Sobre um problema misto para a equação de Boussinesq num domínio

Transcrição

1 Sobre um problema misto para a equação de Boussinesq num domínio não cilíndrico Flávio Roberto Dias Silva Centro de Ciências Exatas Universidade Estadual de Maringá Programa de Pós-Graduação em Matemática Mestrado Orientador: Cícero Lopes Frota Maringá - PR Março - 2

2 FLAVIO ROBERTO DIAS SILVA Sobre um problema misto para a equação de Boussinesq num domínio não cilíndrico. Dissertação submetida ao corpo docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Estadual de Maringá - UEM-PR, como parte dos requisitos nescessários à obtenção do grau de Mestre. Orientador: Cícero Lopes Frota. Maringá - PR 2

3 FLÁVIO ROBERTO DIAS SILVA Dissertação submetida ao corpo docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Estadual de Maringá - UEM-PR, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre. Aprovada por: Prof. Dr. Cícero Lopes Frota orientador... Universidade Estadual de Maringá Prof. Dr. Juan Amadeo Soriano Palomino... Universidade Estadual de Maringá Prof. Dr. Fágner Dias Araruna... Universidade Federal da Paraíba Maringá - PR Março de 2

4 Agradecimentos Primeiramente agradeço as pessoas que foram indispensáveis para a realização desse trabalho. Ao professor Cícero pela orientação e pelo apoio durante o desenvolvimento do trabalho. Ao professor Aldevino que me apoiou desde o meu primeiro dia em Maringá e ajudou a escrever a minha historia de mestrado, que sem ele teria sido muito diferente. Dentre o muito devo agradecer pela casa, comida, pela companhia, pelo playstation, pela internet, aos almoços de domingo com a P x correndo e latindo entre os Miuras vermelhos etc... Agradeço também aos muitos amigos do B-3-UNESP, Malcon, Carlos Bom de Bico, Bauru, Ruivão, Humbertão, LucianoZanga, ao Max, mano Oda, ao Fernas com quem dividi o quarto no B-3, Puff, Jorge Willian, H.U., Zé Brajé, Rafael Catarro, Moises, e tanta gente que nem é possível citar o nome, que sempre me receberam bem em suas casas quando estive de volta, com convite ou sem aviso, e me proporcionaram as melhores lembranças e as melhores historias que eu tenho para contar. Agradeço ao programa de pós-graduação em Matematica da UEM por me dar a oportunidade de realizar este trabalho e a Capes pelo apoio financeiro. - iv -

5 O topo das montanhas não é tão alto para quem sai do chão e espera o céu

6 Conteúdo Introdução Preliminares 3. Espaços Funcionais Distribuições Espaços L p Ω Espaços de Sobolev Espaços de Funções a Valores Vetoriais Topologias Fracas, Espaços Reflexivos e Separáveis Topologia Fraca Topologia Fraca Espaços Reflexivos e Espaços Separáveis Teoria Espectral Alguns Resultados Teorema de Carathéodory Mais Alguns Resultados Existência e Unicidade 3 - vi -

7 Conteúdo 2. Hipóteses e o Conceito de Solução Existência de solução fraca global e decaimento exponencial Existência de solução para o problema aproximado Estimativas a Priori Passagem ao Limite Condições Iniciais Decaimento exponencial Um resultado de unicidade Referências Bibliográficas 79 - vii -

8 Resumo Neste trabalho estudamos o problema de valores iniciais e de fronteira para a equação de Boussinesq, num domínio com fronteira movel Q u tt ux, t + u t x, t + u 2 x, t xx + u xxxx x, t = em Q uαt, t = uβt, t = u x αt, t = u x βt, t = para t > ux, = u x; u t x, = u x para x [α, β ] Aqui α e β são funções reais definidas em [, com α = α < β = β e Q = {x, t R 2, αt < x < βt t > }. Provamos a existencia de solução fraca global, o decaimento exponencial da energia associada e um resultado sobre a unicidade de solução. - viii -

9 Abstract In this work we study the initial boundary value problem for the Boussinesq s equation in moving boundary domain Q: u tt ux, t + u t x, t + u 2 x, t xx + u xxxx x, t = in Q uαt, t = uβt, t = u x αt, t = u x βt, t = for t > ux, = u x; u t x, = u x for x [α, β ] Here α and βare real functions defined on [, with α = α < β = β and Q = {x, t R 2, αt < x < βt t > }. We prove the existence of global weak solution, the exponential decay for the associate energy and a uniqueness result. - ix -

10 Introdução Neste trabalho estudamos a existência e unicidade de solução fraca global para a equação dissipativa de Boussinesq unidimensional em um domínio não cilíndrico. A equação recebe esse nome devido ao trabalho do matemático e físico frances Joseph Valentin Boussinesq. Joseph Valentin Boussinesq nasceu em Saint-André-de-Sangonis, 3 de março de 842 e faleceu em Paris, 9 de fevereiro de 929. Seu pai era camponês, sua mãe morreu quando ele tinha 5 anos e sua educação inicial foi conduzida por um tio padre que lhe ensinou latim e grego. Logo passa a estudar matemática e mecânica, enquanto também se interessa por religião e filosofia. Aos 2 anos começa a ensinar no Collège d Agde. Nesta época publicou seu primeiro artigo no Comptes Rendus da Academia Francesa de Ciências, sobre o problema de um jato d água incidindo sobre uma placa plana. A seguir se mudou para Vigas, onde realizou seus primeiros estudos sobre ótica. Apresentou sua tese de doutorado em 867, na Academia Francesa de Ciências, sobre a propagação de calor em um meio heterogêneo. Ao mesmo tempo publicou um artigo na Academia, sobre pequenas deformações de corpos elásticos sujeitos a uma carga exercida nas três direções principais. Em 868, durante uma visita aos alpes franceses, começa a se interessar por hidrodinâmica. Examinando escoamentos turbulentos, tomou contato com os experimentos de Henri Emile Bazin e reconheceu a origem da formação dos turbilhões como sendo ação da viscosidade. Contrariamente a Navier e a Stokes, Boussinesq deduziu que a ação da viscosidade não depende unicamente do fluido, mas também da posição dentro do escoamento e da intensidade da turbulência. Foi o primeiro pesquisador a quantificar a turbulência. Em 886 foi eleito Membro da Academia de Ciências de Paris. Em 872

11 Introdução foi professor de física na Faculdade de Ciências de Lille e École Centrale de Lille. Posteriormente lecionou, na Faculdade de Ciências de Paris, mecânica e física experimental , depois física, matemática e cálculo das probabilidades até 93. Seus principais trabalhos relacionam-se à Mecânica Geral e Física, às teorias de propagação do calor e da óptica, à capilaridade, à elasticidade e resistência dos materiais. Em 872, Boussinesq foi um dos primeiros a analisar a teoria de ondas de água, para o caso de aguas rasas e de ondas de pequena amplitude, idealizadas por Scott-Russell em 834 ver Boussinesq[2]. Em seu trabalho foi deduzido uma classe de equações diferenciais dissipativas e não-lineares que são agora conhecidas como as equações de Boussinesq. A equação de Boussinesq, considerada por exemplo em Boussinesq[3] e Craig[9], pode ser escrita como a seguinte equação de evolução: u tt u + au 2 xx + bu xxxx = onde u = ux, t é a componente vertical da velocidade na superfície livre de um fluído irrotacional, a é uma constante real positiva e b é uma constante real, ambas dependendo da profundidade do fluido. Quando b >, a equação em um domínio cilíndrico descreve pequenas oscilações transversais não-lineares de uma barra elástica e denominase na literatura como a boa equação de Boussinesq. Para b <, é chamada de a equação má de Boussinesq; veja Zabusky[2]. A equação de Boussinesq com a e b positivos sob ação de um forte amortecimento interno, que significa a existência de uma amortecimento estrutural cu xxt, com c >, modela oscilações não-lineares da barra na presença de viscosidade; assim torna-se u tt u + cu t + au 2 xx + bu xxxx =. 2 Neste trabalho faremos uma apresentação didática dos resultados contidos na referência Frota[] sobre o problema de valor inicial e de fronteira para equação dissipativa, não-linear e unidimensional de Boussinesq, dentro de um domínio não cilíndrico de R 2

12 Introdução 2 que tem pequenos deslocamentos, tanto crescentes como decrescentes, a saber: u tt x, t ux, t + u t x, t + u 2 x, t xx + u xxxx x, t = em Q, 3 uαt, t = uβt, t = u x αt, t = u x βt, t = para t >, 4 ux, = u x; u t x, = u x para x [α, β ], 5 aqui α e β são funções reais definidas em [,, α = α < β = β e Q = {x, t R 2 : αt < x < βt e t > } é o domínio não cilíndrico. O intervalo [α, β ] representa a barra na posição de repouso. As extremidades da barra variam pela ação de forças e tem posição [αt, βt] no tempo t >. Neste trabalho, provamos a existência e a unicidade de solução global fraca para 3-5 bem como o decaimento exponencial para a energia associada quando t. As funções α e β não são necessariamente monótonas, implicando que o domínio nãocilíndrico Q não precisa ser um domínio crescente com respeito ao parâmetro t. O trabalho está dividido em dois capítulos. No capítulo enunciamos resultados necessários para o estudo feito e as notações usadas no decorrer do trabalho. No capítulo 2 provamos a existência e o decaimento de solução fraca global Teorema 2.3 e um resultado sobre unicidade de solução Teorema 2.4. Para provarmos a existência de solução, usamos o método de Faedo-Galerkin: Projetamos o problema em um subespaço de dimensão finita de H, 2 e consideramos um problema aproximado, provamos a existência de solução para o problema aproximado e fazemos estimativas convenientes para passarmos o limite e mostramos que o limite da seqüencia das soluções dos problemas aproximados é a solução procurada para o problema 3-5. Demosntramos o resultado de unicidade via o método de Ladyzhenskaya que poder ser visto, igualmente em Límaco-Medeiros[3].

13 Capítulo Preliminares Neste capítulo enumeraremos alguns resultados que serão usados no desenvolvimento do nosso trabalho. Por serem resultados familiares, apresentaremos apenas os seus enunciados, deixando a cargo do leitor interessado a busca de suas demonstrações.. Espaços Funcionais.. Distribuições No estudo de problemas descritos pelas equações diferenciais parciais, cujos dados iniciais não são regulares o suficiente para possuírem derivada no sentido clássico, faz-se necessária a introdução de um novo conceito de derivada. Para entendermos tal conceito, necessitamos de algumas definições. Sejam x = x, x 2,..., x n pontos do R n e α = α, α 2..., α n as n-uplas de números inteiros não negativos. Considerando α = α + α α n e α! = α!α 2!...α n! denotamos o operador derivação, em R n, por D α = α x α x α x αn n Sejam Ω um aberto do R n e ϕ : Ω R uma função. Definimos o suporte da função ϕ e denotamos por suppϕ, o fecho em Ω do conjunto {x Ω; ϕx }. Quando suppϕ é compacto, dizemos que ϕ tem suporte compacto em Ω. Denotamos por C Ω

14 . Espaços Funcionais 4 o conjunto das funções ϕ : Ω R que são infinitamente diferenciáveis em Ω e que possuem suporte compacto em Ω. O espaço das funções testes em Ω, DΩ, é o espaço vetorial C Ω munido da seguinte noção de convergência: Dadas uma sequência ϕ ν ν N de funções de C Ω e ϕ C Ω dizemos que ϕ ν ϕ em DΩ. se, e somente se, existe um subconjunto compacto K de Ω tal que i suppϕ ν K, ν e suppϕ K; ii D α ϕ ν D α ϕ uniformemente sobre K, α N n. Uma distribuição sobre Ω é uma forma linear T : DΩ R sobre DΩ que é contínua no sentido da convergência dada em., isto é T, ϕ ν T, ϕ em R sempre que ϕ ν ϕ em DΩ. Chamamos por D Ω o espaço vetorial das distribuições sobre Ω. Dizemos que T ν ν R, uma sequência de elementos de D Ω, converge para T D Ω e escreveremos T ν T em DΩ quando T ν, ϕ T, ϕ, ϕ D Ω. Dada uma distribuição T sobre Ω e α N n, a derivada distribucional de ordem α da distribuição T, denotada por D α T, é definida por D α T, ϕ = α T, D α ϕ, ϕ DΩ. Com essa definição, uma distribuição T D Ω possui derivada distribucional de todas

15 . Espaços Funcionais 5 as ordens e D α T D Ω. Além disso a aplicação D α : D Ω D Ω T D α T é linear e contínua...2 Espaços L p Ω Sejam Ω um subconjunto do R n e p um número real tal que p <. Denotamos por L p Ω o espaço vetorial das classes de funções mensuráveis u, definidas em Ω tais que u p é Lebesgue integrável sobre Ω. O espaço L p Ω, munido da norma é um espaço de Banach. u L p Ω = ux p dx Ω p, Se define L Ω como o conjunto formado pelas funções u : Ω R tais que u é mensurável e existe uma constante C tal que ux C para quase todo x Ω. Uma norma em L Ω é dada por u L Ω = inf{c; ux C q.s. em Ω}, a qual o torna um espaço de Banach. Em particular, L 2 Ω é um espaço de Hilbert, cujo produto interno e norma denotamos respectivamente por u, v = uxvx dx Ω e u = u, u /2 = Ω ux 2 dx /2. Seja < p <. Diz-se que p é o índice conjugado de p se p + p =. No caso p = definimos como seu índice conjugado p =.

16 . Espaços Funcionais 6 Proposição. Desigualdade de Hölder Sejam u L p Ω e v L p Ω com p. Então uv L Ω e uv u L p Ω v L p Ω Ω Demonstração: Ver [4]. Proposição.2 Desigualdade de Minkowski Sejam u, v L p Ω e p então u + v L p Ω u L p Ω + v L p Ω. Demonstração: Ver [8]. Denota-se por L p loc Ω, p, o espaço das classes de funções u : Ω R tais que u L p K, para todo subconjunto compacto K Ω. Proposição.3 Du Bois Raymond Sejam u L loc Ω tal que Ω uxϕx dx =, ϕ C Ω, então u = quase sempre em Ω. Demonstração: Ver [5]. Definição.4 Seja u L loc Ω. Definimos a distribuição T u D Ω por: T u, ϕ = uxϕxdx Ω

17 . Espaços Funcionais 7 para toda ϕ DΩ Mostra-se sem dificuldades que T u é uma distrinbuição. Do Lema de Du Bois Raymond segue-se que para cada u L loc Ω, temos T u univocamente determinada por u sobre Ω, quase sempre, no seguinte sentido: se u, v L loc Ω então T u = T v se e somente se u = v quase sempre em Ω. Por esta razão, identificase u com a distribuição T u por ela definida e diz-se a distribuição u ao invés dde dizer a distribuição T u...3 Espaços de Sobolev Nesta seção veremos a definição e alguns resultados sobre os espaços de Sobolev, ferramenta indispensável para a resolução de problemas envolvendo equações diferenciais parciais. Sejam Ω um aberto do R n, p e m. O espaço de Sobolev W m,p Ω é o espaço vetorial de todas as funções u L p Ω tais que existe w α L p Ω onde T wα = D α T u em D Ω α N n tal que α m Simbolicamente W m,p Ω = {u L p Ω; tal que existe w α L p Ω onde T wα = D α T u em D Ω = α N n com α m} { u L p Ω; w α L p Ω tal que w α xϕxdx Ω } = α uxd α ϕx α N n com α m Ω = {u L p Ω; D α u L p Ω, α N n com α m}. Uma norma em W m,p Ω é dada por u p W m,p Ω = D α ux p dx, se p <, α m Ω

18 . Espaços Funcionais 8 e u W m, Ω = α m sup ess D α ux dx, x Ω a qual o torna um espaço de Banach. No caso p = 2, escrevemos W m,2 Ω = H m Ω e munindo-o com o produto interno temos um espaço de Hilbert. u, v H m Ω = D α u, D α v, α m Define-se o espaço W m,p Ω como sendo fecho de C Ω em W m,p Ω, ou seja, C Ω W m,p Ω = W m,p Ω. Proposição.5 Desigualdade de Poincaré Suponhamos que Ω seja um aberto limitado do R n. Então pra todo p <, existe uma constante C dependendo da medida de Ω e de p tal que u L p Ω C L p Ω, u W,p Ω. Demonstração: ver[4]. Quando Ω é limitado em alguma direção x i de R n e p < então a norma em W m,p Ω dada por u p = D α ux p dx α =m Ω é equivalente a norma induzida por W m,p Ω. Representa-se por W m,p Ω o dual topológico de W m,p Ω, onde p < e p é o índice conjugado de p. Por H m Ω denota-se o dual topológico de H m Ω. Existem diversos teoremas de imersão para os espaços de Sobolev. No caso da reta

19 . Espaços Funcionais 9 obtemos uma melhor regularidade para as funções de W m,p I, I R. Proposição.6 Seja I = a, b um intervalo da reta R, temos com m : a W m,p I C m,λ I com < λ p se p > b W m,p I C m b I se p =. Demonstração: ver [6] Em particular, considerando I =, temos que H, C,λ [, ], < λ 2 H 2, C,λ [, ], < λ 2 Nós observamos que v v y v yy.2 e v L, v y HI L I.3 para todo v H 2,. De fato: A primeira desigualdade é dada pela desigualdade de Poincaré, a segunda segue de: vy = y v y sds v y s ds /2 /2 v y s ds ds = v y y [, ]; tomando o supremo temos o desejado.

20 .2 Espaços de Funções a Valores Vetoriais 2.2 Espaços de Funções a Valores Vetoriais Seja X um espaço de Banach. Denotamos por D, T ; X o espaço das funções vetoriais ϕ :, T X, infinitamente diferenciáveis cujo suporte é um compacto contido em, T. Dizemos que uma sequência ϕ ν ϕ em D, T ; X se, e somente se, existe um subconjunto compacto K de Ω tal que i suppϕ ν e suppϕ estão contidos em K, para todo ν; ii Para cada k N, d k dt ϕ νt dk ϕt em X, uniformemente em K. k dtk O espaço das aplicações lineares contínuas de D, T = D, T ; R em X será denotado por D, T ; X, ou seja, S D, T ; X se S : D, T X é linear e se θ ν θ em D, T então S, θ ν S, θ em X. Diremos que S ν S em D, T ; X se S ν, θ S, θ em X, θ D, T. O espaço D, T ; X equipado com a convergência acima é denominado espaço das distribuições vetoriais de, T com valores em X. Denota-se por L p, T ; X, p <, o espaço das classes de funções vetoriais u :, T X mensuráveis em, T,, T dotado da medida de Lebesgue, tais que ut p Xdt <.

21 .3 Topologias Fracas, Espaços Reflexivos e Separáveis 2 Denota-se por L, T ; X, o espaço das classes de funções vetoriais u :, T X mensuráveis em, T,, T dotado da medida de Lebesgue, tais que sup ess ut X <. t [,T ] Se X é Hilbert com produto interno, X, então o espaço L 2, T, X munido do produto interno u, v L 2,T,X = ut, vt X dt é também um espaço de Hilbert..3 Topologias Fracas, Espaços Reflexivos e Separáveis Nesta seção temos algumas propriedades das topologias fraca e fraca, assim como resultados de convergência nestas topologias envolvendo a reflexividade e a separabilidade dos espaços..3. Topologia Fraca Considerando E um espaço de Banach, a topologia fraca σe, E sobre E é a topologia menos fina sobre E que torna contínuas todas as aplicações f E. Seja x n n N uma sucessão convergente para x na topologia fraca σe, E. Quando não houver possibilidade de confusão diremos apenas que x n n N converge fraco para x e denotaremos por x n x em E Proposição.7 Seja x n n N uma sequência em E, então i x n x em E se, e somente se, f, x n f, x, em R f E ; ii Se x n x em E, então x n x em E; iii Se x n x em E, então x E é limitada e x E lim inf x n E ;

22 .3 Topologias Fracas, Espaços Reflexivos e Separáveis 22 iv Se x n x em E e f n f em E, então f n, x n f, x em R. Demonstração: Ver [4]..3.2 Topologia Fraca Sejam E um espaço de Banach e x E fixo. A aplicação J x : E R f J x, f = f, x é linear e contínua e, portanto, J x E, x E. Deste modo, definamos a aplicação J : E E tal que Jx = J x, a qual é chamada de injeção canônica de E em E. A topologia fraca, ou σe, E, é a topologia menos fina sobre E que faz contínuas todas as aplicações J x. Seja f n n N uma sucessão convergente para f na topologia fraca σe, E. Com vistas a simplificação das notações escreveremos apenas que f n n N converge fraco para f, ou simbolicamente f n f em E, quando não houver possibilidade confusão. Proposição.8 Seja f n n N uma sucessão em E, então i f n f em E se, e somente se, f n, x f, x em R x E; ii Se f n f forte, então f n f em σe, E ; iii Se f n f em σe, E, então f n f em E ; iv Se f n f em E, então f n E está limitada e f E lim inf f n E ; v Se f n f em E e x n x em E, então f n, x n f, x em R.

23 .4 Teoria Espectral 23 Demonstração: Ver [4]..3.3 Espaços Reflexivos e Espaços Separáveis Dizemos que um espaço de Banach E é reflexivo quando a injeção canônica J : E E é sobrejetora. Um espaço métrico E é dito separável quando existe um subconjunto M E enumerável e denso em E. Teorema.9 Seja E um espaço de Banach separável e seja f n n N uma seqüência limitada em E, então existe uma subseqüência f nk k N e f E tal que f nk fem E. σe, E. Demonstração: Ver [4]. Teorema. Seja E um espaço de Banach reflexivo. Se x n n N é uma seqüência limitada em E. Então existe uma subseqüência x nk k N e x E tal que x nk x em E. Demonstração: Ver [4]..4 Teoria Espectral Nesta seção caminharemos para enunciar o Teorema espectral para operadores compactos simétricos. O teorema espectral é uma ferramenta muito útel, a versão que enunciaremos nos garante a existência de uma base ortonormal de vetores próprios em um espaço de Hilbert H com produto interno,.

24 .4 Teoria Espectral 24 Definição. Um operador A de H é denominado compacto, quando para toda sequência limitada u n n N de vetores de H, podemos extrair de Au n n N uma subsequência convergente em H. Em outras palavras, A leva conjuntos limitados em conjunto relativamente compactos. Definição.2 Seja A : DA H H um operador linear de H o operador A : DA H H que verifica Au, v = u, A v u DA e v DA onde DA = {v H, v H que verifica Au, v = u, v, u DA} é chamado operador adjunto de A Definição.3 Um operador linear A de H é chamado simétrico se seu domínio DA é denso em H e Au, v = u, Av Teorema.4 Seja A um operador compacto, simétrico e não-nulo de H. Então, podemos construir uma coleção finita ou enumerável {λ ν } de valores próprios não-nulos de A e uma coleção {v ν } ν N de correspondentes vetores próprios tais que i Se {λ ν } é enumerável, então λ ν λ ν+ para todo ν e λ ν ii {v ν } um sistema ortonormal de H e é válida a representação Au = ν Au, vν vν = ν λ ν u, vν vν

25 .4 Teoria Espectral 25 ν indica soma finita ou enumerável. iii Todos os valores próprios não-nulos de A estão na coleção {λ ν }, portanto, a coleção de valores próprios não-nulos de A é no máximo enumerável. Demonstração: Ver [4] Teorema.5 Teorema Espectral para operadores simétricos e compactosseja H um espaço de Hilbert separável e A um operador compacto e simétrico de H. Então, existe um sistema ortonormal e completo {e ν } ν N de H, formado por vetores próprios de A. Demonstração: Ver[4] A partir deste teorema podemos garantir a existencia de uma base de H 2, a qual é ortonormal em L 2, ortogonal em H, e ortogonal em H 2, a saber afirmamos : H 2, L 2, u u = u xx é operador inverso de um operador compacto é simétrico a verificação destas afirmações pode ser vista em []. pelo teorema espectral para operadores compactos e simétricos Teorema.5 podemos

26 .5 Alguns Resultados 26 escolher w j j N como sendo uma base de auto funções para H 2, associadas ao operador, ortonormal em L 2,, além disso wi, w j H, = = w iy w jy dy w iyy w j dy = λ i w i w j dy λ i se i = j = λ i wi, w j = se i j. Portanto ortogonal em H, e wi, w j H 2, = = w iyy w jyy dy λ i w i λ j w j dy = λ i λ j w i w j dy λ 2 i se i = j = λ i λ j wi, w j = se i j, ou seja, ortogonal também em H 2,..5 Alguns Resultados.5. Teorema de Carathéodory O teorema de Carathédory é indispensável para a resolução de nosso problema, por isso o enunciamos aqui e uma demonstração pode ser encontrada na referência [8]. Dadas a, b R +, t R e x R n considere o retangulo em R n+ definido por {t, x R n+ ; t t < a e x x R n < b}

27 .5 Alguns Resultados 27 Diz-se que a função f : R R n+ R n satisfaz as condições de Carathéodory no retangulo R se i fx, t é mensurável em t para cada x fixado; ii fx, t é contínua em x para cada t fixo e iii para todo compacto K R existe uma função real m K t, integrável, tal que ft, x R n m K t, para todo par t, x K. Uma solução local para o problema de valor inicial x t = ft, xt xt = x.4 é uma função x : I R R n, definida e diferenciavel num intervalo da reta I = {t R; t t < β β > } tal que x t = ft, xt, t I e xt = x Teorema.6 de Carathéodory Seja f : R R n satisfazendo as condições de Carathéodory no retangulo R. Então o problema.4 tem uma solução local. Corolário.7 Sejam U = [, T ] B com T >, B = {x R n ; x b}, onde b > e f : U R n nas condições de Carathédory. Suponhamos que xt é uma solução de.4 tal que x b e que em qualquer intervalo I, onde xt está definida, se tenha xt M, para todo t I, M independente de I e M < b. Então xt possui um prolongamento à todo [, T ]..5.2 Mais Alguns Resultados Enuciamos nesta seção mais alguns resultados utilizados no texto.

28 .5 Alguns Resultados 28 Proposição.8 Desigualdade de Young Se a e b são números reais não negativos então ab ap p + bp p sempre que < p < e p + p =. Demonstração: Ver [4]. Proposição.9 Lema de Gronwall Sejam z L, T e ϕ C[, T ] funções não negativas c uma constante tais que ϕt c + t zsϕsds, t [, T ]. Então ϕt c.e t zsds, t [, T ]. Em aprticular, se c = então ϕ. Demonstração: Ver [6]. Teorema.2 Representação de Riesz-Fréchet Seja H um espaço de Hilbert. Dada ϕ H, existe f H único tal que ϕ, u = f, u, u H. Além disso, f H = ϕ H

29 .5 Alguns Resultados 29 Demonstração: Ver [4]. Se chama base hilbertiana, ou simplesmente base, de um espaço de Hilbert H a toda sequência e n de elementos de H tais que i e n H = n N, e m, e n H = m, n, m n. ii O espaço vetorial gerado pelos {e n } é denso em H. Com essa definição temos o Teorema.2 Todo espaço de Hilbert separável admite uma base Hilbertiana. Demonstração: Ver [4]. Teorema.22 Aubin-Lions Sejam B, B e B espaços de Banach tais que B B B, onde B e B são reflexivos. Então c W = {u L p, T ; B ; u t L p, T ; B }, onde < p, p <, W munido da norma u W = u L p,t ;B + u L p,t ;B, é um espaço de Banach e a imersão de W em L p, T ; B é compacta. Demonstração: Ver[]

30 .5 Alguns Resultados 3 Proposição.23 Lema de Lions Seja u ν ν N uma sucessão de funções pertencentes a L q Q com < q <. Se i u ν u quase sempre em Q, ii u ν L q Q c, para todo ν N, então u ν u em L q Q. Demonstração: Ver[5] Lema.24 Sejam X e Y dois espaços de Banach tal que X Y. Se u L p, T ; X e u L p, T ; Y, onde p, então u C [, T ]; Y. Demonstração: Ver[9] Lema.25 Sejam X e Y dois espaços de Banach tais que X Y e X é reflexivo. Se u L, T ; X e u L p, T ; Y, onde p, então u C w [, T ]; X, isto é, a aplicação t ξ, ut X,X é continua em [, T ] ξ X. Demonstração: Ver[9]

31 Capítulo 2 Existência e Unicidade Neste capítulo apresentaremos um estudo qualitativo do problema 3-5. Provaremos resultados sobre a existência de soluções fraca global e o decaimento exponencial da energia associada Teorema 2.3, bem como um resultado de unicidade de solução Teorema 2.4. Mediante hipóteses convenientes sobre as funções α e β, que descrevem o comportamento da fronteira do domínio não cilíndrico, usando o método construtivo de Faedo - Galerkin provamos a existência de solução fraca global. A demonstração do resultado de unicidade esta baseada no método de Ladyzhenskaya empregado em Limaco e Medeiros [3]. Este capítulo está subdivido em três seções. Na seção 2. fixamos as hipóteses sobre o domínio não cilíndrico Q, introduziremos o conceito de solução fraca global para o problema 3-5 e definimos a função energia associada. A seção 2.2 contempla um resultado de existência de solução fraca global e o decaimento exponencial da energia associada. Finalizamos com a seção 2.3 onde provaremos um resultado de unicidade de solução global. 2. Hipóteses e o Conceito de Solução Suponhamos que as funções α e β, que definem o domínio não cilíndrico Q satisfazem as seguintes hipóteses: H α, β, α, β L [, [; R;

32 2. Hipóteses e o Conceito de Solução 32 H 2 Existe δ tal que < δ γt =: βt αt, para todo t ; H 3 α t + yγ t γt α t + yγ t 2, para todo y [, ] e t. Precisamos também de mais uma hipótese sobre as funções, que garanta pequenas variações para as extremidades do domínio não-cilíndrico Q. Note que a partir de H podemos escrever γt = t [ ] β s α s ds + β α, para todo t. Utilizando que α, β L [, [, R temos que existe K R tal que γt K para todo t. 2. Consideremos o polinômio P Z = /8 2K 2 + /2Z 42Z 2 4Z 3 8Z 4, então P > e P <. Portanto, pelo teorema do valor intermediário, a primeira raiz positiva de P Z a qual denotamos por Z, está no intervalo,. Assim consideramos a hipótese adicional sobre α e β: H 4 Θt := α t + β t min{, 8K, Z K }. Como α t + yγ t max{ α t, β t } para todo y [, ], de H4 nós deduzimos γ t Θt e α t + yγ t Θt para todo t e y [, ]. 2.2 Definimos γ = γ = β α

33 2. Hipóteses e o Conceito de Solução 33 e a y = γ 2 α yγ 2 com y [, ] γ Para u H 2 α, β e u L 2 α, β escreveremos v y = u α + yγ para y [, ]; v y = u α + yγ + α + yγ u x α + yγ para y [, ] e E = [ v y 2 + a y v y y 2 + v yyy 2 γ 4 + v yv y 2γ 2 + v ] yy 2 dy γ 4 Definição 2. Dizemos que uma função real u = ux, t definida em Q é uma solução fraca global do problema de valor inicial e de fronteira 3-5 se: i u L loc, ; Hαt, 2 βt, u t L 2 loc, ; Hαt, βt ; ii Para todo T > e toda função φ L, 2 T ; Hαt, 2 βt tal que φ t L, 2 T ; L 2 αt, βt e φ = φt = tem-se que u satisfaz a equação integral: + βt αt βt αt u t x, tφ t x, tdxdt+ u xx x, tφ xx x, tdxdt = ; βt αt [ ] ux, t + u t x, t + u 2 x, t φ x x, tdxdt x iii ux, = u x e u t x, = u x para todo x αt, βt. Definição 2.2 Para cada função u solução fraca de 3-5 definimos a energia associada como sendo a função Eu : [, R dada por Eut = 2 { u t t 2L 2αt,βt + ut 2H αt,βt + ut 2H 2 αt,βt }.

34 2.2 Existência de solução fraca global e decaimento exponencial Existência de solução fraca global e decaimento exponencial Nesta seção vamos provar a existência de solução fraca global para o problema 3-5, bem como o decaimento exponencial da energia associada. Utilizaremos o método construtivo de Faedo-Galerkin o qual consiste em: projetar nosso problema em sub-espaços de dimensão finita, obtendo uma seqüência de problemas aproximados; aplicar resultados da teoria de equações diferenciais ordinárias obtendo soluções aproximadas; a próxima etapa é a obtenção de estimativas a priori limitações apropriadas para as seqüencias de soluções aproximadas; finalizaremos aplicando resultados de compacidade os quais levarão a existência de uma subseqüência da seqüência das soluções aproximadas convergente, cujo o limite deverá ser a solução fraca global desejada. Teorema 2.3 Existência de Solução e decaimento ExponencialSeja H H 4 asseguradas. Se u H 2 α, β e u L 2 α, β são dados tais que 64K 28K E + 4E + < δ 2 8K, então existe pelo menos uma solução fraca global u para o problema 3-5. Além disso, existem constantes reais positivas k, k tal que a energia: Eut k e k t t. 2.5 Demonstração: A idéia é transformar o problema misto não-cilíndrico 3-5 em um outro problema misto sobre um domínio cilíndrico. Esta transformação será feira por meio de uma mudança de coordenadas difeomorfismo apropriada. A técnica que transforma problemas de fronteira móvel em problemas com fronteira fixa tem sido usada por vários autores; ver, por exemplo Límaco-Medeiros[3], Límaco et al.[2], Medeiros et al. [7], Clark et