EXERCÍCIOS - ANÁLISE COMBINATÓRIA

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1 EXERCÍCIOS - ANÁLISE COMBINATÓRIA CONTAGEM 1) A cantina do meu colégio vende 4 tipos de salgados e 5 marcas de refrigerantes. De quantas formas distintas posso escolher meu lanche (um salgado e um refrigerante)? 2) A diretoria de uma empresa é constituída de 6 homens e 4 mulheres. Entre seus membros, pretende-se escolher um presidente e um vicepresidente, com a condição de que um deles deva ser necessariamente homem. De quantas formas diferentes essa escolha pode ser feita? 3) No atual sistema, as placas de automóveis são constituídas de 3 letras, escolhidas entre 26, e 4 algarismos, escolhidos entre 10. Uma cidade brasileira convencionou que as placas de seus veículos deveriam obedecer às seguintes condições: todas começariam por vogal; não haveria letra repetida; o primeiro algarismo deveria ser maior que 4. Nessas condições, quantos veículos podem ser emplacados nessa cidade? 4. Uma fábrica produz 3 modelos de automóveis, com 5 opções de cores. Cada um deles está disponível em 2 versões: duas portas e quatro portas. Quantas opções diferentes têm um comprador para adquirir um automóvel, levando em conta essas três variáveis? 5. Normalmente, o uniforme de um clube de futebol é constituído por uma camisa, um calção e uma meia. Um determinado clube possui 3 opções de camisa, 2 opções de calção e 2 opções de meia. Quantas partidas ele pode jogar sem repetir o uniforme? 6. Uma lanchonete vende 5 tipos de salgados, 3 qualidades de sanduíches, 2 tipos de sucos e 4 marcas de refrigerante. De quantas formas diferentes um cliente da lanchonete pode escolher a) um comestível? b) uma bebida? c) um salgado e um refrigerante? d) um sanduíche e uma bebida? e) um comestível e uma bebida? 7. No atual sistema brasileiro de emplacamento de veículos usam-se letras e números. Um exemplo é a placa: Observe que cada placa é formada por 3 letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto, seguidas de 4 algarismos, escolhidos entre os 10 disponíveis. Supondo que haja placas com quatro zeros (0000), pergunta-se: a) Quantas placas diferentes podem ser obtidas? b) Quantas têm as 3 letras diferentes e os 4 algarismos diferentes? c) Quantas só apresentam vogais e algarismos pares? d) Quantas contêm 3 vogais diferentes e o primeiro e o último algarismos iguais? 8. Uma igreja tem 4 portas de entrada. De quantas formas diferentes um fiel pode entrar e sair da igreja, usando portas diferentes? 9. Uma prova é constituída de 6 questões de múltipla escolha, com 4 opções cada uma. De quantas formas diferentes pode ser montado o gabarito dessa prova? 10. Utilizando apenas os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, formam-se todos os números de 4 algarismos. a) Qual o total de números obtidos? b) Quantos não têm algarismo repetido? c) Quantos são pares? d) Quantos são maiores que e não têm algarismo repetido? PERMUTAÇÕES 11. Um automóvel tem 5 lugares, incluindo o do motorista. De quantas formas diferentes 5 pessoas podem ocupar os lugares do automóvel, a) se todas sabem dirigir? b) se apenas uma sabe dirigir? c) se apenas três sabem dirigir? 12. De quantas maneiras podemos dispor em uma prateleira, lado a lado, 5 livros de Matemática e 4 livros de Biologia, de modo que a) livros de mesma matéria fiquem juntos? b) livros de mesma matéria nunca fiquem juntos? c) o primeiro livro seja de Matemática e o último, de Biologia? d) os dois livros das extremidades sejam de matérias diferentes?

2 13. Considere todos os anagramas da palavra ALBERTO. a) Quantos são os anagramas? b) Quantos começam por B? c) Quantos terminam em consoante? d) Quantos começam por B, E e T, nesta ordem? e) Quantos terminam com as letras B, E e L, em qualquer ordem? f) Quantos têm as letras R e T juntas, em qualquer ordem? 14. Considere todos os números naturais obtidos permutando-se, entre si, os algarismos do número a) Qual é o total de números obtidos? b) Quantos são pares? c) Em quantos os algarismos 2 e 4 aparecem juntos? d) Em quantos os algarismos 2 e 4 não aparecem juntos? e) Quantos são maiores que ? f) Qual será a posição de , se todos os números forem colocados em ordem crescente? ARRANJOS 15. Calcule os seguintes números. 16. Resolva as equações abaixo. 17. Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 5, 7 e 8, sem repetição, quantos números diferentes podemos formar a) de 3 algarismos? b) de 6 algarismos? c) de 4 algarismos, sem que apareça o algarismo 7? d) de 4 algarismos, aparecendo, obrigatoriamente, o algarismo 8? e) de 3 algarismos, maiores que 400? f) de 4 algarismos, sendo os dois extremos algarismos pares? g) menores que 700? 18. Considere todos os números de 4 algarismos distintos que podem ser formados, utilizando apenas os algarismos 0, 1, 2, 4, 5, 7 e 9. a) Qual é o total desses números? b) Quantos não contêm o zero? c) Quantos contêm o zero? d) Quantos são múltiplos de 5? 19. Um concurso tem 8 candidatos. De quantas formas diferentes podem-se definir os 3 primeiros colocados? 20. Uma empresa tem 8 diretores. Entre eles, devem ser escolhidos um presidente, um diretor-administrativo e um diretor-financeiro. De quantas formas diferentes podem ser definidos esses cargos, sabendo-se que um deles deve ser ocupado pelo Dr. Fernando? 21. Considere todos os números de 3 algarismos (distintos ou não) que podem ser formados, utilizando apenas os algarismos 2, 3, 5, 6 e 8. a) Qual é o total desses números? b) Quantos não têm nenhum algarismo repetido? c) Quantos têm pelo menos um algarismo repetido? 22. Utilizando apenas os algarismos 1 e 2, a) quantos números de 5 algarismos podemos formar? b) quantos números pares de 4 algarismos podemos formar? COMBINAÇÕES 23. De um grupo de 8 pessoas, de quantas formas diferentes pode-se formar uma comissão a) de 3 pessoas? b) de 4 pessoas, de forma que o indivíduo A seja um dos escolhidos? c) de 5 pessoas, de forma que não seja escolhido o indivíduo A? 24. Um hospital tem 4 médicos e 6 enfermeiros. De quantas formas pode-se formar uma comissão a) de 8 pessoas? b) de 5 pessoas, sendo 3 médicos? c) de 4 pessoas, com pelo menos 1 médico? d) de 5 pessoas, com no máximo 2 médicos? 25. Sobre uma circunferência, marcam-se oito pontos distintos. Usando esses pontos como vértices, determine a) o número de triângulos que podem ser construídos. b) o número de quadriláteros convexos que podem ser construídos. 26. Numa festa, há 15 pessoas. Se cada uma delas cumprimentar todas as demais, qual será o número total de cumprimentos?

3 27. Uma pessoa doou 6 brinquedos para uma creche, que acolhe 10 crianças. De quantas formas distintas podem ser distribuídos todos esses brinquedos (no máximo um para cada criança), a) se eles forem todos iguais? b) se eles forem todos diferentes? 28. Um partido político em formação tem apenas 12 filiados. A partir desse grupo, pretende-se constituir um diretório formado por 5 pessoas, das quais devem ser escolhidos um presidente e um vice-presidente. De quantas formas diferentes isso pode ser feito? 29. Quantos são os subconjuntos do conjunto A = {a, b, c, d, e}? 30. Qual é o número de diagonais de um polígono convexo de 8 lados?

4 QUESTÕES COMPLEMENTARES 31. (UFBA) Numa eleição para a diretoria de um clube concorrem 3 candidatos a diretor, 2 a vice-diretor, 3 a primeiro secretário e 4 a tesoureiro. Qual é o número de resultados possíveis da eleição? 32. (Fuvest-SP) Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis seqüências dessas músicas, serão necessários aproximadamente a) 100 dias. b) 10 anos. c) 100 anos. d) 10 séculos. e) 100 séculos. 33. (UFRGS) De um ponto A a um ponto B, existem 5 caminhos; de B a um terceiro ponto C, existem 6 caminhos e de C a um quarto ponto D, existem também 6 caminhos. Quantos caminhos existem para se ir do ponto A ao ponto D, passando por B e C? 34. (FGV-SP) Antes de 1990, as placas de automóveis eram constituídas de duas letras seguidas de quatro algarismos. Quantas placas diferentes podiam ser formadas, naquela época, com as vogais do alfabeto e algarismos pares? 35. (UFCE) Quantos números inteiros compreendidos entre e podemos formar, se utilizarmos somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos? 36. (UFSC) Quantos números pares de cinco algarismos podemos escrever apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3, respeitadas as repetições apresentadas? 37. (FESP) Um vendedor de livros tem oito livros de assuntos distintos para distribuir a três professores A, B e C. De quantos modos poderá fazer a distribuição, dando três livros ao professor A, quatro livros ao professor B e um livro ao professor C? 38. (UFGO) De um grupo de dez professores, dos quais exatamente cinco são de Matemática, deve ser escolhida uma comissão de quatro professores para elaborarem uma determinada prova de seleção. De quantas formas isso pode ser feito, se na comissão deve haver pelo menos um professor de Matemática? 39. (FCChagas-BA) Considerem-se todos os anagramas da palavra MORENA. Quantos deles têm as vogais juntas? 40. (Sta. Casa-SP) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre as cidade A e B. Quantos são os diferentes percursos para se fazer a viagem de ida e volta entre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem? 41. (Cesesp-PE) Num acidente automobilístico, após se ouvirem várias testemunhas, concluiu-se que o motorista culpado do acidente dirigia um veículo cuja placa era constituída de duas vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o dígito 2. Qual é o número de veículos suspeitos? 42. (IMS-SP) Numa reunião de congregação, em que cada professor cumprimentou todos os seus colegas, registraram-se 210 apertos de mão. Qual era o número de professores presentes à reunião? 43. (VUNESP-SP) Considere, num plano, 10 pontos distintos entre si. Suponha que 4 desses pontos pertençam a uma mesma reta e que dois quaisquer dos demais não estejam alinhados com nenhum dos pontos restantes. Calcule o número de retas determinadas por esses 10 pontos. 44. (U.F. Pelotas-RS) Em um campeonato de damas, houve disputa entre 11 jogadores. Cada participante jogou com os demais 2 partidas, uma em cada turno do campeonato. No final, 2 jogadores ficaram empatados. Houve o jogo de desempate. Quantas partidas foram disputadas? 45. (UNIFOR-CE) Uma agência de publicidade necessita de 2 rapazes e 3 moças para fazer um comercial para TV. Dispondo de 4 rapazes e 5 moças, quantas opções tem a agência para formar o grupo necessário? 46. (UNIFOR-CE) O segredo de um certo cofre é constituído de 2 letras distintas (escolhidas entre as 23 do alfabeto) e 3 algarismos distintos (escolhidos de 0 a 9). Sabe-se que a letra da esquerda é uma vogal e que o algarismo da direita é divisível por 5. Qual é o número máximo de tentativas que podem ser feitas para abrir esse cofre? 47. (Osec-SP) Uma faculdade mantém 8 cursos diferentes. No vestibular, os candidatos podem fazer opção por 3 cursos, determinando-os por ordem de preferência. Qual o número possível de formas para optar?

5 48. (UFMG) Numa cidade A, os números de telefones têm 7 algarismos, sendo que os três primeiros constituem o prefixo da cidade. Os telefones que terminam em 10 são reservados para as farmácias e os que têm os dois últimos algarismos iguais, para os médicos e hospitais. Qual é a quantidade dos demais telefones disponíveis na cidade A? 49. (UFBA) Num determinado país, todo radioamador possui um prefixo formado por 5 símbolos assim dispostos: um par de letras, um algarismo diferente de zero, outro par de letras; por exemplo PY-6-CF. O primeiro par de letras é sempre PY, PT ou PV; o segundo par só pode ser constituído das 10 primeiras letras do alfabeto, não havendo letras repetidas. Qual é o número de prefixos disponíveis nesse país? 50. (UNEB) Uma urna contém 10 bolas: 6 pretas iguais e 4 brancas iguais. Quantas são as maneiras diferentes de se extrair, uma a uma, as 10 bolas da urna? 51. (Consart) De quantas maneiras três casais podem ocupar 6 cadeiras dispostas em fila, de tal forma que as duas das extremidades sejam ocupadas por homens? 52. (FGV-SP) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. De quantos modos podemos permutá-los de modo que os algarismos ímpares fiquem sempre em ordem crescente? 53. (UFRGS) Em uma classe de doze alunos, um grupo de cinco será selecionado para uma viagem. De quantas maneiras distintas esse grupo poderá ser formado, sabendo que, entre os doze alunos, dois são irmãos e só poderão viajar se estiverem juntos? 54. (Fuvest-SP) Calcule quantos números múltiplos de 3, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e Determine o número de quadras ordenadas (x, y, z, t) de números naturais que satisfazem a equação x + y + z + t = (UnB) Seis pessoas A, B, C, D, E e F ficam em pé, uma ao lado da outra, para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, qual é o número de possibilidades distintas para as 6 pessoas se disporem? Gabarito 1. a) 11 b) 380 c)60 d)(n + 1)n e) 6 n 42 f) n a) n natural; n 4 b) n = 9 3. a) 0 ou 4 b) 5 c) a) 8 b) 6 c) 20 d) 18 e) a) b) c) d) a) 625 b) 120 c) 500 d) a) 120 b) 24 c) a) b) c) d) a) b) 720 c) d) 24 e) 144 f) a) 720 b) 240 c) 240 d) 480 e) 240 f) 432º 15. a) 210 b) a) 8 b) 5 c) a) 120 b) 720 c) 120 d) 240 e) 80 f) 24 g) a) 720 b) 360 c) 360 d) a) 125 b) 60 c) a) 32 b) a) 56 b) 35 c) a) 45 b) 60 c) 195

6 d) a) 56 b) a) 210 b) e

7 LISTA DE EXERCÍCIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA 01. (Pucrj) Seja A o conjunto dos números inteiros positivos com três algarismos. Seja B o subconjunto de A dos números ímpares com três algarismos distintos. Quantos elementos tem o conjunto B? a) 125 b) 168 c) 320 d) 360 e) (Uepb) Com os números naturais n,, o total de números inteiros que podemos obter com três algarismos distintos, não divisíveis por 5, é: a) 448 b) 446 c) 444 d) 348 e) (Espm) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 podemos formar 60 números naturais de 3 algarismos distintos. Desse total, a quantidade dos que são divisíveis por 6 é: a) 10 b) 12 c) 5 d) 8 e) (Fgv) O total de números naturais de 7 algarismos tal que o produto dos seus algarismos seja 14 é a) 14. b) 28. c) 35. d) 42. e) (Ufjf) Uma empresa escolherá um chefe para cada uma de suas repartições A e B. Cada chefe deve ser escolhido entre os funcionários das respectivas repartições e não devem ser ambos do mesmo sexo. Abaixo é apresentado o quadro de funcionários das repartições A e B. De quantas maneiras é possível ocupar esses dois cargos? a) 12. b) 24. c) 42. d) 54. e) (Upe) Rita tem três dados: um branco, um azul e um vermelho. Quantas são as formas de ela obter soma seis no lançamento simultâneo dos três dados? a) 9 b) 10 c) 12 d) 18 e) (Ufsm) As doenças cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. As cirurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes no tratamento dessas doenças. Supõe-se que um hospital dispõe de 5 médicos cardiologistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentadores que fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgias cardíacas. Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4 instrumentadores? a) 200. b) 300. c) 600. d) 720. e) (Unicamp) O grêmio estudantil do Colégio Alvorada é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião do grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças para a organização das olimpíadas do colégio. De quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão? a) b) c) d) (Ufu) Uma fábrica de tintas necessita contratar uma equipe para desenvolver e produzir um novo tipo de produto. A equipe deve ser formada por 4 1

8 químicos, 1 engenheiro ambiental e 2 engenheiros de produção. Se no processo final de seleção compareceram 6 químicos, 3 engenheiros ambientais e 4 engenheiros de produção, o número de maneiras que a equipe poderá ser formada é igual a: a) 3. 6! b) 18. 6! c) 3/8. 6! d) ¾. 6! 10. (Uern) Régis está em uma loja de roupas e deseja selecionar 4 camisas dentre 14 modelos diferentes, sendo essas 8 brancas e 6 azuis. De quantas maneiras ele poderá escolher as 4 camisas de forma que pelo menos uma delas tenha cor distinta das demais? a) 748 b) 916 c) 812 d) (Fuvest) Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é a) menor que 7%. b) maior que 7%, mas menor que 10%. c) maior que 10%, mas menor que 13%. d) maior que 13%, mas menor que 16%. e) maior que 16%. deve ficar na barraca III, então o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a a) 560 b) 1120 c) 1680 d) (Unicamp) Para acomodar a crescente quantidade de veículos, estuda-se mudar as placas, atualmente com três letras e quatro algarismos numéricos, para quatro letras e três algarismos numéricos, como está ilustrado abaixo. Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9. O aumento obtido com essa modificação em relação ao número máximo de placas em vigor seria: a) inferior ao dobro. b) superior ao dobro e inferior ao triplo. c) superior ao triplo e inferior ao quádruplo. d) mais que o quádruplo. 15. (Uerj) A tabela abaixo apresenta os critérios adotados por dois países para a formação de placas de automóveis. Em ambos os casos, podem ser utilizados quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do alfabeto romano. 12. (Fgvrj) Cinco estudantes param para pernoitar em um hotel à beira da estrada. Há dois quartos disponíveis, um com duas camas e outro com três. De quantas maneiras eles podem se dividir em dois grupos, um com duas pessoas e outro com três, para se hospedar no hotel? a) 80 b) 40 c) 20 d) 10 e) (Epcar) Num acampamento militar, serão instaladas três barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10 soldados, dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal maneira que fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III. Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B NÃO Considere o número máximo de placas distintas que podem ser confeccionadas no país X igual a n e no país Y igual a p. A razão n/p corresponde a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 2

9 16. (Uerj) Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor. 18. (Unesp) A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos sentidos de baixo para cima ou da esquerda para a direita. O número de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é: a) b) c) 924. d) 792. e) 35. Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra: O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a: a) 624 b) 676 c) 715 d) (Upe) Oito amigos entraram em um restaurante para jantar e sentaram-se numa mesa retangular, com oito lugares, como mostra a figura a seguir: 19. (Uespi) De quantas maneiras podemos enfileirar 5 mulheres e 3 homens de tal modo que os 3 homens permaneçam juntos? a) 8! b) 6! c) 3!. 6! d) 7! e) 9! 20. (Ibmecrj) O número de anagramas que podem ser formados com as letras de PAPAGAIO, começando por consoante e terminando por O, é igual a: a) 120. b) 180. c) 240. d) 300. e) 320. Gabarito: 01: [C] 02: [A] 03: [D] 04: [D] 05: [D] 06: [B] 07: [B] 08: [D] 09: [C] 10: [B] 11: [B] 12: [D] 13: [B] 14: [A] 15: [B] 16: [A] 17: [E] 18: [D] 19: [C] 20: [B] Dentre todas as configurações possíveis, quantas são as possibilidades de dois desses amigos, Amaro e Danilo, ficarem sentados em frente um do outro? a) b) c) d) e) COMBINATÓRIA ENEM 1) ENEM O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra escura, no número 1. Observe abaixo um exemplo simplificado de um código em um sistema de código com 20 barras.

10 3) ENEM A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caráter é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Por exemplo, a letra A é representada por: Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, como o código , no sistema descrito acima. Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco barras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas às escuras, é: a) 14 b) 12 c) 8 d) 6 e) 4 O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é a) 12 b) 31 c) 36 d) 63 e) 720 4) ENEM Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela abaixo. 2) ENEM No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 4 Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos uma do grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a: a) b) c) d) e) ) ENEM Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro

11 foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de: a) uma combinação e um arranjo, respectivamente. b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. c) um arranjo e uma permutação, respectivamente. d) duas combinações. e) dois arranjos. 6) ENEM João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades. c) 120 min d) 180 min e) 360 min 7) ENEM O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número é: a) 24 b) 31 c) 32 d) 88 e) 89 8) ENEM O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA tem o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado. O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de: a) 60 min b) 90 min 5 a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 9) ENEM O designer português Miguel Neiva criou um sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O sistema

12 consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco também podem ser associados aos símbolos que identificam cores, significando se estas são claras ou escuras. Folha de Sao Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 18 fev (adaptado) De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto? a) 14 b) 18 c) 20 d) 21 e) 23 6