SOLVABILIDADE E DECAIMENTO EXPONENCIAL PARA UM SISTEMA DE EDP NÃO LINEAR COM ACOPLAMENTO NA FONTE

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1 SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS - GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA - PPGME SOLVABILIDADE E DECAIMENTO EXPONENCIAL PARA UM SISTEMA DE EDP NÃO LINEAR COM ACOPLAMENTO NA FONTE Por: Renato Fabrício Costa Lobato Orientador Prof. Dr. Ducival Carvalho Pereira Belém 26

2 Renato Fabrício Costa Lobato SOLVABILIDADE E DECAIMENTO EXPONENCIAL PARA UM SISTEMA DE EDP NÃO LINEAR COM ACOPLAMENTO NA FONTE Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática e Estatís tica da Universidade Federal do Pará pa ra a obtenção do título de Mestre em Ma temática Área de Concentração: Equações Diferenciais Parciais Belém 26

3 Renato Fabrício Costa Lobato SOLVABILIDADE, DECAIMENTO EXPONENCIAL PARA UM SISTEMA DE EDP NÃO LINEAR COM ACOPLAMENTO NA FONTE Essa dissertação, foi julgada e aprovada, para a obtenção do título de Mestre em Matemática pelo Corpo Docente do Programa de Pós - Graduação em Matemática e Estatística da Universidade Federal do Pará Conceito: Belém, 15 de Dezembro de Prof. Dr. Marcus Pinto da Costa da Rocha Coordenador do PPGME-UFPA Banca Examinadora Prof. Dr. Ducival Carvalho Pereira Prof. Dr. Carlos A. Raposo da Cunha FACI UFSJ Orientador Examinador Prof. Dr. Giovany de Jesus Malcher Prof. Dr. Mauro de Lima Santos UFPA UFPA Examinador Examinador

4 Ao nosso futuro: Lucas, Beatriz e Byanca

5 Agradecimentos A Deus por me conceder sempre sua proteção nos momentos difíceis. A Universidade Federal do Pará - UFPA. Ao Programa de Pós-Graduação em Matemática e Estatística - PPGME. Ao professor Marcus, pela forma como conduz a direção do nosso programa. Gostaria de aqui fazer uma referência especial a pessoa do professor Jorge Ferreira, por ter proposto uma primeira versão desta dissertação e por ter sido sempre atencioso e compreensivo. Ao meu orientador professor Ducival, por me conceder o prazer do seu valioso auxílio, se mostrando sempre solícito as minhas infindáveis dúvidas. Ao professor Mauro por ter contribuido de modo decivo na conclusão da dissertação e ter sido amigo na longa jornada. Faz-se necessário lembrar dele, que sempre dá um jeitinho pra tudo, professor João Protázio. Agradeço de um modo especial a professores importantes, que de um certo modo me incentivaram para que eu chegasse até aqui, são eles: Giovany, José Augusto e Adilson. Aos meus pais, Célio e Roza que nunca exitaram em me conceder a oportunidade de buscar o conhecimento. Devo minha vida a eles. A família Torres Lobato, meu querido irmão e cumpadre, Tinho, do qual tenho muito orgulho e amor,minha cunhada Rosilene, a qual considero como irmã e aos meus sobrinhos Byanca e Lucas. A minha família de um modo geral, em especial aos avós Teca e Salo. Aos bons amigos do mestrado que de um modo geral, foram pessoas que me aturaram em momentos difíceis e felizes. Dentre eles, Reiville, Hercio, Edilson, dona Rosinha, Fábio, Andrelino, Antenor, Irazel, Luiz Neto, Silvana, Helena, Pedrão, Baena, Raquel, Adiel, Aubedir, Márcio Bahia, Elizardo, Lindomar, Leandro e outros. Agradeço de modo especial a três grandes amigas, que sempre me foram fiéis desde o tempo

6 de graduação: Elize, Paula e Silvia. Vai aqui também meu reconhecimento a dois grandes parceiros: Heleno e Carlos Alessandro. Também não poderia deixar de lembrar de dois bons amigos estatísticos: Marco Pollo e Zé Gracildo. Agradeço a parceria com o amigo Toninho, a qual me rendeu bons frutos. Novas e sinceras amizades são sempre bem vindas. Deiziane. A vocês minhas queridas: Carla e A querida amiga Telma. Esse ficou por último, pois deve ser lembrado de modo muito especial, meu grande irmão Nego-Sabá. Parceiro das horas fáceis e principalmente das difíceis. Agradeço as pessoas que contribuiram negativamente, pois me incentivaram sobremaneira para continuar a luta. Enfim, agradeço a todos que de alguma forma contribuiram de maneira positiva.

7 Ah, essas cordas de aço Este minúsculo braço Do violão que os dedos meus acariciam Ah, este bojo perfeito Que trago junto ao meu peito Só você violão Compreende porque perdi toda alegria E no entanto meu pinho Pode crer, eu adivinho Aquela mulher Até hoje está nos esperando Solte o teu som da madeira Eu você e a companheira Na madrugada iremos pra casa Cantando... Agenor Oliveira (Cartola)

8 Resumo Neste trabalho vamos estudar existência, unicidade e comportamento assintótico de solução fraca global do problema misto de evolução (P) (P) u t a(l(u)) u = f 1 (v) em Q = (, T ) v t a(l(v)) v = f 2 (u) em Q = (, T ) u(t) = v(t) = sobre = (, T ) u(x, ) = u (x) v(x, ) = v (x) em em Onde a : IR IR é um operador contínuo, f i Lip γi, com f i : IR IR, i = 1, 2 e l : L 2 () IR é uma forma linear e contínua. A existência será feita via método de Faedo-Galerkin, teorema de compacidade de Aubin- Lions e algumas desigualdades relevantes da Análise Funcional, para unicidade, usaremos o método tradicional e para o comportamento assintótico usaremos o método da energia. Palavras Chaves: Existência, Unicidade, Solução Fraca Global, Comportamento Assintótico

9 Abstract In this work we study the existence, uniqueness and asymptotic behaviour of global weak solutions for the mixed evolution problem (P) (P) u t a(l(u)) u = f 1 (v) in Q = (, T ) v t a(l(v)) v = f 2 (u) in Q = (, T ) u(t) = v(t) = on = (, T ) u(x, ) = u (x) v(x, ) = v (x) in in Where a : IR IR is a continuous operator, f i Lip γi, with f i : IR IR, i = 1, 2 and l : L 2 () IR is a continuous linear form. For the existence we used Faedo Galerkin Method, Aubin Lions theorem of compactness, important inequalities of Functional Analysis, while for the uniqueness we used the standard method and for the asymptotic behaviour we used the energy method. Keywords: Existence, Uniqueness, Global Weak Solution, Asymptotic Behaviour

10 Sumário Resumo 8 Abstract 9 Introdução 12 1 Prolegômenos de Análise Funcional Espaços Métricos Espaços Normados Espaços Métricos Completos Espaços de Banach O Espaço Dual Espaços Reflexivos Os Espaços L p () Definição e Principais Resultados Outros Resultados Importantes Introdução à Teoria das Distribuições e aos Espaços de Sobolev Teoria das Distribuições Escalares Espaços Funções Testes Convergência em C () Distribuições Escalares Convergência e Derivada Distribucional Espaços de Sobolev O espaço H m ()

11 2.3 Espaços L p (, T ; X) e Distribuições Vetoriais Um Resultado de Regularidade O Sistema Acoplado Apresentação do Problema de Evolução Hipóteses Existência de Solução Fraca Global Problema Aproximado Estimativas a Priori Passagem ao Limite Verificação das Condições Iniciais Unicidade Decaimento Exponencial Considerações Finais 74 Bibliografia 75

12 Introdução O objetivo deste trabalho é estudar a existência e unicidade de solução fraca global, bem como decaimento exponencial para o sistema não linear de equações diferenciais parciais com acoplamento na fonte (P) da seguinte forma: (P) u t a(l(u)) u = f 1 (v) em Q = (, T ) v t a(l(v)) v = f 2 (u) em Q = (, T ) u(t) = v(t) = sobre = (, T ) u(x, ) = u (x) v(x, ) = v (x) em em O sistema (P) se originou a partir do problema misto ( P ), por meio de um acoplamento na fonte, onde: ( P ) u t a(l(u)) u = f(u) em Q = (, T ) u(x, t) = sobre = (, T ) u(x, ) = u (x) em O problema ( P ) foi estudado em sua parte estacionária e evolutiva por Corrêa, Menezes e Ferreira [5], onde o mesmo descreve diversos modelos que aparecem em várias situações físicas. Por exemplo, quando queremos estudar a questão relacionada com a cultura de bactérias u, a equação em questão pode descrever a população dessas bactérias, sujeita ao espalhamento onde o coeficiente de difusão a é suposto dependente da população inteira. Nos capítulos 1 e 2 fizemos uma introdução preliminar a alguns resultados e definições de Análise Funcional e Espaços de Sobolev respectivamente. No capítulo 3 é que de fato estudamos o trabalho proposto em questão, onde se mostra a solvabilidade e o comportamento assintótico.

13 Capítulo 1 Prolegômenos de Análise Funcional 1.1 Espaços Métricos Definição 1.1.1: Define-se uma métrica em um conjunto M, a função d : M M IR que faz associar a cada par (x, y) M M um número real d(x, y), demominado a distância de x a y. Para tal função, considerando-se x, y, z M devem ser satisfeitas as seguintes condições: d 1 ) d(x, x) = d 2 ) Se x y então d(x, y) > d 3 ) d(x, y) = d(y, x) d 4 ) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) Podemos condensar as propriedades d 1 e d 2, dizendo simplesmente que d(x, y) e d(x, y) = se, e somente se, x = y, a propriedade d 3 nos diz que d é uma função simétrica e por fim d 4 trata da desigualdade do triângulo. Agora podemos dizer que, um espaço métrico é um par (M, d), onde M é um conjunto e d uma métrica. Quando não houver ambiguidade, vamos simplesmente nos referir ao espaço mértrico M Exemplo 1.1.1: Considere X um conjunto arbitrário e f : X IR uma função real. Sabemos que f é dita limitada em X se existe uma constante k = k f >, de modo que f(x) k para todo x X Indicando por B(X; IR) o conjunto das funções limitadas f : X IR, podemos neste conjunto definir uma métrica, pondo para f, g B(X; IR) arbitrárias, d(f, g) = sup f(x) g(x) x X 13

14 Esta métrica é denominada métrica da convergência uniforme ou do sup. Temos portanto que B(X; IR) munido da métrica do sup é um espaço métrico Espaços Normados Os espaços normados são um caso partibular de um espaço métrico. Seja E um espaço vetorial real, uma norma é uma aplicação : E IR, que satisfaz: i) ξ para todo ξ E e ξ = ξ = (comprimento positivo) ii) λξ = λ ξ para todo ξ E e λ IR (dilatação) iii) ξ + ζ ξ + ζ para todo ξ, ζ E (desigualdade do triângulo) O par (, E) é denominado um espaço normado. Observação 1.1.1: Note que a definição de espaço normado exige que E seja um espaço vetorial. Em particular todo espaço normado é um espaço métrico. É fácil verificar que toda norma, define ou induz uma métrica d em E, basta por: d = ξ δ, onde ξ, δ E. Exemplo 1.1.2: Definamos L 1 (a, b) como sendo o espaço de todas as funções definidas sobre [a, b] integráveis a Lebesgue. É fácil verificar que este é um espaço normado. Basta muni-lo da seguinte aplicação: : L 1 (a, b) IR, dada por: f 1 = a qual vê-se facilmente que é uma norma. b a f(x) dx Espaços Métricos Completos Seja (M, d) um espaço métrico. Uma sequência (x n ) n N é dita de Cauchy no espaço métrico M, se dado ε >, de modo arbitrário existe N IN, tal que para todo n, m > N = x n x m < ε Definição 1.1.2: Um espaço métrico é dito completo, quando toda sequência de Cauchy 14

15 nele é convergente. Exemplo 1.1.3: Seja o espaço métrico M = C(a, b) o conjunto das funções contínuas sobre o intervalo [a, b] com a métrica: d(f, g) = sup f(x) g(x) x [a,b] Afirmamos que C(a, b) é um espaço métrico completo Com efeito, seja f n uma sequencia de Cauchy em C(a, b), então para todo ε > existe N > tal que n, m N = d(f n, f m ) < ε, ou seja, n, m N = sup f n (x) f m (x) < ε x [a,b] Sabemos que na reta real IR toda sequência de Cauchy é convergente, teremos portanto que para cada x, (f n (x)) n N converge, isto é, f n (x) f(x) Denotemos por f(x) o limite em questão. Para mostrarmos a completeza de C(a, b), basta verificar a continuidade de f. Com efeito, seja ε >, devido a convergência existem N 1 e N 2 tais que: n > N 1 = f n (x) f(x) < ε 3, da mesma forma, n > N 2 = f n (y) f(y) < ε 3 Tomemos, N = max{n 1, N 2 }. Da continuidade de f n e usando o fato de ser de Cauchy, então existe δ >, tal que: x y < δ = f n (x) f n (y) < ε 3 Da desigualdade triangular, segue-se que: f(x) f(y) f(x) f n (x) + f n (x) f n (y) + f n (y) f(y) 15

16 Agora, tomando n > N e x y < δ, vem que: f(x) f(y) ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε Donde tem-se a continuidade de f. Dessa forma f C(a, b), o que mostra que a sequência de Cauchy f n convergiu no próprio espaço e isso acaba por demonstrar a completeza de C(a, b) 1.2 Espaços de Banach Um espaço normado E é dito um espaço de Banach, se o mesmo é completo, isto é, se toda sequência de Cauchy converge em E. Vamos a partir de agora estender o conceito de convergência. O que faremos é enfraquecer nossa condição de convergência. Vejamos: Se a sequência (x ν ) é convergente, então para toda função contínua F teremos que F (x ν ) também é convergente. Definiremos então uma condição mais fraca que a anterior. Em vez de exigir que a convergência se realize para toda função contínua, exigiremos apenas para as lineares e contínuas. Diremos dessa forma que uma sequência x n converge fracamente para x, se f(x n ) converge para f(x), para todas as funções lineares e contínuas definidas nela. Este espaço é denominado espaço dual O Espaço Dual Definição 1.2.1: Denotemos por E o conjunto das funções f : E IRlineares e contínuas, isto é: E = {f : E IR; f é linear e contínua}. O conjunto E é chamado o dual de E. Proposição 1.2.1: Uma aplicação linear f é contínua se, e somente se, ela é limitada. Demonstração: Com efeito, pela continuidade de f teremos que para todo ε > existe δ > tal que: x < δ = f(x) < ε 16

17 Isso significa que para cada y E, segue-se que: ( ) δ f y y < ε = f(y) ε δ y, δ y satisfaz a condição: y δ y y δ, daí então donde concluimos que f é uma função limitada. De maneira recíproca, vamos supor que f seja limitada. Mostraremos que f deve ser contínua. Lembremos que f é limitada se existe C > tal que f(x) C x. Portanto, para todo ε >, existe δ > tal que se: x y < δ = f(x) f(y) < ε. Basta tomar δ = ε C e aplicar a linearidade de f Espaços Reflexivos Assim como construimos o espaço dual de um espaço vetorial, também podemos construir o espaço dual do dual. Isto é: E = {f : E IR; f é linear e contínua} Este espaço E é também um espaço normado e completo. A norma do espaço bidual esta dada por: f = sup f(g) g E, g 1 Em geral dado um espaço vetorial E qualquer, podemos definir o espaço dual e bidual. Inclusive podemos relacionar o espaço E com o bidual E, através da seguinte aplicação: J : E E, x J(x) E, onde J(x) : E IR Definimos de forma natural: J(x), f = f(x), para todo f E Note que J é uma isometria entre os espaços E e E Com efeito, J(x) = sup J(x), f = sup f, x = x f E, f 1 f E, f 1 17

18 De onde obtemos uma aplicação injetora entre os espaços E e E. A aplicação J é chamada de projeção canônica. Não é verdade, em geral, que J definida acima, seja sobrejetora. Os espaços nos quais J seja sobrejetora são chamados de Reflexivos. Definição 1.2.2: Seja E um espaço de Banach, diremos que E é um espaço reflexivo, quando a aplicação J definida acima é sobrejetora. Definição 1.2.3: Diremos que um espaço normado E é separável, se existe um subconjunto enumerável e denso em E. 1.3 Os Espaços L p () Vamos agora introduzir os espaços L p, o que nos será de grande importância como ferramenta. Faremos uma breve definição e mostraremos alguns resultados relevantes para o que se segue. Aqui fixaremos um espaço de medida (, M, µ) e identificamos funções mensuráveis que são iguais quase sempre Definição e Principais Resultados Seja p IR, < p <, definimos: L p () = {f : IR; f é mensurável e f p L 1 ()} Considerando agora p = tem-se: L () = {f : IR; f é mensurável e c tal que f(x) c q.s em } Definimos também as normas: p : L p () IR +, para < p < e, para p =, dadas respectivamente por: ( 1/p f p = f(x) dµ) p e f = inf{c : f(x) c q.s. em } Para efeito ilustrativo, mostremos a seguir que, para < p <, L p () é um espaço vetorial e p de fato é norma. Notação: Se 1 p denotamos por q o número definido por: a) 1 p + 1 q = 1 se 1 < p < 18

19 b) q = 1, se p = e q = se p = 1 O número p é denominado expoente conjugado de q. Lema (A Desigualdade de Young): Se 1 < p < e a, b são números reais não negativos então: ab 1 p ap + 1 q bq a igualdade só ocorre quando a p = b q Prova: Se ϕ(t) = (1 λ) + λt t λ = ϕ (t) = λ(1 t λ 1 ) e se λ 1 < temos que: ϕ (t) < para t < 1 ϕ (t) > para t > 1 Logo para t 1, temos ϕ(t) > ϕ(1) =, de onde (1 λ) + λt t λ (a igualdade só vale se t = 1) Se b a desigualdade segue substituindo t por ap. Por outro lado, se b = o lema é trivial. bq Lema (Desigualdade de Hölder): Sejam f L p () e g L q (), com 1 p. Então f, g L 1 () e: f.g dx f p g q Prova: Os casos p = 1 e p = seguem de modo imediato. Agora se 1 < p < temos que: f(x) g(x) 1 p f(x) p + 1 q g(x) q, devido a desigualdade de Young. Dessa forma, temos que: f.g dx 1 p f p L + 1 p q g q L q mostrando portanto, que f.g L 1 (). Substituindo f por λf, λ >, segue-se que 19

20 f.g dx λp 1 p f p L + 1 p λq g q L q Por outro lado, minimizando o lado direito da desigualdade acima para λ (, ), temos que o mínimo ocorre para λ = f 1 L p g q/p L e o resultado segue. q Teorema (da Convergência Dominada de Lebesgue): Seja (f n ) n uma seqüência de funções integráveis definidas em X. Suponha que: 1. (f n ) n converge q.s. para uma função real, mensurável, f. 2. Existe uma função integrável g, tal que f n g, n. Então, fdµ = lim n f n dµ. Demonstração: Ver [3] Teorema (Representação de Riez) Sejam 1 p < e ϕ (L p ). Então existe um único u L p tal que: ϕ, f = uf, f L p Além disso, u L p = ϕ L p Demonstração: Ver [16] Como conseqüência destes resultados temos as seguintes identificações: i) L 2 = (L 2 ) ii) L p = (L p ) Demonstração: Ver [16]. Dizemos que uma seqüência (ϕ ν ) converge para ϕ em L p () se ϕ ν ϕ L p (), 1 p. Se p e q são índices conjugados, isto é, = 1 com 1 p <, então o dual topológico p q de L p (), que denotaremos por [L p ()], é o espaço L q (). No caso de 1 p < o espaço vetorial L p () é separável e, para 1 < p <, L p () é reflexivo. 2

21 Definição 1.3.1: Seja H um espaço de Hilbert. seqüência de elementos (ω n ) de H tais que: Chama-se base Hilbertiana de H uma i) ω n = 1 n, (ω n, ω m ) = n, m, m n; ii) O espaço gerado pela (ω n ) é denso em H. A seguinte proposição estabelece que a convergência em L p () dá origem a uma convergência pontual. Proposição 1.3.1: Sejam R n um aberto, 1 p, u L p () e (u k ) k N uma seqüência em L p () convergindo para u em L p (). Então existe uma subseqüência de (u k ), ainda denotada por (u k ), tal que: i) u k (x) u (x), q.s. em ; ii) u k (x) h (x), q.s. em, k N, com h L p () Demonstração: Ver [3]. 1.4 Outros Resultados Importantes A seguir enunciaremos algumas definições e resultados, de grande relevância, que serão utilizados posteriormente. Definição (Convergência Fraca): Sejam E um espaço de Banach e (u ν ) ν N uma sequência de E. Entãoo u ν u se, e somente se, ϕ, u ν ϕ, u, u E Definição (Convergência Fraca Estrela): Sejam E um espaço de Banach, ϕ E e (ϕ ν ) ν N uma seqüência de E. Diz-se ϕ ν ϕ fraco se, e somente se, ϕ ν, u ϕ, u, u E Teorema (Banach - Steinhaus): Sejam E e F dois espaços de Banach. Seja (T i ) i I uma família (não necessariamente enumerável) de operadores lineares e contínuos de E em F. Suponhamos que sup i I T i X <, x E. Então: sup T i X L(E,F ) < i I Dito de outro modo, existe uma constante C tal que T i x C x, x E e i I 21

22 Demonstração: Veja [3] Proposição 1.4.1: Seja E um espaço de Banach e (x n ) uma sucessão em E. Se verifica: (I) [x n x em σ(e, E )] [ f, x n f, x, f E ] (II) Se x n x fortemente, então x n x fracamente para σ(e, E ) (III) Se x n x fracamente para σ(e, E ), então x n é limitada e x lim inf x n (IV) Se x n x fracamente em σ(e, E ) e se f n f fortemente em E (isto é, f n f E ), então f n, x n f, x Demonstração: Veja [3] Observação A parte (III) da proposição (1.1) é uma consequência do teorema de Banach-Steinhaus. Proposição Seja E um espaço de Banach e (f n ) uma sucessão em E. Se verifica: (I) [f n f em σ(e, E)] [ f n, x f, x, x E] (II) Se f n f forte, então f n f em σ(e, E ) (III) Se f n f em σ(e, E ), então f n f em σ(e, E) (IV) Se f n f em σ(e, E), então f n esta limitada e f lim inf f n. (V) Se Se f n f em σ(e, E) e se x n x fortemente em E, então f n, x n f, x. Demonstração: Ver [3] Teorema 1.4.2: Seja E um espaço de Banach separável e seja (f n ) uma sucessão limitada em E. Então existe uma subsucessão (f nk ) que converge na topologia σ(e, E). Demonstração: Veja [3] Teorema (Banach-Alaoglu): 22

23 Sejam E um espaço de Banach separável e E o seu dual topológico. Então o conjunto: B E = {f E ; f 1} é compacto na topologia fraca estrela. Demonstração: Ver [16]. Lema 1.4.1: (Compacidade de Aubin-Lions): Sejam 1 < p i <, i =, 1 e B, B, B 1 espaços de Banach sendo que B e B 1 são reflexivos tais que B compacta). Para < T <, consideremos o espaço W = {w; w L p (, T ; B ) e w L p 1 (, T ; B 1 )}, com a norma w W = w L P (,T ;B ) + w L P 1 (,T ;B1 ). Então: (I) W é um espaço de Banach (II) W c L P (, T ; B) Demonstração: Ver [16] c B B 1 ( c indica imersão Observação 1.4.1: Como conseqüência da Compacidade de Aubin-Lions, temos que se (u ν ) ν IN é uma seqüência limitada em L2 (, T ; B ) e (u ν) ν IN uma seqüência limitada em L2 (, T ; B 1 ) então (u ν ) ν N é limitada em W. Daí, segue que existe uma subseqüência (u νk ) k IN de (u ν) tal que u νk u forte em L 2 (, T ; B). Teorema de Carathéodory - Prolongamento de Solução O próximo resultado, é de grande importância para solução de nosso problema principal, visto que, nos permite prolongar a solução, ou seja, a solução se torna global. Vejamos primeiramente algumas condições para depois enunciarmos e demonstrarmos o teorema a seguir. Sejam D IR n+1 e f : D IR n. Dizemos que f satisfaz as condições de Carathéodory sobre D se: i) f (t, x) é mensurável em t, para cada x fixo; ii)f (t, x) é contínua em x, para cada t fixo; iii) Para cada compacto K em D, existe uma função real integrável m K (t) tal que: f (t, x) m K (t), (t, x) D (1.1) 23

24 Consideremos o retângulo R = { (t, x) IR n+1 ; t t a, x x b }, com a, b >. Teorema (Carathéodory): Seja f : R IR n satisfazendo as condições de Carathéodory sobre R. Então, sobre algum intervalo t t β (β > ), existe uma solução do problema de valor inicial: { X = f (t, X) X (t ) = X (1.2) Prova: Vamos mostrar para o caso t τ. Definimos a função M M(t) = (t < τ) (1.3) M(t) = t τ m(s)ds (τ t τ + a) (1.4) M é contínua e não decrescente, pois m(t) M(τ) = Portanto, (t, ξ ± M(t)) R para algum intervalo τ t τ + β. Escolhendo β de modo que τ + β τ + a definimos as seguintes aproximações ϕ j (j = 1, 2,...) por: ϕ j (t) = ξ ( τ t τ + β ) j (1.5) ϕ j (t) = ξ + t β/j τ f(s, ϕ j (s))ds (τ + βj < t τ + β ) (1.6) Note que ϕ 1 (t) = ξ t (τ, τ + β) Fixado j 1 a integral em (1.6) só tem sentido se: τ < t β j < τ + β j τ + β j < t τ + 2β j Daí segue, que em (1.6) tem-se ϕ j contínua em τ t τ + β j e, pelo exposto acima, desde que (t, ξ) R a equação (1.6) define ϕ j como uma função contínua no intervalo τ + β j < t τ + 2β j e além disso, temos: 24

25 t β/j ϕ j (t) = ξ + f(s, ϕ(s))ds ϕ j (t) ξ = τ ϕ j (t) ξ ϕ j (t) ξ M t β/j τ f(s, ϕ(s)) ds ϕ j (t) ξ ( t β ) j t β/j τ t β/j τ f(s, ϕ(s))ds m(s)ds, por (1.1) e, portanto, (1.7) Afirmação: ϕ j (t) é uma função contínua em τ t τ +β. Provamos essa afirmação usando indução finita Para n = 1 ok! que: Suponha que para n = k, ϕ j esteja definida em τ t τ + kβ j para 1 < k < j. Assim temos ϕ j (t) = ξ + τ kβ j τ f(s, ϕ j (s))ds. De modo análogo, concluímos que ϕ j (t) é contínua em τ + kτ (k + 1)τ t τ +. Portanto, j j (k + 1)τ ϕ j (t) é contínua em τ t τ +. j É fácil ver que ϕ j satisfaz (1.7). Segue-se então que, por indução, (1.6) define ϕ j como uma função contínua em τ t τ +β, para todo j IN satisfazendo: ϕ j (t) = ξ τ t τ + β j ϕ j (t) ξ M ( t β ) j τ + β j t τ + β Afirmação: ϕ j é equicontínua Devemos mostrar que dado ɛ > existe δ > tal que para quaisquer t 1, t 2 tais que t 1 t 2 < δ temos ϕ j (t 1 ) ϕ j (t 2 ) < ɛ j. Sabemos que: 25

26 ϕ j (t 1 ) ϕ j (t 2 ) (t M 1 β ) M j ( t 2 β j ) Sendo M contínua em [τ, τ + β] vem que M é uniformemente contínua. Logo, ( t 1 t 2 = t 1 β ) j ( t 2 β j ) < δ (t M 1 β ) M j ( t 2 β j ) < ɛ. Donde segue nossa afirmação. Afirmação: ϕ j é equilimitada Note que ϕ j (t) ξ M ( t β ) j IN j que: Sendo M contínua em [τ, τ + β] logo limitada, então existe C > tal que M(t) C. Desde ϕ j (t) ξ M ( t β ) j Segue que ϕ j (t) ξ + C j IN Desta forma, a sequência (ϕ j ) está nas condições do teorema de Àrzela-Ascoli, Assim existe uma subsequência (ϕ jk ) que converge uniformemente em [τ, τ + β] para uma função continua ϕ. Mostremos que tal função limite, é solução de (1.2) Sendo f(t, x) contínua em x para cada t fixo decorre que: f(t, ϕ jk (t)) f(t, ϕ(t)) t IR Usando (1.1) segue que: f(t, ϕ jk )(t) m(t) Desde que m(t) é Lebesgue integrável a função f está nas condições do teorema da convergência dominada de Lebesgue, resultando portanto: t lim k τ f(s, ϕ jk (s))ds = t τ f(s, ϕ(s))ds 26

27 Para todo t [τ, τ + β] temos: ϕ jk (t) = ξ + t τ f(s, ϕ jk (s))ds t t β/j k f(s, ϕ jk (s))ds Quando, k o segundo termo integral tende a zero, e usando as considerações anteriores vem que: ϕ(t) = ξ + t τ f(s, ϕ(s))ds Donde segue o resultado. Corolário (Prolongamento de solução): Seja D = [, ω] B, com < ω <, B = {x R n ; x b}, b > e f nas condições de Carathéodory. Seja ainda ϕ (t) uma solução de: X = f (t, X) X () = X, X b. Suponhamos que em qualquer intervalo I onde ϕ (t) está definida, se tenha, ϕ (t) M, para todo t I, M independente de t e M < b. Então ϕ tem um prolongamento até [, ω]. Demonstração: Ver [1]. Lema (Lema de Gronwall) : Sejam ϕ, ψ : [a, b] IR funções contínuas e nãonegativas. Se ϕ (t) α + t a [ t ] ϕ (s) ψ (s) ds, (com α ), então: ϕ (t) α exp ψ (s) ds, t [a, b]. a Em particular, ϕ (t) é limitada e se α =, então ϕ. Demonstração: Fazendo ω (t) = α + t a ϕ (s) ψ (s) ds, decorre da hipótese que ϕ (t) ω (t) e pelo teorema fundamental do cálculo, segue que ω (t) = ϕ (t) ψ (t). Logo, ω (t) ω (t) ψ (t), donde segue: ω (t) ω (t) ψ (t) 27

28 Integrando a última desigualdade de a até t, obtemos: t a ω (s) ω (s) ds t a ψ (s) ds Assim, t a d ln (ω (s)) ds ds Portanto, ln ( ) ω (t) ω (a) t a t a ψ (s) ds ψ (s) ds, isto é, ( t ) ω (t) α exp ψ (s) ds, t [a, b] a Desta desigualdade e de ϕ (t) ω (t), segue o Lema. Lema 1.4.2: Seja γ (t) contínua e não-negativa em [, T ]. Se: t [ γ (t) C 1 + C 2 γ (t) + γ (t) 2 ] ds, t T, então existem T > e C > tais que: a γ (t) C, t [, T ] C 1, C 2. Demonstração: Sejam ϕ (t) = t Decorre da hipótese que: a [ γ (t) + γ (t) 2 ] ds e Y (t) = C 1 + C 2 ϕ (t). γ (t) C 1 + C 2 ϕ (t) Ou ainda, γ 2 (t) [C 1 + C 2 ϕ (t)] 2 E pelo Teorema Fundamental do Cálculo segue, 28

29 ϕ (t) = γ (t) + γ (t) 2, logo, ϕ (t) Y (t) + Y 2 (t) (1.8) Por outro lado, Y (t) = C 2 ϕ (t) C 2 [Y (t) + Y 2 (t)], daí segue: Y (t) C 2 [Y (t) + Y 2 (t)], t T (1.9) Observando que: d [ ] Y (t) e c 2 t = Y (t) e c2t + C 2 Y (t) e c2t e aplicando em (1.9), segue dt d [ ] Y (t) e c 2 t C 2 Y 2 (t) e c 2t dt (1.1) Integrando a última desigualdade de até T e notando que Y () = C 1, resulta: Y (t) C 1 e c 2t + C 2 e c 2t Seja z (t) = t t Y 2 (s) e c 2s ds (1.11) Y 2 (s) e c 2s ds. Assim resulta de (1.11) que Y (t) [C 1 + C 2 z (t)] e c 2t e, novamente pelo Teorema Fundamental do Cálculo: z (t) = Y 2 (t) e c 2s dt Logo, z (t) [C 1 + C 2 z (t)] 2 e c 2t, donde segue, z (t) [C 1 + C 2 z (t)] 2 ec 2t Integrando a última desigualdade de até t, obtemos: t z (t) [C 1 + C 2 z (t)] 2 dt t e c 2t dt Daí segue, 1 [C 1 + C 2 z (t)] + 1 ec2t C 1 C 2 1 C 2, ou ainda, 1 [C 1 + C 2 z (t)] 1 C 1 ec2t C C 2 Agora suponha que, 29

30 1 C 1 ec2t C C 2 > 1 C C 2 > ec2t C 2 ( C 2 t < ln 1 + C ) 2 C 1 Logo, t < 1 ( ln 1 + C ) 2 C 2 C 1 Seja T = 1 ( ln 1 + C ) 2 onde T > C 2 C 1 Escolha T tal que < T < T, então t T isto implica que: C 1 + C 2 z (t) [ 1 ec2t + 1 ] 1 [ 1, ou ainda, C 1 + C 2 z (t) ec2t + 1 ] 1 C 1 C 2 C 2 C 1 C 2 C 2 Assim, Y (t) (C 1 + C 2 z (t)) e c 2t Por outro lado, (C 1 + C 2 z (t)) e c 2t [ 1 ec2t + 1 ] e c 2T C 1 C 2 C 2 Portanto, Y (t) C, t T Desta desigualdade e γ (t) = Y (t), segue o Lema 3

31 Capítulo 2 Introdução à Teoria das Distribuições e aos Espaços de Sobolev Neste capítulo vamos introduzir à teoria de Distribuições e os Espaços de Sobolev, tais tópicos, nos permitem extender o conceito de solução de uma e.d.p. No que se segue, estaremos fazendo definições, notações, proposições, lemas e teoremas que servirão de base teórica para o bom entendimento do problema principal. Dessa maneira, não nos preocuparemos com todas as demonstrações dos resultados utilizados de forma preliminar, mas mencionaremos o referencial bibliográfico para posterior consulta. 2.1 Teoria das Distribuições Escalares Espaços Funções Testes Sejam R n um aberto limitado e ϕ : R, uma função contínua. Denominamos suporte de ϕ, ao fecho, em, do conjunto dos pontos x pertencentes a onde ϕ não se anula. Denota-se o suporte de ϕ por supp (ϕ). Simbolicamente, tem-se: supp (ϕ) = {x ; ϕ (x) } em. Usando a definição conclui-se que o supp (ϕ) é o menor fechado fora do qual ϕ se anula e valem as seguintes relações: 1) supp (ϕ + ψ) supp (ϕ) supp (ψ) 2) supp (ϕψ) supp (ϕ) supp (ψ) 3) supp (λϕ) = λ supp (ϕ), λ R {}. 31

32 Exemplo 2.1.1: Seja ϕ : (, 1) IR tal que ϕ(x) = 1, x (, 1) : Verifica-se que o supp (ϕ) = (, 1),não é um conjunto compacto. Neste nosso estudo, damos um destaque especial as funções ϕ : IR, com suporte compacto contido em que, sejam infinitamente diferenciáveis. Com esse intuito defininamos o espaços C (), como sendo o espaço vetorial das funções indefinidamente diferenciáveis e suporte compacto contido em. Os elementos de C () são denominados funções testes em. Exemplo 2.1.2: Dados x R n, r >, denotamos por B r (x ) a bola aberta de centro x de raio r, isto é, B r (x ) = {x R n ; x x < r}. Se B r (x ), define-se ϕ : R por: ϕ (x) = ( exp r 2 x x 2 r 2 ) se x x < r se x x r. Neste exemplo, verificamos que supp (ϕ) = B r (x ) é um compacto e que C () é não vazio. O espaço C () é de grande importância para o nosso estudo, visto que estamos interessados em estudar funcionais lineares continuos definidos em C () Observação 2.1.1: Por um multi-índice, entendemos, uma n-upla α = (α 1,..., α n ) de números inteiros não negativos. Denotamos por α = α α n a ordem do multi-índice e por D α o operador derivação parcial, de ordem α, D α = α α 1 x 1... αn x n Para α = (,..., ), temos por definição D ϕ = ϕ A seguir daremos noções de convergência em C (), tornando-o um espaço vetorial topológico Convergência em C () Dizemos que uma sucessão (ϕ n ) n N de funções em C () converge para ϕ em C () quando forem satisfeitas as seguintes condições: i) Existe um conjunto compacto K tal que supp (ϕ) K e supp(ϕ n ) K, n IN 32

33 ii) D α ϕ n D α ϕ uniformemente em K para todo multi-índice α. O espaço vetorial C (), junto com a noção de convergência definida acima é um espaço vetorial topológico que denotamos por D(), e é denominado espaços das funções testes. Observação 2.1.2: Sendo limitado, obtemos D() L p () p, tal que 1 p <, com imersão contínua e densa. De fato, dado ϕ D(), temos que: ϕ (x) p dx sup ϕ (x) p m () < x Isto prova a inclusão algébrica. Para a continuidade, seja ϕ n ϕ em D(). Mostraremos que: ϕ n (x) ϕ (x) p dx note que, ϕ n (x) ϕ (x) p dx = ϕ n (x) ϕ (x) p dx K Logo pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, lim ϕ n (x) ϕ (x) p dx = lim ϕ n (x) ϕ (x) n n K p dx = K lim ϕ n (x) ϕ (x) p dx = n Podemos ainda mostrar que a imersão anterior é densa. Para isso ver [12] Distribuições Escalares Com o intuito de generalizar o conceito de funções sobre, introduz-se o conceito de distribuições escalares. Denomina-se distribuição escalar sobre a toda forma linear e contínua sobre D(), isto é, uma função T : D() R que satisfaz as seguintes condições: i) T (αϕ + βψ) = αt (ϕ) + βt (ψ), ϕ, ψ D (), α, β R. ii) T é contínua, isto é, se (ϕ ν ) ν N converge para ϕ, em D (), então T (ϕ ν ) T (ϕ) em IR. 33

34 O valor da distribuição T na função teste ϕ, é denotado por T, ϕ. Muniremos o espaço vetorial das distribuições escalares da seguinte noção de convergência: Considera-se o espaço de todas as distribuições sobre. Neste espaço, diz-se que a sucessão (T ν ) ν N, converge para T, quando a sucessão ( T ν, ϕ ) ν N converge para T, ϕ em IR para toda ϕ D(). O espaço das distribuições sobre, com esta noção de convergência é denotado por D (). As distribuições que aparecem com mais freqüência são aquelas definidas a partir de funções localmente integráveis. Definição 2.1.1: Diz-se que uma função u : R é localmente integrável em.quando u é integrável á Lebesgue em todo compacto K. O espaço das funções localmente integráveis é denotado por L 1 loc (). Em símbolo temos: u L 1 loc () u(x) dx < para todo compacto K. K Exemplo 2.1.3: Seja u L 1 loc () e definamos T u : D() R por: T u, ϕ = u(x)ϕ (x) dx Nestas condições T u é uma distribuição escalar sobre. De fato, não é difícil mostrar a linearidade de T u, pois segue da linearidade da integral. Resta-nos mostrar que T u é contínua; seja dada uma seqüência (ϕ ν ) ν N de funções testes sobre convergindo em D () para uma função teste ϕ. Então: T u, ϕ ν T u, ϕ = T u, ϕ ν ϕ = u(x) (ϕ ν ϕ) (x) dx u(x) (ϕ ν ϕ) (x) dx Pois, ϕ ν ϕ uniformemente. sup ϕ ν ϕ u (x) dx. A distribuição T u assim definida é dita gerada pela função localmente integrável u e, usando 34

35 Lema Du Bois Raymond, tem-se que T u é univocamente determinada por u, no seguinte sentido: T u = T v se, e somente se, u = v quase sempre em. Neste sentido identificamos u com a distribuição T u e o espaço L 1 loc () das funções localmente integráveis pode ser visto como parte do espaço das distribuições D (). Lema (de Du Bois Raymond): Seja u L 1 loc (). Então T u = se, e somente se, u = quase sempre em. Demonstração: ver [12]. Vale ressaltar que existem distribuições não definidas por funções visto no exemplo a seguir. de L 1 loc (), como pode ser Exemplo 2.1.4: Seja x um ponto de e definamos a função δ x : D () IR dada por: É fácil verificar que δ x < δ x, ϕ >= ϕ(x ) é uma distribuição. Tal distribuição é conhecida por Distribuição de Dirac, em homenagem ao físico inglês Paul A.M. Dirac ( ). Entretanto, mostra-se que a distribuição δ x não é definida por uma função tal que: De fato, suponhamos que a distribuição δ x u L 1 loc (). Então tem-se: < δ x, ϕ >= u(x)ϕ(x)dx = ϕ(x ), ϕ D () u L 1 loc (), isto é, não existe u L1 loc () é definida por alguma função u(x)ϕ(x)dx = ϕ(x ), ϕ D () Tomando ξ D () definida por: ξ(x) = x x 2 ϕ(x), segue-se que: ξ(x ) =< δ x, ξ >= u(x) x x 2 ϕ(x)dx =, ξ D () Portanto, tem-se x x 2 u(x) = quase sempre em, logo u(x) = quase sempre em, isto é, < δ x, ϕ >=, ϕ D (), ou seja, ϕ(x ) =, ϕ D (), que é uma contradição. 35

36 Com essa noção de convergência, D () passa a ser um espaço vetorial topológico e temos a seguinte cadeia de injeções contínuas e densas: D () L P () L 1 loc () D (), 1 p < Convergência e Derivada Distribucional Com o intuito de estudar os espaços de Sobolev, introduz-se o conceito de derivada distribucional para objetos de D () A motivação no conceito de derivada fraca e, posteriormente, o conceito de derivada distribucional, dado por Sobolev, se deve a fórmula de integração por partes do Cálculo, sendo este conceito generalizado para distribuições quaisquer em D (). Seja T uma distribuição sobre e α um multi-índece. A derivada (no sentido das distribuições de ordem α de T é definida como sendo o funcional linear: D α T : D () IR, tal que: D α T, ϕ = ( 1) α T, D α ϕ, ϕ D () Segue da definição acima que cada distribuição T sobre possui derivadas de todas as ordens. Assim as funções de L 1 loc () possuem derivadas de todas as ordens no sentido das distribuições. Observe que a aplicação: D α : D () D () é linear e contínua no sentido da convergência definida em D (). Isto significa que: lim T v = T em D () então v lim v Dα T v = D α T em D () Observação 2.1.2: Outro resultado interessante a ser mercionado é que a derivada de uma função L 1 loc (), que não é, em geral, uma função L1 loc (), como mostra o exemplo a seguir. forma: Exemplo 2.1.5: Seja u a função de Heaviside, isto é, u é definida em IR e tem a seguinte 36

37 { 1 se x > u(x) = se x <, assumindo qualquer valor em x =. Esta função u pertence a L 1 loc () mas sua derivada u = δ não pertence a L 1 loc (). Como δ / L 1 loc (), basta verificar que u = δ. De fato: < u, ϕ >= < u, ϕ >= ϕ (x)dx = ϕ (x)dx = ϕ() = δ, ϕ >, ϕ D () Tal fato, motivará a definição de uma classe significativa de espaços de Banach de funções, conhecidos sob a denominação de Espaços de Sobolev. Observação 2.1.3: Se u C k (IR n ), para cada α k, então a noção de derivada no sentido clássico coincide com a noção derivada no sentido das distribuições, isto é: D α T u = T D α u α k, é uma conseqüência simples da fórmula de integração de Gauss. 2.2 Espaços de Sobolev Apresentaremos nesta seção uma classe de espaços fundamentais para o estudo das Equações Diferenciais Parciais, que são os espaços de Sobolev O espaço H m () Seja um aberto do IR n com fronteira bastante regular Γ. Foi observado na seção anterior que se u L p (), u possui derivadas de todas as ordens no sentido das distribuições. Viu-se que D α u não é, em geral, uma distribuição definida por uma função de L p (), pois estamos interessados em espaços de distribuições u L p () cujas derivadas distribucionais permaneçam em L p (); tais espaços serão denominados Espaços de Sobolev. 37

38 O espaço vetorial L p (), 1 p <, é o espaço das (classes de) funções reais v : R, mensuráveis, tais que v p é integrável a Lebesgue em. Este espaço quando munido da norma: ( 1/p v L p () = v(x) dx) p, é espaço de Banach Ver [3]. O conjunto de todas as funções mensuráveis v essencialmente limitadas em é denotado por L (), define-se a norma de v por: v L () = supess v (x), v L () O espaço L () é também um espaço de Banach Ver [3]. No caso particular onde p = 2, temos que L 2 () é um espaço de Hilbert. Neste caso o produto interno é dado por: cuja norma induzida é: (u, v) = u (x) v (x) dx, L 2 () ( ) 1/2 u = u 2 dx L 2 () Dados um inteiro m > e 1 p, o espaço de Sobolev de ordem m sobre, é o espaço vetorial denotado por W m,p (), constituído das funções u L p () para as quais D α u L p (), para todo multi-índice α, com α m. Em símbolo temos: W m,p () = {u L p () : D α u L p (), α, multi-índice, com α m} O espaço W m,p () será munido da norma u W m,p () = D α u p L p () α m 1/p, 1 p < 38

39 e se p = u W m, () = α m D α u L () Em ambos os casos W m,p () é um espaço de Banach. O espaço W m,p () é um espaço reflexivo se 1 < p < e separável se 1 p <. No caso particular em que p = 2, o espaço W m,2 () é um espaço de Hilbert, denotamos por H m (), isto é, H m () = {u L 2 () ; D α u L 2 (), α, α m}, as derivadas D α, evidentemente, no sentido das distribuições. Define-se em H m () o produto escalar: ((u, v)) H m () = α m (D α u, D α v) dx, u, v H m (), L 2 () com norma induzida por este produto escalar dada por: u H m () = α m (D α u) 2 dx L 2 () 1/2 Mostra-se que H m () é espaço de Hilbert separável.ver [11] Para se ter uma idéia mais apurada dos espaços de Sobolev, descrevemos alguns casos particulares. Em dimensão n = 1, temos, H 1 (a, b) = { u L 2 (a, b) ; u L 2 (a, b) }, u = du dt Neste caso b u 2 H 1 (a,b) = [u (t)] 2 dt + b a a [u (t)] 2 dt 39

40 Em dimensão n 2, teremos H 1 () = e neste caso, u 2 H 1 () = { u L 2 () ; u } L 2 (), i = 1,..., n x i [u (x 1, x 2,..., x n )] 2 dx 1 dx 2... dx n + ou, de modo mais conciso, escrevemos u 2 H 1 () = u 2 dx + u 2 dx n i=1 ( ) 2 u (x 1, x 2,..., x n ) dx 1 dx 2... dx n, x i É oportuno observar que, embora o espaço vetorial das funções testes D () seja denso em L p (), 1 p <, em geral ele não é denso em W m,p (). Isto ocorre porque a norma de W m,p () é bem maior que a norma de L p () e por isso W m,p () possui menos seqüência convergentes. Isto motivou a definição dos espaços W m,p () como sendo a aderência de D () em W m,p (). No caso p = 2 denotaremos esta aderência por H m Os espaços W m,p () e, em particular os espaços H m (), desempenham papel fundamental (). na Teoria dos Espaços de Sobolev e por conseguinte, na Teoria das EDP s. O Traço em H 1 () Demonstra-se que as funções de H m () podem ser aproximadas na norma de H m (), por função de D ( ), onde D ( ) é o conjunto {ϕ ; ϕ D (IR n )} que se pode definir a restrição à fronteira Γ de. Dada ϕ H 1 (), consideremos uma seqüência (ϕ ν ) ν N em D ( ) com ϕ ν ϕ em H 1 () Definimos o operador γ : H 1 () L 2 (Γ) por γ (ϕ) = lim k ϕ k Γ, sendo o limite considerado na norma de L 2 (Γ). O operador γ, denominado operador de traço, que é contínuo, linear cujo o núcleo é H 1 (). De forma mais simples escrevemos ϕ Γ em vez de γ ϕ assim podemos caracterizar o espaço H 1 () por: H 1 () = { ϕ H 1 () ; ϕ Γ = }. A 4

41 generalização do operador de traço para os espaços H m () ocorre de forma natural e, no caso m = 2, temos: H 2 () = { ϕ H 2 () ; ϕ Γ =, } ϕ ν Γ = O dual topológico do espaço W m,p () representamos por W m,q () se 1 p < com p e q índices conjugados. Se ϕ W m,q (), então ϕ D() D (). Quando p = 2, W m,2 () é denotado por H m (), cujo dual recebe a notação H m (). A seguir anunciaremos sem demonstrar o teorema que caracteriza o W m,p (). Teorema 2.2.1: Seja T D (). Então, T W m,p () se, e somente se, existem funções g α L q () tais que T = D α g α. Demonstração: ver [9] α m Proposição 2.2.1: [Caracterização de H 1 ()] Se T for uma forma linear contínua sobre H 1 (), então existem n + 1 funções u, u 1,..., u n de L 2 (), tais que: T = u + n i=1 u i x i Demonstração: ver [15] De posse destes dois resultados podemos concluir que se u H 1 (), então u H 1 (), sendo o operador : H 1 () H 1 (), linear, contínuo e isométrico. Lema 2.2.1:(Desigualdade de Poincaré) Seja IR n um aberto limitado em alguma direção. Se u H 1 (), então existe uma constante C > tal que u 2 L 2 () C u 2 L 2 () Demonstração: Suponhamos R n, limitado na direção do eixo x 1. Sendo v H 1 (), existe uma sucessão (ϕ ν ) ν N de funçõesde D() tal que ϕ ν v em H 1 (), isto é, 41

42 ϕ ν v em L 2 () e ϕ ν x i v x i em L 2 (), i = 1, 2,..., n Como é limitado, existem a e b IR tais que x a < proj x < b onde a proj x é a projeçãode x sobre o eixo coordenado x 1, agora dado ϕ D (), e ϕ (a, x 1,..., x n ) =. Temos: ϕ (x 1, x 2,..., x n ) = x1 a ϕ ξ (ξ, x 2,..., x n ) dξ E da desigualdade de Schwartz, obtemos: ( b ϕ (x 1, x 2,..., x n ) 2 = a ϕ ξ (ξ, x 2,..., x n ) dξ ) 2 b (b a) ϕ ξ (ξ, x 2,..., x n ) a 2 dξ Aplicando o Teorema de Fubini temos: ϕ (x 1, x 2,..., x n ) 2 dx (b a) Portanto, [ n ϕ L 2 () (b a) ϕ x j=1 j Logo, (b a) 2 2 L 2 () ] 1/2 b a ϕ ξ (ξ, x 2,..., x n ) ϕ ξ (ξ, x 2,..., x n ) 2 2 dx dξdx u 2 L 2 () C u 2 L 2 () Observação 2.2.1: Utilizando desigualdade de Poincaré podemos concluir que em H 1 (), as normas u H 1 () e u L 2 () são equivalentes. De fato, consideremos a norma em H 1 (). Se v H 1 (), tem-se: v 2 H 1 () = v 2 L 2 () + v 2 L 2 () v 2 L 2 () 42

43 Da desigualdade de Poincaré-Friedrichs, obtém-se: v 2 H 1 () (1 + C) v 2 L 2 () Conclui-se das desigualdades acima que em H 1 (), as normas v H 1 () e v L 2 () são equivalentes. 2.3 Espaços L p (, T ; X) e Distribuições Vetoriais Sejam X um espaço de Banach real, com a norma X, T um número real positivo e χ E a função característica do conjunto E. Uma função vetorial ϕ : ], T [ X, é dita simples quando assume apenas um número finito de valores distintos. Dada uma função simples ϕ : (, T ) X com representação canônica ϕ (t) = k χ Ei ϕ i i=1 onde cada E i (, T ) é mensurável, i = 1, 2,..., k, e os conjuntos E i são dois a dois disjuntos, m (E i ) < e ϕ i X, i = 1, 2,..., k, definimos a integral de ϕ como sendo o vetor de X dado por T ϕ (t) dt = k m (E i ) ϕ i i=1 Dizemos que uma função vetorial u : (, T ) X é Bochner integrável (B integrável) se existir uma seqüência (ϕ ν ) ν N de funções simples tal que: (i) ϕ ν u em X, q.s em (, T ); (ii) T lim ϕ k (t) ϕ m (t) X dt = k,m Neste caso, a integral de Bochner de u, é por defini ção, o vetor de X dado por T onde o limite é considerado na norma de X. T u (t) dt = lim ϕ ν (t) dt n 43

44 Uma função vetorial u : (, T ) IR X é fracamente mensurável quando a função numérica t Φ, u (t) for mensurável, Φ X, onde X é o dual topológico de X; dizemos que u é fortemente mensurável quando u for limite quase sempre de uma seqüência (ϕ ν ) ν N de funções simples. Em particular, quando u for fortemente mensurável, então a aplicação t u (t) X é integrável a Lebesgue. Aqui denotaremos por L p (, T ; X), 1 p <, o espaço vetorial das (classes de) funções u : (, T ) X fortemente mensuráveis e tais que a função t u (t) p X é integrável à Lesbegue em (, T ), munido da norma ( T ) 1/p u L p (,T ;X) = u (t) p X dt Quando p = 2 e X = H é um espaço de Hilbert, o espaço L 2 (, T ; H) é também um espaço de Hilbert cujo produto interno é dado por T (u, v) L 2 (,T ;H) = (u (s), v (s)) H ds Por L (, T ; X) representaremos o espaço de Banach das (classes de) funções u : (, T ) IR X, que são fortemente mensuráveis e tais que t u (t) X L (, T ). A norma em L (, T ; X) é definida por u L (,T ;X) = supess t ],T [ u(t) X Quando X é reflexivo e separável e 1 < p <, então L p (, T ; X) é um espaço reflexivo e separável, cujo dual topológico se identifica ao espaço de Banach L q (, T ; X ), onde p e q são índices conjugados, isto é, = 1. No caso, p = 1, o dual topológico do espaço p q L1 (, T ; X) se identifica ao espaço L (, T ; X ). A dualidade entre esses espaços é dada na forma integral: u, v (L p (,T ;X)) L p (,T ;X) = u, v L q (,T ;X ) L p (,T ;X) Definição 2.3.1: Uma função f : [, T ] X é integrável se existe uma seqüência {S k } k de funções vetoriais simples, tal que, 44

45 se f é integrável, define-se T S k (t) f(t) X dt, com k A expressão T T T f(t)dµ = lim S k (t)dt k f(t)dµ é dita integral de Bochner de f, em relação a µ. Exemplo 2.3.1: Sejam u L p (, T ; X), 1 p <, e ϕ função T u : D (, T ) X, definida por D (, T ). Consideremos a T u (ϕ) = T u (s) ϕ (s) ds, onde a integral é calculada no sentido de Bochner em X. A aplicação T u é linear e contínua de D (, T ) em X e por esta razão é denominada distribuição vetorial. A distribuição T u é univocamente determinada por u e, neste sentido, podemos identificar u com a distribuição T u por ela definida e, portanto, L p (, T ; X) D (, T ; X) com injeção contínua e densa. O espaço das aplicações lineares e contínuas de D (, T ) em X é denominado espaço das distribuições vetoriais sobre (, T ) com valores em X, o qual denotaremos por D (, T ; X). Definição 2.3.1: Seja T D (, T ; X). A derivada de ordem n é definida como sendo a distribuição vetorial sobre (, T ) com valores em X dada por d n T dt, ϕ = ( 1) n T, dn ϕ ϕ D (, T ) n dt n Por C ([, T ] ; X), < T <, estamos representando o espaço de Banach das funções contínuas u : [, T ] X munido da norma da convergência uniforme u C ([,T ];X) = max t [,T ] u (t) X Por C w ([, T ] ; X), denotaremos o espaço das funções u : [, T ] X fracamente contínuas, isto é, a aplicação t v, u (t) X,X é contínua em [, T ], v X. 45

46 Quando X = H é um espaço de Hilbert, a continuidade fraca de u é equivalente a continuidade da aplicação t (u (t), v) H, v H. 2.4 Um Resultado de Regularidade Vamos enunciar e demonstrar um teorema sobre regularidade, que será de grande importância para garantir as condições do teorema de existência, antes porém, precisamos de três lemas auxiliares, os quais omitiremos as devidas provas (ver [11]). Vejamos: Lema 2.4.1: Se u L 2 (, T, X), u L 2 (, T, X ) e θ C ([, T ]), então: 1) d dt (u, η) X = u, η X X η X 2) d dt (θu) = θu + θ u Lema 2.4.2: Consideremos o espaço de Hilbert W = {u; u L 2 (, T ; X) e u L 2 (, T ; X )}, como oproduto interno (u, v) W = (u, v) L 2 (,T ;X) + (u, v ) L 2 (,T ;X ) Então o conjunto dos vetores v = θη com θ C ([, T ]) e η X é total em W. Lema 2.4.3: Seja u W e consideremos um número real < a < T. Nós estendemos a função u ao intervalo ( a, T + a), da seguinte forma ũ(t) = u( t) se a < t u(t) se < t T u(2t t) se T t < T + a Então, claramente ũ L 2 ( a, T + a; X), onde dũ dt L2 ( a, T + a; X ) Teorema 2.4.1:(de Regularidade) Seja Y um espaço de Hilbert tal que X Y, X é denso em Y e a imersão de X em Y é contínua. Tem-se: 46

47 i) Se u W então u C ([, T ] ; Y ) ii) Se u, v são funções satisfazendo i) então a função t (u(t), v(t)) Y contínua e vale a seguinte igualdade: é absolutamente d dt (u(t), v(t)) Y = u (t), v(t) X X + u(t), v (t) X X, onde a derivada no primeiro membro da igualdade é a derivada no sentido das distribuições sobre (, T ) da função (u(t), v(t)) Y Demonstração: i) Entendemos a função u como no Lema Então ũ L 2 ( a, T + a; X) e ũ L 2 ( a, T + a; X ). Definamos a função w = θ(t)ũ(t), onde θ é uma função real continuamente diferenciável tal que θ = 1 em [, T ] e θ = em uma vizinhança de a e T + a. Consideremos a função j C 1 (IR; IR) tal que j(t), j(t) = para t 1, j( t) = j(t), IR j(t)dt = 1 e j é decrescente em [, ) Seja j ν (t) = νj(νt), então j ν (t) ν IN, j ν ( t) = j ν (t), supp j ν [ 1 ν, 1 ] e ν + j ν (t)dt = 1 Definamos a sucessão de funções w ν (t) = T +a a j ν (t s)w(s)ds Então: w ν w em L 2 (IR; X) e w ν w em L 2 (IR; X ), e por restrição a intervalo [ a, T +a], resulta 47

48 w ν w em L 2 ( a, T + a; X) w ν w em L 2 ( a, T + a; X ) Desde que, w se anula numa vizinhança de a e T + a, então w ν (t) = T +a ε a+ε onde ε > independe de ν IN. Em particular, j ν (t s)w(s)ds w ν ( a) = Desde que, j ν é par ν, vem que T +a ε a+ε j ν ( a s)w(s)ds w ν ( a) = T +a ε a+ε j ν (a + s)w(s)ds Como s [ a + ε, T + a ε] então a + s [ε, T + 2a ε] e portanto, se tomarmos ν tal que 1 < ε, tem-se que ν ν, j ν (a + s) =. Assim, w ν ( a) = ν ν. ν Por outro lado, notando-se que w ν(t) X, temos: w ν (t) w µ (t) 2 Y = t t a T +a a a d t dt w ν(t) w µ (t) 2 Y ds = 2(w ν(s) w µ(s), w ν (s) w µ (s))ds a d t dt w ν(s) w µ(s) 2 X ds + d a dt w ν(s) w µ (s) 2 Xds d T +a dt w ν(s) w µ(s) 2 X ds + d a dt w ν(s) w µ (s) 2 Xds De onde resulta que: (w ν ) é uma sucessão de Cauchy em C ([ a, T + a]; Y ) Portanto, modificando os valores w(t) nos conjuntos de medida nula, encontra-se que w(t) Y e w ν (t) w(t) Y uniformemente em [ a, T + a], ou seja, w C ([ a, T + a]; Y ) e por 48