b W m,p I C m b I se p =. Demonstração: ver [6] Em particular, considerando I =, temos que H, C,λ [, ], < λ 2 H 2, C,λ [, ], < λ 2 Nós observamos que v v y v yy.2 e v L, v y HI L I.3 para todo v H 2,. De fato: A primeira desigualdade é dada pela desigualdade de Poincaré, a segunda segue de: vy = y v y sds v y s ds /2 /2 v y s ds ds = v y y [, ]; tomando o supremo temos o desejado.

20 .2 Espaços de Funções a Valores Vetoriais 2.2 Espaços de Funções a Valores Vetoriais Seja X um espaço de Banach. Denotamos por D, T ; X o espaço das funções vetoriais ϕ :, T X, infinitamente diferenciáveis cujo suporte é um compacto contido em, T. Dizemos que uma sequência ϕ ν ϕ em D, T ; X se, e somente se, existe um subconjunto compacto K de Ω tal que i suppϕ ν e suppϕ estão contidos em K, para todo ν; ii Para cada k N, d k dt ϕ νt dk ϕt em X, uniformemente em K. k dtk O espaço das aplicações lineares contínuas de D, T = D, T ; R em X será denotado por D, T ; X, ou seja, S D, T ; X se S : D, T X é linear e se θ ν θ em D, T então S, θ ν S, θ em X. Diremos que S ν S em D, T ; X se S ν, θ S, θ em X, θ D, T. O espaço D, T ; X equipado com a convergência acima é denominado espaço das distribuições vetoriais de, T com valores em X. Denota-se por L p, T ; X, p <, o espaço das classes de funções vetoriais u :, T X mensuráveis em, T,, T dotado da medida de Lebesgue, tais que ut p Xdt <.

21 .3 Topologias Fracas, Espaços Reflexivos e Separáveis 2 Denota-se por L, T ; X, o espaço das classes de funções vetoriais u :, T X mensuráveis em, T,, T dotado da medida de Lebesgue, tais que sup ess ut X <. t [,T ] Se X é Hilbert com produto interno, X, então o espaço L 2, T, X munido do produto interno u, v L 2,T,X = ut, vt X dt é também um espaço de Hilbert..3 Topologias Fracas, Espaços Reflexivos e Separáveis Nesta seção temos algumas propriedades das topologias fraca e fraca, assim como resultados de convergência nestas topologias envolvendo a reflexividade e a separabilidade dos espaços..3. Topologia Fraca Considerando E um espaço de Banach, a topologia fraca σe, E sobre E é a topologia menos fina sobre E que torna contínuas todas as aplicações f E. Seja x n n N uma sucessão convergente para x na topologia fraca σe, E. Quando não houver possibilidade de confusão diremos apenas que x n n N converge fraco para x e denotaremos por x n x em E Proposição.7 Seja x n n N uma sequência em E, então i x n x em E se, e somente se, f, x n f, x, em R f E ; ii Se x n x em E, então x n x em E; iii Se x n x em E, então x E é limitada e x E lim inf x n E ;

22 .3 Topologias Fracas, Espaços Reflexivos e Separáveis 22 iv Se x n x em E e f n f em E, então f n, x n f, x em R. Demonstração: Ver [4]..3.2 Topologia Fraca Sejam E um espaço de Banach e x E fixo. A aplicação J x : E R f J x, f = f, x é linear e contínua e, portanto, J x E, x E. Deste modo, definamos a aplicação J : E E tal que Jx = J x, a qual é chamada de injeção canônica de E em E. A topologia fraca, ou σe, E, é a topologia menos fina sobre E que faz contínuas todas as aplicações J x. Seja f n n N uma sucessão convergente para f na topologia fraca σe, E. Com vistas a simplificação das notações escreveremos apenas que f n n N converge fraco para f, ou simbolicamente f n f em E, quando não houver possibilidade confusão. Proposição.8 Seja f n n N uma sucessão em E, então i f n f em E se, e somente se, f n, x f, x em R x E; ii Se f n f forte, então f n f em σe, E ; iii Se f n f em σe, E, então f n f em E ; iv Se f n f em E, então f n E está limitada e f E lim inf f n E ; v Se f n f em E e x n x em E, então f n, x n f, x em R.

23 .4 Teoria Espectral 23 Demonstração: Ver [4]..3.3 Espaços Reflexivos e Espaços Separáveis Dizemos que um espaço de Banach E é reflexivo quando a injeção canônica J : E E é sobrejetora. Um espaço métrico E é dito separável quando existe um subconjunto M E enumerável e denso em E. Teorema.9 Seja E um espaço de Banach separável e seja f n n N uma seqüência limitada em E, então existe uma subseqüência f nk k N e f E tal que f nk fem E. σe, E. Demonstração: Ver [4]. Teorema. Seja E um espaço de Banach reflexivo. Se x n n N é uma seqüência limitada em E. Então existe uma subseqüência x nk k N e x E tal que x nk x em E. Demonstração: Ver [4]..4 Teoria Espectral Nesta seção caminharemos para enunciar o Teorema espectral para operadores compactos simétricos. O teorema espectral é uma ferramenta muito útel, a versão que enunciaremos nos garante a existência de uma base ortonormal de vetores próprios em um espaço de Hilbert H com produto interno,.

24 .4 Teoria Espectral 24 Definição. Um operador A de H é denominado compacto, quando para toda sequência limitada u n n N de vetores de H, podemos extrair de Au n n N uma subsequência convergente em H. Em outras palavras, A leva conjuntos limitados em conjunto relativamente compactos. Definição.2 Seja A : DA H H um operador linear de H o operador A : DA H H que verifica Au, v = u, A v u DA e v DA onde DA = {v H, v H que verifica Au, v = u, v, u DA} é chamado operador adjunto de A Definição.3 Um operador linear A de H é chamado simétrico se seu domínio DA é denso em H e Au, v = u, Av Teorema.4 Seja A um operador compacto, simétrico e não-nulo de H. Então, podemos construir uma coleção finita ou enumerável {λ ν } de valores próprios não-nulos de A e uma coleção {v ν } ν N de correspondentes vetores próprios tais que i Se {λ ν } é enumerável, então λ ν λ ν+ para todo ν e λ ν ii {v ν } um sistema ortonormal de H e é válida a representação Au = ν Au, vν vν = ν λ ν u, vν vν

25 .4 Teoria Espectral 25 ν indica soma finita ou enumerável. iii Todos os valores próprios não-nulos de A estão na coleção {λ ν }, portanto, a coleção de valores próprios não-nulos de A é no máximo enumerável. Demonstração: Ver [4] Teorema.5 Teorema Espectral para operadores simétricos e compactosseja H um espaço de Hilbert separável e A um operador compacto e simétrico de H. Então, existe um sistema ortonormal e completo {e ν } ν N de H, formado por vetores próprios de A. Demonstração: Ver[4] A partir deste teorema podemos garantir a existencia de uma base de H 2, a qual é ortonormal em L 2, ortogonal em H, e ortogonal em H 2, a saber afirmamos : H 2, L 2, u u = u xx é operador inverso de um operador compacto é simétrico a verificação destas afirmações pode ser vista em []. pelo teorema espectral para operadores compactos e simétricos Teorema.5 podemos

26 .5 Alguns Resultados 26 escolher w j j N como sendo uma base de auto funções para H 2, associadas ao operador, ortonormal em L 2,, além disso wi, w j H, = = w iy w jy dy w iyy w j dy = λ i w i w j dy λ i se i = j = λ i wi, w j = se i j. Portanto ortogonal em H, e wi, w j H 2, = = w iyy w jyy dy λ i w i λ j w j dy = λ i λ j w i w j dy λ 2 i se i = j = λ i λ j wi, w j = se i j, ou seja, ortogonal também em H 2,..5 Alguns Resultados.5. Teorema de Carathéodory O teorema de Carathédory é indispensável para a resolução de nosso problema, por isso o enunciamos aqui e uma demonstração pode ser encontrada na referência [8]. Dadas a, b R +, t R e x R n considere o retangulo em R n+ definido por {t, x R n+ ; t t < a e x x R n < b}

27 .5 Alguns Resultados 27 Diz-se que a função f : R R n+ R n satisfaz as condições de Carathéodory no retangulo R se i fx, t é mensurável em t para cada x fixado; ii fx, t é contínua em x para cada t fixo e iii para todo compacto K R existe uma função real m K t, integrável, tal que ft, x R n m K t, para todo par t, x K. Uma solução local para o problema de valor inicial x t = ft, xt xt = x.4 é uma função x : I R R n, definida e diferenciavel num intervalo da reta I = {t R; t t < β β > } tal que x t = ft, xt, t I e xt = x Teorema.6 de Carathéodory Seja f : R R n satisfazendo as condições de Carathéodory no retangulo R. Então o problema.4 tem uma solução local. Corolário.7 Sejam U = [, T ] B com T >, B = {x R n ; x b}, onde b > e f : U R n nas condições de Carathédory. Suponhamos que xt é uma solução de.4 tal que x b e que em qualquer intervalo I, onde xt está definida, se tenha xt M, para todo t I, M independente de I e M < b. Então xt possui um prolongamento à todo [, T ]..5.2 Mais Alguns Resultados Enuciamos nesta seção mais alguns resultados utilizados no texto.

28 .5 Alguns Resultados 28 Proposição.8 Desigualdade de Young Se a e b são números reais não negativos então ab ap p + bp p sempre que < p < e p + p =. Demonstração: Ver [4]. Proposição.9 Lema de Gronwall Sejam z L, T e ϕ C[, T ] funções não negativas c uma constante tais que ϕt c + t zsϕsds, t [, T ]. Então ϕt c.e t zsds, t [, T ]. Em aprticular, se c = então ϕ. Demonstração: Ver [6]. Teorema.2 Representação de Riesz-Fréchet Seja H um espaço de Hilbert. Dada ϕ H, existe f H único tal que ϕ, u = f, u, u H. Além disso, f H = ϕ H

29 .5 Alguns Resultados 29 Demonstração: Ver [4]. Se chama base hilbertiana, ou simplesmente base, de um espaço de Hilbert H a toda sequência e n de elementos de H tais que i e n H = n N, e m, e n H = m, n, m n. ii O espaço vetorial gerado pelos {e n } é denso em H. Com essa definição temos o Teorema.2 Todo espaço de Hilbert separável admite uma base Hilbertiana. Demonstração: Ver [4]. Teorema.22 Aubin-Lions Sejam B, B e B espaços de Banach tais que B B B, onde B e B são reflexivos. Então c W = {u L p, T ; B ; u t L p, T ; B }, onde < p, p <, W munido da norma u W = u L p,t ;B + u L p,t ;B, é um espaço de Banach e a imersão de W em L p, T ; B é compacta. Demonstração: Ver[]

30 .5 Alguns Resultados 3 Proposição.23 Lema de Lions Seja u ν ν N uma sucessão de funções pertencentes a L q Q com < q <. Se i u ν u quase sempre em Q, ii u ν L q Q c, para todo ν N, então u ν u em L q Q. Demonstração: Ver[5] Lema.24 Sejam X e Y dois espaços de Banach tal que X Y. Se u L p, T ; X e u L p, T ; Y, onde p, então u C [, T ]; Y. Demonstração: Ver[9] Lema.25 Sejam X e Y dois espaços de Banach tais que X Y e X é reflexivo. Se u L, T ; X e u L p, T ; Y, onde p, então u C w [, T ]; X, isto é, a aplicação t ξ, ut X,X é continua em [, T ] ξ X. Demonstração: Ver[9]

31 Capítulo 2 Existência e Unicidade Neste capítulo apresentaremos um estudo qualitativo do problema 3-5. Provaremos resultados sobre a existência de soluções fraca global e o decaimento exponencial da energia associada Teorema 2.3, bem como um resultado de unicidade de solução Teorema 2.4. Mediante hipóteses convenientes sobre as funções α e β, que descrevem o comportamento da fronteira do domínio não cilíndrico, usando o método construtivo de Faedo - Galerkin provamos a existência de solução fraca global. A demonstração do resultado de unicidade esta baseada no método de Ladyzhenskaya empregado em Limaco e Medeiros [3]. Este capítulo está subdivido em três seções. Na seção 2. fixamos as hipóteses sobre o domínio não cilíndrico Q, introduziremos o conceito de solução fraca global para o problema 3-5 e definimos a função energia associada. A seção 2.2 contempla um resultado de existência de solução fraca global e o decaimento exponencial da energia associada. Finalizamos com a seção 2.3 onde provaremos um resultado de unicidade de solução global. 2. Hipóteses e o Conceito de Solução Suponhamos que as funções α e β, que definem o domínio não cilíndrico Q satisfazem as seguintes hipóteses: H α, β, α, β L [, [; R;

32 2. Hipóteses e o Conceito de Solução 32 H 2 Existe δ tal que < δ γt =: βt αt, para todo t ; H 3 α t + yγ t γt α t + yγ t 2, para todo y [, ] e t. Precisamos também de mais uma hipótese sobre as funções, que garanta pequenas variações para as extremidades do domínio não-cilíndrico Q. Note que a partir de H podemos escrever γt = t [ ] β s α s ds + β α, para todo t. Utilizando que α, β L [, [, R temos que existe K R tal que γt K para todo t. 2. Consideremos o polinômio P Z = /8 2K 2 + /2Z 42Z 2 4Z 3 8Z 4, então P > e P <. Portanto, pelo teorema do valor intermediário, a primeira raiz positiva de P Z a qual denotamos por Z, está no intervalo,. Assim consideramos a hipótese adicional sobre α e β: H 4 Θt := α t + β t min{, 8K, Z K }. Como α t + yγ t max{ α t, β t } para todo y [, ], de H4 nós deduzimos γ t Θt e α t + yγ t Θt para todo t e y [, ]. 2.2 Definimos γ = γ = β α

33 2. Hipóteses e o Conceito de Solução 33 e a y = γ 2 α yγ 2 com y [, ] γ Para u H 2 α, β e u L 2 α, β escreveremos v y = u α + yγ para y [, ]; v y = u α + yγ + α + yγ u x α + yγ para y [, ] e E = [ v y 2 + a y v y y 2 + v yyy 2 γ 4 + v yv y 2γ 2 + v ] yy 2 dy γ 4 Definição 2. Dizemos que uma função real u = ux, t definida em Q é uma solução fraca global do problema de valor inicial e de fronteira 3-5 se: i u L loc, ; Hαt, 2 βt, u t L 2 loc, ; Hαt, βt ; ii Para todo T > e toda função φ L, 2 T ; Hαt, 2 βt tal que φ t L, 2 T ; L 2 αt, βt e φ = φt = tem-se que u satisfaz a equação integral: + βt αt βt αt u t x, tφ t x, tdxdt+ u xx x, tφ xx x, tdxdt = ; βt αt [ ] ux, t + u t x, t + u 2 x, t φ x x, tdxdt x iii ux, = u x e u t x, = u x para todo x αt, βt. Definição 2.2 Para cada função u solução fraca de 3-5 definimos a energia associada como sendo a função Eu : [, R dada por Eut = 2 { u t t 2L 2αt,βt + ut 2H αt,βt + ut 2H 2 αt,βt }.

34 2.2 Existência de solução fraca global e decaimento exponencial Existência de solução fraca global e decaimento exponencial Nesta seção vamos provar a existência de solução fraca global para o problema 3-5, bem como o decaimento exponencial da energia associada. Utilizaremos o método construtivo de Faedo-Galerkin o qual consiste em: projetar nosso problema em sub-espaços de dimensão finita, obtendo uma seqüência de problemas aproximados; aplicar resultados da teoria de equações diferenciais ordinárias obtendo soluções aproximadas; a próxima etapa é a obtenção de estimativas a priori limitações apropriadas para as seqüencias de soluções aproximadas; finalizaremos aplicando resultados de compacidade os quais levarão a existência de uma subseqüência da seqüência das soluções aproximadas convergente, cujo o limite deverá ser a solução fraca global desejada. Teorema 2.3 Existência de Solução e decaimento ExponencialSeja H H 4 asseguradas. Se u H 2 α, β e u L 2 α, β são dados tais que 64K 28K E + 4E + < δ 2 8K, então existe pelo menos uma solução fraca global u para o problema 3-5. Além disso, existem constantes reais positivas k, k tal que a energia: Eut k e k t t. 2.5 Demonstração: A idéia é transformar o problema misto não-cilíndrico 3-5 em um outro problema misto sobre um domínio cilíndrico. Esta transformação será feira por meio de uma mudança de coordenadas difeomorfismo apropriada. A técnica que transforma problemas de fronteira móvel em problemas com fronteira fixa tem sido usada por vários autores; ver, por exemplo Límaco-Medeiros[3], Límaco et al.[2], Medeiros et al. [7], Clark et

UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE PARA A EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA SEMILINEAR COM EXPOENTE CRÍTICO DE SOBOLEV

UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE PARA A EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA SEMILINEAR COM EXPOENTE CRÍTICO DE SOBOLEV UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE PARA A EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA SEMILINEAR COM EXPOENTE CRÍTICO DE SOBOLEV Alex Jenaro Becker, Mestrando, alexjenaro@gmail.com Bolsista CAPES/FAPERGS

Leia mais

Equação do Calor com Potencial Singular

Equação do Calor com Potencial Singular Universidade Federal de Santa Catarina Curso de Pós-Graduação em Matemática e Computação Científica Equação do Calor com Potencial Singular Eleomar Cardoso Júnior Orientador: Prof. Dr. Gustavo Adolfo Torres

Leia mais

Exp e Log. Roberto Imbuzeiro Oliveira. 21 de Fevereiro de 2014. 1 O que vamos ver 1. 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2

Exp e Log. Roberto Imbuzeiro Oliveira. 21 de Fevereiro de 2014. 1 O que vamos ver 1. 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2 Funções contínuas, equações diferenciais ordinárias, Exp e Log Roberto Imbuzeiro Oliveira 21 de Fevereiro de 214 Conteúdo 1 O que vamos ver 1 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2 3 Existência

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

SOLVABILIDADE E DECAIMENTO EXPONENCIAL PARA UM SISTEMA DE EDP NÃO LINEAR COM ACOPLAMENTO NA FONTE

SOLVABILIDADE E DECAIMENTO EXPONENCIAL PARA UM SISTEMA DE EDP NÃO LINEAR COM ACOPLAMENTO NA FONTE SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS - GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA - PPGME SOLVABILIDADE E DECAIMENTO EXPONENCIAL PARA UM

Leia mais

Capítulo 5: Transformações Lineares

Capítulo 5: Transformações Lineares 5 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 5: Transformações Lineares Sumário 1 O que são as Transformações Lineares?...... 124 2 Núcleo e Imagem....................

Leia mais

Observações sobre Controle Hierárquico em Domínio não Cilíndrico

Observações sobre Controle Hierárquico em Domínio não Cilíndrico Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Observações sobre Controle Hierárquico em Domínio não Cilíndrico

Leia mais

Estabilidade Linear e Exponencial de Semigrupos C 0 e

Estabilidade Linear e Exponencial de Semigrupos C 0 e ERMAC 2: I ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - 3 de Novembro de 2, São João del-rei, MG; pg 232-236 232 Estabilidade Linear e Exponencial de Semigrupos C e Aplicações Francis F.

Leia mais

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013 Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante

Leia mais

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo você aprendeu que, dada uma função y f ( ), a derivada f '( ) d é também, ela mesma, uma função de e

Leia mais

uma classe de sistemas elipticos envolvendo o operador p-laplaciano em dominio nao limitado

uma classe de sistemas elipticos envolvendo o operador p-laplaciano em dominio nao limitado Seminário Brasileiro de Análise - SBA Instituto de Matemática e Estatatística - USP Edição N 0 68 Novembro 2008 uma classe de sistemas elipticos envolvendo o operador p-laplaciano em dominio nao limitado

Leia mais

TÓPICO 2 APROXIMAÇÕES DA IDENTIDADE

TÓPICO 2 APROXIMAÇÕES DA IDENTIDADE TÓPICO 2 APROXIMAÇÕES DA IDENTIDADE EMANUEL CARNEIRO 1. O operador de convolução Sejam f e g funções mensuráveis em. A convolução de f e g é a função f g definida por f g(x) = f(y) g(x y) dy. De modo geral,

Leia mais

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa

Leia mais

Desigualdade de Carleman e Controlabilidade Nula para uma EDP com Coeficientes Complexos

Desigualdade de Carleman e Controlabilidade Nula para uma EDP com Coeficientes Complexos Desigualdade de Carleman e Controlabilidade Nula para uma EDP com Coeficientes Complexos por Maurício Cardoso Santos sob orientação de Prof. Dr. Fágner Dias Araruna (UFPB) Dissertação apresentada ao Corpo

Leia mais

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Álgebra Linear André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Janeiro/2006 Índice 1 Sistemas Lineares 1 11 Corpos 1 12 Sistemas de Equações Lineares 3 13 Sistemas equivalentes 4 14 Operações elementares

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR ISBN 978-85-915683-0-7

ÁLGEBRA LINEAR ISBN 978-85-915683-0-7 . ÁLGEBRA LINEAR ISBN 978-85-915683-0-7 ROBERTO DE MARIA NUNES MENDES Professor do Departamento de Matemática e Estatística e do Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica da PUCMINAS Belo Horizonte

Leia mais

Leis de Conservação e Aplicações ao Tráfego nas Cidades

Leis de Conservação e Aplicações ao Tráfego nas Cidades Leis de Conservação e Aplicações ao Tráfego nas Cidades Cesar S. Eschenazi Universidade Federal de Minas Gerais 1 o Colóquio da Região Sudeste Abril de 2011 Prefácio Estas notas apresentam um estudo introdutório

Leia mais

Universidade Federal do Rio de Janeiro. As Fronteiras de Shilov e de Bishop

Universidade Federal do Rio de Janeiro. As Fronteiras de Shilov e de Bishop Universidade Federal do Rio de Janeiro Rafael Monteiro dos Santos As Fronteiras de Shilov e de Bishop Rio de Janeiro 2008 Rafael Monteiro dos Santos As Fronteiras de Shilov e de Bishop Dissertação de Mestrado

Leia mais

Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de um Domínio Limitado do R n

Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de um Domínio Limitado do R n Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira

Leia mais

Guia de Estudo de Análise Real

Guia de Estudo de Análise Real Guia de Estudo de Análise Real Marco Cabral Baseado na V2.4 Dezembro de 2011 Introdução O objetivo deste texto é orientar o estudo da aluna(o) em análise real. Ele é baseado no livro Curso de Análise Real

Leia mais

1 Propriedades das Funções Contínuas 2

1 Propriedades das Funções Contínuas 2 Propriedades das Funções Contínuas Prof. Doherty Andrade 2005 Sumário 1 Propriedades das Funções Contínuas 2 2 Continuidade 2 3 Propriedades 3 4 Continuidade Uniforme 9 5 Exercício 10 1 1 PROPRIEDADES

Leia mais

ANÁLISE FUNCIONAL E APLICAÇÕES

ANÁLISE FUNCIONAL E APLICAÇÕES MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas - Unifal-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 - Alfenas/MG - CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 - Fax: (35) 3299-1063 ANÁLISE FUNCIONAL E APLICAÇÕES

Leia mais

Chapter 2. 2.1 Noções Preliminares

Chapter 2. 2.1 Noções Preliminares Chapter 2 Seqüências de Números Reais Na Análise os conceitos e resultados mais importantes se referem a limites, direto ou indiretamente. Daí, num primeiro momento, estudaremos os limites de seqüências

Leia mais

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo Capítulo 1 Números Complexos 11 Unidade Imaginária O fato da equação x 2 + 1 = 0 (11) não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos Para solucionar (11) denimos a unidade

Leia mais

Aplicação do Método de Galerkin para Equações e Sistemas Elípticos

Aplicação do Método de Galerkin para Equações e Sistemas Elípticos Resumo Neste trabalho estudamos a eficiência do Método de Galerkin na resolução de problemas e sistemas Elípticos lineares, não-lineares, variacionias e não-variacionais. Abstract In this work we study

Leia mais

Equações diferencias são equações que contém derivadas.

Equações diferencias são equações que contém derivadas. Equações diferencias são equações que contém derivadas. Os seguintes problemas são exemplos de fenômenos físicos que envolvem taxas de variação de alguma quantidade: Escoamento de fluidos Deslocamento

Leia mais

CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ

CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA Departamento de Análise - IME UERJ 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total 3

Leia mais

Seja D R. Uma função vetorial r(t) com domínio D é uma correspondência que associa a cada número t em D exatamente um vetor r(t) em R 3

Seja D R. Uma função vetorial r(t) com domínio D é uma correspondência que associa a cada número t em D exatamente um vetor r(t) em R 3 1 Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire Cálculo Vetorial Texto 01: Funções Vetoriais Até agora nos cursos de Cálculo só tratamos de funções cujas imagens

Leia mais

Notas de Aula. Álgebra Linear I

Notas de Aula. Álgebra Linear I Notas de Aula Álgebra Linear I Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula da disciplina Álgebra Linear

Leia mais

Análise Funcional. José Ferreira Alves. Março de 2002. Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Departamento de Matemática Pura

Análise Funcional. José Ferreira Alves. Março de 2002. Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Departamento de Matemática Pura Análise Funcional José Ferreira Alves Março de 2002 Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Departamento de Matemática Pura ii Introdução Estas notas foram elaboradas para a disciplina de Complementos

Leia mais

Propriedade Dunford-Pettis Alternativa. Veronica Leão Neves

Propriedade Dunford-Pettis Alternativa. Veronica Leão Neves Propriedade Dunford-Pettis Alternativa Veronica Leão Neves Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Matemática

Leia mais

1 Descrição do Trabalho

1 Descrição do Trabalho Departamento de Informática - UFES 1 o Trabalho Computacional de Algoritmos Numéricos - 13/2 Métodos de Runge-Kutta e Diferenças Finitas Prof. Andréa Maria Pedrosa Valli Data de entrega: Dia 23 de janeiro

Leia mais

Somatórias e produtórias

Somatórias e produtórias Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +

Leia mais

Definição 1.1. Uma função φ real definida sobre um intervalo aberto ]a, b[ de R, diz-se convexa se x, y ]a, b[, e0 γ 1,

Definição 1.1. Uma função φ real definida sobre um intervalo aberto ]a, b[ de R, diz-se convexa se x, y ]a, b[, e0 γ 1, ESPAÇOSDEFUNÇÕES INTEGRÁVEIS-L p 1. Funções convexas e desigualdades Definição 1.1. Uma função φ real definida sobre um intervalo aberto ]a, b[ de R, diz-se convexa se x, y ]a, b[, e0 γ 1, φ((1 γ)x + γy)

Leia mais

Códigos Lineares CAPÍTULO 4

Códigos Lineares CAPÍTULO 4 CAPÍTULO 4 Códigos Lineares 1. Definição, pârametros e peso mínimo Seja F q o corpo de ordem q. Portanto, pelo Teorema 3.24, q = p m para algum primo p e inteiro positivo m. Definição 4.1. Um código linear

Leia mais

2.2 Subespaços Vetoriais

2.2 Subespaços Vetoriais 32 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 2.2 Subespaços Vetoriais Sejam V um espaço vetorial sobre R e W um subconjunto de V. Dizemos que W é um subespaço (vetorial) de V se as seguintes condições são satisfeitas:

Leia mais

objetivos A partícula livre Meta da aula Pré-requisitos

objetivos A partícula livre Meta da aula Pré-requisitos A partícula livre A U L A 7 Meta da aula Estudar o movimento de uma partícula quântica livre, ou seja, aquela que não sofre a ação de nenhuma força. objetivos resolver a equação de Schrödinger para a partícula

Leia mais

Monotonicidade, Simetria e Comportamento Global em EDPs Elípticas Semilineares

Monotonicidade, Simetria e Comportamento Global em EDPs Elípticas Semilineares Universidade Federal de Minas Gerais UFMG Instituto de Ciências Exatas ICEx Departamento de Matemática DMat Monotonicidade, Simetria e Comportamento Global em EDPs Elípticas Semilineares Fabrício Goecking

Leia mais

NIVELAMENTO MATEMÁTICA 2012

NIVELAMENTO MATEMÁTICA 2012 NIVELAMENTO MATEMÁTICA 202 Monitor: Alexandre Rodrigues Loures Monitor: Alexandre Rodrigues Loures SUMÁRIO. LOGARITMOS... 3.. Mudança de base... 3.2. Propriedades dos logaritmos... 4 2. DERIVADAS... 4

Leia mais

Notas Para um Curso de Cálculo. Daniel V. Tausk

Notas Para um Curso de Cálculo. Daniel V. Tausk Notas Para um Curso de Cálculo Avançado Daniel V. Tausk Sumário Capítulo 1. Diferenciação... 1 1.1. Notação em Cálculo Diferencial... 1 1.2. Funções Diferenciáveis... 8 Exercícios para o Capítulo 1...

Leia mais

Um modelo para evolução de HIV positivo para populações em doença plenamente manifesta com parâmetros fuzzy correlacionados.

Um modelo para evolução de HIV positivo para populações em doença plenamente manifesta com parâmetros fuzzy correlacionados. Biomatemática 22 (2012), 27 44 ISSN 1679-365X Uma Publicação do Grupo de Biomatemática IMECC UNICAMP Um modelo para evolução de HIV positivo para populações em doença plenamente manifesta com parâmetros

Leia mais

Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas

Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas 2 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas Sumário 1 Transformação de Matrizes.............. 3 1.1

Leia mais

Ondas Eletromagnéticas. E=0, 1 B=0, 2 E= B t, 3 E

Ondas Eletromagnéticas. E=0, 1 B=0, 2 E= B t, 3 E Ondas Eletromagnéticas. (a) Ondas Planas: - Tendo introduzido dinâmica no sistema, podemos nos perguntar se isto converte o campo eletromagnético de Maxwell em uma entidade com existência própria. Em outras

Leia mais

O Teorema da Função Inversa e da Função Implícita

O Teorema da Função Inversa e da Função Implícita Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit O Teorema da Função Inversa

Leia mais

CDI-II. Trabalho. Teorema Fundamental do Cálculo

CDI-II. Trabalho. Teorema Fundamental do Cálculo Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires CDI-II Trabalho. Teorema Fundamental do Cálculo 1 Trabalho. Potencial Escalar Uma das noções mais importantes

Leia mais

Uma Ferramenta para otimização em Engenharia Mecânica e aplicações na Fundição Eletromagnética de Metais

Uma Ferramenta para otimização em Engenharia Mecânica e aplicações na Fundição Eletromagnética de Metais Uma Ferramenta para otimização em Engenharia Mecânica e aplicações na Fundição Eletromagnética de Metais Departamento de Engenharia Mecânica COPPE UFRJ STIC-AMSUD, Novembro de 2009 Conteúdo Preliminares

Leia mais

Álgebra Linear Volume 2

Álgebra Linear Volume 2 MATEMÁTICA Graduação Álgebra Linear Volume 2 Luiz Manoel Figueiredo Marisa Ortegoza da Cunha Módulo Volume 3 2ª edição 2 Luiz Manoel Figueiredo Marisa Ortegoza da Cunha I SBN 85-7648 - 315-7 Álgebra Linear

Leia mais

Capítulo 4 - Equações Diferenciais às Derivadas Parciais

Capítulo 4 - Equações Diferenciais às Derivadas Parciais Capítulo 4 - Equações Diferenciais às Derivadas Parciais Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática Aplicada - Mestrados Eng. Química

Leia mais

Figura 2.1: Carro-mola

Figura 2.1: Carro-mola Capítulo 2 EDO de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes 2.1 Introdução - O Problema Carro-Mola Considere um carro de massa m preso a uma parede por uma mola e imerso em um fluido. Colocase o carro

Leia mais

Existência de Soluções Simétricas e Não-Simétricas para uma Classe de Equações de Schrödinger Semilineares

Existência de Soluções Simétricas e Não-Simétricas para uma Classe de Equações de Schrödinger Semilineares Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Existência de Soluções Simétricas e Não-Simétricas para uma

Leia mais

X.0 Sucessões de números reais 1

X.0 Sucessões de números reais 1 «Tal como a tecnologia requer as tøcnicas da matemætica aplicada, tambøm a matemætica aplicada requer as teorias do nœcleo central da matemætica pura. Da l gica matemætica topologia algøbrica, da teoria

Leia mais

FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim

FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Prof. Álvaro Fernandes Serafim Última atualização: //7. Esta apostila de Álgebra Linear foi elaborada pela Professora Ilka Rebouças Freire. A formatação

Leia mais

Modelagem de Sistemas Dinâmicos. Eduardo Camponogara

Modelagem de Sistemas Dinâmicos. Eduardo Camponogara Equações Diferenciais Ordinárias Modelagem de Sistemas Dinâmicos Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle

Leia mais

Geometria Analítica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici

Geometria Analítica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici 8 C U RVA S 8.1 parametrização de curvas No Capítulo 3 estudamos as equações de uma reta no espaço e vimos que tal entidade geométrica pode ser representada pelas equações paramétricas: x r : z = a+v 1

Leia mais

5 Transformadas de Laplace

5 Transformadas de Laplace 5 Transformadas de Laplace 5.1 Introdução às Transformadas de Laplace 4 5.2 Transformadas de Laplace definição 5 5.2 Transformadas de Laplace de sinais conhecidos 6 Sinal exponencial 6 Exemplo 5.1 7 Sinal

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...

Leia mais

Lista de Exercícios sobre trabalho, teorema de Green, parametrizações de superfícies, integral de superfícies : MAT 1153-2006.1

Lista de Exercícios sobre trabalho, teorema de Green, parametrizações de superfícies, integral de superfícies : MAT 1153-2006.1 Lista de Exercícios sobre trabalho, teorema de Green, parametrizações de superfícies, integral de superfícies : MAT 1153-2006.1 1. Fazer exercícios 1, 4, 5, 7, 8, 9 da seção 8.4.4 pgs 186, 187 do livro

Leia mais

1. Extremos de uma função

1. Extremos de uma função Máximo e Mínimo de Funções de Várias Variáveis 1. Extremos de uma função Def: Máximo Absoluto, mínimo absoluto Seja f : D R R função (i) Dizemos que f assume um máximo absoluto (ou simplesmente um máximo)

Leia mais

MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 ME262

MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 ME262 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS (CTG) DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA (DEMEC) MECÂNICA DOS FLUIDOS ME6 Prof. ALEX MAURÍCIO ARAÚJO (Capítulo 5) Recife - PE Capítulo

Leia mais

por séries de potências

por séries de potências Seção 23: Resolução de equações diferenciais por séries de potências Até este ponto, quando resolvemos equações diferenciais ordinárias, nosso objetivo foi sempre encontrar as soluções expressas por meio

Leia mais

Recordamos que Q M n n (R) diz-se ortogonal se Q T Q = I.

Recordamos que Q M n n (R) diz-se ortogonal se Q T Q = I. Diagonalização ortogonal de matrizes simétricas Detalhes sobre a Secção.3 dos Apontamentos das Aulas teóricas de Álgebra Linear Cursos: LMAC, MEBiom e MEFT (semestre, 0/0, Prof. Paulo Pinto) Recordamos

Leia mais

Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente:

Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente: Rumo ao ITA Física Análise Dimensional Ivan Guilhon Mitoso Rocha A análise dimensional é um assunto básico que estuda as grandezas físicas em geral, com respeito a suas unidades de medida. Como as grandezas

Leia mais

Notas de Aula. Álgebra Linear

Notas de Aula. Álgebra Linear Notas de Aula Álgebra Linear Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula da disciplina Álgebra Linear

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

FLAVIA MESCKO FERNANDES VELOCIDADE DE CONVERGÊNCIA DE MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO IRRESTRITA

FLAVIA MESCKO FERNANDES VELOCIDADE DE CONVERGÊNCIA DE MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO IRRESTRITA FLAVIA MESCKO FERNANDES VELOCIDADE DE CONVERGÊNCIA DE MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO IRRESTRITA CURITIBA DEZEMBRO, 2010 FLAVIA MESCKO FERNANDES VELOCIDADE DE CONVERGÊNCIA DE MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO IRRESTRITA Monografia

Leia mais

6 O Formalismo Matemático da Mecânica Quântica I

6 O Formalismo Matemático da Mecânica Quântica I 6-1 6 O Formalismo Matemático da Mecânica Quântica I 6.1 Espaços Vetoriais Nesta seção expomos as noções básicas dos espaços vetoriais, pois o formalismo da mecânica quântica se baseia nestes conceitos.

Leia mais

Sobre Domínios Euclidianos

Sobre Domínios Euclidianos Sobre Domínios Euclidianos Clarissa Bergo Bianca Fujita Lino Ramada João Schwarz Felipe Yukihide Setembro de 2011 Resumo Neste texto, apresentaremos formalmente o que vem a ser domínio euclidiano, alguns

Leia mais

Aula 17 Continuidade Uniforme

Aula 17 Continuidade Uniforme Continuidade Uniforme Aula 17 Continuidade Uniforme MÓDULO 2 - AULA 17 Metas da aula: Discutir o conceito de função uniformemente contínua, estabelecer o Teorema da Continuidade Uniforme e o Teorema da

Leia mais

Um Exemplo de Topologia Não Metrizável

Um Exemplo de Topologia Não Metrizável Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática Um Exemplo de Topologia Não Metrizável Autor: Tamyris Marconi Orientadora: Profa. Dra. Cláudia Buttarello

Leia mais

1 Base de um Espaço Vetorial

1 Base de um Espaço Vetorial Disciplina: Anéis e Corpos Professor: Fernando Torres Membros do grupo: Blas Melendez Caraballo (ra143857), Leonardo Soriani Alves (ra115465), Osmar Rogério Reis Severiano (ra134333) Ramon Códamo Braga

Leia mais

Produtos. 4.1 Produtos escalares

Produtos. 4.1 Produtos escalares Capítulo 4 Produtos 4.1 Produtos escalares Neste tópico iremos estudar um novo tipo de operação entre vetores do plano e do espaço. Vamos fazer inicialmente uma consideração geométrica, como segue. Seja

Leia mais

Prova de Admissão para o Mestrado em Matemática IME-USP - 23.11.2007

Prova de Admissão para o Mestrado em Matemática IME-USP - 23.11.2007 Prova de Admissão para o Mestrado em Matemática IME-USP - 23.11.2007 A Nome: RG: Assinatura: Instruções A duração da prova é de duas horas. Assinale as alternativas corretas na folha de respostas que está

Leia mais

Instituto de Matemática - UFRJ ESPAÇOS DE SOBOLEV. por. L. A. Medeiros M. Milla Miranda. Professor Emérito UFRJ Professor Titular UFRJ

Instituto de Matemática - UFRJ ESPAÇOS DE SOBOLEV. por. L. A. Medeiros M. Milla Miranda. Professor Emérito UFRJ Professor Titular UFRJ Instituto de Matemática - UFRJ ESPAÇOS DE SOBOLEV (Iniciação aos Problemas Elíticos não Homogêneos ) por L. A. Medeiros M. Milla Miranda Professor Emérito UFRJ Professor Titular UFRJ Rio de Janeiro, RJ

Leia mais

O caso estacionário em uma dimensão

O caso estacionário em uma dimensão O caso estacionário em uma dimensão A U L A 6 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico no caso de o potencial ser independente do tempo. objetivos verificar que, no caso de o potencial ser independente

Leia mais

Energia e Momento Linear do Campo Eletromagnético

Energia e Momento Linear do Campo Eletromagnético Energia e Momento Linear do Campo Eletromagnético Metas Generalizar a lei de conservação da energia e do momento linear de forma a incluir fenômenos eletromagnéticos; Deduzir as expressões para as densidades

Leia mais

Marília Brasil Xavier REITORA. Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

Marília Brasil Xavier REITORA. Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA Marília Brasil Xavier REITORA Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA MATERIAL DIDÁTICO EDITORAÇÃO ELETRONICA Odivaldo Teixeira Lopes ARTE FINAL DA CAPA Odivaldo Teixeira

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais Matemática (AP) - 2008/09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 77 Introdução ao estudo de equações diferenciais Introdução e de nição de equação diferencial Existe uma grande variedade de situações

Leia mais

Espaços Métricos e o Teorema do Ponto Fixo de Banach

Espaços Métricos e o Teorema do Ponto Fixo de Banach CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA - CCT DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA Isabella Silva Duarte Espaços Métricos e o Teorema do Ponto Fixo de Banach Campina Grande - PB 2014

Leia mais

Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias

Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática Aplicada - Mestrados

Leia mais

Introdução à Topologia Resoluções de exercícios. Capítulo 1

Introdução à Topologia Resoluções de exercícios. Capítulo 1 Introdução à Topologia Resoluções de exercícios Exercício nº5 (alíneas 3. e 4.) Capítulo 1 É imediato, directamente a partir da definição, que, dados r, s Q, d p (r, s) e que d p (r, s) = se e só se r

Leia mais

NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR

NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇO VETORIAL REAL NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS Seja um conjunto V φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar, tais que u, v V, u+v V e α R, u V, αu V

Leia mais

3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1

3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1 1 3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1 3.3.1 Sistema de Coordenadas Tridimensionais Como vimos no caso do R, para localizar um ponto no plano precisamos de duas informações e assim um ponto P

Leia mais

Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma

Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma Equações Diferenciais de Ordem Superior Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma ou então d 2 y ( dt = f t, y, dy ) 2 dt y = f(t, y, y ). (1) Dizemos que a equação (1) é linear quando a função f for linear

Leia mais

Def. 1: Seja a quádrupla (V, K, +, ) onde V é um conjunto, K = IR ou K = IC,

Def. 1: Seja a quádrupla (V, K, +, ) onde V é um conjunto, K = IR ou K = IC, ESPAÇO VETORIAL Def. 1: Seja a quádrupla (V, K, +, ) onde V é um conjunto, K = IR ou K = IC, + é a operação (função) soma + : V V V, que a cada par (u, v) V V, associa um único elemento de V, denotado

Leia mais

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia ENG 1403 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia Guilherme P. Temporão 1. Introdução Nas últimas duas aulas, vimos como circuitos com

Leia mais

Sinopse da Teoria da Escolha

Sinopse da Teoria da Escolha 14.126 Teoria dos Jogos Sergei Izmalkov e Muhamet Yildiz Outono de 2001 Sinopse da Teoria da Escolha Esta nota resume os elementos da teoria da utilidade esperada. Para uma exposição em detalhes dos quatro

Leia mais

Modelagem no Domínio do Tempo. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1

Modelagem no Domínio do Tempo. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Carlos Alexandre Mello 1 Modelagem no Domínio da Frequência A equação diferencial de um sistema é convertida em função de transferência, gerando um modelo matemático de um sistema que algebricamente relaciona

Leia mais

Espaços não reversíveis

Espaços não reversíveis {Nome da seção} Notas de aula Espaços não reversíveis Fernando Lucatelli Nunes UnB-UC/UP 1 Se X e Y são espaços topológicos quaisquer, o gráfico de uma função f : X Y é o conjunto G( f )={(x, f (x)) :

Leia mais

MAT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 13.11.

MAT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 13.11. MT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - tualizado 13.11.2012 1. Segunda-feira, 30 de julho de 2012 presentação do curso. www.ime.usp.br/

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios.

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios. Exercícios A U L A 10 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios. objetivo aplicar os conhecimentos adquiridos nas Aulas 4 a 9 por meio da

Leia mais

1. Coeficiente de Rendimento Escolar mínimo e Formação Acadêmica:

1. Coeficiente de Rendimento Escolar mínimo e Formação Acadêmica: Critérios Norteadores para o Processo Seletivo ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFCG, no Curso de Mestrado, Modalidade Acadêmico - Área de Matemática - A Seleção para a área de matemática

Leia mais

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas

Leia mais

Universidade Federal do Paraná

Universidade Federal do Paraná Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matematica Prof. Juan Carlos Vila Bravo Curitiba, 1 de Dezembro de 005 1. A posição de uma particula é dada por: r(t) = (sen t)i+(cost)j

Leia mais

Introdução as Leis de Conservação e Aplicações

Introdução as Leis de Conservação e Aplicações Universidade Federal de Juiz de Fora Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática William Massayuki Sakaguchi Yamashita Introdução as Leis de Conservação e Aplicações Juiz de Fora 2014 William

Leia mais

Transformada de Laplace

Transformada de Laplace Capítulo 8 Transformada de Laplace A transformada de Laplace permitirá que obtenhamos a solução de uma equação diferencial ordinária de coeficientes constantes através da resolução de uma equação algébrica.

Leia mais

a 1 x 1 +... + a n x n = b,

a 1 x 1 +... + a n x n = b, Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição

Leia mais

Teorema de Green no Plano

Teorema de Green no Plano Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires Teorema de Green no Plano O teorema de Green permite relacionar o integral de linha ao longo de uma

Leia mais

1 Imers~oes isometricas

1 Imers~oes isometricas 2 0 Lista de Exerccio de MAT5771 (1 0 semestre 2013) Esta lista cont^em problemas cuja soluc~ao podera ser cobrada em prova. Ela tambem cont^em proposic~oes e teoremas, alguns enunciados e outros demonstrados

Leia mais